Исследование операторов перестановок системы Хаара в некоторых функциональных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ШЕНИ ктв.лагснссовА

Механихо-цатеиатнческий факультет На правах рукописи

- -ОХЫРБА ДАВИД-ЗШНСШЧ. ..

УДК 517.512

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ ПЕРЕСТАНОВОК СИСТЕМЫ ХААРА В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

(И.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата ■ физико-математических наук

Москва 199^

Работа выполнена на кафедре математического анализа цсхзнико-иатеаатического факультета Московского государственного университета имени Ы.З.Лоионосова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Т.П.Лукаяенко. Официальные оппонент: доктор физико-математических наук, в.н.с. С.В.Ео^карев, доктор физикс-кстематпчесю'х наук,

♦

профессор Б.И.Голубсь. Ведущая организация- Московский государственный институт электронной техники -технический университет.

Зацита диссертации состоится гУлг^г./'*1994 г.

в 16-С5 час. на заседании специализированного совета Д.С53.С5.04 при Носковскои государственном университете имени М.З.Ломоносова по адресу: 119899,ГСП,Косхва, 15ГУ, Ленинские горы, иехэнкко-ыатематический факультет, аудитория 16-2£.

С диссертацией моако ознакомиться в библиотеке -механико-ъатематическсго факультета МГУ (14 этаг).

Автореферат разослан с¿¿■О^'ММ.О- 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.3.04 при йГУ, профессор

,.•/'• Т.П. Лукашенко

Л1

д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальност-ь теми .

Диссертация посв^пцена исследованиям перестановок рядов

Хаара.

Интенсивное изучение системы Хаара в посаевше десяти- • л;тя вызвана ее широким использованием в теории фикций, в теория вероятностей и вычидлительной математике .

В 1959 году В.Ф.Гапошкин показал [I] , что система Хаара не является сикметричным. базисом б • Эт? озна-

чает, что оператор, осуществляющий некоторую перестановку функций Хаара неограничен в (Л . Однако система Хаара сйладзег некоторыми свойствами присущими симметричным базисам. Их выяснением, для одного класса перестановок з прострачивая 2,)

занимался Е.М.Семёнов И . в двоичных пространствах Харда и. ЬМО-Щипп [3] - Им же получен, как следстЕис, один результат Семёнова об эквивалентности в пространствах Ц1 (см.. [ЗЗ].

1. Б.Ф.Гапэшкин, Об' одном свойстве безусловных базисов

з пространстве [Л. , Успехи натек. наук, т. И, 1959, с. 143-148.

2. Е.М.Семенов, Об эквивалентности в Ц! перестановок системы Хаара, Докл. Акалении Еаук СССР, 242. Ш, Ш73, с. 1258- ' 1260 .

3.Я. ¿сйсрр, 0n.etjtLLvaEehse.O3 театт-апое-о^ Нааг- -Зу^-Ье-т ш ¿УасИс Натеку сичЛ ЬМО

браа^, Лпае.У5!£ Мм/.<6, А/В И, 1990, 155-141.

Ч .Маккарти использовал конкретный оператор перестановок системы Хаара для изучения вопросов, связанных со стягиваемостью „-шейной группы банахова про стран ства (пример Маккарти приведен в

Интерес к. этому направлению исследования перестановок рядов Хаара и определил тематику наш.х исследований .

Цель работы. Изучение операторов перестановок системы Хаара в двоичных пространствах Харда и БМО, а также в г 1 ^ р^оо

Неводы исследований . Результаты работы изложены с использованием лишь классических методов сопряжения и интерполяции линейных операторов.

Научная новизна. Бее полученные в работе результаты являются новыми. Основные из них следующие.

1. Установлено, что оператор осуществлявший некоторую перестановку функций Хаара может быть неограничен из б . 1 ^ для всех Ш,2.) и всех р, С{ €. (_'2.1оо)

2. Получены оценки норш оператора, саотгветсагвущего произвольной перестановке системы Хаара в двоичных пространствах Харда и БМО .

3. Решена задача о числовой оценке снизу нормы оператора перестановки системы Хаара в пространстве

Б.С.Митягин, Гомотопическая структура линейной труп' пы банахова пространства. Успеха кзтем. наук, 25 (5), 1970 , 63-10;

Прилокени я. Работе, носит теоретический характер. Ее результат могут. бит»> использованы- в различных вопросах теории функций, функционального анализа и ах приложений.

