Исследование по теории условно-корректных задач для параболических и гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ WIK СССР ОРДЕНА ШШ СИБИРСКОЕ ОВДШВИВ

о

На правах рукопноя

Ш SX? »94?

Т251РЕУЛАТ0В Сориккали Искаляевяч

1ШЩ0ВАНИЕ ПО ТЕОРИИ УШШЮ-4ЮРШШШС ЗАДАЯ да ШШШЕВШ И ШПЖШШЖЖ УРШЕШЙ

01.01.02 - дифференташша даэтгешя я математическая физика

Авгорэферат

диссертации на свдскажз учшай отгпвш доктора фетдкс^лтжмтическшг наук

Новосибирск - I9S9

Работа вшшшена на кафедре вычислительной математики Казахского государственного ушшаройтега ш. С.1Л.Кирова

О^ещшьшр оттешиг доктор фаЕико^шгшатагаесхшс наук»

ВсРоКкрейтоа

доктор ф^кко^.атемати'чэскюс наук, профессор А.М„Ые2рмавов

доктор йязико-глагематиче гчиж каук, . профессор СД.ЭЙдашш

В©даая орггшзшдаг Московский шшанорно физический инста-гут

З&тт воогонигя "________" 19 года в

чао с на заседании сшвдшшзироваквого совета Д 0Ш.23в02 по еалщте ддесертгаий на соискание ученой степош доетора ^а£шсо-ыат»«атяческЕХ наук при Инотатуте математики СО АН СССР да адресуй 630030, г« Новосибирск» 90„ Ушвероктез*» екай проспект 4.

С дасеэргацввй иозно ознажштьея в библиотеке йнеш-гут шжомагшев СО All СССР»

Автореферат разослан " ,!____ ______19 года.

Учений секретарь Спедашгазировашгого Совега

доктор йизиио^атеттшзеккх наук В»С0Валвнеаов

СЕДАЯ Ш>ЖЕЕИЕТЯКА РАБОТЫ

Актуальность теш» диссертация посаящэна разработке тодов исследования нокорректнкх краевых задач ддя дпш£еро?;=--цаальккх уравнении с частный! щокзводнши,.

Известны два определения корректности задач катемаюк-чсской физики. Первое введено з начало нажэго столетия ¿дакаром (классическая корректность елл корректность по ¿динару) о Второэ понятие введено на основа работ А.Н. Лжоковг, (условная корректность ш корректность по Тихонову). Прх' условной корректности цектрзльнта требованием является единственность решения в некоторое заданной шюгзства ЛС функционального пространства, Существование реаенпя» тгош^цлегл-щзго этому шожеству, цредгголагазгся еириорз сзвесташ дат некоторого мноаества исходах данных. Непрерывная за яяаюегй решения требуется только от тех данккх» которые не внводет решение за пределы множества JL (мкоаестза коргрехетоста),

Изучение услоЕно-корректише задач (УЛС„3.) ваяно я теоретически и для пралояений. Начало исследозшсй в атом направлении заложено А.Н.Тншювьъ:, его работы продолжена !/.0!.'ь Лаврентьевым, Б.К.Ивавовш и другая! математика«

Многие У.К.З» связали .с регент-ген даф^еренциг иных уравнений с частгага производная. Чтсо- краевая задача для тают уравнений оказалась "хорошо поставленной"»' т«в» чтоб« сна была разреши,гай и гжела единственное резекие» граничисз условие ко мояэг быть совсом прокзвольнш, Принято подчинить операторы, задающие граничные условия, некоторая* доиалнитаяьному условию. Это условие для 'параболических чо Петровскому уравнений называй? условием дополнительности (7.Д.), а для гиперболических я эллиптических ypssijsjmii •• условием Лопатинского» Мы воспользуемся одним и том го тер-минш У.Д.'Для краевых задач относительно .азличншс типов уравнений в частник производных. В первое время если У „Д. нарушалось» то задача автоматически относилась к классу "плохо поставленных". Дадьиейгаг исследования показали, что если У.Д. Rv выполняется то задача:

а) еозкокно корректна в некоторых других функциональных ^сгршоике:, даяосрадсгзенно не связанных с У .Л.

б) некорректна (решзина неустойчиво или оно наединст-¿?азш}<>

В длссор$£ЦЕОшо1 работе • посмса'рнвавтся класо хранич-¿кчс задач для параболических и гиперболических уравнений, дал которых стролтся пример Ддамара (П.А.), т.е. задачи из хрршн о),

Об шгсуагг»номйз Ессяедовашш указанных задач свидетель-отвует кпдйчкэ большого количества работ (Годунова С.К., Крд11са Х<,0о5, Шштаси С,, «Экшшова к др.)» в которых' ©бнеруас&н кекоррокткке крааЕш задачи»

Рассмотрена») неш зедачк имеют прикладное значение (•.калопрэводность, волновые процессы).

