Исследование отклонений линейных средних рядов Фурье на классах периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

В в е д е н и е.

Глава I. Распределение нулей специальных функций порождаемых тригонометрическими интегралами

§ I. Постановка и редукция задачи.

§ 2. Свойства функции 2 Cj;

§ 3, Достаточные условия вогнутости последовательности нулей функции ТС^^х').

§ 4. Распределение нулей функций f t~r5Cn.Lt+*L)dt

- s^c^o ^ а.

J t Ct + л

Глава П. Приближение периодических дифференцируемых функций нормальными средними Зигмунда.

§ I. Приближение функшй класса W Н ~

§ 2. Приближение функций класса W^ н*

Глава Ш, Приближение непрерывных периодических функций многих переменных сферическими средними Рисса

§ I. Распределение нулей функции

§ t Ct)d£ х £ — ы

§ 2. Асимптотическое равенство для Е С н )

Л и т е р а т у р а.

Работа посвящена вопросам, связанным с исследованием ап-проксимационных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье функций одной и многих переменных в равномерной метрике.

Пусть J'C^ - непрерывная 2 с0Г -периодическая функция, а^ и Ь^ - ее коэффициенты фурье, а 00 <*>

-J- > Z CikCQsLx + scn.kx.) = £ AfM hi k-Q

- ее ряд Фурье, п. н с /5 о = S JL а = ОД,2,., а ferO

- ее частные суммы Фурье, Эти суммы являются самым простым и естественным аппаратом приближения функции J'Cs&'b. Так Лебег С ill показа л, что l/f»l-.SaCj»s®JU [S^aJ^C/), где Е^СJ) - наилучшее приближение функции J'te) тригонометрическими полиномами ^(де) порядка не выше п :

Функция 1лп. растет с увеличением п. довольно медленно и поэтому можно в некотором смысле считать,что приближение функции ее частными суммами Фурье "не намного хуже",чем наилучшее.

Однако еще в 1876 году Дюбуа-Реймонд £2 2 показал,что существуют непрерывные BS -периодические функции, ряды Фурье которых расходятся в отдельных точках. Позже А.Н.Колмогоров [3, 4J построил примеры суммируемых функций, ряды Фурье которых расходятся почти всюду. Вместе с тем, отправляясь от последовательности частных сумм S^Cji л) можно построить последовательность полиномов С^ j зО 5 которая бы равномерно сходилась на всем пространстве С непрерывных 2.S" -периодических функций.

Первый шаг в этом направлении был сделан Л.Фейером £5 Л , который показал,что для любой J е С йт И/С^-в^оОН «О, где f>*)=i U-кЩм. /ол/ к=о

Чаще всего последовательность полиномов ll^C х } строится следующим образом.

Пусть jп. =0,1,., - треугольная сю сю . бесконечная матрица чисел, = 0, kyn . Каждая матрица Л. определяет последовательность полиномов м ^^ к-о или,как говорят, определяет конкретный линейный метод суммирования 4L С -Л.) рядов фурье. п.

Если JL, = 1, £.=0,1,., П. ; h. =0Д,., то LL сю l, а = S С^лО, если -С l-AO, Л =0,1.а ; и =4. то мы получаем суммы Фейера /см.равенство/О. I//. о 9 , иг

Учитывая,что а^ - ~ g JOtlcos kt dt и = I JCtJsuiktdt

- 5 равенство /0.2/ можно переписать так: S

Ua j $f(t) K^ Ct- ^ , /0.3/

-«J где K^Ct,A) - ядро метода IL^CJI), M | + 2 Л сад fct .

0.4/

Одной из важных задач теории суммирования рядов Фурье является изучение величины аСЖ,\СЛ» = sap II /с»)- Х)1| , /0.5/ где £)Т£ - некоторый класс £ -периодических функций.

В качестве классов обычно рассматриваются следующие классы функций:

Н^ - класс непрерывных £<5Г -периодических функций 9 удовлетворяющих условию l/Ctl-/Ct')| £ eoClt-t'l), /0.6/ где оэ Ct) - некоторый фиксированный модуль непрерывности. г- - целое неотрицательное число/ - класс г- раз

WrH со непрерывно дифференцируемых функций, г- -я производная которых принадлежит классу Н со . В случае coCt)*t*, 4 будем считать W^H^ s W^H . у»

M W - класс ZS -периодических функций которых существуют и являются абсолютно непрерывными производные до тr-i) -го порядка включительно и почти всюду I f £ М.

•у* . к^ и № Н

Обобщениями классов со являются

V У классы И Wjs и Н м 9 которые определяются следующим образом.

Пусть J С*") - непрерывная £<зг -периодическая функция,предста-вимая равенством £ -77 § <fC* + t)casCkt+ к:± -s /0.7/

Jb f J - оо, ^ t 9 в котором ^рСх)- измеримая г^г -периодическая функция,удовлетворяющая условию &

X «О . /0.8/

§удем говорить ,что ^^ е & , если почти всюду |<рсх5| И /Сао € w£ н^ 9 если £ Н^ .

