Исследование поля в переходной области при многократной дифракции электромагнитных волн на телах с острым краем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Анализ проблемы построения решения в переходной области при многократной дифракции.

1.1. Основные результаты экспериментальных исследований по дифракционному ослаблению УКВ в городе.

1.2. Теоретические методы вычисления дифракционного затухания радиоволн в городских условиях.

1.2.1. Метод однократного рассеяния с учетом затенений.

1.2.2. Метод многократной дифракции.

1.2.3. Результаты экспериментальных проверок методов.

1.3. Методы вычисления многократного дифракционного интеграла.

1.3.1. Эвристические методы.

1.3.2. Метод повторной функции ошибок.

1.3.3. Статистические методы.

1.3.4. Метод однородной теории дифракции.

1.3.5. Метод обобщенного параболического уравнения.

1.3.6. Метод Френеля-Кирхгофа.

1.4. Выводы.

Глава 2. Многократный дифракционный интеграл.

2.1. Основные теоретические положения и приближения.

2.2. Множитель дифракционного ослабления.

2.2.1. Последовательное интегрирование по апертурам.

2.2.2. Решение в виде многократного интеграла.

2.3. Связь множителя дифракционного ослабления с кривизной ограничивающей поверхности.

2.4. Выводы.

Глава 3. Исследование поля в переходной области методом повторной факторизации.

3.1. Кратность задачи дифракции.

3.2. Исследование влияния кривизны ограничивающей поверхности.

3.2.1. Рекуррентная формула для функции дифракционного ослабления.

3.2.2. Безразмерный параметр v задачрг дифракции.

3.2.3. Множитель дифракционного ослабления В

3.2.4. Факторизация.

3.3. Исследование влияния удаления источника от ограничивающей поверхности.

3.3.1. Рекуррентная формула для функции дифракционного ослабления

3.3.2. Безразмерный параметр и задачи дифракции.

3.3.3. Множитель дифракционного ослабления С

3.3.4. Факторизация.

3.3.5. Степенное разложение множителя дифракционного ослабления в ряд по безразмерному параметру.

3.4. Мультипликативное приближение для множителя дифракционного ослабления.

3.5. Вычисление параметра М в зависимости от расстояния и высоты.

3.6. Специальные функции F и J задачи дифракции.

3.7. Сравнение основных формул теории многократной дифракции с известными результатами по дифракционному ослаблению.

3.7.1. Формулы, рекомендованные ITU-R.

3.7.2. Данные измерений в зависимости от дальности и высоты. 116 3.8. Выводы.

Глава 4. Метод виртуальных экранов.

4.1. Переход к эквивалентной задаче дифракции.

4.1.1. Разделение многократного интеграла.

4.1.2. Виртуальные экраны.

4.2. Исследование спектрального решения задачи.

4.2.1. Матрица спектральных переходов.

4.2.2. Прохождение волны сквозь виртуальный экран.

4.3. Вычисление дифракционного ослабления.

4.4. Выводы.

Активное применение радиотехнических систем различного назначения, в которых задействована волна, распространяющаяся вдоль земной поверхности, ставит перед радиофизикой задачу вычисления дифракционного ослабления напряженности поля в месте приема. При этом для случая распространения волны над гладкой земной поверхностью развиты различные теории и методы вычисления дифракционных потерь [1-9]. Исследование дифракции на ребристых структурах [10-22] представляет большой теоретический интерес, а доведенные до инженерного уровня результаты исследования активно применяются на практике. Наиболее важным и одновременно сложным является случай, когда кратность дифракции высока [23-37].

Интенсивное развитие различных систем радиосвязи в городских условиях с начала 70-х годов во всем мире привело к необходимости выполнения теоретических и экспериментальных исследований по распространению радиоволн в городских и пригородных условиях. Первые попытки теоретического описания распространения УКВ над слоем городской застройки, как показано в обзоре, помещенном в [38], не учитывали дискретной природы покрытия земной поверхности. В результате теории давали неправильные качественные зависимости, согласия с экспериментом не было, и от такого подхода вскоре отказались.