Оедосовш БоПо и Янешсо Н„Н0 показано, что дая волнового уравнанпя граничное условие кща

+ а * i % * |

аознздодо при те^шш в трансзвуковкк аэродинамических тру-бвх при палых числах Маха. Когда воздух отсасывают иди нагайка» под утлом к поверхности трубы» значения £1 и ё могут делать в области некорректности. Другим цршером кокет сяугшть аадача с наклонной производной для уравнения гевдоп-роьодаости.

Работы, полоненные в основу диссертации» выполнится. ¿¡•. кейедре вычислительной математики КазГУ по проблеме 'Ирк~ иевдине методов вычислительной математики к решению лншшр-ко технических и оконошческих задач" (индекс гсо а регистрации 63048272)0

Сдетояняе вопроса. Хотя перЕКЕ1: примером накоррзкшк аадач СЯоЗ») была прямая задача (задача Ксша дан урашшнш Лапласа) с к данному моменту опубликована сотни работ, 0220-еясщхся к развитяа гесрин Н.В.,, среда них очень немногие иосведеаа изучению некорректных краевых • задач дш дафферзгз-кз&яышх уравнений (Д.У/ . Одна чг^тиаа Б030 для уравненая зсжкшроводшоста с пошад штегралышх цреойразогавай рва®«

на Шишатскш С До п Атамашвкм но з работе не указано условие некорректности зедачи0

В лнтерзтурз У„Д, тгредашзтся при помощи прообразованной задачи и практически око трудно проверяемо. Поэтому тгз-лателъно нахождение условия некорректности на языка когуфЕ-цкеитоз исходной зада1®» Этот йает впэранз яэно выраасн в работа Годунова С0К„ а Гордазнкэ Во!.;»

В некоторых нсолздовгклях указано увловае яекоррзктнос« га смешанных задач для еяст-ка газзрбсшгчеенвх /раишшй первого порядка. Устако:аггшг кокоррэкттоеет достнтгетаг различаема путями: подользуотея рзичэсквэ соображения (Дьяков б Л.), с но-тапы) построения прз,;зрс з Ада,та (£лохт Л„Ы„Ь зссле--даванием задача ка собствзЕннэ значения (КраЁо Х„0.3. В ?.?аз~ взяншг работах н з работах других авгороз иседздаватге секк; Н»Зо ез провздзно,, хсрс-'з обдар^зкля неяорреютоэта тратп-ешс задач я спзсаагя гаратаора пзкорзхжгзосга, ..

Цель и задачи йсотедовагощи ПврачЕвляи оояозкнэ щюйпв-тле язучаемнэ в дпосортац*:::;..

Хо Исолздоватт. кзкоррзкгда© яраэсаэ задача дяя ргзлжо» низе классов уравнений параболического и гшербаля'гзсяок»

ФШСЗ-,

2. Найтн ояособ оцредезатах' ойшми язм8з%.дя когсНяда-ентсз-грант даншх, Еораэдаздзх нэуотойшзоэ розгавз.

3„ Разработатз способ сведения сперагоргсгй урзвкетгп.';,, овязакйых о грашпшшп задач&чп, к уравнэшйг ша Вольтер« ра второго рода.

Матодн ксследоватгояэ Используется оператора дробного дифференцирования и шггегрнро-опня, дробкнэ степени параболических операторов, интэгралы'нв преобразования Оурлй-Дат:-ласа, операторные.уравнения Еокьтерра и ттож теории погон-цката,, ке/од характеристик.

Наутаая новкзаа. Ковши в работе являются подход к изучаемой проблематике и полученные результаты» Устаковле-на перспективность V математическая содержательность исследования У....З. дня дпт<*-рсппдалыпсс уравяенг-'1.

о

г.

На защиту выносится следующее: « постановка и исследование некорректных граничных задач для уравнений в частных производных параболических и гшерболи-увских типов с постоянными коа^Тжцкентами;

- предложен метод определетгг условий некорректности граничных задач и доказательство их условной корректности;

установлены условия некорректности различных классов гра-етлшк задач дня уравнення теплопроводности : гиперболических уравнений в терминах ков&рицкентов исходных задач;

- разработаны способы сведения штегродкфференвдольнщ: уравнении к а грэлэде к операторным уравнениям Вольтерра второго рода;

- анализ поведения фундаментальных решений параболических уравнений п их производных при стремлении внутренней переменной аочхи области в ее границе;

- для параболически:: уравнений исследованы поверхностный ко-язнцдалк с ядрами, составленными из функций Ррпна некоторых корректнкх краевых задач, показана возможность использования аппарата поверхностных потенциалов дая доказательства теорем условной корректности ряда задач;

~ теоремы существования дая частных классов задач теллопро-водпссти;

-> иотод запаздывающего потенциала для решения условно-корректной граничной задачи с переменными коэффициентами для волнового уравнения;

Основные результаты к выводи работы являются новыми.