При js = v- получаем классы KW и W Н ^ , и в этом случае называют v> -й производной функции /в смысле Вейля/.А при jb-^ + i получаем классы HW1^ и функций, сопряженных с функциями, соответственно, классов MW^

Задача о нахождении величины /0.5/ была впервые поставлена и решена А.Н.Колмогоровым [б 2 . А.Н.Колмогоров доказал,что fbCW^ 5 ) = sub || fCt)- ^Cf--t)\\r = 4 iaa ft*

4?) □ / "ТГ I h. —►

В.Т.Пинкевич £7 Д распространил этот результат и на случай дробных г-. Дальнейшее существенное продвижение в этом вопросе принадлежит С.М.Никольскому [8 - 12^который получил асимптотические равенства для величин feCW^H^S & (W Н*! } П " ft

И ДР.

В дальнейшем результаты А.Н.Колмогорова и С.М.Никольского распространялись на более обще классы функций и различные методы суммирования рядов Фурье.

Следуя А.И.Степанцу [13] будем говорить,что для данного класса и данного метода Ш^СЛ) решена задача Колмогорова

Никольского /в дальнейшем задача К-Н/,если в явном виде найдена такая функция <f£rO , что Ж, П^СЛ)) =fCn) + oC<pti»9 п. —►^о.

Такое название оправдано тем,что постановка и первые фундаментальные результаты в решении этой задачи,как уже отмечалось, принадлежат А. Н. Колмогорову и С.М.Никольскому.

К началу 70-х годов благодаря работам Б.Надя £14 - 173 ,

С.Б.Стечкина [18-21] ,С.А.ТеляКовского [22-27] и др.был созтдан общий метод,позволяющий решать задачу К- Н на классах Wp для практически любого конкретного метода суммирования рядов фурье. К этому же периоду в работах С.М.Никольского [ 9-12 J А.В.Ефимова [28-37] и др. был получен общий метод,позволяюу* щий решать задачу К-Н на классах Н „ в случае,когда

J4 линейный метод суммирования <U (л) дает приближение,не совпаft дающее по порядку с наилучшим /как,например, суммы фурье/,а также,когда ядро метода К Ct,A) положительно /как,например, г суммы Фейера на классах Н /.

В случае,когда линейный метод суммирования 4L Сл.) дает п. приближение порядка наилучшего и,его ядро К Ct9Ji) меняет знак, х задача К-Н была впервые решена Н.П.Корнейчуком [39] для метода Фавара, порождающего полиномы jr. ал ll1 + ksr /- ( т + р — СЧ it + 1о I Sin. •

В основе примененного Н.П.Корнейчуком метода лежит одно утверждение Н.П.Корнейчука, которое было независимо получено, но неопубликовано, С.Б.Стечкиным. Это утверждение мы сформулируем в том виде, в каком оно приведено в [13 ] .

ЛЕММА КОРНЕЙЧУКА-СТЕЧКИНА /лемма К-С/. Пусть на произвольном отрезке [а9 b 2 заданы точка С, а. 4 С <4 h , и суммируемая функция у(х) такая, что почти всюду на Ja,c[ усх)уО С и почти всюду на Jc,b[ Yto 40, (УС&УО) и кроме того b о.ю/ а

Тогда для произвольного модуля непрерывности со Ct) b с » §WCt)lcoC j>Ct)-t )dt = ^ I YCt)| со Ct'cp'1Ct))cLt ^ а с где - класс непрерывных на отрезке Ca3bJ функций, удовлетворяющих условию /0.6/, - функция,определенная на посредством равенств

Y С») = , aixic i i & /0.12/ = £ YCt)dt ,

1 a j» - функция,обратная . Если со С*) - выпуклый модуль непрерывности,то в соотношении /0.11/ имеет место знак равенства,при этом верхнюю грань реализуют функции из класса Н С а, Ь1 вида К С*}, где /С -произвольная постоянная и

С - 9

- ^ с а 4 * с) fl

-1

5 ^о' Ct-J»" С ^

В этом случае величина & Су)может быть представлена в виде S гс*>*>'<»м> /0.14/ О где цг ^-перестановка функции I I в убывающем порядке, т.е. функция, обратная функции Л У 9 где

Я ^ = rn.es В С у. ) .

В конце 60-х начале 70-х годов благодаря работам Н.П.Корнейчука [ 38-40 Д, В.К.Дзядыка [41Д и А.И.Степанца [42-47 ^ на основе леммы К-С был создан метод, позволяющий решать задачу К-Н в случае, когда метод суммирования ^ С/1) дает приближение г порядка наилучшего и его ядро К Ct9А.) меняет знак.

В общих чертах схема решения таких задач по этому методу такова /см. С13 Д /.

1. Сначала показываем, что

ЗьСЖи^Л)) -1ЧЮ *f I SfC&y^ctUi I /0 I5/ 0 о где Н - класс ZS -периодических функций удовлетворяющих условию /0. 6/ и 0, тСгО - некоторая функция от a, a ~ некоторая непрерывная на интервале

JOфункция,имеющая на этом интервале бесконечное множество простых нулей t ^ /простыми мы здесь называем нули функции, проходя через которые она меняет знак/.