Модель городской застройки в виде множества непрозрачных экранов [39-65] оказалась удачной, поскольку позволила установить первые закономерности, соответствующие данным измерений. Было установлено, что на малых расстояниях средняя интенсивность поля убывает обратно пропорционально расстоянию в степени М . Причем теоретические значения величины М , полученные разными исследователями, различаются. В работе Пономарева [39] величина М = 3, по результатам исследований

Бертони и Уолфиша [59] М ~ 4. Обработка результатов измерений в различных городах привела к значительному разбросу в значениях М = 2. .6.

Поскольку теория не могла дать объяснение накопленным данным экспериментальных исследований, то активно начали применяться эмпирические методы. Наибольшее распространение получил метод Ли [66, 67]. Метод основан на степенной зависимости потерь передачи от расстояния и содержит два неопределенных параметра М и J3, значения которых следует определять экспериментально для каждого типа местности. Для отдельных городов имеются готовые значения. Широкое распространение получил также эмпирический метод Окамуры [68].

В некоторой степени ситуация с прогнозированием улучшилась, поскольку ошибку вычислений удалось понизить до разумных пределов. Однако для каждого нового типа местности приходилось выполнять дорогостоящие эксперименты. Вскоре оказалось понятным, что снизить затраты на проведение измерений можно лишь продвинувшись в теоретическом описании процесса распространения радиоволн в городских условиях. Дополнительным фактором, стимулирующим переход от эмпирического к теоретическому подходу, стала возросшая потребность в точности прогноза радиокарт городских районов, что вызвано активным развитием сотовых систем связи, применяющих дорогостоящую аппаратуру. Возникла новая задача обеспечения максимальной площади обслуживания и пропускной способности при минимальном количестве базовых станций.

Это привело к созданию эмпирико-теоретических и теоретико-эмпирических методов вычисления дифракционных потерь. При построении методов первой группы применялись различные теоретические поправки к разработанным эмпирическим методам. Во второй группе методов в теоретических формулах задавались дополнительные поправки, полученные из данных измерений. В результате совместного применения теоретических разработок и экспериментальных закономерностей было получено большое количество методов. Точность вычислений при этом повышалась лишь в узком диапазоне входных параметров метода таких, как дальность, длина волны, высоты источника и точки наблюдения, профиль рельефа местности, плотность и высотность застройки. В случае задания параметров в широком диапазоне точность значительно понижалась. Средняя точность методов составляла не выше 8. 10 дБ, а возрастающее их количество не устраняло границы по точности.

Помимо низкой точности возникала проблема выбора наилучшего метода из нескольких десятков методов прогноза. Опубликованные обзоры методов [69-81] дали возможность сопоставить методы по точности. Однако ошибка прогноза изменяется при переходе от одних входных параметров к другим. В пакеты прикладных программ стали включаться одновременно несколько методов, предоставляя пользователю возможность выбора одного из методов, количество которых может составлять до 8 в одном пакете программ. Искусство выбора метода для конкретных условий распространения, конечно, не является решением проблемы и не может заменить отсутствие знаний о физике явления.

В настоящее время в различных странах ведутся интенсивные теоретические исследования, направленные на одновременный учет рельефа земной поверхности и параметров слоя городской застройки при вычислении дифракционных потерь. При этом физическая модельная задача состоит в том, чтобы найти поле в переходной области при многократной дифракции на телах с острым краем (зданиях).

На основании численного эксперимента и данных измерений установлено [56], что указанная модель городской застройки может снизить ошибку прогноза до 4.5 дБ. Однако повышение точности не может быть выполнено без разработки теории соответствующего физического явления. В последние годы многие исследователи обратили на это внимание. Возрос интерес к разработке теории многократной дифракции в переходной области. Однако, как показывают недавно опубликованные результаты исследований [31, 32, 41, 82-85] на пути построения решений имеется принципиальная проблема, которая не может быть снята с помощью имеющихся теоретических знаний и быстродействующих ЭВМ. Объем вычислений резко возрастает с увеличением кратности дифракции. Более 20 препятствий учесть за приемлемое время не удается, а требуется вычислять потери при кратности дифракции 100 и более. Аналитические решения имеются только для плоского случая, когда ребра всех препятствий расположены на одном уровне.

