Исследование по проблеме обобщенного и неполного разделения переменных в нелинейных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.957

Жарова Наталия Валентиновна

ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ПРОБЛЕМЕ ОБОБЩЕННОГО И НЕПОЛНОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математическт

QD3458173

Москва 2008

И- Maf-

003458173

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Эмиль Ренольдович Розендорн.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Валентин Федорович Зайцев, Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена;

доктор физико-математических наук, профессор Дмитрий Дмитриевич Соколов, МГУ имени М.В. Ломоносова.

Ведущая организация: Институт математического моделирования

РАН

Защита состоится 26 декабря 2008 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 ноября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.501.001.85 при МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор

И.Н. Сергеев

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Математическое описание многих физических процессов приводит к уравнениям с частными производными, одним из основных методов поиска точных решений которых является метод Фурье разделения переменных, когда после подстановки специального вида решения и(х)+v(y) или u(x)v(y) получается уравнение, левая часть которого не зависит от х, а правая — от у. Будучи равными между собой, обе части уравнения не зависят ни от х, ни от у, и, следовательно, равны некоторой произвольной постоянной; поэтому мы приходим к дифференциальным уравнениям на функции одного переменного. Если же после подстановки специального вида решения правая часть равна 0, а левая часть является суммой произведений функций одного переменного, содержащей более двух слагаемых, то применение леммы Фурье невозможно. В этом случае мы будем говорить об обобщенном разделении переменных.

В данной работе использован метод обобщенного разделения переменных, основанный на лемме Э.Р. Розендорна1:

Лемма. Пусть а = {a¡(xi),... ,an(xi)}_ - система п функций, заданных на промежутке 1\ числовой оси ОХ, /3 — {í3i(x2),... система п функций, заданных на промежутке 12 числовой оси OY. Пусть, кроме того,

ai(xi)Pi{x2) + - • • + a„(xi)0n(x2) = 0 на Ix х I2, (1)

тогда rank а + rank/3 < п.

Если при этом {ai,..., ар} максимальная линейная независимая подсистема в а, причем

р

Qíp+k = У^dkiai, k=í,q, q = n-p, i=1

то функции /3i,...,Pp линейно выражаются через /Зр+ь...,/Зп, а именно

я

Pi = - d*>A>+b ¿ = k=\

Ранее уравнение вида (1) было рассмотрено в работах М.Х. Мартина2,3. Однако в них применялся несколько иной, геометрический подход для поиска

1Розендорн Э.Р. Некоторые классы частных решений уравнения zxxzyy — + a grad z — 0 и их приложение к задачам метеорологии. // Вестник МГУ. Мат., мех., 1984, № 2, С. 56-58.

2 Martin MM. A Generalization of the method of separation of variables //J. Rational Mech. and Analysis, 2, № 2, 1953, P. 315-327.

3 Maritn М.Я. The fundamental solution of Лф + e(y)i/>y = 0 // Duke Mathematical Journal, 18, 1951, P. 845-858.

решений с разделяющимися переменными. Продолжением работ М.Х. Мартина являются работы П.И. Каленюка4.

Те или иные виды частных решений и уравнений, допускающих разделение переменных, рассматривались многими авторами.

С.С. Титовым5 сформулирован метод "конечных колец", и для ряда уравнений получены решения, не являющиеся многочленами ни по одной из переменных. В качестве примеров найдены новые точные решения преобразованного уравнения минимальных поверхностей и уравнения Трикоми.

В.А. Галактионвым и С.А. Посашковым6 предложен способ построения решений вида v(t, х) = <p(t)[ip(t)+0(x)} квазилинейных параболических уравнений нелинейной теплопроводности с источником.

Позднее авторами7,8 был представлен более общий подход к поиску решений для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными вида Тр(v) = Xq(v), где Т^и) — многочлен степени р от функции v(x, t) и ее производных по t, a X4(v) — многочлен степени q от функции v

к

и ее производных по х. Решения искались в виде v(x, t) = f,(x)ai(t), где

_ <=i

fi(x),ai(t), i = l,k, — гладкие функции, подлежащие определению.

В работах А.Д. Полянина, В.Ф. Зайцева, А.И. Журова9,10,11,12 рассмотрено много нелинейных уравнений математической физики разных типов (в том числе и уравнений, зависящих от произвольных функций), которые допускают решения с обобщенным разделением переменных.

Уравнения с разделяющимися переменными возникают, в частности, в метеорологии при построении моделей тропических циклонов, если принять некоторые дополнительные допущения. Описание движения циклонов, скоростей ветра внутри циклона, а также температуры, давления, влажности в зоне циклона всегда являлось важной задачей с точки зрения уменьшения

4Каленюк П.И. Обобщение метода разделения переменных. // Укр. матем. журнал, 1974, Т. 26, № 5, С. 652-657.

8 Титов С.С. О представлении решений линейных уравнений с частными производными в виде конечных сумм. // Матем. заметки, 1976, Т. 20, № 3, С. 359-363.

6Галактионов В.А., Посашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями. // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1989, Т. 29, № 4, С. 497-506.

7Galaktioncv V.A. Invariant subspaces and new explicit solutions to évolution équations with quadratic nonlinearities. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 1995, V. 125, № 2, P. 225-246.

8Галактионов B.A., Посашков С.A., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями. // Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, № 2, С. 253-261.

9Полянин А.Д., Журов А.И. Точные решения нелинейных уравнений механики и математической физики. // Докл. РАН. 1998, Т. 360, Х> 5, С. 640-644.

10Полянин А.Д., Журов А.И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике. // Докл. РАН. 2002, Т. 382, № 5, С. 606-611.

11 Зайцев В.Ф,, Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения.- М.: Междунар. программа образования, 1996, 496 с.

12Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точ-

ные решения.- М.: Физматлит, 2000, 432 с.

вредоносного действия циклонов и предотвращения разрушений и человеческих жертв. При этом ряд исследований направлен на численное решение возникающих систем уравнений, другие же авторы идут по пути поиска таких условий на данные задачи, чтобы удалось найти либо сразу точное решение полученной системы, либо получать точное выражение на каждом шаге некоторого итерационного процесса. Ко второму направлению относяся par боты В.В. Шулейкина13, А.П. Хаина и Е.А. Агренича14, Э.Р. Розендорна и В.Н. Сидякиной15, X.J1. Куо16, H.A. Слезкина17. В последней работе строится решение с разделенными переменными.

Кроме обобщенного разделения переменных, А.Д. Поляниным18,19 применяется метод неполного разделения переменных, то есть решения ищутся в

п п

виде w(xi,. ..,xn,t) = J2wk(xkit) или w(xh... ,xn,t) = П wk(xk,t) с раз-

к=1 Jt=l

деленными простанственными переменными xi,... ,х„, но без выделенного в

отдельное слагаемое или множитель члена, зависящего от времени t.

Цель работы. Цель диссертации исследовать методы неполного и обобщенного разделения переменных; найти новые классы уравнений, допускающих применение этих методов, а также найти решения конкретных систем уравнений, возникающих в приложениях.

Методы исследований. В диссертации использованы современные методы теории уравнений с частными производными.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. найдены решения с разделенными переменными для некоторого класса нелинейных систем уравнений;

2. для одной модели тропического циклона найдены выражения для скоростей движения воздушных масс, согласующиеся с реально наблюдаемыми явлениями;

3. для некоторых классов уравнений показано, что влияние на результат неполного разделения переменных произвольных функций переменно-

иШулейкин В.В. Расчет развития, движения и затухания тропических ураганов и главных волн, создаваемых ураганами.- JI: Гидрометеоиздат, 1978, 96 с.