2. Доказываем,что на каждом интервале CO^t^, [t^ k=2,3,., лежит единственный простой нуль функции ао f Ct) = ^ V^^t /0. 16/ и с помощью леммы К-С получаем следующую оценку сверху для величины so * а> о о def ос bi где J^Ct) - функции,определяющиеся на £ посредством равенств w», «i ** * Xk+i и устанавливаем равенство

Л Ссо) = 0 (соС £)), п <*> . п '

Доказываем /если это возможно/,что последовательность выпукла /вогнута/

4 0 СУ,О). /0.17/

Если это неравенство доказано,то можно построить функцию ^СаОе и ° п^ 5 такую,что

ОО

I X /а с £) Y^odt I = + . £ а, о т^ п. т.е. решить задачу К-Н для величины <£>С$УС, И^СО).Отметим, что в случае coCt)= Mi выполнения неравенства / 0.17/ не требуется.

При решении задачи К-Н по данной схеме в одномерном ,а также в многомерном случае,наибольшие трудности вызывает доказательство соотношений вида /0.17/. В связи с этим главное внимание в работе уделяется установлению таких соотношений для ряда специальных функций, являющихся первообразными ядер интегральных представлений уклонений ^СаО - <UrL СА^ х}.

Остановимся более детально на содержании работы. В главе I исследуется распределение нулей специальных функций вида

ОО

FCji^x) = £ /СО £w.Ct+eL)dt , /0.18/ зс. где ^СхЭ - непрерывная положительная на интервале Jo, ос [ функция, монотонно убывающая к нулю при ж —с».

Множество таких функций обозначим Фа . Кроме того,через $ Cn^oo) обозначим класс /V -раз непрерывно дифференцируе-N а са> мых функций ^зо , для которых (ri) £ М £ Ф0 , О £ri i /V.

Как уже отмечалось выше, при решении задачи К-Н часто требуется установить,что на некоторых промежутках J et ^ , J , к =0,1,., функция вида /0.3В/ имеет единственный простой нуль и,кроме того, что последовательность нулей {х^} является вогнутой >/0. /0. 19/

Доказательство существования указанных промежутков

J и последовательности простых нулей { а^} серьезных трудностей не вызывает даже для широкого класса функций J'te) и обычно этот вопрос решается применением теоремы Лейбница о знакочередующихся рядах. Установление же соотношений вида /0.19/, как правило, является весьма нетривиальным.

По-видимому, впервые такие соотношения были доказаны в работе В.К.Дзядыка и А.Й.Степанца [48 ] для интегрального синуса. В основе применявшегося там метода лежит получение асимптотических формул для нулей зе^ при помощи которых доказательство соотношений вида /0.19/ получается почти автоматически для значений к 9 больших некоторого значения kQ . В работе С482 к =4» для значений к, =0,4 эти формулы желатель-о ного результата не дают из-за наличия в них остаточных'членов и справедливость соотношений /0.19/ приходилось проверять,используя численные значения эс^, к =0,6 ,найденные,например, при помощи достаточно точных таблиц. Позже этот метод с успехом применялся для функций

Г cost С fost м, С dt

3 J. ^ > J +С+ + лг\ 9 J J.& ^ х tCt + S) 9 ° t и др./см.,напр., [41,45 2 / и сыграл важную роль при решении ряда задач К-Н.В этих случаях числа kQ лежат уже в пределах от II до 30 и, следовательно, для проверки неравенств /0.19/ требуется значительное количество значений нулей,вычисленных с достаточной точностью. Для нахождения этих значений приходится прибегать к вычислительным машинам.

При каждых фиксированных функции и параметра ot следуя этому методу, в принципе можно получать асимптотические формулы для нулей функции /0.18/.Это позволяет установить /или опровергнуть/ соотношения типа/0.19/ для значений fc больших некоторого kQ'9 для L*o,k0 проверку неравенств/0.19/ можно опять осуществить при помощи вычислительной техники.Понятно, что значения зч^ будут зависеть от функции ^Сх.) и параметра «I, и если J'Cx) будет зависеть от параметра т9 а г- и oi будут принимать недискретные значения, то проверка соотношений /0.19/ таким способом становится проблематичной.

Между тем именно такие функции возникают при рассмотреть нии задачи К-Н на классах W Н ^ . В данной главе мы не при

СГ бегаем к асимптотическим формулам для значений нулей,а используем представление функции F С^ i «) в виде FCJ■,<*■, л) = -ACfiaLl sin. С яе +<* +

0.20/ где

АС/;*) « т/г^/з + jSC/ix^-.arcctj

0.21/ а C^ есть частное решение уравнения г = /с=о, которое задается равенством

ОО с f3 X) « £ /СО sin. С* - х) dt . /0.22/ гс функция .ACj^*)- положительна на J 0, С . Поэтому свойства нулей функции FC/j полностью определяются свойствами функции JSC /j a).