В настоящее время из-за недостаточно развитой теории многократной дифракции решение задачи приходиться строить с применением эвристических приемов, когда к описанию поля многократно дифрагировавшей волны привлекаются результаты теории дифракции на гладких выпуклых телах. Метод получается полностью теоретическим, но содержит эвристические приемы, вносящие в ответ неопределенность, которая может приводить к недопустимо большим ошибкам в вычислениях. Приведем два типичных примера. В работах [55, 57] предлагается в теории дифракции Келлера на гладком круговом цилиндре заменить коэффициенты в дифракционной формуле на значения, которые получаются по результатам численного моделирования дифракции на последовательности поглощающих экранов. В работах [39, 86] предлагается домножать формулу для квазиплоского участка на множитель теории дифракции Фока на гладкой сферической поверхности.

Предлагаемые попытки совместить зависимость дифракционных потерь от дальности над серией поглощающих полуплоскостей с зависимостью для гладкого тела приводят к тому, что на некотором участке разница между двумя зависимостями остается в допустимых пределах. При рассмотрении же всего диапазона дальностей возникают значительные отличия. Имеются отличия и в частотной зависимости дифракционных потерь.

Вывод здесь, конечно, один. Дифракция волны в переходной области на гладкой поверхности и последовательности тел с острым краем описываются различными закономерностями. В малоугловом приближении каждая из них описывается экспоненциально-степенным законом. При первом взгляде зависимости от расстояния могут показаться одинаковыми, однако, при детальном строгом анализе выявляются различия между ними.

После того, как показана необходимость решения задачи многократной дифракции в переходной области и отсутствие такого решения в результатах других исследователей, можно сделать вывод о целесообразности проведения исследования, направленного на заполнение указанного пробела в теоретических разработках.

При проведении исследования мы будем направлять основные усилия на пополнение представлений о физике явления, поскольку это есть фундамент аналитического или численного решения, которые затем будут строиться.

Диссертация состоит из четырех глав, которые отражают основные этапы проведенного исследования, при этом исследования в каждой последующей главе опираются, как правило, на результаты из предыдущих глав.

В первой главе приведены данные измерений по зависимостям дифракционных потерь от дальности и высоты источника. Анализ экспериментальных зависимостей позволяет выявить основные закономерности, некоторые из которых до сих пор не получили теоретического объяснения. Затем проанализированы наиболее развитые методы расчета дифракционных потерь с указанием их ограничений. Подведены итоги теоретического построения решения задачи многократной дифракции в переходной области с указанием незавершенности исследований.

Во второй главе выявлена закономерность, позволяющая установить связь значения множителя дифракционного ослабления с кривизной поверхности, которая мысленно может быть проведена через ребра препятствий. Установленная закономерность позволяет при решении задачи воспользоваться более эффективным подходом за счет перехода от высот ребер к кривизне поверхности.

В третьей главе рассмотрена новая модельная задача дифракции на ограничивающей поверхности с постоянной кривизной. При большом количестве препятствий задача описывается всего тремя параметрами: кратностью дифракции, приведенной кривизной поверхности и приведенной высотой источника. Методом повторной факторизации получено решение в виде множителей, каждый из которых учитывает только один физический эффект, что значительно упрощает анализ явления. Получено явное асимптотическое решение, позволяющее выявить зависимость дифракционных потерь от радиуса кривизны поверхности, длины волны, кратности дифракции и дальности. На модельной задаче основные физические закономерности просматриваются наиболее ясно.

В четвертой главе показано как могут быть применены полученные знания для сокращения объема вычислений на практике. Время вычисления может быть сокращено приблизительно в 100 раз по сравнению с имеющимися аналогами в методах расчета. Указывается, что в общем случае, при произвольной форме ограничивающей поверхности, основные закономерности сохраняются, чем можно воспользоваться при вычислении дифракционных потерь.