Теоретическая: и практическая ценность. Б работе получены результаты в основном теоретического характера» Некоторые из них могло перенести ка другие классы дифференциальных •«■равнений. Разработанные метода у.тут найти применение при математическом моделировании процессов, возникающих в от-далышх отрасли: науки и техники, а такае при анализа кор- -рэктнооти постановки общих граничных задач дая различных классов уравнений. Материалы диссертации широко кспояьвова-лясь при чтении двух сз .цкурсов: "Некорректные задачи теплопроводности" а "Некорректные смешанные гиперболические

задачи" дая студентов математического факультета Каз17„ Опубликована методичеггая разработка "Некоррзкгнке смегошшэ задачи",

Апробагля работы. Осковние результата диссертации докладывались и обсуждались з;

-Москве на научзягх семинарах (факультета В® ЮТ (руководитель Б.А.Йлыш, 1935 г.; руководитесь А.НЛкхоноз,

1988 г.};

-Новосибирске на сеьшарз по услс. но-коррэкт-- . кш задачам в Вычислителе чем центре и Института математики СОАЯ СССР (руководитель М.М.Лавректьеа, 1979 г„0 1988 г.»

1989 г.); на научных секякэуах по да^фореяпаььгйи уравнениям (руководитель С.К.Годуков9 1978 х>, и 1934 г„; руководитель Т.И.Зелеаяк, 1985 г„; рукозодатеш» БЛ.Врагок, ¿9Е5 г.>5 на Всесоюзном се;линарэ по нехгоррзхетшял задачам кат'",!з.т:кчес~ кой физики и анализа (1982 г»)?

-Самарканде на семинара Всесбюг эй сколы по теории и методам решения некорректно поставленных задач и к; приложениям (1983 г.)?

-Караганда на УП Казахстанской кегшузсвзкоЗ научной конференции по катематтеэ и квханикэ (1931 г.); -Алма»А? в на городской научном семикам по в5гато-лягельной г- прйкледпой математике (руководитель У.Н.Суятак" газпн 1951 - 1985 гг.);

на городском секинато по уравнениям тагематячэокой фкзек-: (руководитель В*И.Кпм 1930 - 1963 тт.); на Ш Республиканской кэгшузозской научной конфзрешжг по математике н шшдаге* посвжгвшюЯ 50-яотшз Казахского .то-» оударстзенного универоптота лм, С.М.Кироза (1984 г»); на ггдачноа научной кскфэрднвди* сструдшесоз нззокатпчзокех'о (йакуяьтрта КазГУ (1937 г,, Х988 г„); на семинаре по дафференш^альша? уравненгтм и теории функций в Институте математик к механики АН КазССР (руководители Н.К.Елиев и Д.У.Умбетжанов, 1585 г.).

Основное содержание диссертации опубликовано в I? статьях: в журналах ДАЧ СПС?, Сибирский математический .журнал,

Дкфференциальнш уравнения, в тематических сборниках статей Ш СО АН ССОР, ШД АН КазССР, материалах и тезисах всесоюзная т: республиканских конференций»

Структура диссертации. Диссертация состоит у введения, четырех глав к зшипчэнияо Об" 'зм работы страниц маши- • кописного текста. Слисок литературы включает 92 наименования. Главы разбиты на параграфы, Нумерации формул-сачостоятельная в каэдем параграфе. Если ссьика выходит за лр дели данного параграфа, то наряду с номером формулы указывается и номер параграфа.

ЛйпщД вклад автора. Все результаты, представленные "в дасоертгодаэ, получены автором самостоятельно. В совместной работе )"2>] вклад каддого 1»э соавторов растыкивается как рьвний«

КРАТКОЕ 0013ШШ. РАБОТЫ 5 МЕТОЛУ ИССЛРОЮВАНЩ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Исследулхся задачи о кахоздении решения ■//. (ъг Хц.^ б квадранте г ,

г""хе & |

уравнения (или системы дшаейннх уравнении) вида

а)

удовлетворяющего начальным и граничным условия?,I

к

3). <&Со,Х,Хъ)*0, Н*О, и (2)

в р* А, *(*л<>) « ¿я*). (3)

Предполагается, что (I) параболическое в смысле И.Г.Петровского или гиперболическое уравнение и у него порядок производной по Ь равен и. «

Проблема 2 решается построение:,! примера Адакара (П.А.) как рещзния, зависящего от параметров. При определенных условиях иа параметры, решение ко® г принимать сколь угодно.

болшоо положительное значение» что означает его неустойчивость» К построению П.А,. имеются различные подходы..