В частности, для выполнения соотношения / 0.19/ достаточно,как показывает утверждение леммы 1.2 , чтобы jsCj^x) была выпуклой, т.е. чтобы имело место неравенство агсеи ^ >0, Х70. /0.23/

7 2С/5«) У

Для доказательства этого неравенства в § 2 исследуются свойства функции 3L х ) ив результате получена ТЕОРЕМА I.I. Пусть J €

С»)

JM /"CO

--- = nL < . se -^90

Тогда, если iun. или же.если d 4 00 и существует . . н f'C*)

-Г>о

QL = 00 и

- w wo /'f-j/'c») то найдется такое число xQ ?что при всех х у х0 имеет место неравенство /0.23/ и существует такой номер kQ 9что к - + ^ кукО ■

Заметим,что условию леммы удовлетворяют такие функции как ^/iaCl + x).

Результаты § I и § 2 были получены автором совместно со своим научным руководителем А.И.Степанцом.

В § 3 найдены условия, которым должна удовлетворять функция fCx) , чтобы неравенство /0.23/ имело место для всех х.у0. d f'U)

ЛЕММА I.I3. Если функции fCoO и - — принадле-. d жат множеству и справедливы соотношения: iirrx.

X -Jf 0О

У/ о >0, f'C*) 0. хуо

0.24/ I то неравенство /0.23/справедливо при всех хуО .

В основе доказательства этого утверждения лежит следующая лемма.

ЛЕММА 1.7. Пусть eUaO - некоторая непрерывно дифференцируемая на отрезке [a,hj функция, удовлетворяющая уравнению где 9q - непрерывная в области [a, kj % Cafi, 1 функция Lo. Л 1 - множество значений функции oI'Ca) /,для кото

О ' О рой имеет место равенство а - непрерывная в области [а3ЬЗ% Qa^ , fcj П функция / J - множество значений функции М.Сх) /, монотонно возрастающая по ж и монотонно убывающая по jp . Тогда, если в некоторой точке с е [а,Ь С , aL'Cc) 4 Q, то el 'С®) -Ьб J .

Кроме того, при доказательстве леммы I.I3 существенно использовалось то, что £ С £ •■> эО удовлетворяет уравнению /0.21/.

При проверке условий леммы I.I3 для каждой конкретной функции J>(3CL') наибольшую трудность вызывает проверка неравенства /0.24/, т.к. оно содержит функцию 2 С ^ х} . Для доказательства неравенства /0.24/ используется следующее утверждение,полученное в § 2.

Следствие I.I. Если некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяет на интервале

J D, <*> [ уравнению и" + LL в котором J £ и граничному условию iim. llcx.1 =0 ,

ТО ll сх) tfxyO. 7

С помощью этого утверждения в § 4 показано,что неравенство

• "Г

0.134/ имеет место при а. , г уО , и при

ТЕОРЕМА 1.2. Для всех и 0 * * <ЗГ на каждом интервале ^ = Л «Г С к+ ^Ck+i)-^ [ , k=i,2, функция ^

- г*

F С^ = С t" scn.C*+*)dt

Г- J at имеет единственный простой нуль аг^ 2 и на множестве JeJT-s, ^ С U ) функция -Г С эО нулей не fcai Кимеет.

При этом последовательность {^У вогнута af4*t« +lUi /0-25/

Кроме того,если гг(г-и) ^ , то на интервале JO, сГ-eC J функция JFL С ж) нулей не имеет и выполняется неравенство sot * * а если j Cr+i) У ек , то на интервале Jo, С функция

I7 (зО имеет единственный простой нуль эсп и неравенство г,* о

0.25/ верно при L = 0 , а также справедливы следующие неравенства: а > f -ы, f.

Аналогичная теорема доказана и для функции

Р («) . f a,et J «Kt + a)

Результаты главы I опубликованы в работах [49 .J . В главе П исследуется величина а ) = sup II /Сх)- Ж^ fcW^H d 1 СО s где C^i эО - нормальные средние Зигмунда, т.е. последовательность тригонометрических полиномов б l^-i к и ^к ~ коэФФициенты Фурье функции ♦

Асимптотическое поведение величин

Е С ) = sttp II JM- Z6n С /зх)11, где - некоторый класс непрерывных ZS -периодических функций, изучалось ранее рядом авторов.

Y* S

Так А.Зигмунд Г 501 указал порядок величины Е (W , 7L ) Гь для целых v- и 5 . В работе Б.Надя [ 14] найдены асимптота-ческие равенства для EiW0 , 2 л ) и £ , 22 Л ) при любых положительных тг и s и,наконец, С,А. Теляковс

V s кий [ 25 ] получил асимптотические равенства для Е ("Wji , ^) при любых положительных г- и s и действительных J3 .

Величины Е CinC , 2 ^ на классах Н изучались А.В.Ефимовым в работе [35 Д. Из полученных в ней общих результатов можно вывести асимптотические равенства для величины ' ^ п. ^ ? когда ее порядок не совпадает с порядком наилучшего приближения тригонометрическими полиномами на классе н

Ji ' со •

При нормальные средние Зигмунда есть суммы Фейеу ра и величины Е С W^ Н^ 9 ) изучались в работах

С 8,22,28,5l]и др.