Апробация работы. Осюкше результаты диссертации докладывались:

- в ТГ7 на семинаре по теории функций и функциональному апнл/ау(руководитель, член-корреспондент АН Грузна; Л.В.Жина-ашЕили) , 1992 гол.,

- на научной се сии. профессором-преподавательского состава Абхазского госуниверситета, Сухум, 1992 год,

- в Математическом институте им. Б.А.Стекяова РАН на семинаре по ортогональным, рядам(руководатель Б.С.Кагин) , Москва, 1993 год,

- в ИГУ ка семинерох по теории ортогоналгных и тригонометрическая рядов (руководители член-коррсспондент РАН П.Л.Ульянов, К.К.Потапов, К.И.Дьчченко) , по теории функция действительного переменного(руководатели Т.П.Лукашенко, Б.А.Скворцов), Москва, 1993 год .

Публикации, . Основные результата диссертации излokp.hu в работах, список которых приведен в конце автореферата;

Структура диссертации . Работа состоит: из пяти парагрр.фов и списка литературы . Обьея работы -

57 ¡•.ашаогыгних страниц. Библиография включает 25 наименований-

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

§§ I и 2, предстааляюдае введение, носят вспоногатель-ныя характер. В них приведен обзор работ по изучаемой теме и сформулированы основные результаты дассертации .

Пусть { ОИ.2......} ,

Ас = { I = ск-г , Ск+О-г ): О^ К,И£^0]

Хаара, занумерованная элементами множества А так : £ СО,() . а для I А

СО.П > > ; о

система

_ И

— и-1

г —

про. -ь С Со,<)\ I

Определение I. Биекция ЗС: А А пишется сохранявшей меру, если для каждого I £ А имеем

Ц | , где - мера Лебега множества Л

Пусть ( В 5 11*1*3 - банахово пространство, в которой нейная обзюч:са систехы Хаара плотна .

Каждая Секция ЯС'. А-» А порождает на оператор

И {= у | К з ,

ас. I зад, '

1£А

I= 5 еИ, ГеА .

Если К. ограничен на о^ , то его модно продолжить

ЛС

о ограниченного оператора, на В>

Определение 2. Системы У аЬ =•! п 1£Аг

.—- ^ ^к 1 ^

взываются эквивалентными в пространстве Е> , есл для любой

оследовательносги чисел С у , 31 А^

6.

Ш>г"

III >2.

равносходяхся в

Ё> .

Эшиваяентность и О^^- связана с. ограниченность!) операторов и ^ } «ЗХ. - отображение обрат ное к

зс . Системы ^ и. ^ эквивалентны в Ь , если и только, если операторы Р . Е> —» В ограничены.

Пусгь п - двоичное пространство Харда, а.е.

где

эсе.1еА

1

, зиесо,0 ^

и пусть

Ё>МО -

двоичное пространство, сопряженное к И , т.е

I ВМ1 ьмо 1£Г

ш-/

\/М0 - двоичное пространство, сопряженное к которому есть

И .Т.е. • ' •

ИЦО 111 '

Диссертация посвящена исследовании операторов

• ои

пространствах Ц ^ Б М О и 4 ^р^оо, рф2-.

Пусть - множество, полученное объедшениеи произ-ольного конечного числа попарно непересекапцихсяадементоз из Ао ,

пусть ^ • - семейство всех множеств вида I—

Определим " р5 С| - норму" биекции 5ГС: А-*" А следу-зим образом:

8.

1ви,р

-Г-р

Р-г

/Зи-р

--¿г.

1И "Н

где

ЗС(Р) = , зеА

а."норму"биеетш ЗП: А—► А ~ так :

1е А

III

± г

Мевду " - нормой" и "нормой" биекцил ЯС: А->А существует следующая связь:

\p-2-l

№И = 113С11 р (^р^оо) р,р ■

в § 3 даны оценки снизу нормы оператора.

^ ^ р оо) _ Хам не (теорема з) приводатся пример оператора неограниченного из в для любых « либых р,^ £(2.,оо).

Теорема I. Пусть ЗСс А-* А произвольная ■ биекция . Тогда .

'"У1Р-.1З » ИХП О-ч.р-гз .

