Комбинаторные валюации в интегральной и стохастической геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

/

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ОГАНЯН ВИКТОР КАРОЕВИЧ

КОМБИНАТОРНЫЕ ВАЛЮАЦИИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ

01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

•Президиум ВАК Росс««

(решмиеьт'Щ.' 19 г., Г**

присудил учещую степень ДОКТОРА | М^рш^шшщ-ш^ -тух

Начальник ВАК Россят

_

Ереван — 1998

СОДЕРЖАНИЕ

страницы

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ..............................................................................4

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................6

ГЛАВА 1. ПОРОЖДЕНИЕ МЕР КОМБИНАТОРНЫМИ

ВАЛЮАЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ С......................................11

§1.1. Введение ............................................................................................11

§1.2. Вычисление предела Крофтона ..............................................19

§1.3. Доказательство Теоремы 1.2....................................................26

§1.4. Проверка..............................................................................................29

ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ 4-АЯ ПРОБЛЕМА

ГИЛЬБЕРТА ..............................................................................................31

§2.1. Введение ............................................................................................31

§2.2. Однопараметрическое семейство..............................................36

§2.3. Семейство сегментных опорных функций ..............40

§2.4. Случай римановых метрик........................................................49

§2.5. Примеры ............................................................................................55

ГЛАВА 3. ПОРОЖДЕНИЕ МЕР КОМБИНАТОРНЫМИ

ВАЛЮАЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ 1Е....................................62

Введение ........................................................................................................62

§3.1. Кольцо Сильвестра в 1Е ............................................................62

§3.2. Валюация Ф/г ............................................................................69

§3.3. Стереография ..................................................................................72

§3.4. Блоки й их фрагменты ................................................................75

§3.5. Интегральные суммы Римана..................................................78

§3.6. Возврат к функционалу Ф^ ......................................................82

§3.7. Анализ первого порядка..............................................................87

§3.8. Тригонометрический вид плотности р ................................96

§3.9. Дифференциальное уравнение для функций А, В, С... 99

§3.10. Достаточность дифференциального уравнения (3.93) 103

§3.11. Результат анализа первого порядка..................................109

§3.12. Анализ второго порядка..........................................................110

§3.13. Валюации на плоскости т ......................................................114

§3.14. Разложение по направлениям осей х и у ........................118

§3.15. Полу локальные условия..........................................................121

§3.16. Необходимые и достаточные локальные условия

для (3.154)..................................................................................................127

§3.17. Достаточные условия для (3.155) ......................................133

§3.18. Необходимые и достаточные условия для (3.150)--------134

§3.19. Основной результат..................................................................135

ГЛАВА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ................139

§4.1. Введение ..........................................................................................139

§4.2. Доказательство Теоремы 4.1 и вывод следствий ..........149

§4.3. Доказательство Теоремы 4.2 и вывод следствий..........157

§4.4. Доказательство Теоремы 4.3 и вывод следствий ..........160

ЛИТЕРАТУРА ..............................................................................162

ПРИЛОЖЕНИЕ..........................................................167

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Ш.п — п-мерное евклидово пространство, ИЗ.1 = Ш.; С — пространство прямых в Ш.2, д бС; 1Е — пространство плоскостей в Ш,3, е Е ХЕ; 1МП — группа евклидовых движений М Е 1МП; Тп — группа параллельных переносов , t Е Тп; В(Х) — сг-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства X;

Во(Х) — класс ограниченных борелевских подмножеств топологического пространства X;

В1 — единичная окружность с отождествленными диаметрально противоположными точками (пространство направлений прямых д Е С в

т2);

Е2 — единичная сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками, (пространство направлений прямых в Ш.3);

(7) — пространство направлений в плоскости ортогональной прямой ТСЖ3;

1а(х) — индикатор множества А, т.е. 1а{х) = 1, если х Е А и 1а(х) — О в противном случае;

[ЯР] = {д ЕС: (7разделяет точки ф и Р}; или (в Главе 3) [ЯР] = {е Е 1Е: е разделяет точки ^ и Р};