™Хаин А.П., Агренин Е.А. О способах расчета угла поворота ветра в пограничном слое тропического циклона. // Труды ГМЦ СССР, 1981, вьга. 224, С. 64-70.

иРозендорн Э.Р., Сидятма В.Н. К вопросу о вычисления радиальной составляющей скорости ветра в модели тропического циклона. // Труды ГМЦ СССР, 1979, вып. 190, С. 111-119.

16 Куо X.JI. Динамика конвективных вихрей и образование галаза. В кн.: Атмосфера и океан в движении.- М., Изд-во иностр. лит-ры, 1963, С. 237-251.

*7Слезкин H.A. Гидродинамическая модель тайфуна с учетом вращения Земли. // Изв. АН СССР, Физика атм. и океана. 1990, Т. 26, № 5, С. 493-501.

18Поля»ик А.Д. Преобразованные и точные решения уравнений пограничного слоя, содержащие произвольные функции. // Докл. РАН. 2001, Т. 379, № 3, С. 334-339.

19Полянин А.Д. Неполное разделение переменных в нестационарных задачах механики и математической физики. // Докл. РАН. 2000, Т. 375, X' 4, С. 476-180.

го t, возникающих в методе А.Д. Полянина, определяется решением вспомогательного дифференциального уравнения; для тех же классов сформулированы и доказаны достаточные условия существования решений с неполным разделением переменных.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит как теоретический, так и практический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при поиске точных решений нелинейных систем уравнений, возникающих в приложениях. Полученные таким образом решения имеют значительную ценность, поскольку они получены без использования численных методов; по ним легче проследить зависимость от тех или иных параметров задачи; их можно использоваться для проверки работоспособности численных моделей, а также для построения начальных приближений в численных методах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах

"Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений" под рук-вом проф. A.C. Шамаева, проф. Т.А. Шапошниковой, проф. В.В. Жико-ва механико-математического ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003;

на межфакультетском семинаре "Математические вопросы динамики атмосферы и гидросферы" под рук-вом проф. A.B. Кислова, доц. Э.Р. Розен-дорна в МГУ им. М.В.Ломоносова, 2003-2006 (неоднократно);

на семинаре Научно-Исследовательского Вычислительного Центра МГУ под рук-вом проф. Д.Д. Соколова, 2008;

а также на Шестом Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике, г. Сочи - Дагомыс, 2005 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в трех работах, одна из них в журнале из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 46 наименований. Общий объем диссертации составляет 96 страниц.

Краткое содержание диссертации.

Во введении содержится обзор исследований по тематике настоящей диссертации, приводятся формулировки лемм и методов, непосредственно связанных с темой диссертации.

Первая глава состоит из 7 параграфов и посвящена методу обобщенного разделения переменных.

В §1.1 обсуждаются леммы Э.Р. Розендора и М.Х. Мартина. Обе леммы дают необходимые и достаточные условия, которые требуется наложить на

п

функции Qi(a;),... ,ßn{y), чтобы выполнялось равенство ^ am(x)ßm(y)= 0.

m= 1

В этом смысле леммы равносильны, и, следовательно, между условиями на функции а\{х),... ,0п{у) из обеих лемм должна существовать алгебраическая взаимосвязь. В § 1.1 эта взаимосвязь получена.

В §§ 1.2 и 1.3 описаны классы линейных уравнений и уравнений со степенными нелинейностями, допускающих применение метода обобщенного разделения переменных. В §1.4 выделяются некоторые классы нелинейных уравнений с частными производными и тех их решений, которые допускают представление в виде (1). А именно,-положим

г

Р?(<Ри ...,¥>.)=£аМЦщ) •... • ЯЫ, (2)

*= 1

где € ЛУ, /£,г = 1,5, — непрерывные функции одного аргумента; а^, Ь^ — непрерывные функции переменных £1,0:2 соответственно.

С помощью функции зададим нелинейное уравнение с частными производными:

■Т/дтг дтг дх дг

Рассмотрим дополнительные условия на функции }1к в (2).

(А) Для Чк 6 {1,..., Г} существует число щ 6 N и {0} и набор непрерывных функций /4'*^, » = 1 ,пк, 3 = 1,2, такие что для любых чисел ух,у2, принадлежащих областям определения функций /г^'1' и соответственно, число ух + У'2 принадлежит области определения и

>=0

(Б) Для Ук € {1,..., Т} существует число пц € IV и {0} и набор непрерывных функций Ь^'р, г — I, Пк,и j = 1,2, такие что для любых чисел ух, уг, принадлежащих областям определения функций и соответственно, число у\ ■ У2 принадлежит области определения /[, и

Пк,1 г'=0

Теперь введем 3 класса нелинейных уравнений и соответствующие им частные решения.

I. Уравнение (2),(3) при условии I, • • •, = 0; решение вида

г(хх,х2) = и(хх) + у(х2У, (4)

I. Уравнение (2),(3) при условии (А); решение вида (4);

Ш. Уравнение (2),(3) при условии (Б); решение вида

г(х1,х2) = и(х!)у(х2)- (5)

Теорема 1.1. В случаях 1-Ш уравнения, полученные после подстановки соответствующих специальных видов решений, допускают представления в виде (1).

В качестве примера применения метода обобщенного разделения переменных и теоремы 1.1 найдены все решения уравнения

д2г ( дг V (дг V дг дг .

а————вшг,

д2г /дгУ /дг\ дх]2 \дх2] \dxij

дх12\дх2у \dxij дх22 дх\ дх2

представимые в виде (4).

В §§ 1.5,1.6 найдены некоторые классы уравнений, заведомо не имеющих решений в виде суммы или произведения функций одного переменного, не смотря на то, что после подстановки специального вида решения они приводятся к виду (1). В этих параграфах рассматриваются уравнения вида

Т д^г дтг дг_ дг_

° {дхГ дх?~1дх2" "'дх1' дх2'2) ~ (6)

Теорема 1.2. Пусть в (2) функции /¿(у) = АквВкУ при к ф Т, и

Ак,Вк € М, а функция + у2) = ^^Чу^^Ну*)) пРичем компо-

•=о

ненты ..., ^ = 1,2, — линейно независимы. Тогда, если

Т < пт+1, то уравнение (6) не имеет решений вида (4) при и'{хх) ф О,

А**) ф 0.

Теорема 1.3. Пусть в (2) функции = А^уВк-1 при (1,к) ф

и Ак>1,Вц б М, а функция ^(ут) = ^'^(уО^г'Р^), причем компо-

<=о

ненты .., ] = 1,2 - линейно независимы. Тогда, если

Т < пт,8 +1, то уравнение (6) не имеет решений вида (5) прии'( а^) Ф 0, у'{х2) ф 0.

Применение леммы Э.Р. Розендорна приводит к необходимости рассматривать системы функций одного переменного и находить их базисные подсистемы. Ситуации, когда по виду систем функций можно определить, какие из их подсистем не могут являться базисными, сокращают перебор возможных вариантов. В § 1.7 рассмотрены системы специального вида и указаны такие их подсистемы, которые заведомо не являются базисными.

Во второй главе для некоторого класса систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными функциями сформулированы необходимые и достаточные условия на известные (заданные) функции, при выполнении которых

существуют решения системы в виде произведения функций с разделенными переменными. Для этого класса найдены все такие решения.

Подробнее, пусть ?]ц(у) ~ фиксированные элементы линейных пространств функций Ь{1\), Ь(12), где 7],/2 — открытые множества в линейных пространствах размерности а и г соответственно; х, у — независимые аргументы, х = (хи..., ха) 6 Д, у - (уи ■ ■ ■, Ут) € 12\

и\{х,у),Ьг{х,у) — искомые функции на множестве X 12, то есть принадлежащие линейному пространству Ь{1\ х /г);

С ¡(Иг, и2), г = 1,2 — операторы, действующие из Ь{1у х 12) х Ь{1Х х 12) в Щг х /2).