При 5 = 2. величины ШС^^И^^ изучались

А.И.Степанцом в [42 2 .

При целых v и 5, т* >/5 ,(3=0 величина у. £

JS , % л) изучалась в работе С 52 1 •

Нами доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.1. Для любого модуля непрерывности для всех V1 у О выполняется соотношение

У* X 1 f*>(")lYraildt + t" ° ~ р f firW-t \ ^ t-1 ^ ' i Sua Lit

Y^Ct>= £ -^—ли.,

О 1 a

Т. и ас. L=I,2,., положительные нули,соответственно,

1 oo функций и ^ Cx^ = - Ct^ dt , перенумерованные л в порядке возрастания^ р СО- функции,определяющиеся на Р *

L3^ ' ^ j l =I»2,. равенствами

JV^b v^it JVC3°- • /0,26/

При всех имеет место порядковое равенство

0 ОС 4)), .

Если coCt} - выпуклый модуль непрерывности и,кроме того, если при некотором У'У О выполняется неравенство то при ЭТОМ V

V- V- у. V ^г «СО)' h. —<?в

V ft. / у ' П '

При доказательстве теоремы 2,1 существенно используется утверждение теоремы 1.2,так как г sint сс. эе.

В § 2 доказывается, что при coCt) t , 0 ^ £ 4 , неравенство /0.27/ справедливо при всех г УО . Для этого необходимо было исследовать зависимость нулей х^Сг, «О функции 0Т параметра ^ •

ТЕОРЕМА 2.2. Для всех W/i , ^70, & У0 и О справедливо неравенство где зс^С^вО, fe =1,2,., - нули функции ^ ы С^Э из интервала J jr- ^ , оо £ перенумерованные в порядке возрастания.

Кроме того, если 1 Cr+i^ j > 9 то неравенство/0.28/ выполняется и при к = 0.

ТЕОРЕМА 2.3. Для всех г-7 О и D^oi^i имеет место асимптотическое равенство г я, v- ^ v+i 1 / * ei CUO lrct>ld* +

V J

Результаты главы П были опубликованы в работе £ 53 2 •

Глава Ш посвящена приближению периодических функции многих переменных сферическими средними Рисса.

Пусть Л V - А/ -мерное евклидово пространство, , . л/ л» =2,3,., С at* , х } - его элементы, Z множество векторов п. г £ л.^ ^ ^ п. ^ ) с целочисленными координатами, С = + + хы >

Пусть, далее, = — » - Z& -периодическая по каждой из переменных суммируемая на кубе периодов функция - < - с**)*

- ее ряд Фурье.Тогда при каждых фиксированных у О и .К >0 выражение frvf2 \ ^ ССпя)

Д lriU.R называют .R -й сферической частной суммой Рисса порядка £.

При \f У/ £ средние /0.30/ впервые были введены Бох-нером [ 54 2 . В этой его работе было положено начало исследования различных вопросов сходимости таких средних. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах многих авторов,например, И.Стейна и Г.Вейса £55 ] , К.И.Бабенко ["56 2 , В.А.Ильина С 57 2 ?Ш.А.Алимова,В.А.Ильина и Е.М.Шкишина [ 582 ,А.И.Степанца [42,44 ],Б.И.Голубова С 59 ] и др., в которых собрана обширная библиография по данному направлению. В главе Ш исследуется асимптотика величины где H - класс непрерывных -периодических по каждой со из переменных функций - 32 i , — 9 ^лЛ 9 которые удовлетворяют условию

Г| /0.32/ ш ( (a^-sc^)*' ) .

Здесь оэ Ct} - произвольный фиксированный модуль непрерывности.

Величина /0.31/ изучалась в работах А.И.Степанца [42,44 J и Б.Й.Голубова [59 J . Следуя вышеизложенной схеме решения задач К-Н в работе А.И.Степанца [42] сначала было показано, что при всех N У/ i и для любого фиксированного модуля непрерывности coCt) оо sr0 с I S/CDt-^ttxtt о

•СО X й н; о с ( £ «(i)f4,ftidt +

0 /0. 33/ и* k i V Л у о у * к где *

U^ С я) - функция Бесселя первого рода порядка О , , к =0,1,., - ее неотрицательные нули,перенумерованные в порядке возрастания, = ^ ^ £ •> к =0, I,., положительные нули функции

ОО

0.35/ а X Функции,определяющиеся на отрезках С зс^, эе^ равенствами

Там же было доказано,что при ^ < | и ~ Функция

0.35/ на каждом промежутке J х? ее"? Г к =0, 1,. , к ' fc+i ' имеет единственный простой нуль - ое^ С^«о^ и показано. что при всех N У/ J. и <Г > для любого фиксированного модуля непрерывности со С*) г f 1\\

Ав С^ «О t jj), J?-» «о. /0в36/ Л

Далее в работе [[42 J было локазано,что если для некоторых /V *?/ i и выполнено неравенство то при этих N ш £ для любого выпуклого модуля непрерывности со СО имеет место асимптотическое равенство сГ — /V ^ сГ, л/ гд/ сHe ^ + Гл , Г/Со^о, Г ' to) = О (я & ' а> С ж)), Я jj /0.38/

В работе Г 42 J был указан способ доказательства соотношений вида /0.37/,который основан на теореме сравнения Штурма и который нам удобно сформулировать следующим образом.

