Исследование основных задач теории термоупругости с сосредоточенными особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ТБЖИССКЯ! ГОСУлАРСТЗЕШ1ЬЙ ЛШЕРСГЛТЕТ Ш. ИДШЛХКШИЯИ

■ ■ На правах рукописи

АДЬ- ХАШУД ШУКПШ исследование осношых задач теории теелоупрэтости

С С0СР5,ОТОЧЕгШЬШ ОСОЕШЮСЙШИ

01.01.02 - днаференциальные уравнения

01.01.03 - жгаематическая физика

Автореферат'

.цг^ссргацл! на соискание ученой степени летэддата ^ззвко-катскаклсскях наук

Тбилт-с:: - 1531

-Работа выполнена .в Тбялксско:: государственном университете

кгенп И.д^авахкашпли

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

чдек-корр. АН ГСС2Р, профессор ГЕГЕШ

Оф'ЗДкадьнке оппоненты: доктор $изкко-штематических наук,

профессор НАТР0иК1ЛИ д.Г.

кандидат физико-математических наук, БУЧУКУРИ Т.В.

Ведущая организация: Институт■вычислительной математики

АН'Грузии, " и

. Защита диссертации состоится1-"/Ь "' 1991 года

в 15 часов на заседании специализярованйого сСнвта К "057.03.01 п присуждению ученой степени кандидата физшсо-иатематическнх наук в Тбилисском государственном.университете.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тбилисского -государственного университета имени -ШАжаиатават.

Автореферат разослан "/А' "' УI_1991 года. •

Ученый секретарь . ' ' специализированного совета' кандидат физико-математических наук

Е.Н.^аргородский

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ' ■

Диссертационная работа посвящается изучению краевых задач еории термоупругости с соредоточенными особенностями.

Актуальность темы. Классические математические адачи теорш термоупругости хорошо исследованы как методам! функ-иональрдго анализа (методы'гильбертовых пространств), так име-одами теории потенциала и сингулярных интегральных уравнений, днако в приложениях часто возникает необходимость исследования тих задач при Наличия различных источников особенностей (сосредо-оченшз силы, сосредоточенные источники тепла .и др.). Исследовано указанных неординзршк ситуаций - безусловно актуальная ззда- . д математической: фштаи . ,

- Целью работы является исследование основных мате-атических задач теории термоупругости в более общих постановках, ем они Исследовались до настоящего времени. Решение ищется в лассах таких функций, которые в некоторых заранее заданных точ-ах имеют сильную (в частности, не интегрируемую) особенность.

. Метод И с с л е д. о в о н и 'я. Задрчи исследуются етодом интегральных представлений решений, а такхе их асимптоти-есклх представлений вблизи особых точек с применением сингуляр-ых интегральных 'уравнений. -

Научная н о в и з н а. доказаны новые теоремы едкн-твенности и существования "-решений, с особенностями краевых задач еории термоупругости. Подсчитано число линейно-независимых . еиений соответствующих однородных задач. Зшпсанн явно услсвпя азрешимости задач. Даны' элективные интегральнее конструкции

для-;представления решений. В этом и заключается п р а, к т и ч е с к-а я 2 к а ч и. и ос ть, работы.. ■ -. ' "-, ■.

Апробацию диссертационная работа прошла на заседаниях кафедры дилеренциальньк к интеграяышх.уравкений Тбшшсскок 'государственного .университета. Результаты .диссертации были долож! тага® на семинаре отдела механики сплошных сред Тбилисского ыате-ыатического института .АН Грузии.

' 2. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ -ДИССЕРТАЦЩ .

Первая глава посвящается изучению первой граничной задаче тершупругости с сосредоточенными особенностями пли, как её иногда. называют, первой неординарной задачи теркоупругости.

В' параграфе 1.1 приведён перечень основных обозначений,- ; Выписываются'также.основные уравнения термоупрутости в компонентах смещения: ~

(I)-

(2)

Здесь \_JL- г= (и.1 У-;^) - вектор смещения, О -температура, /7 - объемные силы -(('= , ]Г - тешхойой источник;

"" упругие'постояшще',''^;;1. ' Е '"К(у''-'термические посто-■яннце. допускается,'-'что эти постоянные'-удовлетворяют условиям'

■- о

и .Л

(полозштельная определенность'энергетической формы).