Приведем два способа построения П.А. В одном сяучео он ищется з виде

4- ¡ ^ г? / ?Гл I

где параметры удовлетворяют дополнительным требования;.:

£е |» 4, о> - О, ¡-

Нередко определение „ , ^ сопряазно с тру?з*ой гебраической проблемой (§ 4.3) „

3 другом случае, формально соверши в (1)-(3) преобразование Фурь« по а л Лапласа по £ , шянэ прздта -'. однородной задача

I (ры I* 1<? с Рф»*) I ща ■

Пусть данная задача шеег решение & пря епра-

деланных числах р ' , Причем реагента части этих ^¡асел неог^-ранкченно бояыке (поло.тлтелыше) хотя бн при'некоторых ?>•:"-чэкшас Ц Р,к~'а

Тогда искомым црядаром будат эектор-фупктах

где - любое решение (1) пс мнозесгва- решений задачи (1)-(3>, удовлетворявдзэ условиям

.. к » ■ &

Злздеватальпо,, справвдяиаа

Теорема 1,2Л0 Для тгтм, чтобы решение задачи (1)-{3) Зага неустойчивая з классе рэгулярных решений достаточна,

. чтобы задача (5) имела решение ^ <= <**) } £f ф о,

отвечающее чзслу р с леогранкчанясй положительной реальной частью.

Полное описание на языке коэффициентов операторов Л и В условия сущзстъовшш! фун-цип вида (4) пли (6) будет решением проблемы 2.

Слгяует отагетаса, чю остается новыяснекяым построение Я.А. да- задачи с пероманянми козффищхентами.

При рассмотрении проблема I установлена условная корректность краевых задач для параболической по Петровскому систе-гза второго поряздеа, а такев'дпя различных задач теплопроводности и дяя волнового уравнения. Единственность и устойчивость реиеяпя параболических задач в 'Я ¡<*1 доказывается с помощью поверхностных потентаалов и преобразования Фурье -Лапласа.

Оттек методику исследования проблемы I. Как известно, для язученнк обащя граничных задач тина (1)-(3) для параболических систем в смысле И.Г.Петровского строятся потенциала с ядрами Пуассона, язлядскеся фундаментальна® решениями (Ф..Р.) полупространствежшх граничных зздач. Такие ядра для некорректных задач могут не существовать. Поэтому предлагается в качестве ядра потенциала брать функцию Грина простой краевой задачи, .вообще говоря, но имеющей прямого отношения к поставленной задаче. При такси подходе возникает существенная трудность при вычислении значений производных потенциалов на границе области.

3 нашей работе допускается, что каждое равенство из граюгшого условия мог.ет содержать производные по всем перэ-мешшм любого порядка и разработан способ их вычисления.

В предлагаемом способа выполнение граничных условий приводи к интвгрода^Феревдиальнш уравнениям (И.Д.У.) относительно плотности Р, •

■ь

где *!) - чногочдеш от сеоих аргументов.

Ввиду некорректности исследуемой задали доя их решения стандартный метод интегральных преобразований не всегда пригоден. Поэтому систему £7) сводил к операторному уравнении Вольтер-ра (У.В.) второго рода,

Е + Ьг&)?&,*) = С8)

с неособой матршхей В и оператсршм ядром V"' »

Из результатов Бухгейла А.Л?' относительно операторных . У,В, следует условная корректность (У»К.) решения уравнения (8) . Зозвращаясь к исходной задача, доказываем в спеттт1аль~ ных йункциональньк множествах И' теоремы единственности а условной устойчивости (У.У.) иссяедуемня дей&зрен. .лальнкх задач.

Несколько замечаний об использований интегральных преобразований.

Поскольку в изучаемых нами постановках задач отсутствует У,Д., то для применения обратных интегральншс преобразований от образа правой части потребуется особое поведеянв в. окреояоетн ообственанх чисел р- » '.•.дгэчанзнх в теореме 1.1,1, Пря этом сужается класса правкх частой £ и ХГ решения. ■■.-...

В саду того, 'его устанавливается корректность по Тихонову, допускается следующее?

£.) функции $ позволяет? шеть решение из требуемого класса Т7 г ;

И) к применима все операторы, жяшьзуешз при доказательстве теорем У.К.

йшгтболические задачи изучаются с подав©» преобразования Фурье, методов характеристик и залазь .ваших потенциалов (З.П.),

Известно, что З.П. в основном применяются к решению задачи Кош. Спеглалвттая модификация определения З.П. исполь-

Бухгейм А.Л. Операторные уравнения Вольтерра е шкалах банаховых пространств, - ДАН СССР, т.242, Й 2, 1978,

' зуютея для решения краевой задачи для волнового уравнения. Основные результаты диссертации могло представить в виде теорем следующих типов:.

'I) Условие некорреетностих определяется многообразие на языке коэффициентов операторов Я к & . р ) Теорема ед^нствеяностид. решение И единственно на ккскеств з вида

£ т

'С7* 'СГК Л ¿2(о,т> ¿¡/¿¡¿))

где , ^ /

£п £*й г*** ^

V ' £ С ('»*«) П С

1 СС " ** '

определяет гладкость решения в области и на границе

о ,а *6Л £олт± указывает поведение на

бесконечности. с') %сяотой^сто&жс£ти: если"решение

и € л* {Л: Я* Ц-/ц2)еиЦ <

тогда имеет место неравенство

11Ч г У ^ * С(т>4 ^ №->0,

У^г-ЛС^)) 1 '

дая оаг^Т.