Рассмотрим систему уравнений:

' (Ы^)т1(у) + Ых)т2(у))и1(х,у) + о1(и1(х,у);и2{х,у)) = < =6з(а;)г?1з(у)+^и(а;)»г14(г/), /7ч

„ = 6з(ж)??2з(у) + б4(я)%4Ы-

Пусть Л,- = {Лу, /Ху, г = 1,2, .7 = 1,3} — некоторые постоянные; С« 6 г = 1,4 (7 = или I = /г). Положим

A(3)(Ci,C2,Ai) = det

A(2)(Ci.,C2,A,)-det

AiiCx + WiCs о О A»2Ci + Д»2<2 -1 о Ai3Ci + №3<2 о -1

Ci Ai3

С2 М.З

Кроме того, пусть Д] (Сь С2, Сз, Л;), 2 = 1,3, получается из подстановкой столбца (£3, 0,0)т вместо столбца с номером

А®(СьС2,Сз,С4,Л<), = 172, получается из Д(2)(Сь<2,Л;) подстановкой столбца (АдСз + А^гС41 МаСз + вместо столбца с номером 3-

Предположим, что для операторов (7; существуют такие операторы что для функций вида

Ufay) = А1(х)В1(у), U2(x,y) = А2(х)В2(у), где Ai, В{ ф 0, выполняются тождества

Gi(UuU2) = Fa(Au А2) ■ Ft2(Bu B2), i = 1,2.

(8)

(9)

В диссертации сформулированы условия А), Б), В), Г), участвующие в формулировках теорем 2.1-2.2:

А)

е.. _ е

?14 — д(з)гс,,_Л,_Л,1 > ^24

Д<3>К1Ь«12,Л1)" 11V A(')(iu,iu>Ai) '

' A(3»(i21,i22,A2) ' А<3)(6ьб2,Л2) J

A(3'(fn,ii2,Ai) '

Р п( ЬлЧу\иЪ2,У13,УиЛ\)

■22

и___

V, д(2) (>711.>712,^1 С ДрЧдп.^а^зЛи.АО V А(2)(,111^12,Л1) >

д<3»(ел,ь,л2) )

&.{?\уг1,Ч22,У23,У2*М)\

~ АЩъьЪзАг) )

Д^^п ,У12,УП,УыМ)

Д «ЧуиЛиАг) ' А?21 ,У2з,гы ,А2)

Д(2)('?21,1722,Л2) '

Б)

_ А^впАа.Ьз.АО

ГП V Д( 4in.fi2.Ai) '

р12{1 МЩугиУпЛг) ^ А (т71 г ,771а .>71 з ,т4 .Д1)

'д<!4_

^ д ЩЫАпЛЛ

22 I

„ . _ А23)('?21,>)22,'йз.Аг) 7/24 ~ ДЙЫ.ЧиЛ!)

»^23 »^24 Л2.

Д(2>(?21,б2,Л2)

Д(2»«21,б2,Л2) ) Д(3)(Ча1Ли.Аг) )

д ?Чпп

.ТТаа.Т^З.Аг) |

Д(3)('»Ь'г22,Л2) /

Д(3)(Ч"Л12,Л0

Д№(«И,«12,А1) '

А^Сбьба&з.См.АО

Д(2)(е21,«22,А2) '

¿^Нпи,Пи,Ун,Ун,Л.1)

Д<2)(Ш1Л12,А1) '

1,У22,Ч23,Лг)

Д(3Ч'721№2,Л2) >

В)

_ А£%1.>Й2ЛИ,А1) 7714 ~ Д№(Т11Ли,А1) '

ги V Д<2Чб1^12,А1) '

Д^Ки.Ь.АО ' ^Д^нДц.'Пз.ЛО

, Д^ЧчпЛиЛО р ( ^ (уп,Уп,У\гЛ\

^2Ч Ы-ЧчиММ)

¿24

Д(3)(£21,«22,А2)

Д<»)«з1,{и,А,) , Ар'СбьЬг.бзЛаУ Д<3)(Са1.СзаЛа) у

Д(2)(Ч21№2,А2) ) др' (Ч21 .Тйа.^з №4 ,А2Л

Д(2)(т/21,'723,А2) У

д^2) АО

Д(2Ч?11,«12,А0 '

Д(33)(61,62,63,А!!)

Д<3Ч«21,&2,Л2) '

Д(>)(Ч11.Чи.А0 ' Да'1 (*?21 ,У22 ,Уа ,Уи Л-1) Д'а'(Ча1|Ч22,А2)

Г)

7714 _ ^Чуп,УПМ) ' Д(2)(СпАа.А0 '

■21 \

■ 12 I

221

V Д(3>(^и,т2,Л1)

Д^ЧчиДтЛО

7724 ~ Д<ЧСвьЧа,Л2)

Д(3>««.{и.Аа) У Ap4fa.fo.fo3 ¿и АаЛ Д<2Ч&1,«я.Ла)У ДрНугьУаа.^зЛг)^ Д'^(»й1|»йа>А») /

Д(3)(Ч21>ЧяЛ2)

Д(2)(«21,«22,А2) 1

_ Дз3)(<;11.таД13.А0

Д(»>(Ч11.1йа,Л0 ' {Ч1\,Ут,У2зЛг) Д(3)('?21|'Й2.Л2)

д!31

Теорема 2.1. Пусть тождества (9) выполнены, тогда система уравнений (7) имеет решения в виде (8) при выполнении любой из четырех групп условий А,..,Г. При этом:

в случае А

в случае Б

Т]!„ _ А' '(&1,6г,6з,А2)

тт,(х -

иПх>У)- лт(ы,ЫЛ1)

Д(2)({;

Д<3'(Си..-. -

ТТ „Л _ А'2>(6Ь62,?23,64,А2)

иг(х,У)~ д(2 )(?21,Ь,Л2)

Ар1 (уи .412,7713 Д14,А1)

2Д(2)(»7П,')12,Л0 '

Д<г)(т;21,7)22,Л2) '

А!2)('711.';12,7713,'714,А0 Д(з2)('71Ь'712,ЛО '

Д(3>(Ч21.Ча2,Аа) '

в случае В Ul(x, у) = ^ЙУ0 " в случае Г U&,у) = •

ТТ if — AS3)fai,422,^3,Л»)

и2(Х,у) — д(Ч(См>&аЛа) ^(пи.Чи.Л,) •

Теорема 2.2. Пусть тождества (9) выполнены и пусть заданные функции £ij,r]ij таковы, что системы

{61:62}, {*7И;»712>» {61:62} и {772157722}

линейно независимы.

Если ни одна из четырех групп условий А-Г не имеет место, то система уравнений (7) не имеет решений в виде (8).

В этой же главе обсуждается стационарная осесимметричная модель тропического циклона. Приняты допущения относительно физических величин, задействованных в модели, при которых система, описывающая движение воздушных масс внутри циклона, приводится к классу из теоремы 2.1. При принятых допущениях найдены явные выражения для скоростей, зависящие от ряда произвольных констант и функций, которые предполагается выбирать в соответствии с реальными физическими условиями.

Более подробно, введем обозначения: (г, а, сг, t) — цилиндрические а-координаты; а = p(r, z) — давление воздуха; р* — приземное давление; г = h(r, <т) — функция, обратная к а = a(r, z).

