Исследование полей прямых на плоскости комбинаторным методом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 Ой

На правах рукописи

: '".г. да

АВДАЛЛАХ АВДО АХМАД <САР)

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ КОМБИНАТОРНЫМ МЕТОДОМ

Специальность: 01.01.05 —Теория вероятностей я иатеиатнчесхал стагистик\

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации ка. соискание учёной степени кандидата, фюико—ма.тематических наук

ЕРЕВАН - 1994

Pnfjora ммполнеиз n Ерашлском госуда решенной! университете

На^«ч»1Й )>\"копо;ит1х^]ь: кандидат физико-математических наук, доцент В. К. Огашш

Официальные оппоненты: Академик HAU РА, профессор Р. В. Амбарцумяи.

кандидат физико-математических наук, В. Г. Саакян. .

Ведущая оргализадия: Московский иисгитуг электронного

машумосгросттия. - .

Зашита состоится " J& "Мая 1994 г. в 11 часов на заседании специализированного совета К 055.01.12 пои Ереванском государственном утгиверситеге по адресу: 375049, Ереван, ул. Л. Манукяна, 1.

С диссертацией кюизю ознакомиться в библиотеке Ереванское» госудлрсты'Нпопо упиперситгга.

Автореферат разослан " гу " апреля 1994 г.

Учё*гый сек]хггарь специализированного совета к.ф.-м. н , доцент

В. К Оганян

ОЕШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

АК1УАЛЬНОСГЬ ТЕМЫ. Настоящая работа поевяшрна решению некоторых задач стохастической и интегральной геометрии m евклидовой плоскости. Требование инвариантности распределений относительно группы преобразований основного пространства выделяет стохастическую геометрию из общей теории случайных множеств. В настоящей работе рассматривается группа IM всех евклидовых даижений плоскости и изучаются IM-инвариантные случайные процессы прямых. Эпим процессам уделяется значительное внимание [I]1. Исследуются маркированы*»» точечные процессы пересечений (марками являются углы в точках пересечений) «а тестовой прямой, порожденные случайными процессами прямых. Исследуется следукхдая задачи стохастической геометрии: каков класс распределений маркированного процесса пересечений, дая которого распределение соответствующего процесса прямых 1М-инвариантно?

Такая задача является задачей стерео логии наплоскости (делать вывода! о геометрических свойствах двумерных структур, располагая информацией о линейных сечениях).

Случайные процессы прямых определяются как точечные процессы в просгранст-ве прямых G и поэтому возникают вопросы порол^дения мер в пространстве G. Изучаются связи ме*ду 4инслеровыми метриками и мерами в G. Саязи между лсеадэмет-риками на плоскости и мерами в G приводят к комбинаторному решению 4-ой проблемы Гильберта [2]2. Интегрирование в пространстве G как способа геометрической» исследования впервые использовал В. Бляшке, который предложил название "интегральная геометрия" для всего предмета. Ряд новых приёмов, в частности, гашбииа-торная формула для вычлслештя мер и пространстве прямых G, Р. В.

Амбариумятюм, положили качтитэ no'ji.iM мето„гдм иссл^^г^ттт [?].

IIEJIb РАБОТЫ выявить огражгяязсч m 7»:рля"пиост1от<> струетууу ptf.-vrtzTK

точечных ироцгссоз перс-оэтгггнй случк&ш* ггрсцссеео rpw^x, иыгьклаакяв trf isy

'[1] P.B. Амбзриу>из1, И. -Мскю?, Л. ШгсЛ-ш "Нгмддгние о с-ипастг.-кскуто гчхил-трк-э," Моста, "Паука", НТО.

'[2] К. V. AmbarUiniimn, 4'oinbiimumaJ itilefral цгс-inctr} v.;ih cpplicstbu; to m''t!-?i;rtli;t.si(r;-o¡оду," Cliiflicslrr. Wilrj. l№.

вар^хантноети £ <*с ц ц I относительно группы Е'у1. Другкмк словами. распрсде-

Лсгоье мгфхагровдиыохх» точечкою процесса перосечсш-ш, но{хзлдетшго 1\ 1 гоар*1анг-}ИЛМ Процессом ПрЯМЬЕС, НО МОЛЗС;Т бкГГЬ ГГроШаСЛЬМ^Хм, ¡г ЦСЛЪ СОСШП Б ОНИСШиИ соогаетчггоушащх ограшгч&шнЧ.