о ) Теорема сществовшия: описывается множество // правых частей £ и дая ^ б/ существует решение €е £ £7* ,

> (Л ,

/ / Г« 3

. т.е. /■ плотчо в •

Дадим краткое описание содержания диссертации. Во введении работы обоснована актуальность теш, сформулированы изучаема проблемы и излагается краткое, содержаний диссертации.

В первых двух главах исследуются различила краезкэ задачи для параболически уравнений а смксле Петровского. 3 связи о этил в 1.1., и .2. приводятся используеше в дальнейшем известные сведения: понятие корректности (клаосэтес-кой и условной), результаты Бухгейма АЛ. относительно операторных уравнений Вольтерра и доказываются лемма, необходимые в нашей работе, рассматриваются операторы дробного порядка, условие парабсличкости гранкчннх задач, возмоядость отказа от 7.Д. и др.

Поскольку основой исследования краеьых задач (не только параболических, но и гшерболэтйохсшс) является метод; потенциала, в разделе 1.3 наряду о иэтестншз йактеьаг излагаются новые результаты о поверхностных потенциалах .г ч параболических уравнений высокого порядка к ишербодичвских уравнений. В частности, доказывается, что всякоз рзшен.,а кз клас-

са

задача

л./ н- ял

?

О,

иояко представить- в видз

-Т. х-'А

гдо

^(•¡„^п,^) - §,?. данного уравнения, удовязтго-

ряют уСЛОВИПИ ®

**л> '

$

'Числа т. и £ определяются оператором В из граничного условия (3).

Кал известно, в отличие от эллиптических и параболических уравг кий гиперболические уравнения могут иметь Ф.Р., являющиеся обобщенны® функциями. Под й;.Р. гдтюрбалче ского - уравнения подразумевает функции излучения, определяемую стандартным способом дакодли Кош. Соответствующим ей оператор назовем фундаментальным оператором и обозначим его через "¿.^ СЬ} х) , где лвдеко Н- указывает количество пространственных переменна:.

Поясним определения б опаздывающих потенциалов (З.П.). Пусть потенциал простого слоя Ш.П.С.) V/ С±} ¿с) с плотностью , распределенной на поверхности 8т=(о3т)х$

является решением задачи

гд» <? ( дельта функция с носителем " 5Т .

Решение данной задачи модно представить с помощью осъем-. лого потенциала ^

'-у .

Откуда, в силу известного свойства дельта функции, приходам 1 к равенству

• -'" Ч

Последняя запись означает, что оператор «2Гц. имеет смысл ■ ' в течках (т, у) "конического сечения", получаемого Пересе» ■ ионием характеристического гиперконуса с вершиной в точке . (±,зс) с данной цшшндрической поверхностью 8Т ,.

Опте^еленйэ 2Л,3. Функции , определенную до

формуле (10) назовем 9.П. простого слоя с плотностью ■

:..распредоданной на поверхности . = (с,Т) А В .. • "•. /

Ео второй главе рассматривается параболические задачи. Б 2.1, излагается одни метод исследования У.К.З. Езда (I)- ; (3)« А именно, дана параболическая по Петровское эстета с ;

постоянными козсгфвдевнт&'яя

* ^ (к) -Ч

'йгШй-ХУ. г«',"- а')

Требуется найти ее решение б квадранте ? , удовлетворяющее УСЛОВИЯМ ; .

"О, .

и» О (2'),-

N Н) К ■ Ц ! '

Будем говорить, что <£ $ СТ^ ^ в :

области II 5 если

« е С. (Я) ПС/ *<•<«<.

i > X ■ £ у я. >

/ / ту

Классом решения задачи (I )-(3 ) будет » такие ре- 0

изиия назовем регулярны;,и,

Стоейеление 2,2„I. Функция (вектох^Эункция) ^ ¿Ч> «) прннаддеазт классу НУ.^». в области , если

„ ¡¡Ч

и имеет кесто для любого С2. из К.

.IX. а(о,х}=0 при 5-о,2.

Креме того, если эти производные ограничены в области и спраЕэдщшы равенства дош любого ... . , '

§ 3

то

Часто рада простоты будем писать ^ или <1. Задачи исследуются в следующей последовательности; На основании теоремы 1.2.1. находятся условия некорректности. Эти условия монно описать с помощью параметров

р к $ интегральных .преобразований, .составляющих то- . кествг. рс юпт на языке коэффициентов граничных данных,, обозначаемых через .

Далее, решение ищется в виде П.П.