В этих координатах {г;г, va, а} — компоненты скорости ветра iJ. В модели использованы уравнения (а) неразрывности, (б) состояния влажного воздуха р = ЯрТв, где Тв — так называемая виртуальная температура (при нулевой влажности Тв = Т — температуре по шкале Кельвина), р = const — плотность, (в) движения сплошной среды в гидростатическом приближении с учетом стационарности и осесимметричности:

vr{vr)'r + a(vrya - ivl - lva + ДТв(1пр*)£. + gh'r = Nr, yr(va)r + ¿(.Va)'a + \vrva + lvr = Na.

Обозначим c(r, a) — градиентный ветер; в цилиндрических сг-координатах он описывается уравнением: с 4- -^гс2 = j(gh'r+ RTB(\np*)'r). Пусть функции TB(r, a), h(r, а), р*(г) таковы, что градиентный ветер представим в виде произведения функций одного переменного: с(г,а) = с*(г)с(а).

Введем малый параметр е, по степеням которого разложим компоненты скорости v, предполагая, что они представимы в виде произведения функций одного аргумента:

Vr = eRi(r)Zi(cr), va = с*(г)с(<т) + eR2(r)Z2(a), а = eRz{r)Zz{a).

Кроме того, примем предположение относительно вида вязкости:

^г = e(£i(rM<r) + 6(rM<7)), JVa = е(е3(г)»й(<т) + Шт{<*))-Тогда при выполнении условий:

£з = -^^(А4l Г - /х4(гс')')ехр(-/?2 / ,

Га

^ = - Мз(гс'У)ехр(-/32/^),

щ = (Л4с + /ч)(А3с + - - Dj2)(A3c + jT da,

l

где А, В, A», /if, 7;, Dj, Pufa — постоянные, существует решение уравнений модели:

^lfa) = %(Азс + - 7зс'(Азс + Мз)-^-1 f Щ da,

1

= Ж") = &

д,(г) = ехр

^з(ст) = -(Азс + ^з) Лз /ЧЗ<*СГ.

1

В диссертации приведены результаты численного эксперимента, который показал, что в обсуждаемой модели в нижней части циклона имеет место втекание воздуха и вращение против часовой стрелки; а в верхней части — растекание воздуха и вращение по часовой стрелке. Кроме того, вблизи глаза циклона имеет место восходящее движение воздушных масс, а на внешней границе — нисходящее. Именно так наблюдается в реальных циклонах северного полушария.

В третьей главе речь идет о неполном разделении переменных, то есть решение разделяется по пространственным переменным xi,..., хп, но не разделяется по времени t. В диссертации обобщаются классы уравнений, описанные А.Д. Поляниным, которые допускают решения с неполным разделением переменных. Для ряда случаев показано, что влияние на результат неполного разделения переменных произвольных функций переменного t, возникающих в методе А.Д. Полянина, определяется решением вспомогательного дифференциального уравнения.

А именно, обозначим D(t; J^) следующий дифференциальный оператор: где ai(t),..., an(t) — некоторые непрерывные функции одного аргумента t,

On(t) ф 0.

В диссертации рассмотрены два класса нелинейных уравнений:

^ bw +1 * («ь ^■ ■■ ■■' + Л М-0, (10)

Я " / 1 Я»! 1 Ят7/Л

aft а* + - £ я -g,..., + /А -) - о, (11)

где 72 > 2, w = w(xi, ...,хп, t), fi = fi(t,w),i = 1,2, — непрерывные функции, и доказаны сформулированные ниже теоремы 3.1-3.4.

Теорема 3.1. Пусть уравнение (10) допускает решение в виде суммы

п

w(xi,-..,xn,t) = ^2wk(xk,t) (12)

k-1

при ф 0, тогда

/1(t,iD) = o(t)ii; + b(t)> (13)

где a(t) и b(t) — функции одного аргумента t.

Теорема 3.2. Пусть fi задается формулой (13), где a(t),b(t) — некоторые непрерывные функции переменного t; тогда выражение

п к=1

задает общее решение уравнения (10),(13) с неполным разделением переменных вида (12). Здесь vfk = Wk(xk,t) удовлетворяют уравнениям с одной пространственной переменной:

( диГк дтиГк\ , Л D{f, -К + a(t)wk = О,

а функция <&(t) — дифференциальному уравнению

а„(*)фМ(*) + • • • + ai(i)tf(i) + а(«)Ф(«) + b(t) = 0.

Теорема 3.3. Пусть уравнение (11) допускает решение в виде произведения

п

w(xi,..., хп, t) = ^[\_wk{xk,t) (14)

k=i

при ф 0, тогда fa{t,w) = a(t)u> 1пш + b(t)w, где a(t) и b(t) — функции одного аргумента t.

Теорема 3.4. Общее решение с неполным разделением переменных вида (Ц) уравнения

д™ V- * / , 1 dw 1 дт™\ , и\ 1 , ии\ ж + " S ^ t, - .....J + a(t)« In « + ВДш = О

задается выражением

t * 1 /-А- \ f /o(i)di . -Ja(r)dT\

w(x,t)=mwk(xbt))exp{(- Ь{т) e* dr+C) ■ e * J, k~ 1 i

где С — произвольная постоянная, А, В € М, Щс = Wk{xk,t) удовлетворяют уравнениям с одной пространственной переменной:

дщ _ /1 диГк 1 dmuik\ , ~ —xk,t,—+a(t)wklnwk = 0. от \ wk dxk wk ox™ J

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Эмилю Ренольдовичу Розендорну за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку.

Публикации автора по теме диссертации.

[1]. "О неполном разделении переменных для некоторых классов уравнений с частными производными". // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2003, № 6, С. 42-46.

[2]. Обобщенное и неполное разделение переменных в некоторых классах уравнений с частными производными". // Деп. в ВИНИТИ 30.04.2003, № 846-В2003, 46 с.

[3]. "Частное решение системы уравнений для одной модели тропического циклона". // ОПиПМ, 2005, Т. 12, Вып. 4, С. 955-956.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова

Подписано в печать , 1{. 02> Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. / О Тираж /00 экз. Заказ¿"¿Г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение.

Глава 1. Некоторые классы уравнении, допускающих обобщенное

разделение переменных.

§1.1 Анализ методов, основанных на леммах Э.Р. Розендорна и

М.Х. Мартина.

§1.2 Линейные уравнения с частными производными.

§1.3 Уравнения с частными производными со степенными нелинейностями

§1.4 Нелинейные уравнения более общего вида; достаточные условия применимости основной леммы.

§1.5 Некоторые классы уравнений, не имеющих решений в виде суммы функций одного аргумента.

§1.6 Некоторые классы уравнений, не имеющие решений в виде произведения функций одного аргумента.

§1.7 Системы трех функций и их подсистемы, не являющиеся базисными.

§1.8 Выводы по главе 1.

Глава 2. Разделение переменных в одном классе нелинейных систем и его применение к задачам метеорологии.

§2.1 Постановка вопроса.

§2.2 Формулировка результата.

§2.3 Замечания о тропических циклонах.

§2.4 Применение результата.

§2.5 Граничные условия.

§2.6 Анализ результатов численного эксперимента.

§2.7 Выводы по главе 2.

Глава 3. Неполное разделение переменных.

§3.1 Описание метода.

§3.2 Решения в виде суммы функций с неполным разделением переменных

§3.3 Решения в виде произведения функций с неполным разделением переменных.

§3.4 Выводы по главе 3.

Математическое описание многих физических процессов приводит к уравнениям с частными производными, одним из основных методов поиска точных решений которых является метод Фурье разделения переменных, когда после подстановки специального вида решения и(х) + v(y) или u(x)v(y) получается уравнение, левая часть которого не зависит от х, а правая — от у. Будучи равными между собой, обе части уравнения не зависят ни от х, ни от у, и, следовательно, равны некоторой постоянной; поэтому мы приходим к дифференциальным уравнениям на функции одного переменного. Если же после подстановки специального вида решения правая часть равна 0, а левая часть является суммой произведений функций одного переменного, содержащей более двух слагаемых, то применение леммы Фурье невозможно. В этом случае мы будем говорить об обобщенном разделении переменных.