Далее приведем общую характеристику работы.

Актуальность темы.

В настоящее время во многих странах ведутся интенсивные научные исследования, направленные на разработку методов вычисления дифракционного ослабления УКВ в городских и пригородных условиях. Повышенный интерес к изучению условий распространения радиоволн в условиях городской застройки вызван практической потребностью обеспечить эффективную работу радиотехнических систем различного назначения, включая системы сотовой связи с подвижными объектами. Поскольку канал распространения радиоволн в городских условиях является неотъемлемой частью радиотехнической системы, то большие ошибки при расчете характеристик этого элемента системы ведут к снижению общих показателей эффективности работы системы в целом. Увеличение точности метода вычисления дифракционного затухания в канале распространения позволяет повысить положительный эффект от эксплуатации радиотехнической системы. Например, в сотовых системах связи, которые активно внедряются на практике, пространственно разнесенные базовые станции работают на одинаковых частотах, поэтому требуется не только обеспечить достаточно высокий уровень сигнала от рабочей базовой станции, но и достаточно низкие уровни сигналов от других базовых станций. На основе метода расчета с малой ошибкой может быть выполнена оптимизация сотовой системы связи таким образом, чтобы при заданных характеристиках обслуживания потребовалось меньшее количество дорогостоящих станций, что дает прямой положительный эффект от применения качественного метода расчета.

Поскольку модель городской застройки в виде последовательности тел с острым краем успешно прошла многочисленные экспериментальные проверки, то точность метода расчета дифракционных потерь зависит от степени разработки теории многократной дифракции электромагнитных волн в переходной области на телах с острым краем. Однако теория многократной дифракции в переходной области разработана не достаточно полно. Отсутствие теоретических решений задачи приводит к применению при вычислениях многочисленных эвристических схем дифракции, что не обеспечивает требуемой точности результата. Разработка различных модификаций методов с применением указанного подхода не снимает проблемы.

Для одиночных тел различной формы хорошо разработаны различные теории дифракции. Трудность заключается в том, что решение не может быть применено для последовательности таких препятствий. Таким образом, наличие большого количества решений для задач на одном, двух или трех телах также не снимает проблемы построения решения в случае неограниченной кратности дифракции.

В заключительном отчете по проекту COST 231, опубликованном Европейской комиссией в 1999 году, в разделе, где проводится анализ методов прогноза, указывается, что все рассмотренные методы вычисления дифракционного ослабления не дают ясного физического понимания процесса многократной дифракции, который является одним из важнейших эффектов при распространении радиоволн. Указывается, что с повышением кратности дифракции сложность описания явления резко возрастает.

Анализ опубликованных результатов по теме исследования также указывает на отсутствие решений задачи многократной дифракции, которые позволили бы снять ограничение на количество препятствий и отказаться от применения эвристических схем, которые снижают точность метода и уменьшают диапазон входных параметров при вычислениях.

Помимо указанных аспектов проблемы имеются данные измерений в виде эмпирических формул, обобщающих большой объем экспериментальных данных, которые до сих пор не получили теоретического объяснения. Формулы содержат численные коэффициенты, смысл которых остается не раскрытым, что резко сужает область применимости результатов измерений, поскольку изменение условий распространения приводит к другим численным значениям коэффициентов.

В результате того, что понимание физики явления многократной дифракции не полно, не удается построить эффективное решение в переходной области, выяснить взаимосвязь множителя дифракционного ослабления с геометрией задачи. Отсутствие указанных знаний ведет к снижению точности методов прогноза и, как следствие, к потере эффективности эксплуатации радиотехнических систем.

Следовательно, проведение исследования поля в переходной области при многократной дифракции является актуальным.

Объект и предмет исследования.

Объектом исследования является поле электромагнитных волн при многократной дифракции на последовательности тел.

Предметом исследования является поле в переходной области при дифракции на телах с острым краем, которые допускают модельное представление в виде абсолютно поглощающих полуплоскостей.