11У Ци 15 " ."^Л*

Из этой теоремы следует одан результат Е.М.Семенова (см. теорему I в ЦэЦ с. 284) . Оценка ке

■ДЛь. и м 11 ^ "м ч<«0

опровергается, даже в случае сохранятся* меру биекций «ЗИ: А-* А см. теорему 4 в ЦбД с. 2Ьй) . Однако^гси при нехотором £">- О

5. Е.Н.Семенов и Б.Птекерт, Перестановки систем Хаара а пространствах . ЛиаЕу^Ь Ма^Р».. 7, И, 1581, 277 -25,5.

10.

ÍI3UI ^ОО U^P^^jmllXÜ

то ít ограничен 113 L^ в Ц? (см. [5} с. 2So) .

Теореиа 3. Суцестгуст такая сохранкзцая перу биекция А—» А » чт0 оператор

к acor-

чГС

раничен для любых £.С<,2.) и любых р,^ £ (2., оо^ Замечание. Существование неограниченных операторов

R^l lf-» Lf, р е Cí.^Ou^oo)^ доказано в.Ф.Гапоаки-ным Ы • Теорема 3 обобщает это свойство системы Хаара .

В § 4 приводятся -утверждения, связанные с. эквивалент:-hoctes произвольных перестановок системы Хаара в двоичных пространствах Харда и ВМЭ.

В работе £зД Ф.Шаппом для сохраняющей меру бяекции ЗС: А-* А приведена оценка.

■IIR-JL ^ »R- -A

•ЗС Н атВ.МО Г

н ас- В.ИО _ Г |Т1

I&A I1!*

15 этой оцеаке правое равенство ошибочно:

Теорема Для каждого натурального числа (Я. существует такал сохранявшая меру биекция Яип: А-»А , что

1ёА

У\

= %

II

но

Ни -.11 _ - 2.

2,

вио

Основной результат этой части работы -Теорена 5. Пусть ч/С; А—» А произвольная биекция, СО,<1) = СО,<1 . Тогда

Ий- И -Л = иго

ас н ос1 вмо |ыии

Следатвие I. Системы и ^экви-

валентные багисн в И „А/МО

, если и только, если

Паси ^

и

ИЗС/И ^

Р

С ледствие 2. Пусть 2. р «>о , С| = — и пусть А —» А произвольная биекция . Тогда

р

Следствие 3. Пусть Н-^Р"^03 . Системы %) Л эквивалентные база си в , если и только , если

Над < оо и

Замечание. Теорема 5 уточняет и обобщает теорему г.Шип-па из работы^3И , а из следствия 2 получается3как частный случай, теорема 2 Е. М.Семенова (см, е. 287_) .

Условия и К-Х-1!!^^

являются независимыми (см. теорему 3 в £2^. Оценка же

IIR-_.ll, л/ и за

I_

опровергается, даже в случае сохраняющих меру биекцийЗ£/. Д-> Д (см. пример в Ц с. 1259-1260) .

Ь § 5 установлены числовые оценки снизу нормы в

ЗС

I р

L Cup-coOjp^a).

»

Автору Е.М.Семеновым была поставлена задача: Для сохранявших меру баекций 9С А — А » отличных кг тривиальней, указать такую поигоянну» Мр"> \ , завиеящуо только от р , что

ЦП II сгс. Р 1

Эта задача имеет такое решение : Теорема 12. Пуст» 5С: А-А , нетривиальная биекция . Тогда j р-2. j

Авшор выражает глубокуп признательность научному руководители профессору кафедры маягемалического анализа МГУ Т.П Лукашенко за поддержку is внимание к работе .

Автор считает такие своим долгом выразить благодарность ет. научному сотруднику кафедры математического анализа ИГУ Г .ЕЛ кебу чага за внимание к работе в течения трех лет обучения в аспирантуре ИГУ / Тбилиси, 1985-1988 гг. / .

Список работ автора по теме диссертации.

1. Д.З.Отырба, Об одной теореме Ф.Шиппа, Сообщ. ЛН Грузии, т. 145, » 2. 1592, е. 261-264 .

2. Д.З.Отырба, 0 перестановках системы Хаара, Доклада, раслмренных заседаний семинара института прикладной математики

иы. И.Н.Векуа, т. 7, £ 2, 1992, с. 4Б-50.

3. Д.З.Отырба, Перестановки системы Хаарг., Рукопись, депон. в ВИНИТИ 11.10.93 г., К 2548 - Ь93, 3 е..