Пусть функция lUaO имеет на интервале Jo, °° С бесконечное множество простых нулей х^ , к =1,2,., и удовлетворяет уравнению

0.39/ в котором функция такова, что для всех к 7/1 имеет место неравенство Ясгх^-хиек*}, 40/

Тогда для всех к У/1 справедливо неравенство

Неравенство /0.40/,очевидно, выполняется ,если функция QCx) монотонно возрастает на Jo, о® £ . Этим способом в работе [42 3 too доказано,что неравенство /0.37/,а,следовательно, и равенство /0.38/, выполнено при всех ^ < - А и = 1 , т.е. /см. /0.34//, при Л/= £ и > . Кроме того, было доказано,что в случае со Ob) -Jit равенство/0.38/ имеет место при всех А У/ 1 и о У -g- > т.к. в этом случае не требуется выполнения неравенства / 0.37/.

Дальнейшее исследование нулей функции^. было проведено Б.И.Голубовым в работе [ 59 2 . В этой работе было показано,что функция и СзО удовлетворяет уравнению

- w'cx)^ + = 0, /0.42/ где Wj^ = а ^ ^ С х) , /0в 43/ a - функция Ломмеля второго рода /см. [ 60 2 ,с.379/, сJ* которая является частным решением уравнения ху,1 + ( - ) Lj, = х^*1 9 и при of * 2 задается равенством /см, С61 И,о. 78 / оа оо

5 с*ч=т ctMt - Y <*> Ct^ctUt) , c;' x. cc здесь Y - функция Бесселя второго рода порадка

Далее было показано,что при ^ < ^ и ^ + ^ = £пг-ц 9 т. =0,1,., функция положительна на Jo, <?«>£ и уравнение /0.42/ заменой у ^ сводится к уравнению вида /0.39/,в котором

Ч<*>5 а С*>«4 C^'V- A /in - J--/0.44/

Было доказано, что функция фСгеЭ монотонно возрастает на J С,если j< + = tn =2,3,., и ^ • -|(£пг+ ) , а также если - 3 и cf 2 ' Это означает,что при таких ^ и ^ выполнено неравенство /0.37/,т.е. при А/ г 4 и <Г>(лм)/£ и при всех четных /V > £ и г | Уз + имеет место асимптотическое равенство /0.38/.Там же было указано , что ^ ^ £ Л/ - 3 .

В данной главе проложено исследование нулей функции u. М.

О /V V d » Этому посвящен § 2,результатом которого является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3.1. При каждом фиксированном натуральном m для всех j и V таких,что 2т-1 44 &tn + i , i па - + ^ ^ последовательность положительных нулей функции ^t^" J^Ct^dt выпукла: зс

Vc/^ - * W.M5 + km,i■

Отметим,что в случае р= 3 результат теоремы содержится в результате Б.И.Голубова для этого случая,остальные результаты Б.И.Голубова содержатся в утверждении теоремы. . Несколько слов о методике доказательства теоремы 3.1. Прежде всего установлено,что для выполнения неравенства /0.40/ не обязательно требовать,чтобы функция Q^aO монотонно возрастала на J0, ©о С и найдено более широкое условие,которое сформулировано следующим образом.

Следствие 3.1. Если функция и. СхЭ имеет на интервале Л0, о® С бесконечное множество простых нулей ? L =1,2,., удовлетворяет на J0, <*> q уравнению /0.39/ и существует число такое, что Q Сх) положительна и монотонно возрастает на J С, С и неположительна на J0, С С , то последовательность { х выпукла: 0 .

Выражение /0.44/ для функции flCx) содержит функции Ломмеля S „ , С ас 5 /см. равенство /0.43// и для доказательства теоремы 3.1 необходимо было доказать ряд неравенств,содержащих эти функции. Основным способом доказательства таких неравенств является

Следствие 3.2. Если некоторая дважды непрерывно дифференцируемая функция тэ-Сзо удовлетворяет на интервале JQ,o°C уравнению & в котором £ е Фо и ^7/ «j и граничному условию эс сю

ТО тКз07а, х7о .

Отметим,что в случае утверждение следствия 3.2 было доказано в главе I.

Опираясь на утверждение теоремы 3.1, в § 2 строятся экст * ремальные функции ср с sc.*) г ф С ,., =0, которые при

1 o3N, х. I* четных N У/ в и <Г > | l/'' 5 а также при нечетных N У 5 к £ у к f yicA/^V^Ti 1 - 1 ) принадлежат классу

• /V £ х

Н ^ и для которых-имеет место -асимптотическое равенство

Г ^ ^ <Г V Cf 5 *)Нв Ссо) +

J? т.е. доказана

Т Е О Р Е М А 3.2. При любых четных И У/ в и ^ к УЬСМ'^ & + i ,а также при нечетных iV > 3 и i (^5 + i 1 - 1 ) для всякого выпуклого модуля непрерывности имеет место асимптотическое равенство /0.38/.