Цель исследования.

Выявить основные закономерности, описывающие физику явления многократной дифракции электромагнитных волн в переходной области.

На этой основе построить теоретические методы вычисления поля в малоугловом приближении без ограничения на кратность дифракции.

Задачи исследования.

Сформулированная цель исследования предполагала решение следующих задач:

1. Проанализировать проблему построения решения в переходной области при многократной дифракции на последовательности тел с острым краем, рассмотрев при этом экспериментальные данные по распространению УКВ в городских условиях, которые не получили теоретического объяснения.

2. Установить связь между кривизной поверхности, ограничивающей ребра препятствий, и множителем дифракционного ослабления.

3. Разработать метод, позволяющий получить аналитическое решение модельной задачи дифракции на ограничивающей поверхности с постоянной кривизной при отсутствии ограничения на кратность дифракции.

4. Выявить основные закономерности, описывающие физику явления многократной дифракции в переходной области, на основе анализа решения модельной задачи дифракции.

5. Разработать метод, позволяющий значительно снизить объем вычислений при нахождении поля в переходной области над произвольной ограничивающей поверхностью.

6. По результатам экспериментов проверить возможность применения теоретических результатов к описанию процесса распространения УКВ над слоем городской застройки с учетом кривизны рельефа земной поверхности.

Методы исследования.

Для описания поля в переходной области применен метод Френеля-Кирхгофа, при анализе физики явления применен метод факторизации, а при построении аналитического решения применен асимптотический метод вычисления многократного дифракционного интеграла.

Основные положения, выносимые на защиту: 1. Закономерность, позволяющая установить взаимосвязь между кривизной ограничивающей поверхности и значением многократного дифракционного интеграла.

2. Метод повторной факторизации, позволяющий разделить эффекты кратности дифракции и затеняющего действия ограничивающей поверхности.

3. Результаты аналитического исследования поля в переходной области, позволяющие более полно описать физику явления.

4. Метод виртуальных экранов, позволяющий значительно снизить объем вычислений дифракционных потерь над ограничивающей поверхностью с переменной кривизной.

5. Результаты экспериментальной проверки теоретических закономерностей, подтверждающие возможность их применения к описанию процесса распространения УКВ над слоем застройки с учетом кривизны земной поверхности.

Новизна исследования.

1. Установлено, что при многократной дифракции в переходной области множитель дифракционного ослабления зависит только от кривизны поверхности, ограничивающей ребра препятствий, высот источника и точки наблюдения. При этом высоты вершин препятствий в явном виде в многократный дифракционный интеграл не входят.

2. Выявленная закономерность позволила получить два важных следствия: поставить и решить новую модельную задачу дифракции на ограничивающей поверхности с постоянной кривизной и предложить способ уменьшения вычислительных затрат в общем случае.

3. Найдено, что при большом количестве препятствий и малой кривизне ограничивающей поверхности поле в переходной области формируется двумя физическими явлениями. Первое явление состоит в обрывах волнового фронта, второе заключается в затеняющем действии ограничивающей поверхности.

4. На основе метода повторной факторизации учет кратности дифракции может быть выделен в отдельный множитель, что позволяет перейти от задачи многократной дифракции к задаче дифракции на единой ограничивающей поверхности.

5. Выявлены основные закономерности, описывающие поле в переходной области при многократной дифракции на примере модельной задачи с ограничивающей поверхностью с постоянной кривизной. Результаты вычислений для поверхности с изменяющейся кривизной указывают на то, что основные закономерности в общем случае сохраняются.

6. Получено теоретическое объяснение ряда экспериментальных закономерностей по распространению УКВ над слоем городской застройки с учетом кривизны земной поверхности.

7. Раскрыт физический смысл численного коэффициента в эмпирической формуле дифракционной поправки на кривизну земной поверхности с учетом слоя застройки.

Теоретическая значимость результатов исследования.

Развита теория многократной дифракции электромагнитных волн в переходной области, что позволяет снять следующие ограничения в данной области исследования:

1. Снято ограничение на кратность дифракции при исследовании поля в переходной области.