В диссертации использован метод обобщенного разделения переменных, основанный на лемме Э.Р. Розендорна [21], которая в дальнейшем будет часто упоминаться как "основная лемма".

Лемма [21]. Пусть а = {cti(xi),., «„(zi)} - система п функций, заданных на промежутке 1\ числовой оси ОХ, (3 = {(З^х^), • • •, Pnfa)} система п функций, заданных на промежутке h числовой оси OY. Пусть, кроме того, ai(xi)(3i{x2) + . + an{xi)(3n{x2) = 0 на h х /2, (0.1) тогда rank а + rank /3 < п.

Если при этом {а\,., ар} максимальная линейная независимая подсистема в а, причем р atp+k = dkiCXi' = Я = п~р, г=1 то функции (3{,. ,/Зр линейно выражаются через {Зр+1,. ,/Зп, а именно я

А = - i = k=1

Иногда эту лемму нетрудно применять непосредственно; особенно когда речь идет о поиске решения специального вида.

Пример 0.1. Пусть а и 6 - постоянные, причем а ф 0. Выясним при каких значениях b уравнение

62zd2z 1 , . имеет решения вида г = и(х) 4- v(y) и найдем эти решения.

Решение: подставим z = и(х) 4- v(y) в уравнение (0.2) и для того чтобы воспользоваться основной леммой, выпишем полученные системы функций. u"(x)v"(y) - ах - by = 0 (0.3) а = {и", ах, 1 }

0 = {v",-l ,-Ъу}

По условию а ф 0, следовательно, функции 1 и ах - линейно независимы, и rank а > 2. Если b ф 0, то аналогично получаем, что rank/З > 2, и, следовательно, rank а + rank f3 > 4, что противоречит основной лемме, которая утверждает, что rank а + rank /3 < 3.

Таким образом, единственно возможный вариант: Ъ = 0. Тогда уравнение (0.3) принимает вид u"(x)v"(y) = ах и может быть решено методом Фурье разделения переменных. J х = Л> «/»"(*)

X v"(y) а & Л'

Г и(х) = + Cix + Сз, \ *>(*/) =txy2 + C2y + C,.

Ответ: z{x,y) = + fxy2 + Слх+С2у + С, Л, Съ С2, С = const,, А ^ 0. В других случаях при применении основной леммы требуется перебор возможных вариантов выбора базисных подсистем, трудоемкость которого зависит от числа слагаемых.

В работе [21] лемма применялась для нахождения некоторых классов частных решений уравнения Монжа-Ампера переменного типа

ZxxZyy ~ {zxyf + aV* = 0, (0.4) где а - заданный постоянный ненулевой вектор, Vz — градиент искомого решения z = z(x, у). Решения искались в виде произведения функций одного переменного z = X(x)Y(y). (0.5)

Было доказано [21,44], что если решение z е С2 уравнения (0.4) имеет вид (0.5) и не сводится к функции одного аргумента, то оно выражается формулой ^ z = ¥~c ^х ~ с("у ~ + z° при С = | х2 Ук{у), где Yk — любая из функций

У\ = У, У2 = tg у, У3 = th у, У4 = cthy, У5 = - ctg у, а посредством xq, уо, zq, ь, с обозначены произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям b Ф 0, с ф 0.

Как было отмечено в [21], лемма Э.Р. Розендорна справедлива в линейном пространстве функций, заданных на множестве вида I\ х /2, где 1о — открытые множества в топологических пространствах; х: у — независимые аргументы, х £ Д, у € /2.

Ранее уравнение с разделяющимися переменными вида (0.1) было рассмотрено в работах Мартина [38,39]. Однако в них применялся несколько иной, геометрический подход для поиска решений с разделяющимися переменными.

Определение (М.Н. Martin [39]).

Две точки и и v называются ортогональными, если их координаты um, vm п удовлетворяют линейному соотношению umvm = 0. m= 1

Два множества М, N ортогональны, если любые две точки u,v такие что u G М, v е N — ортогональны.

Лемма ( Martin М.Н. [38, 39])

Для того чтобы для функций #](&■),., otn(x), (3i(y),. ,0п(у) выполнять лось равенство ]Г] ат(х)Зт(у) — 0 необходимо и достаточно, чтобы крит= 1 вые М : ит = ат(х), N : vm — /Зт{у) принадлежали линейным подпространствам п

Sp ' Ьктитп — 0, к = 1,

777 = 1

П

Tq : £ ClimVm = 0, г = р + q = п,

7тг=1 ортогональным в начале координат.

Пусть ранги матриц А = (aim)i=Tj,m=Tji> в = (bkm)k=T7q,m=TJi равны р и q соответственно. Линейные подпространства Зр и Tq ортогональны в на,чале координат, тогда и только тогда, когда

-- = const,

В к !.kq где Аи минор размерности р , образовашшй столбцами i\,., ip матрицы A; — минор размерности q , образованный столбцами к\,.,кч матрицы В; и индексы ц,. ,гр, к\,., kq образуют четную перестановку чисел 1,., п.

Поскольку леммы Э.Р. Розендорна и М.Х. Мартина приводят к равносильным условиям на функции ах(ж),. ,/Зп(у), то между этими условиями должна существовать алгебраическая взаимосвязь. В диссертации показано как из условий на неизвестные и на заданные функции исходного уравнения, возникающих при применении одной из лемм, получить условия другой леммы; и наоборот.

В [38] лемма Мартина применена к уравнению

А-ф + е(у)фу = 0, (0.6) где е(у) — некоторая аналитическая функция переменного у. После замены координат в уравнении (0.6) = + (у - Ь)2)2, у = у найдены решения вида ф = X(£)Y(y) для некоторых специальных классов е(у).

В [39] лемма Мартина использована для поиска частных решений уравнения Лапласа ихх 4- иуу = 0, (0.7) представимых в виде и = и(Х(х) -f У (у))- Причем найдены все действительные решения указанного вида. Кроме того, в качестве примера, найдено комплексное решение вида (0.7), такое что после выделения его действительной и мнимой частей получаются два действительных решения, уже не принадлежащих к искомому классу.

В [8] результаты [39] применены к задаче разделения переменных для уравнений Lu(x,y) + R(x,y) — 0, где R — известная "разделяющаяся" вектор функция, то есть функция, компоненты которой представимы в виде суммы произведений функций одного переменного; L — разделяющий оператор, определенный на некотором множестве вектор-функций от двух переменных. Оператор назван разделяющим, если существуют совокупности операторов Щк х и ^Ly (hj>s>k ~ некоторые натуральные числа) таких, что действуют только по переменной х. a L'Jk только по переменной у, и для всех вектор-функций вида i i у) = Хц(х)Уц(у), • • •, Xni(z)Yni(y)), i=l i= 1 на которых определен оператор L,

П Щк I. п П1пк !■

Lu = (£ Е Е • ■ ■ ■ Е Е Е vL^mW^. fc^l i=l j-1 fc=l г=1

Кроме того, рассмотрено обобщение этой задачи на случай тензорного произведения двух сепарабсльных гильбертовых прстанств, и приведена теорема, обосновывающая использованный метод.

Ниже речь пойдет о действительных функциях действительного аргуменп та и о точных решениях вида 2(ж, у) = щ(я)щ(у)■ Ранее такой вид частных г=1 решений уже использовался рядом авторов (см. [3,4.15,16,26-28, 36]).