- о £П-{

где Ч/ , япро (г - функция Грина простой корректной задачи для системы '15,

Вектор функция -и. удовлетворяет система (I ) и нулевому, начальному условию (2У), Остается нгйти плотности так, чтобы для Ц. выполнялось граничное условие (3'). ..Дгл этого требуется показать как определязтея

¿с т. & ¿я!!".ал*,*,)3

х^"*- о V % е

где & , &., т. « неотрицательные целые числа. . Значения производных по £ и находятся путем интегрирования по частям и последующей подстановкой зс^* ° , т.е. указанное произгедные переносим к плотности " $ Ы, . ■ Бела порядок т, производной по меньше, чем порядок системы т.е. ^ < На-ч к - нечетное число, то предельное значение производной будет нулем, что приведет к потерз влияния соответствующего слагаемого' дз граничного условия. Наоборот, при ш Хи интегралы в указанном рас-

ходятся.

Поэтому важно подобрать ядро таг, чтобы искомые предельные значения оказались о: раниченнши и ненулевыми.

Для ослабления особенности сперва с помощыа линейной, комбинации производных по. V ту составляем одерг. .орн =Г,Р(Р'!~{) , а затем после интегрирования по частям .ли операторы рл переводим к плотностям потенциалов.

Имеем:

5 £ З.р-4 гЗ1^

% К К I - X «ц

IХн.О ™

ала

ЙдЧ/ Щ р'Щаф! л

вде т. , % ~ неотрицательные целке, - постоянные,

- элементы матрицы О- . ; .

'Тем самым выполнение граничных данных приводит к сясте-¿е И,Д.У, (7). Затем (7) сводится к уравнениям (8), оценива-этся их ядра и используются результаты Бухгейма А.Л. Наконец, гереходя от ''У к 17" . 9 получаем У,К. задачи (1)-{3).

Для решения проблемы 3 разработаны два способа, которв.е 1злагаются в § 2.2, При одном из них главную роль играют обратные операторы типа

В'-'^П (12)

0 е» о »

«V.

! ядрами, удовлетворяющими одкогяу из перечисленных кикэ ус-юви2 г

Условие Пуста решение задачи •аксво, чтп сз'ществуют интегралы < 1 ■

"я е £ , '

5 | \ 1 Ъ ¿(^и^г, \ 3-Ъ*).

■ ■ '■■ - , Условие Пусть система, не содержащая производную

в (эх)г(х) Ш 1 _' V.. '

меет решение, для которого^техралк .■ ' "

5 £ и^гс*)

сходятся при 5 = о> 1} т.. Условие Н. Пусть задача

имеет решение , для которого интегралы

ограничены ври кедом £* ол к „

А при другом способе важен матрячко-диагональный оп~ра-

к н операторы (12) с ядрами из условкг » Здесь У ^ -

оператор интегрирования порядка ^ «

Теория, изложенная в 2,1 й 2.2 в последующих параграфах прзшнша для раздано« задач,

В § 2»3 исследуется задача теплифоводнооти с обссми граничны;,ш условиями. В первом пункте доказана теорема о граничных даш!ых/соскгеетствувдиэ им Й.Д.У. сводятся к У,В, Теорема проиллюстрирована конкретными примерош«

В п.2 к указанно!! задаче применяются интегральные преобразования и описан один класс разрешкоетй.

Рассмотрено решение уравнения /ешюпроводаости с нулевыми на^-шшш данными й с граничными условиями при (§ 2,4):

а) 5 + Я (Лг «

или■ • \ , Ы ••■.

£ 14 ' *

огда ^¿„ /¿у «- достоянные.

Справедливо утверждение (условие некорректности):

1) если » то 'Ж - полупространство л^о^ $ & М -3

2) есл! и А» о , то ;

3) в задаче б) = „ полоса.

Доказаны теоремы единственности соответственно в классах Л,

э о г и ■. '

По. /чезм оценки У .У. и описаны множества разрешимости задач»' Сформулируем некоторые из результатов.

3.2.4, Пусть регулярное решение задачи теплопроводности с нулевыми начальными данными и с граничным условием при жк= О

~ 4С. +А 4СХ + $■

"С л

дая существуем Тогда, если модуль решения на превосхо-, дет некоторого И , т.е.

I¿¿С^уХ^х^) | 5М щи С'Ь^.Хл.) в или решение

прянодлезкпг пространству (ор°'г М^ б^л)} » то оно единст- . векно в алассэ решений,, принадлежащих тожеству

4.2. , /4 4 Л+еГ . , ч

Ал * 0ОЛ С

• Теорема 4.2.4, Рассмотрим решение некор-

ректной задачи а) при &. ~ { , принадлежащее шоаеству

Тогда существует положительная постоянная С = С&,м) такая, •

что

<?Гг, м)

—

4

где

М'Н'мъьа"))

Теорема 7.2.4« Пусть 3> и дая правок часта граничною условия

вшолняетск равенство

«Й!

А < С - <4 < 44 4 гч.) аЧв ■о, ^•

Тогда задача теплопроводности с нулевыми начальный дашш:.ах и указанными граничными условиями имеет решение на множества функдай, допускавших интегральные преобразования Далласа и Фурье.