2. Кратность дифракции рассматривается как параметр задачи, включая предельный случай бесконечной кратности дифракции, что позволяет изучать дифракцию на ограничивающей поверхности как на едином "интегральном" препятствии.

3. За счет построения физически обоснованного решения удалось исключить применение эвристического приема, состоящего в применении результатов теории дифракции на гладких телах.

4. Разработанная теория занимает промежуточное место между теорией дифракции на гладкой поверхности и теоретическими методами вычисления дифракции на нескольких отдельных препятствиях. В разработанной теории применяется понятие ограничивающей поверхности, наследованное из теории дифракции на гладкой поверхности и понятие кратности дифракции, заимствованное из теории дифракции на последовательности отдельных препятствий. В переходной области указанный прием оказывается оправданным и позволяет снять указанные выше ограничения с физическим обоснованием.

Практическая значимость результатов исследования. Хорошее совпадение значений дифракционных множителей ослабления с результатами измерений указывает на возможность применения результатов исследования при прогнозе дифракционного затухания радиоволн в городских условиях с учетом кривизны рельефа земной поверхности.

Достоверность результатов.

Достоверность полученных в исследовании результатов подтверждается обоснованностью сделанных физических приближений, корректностью применения математического аппарата, совпадением численных результатов с опубликованными данными теоретических исследований других авторов, совпадением аналитических решений в предельных случаях с известными формулами, хорошим совпадением полученных теоретических результатов с опубликованными данными измерений других исследователей.

Апробация результатов.

Основные теоретические положения и результаты исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

• Шестая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-6) 2-8 апреля 2000 г, Томск;

• Ученый Совет физического факультета РГУ, 23 января 2001 г;

• Региональная XXIII конференция по распространению радиоволн 28-29 октября 1997 г, Санкт-Петербург;

• XI Всероссийская школа-конференция по дифракции и распространению волн 12-15 января 1998 г, МГУ, Москва;

• Пятая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых 1-6 апреля 1999 г, УрГУ, Екатеринбург;

• IV Всероссийская научная конференция "Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления", 8-9 октября 1998 г, ТГРТУ, Таганрог;

• Объединенный семинар кафедр радиофизики, прикладной электродинамики и компьютерного моделирования физического факультета РГУ, 1999 г;

• XIX Всероссийская научная конференция "Распространение радиоволн" 22-25 июня 1999 г, Казань;

• Международная конференция URSI XXVI General Assembly, 13-21 августа 1999 г, Торонто (Канада);

• Региональная IV конференция по распространению радиоволн, 27-28 октября 1998 г, Санкт-Петербург.

Публикации по теме исследования.

По материалам диссертации опубликовано 15 работ.

Объем и структура работы.

Диссертация с общим объемом 173 страницы состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 160 наименований. В диссертации содержится 31 рисунок.

4.4. Выводы

1. Предложен метод виртуальных экранов, позволяющий значительно сократить объем вычислений при нахождении дифракционных потерь. Метод основан на том, что выполняется переход к эквивалентной задаче дифракции на плоской ограничивающей поверхности. При этом в апертурах над ребрами препятствий помещаются амплитудно-фазовые экраны, свойства которых однозначно определяются геометрией ограничивающей поверхности исходной задачи. Поля по обе стороны виртуального экрана совпадают с точностью до экспоненциального множителя.

2. Установлено, что при произвольной ограничивающей поверхности сохраняются основные свойства решения, полученные на модельной задаче.

3. Найдено, что при произвольной геометрии ограничивающей поверхности факторизация множителя дифракционного ослабления приближенно выполняется, что позволяет применять при вычислениях мультипликативное приближение.

Заключение

В результате проведенного исследования поля в переходной области достигнуто более глубокое понимание физики явления многократной дифракции, что позволило снять ряд ограничений в существующих методах вычисления дифракционных потерь. Основные выводы исследования:

1. Выявлена новая физическая закономерность, позволяющая установить связь множителя дифракционного ослабления с кривизной поверхности, которая ограничивает ребра тел с острым краем. В переходной области в малоугловом приближении многократный дифракционный интеграл зависит только от кривизны ограничивающей поверхности и высот источника и точки наблюдения.