В работе [26] рассмотрен вопрос о представимости решений линейных уравнений с частными производными с двумя независимыми переменными в виде "конечных сумм"; получено достаточное условие такой представимости и указаны некоторые классы уравнений, к которым оно применимо. В качестве примеров найдены новые точные решеиия преобразованного уравнения минимальных поверхностей и уравнения Трикоми. В [27] сформулирован метод "конечных колец", и для ряда уравнений получены решения, не являющиеся многочленами ни по одной из переменных. В [28] для уравнений математической физики с особенностями изложены методы построения оо решений в виде специальных степенных рядов u(x,t) = Qmn{t)Smn(x), т,п—О дана строгая постанока задачи о рекурентности вычисления коэффициентов, доказаны нетривиальные теоремы о сходимости этих рядов.

В работе [3] предложен способ построения точных решений вида v(t,x) = ip(t)[<ip(t) + e(x)} (0.8) квазилинейных параболических уравнений нелинейной теплопроводности с источником. Показано, что в ряде случаев функцию в(х) можно выбрать так. что после подстановки выражения (0.8) в соответствующее параболическое уравнение для функций ip(t), ift(t) получается система двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работах [4,36] представлен более общий, чем в [3]. подход к поиску подобных точных решений для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными вида Tp(v) = Xq(v), где Тр(о) — многочлен степени р от функции v(x, t) и ее производных по t £ 1R, a Xg(v) — многочлен степени q от функции и и ее производных по х € JR. Решения ищутся в виде к г=1 где fi(x),a,i(t), i = 1,к — некоторые гладкие функции, подлежащие определению.

Основная идея метода, использованного в [36] при решении уравнения с квадратичными нелинейностями вида Т1^) = X2(v), состоит в требовании, чтобы ^-мерное линейное пространство Wk = £{/i,., являющееся линейной оболочкой функций /1,., (предполагалось, что они линейно независимы), было инвариантным относительно нелинейного опрератора Х2{-) : X2(Wk) С Wk- Очевидно, что эта задача непосредственно связана с проблемой отыскания конечномерных линейных пространств, инвариантных относительно заданного оператора .Х2(-)

В [4] рассматривалось уравнение вида Г2 (г?) = X2(v) с постоянными коэффициентами. Решения искались в виде (0.9). Предполагалось, что функции «1 (t), . ,as(t) составляют базис пространства

4 = С{1, {а*}, {didj, i < .7'}}, а функции fi(x),., fr(x) — базис пространства f = £{i,{fi},Wi>i<j}} где через £(•) обозначена линейная оболочка векторов); тогда, разложив обе части уравнения T2{v) = Х2(и) но соответствующим базисам, авторы [36] пришли к соотношению

Г S №{аи ., ак) = X) *Mfi> •••,/*), (°-10) i~l i= 1 в котором коэффициенты Fj, зависят от функций ai,., и их производных, а коэффициенты А{ — от функций /i, и их производных.

Как указано в [4] соотношение (0.10) может быть выполнено, если найдутся такие постоянные {Apj}, что я

Fi(cn,. ,ак) = apApi, р= 1 откуда следует, что функции {/$} удовлетворяют системе уравнений г л(/ъ./*) = £/<р= г=1

Здесь следует отметить, что описанный метод обобщенного разделения переменных является частным случаем леммы Розендорна [21], когда базисные подсистемы выбираются среди функций 1, {с^}, {aiaj, г < j}, а частные производные по t от функций ai(t) в базисные подсистемы не входят. Но для примеров, рассмотренных в [36] и [4] (когда присутствует .лишь одно слагаемое, содержащее производные по времени), этот метод дает те же решения вида (0.9), что и основная лемма.

Инвариантно-групповые аспекты этой проблемы рассматривались в [5, 6,

20].

В [15] был рассмотрен класс дифференциальных уравнений с частными производными вида

Еп Г . . d2w dvu пЫщ + где F— заданный нелинейный дифференциальный оператор, зависящий от w и ряда независимых переменных xm+i,. ,xj?. которые не входят явно в левую часть уравнения. Функция w искалась в виде w = w(r; . , т г2 = (Pi(xi) и за счет уменьшения числа независимых переменных опиг=1 сывалась более простым уравнением. Неизвестные функции <Pi(xi). а также Pi(xi) и qi(xi) определялись в ходе исследования.

В [16,18] приведены два метода (дифференцирования и расщепления) решения функционально-дифференциального уравнения

Ф1(Х)Фг(У) + . + Ф„(Х)Ф„(У) = 0, (0.11) полученного после подстановки частного вида решения п

Х'У) = ^Vi&tyiiy) i=l в исходное уравнение. Метод дифференцирования, изложенный в [16,18], дает все решения функционального уравнения (0.11), однако приводит к увеличению порядка исходного уравнения и появлению констант интегрирования, которые надо убирать на заключительном этапе. Метод расщепления из [16] является частным случаем основной леммы [21], когда число функций в базисной подсистеме равно | в случае четного п и ^ в случае нечетного п. В [18] метод расщепления распространяется на случай любого числа функций в базисной подсистеме, однако не предполагает перебора всех вариантов базисных подсистем, что может привести к потере решений искомого вида.

В этих же работах описано функциональное разделение переменных, когда точные решения ищутся в виде п w(x, у) = F(С), С = 4>т(х)фт{у).

В [16] этод метод применен к уравнениям теплопроводности с нелинейным источником.

Ранее, в работах [1, 37, 40, 43] были описаны все нелинейные уравнения теории волн и теории теплопроводности вида дци> dxxw = f(w), которые допускают точные решения с функциональным разделением переменных w(x, t) = F{(), С = <р(х) + (0.12)

Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности dtw = dx[f(w)dxw], имеющее решения вида (0.12), описаны в [35].

В работах [7, 14, 17, 18] рассмотрено много нелинейных уравнений математической физики разных типов (в том числе и уравнений, зависящих от произвольных функций), которые допускают решения с обобщенным и функциональным разделением переменных.

Данная диссертация может рассматриваться как продолжение перечисленных исследований. В ней описаны некоторые классы линейных и нелинейных уравнений с частными производными с двумя независимыми переменными и специальные классы их решений, которые допускают применение основной леммы.

Однако применимость метода еще не гарантирует наличие решений специального вида, поскольку в результате применения леммы получается переопределенная система дифференциальных уравнений, которая может не иметь решений. В диссертационной работе выделены классы уравнений, которые заведомо не имеют решений вида u(xi) 4- v(x2) или u(x{)v{x2).

Применение основной леммы приводит к необходимости рассматривать системы функций одного переменного и находить их базисные подсистемы. Ситуации, когда по виду систем функций можно определить, какие из их подсистем не могут являться базисными, сокращают перебор возможных вариантов. В диссертации рассмотрены системы специального вида и указаны такие их подсистемы, которые заведомо не являются базисными.

Во второй главе диссертации рассмотрен специальный класс нелинейных систем уравнений. Участвующие в системе операторы могут быть как дифференциальными, так и интегральными или интегродифференциальными.

Пусть €ij(x),r)jj(y) — фиксированные элементы линейных пространств функций Ь{1\), L(I2), где I\J2 — открытые множества в линейных пространствах размерности а и г соответственно; х, у — независимые аргументы, х = (хи ■ ■ ■, av) € h, у = (yi, .,ут)е h

Ui(x,y), U2{x,y) — искомые функции на множестве Ji х 12, то есть принадлежащие линейному пространству L{I\ х 12).

Gi(Ui, U2), г — 1,2, — операторы, действующие из L{h х h) х L{I] х 12) в L(Ii х 12).