/ = (Р, д) — флаг на плоскости Ш.2, т.е. пара состоящая из точки Р Е Ш,2 и прямой д Е С проходящей через точку Р. Эквивалентной является запись / = (Р, (р), где Р Е П^2 и ср Е £\ есть направление прямой д С И2;

f — (Р5-)/?е) — флаг в Ш,3, т.е. триада, состоящая из точки Р Е П^3, прямой 7, проходящей через Р и плоскости е, проходящей через 7. Эквивалентной является запись / = (Р, П, </>), Р Е Ж-3, П 6 ¿"2, Ф Е £1(7)? гДе

Q - пространственное направление прямой у, ф - угол поворота плоскости е вокруг 7; Т — пространство флагов в IR3;

С;(т) — пространство функций для которых существует га-ая непрерывная производная;

Card (А) — число элементов множества А.

В каждой главе первое упоминание обозначения из данного списка будем отмечать обозначением: см. Список.

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена решению некоторых задач стохастической и интегральной геометрии в 2-х и 3-х мерном Евклидовом пространствах. Систематическое применение методов теории вероятностей в таких геометрических дисциплинах как теория выпуклых тел и геометрические неравенства было начато в тридцатые годы В. Бляшке и его школой. Соответствующее направление исследования В. Бляшке назвал Интегральной Геометрией [25]. В работах JL Сантало [47] возглавившего эту школу после войны, первостепенной была задача отыскания мер в пространствах интегральной геометрии инвариантных относительно группы. В общей постановке для т.н. однородных пространств эта задача была решена С. Чженем [26]. Однако, в этих исследованиях совершенно не использовалась современная теория продолжения мер, в которой инвариантность меры относительно группы несущественна. Работа по построению мер в классических пространствах интегральной геометрии методом продолжения комбинаторных конечно-аддитивных функционалов (Валюаций) определенных на т.н. кольцах Сильвестра была начата Р. В. Амбарцумяном [10]. Соответствующие комбинаторным валюациям разложения мер в пространстве прямых на плоскости а затем и в пространствах геодезических линий на двумерных многообразиях, были впервые построены Р. В. Амбарцумяном при решении задачи "Бюффона-Сильвестра" [2]. Изучению валюаций в геометрии и в теории геометрических вероятностей в настоящее время уделяется значительное внимание (например, [30] и [31]). В институте Математики HAH Армении на семинаре Р.В. Амбарцумяна ведутся исследования по комбинаторным валюациям. В последние годы проделана значительная работа по нахождению условий продолжимости комбинаторных валюа-

ций до мер на кольцах в других пространствах интегральной геометрии (плоскости в Ж3, прегеодезические на двух- и трехмерных многообразиях). Выявились глубокие связи этой задачи с четвертой проблемой Гильберта. Опубликовано 2 специальных сборника под общим названием "Аналитические результаты комбинаторной интегральной геометрии" [19], [22], в основном посвященных вопросу нахождения условий продолжения комбинаторных валюаций до мер в соответствующих пространствах и приложение полученных результатов в задачах типа 4-ой проблемы Гильберта по описанию метрик.

Разложения мер соответствующие комбинаторным валюациям и их многомерные аналоги имеют многочисленные глубокие следствия в стохастической геометрии. Предметом Стохастической Геометрии согласно Д. Кендаллу и К. Крикебергу [27] являются общие случайные процессы фигур, определяемые как точечные процессы в соответствующих пространствах. С обширной литературой в этом направлении можно ознакомится в книге Д. Штояна, В. Кендалла и Й. Мекке [49]. В стохастической геометрии обычно накладывается требование инвариантности вероятностных распределений процессов фигур относительно группы преобразований основного пространства. Ереванской школе принадлежат постановка задачи применения метода комбинаторных разложений мер для исследования случайных процессов фигур. Этим методом в книгах Р. В. Амбарцумяна [10], [14], [15], был получен ряд стереологических результатов для случайных мозаик и случайных раскрасок плоскости. Настоящая диссертация содержит результаты автора по применению комбинаторных валюаций в двух очерченых направлениях исследований. В частности, она содержит результаты по случайным точечным процессам пересечений, маркированных углами под которыми происходят пересечения.