2. Установлено, что в формировании поля в переходной области при многократной дифракции участвуют два различных физических явления. Первое явление состоит в обрывах фронта волны на ребрах тел с острым краем, множитель ослабления обратно пропорционально зависит от кратности дифракции. Второе явление состоит в затеняющем действии поверхности, которая ограничивает ребра препятствий.

3. Найдены безразмерные параметры задачи дифракции, позволяющие выполнить факторизацию решения в предельном случае бесконечной кратности дифракции.

4. Кратность дифракции выделена в отдельный множитель, что позволяет перейти от задачи многократной дифракции к задаче дифракции на единой ограничивающей поверхности при большом количестве препятствий и малых углах дифракции.

5. Получено мультипликативное приближение для множителя дифракционного ослабления. Множители, входящие в решение, учитывают кратность дифракции, затенение ограничивающей поверхностью, удаление источника и точки наблюдения от поверхности. Получено явное асимптотическое решение для множителя ослабления при дифракции на ограничивающей поверхности с постоянной кривизной. Ряд быстро сходится в переходной области. Для описания амплитуды достаточно линейного члена в разложении, для описания фазы необходимо добавить квадратичный член разложения по безразмерному параметру, учитывающему кривизну ограничивающей поверхности.

Предложен метод виртуальных экранов, позволяющий значительно уменьшить объем вычислений. Метод основан на переходе к эквивалентной задаче дифракции на плоской ограничивающей поверхности и помещением в апертурах амплитудно-фазовых экранов, свойства которых однозначно определяются геометрией ограничивающей поверхности исходной задачи.

Установлено, что в малоугловом приближении при прохождении волны над выпуклым и вогнутым участком ограничивающей поверхности с равными по модулю радиусами кривизны происходит увеличение и уменьшение дифракционных потерь в одинаковое количество раз.

Предложено обобщение интеграла Френеля по дискретному индексу и специальной функции Бурсмы по непрерывному параметру. Между функциями установлена связь через индекс функций. Получено рекурсивное дифференциальное уравнение для нахождения значений последовательности функций. Предложенное обобщение функций позволяет записать простое выражение для множителя дифракционного ослабления, разделяя физику явления и математические сложности вычисления предложенной специальной функции. Индекс соответствует кратности дифракции, параметр учитывает кривизну ограничивающей поверхности.

Полученные результаты позволяют снять ограничение на кратность дифракции и отказаться от применения эвристических схем вычисления дифракционных потерь, исключая элемент неопределенности из ответа.

Автор глубоко благодарен научному руководителю д.т.н., проф. кафедры радиофизики Б.Г. Барабашову за постоянное внимание, большое число критических замечаний и особенно за то, что научил автора вести научные исследования полностью самостоятельно.

Автор считает своим долгом выразить благодарность заведующему кафедрой радиофизики к.ф.-м.н., доц. В.Н. Иванову за ценные критические замечания и интересные дискуссии. Автор признателен сотруднику кафедры радиофизики к.ф.-м.н., доц. Г.И. Кулешову за обсуждение результатов экспериментов. Многим другим сотрудникам отечественных и зарубежных организаций автор благодарен за предоставленные результаты своих научных исследований.

1. Bullington К. Radio propagation for vehicular communications. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1977, vol.26, no.4, pp.295-308.

2. Bullington K. Radio propagation at frequencies above 30 megacycles. Proceedings of the IRE., 1947, vol.35, no.10, pp.1122-1136.

3. Калинин А.И. Приближенные методы расчета напряженности поля ультракоротких радиоволн с учетом влияния рельефа местности. Радиотехника, 1957, том 12, N.4, с.13-23.

4. Долуханов М.П. О некоторых особенностях проектирования ультракоротковолновых линий радиосвязи в холмистой местности. Радиотехника, 1952, том.7, N.3, с.57-62.