Рассмотрим систему уравнений: ' (у) + Ых)Ш2{уШ(х, у) + Gl(U1(x, у)-, U2(x, у)) = = Ы{х)тз{у) + Ы{х)т)и(у), Гп -| о\

Ы®)Ыу) + Ых)Ыу)Шх, у) + G2(U1(x, у)-и2(х, у)) = {иЛ6) , = ы{х)г]2ъ{у) + ы{х)г]2а{у)

Предположим, что для операторов Gi существуют такие операторы i7^-, что для функций вида

Ul{x,y) = Al{x)Bl{y), U2(x,y)=A2(x)B2(y), где Ai, В{ф 0, выполняются тождества

Gi(Ub U2) = Fn(Ai; А2) ■ Ft2(BVi ДО, i = 1,2. (0.15)

В диссертации сформулированы 4 типа условий А,. ,Г на функции и щ, такие что если тождества (0.15) выполнены, тогда система уравнений (0.13) имеет решения в виде (0.14) при выполнении любой из четырех групп условий А,.,Г. При этом найдены все решения указанного вида. если тождества (0.15) выполнены, заданные функции таковы, что системы ii;£i2>, {vn;vr2}, {61562} " {7721^22} линейно независимы, и если ни одна из четырех групп условий А-Г не имеет место, то система уравнений (0.13) не имеет решений вида (0.14).

Система вида (0.13) возникает, в частности, при построении модели тропического циклона.

По данным аэрофотосъемки с внешней стороны циклон может быть представлен в виде цилиндра высотой до 15 километров. Одной из удивительных и отличительных черт ураганов и тайфунов является так называемый глаз бури - более или менее круговая центральная область 5-50 км в диаметре. Иногда диаметр глаза достигает 300 км. В глазе приземное давление минимально, облаков на верхних и средних уровнях почти нет, ветры слабые, направление их изменчиво. На нижних уровнях (ниже высоты 1000 м) облачность присутствует почти всегда, что свидетельствует о слабой конвекции внизу. Глаз окружен стеной мощных облаков (стена глаза), достигающих тропопаузы. На некотором расстоянии от стены глаза, с внешней ее стороны, тангенциальная скорость ветра достигает максимального значения. Обычно глаз образуется в циклоне, когда давление в центре опускается ниже 985

0.14) гПа. При выходе циклона на сушу глаз сначала приобретает эллиптическую форму, затем исчезает.

В глазе циклона температура выше, чем в его окружении, причем превышение температуры над фоновой AT (на периферии циклона) максимально на изобарических поверхностях 250-300 гПа и составляет 10 — 12°С. Максимальная зарегистрированная величина AT равнялась 25°С. Относительная влажность в глазе в нижней тропосфере составляет 80-90%, что ниже, чем в стене глаза, но значительно превышает (на 10-30%) относительную влажность в средней тропической атмосфере в период ураганов.

В большей части шторма существует сильная циклоническая циркуляция.

Воздух, втекающий в циклон па нижних уровнях за счет адвекции относительного момента импульса и его генерации под действием силы Корио-лиса (то есть адвекции абсолютного момента импульса), увеличивает свою тангенциальную скорость о приближением к центру циклона. Потери момента импульса при трении о поверхность несколько уменьшают скорость нарастания v. С увеличением v и уменьшением г растет центробежная сила, которая на некотором расстоянии от центра циклона становится больше силы градиента давления. В результате равнодействующая сила меняет знак и становится направленной от центра. Направленная к центру радиальная составляющая скорости ветра быстро уменьшается до нуля или даже меняет направление. Воздух начинает подниматься (в основном в мощных кучевых облаках), образуя стену глаза, а в самом глазе бури нисходящее движение.

Система уравнений, описывающая эволюцию циклона, сложна, и ее решение можно получить только численными методами. Однако такие методы решения требуют значительных усилий и больших затрат машинного времени. В связи с этим в ряде случаев желательно создать малопараметрическую модель циклона, с помощью которой можно наглядно установить роль тех или иных факторов в эволюции циклона. При этом введение априорных зависимостей между компонентами скорости ветра в циклоне, а также зависимостей этих компонентов от расстояния до центра циклона иногда позволяет настолько упростить исходную систему уравнений, что удается получить аналитическое решение задачи либо в какой-нибудь зоне циклона (чаще всего в пограничном слое), либо во всей области. В аналитических решениях легче проследить зависимость от тех или иных параметров задачи. Кроме того, аналитические решения могут использоваться для проверки работоспособности численных моделей, а также в качестве начальных приближений при численном интегрировании более детализированных моделей.

В третьей главе речь пойдет о неполном разделении переменных, когда решение разделяется по пространственным переменным х\,., хп, но не разделяется по времени t. Некоторые классы линейных и нелинейных уравнений с частными производными, которые допускают решения в виде суммы или произведения функций с неполным разделением переменных w(xu ., хп, t) = wi(xu t) + . + wn(xn, t) (0.16) w{xi,xn, t) = Wi(xi,t) • . • wn(xn, £), (0.17) описаны в [13]. В [14] проведено неполное разделение переменных в уравнениях пограничного слоя.

В диссертации обобщаются классы уравнений, описанные в [13], которые допускают точные решения с неполным разделением переменных.

В результате неполного разделения переменных в методе А.Д. Полянина при поиске частных решений в виде (0.16) или (0.17) исходное уравнение сводится к системе уравнений с частными производными на функции двух переменных Wk(xк, t). Эти уравнения содержат произвольные функции Afc(£), п на которые накладывается единственное условие ^ А*, (г) = 0. В диссертации ь= 1 для ряда классов нелинейных уравнений показано, что в результате выбора Ak{t) не всегда получается новое решение исходного уравнения. А именно [45]: решение (0.16) или (0.17) можно представить в виде w(xi,., хп, t) = w{(xi,t) + .+ w^(xn, t) + Ф(£), или w(xu ■ ■ ■ = w[(xut) •. ■ vTn(xn,t) • где Wk(t) получены при Ak(t) = 0, а Ф(4) задается дифференциальным уравнением, порядок старшей производной которого равен наибольшему порядку частной производной по времени в исходном уравнении.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Эмилю Ренольдовичу Розендорну за плодотворные обсуждения поставленных задач и постоянную поддержку.

§3.4. Выводы по главе 3.

В Третьей главе рассматривается метод неполного разделения переменных, то есть решения разделяются по пространственным переменным, но не разделяются по времени. Метод применяется А.Д. Поляниным. В работах [14,13] построено много классов, допускающих неполное разделение переменных. В настоящей диссертации расширены некоторые классы, рассмотренные А.Д. Поляниным. И показано, что в определенном смысле полученные классы являются максимальными. А именно найдены достаточные условия на произвольные функции, задействованные в уравнениях, при которых эти уравнения допускают решения в виде суммы или произведения функций с неполным разделением переменных.

Метод А.Д. Полянина заключается в сведении исходного уравнения с подставленным в него искомым решением специального вида к системе уравнений с частными производными на функции двух аргументов: пространственной координаты и времени. В получаемых таким образом уравнениях после применения метода появляются произвольные функции переменного времени, которые связаны единственным соотношением: их сумма равна нулю. В диссертации показано, что для определенных классов уравнений влияние на итоговые решения произвольных функций переменного времени определяется решением вспомогательного дифференциального уравнения.

Заключение.

Диссертационная работа посвящена исследованию двух методов поиска точных решений нелинейных уравнений математической физики. Этими методами являются обобщенное и неполное разделение переменных.

Метод обобщенного разделения переменных, используемый автором, опирается на лемму Э.Р. Розендорна, В диссертации приведены классы уравнений, допускающие применение метода, а также классы уравнений, заведомо не имеющих решений в виде суммы или произведения функций одного переменного. Приведены утверждения, позволяющие сократить перебор возможных вариантов выбора базисных подсистем, возникающий при применении метода.