Четвертой проблемой Гильберта занимались Г. Гамель, П. Функ, Г. Буземан, А. Погорелов, Р. Александер, Р. В. Амбарцумян. От-

метим теорему Погорелова-Александера-Амбарцумяна о соответствии между псевдометриками на плоскости, для которых геодезическими являются обычные евклидовы прямые, и беспучковыми мерами в пространстве прямых С на плоскости [14]. Пусть И — класс достаточно гладких псевдометрик определенных на евклидовой плоскости для которых геодезические суть обычные евклидовы прямые. Параметрическая 4-ая проблема Гильберта состоит в следующем: описать все псевдометрики из Л которые в каждой точке имеют индикатрису из некоторого параметрического класса выпуклых фигур. Отметим, что для римано-вых метрик соответствующий параметрический класс есть пространство эллипсов. Первые результаты по параметрической 4-ой проблеме Гильберта [24] вошли в данную диссертацию.

В работе используются аналитические и комбинаторные методы интегральной и стохастической геометрии. В частности, комбинаторные валюации задаются с помощью т.н. флаговых плотностей принадлежащих различным классам гладкости. Условия продолжимости валюаций до знакопеременных мер записываются в виде дифференциальных уравнений. Исследование последних в Главе 2 сводится к исследованию бесконечных алгебраических линейных систем уравнений и к анализу соответствующих бесконечных матриц. В Главе 4 метод усреднения комбинаторных валюаций используется в сочетании с методом малого параметра (запись комбинаторных разложений внутри "узких " прямоугольников).

В Главах 1, 3 требуемые условия на флаговую плотность получены путем вычисления или асимптотического анализа т.н. предела Крофтона.

В Главе 1 рассматриваются комбинаторные валюации на кольце Сильвестра в пространстве С порождаемые флаговыми плотностями. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых комбинаторная валюация на кольце Сильвестра в пространстве прямых С продолжается до знакопеременной меры. Эти условия имеют вид дифференци-

ального тождества для соответствующей флаговой плотности. Выведен критерий неотрицательности меры, который совпадает с известным условием выпуклости флаговой плотности в каждой точке плоскости.

Глава 2 посвящена параметрической 4-ой проблеме Гильберта. Полученное в Главе 1 дифференциальное тождество исследовано для т.н. параметрических семейств флаговых плотностей р. Получено необходимое и достаточное условие, при котором р определяет псевдометрику класса Л. Доказано, что в случае зависимости от одного одномерного непрерывного параметра решения всегда определяют метрику Мин-ковского. Исследованы дифференциальные уравнения для параметров псевдометрик класса 7Н. в случае сегментных и эллиптических (рима-новых) индикатрис. Получено полное решение в случае сегментных индикатрис. Показано, что функция задающая ориентацию эллипсов необходимо гармоническая. Построен пример метрики Римана в ГО-2 из класса Л и показано, что она единственна в классе метрик Римана с изотропной функцией ориентации.

В Главе 3 рассматриваются комбинаторные валюации на кольце Сильвестра в пространстве плоскостей 1Е в ГО,3. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых комбинаторная валюация на кольце Сильвестра в пространстве плоскостей Ж продолжается до знакопеременной меры. Эти условия имеют вид системы из двух дифференциальных уравнений для соответствующей флаговой плотности. Последняя необходимо имеет определенный тригонометрический вид.

В Главе 4 исследуются конечномерные распределения точечных процессов пересечений случайных процессов прямых на плоскости с "тестовыми" прямыми. Та же задача ставится для случайных плоских мозаик.

Для случайного процесса прямых инвариантного относительно группы 1М2 евклидовых движений плоскости вычислены конечномерные рас-

<-» и ^ 55 «

пределения точечного процесса пересечении на тестовой прямой в терминах двух распределений типа Пальма. Этот результат дает основа-

ние выделить класс случайных процессов прямых определяемый наличием некоторого "свойства перемешивания". В этом классе получено необходимое и достаточное условие того, что процесс пересечений на тестовой прямой оказывается пуассоновским. Аналогичная классификация оказывается эффективной и в двух других задачах стохастической геометрии рассматриваемых в диссертации.