Система (1.1), (1.2) записывается в матричной форме

где

ВСъ^и^ р,

и=(«,6)

В(.ы=

АггШ АаОас)

\ Ш А31СЗ,) А и О*). О ■ о о

-г

V

К;

У -ьос

(5)

(бР

(7)

(0)

компоненты матричного опйраторя классической теории упрете

', В параграфе 1.2 строится фундаментальное решение основных уравнений термоупругости. Оно имеет вид: : ■■"'.•',•. '

С^Сос)= ф.

ОД

К Гг С

£ Гг £

С с с

ф

(9)

о о О ^

где , П - компоненты фундомешгальной матрицы основных уравш

« < К I

классической теории упругости. Для однородной изотропной сред функции ГЦ строятся явно - в элементарных-функциях,. В общ случае доказывается существование 'фундаментальной матрицы 7 справедливость следующих соотношеюй: ; • . -' /

А.|К(о*) Ц Ссс) = ¿¡^С*), ' ' (1°

. ¿,ЬК=1.

к; 4-у

с

• А

где "' -символ Кррнекера, ':,

КГ

(II

ш

функция'Дирака, 1 • .- ,

матрица, транспонированная: к- Вези) ,

А.

• - преобразование Сурье фК - (Фк>> фкг,

• -' , •

; . В этом гй параграфе-зводагася в рассштрешк фундаментальная матрица с£> транспонированного оператора В'Сдх)

и доказывается, что преобразование Фурье матрицы <ф>

'■"•"'■ .;• ' .. ■ . .' . л

/Ч Л Л

\ №У

Л '• Л А

Ш & ;№>

ДАЛ

Е<1> СФ 17/Г)

(13)

имеет вид:

А

ф(?)гг

о —

; % \ ^ 1

ЯН -

(14)

В параграфе 1.3 -выьодатся формулы," аналогшше формулам типа Грина. Если,- 'Л -"ограниченная область из. , : '• - ку-ейчно-гладкач поверхность, ' ££ , Их , ц} > О) и-

\/= (у, . к > а, \ у -,

то, справедлива формула:

•к', иЖсХа^Ш)

ок=|

1 г*»

где СЭя) ~ оператор, сопряженный с '■

[ ВШ^В^х)-

~ 0ПеРа,Г0Р термонапряжения:

-Ц ^

Т^) ■ ХМ -Ц У]

-Цц

° :у-60 '.М^-

(16)

) ~ оператор напряжения в класс веской теории упругости-, . *** .

V) Т^^Ъх,») о

ХМ ХМ. °

Хь*'»)

■ , I ■■ :

О

О- К,

(17)

■ Ж'З') = ( орт внешней по отношения к норка;

к поверхности Л в точке Ч

Формула (15) применяется для получения 'интегрального предс-^ * 1

тавления решения, играющего существенную роль в диссертации.. Доказывается, что если и является решением сопряженного уравнения .

'то. V хс Л :

. „■,;' • у. ■•

)

' . . • . (18)

Из формулы (18) выводится, что \/ Ос & й- : , ■

|,к=\ .

; (19)

°< - произвольный ыультииндекс. • ' ' ■ ' ' • ..

. . Формулы (18) и (19) существенно используются для получения асимптотического представления решений вйтпзи изолированной особой точки; .Доказывается следующее предяог.екие:

Если <Я - область из $ , , & £ ,

выполняется одно из след-,-;,д:^ 7с.юе;± •

- ю - . •

иш |А2 = о(ги) , г ,

(20)

> Уг € Л>Д«; ■ (2Г)

, ■ Щ-Ш : ... ' ■ - у Л'.'С, ,ч: •

где />>.о и ^ 'является.-решением однородной системы 1.(1),-(2) в области ЛЛ !^] . тосправедливо следующее .асимптота ческое представление V Ц Ч вблизи-особой, точки" ^ :. •

Со) V—' <?о , '-'--.'Л ■.•'■-'■ ,

и (ос) ~и с»)

■ Здесь - зектор, предстахяяацхй собой' К- -К столб«

матрицы '' . С*4«*»«* . . о. V-" , -

классическое реисние. однородной' системы, (I), (2), во-;всей обдам

Л ••. : ;.. г'-- ^.- ч':''''■• ' -,4;' , '. '

Из-приведенного предложения-выводится следующее; следствие: ПустьЧ -50.произвольная' область' из $ , у ей- , 11 классическое.реаение'' однородной сис'яеш: (I)., .(2),в областиЧ.'