Представляет интерес изучение влияния порядка Дй производных по переменным X и количества уравнений /»/

В параграфе 2 „5. рассматривается общая, краевая задача для уравнения высшего порядю. ^

* ¿««г

Решение гдется в виде ПДЬ (10). При работе с граничкнма чанными возникаш' трудности, связанные с расходящимися ш~ тегралами. Поэтому выводятся формула,, позволявшие понизить особенности таких интегралов. Тем самим показаны.дуги постанов!.и задачи и отыскание ее решения с помощью потенциалов»

Результаты исследования Н„3. гшшетр-яруюте^: трэая примерами, при этом используются полученные в начале параграфа формулы,

В разделе 2,6 изучается граничная задача для парабола»

ч-ской сис.'еш . л

■& .

где Л ~ неособая матрица порядка ^% ^ -о постояв ;нш элемент.?:.®. Сначала даются известные выражения Ж С фундаментальной матрицы решения системы. Затем, представив

репсшм задач:! при помощи П.И.С„, для его плотности поручается система И»Д„У. Полному анализу подвергаэтсс шг скате задача дли системы двух урэрненпй тенло-и масссобмела с краевыми усдгсБНями» содержащими производные не выне первого порядка., В данной задаче интерес представляет влияние кладах членов из граничных условна на её корректность и результат отказа от У.Ло

Г.о второй части работы, включающей глазы ИДУ, исслэду-ю1; оя проблемы 1-3 применительно к гиперболическим равнения;«. Существование некорректных смешанных задач для волнового уравнения отмечалось в работах С.К.Годукова, С.Мяятаки и АоФ.Фзшгипова, а дая гиперболических систем первого порядка з статьях С.П.Дьякова, О.Крайса я других авторов.

В глава Ш изучаются краевые задачи для гиперболических уравнений второго порядка. ^

В 3.1. с помощью преобразования Фурье Фу решается

задача

'Щ,л - ^

41

а при зс к о

Ц = (14)

411 -С Г;?, V) - ^

= а + ^ , (15)

| дсполш-!тельнымя условиями

й,\ ^ < 4} 0. « или прямая

= если ^ - скаляр; (16)

• ; в < Оу 6% * 4*ош

- вектор высоты А.

С помощью интегральных преобразований и явного представления решения доказаны теоремы единственности и условной устойчивости на подмножествах мнояества ¿/. ' .

В частности справедлива .- •

Теорема 1.3.1. Если решегае _адачи (13}~(16) принадяе-_ — — _ ^

я^.т к классу з и к нему цршеняио преобразова-

ние Фурье, по ^ , то решаете единственно»

В разделе 3.2. установлены У .К, задач для волновою -равнения с данными на характеристике (задача Фшштова) и с кошкексшгми даннши на границе Хв«з (задача ¡¿«так.!) „

В 3.3. при помовд З.П. решается плоская задача для воскового уравнения с переменными граничными данниз,^,

Teope.ua 1.3.3. Допустим, что Н,3» для волнового уравнении . - ..-ии' = ^»Ж +

о нулевыми данными Кош и о гргзшчндаи условите при .х&о"

4£{: = и4ех* 0(Ьу) * §{¿¿¡3 . имеет решение в классе потенциалов, принадлеягщзх мноезот-

Пусть коэффициент & аналитически продоляаи по

переменной $ ка полосу конечной виршш < с1 н

то у на бесконечности экспоненциально убывает с показателем $ , в< ' „ кромо того, по переменной ■й огра-ь:ичен9 а коэффициент ^.{-¿¿¿р, ограг чек по обеим переменный, Тогда решение единственно»

В четвертой главе исследуется задача; кайтй вектор , который! в ^кн Фгдв* решением снотгн

- + А с. <1е * аа^ о

"" 4а4

о поотояннщи вещественными коэф&ямеяташ; и начальника даншгдп , . . . , с„ >

. «(о, к,»«,) - $1«,*».),

а при о;; а о , удовлетворяет граничиому^илозиыэ «С к' 5 или И1* А <йл + 9 ..

гке о ¿¿Л О,,..., «„), '

! А*()%wt -К**, ...,-^ъ,

Q

Б 4,1 о указан одтта подход :t peraeisa проблемы 2 относи-тзлзто данной задачи» Затем пугач перехода (метод характеристик) к соответствующей системе интегральных уравнений Ео^ьтерра второго рода доказывается единственность решения. После чего формулируются дополнительные условия, определяйте ¡дюгиства Jll керректноест и на нем получается сценка jrcToiroîEocTHo

В 4.2, изучается одна смешанная задача для линеаризованной сгстемы уравнений газовой дажюшг о граничными условяя-:а, заданными на фронта ударной ваяны. Такая задача раков •ксслодонана mionszi авторами н в их работах дано условие неустойчивости, Используя кзлояеяный в 4.1. аппарат, доказываем единственность решения некорректной задачи.