Результаты главы Ш были опубликованы в работах [*62,63 ] . Пользуясь случаем выражаю большую признательность и благодарность моему учителю А.И.Степанцу за постановку задачи,постоянное внимание и помощь в работе.

1. Лебег ( Lebesgue.Н.). Sur les integrales singu-lieres.- Arm.de Toulouse, 1909,1, 25-117.

2. Дюбуа Реймонд <Du Bois Reimond). nntersuchunger uber die Convergenz und Divergenz der Fourierschen Darstellungs formeln.- Ann.Acad.Munchen, 1876,12,рИ-103.

3. Колмогоров A.H., Une serie de Fourier Lebesgue diver-gente presque partout, Fund.Math.,4 (1923),p. 324328.

4. Колмогоров A.H., Une serie de Fourier-Lebesgue diver-gente partout.- Compt. rendus, 183 (1926),p. 13271328.

5. Фейер Л. ( Fejer Ь.). Untersuehungen uber Fouri-ersche Reihen.- Math.Ann.,1904, 58,p. 501-569.

6. Колмогоров A.H., Zur Grossenordnung des Restliedes Fourierschen Reihen differenzierbaren Functionen.-Aim.Math.,1935» 36,p.521-526.

7. Пинкевич B.T., 0 порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля.-Изв.АН СССР.Сер.Математика, 1940, 4,№ 5,с.521-528.

8. Никольский С.М.,0б асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица,суммами Фейера.-Изв.АН СССР.Сер.Математика,1940,4,№ 6,с.501-508.

9. Никольский С.М. , 0 линейных методах суммирования рядов Фурье.-Изв.АН СССР.Сер.Математика,1948, 12, с.191-193.

10. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами.Линейные методы.Киев:Наукова думка,1981.- 339 с.

11. Надь Б. (Nady В.). Sur une classe generale de pro-cedes de sommation pour les series de Fourier.-Hung.Acta Math.,1948,1, И 3,p.14-521.

12. Надь Б. ( Tfady В.). Methodes de sommation des series de Fourier.I.- Acta sci,math.,1950,12,p.204-210.

13. Надь Б. (^ady В.). Methodes de sommation des series de Fourier.II,- Oasapis pro pestovani Mat.a Fis., 1949, 74,p.210-210.

14. Надь Б. (Nady В.). Methodes de sommation des series de Fourier,III.- Acta sci,math.,1950,13,p.247-351.

15. Стечкин С.Б. О суммах Валле-Дуссена.- Докл.АН СССР,I951, 80,с.545-548.

16. Стечкин С.Б. Несколько замечаний о тригонометрических полиномах .-Vспехи мат.наук,1956,10,вып Л,с.159-166.

17. Стечкин С.Б. 0 наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами. -Изв.АН СССР.Сер.Математика,1956,20,с.643-648.

18. Стечкин С.Б., О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара.-Тр.Мат.ин-та АН СССР,1971,109, с.26-39.

19. Теляковский С.А., Приближение дифференцируемых функций суммами Валле-Пуссена.-Докл.АН СССР,1958,1213,с.426-429.

20. Теляковский С.А., Приближение функций, дифференцируемфх в смысле Вейля,суммами Валле-Пуссена.-Докл.АН СССР,I960, 131, № 2,с.259-262.

21. Теляковский С.А., О приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье. Изв.АН СССР.Сер.Математика, I960, 24, № 2,с.213-242.

22. Теляковский С.А., О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов Фурье.I. Тр.Мат.ин-та АН СССР,1961,62,с.61-97.

23. Теляковский С.А., О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций линейными средними их рядов фурье.П.- Изв.АН СССР.Сер.Математика, 1963,27, № 2, с.253-272.

24. Теляковский С.А., Приближение дифференцируемых функций частными суммами их рядов Фурье.- Мат.заметки,1968,4, № 3, с.291-300.

25. Ефимов А.В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера.- Изв.АН СССР.Сер. Математика,1958,22, № I,c.8I-II6.

26. Ефимов А.В., 0 приближении непрерывных функций суммами Фурье. Успехи мат.наук, 1959, 14, вып.2,с.183-188.

27. Ефимов А.В., Приближение функций с заданным модулем непрерывности суммами Фурье. Изв. АН СССР.Сер.Математика, 1958, 23, $ 1,0.115-134.

28. Ефимов А.В., О приближении периодических функций суммами Валле-Щгссена .1. Изв.АН СССР.Сер.Математика,1959,23,№ 5, с.737-770.

29. Ефимов А.В., О линейных методах суммирования рядов Фурье периодических функций.-Докл.АН СССР,1960,131, № 2,с.234-237,

30. Ефимов А.В., Приближение-^непрерывных периодических функций суммами Фурье. Изв.АН СССР.Сер.Математика,I960,24,$ 2,с.243-296.

31. Ефимов А.В., О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена.П. Изв.АН СССР.Сер.Математика, I960, 24, № 3, с.431-468.

32. Ефимов А.В., Линейные методы приближений некоторых классов непрерывных периодических функций.- Тр.Мат.ин-та АН СССР,1961, 62,с.З-47.