НАУМ11АЯ НОВИЗНА- Оснэыид: реэущлгпал ¡ьлй^хы я&лялахся косьзмк. Рас-сксчтрггаахого* Г,1-шсклр^хш^ал': случай,прямых 111(0») второго поряди. ЗЗххгргзьаа изучслкзггся ксгге'пйэмерххьзе сх/у^гохиого точечного п^юцссса

Пересече?£з-1Й {г,} — т(^) П где у — П]хямак па плоогост. Азсл/зг*

многоер!лых, рдсгтре;г^л;м-^ш зтрэт^-сса {х,} стал полмс^дл!, бл^ихдахря новой аерсии ^ммбш^торлсш формулы Р. В. Ам&^рцумлша, у слипав охсуташш 5*>лликеар:т*гх

"ТОЧСК ОПуСЫЛСТСЯ. ' '

Т1рсдпол«н спосоо мер вС> с помолдмо (ки-хг^роьых метрик-с- плотностью

/> ] ¿рстгхготлг^гля, ъ С гьмост гш-ггность м для нес ¿¿ай^но та'цасс

г.. • ^ гл • си г ^ о и р; 1: /.

гхшсгты пр.имй^^гьл р^ш^дая ¿»ндлогк^длх здд^ч, 5й.х>. г.лг.=>стт» от:ос игр ль» о труппы ¿М %¿ы^нлгтод таг;хлгсх:лх«5но

•-•руги'аа г^л^т^д*. п.. »ЕЛ:! переносок, & т^-с^дт иссл^свзгакя гдгалзгкчг;сыл ЕЛЩЮССЙ В з гростраксто;. Н*ч-ь этот круг вопросов дерсгзтхы;лздт хгггсрсс дка прюлэддок п ¡чоторикх п риме1-1й.штт.я чг7Л'р^/^пг^есного х^рштгра.

А£2РО£ЗАЦИ11 РАБОТЫ Результаты дасссркцдш даэдаддаагшсг» ид семшхарах: по я&ярии Б*;р<й>г постгй к мэтемлгхкчакэяш спхттютиш г» Ереванском государственном ушвзерситеге я ллстлтутс Г^атсдштшл! 11АН Арм^ншх."

ХХУБ«Ш1КА1ХШ1. По теме дассертации о / су б лю-о в а^ы дзе статьи.

СГРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ Лисссргац>1я состоит га введения, трех глаа ¿•1 сгазска лигеротуры. со^зррькагт 82 страницы Список литературы содерязгг 38 на! 1М е 1»¡и а* оа.?"*,

ОЭДЕРЖАИИЕ ЖСХЖРГАХШОННОЙ РАБОТЫ

Во 1ШЕ^ШI£НМ „дастся краткое со^р&кша^г лксертациокной рлботы.

ПЕРВАЯ ГЛАВА кос характер. В ней собршгы необхо/ямььг

дгш нзлоа&нкя основных рсзул!.татов.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена исследованию мер в пространстве й с помешаю «¡»тс-даровых метрик с плотностью /. Флаг в 31г есть пара (V, <?) — где V = (х,у) —

точка на плоскости (5, ~ окружность >тпраалешдо на шюсквейи).

Пусть ДР,у) = /(х.У,1^) -неотрицательная функция, определенная в пространстве' фиатов Ш.2 х 5\. Рассмотрим интегралы

еи>иЪ)= [ /(/»<#',' V О)

где интеграл берётся по веем точкам р принадлежащим отрезку ¿1 — »лвмеиг

дайны на этом сегменте. Значений параметр« ч> в аргументе / совпадает с направлением отрезка Т\Рз.

Если р — метрика, та (см. [1], [2]) существует единственная мера т а пространстве С такая, что

/>(?,, Р2) = т([Р„ТУ). (2)

где [V, С) = {д : прямая д ратделяет точки V и 2).

Итак, финслеровы плотности /(г,у,\о) определяют меры в пространстве Б.

Пусть ц — мера в С, инвариантная относительно группы 1М еданственна с точностью до постоянного мноаатгеля). Все меры гп( ) мы предполагаем абсолютно непрерывными относительно <1т = -у{д)<1д, где <(*? — элемент меры /<, 1(д) —плотность меры т(■).

Пусть т( ) мера пС с плотностью -){д). Тогда метрика />, соотоетстпующал мере л}() по формуле (2) имеет 4«нслерову плотность /.