Кроме того, для некоторого класса систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными функциями двух переменных сформулированы необходимые и достаточные условия на известные (заданные) функции, при выполнении которых существуют решения системы в виде произведения функций одного переменного. Для этого класса найдены все такие решения.

Результаты применены для исследования осесимметричной стационарной модели тропического циклона. Найдены явные формулы для скоростей воздушных масс в циклоне, а также так называемый угол поворота ветра и один из первых интегралов движения. Полученные результаты согласуются с реально наблюдаемыми данными.

Метод неполного разделения переменных опирается на работы А.Д. Полянина. В диссертации расширены классы уравнений, рассмотренные А.Д. Поляниным. Для некоторых классов показано, что влияние на результат неполного разделения переменных произвольных функций переменного времени, возникающих в методе А.Д. Полянина, определяется решением вспомогательного дифференциального уравнения, порядок которого равен наибольшему порядку частной производной по времени в исходном уравнении.

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике,- Новосибирск: Наука, 1994, 319 с.

2. Белов П.Н. Численные методы прогноза погоды,- JL: Гидрометеоиздат, 1975, 392 с.

3. Галактионов В А., Поеашков С.А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями. j j Журн. вычислит. математики и мат. физики, 1989, Т. 29, № 4, С. 497-506.

4. Галактионов В. А., Поеашков СА., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями. // Дифференц. уравнения, 1995, Т. 31, № 2, С. 253261.

5. Дородницын В А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. // Журн. вычислит, математики и матем. физики, 1982, Т. 22, № 6, С. 1393-1400.

6. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях. // Дифференц. уравнения, 1983, № 7, С. 1215-1223.

7. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения М.: Междунар. программа образования, 1996, 496 с.

8. Каленюк П.И. Обобщение метода разделения переменных. //Укр. матем. журнал, 1974, Т. 26, № 5, С. 652-657.

9. Коэ/сухов И.Б., Прокофьев А.А. Справочник по математике М.: Лист, 1999, С. 537-538.

10. Кудрявцев. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1981. Т.' 1, 687 с.

11. Kyo X.JI. Динамика конвективных вихрей и образование галаза. В кн.: Атмосфера и океан в движении. М., Изд-во иностр. лит-ры, 1963, с. 237-251.

12. Моисеев С.С., Сагдеев Р.З., Тур А.В., Хоменко Г.А. Шукуров A.M. Физический мехонизм усиления вихревых возмущений в атмосфере.// Доклады АН СССР, 1983, Т. 273, № 3, С. 549-553.

13. Полянин А.Д. Неполное разделение переменных в нестационарных задачах механики и математической физики. // Докл. РАН, 2000, Т. 375, № 4, С. 476-480.

14. Полянин А.Д. Преобразованные и точные решения уравнений пограничного слоя, содержащие произвольные функции. // Докл. РАН, 2001,1. Т. 379, № 3, С. 334-339.

15. Полянин А.Д., Журов А.И. Точные решения нелинейных уравнений механики и математической физики. // Докл. РАН, 1998, Т. 360, jVs 5, С. 640-644.

16. Полянин АД., Журов А.И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике. // Докл. РАН, 2002, Т. 382, № 5, С. 606-611.

17. Полянин АД., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения М.: Физматлит, 2000, 432 с.

18. Полянин АД., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики,- М.: Физматлит, 2005, 256 с.

19. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения- М.: Наука, 1970, 400 с.

20. Пухначев В.В. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса. // Журн. прикл. механики и матем. физики. 1960, № 1, С. 83-90.

21. Розендорн Э.Р. Некоторые классы частных решений уравнения zxxzyy — zxy + agrad£ = 0 и их приложение к задачам метеорологии. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1984, Jf* 2, С. 56-58.

22. Розендорн Э.Р., Сидякина В.Н. К вопросу о вычислении радиальной составляющей скорости ветра в модели тропического циклона. // Труды ГМЦ СССР, 1979, вып. 190, с. 111-119. ,.

23. Седое Л.И. Механика сплошной среды: в 2 т.- Т. 1- СПб.: Изд. "Лань", 2004, 528 с.

24. Слезкин Н.А. Гидродинамическая модель тайфуна с учетом вращения Земли. //Изв. АН СССР, Физика атм. и океана, 1990, Т 26, № 5, С. 493-501.

25. Тверской П.Н. Курс метеорологии (Физика атмосферы).- JL: Гидромет-издат, 1962, 700 с.

26. Титов С. С. О представлении решений линейных уравнений с частными производными в виде конечных сумм. //Матем. заметки, 1976, Т. 20, № 3, С. 359-363.

27. Титов С. С. Метод конечных колец для решения нелинейных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости Аэродинамика: Меж-вуз. науч. сб. Саратов. 1988, вып. 11, С. 104-110.

28. Титов С. С. Решения уравнений с особенностями в аналитических шкалах банаховых ирстранств. Препринт УралГАХА. Екатеринбург. 1999. 264 с.

29. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.Физматлит, 8 изд., Т.1, 1970 с.

30. Хаин А.П., Агренич Е.А. О способах расчета угла поворота ветра в пограничном слое тропического циклона. //Труды ГМЦ СССР, 1981, вып. 224, С.64-70.

31. Чаплыгин С.А. Один случай вихревого движения жидкости. Трофиз. 1992, Т XI; Поли. собр. соч., 1933, Т 1.

32. Шулейкин В.В. Расчет развития, движения и затухания тропических ураганов и главных волн, создаваемых ураганами. JI: Гидрометеоиздат, 1978, 96 с.

33. Математический энциклопедический словарь.- М.: Сов. энциклопедия, 1988. С.423.

34. Deardoff J. W. Parameterization of the planetary boundary layer for use in general circulation models. //Mon.Wea.Rev. vol. 10, № 2, p. 93-106

35. Doyle P. W., Vassiliou P.J. Separation of variables for the 1-dimensional nonlinear diffusion equation, j j Intern. J. Non-Linear Mech. 1998, V. 33, № 2, P. 315-326.

36. Galaktionov VA. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Scct. A. 1995, V. 125, № 2, P. 225-246.

37. Grundland A.M., Infeld E. A family of non-linear Klein-Gordon equations and their solutions. // J. Math. Phys. 1992, V. 33, № 7, P. 2498-2503.

38. Martin M.H. The fundamental solution of Аф 4- е(у)фу = 0// Duke Mathematical Journal, 1951, 18, P. 845-858.

39. Martin M.H. A Generalization of the method of separation of variables j j J. Rational Mech. and Analysis, 1953, V. 2, ДО 2, P. 315-327.

40. Miller J.(Jr.), Rubel L.A. Functional separation of variables for Laplace equation in two dimentions. // J. Phys. A. 26, 1993, V. 26, № 8, P. 1901-1913.

41. Rozanova O.S. Note on the typhoon eye trajectory. // Regular and chaotic dynamics, 2004, V.9, № 2, P.129-142.

42. Shercliff J.A. Simple Rotational Flows. // J.Fluid Mech., 1977, Vol 82, P. 687-703.

43. Zhdanov R.Z. Separation of variables in the non-linear wave equation. // J. Phys. A. 27, 1994, P. 291-297.

44. Жарова H.B. Обобщенное и неполное разделение переменных в некоторых классах уравнений с частными производными, //Деп. в ВИНИТИ 30.04.2003; !№ 846-В2003, 46 с.

45. Жарова Н.В. О неполном разделении переменных для некоторых классов уравнений с частными производными. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2003, № 6, С. 42-46.

46. Жарова Н.В. Частное решение системы уравнений для одной модели тропического циклона. //ОПиПМ, 2005, Т. 12, Вып. 4, С. 955-956.