33. Ефимов А.В., О линейных методах суммирования рядов Фурьеш-Изв.АН СССР.Сер.Математика,I960,24, $ 5,с.743-756.

34. Ефимов А.В., Линейные методы приближения непрерывных периодических функций. Мат.сб.,1961,54,$ I,с.51-90.

35. Корнейчук Н.П., 0 приближении периодических функций, удовлетворяющих условию Липшица ,суммами Бернштейна-Рогозинского.-Докл.АН СССР.1959,125,$ 2,0.258-261.

36. Корнейчук Н.П. , Об оценке приближений класса Н тригонометрическими многочленами .- В кн.: Исследование по современным проблемам конструктивной теории функций. М. ;Фитматгиз,1.6I,с.148-154.

37. Корнейчук H.П.Экстремальные задачи теории приближения.-М.:Наука,1976. 320 с.

38. Дзядык В.К.,Степанец А.И. , Асимптотические равенства для точных" верхних граней приближений функций классов Гельдера при помощи полиномов Рогозинского.-Укр.мат.журн.,1972,24,№ 4,с.476-487.

39. Степанец А.И.Приближение периодических функций суммами Рисса.-Киев,1974.- 47 с.-(Препринт/ АН УССР.Ин-т математики; № 2).

40. Степанец А.И.Приближение периодических функций классов Гельдера суммами Рисса.- Мат.заметки,1977,21, № 3,с.341-354.

41. Степанец А.И.Приближение непрерывных периодических функций многих переменных сферическими средними Рисса.- Мат. заметки,1974,15, № 5,с.821-832.

42. Степанец А.И.Приближение периодических функций полиномами Рогозинского и С.Н.Бернштейна.-Киев,1974.- 42 с.(Препринт/ АН УССР.Ин-т математики; № I).

43. Степанец А.И.Приближение непрерывных периодических функций полиномами Рогозинского.-Укр.мат.журн.,1974,26, № 4,с.496509.

44. Степанец А.И., Приближениет;непрерывных периодических функций суммами С.Н.Бернштейна.-Укр.мат.журн.,1975,27,№ 5,с.701-708.

45. Дзядык В.К.,Степанец А.И.,О последовательности нулей интегрального синуса.-В кн.:Метрич.вопр.теории функций и отображений ,Киев :Наукова .пумка, 1971, вып. 2, с .64-73.

46. Грона В.Л.,Степанец А.И., О распределении нулей специальных функций, порождаемых тригонометрическими интегралами. Препринт 48. Киев:Ин-т математики АН УССР,1982.- 53 с.- 139

47. Зигмуцц (Zigmund A.), The approximation of functions by typical means their Fourier series.-Duke Mathem.J.,1945 , 12,p.695-704.

48. Задерей П.В.,Степанец А.й.,0 приближении сопряженных функций классов Гельдера суммами Фейера. Anal.Math., 1979,5,Я 2,p.I67-178.

49. Степанец А.И., Асимптотические представления уклоненийсредних Зигмунда от дифференцируемых периодических функций.В кн.:Методы теории приближения и их приложения.Киев,йн-т математики АН УССР,1982,с.96-115.

50. Грона B.JL, Приближение периодических дифференцируемыхфункций нормальными средними Зигмунда.-Препринт 82.48.-Киев: Ин-т математики АН УССР,1982. 53 с.

51. Бохнер С. (Bochner S.). Summation of multiple Fourier series by spherical means.-Trans.Amer.Math.Soc.,1956 ,40, К 2,p.175-207.

52. Стейн И.,Вейс Г.,Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.:Мир, 1974. - 333 с.

53. Бабенко К.И.,О сходимости в среднем кратных рядов Фурьеи асимптотике ядра Дирихле сферических средних.- М.,1971.-72 с.-(Препринт/АН СССР.Йн-т прикладной математики;№ 52).

54. Ильин А.В.,Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа. -Успехи мат.наук, 1968, 23, № 2,с.61-200.

55. Алимов Ш.А.,Ильин В.А.,Никишин Е.М., Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений.-Успехи мат.наук,1976,31,№ 6,с.28-83;1977,31, № I,с.107-130.

56. Голубов Б.И.,0 приближении функций нескольких переменных сферическими средними Рисса.- Мат.заметки,1975,17,№ 2,с.181-191.

57. Ватсон Г.Н., Теория бесселевых функций. М.:Изд-во иностр.лит.,1949. Ч.1.- 798 с.61. buke Y.L., Integrals of Bessel functions. ff.-Y.,1962.

58. Грона В.Л.,0 монотонности функций Ломмеля. Препринт 34.-Киев:Ин-т математики АН УССР,1983.- 55 с.

59. Грона В.Л., Приближение непрерывных функций многих переменных сферическими средними Рисса.- Доклады АН УССР. Сер. А, №4, с. 3-4.

60. Прудников А.П.,Брычков Ю.А.,Маричев О.И., Интегралы и ряды.- М.:Наука, 1981.

61. Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений.- М.: Физмат.,1958. 468 с.