Из <}мкЕированных точек А, В 6 д восставлены ,пра отрезка 01 = АС и а| = ВО под углами »1 и а2 к прямой д (отрезки а1 и а2 находятся в одаой полуплоскости ограниченной прямой Пусть длины отрезков 01,02 стремятся к нулю (утлы 01, аг остаются <?«ксированными). Плотность 7 на д вычисляем как предал

- -у(д) = I"" л (■>)

где [а) = {!/ е С : дПа ф 0}. Исто льзуя стандарт«»» формулы интегральной геометрии, из (3) подучим

7,(„) = Ш (( / /(1,У,Р1 )Л+/ /(X, У. ы - /л», ».*>)<«-' 2 «аМ) (ДУлв ¿вс Л

«аИЯ)

г

-у /(».».^«^(»»па^тог-о,-а2)"'|, (4)'

где VI, у'з и у —направления отрезкою >1£>, ВС, СО пАВ соответственно и |£| = Приходим к следующему заключению: ЕСЛИ / - ФИНСЛЕРОВА ПЛОТНОСТЬ, КОТОРАЯ СООТВЕТСТВУЕТ МЕРЕ ш( ) ОБЛАДАЮЩЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ, ТО ПРЕДЕЛ КРОФТОНА (4) СУЩЕСТВУЕТ.

Пусть / — произвольная флаговая «функция (АПРИОРИне <$4шслерова плотность). Возникают два естественных вопроса:

X. Какими условиями долдога обладать /, чтобы существовал предел Крофгона

(4)?

2. При каких дэполиктельных условиях на / предел Крофгона (4) зависит толы» от прямой д ?

Априори, предел Крофгона может зависеть от положения точек А и В на прямой д и от углов »1, »2- Согласно [З]1, второй вопрос можно заменить следующим

2'. При каких дополнительных условиях отношение в (4) ограниченно снизу? В ГЛАВЕ 11 получены следующие основные результаты:

ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ФЛАГА / ПОРОЖДАЕТ МЕРУ В ПРОСТРАНСТИЕС. ТО ОНА УДОВЛЕТВОРЯЕТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

• я/ ¿>7 а2}-.

СЬсюда слгдует, что если локально-выпуклая функция / удовлетворяет (5), то / финслерова плотность.

При дополнительных условиях гладкости на /, находится формула для плотности

1 в терминах /:

Здась обозначает даффгрекцироши.^, в направлении "положительной" нормали

2 [31 Р. В. Амбзрцумнн "Замечания о порождении мс-,1 н прострщмгщ. прямых а Ш.3," Им. НАН Арматм. серия Математика, том 27, К" 5, стр. I - 25, 1992

г

Таким образом, (в) является ответом на вопрос 2. Очевидно, из (в) также следует ограниченность кррфгоновского отношения.

В §2.4 проводится проверка основного результата для случая, когда 7(j) —цлот-ность меры т( ) в G и, следовательно, соответствующая флаговая функция имеет вид

1 Г*

f(x,y,p) = -l 7 • |siAtf>|d0. , (7)

wo * "

В $2.5 рассмотрены знакопеременные меры. Джазана следующая

ТЕОРЕМА 2. ПУСТЬ f ДОСТАТОЧНО ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ. ТОГДА УСЛОВИЕ (5) НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНО-КОНЕЧНОЙ ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ МЕРЫ В С, КОТОРАЯ ИМЕЕТ ПЛОТНОСТЬ 7(g), УДОВЛЕТВОРЯЮЩУЮ (Г).

Заметим, что (в) моядао рассматривать как решение интегрального уравнения (7).

В ГЛАВЕ III изучаются маркированные точечные процессы пересечений, порожденные случайными процессами прямых. Случайный процесс прямых в IR" определяется как случайный точечный процесс в G.

Пусть М — множество всех подмножеств ш С G, удовлетворяющих условию car<l(mПИ) < се, где И сG - ограниченное борелевское множество; А — минимальная а—алгебра по,дсиножеств .И, относительно которой фгункции cartl(m П В) измеримы для всех И С G. Пусть (it, f, Р) — вероятностное пространство. Измеримое отображение m: U 1—• .VI, w 6 П, называется случайным точечным процессом в G, а вероятностная мера I3 на (М,А) (шу^цированная отображением m(w)) — распределением случайного процесса прямых. Процесс m(w) называется однородным и изотролиым, если его распределение Р инвариантно относительно группы ЗМ (1М-инвариангно). Известным IM—инваригагтым случайным процессом прямых слулмт пуассоновский точечный процесс, управляемый мерой A rfj, А > 0.