В последнем параграфе (§ 4»3.5 подход к решению проблемеj S реализуется нз~ системе уравнений Максвелла (сесть уравнений) .

ял?

Определенно условия oi- - некорректности в частности приводит к задачам алгебры»

Î. Когда уравнение {■(%) ~ О (возможно J - многочлен с действптеяьнЕВ! коэффтзленташ) -пгеет хотя бы один комплексный корень, лежащий строго внутри первой четверти единичного круга плоскости il- о центром в начало координат, т.е. корень g с условием

{Ум а • Я&& £ f> ?

> *

2„ Когда у уравнения -ff^)® @ со многими переменными существует корень „ лрандгрюяапщй к определенной сферической "шапочке"?

3 заключении приведены основные результаты, вынесенные йа гащяту, a Tait ire сформулирована серая зад?'', тесно прикы-яавдих к тематике диссертации ил. на которые модно распространять методику работа» ,

Диссертация выложена на зсаф ,jpe вычислительной математики Казахского государственного университета им, СоМоКирова. Выбор гздной тематики связан с работали академика МвМ0Лав~ рэптьева,, Ему автор глубоко признателен за постоянное вии~ манне s поддераку в ходе работы над дассарташей.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДОСЕРТ/ДИМ

I. Условно-корректные задача для волнового уравнения. -

ДАН СССРs Го 243, Й 5с 1973, с, 1242-1143,-2с 0 двух задачах для волнового уравнения* В кн.? Обратшэ задач!: для дифференциальных уравнена! математической фкзщск. - Новосибирск, Х973, с, 79-83,

3, К теории смешанной задачи для волнового уравнение -ДйЛ СССР, Тс 24*, ¿5 5» 1979, с, ХС32-10о4. (совмэетно s МеМоЛаврентьевш) . ■

4, Смешанная задача для системы 1-го порядка* В Услоь-но коррективе математические задача s проблема геофизики., Новосибирск, 1979, с\. ХП-125,

5, Смешанная задача дош волнового л твнекая» - уразва--аке, т. 16в й 3„ 1930, с» 532=533«

во Задача с пватотюп производной для Базисного уравнения. -

Сиб. шт. журнал,, То 21 s J-s 5„ IS30, с. 78-67. 7. Задача теплопроводности с краавш условие^ содерк&цда.; производные высокого порядка. - Известия АН КазС0Р6 серш фкз.-мат, П 5, IS32, с, 35-11„ .8» Некоторнз смешанные задачи, тешюпроводвоста. - ДШ ССС?9

т. 264г Ji I, 19£2г w 45'

.47..

9 о НекорроктЕая шошанкая задача для параболической систеш второго порядка» - Взстккк АН КасЗСР, £ S„ ISB2s е<,58-6£0 10. Сшаа шя задача для параболического урэвнвя~ч высшего порядка. - В об»? Фувкцаонаяышй анализ, дай&еренциаяь-ныэ уравнения к es приложения,, Алма-Ата, 1982 „ с. 151155.

IX. К общей краевой задаче параболической системы. - ДШ СССР, т. 270, й 1983. с» 292-283,

22 о 5ааача тешопроБодасота с щхшзводной по времени в граничном условии. ~ уравнения, т» 19, £ 4, 1933,, •о о 666-673 <,

13„ Накоррзданне краевые задачи дяя уравнений в часгных цршводзнх. - В ей л Теория и метода решения нежррек-уко поставяекннх задач н гас врююаеЕИя» СТегнсн докл. Зоеесвзвой Еясш-секякара, Селаркгвд, Х283)0 Новосп- -•1Я5СК, 1833. 2X1-212. ;4„ Зданотиэиясеть решения общей некорректной задачи для иарайсжвчееяоЗ савзгеш. В ия.г Некорректные задача ггазЗизякп н анализа. „ Новосибирск,, 1234» в0 153-157. :е* К тоорт Езкетрода^реапвадьанх уравнений. - В щ»: "ггтшза я мвхенЕха, Теззсн дскладоз Ш рэсяуйяя--г-гзяхой кзвэузогекоа заугюй «огфрветйя но иагемазэ-пе а кегававэ» посвященной аО-лечки Казахского госу-„■царствонкого университета яшш СоМЛСарова«, чаоть П, Вютолзиелькая и прзкяадаея шшвша,» Алгда-А'^а0 ' 1234, с. Б0а •

Зе 0 некоторое вопросах воегзвои® я ршшэнш вшун&хмш ".раевше задач дай урсвнэазЗ с <йшгвшз дреззведяшз. » В ая. * Уравнения с разрадает яог|$зцш®ага и ах эхз~ лозеаля.» Алма-Ата» 1985„•о0 Х23-Х34о ?'» Некоторые смешащим задает (кэтокгессггаз газанет) • Рстслрпэт, КазГУ„ Ашяа-Ата,, 1СЕ5» с. г0о