Для процессов прямых инвариантных относительно группы Т2 параллельных переносов плоскости вычислены одномерные распределения точечного процесса пересечений на "типичной прямой направления а". Получено распределение длины "типичного ребра направления о?" в терминах процесса {xi, Фг}, где {.тг} — точечный процесс пересечений ребер мозаики с фиксированной прямой направления а, марка Фг- — угол под которым ребро мозаики пересекает фиксированную прямую в точке Х{. Здесь также предполагается инвариантность только относительно группы Т2. Получен ряд следствий стереологического характера.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по интегральной и стохастической геометрии а также в теории выпуклых тел. Методы решения задач могут быть использованы при решении аналогичных задач в неевклидовых пространствах. Результаты Главы 4 представляют значительный интерес для ряда прикладных дисциплин, в которых применяются процедуры стереологического характера [50]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20], [24] [32] — [43].

Более подробное представление о содержании глав можно составить из введений, которыми открывается каждая из четырех глав.

ГЛАВА 1 ПОРОЖДЕНИЕ МЕР КОМБИНАТОРНЫМИ ВАЛЮАЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ С §1.1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть на плоскости задано конечное множество точек {Д}, содержащее не менее двух точек. Каждая прямая, не содержащая точек Р{ производит разбиение множества {Р{} на два подмножества. Две прямые, не содержащие точек Р{ полагаем эквивалентными, если они производят одно и то же разбиение множества {Рг}. Множество эквивалентных прямых называется атомом, если его замыкание компактно. Существует только одно разбиение, которое не соответствует какому-либо атому, а именно, разбиение на 0 и само {Р;}.

Через г{Рг} обозначаем минимальное кольцо подмножеств С, содержащее все атомы.

Ясно, что любое А Е г{Р{} может быть представлено в виде объединения атомов Е

А= []а3. (1.1)

Так как атомы определены как открытые множества, то открытыми оказываются все элементы г{Р;}. Множество прямых, содержащих точку (5 Е П^2, будем обозначать через [0\ и называть пучком прямых, проходящих через <3.

Определение 1.1. Два множества А\,А2 С О полагаем эквивалентными, если их симметрическая разность А\АА2 принадлежит объединению конечного числа пучков [ф,-], т. е. если

к

А1ЛА2 - (Аг \ А2) и (А2 \ Аг) С и[<2г-], к < оо.

г=1

Класс множеств, эквивалентных множеству А С С, обозначим через А*.

Лемма 1.1. Пусть {Р;} и {фг} — два конечных множества из Л*,2. Для каждого А Е г{Р{} существует эквивалентное множество

Доказательство достаточно провести в случае, когда ({Рг} и {ф;}) \ {Р;} состоит из единственной точки, скажем (далее доказательство может быть завершено индукцией). Ввиду (1.1), необходимое утверждение достаточно доказать в случае, когда А - атом. Возможны два случая: 1) А П [фх] = 0, или 2) А П [фх] ф 0- В случае 1) имеем А! - А. В случае же 2) А эквивалентно объединению двух атомов Ах,Аг из г({Рг} и {^х}): А1, А'2 - две компоненты, на которые атом А расщепляется пучком [<31] •

Обозначим через класс = и где объединение берется

по всем конечным подмножествам {Р;} С П^2, содержащим более одной точки.

По лемме 1.1, Ц£ вместе с каждым А Е содержит множества эквивалентные А. Однако ниже разница между эквивалентными множествами не будет существенной.

Определение 1.2. Щ = {А*: А Е 17^}.

Лемма 1.2. Класс есть кольцо (т.н. кольцо Сильвестра) относительно операций объединения и вычитания множеств

А* и В* = (А и В)*, А* \ В* = (А \ В)*.

Доказательство: Если А*, В* Е ЦХ, то существуют конечные множества {Рг} и {<3г} С Ж2 такие, что в г{Рг} имеется А Е А*, а в г{(3„-} имеется В Е В*. По Лемме 1.1, существуют А'Е и

А' Е А* и Р' Е Р*. В силу свойства кольца

А' и В', А' \В' Е г({Рг} и {<3г}))

и утверждение следует ввиду того, что (А'иВ')* = (АиР)* и (А'\В')* = = (А \ В)*.

Через V будем обозначать иглы в т.2: по определению игла есть отрезок прямой на плоскости. Через [и] обозначим т.н. бюффоново множество прямых

[и] = {д Е С: д разделяет концы г/} С г{Р\, Р2}, где Р2 — концы отрезка и.

О