: Г. "Л/ осе-Л. ; ' ■ ;;";;сЧл-у-

Ж*)

—• с, =оолЛ : ■

: тогда У ^ ^Ъ] :

<.0), Т ' И (24)

=и<-оо + V-с* ,

где [ Р] - целая часть числа р . - ' .'•-. :В параграфе-* 1.4'"изучается первая основная задача с сосредоточенными особенностями, которую будем называть задачей (.3^) . Задача - , формулируется следующим образом:

, ' Пусть А ограниченная область из ^ ', ■ - ку-

' сочно-гладкая поверхность,

ннЯ вектор У. -■ удовлетворяет условиям:

V хе ••

^ бЛ . Требуется найти регуляр-в области Л- \ ^ , который

Вш ш*) =

и СтО = V Ю < , Ла-

С

а-у I?

(251

(261

(27),

,. где р и Ц* — заданное векторы: р : А —

({> '. --> Р , р - неотрицательное число, ■.

, Задача" (25^. ; (26^. , (27)р .называется однородной зада-

(Л• ..

. Доказывается следующая теорема:'' . :

С д н о р о д н а г з а д .а ч.а ( Т ) '/и и е е т равно л г. ц ей Н'о ' н, е з а;в.к спинх решений, г д е £ р'| - ц е л а' я та с т ь ч и с л а р .

В этом ке параграфе 1.4 изучается задача ЦРИ одно-

родном уравнении - т.е. задача (25.)0 , (26 )ч , (27 )р . Предпола-. гается, что (-Р £ Н (Ъх) ( Н -класс фушэдий, удовлетворяющих условию Геладора). -'

Доказывается, что:

Задача (25)с , (26)^ , (27)р имеет р е ш е н и е У, .которое представим о в виде.

и^и' + и™,

111я)

где и -^регулярное в-ойяасти £1» решение задачи (25)0 , (26)у , (27)„ , а И" - произвольное .решение однородной задачи ( (задача (25).-, (26); , (27)р ). • ' '

Во второй главе издается вторая основная задача с сосредоточенными особенностями. В параграфе 2,1 стйвится задача П^).-

Пусть - ограниченная область из - глад-

кая по Ляпунову поверхность; ; » -Я-

Задача ( Ц^) . Найти регулярный в области

вектор Ц = (Ъ1)),

, который удовлетворяет условиям:

Уосел,

(281

Ш =ЧЧгЬ

ъл

(29),.

где р <Я -

<

С

ч '."ал

■ЯГ

■ (30).

р

Ч1 - заданные Функции, р - заданное неотрицательное. число.

Когда отсутствует условие (30)р и ждется классическое (регулярное) решение во всей области fl , то эту задачу будем называть второй классической задачей, или задачей (28)f , (29)^ .

6 Справедливы следующие теоремы: Общее решение Ц-(Ч-)..,. = С"" ^>в) однородной классической задачи (JQ (задача (28)0 , (29)0 ) и м е е т п и д

ô - с ,

г д e (2; , ^ , С -произвольные постоян-

н и е," Г.. -сим вол Л е в и - Ч и в и т а, а п о с -

т о я н н ы, е S(j ' 7 л о в л е т в о р я ю т условиям:

г h -= %J > о\=уъ? (32)

а л я' . • т о г о, ч т о б ы неоднородная к л а с-с и ч е с ка я. задача (Д) (задача (28)0 , (29)^ ) имела решение, необходимо и достаточно выполнение с л е д у о ц и х у с л о в и й:

- . | = (зз)

' J К О

''■jvc ЛЗ ■ 3 • (34)

clP- ' ' /

В параграфе 2.2 исследуется задача . . Доказывается,

например, что число л и н е.й но не за в и с и ы ы х решений задачи (28 )„ , (29 )в , (30^, р а в.н о 7, если р^. \ и , . если р^г .

11айдены такке необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи- ,*]~|' ..'■••' ' ' : У'/,•

Публикация:/ . "

Аль Хаыоуд Моунджед, Граничные задачи термоупругости с сосредоточенными особенностями. / Сообщ. АН ГССР. - В' печати» ;