Пусть I' есть распределение iн(ш). Нас интересуют маркированные точечные процессы пересечений {xj.ttj} индуцированные m(u) на ^иксирой&югой прямой д. По определению, )*,) = in(w) Пу, а марка о, есть угол в точке т,, под которым прямая га реализации m пересекает прямую д.

Пусть А, — о—алгебра событий, соотввтстэукядая {г,,}. Очевидно, что А, С А. Обозначим через /'. распределение процесса (х,. n, J. /'. определена на At и язляет-

ся сужением Р на Л3. Продолжение Р. на Л единственно в классе ЗМ-инвариантиых распределений и совладает с Р.

Обратно, начинаем со случайной последовательности {¡с;,**.}, где {х,-} — случайный точечный процесс на д, а марки принадлежат (0, тг). Пусть {5, } — случайный процесс прямых, соответствующий {х,,а,}: в множестве } есть прямая, пересекающая ось X в точке г, под углом о,. ЯЬ'— распределение процесса прямых {г,}. Возникает следующий вопрос: каков класс распределений процесса {хь«,}, ддя которого Рй 1М—инвариакшо? Лругими словами: когда {д{), построенный по {х;,а,}, является одаородаым и изотропным? Мы рассматриваем конечномерные распределения {г,}:

р*!, ,,)1„(т1,..., тт) = Р {т : саг<1(т П г,) = !=1,...,т},

где Т],..., тт —непересекающиеся интервалы на д, 1|.....кт —неотрицательные целые

числа.

Вероятность р^, ¿„Сь.... гт) есть функция от (2гл - 1) действительных переменных

. Ри,.....¿1 ,.■,,=р^1,6) = Р {ю : сагс1(тПт}) = к,, ; = 1, ...,т},

где (ь...,(т —длины интервалов г,, 6, — расстояния ме^ду сосе/цшми г,. Мы используем метод усреднения комбинаторных разложений.

Основной результат главы Ш суть формулы, связывающие конечномерные распределения точечного процесса пересечений с пальмовскими распределениями первого (Пу) и второго (Пв11гУ порядаа. Эти формулы можно рассматривать как необходимое условие, что задгишая случайная последовательность {*<,№,} порождает 1М—инвариантный процесс прямых на плоскости.

Если маркированный точечный процесс {г,, &, } с независимыми марками, то формулы упрощаются и принимают следующий вида

+ =2ф; ¡^Т.К-^Щ , . (8)

где А —интенсивность процесса прямых, 6) = -¡(1,6) = Пг(Л^,_1), А^ =

(т(ы): := £,>3 = 1, ...,гп},= {да(ш): сагс1(т(и)П(; = А,-,] ^ 1, саг(1(т(и)Л

В $3.6 обсуждается основной результат и доказывается

ТШРЕМЛ 3. ЕСЛИ ДЛЯ МАРКИРОВАННОГО ТОЧЕЧНОГО ПРОЦЕССА ПЕРЕСЕЧЕ-ЧНЛ ,'л,«,) ИМЕЮ МЕСТО (8) И ПАЛЬМОПСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯД-(А М; СОвПАЛЛЕТ С Р, ТО Т0ЧЕЧ1П>П1 ПРОЦЕСС {г,} ПУАССОПОПСКИЙ.

i!i !:XLic;MO моему научному ir.ководителю, доценту В. 1С. Оганяну лскреншого нриз-v."лстт^ за постановку задач it неослабное внимание к работе. Но тем*: диссертант опубликованы следующие рчбо-гы: . 3. В. К, Отпиян, А. Аблдхша, "О построении мер d пространстве прямых фшелерооьь Ы1>(-?15юет.ш." Игв. АН Армении, серия Математика, [ Английский перевод Journal of Oonleniporary Math. Anal (Armenian AcaJemy of Sciences)], том 27, Л*1 5, стр. 39 —33, 1992.

В. К. Отанян, А. Абдалла, "Маркировазсгъге точечные iipoueccr.i пересечении по-;r>v-K.:vY::'r;.-;? случайными процессами прямых на илосьос-ги," 11зэ. АН Армензп!, серия Математика, [Англзи-1стзя1 перевод Journal of Contemporary Math. Anal.(Armenian Academy сf Scitncrs)], том 28, № 5, стр. 07 - 77, 1903.

г