5. Бодров В.В., Заичкин Д.И. Расчет множителя ослабления на протяженной трассе с одиночным препятствием. Известия высших учебных заведений. Радиофизика, 1979, том 22, N.10, с.1205-1212.

6. Лукин А.Н. Оценка напряженности поля электромагнитных волн метрового диапазона над пересеченной местностью. Радиотехника, 1998, N.4, с.25-28.

7. Калинин А.И., Надененко Л.В. Исследования распространения УКВ до расстояний порядка прямой видимости. Распространение радиоволн, сборник статей. М., Наука, 1975, с.66-74.

8. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Советское радио, 1970, 520 с.

9. Keller J.B. Diffraction by a convex cylinder. IEEE (IRE) Transactions on Antennas and Propagation, 1956, vol.24, no.3, pp.312-321.

10. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964, 428 с.

11. Boersma J. Diffraction by two parallel half-planes. Quart. J. Mech. Appl. Math., 1975, vol.28, pt.4, pp.405-425.

12. Wolfe P. A new approach to edge diffraction. SIAM J. Appl. Math., 1967, vol.15, no.6, pp.l434-1469.

13. Lewis R.M., Boersma J. Uniform asymptotic theory of edge diffraction. Journal of Mathematical Physics, 1969, vol.10, no.12, pp.2291-2305.

14. Тищенко B.A., Хестанов P.X. Дифракция поля с границей свет-тень на полуплоскости. Доклады Академии наук СССР, 1973, том 212, N.4, с.842-845.

15. Хестанов Р.Х. Дифракция произвольного поля на полуплоскости. Радиотехника и электроника, 1970, том 15, N.2, с.289-297.

16. Хестанов Р.Х. Метод последовательных дифракций в задаче об излучении из открытого конца волновода. Доклады Академии наук СССР, 1974, том 219, N.3, с.574-577.

17. Вербицкий И.Л. Двухмерная задача дифракции на периодических структурах. Доклады Академии наук СССР, 1974, том 216, N.5, с. 1022-1025.

18. Филиппов А.Ф. Точные выражения для многократно дифрагированной волны с круговым фронтом. Прикладная математика и механика, 1964, том 28, выпуск 6, с.1083-1091.

19. Боровиков В.А. Дифракция на открытом конце волновода с фланцем. Доклады Академии наук СССР, 1974, том 217, N.4, с.788-791,

20. Хестанов Р.Х. Излучение из открытого конца волновода и смежные задачи. XI Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, 1975, часть III, с.47-50.

21. Millington G., Hewitt R., Immirzi F. The Fresnel surface integral. IEE Proc. C, Monograph 50E, 1962, vol.109, pp.430-437.

22. Millington G., Hewitt R., Immirzi F.S. Double knife-edge diffraction in field strength predictions. Proc. IEE, Monograph 507E, 1962, pp.419429.

23. Хомяк Е.М. О дифракции Френеля на п полуплоскостях. Радиотехника и электроника, 1968, том 13, N.9, с.1549-1561.

24. Sharpies Р.А., Mehler M.J. Cascaded cylinder model for predicting terrain diffraction loss at microwave frequencies. IEE Proceedings, 1989, vol.136, pt.H, no.4, pp.331-337.

25. Boersma J. On certain multiple integrals occurring in a waveguide scattering problem. SIAM J. Math. Anal., 1978, vol.9, no.2, pp.377-393.

26. Whitteker J.H. A series solution for diffraction over terrain modeled as multiple bridged knife edges. Radio Science, 1993, vo.28, no.4, pp.487500.

27. Saunders S.R., Bonar F.R. Prediction of mobile radio wave propagation over buildings of irregular heights and spacings. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1994, vol.42, no.2, pp. 137-144.

28. Saunders S.R., Bonar F.R. Explicit multiple building diffraction attenuation function for mobile radio wave propagation. Electronics Letters., 1991, vol.27, no, 14, pp.1276-1277.

29. Pogorzelski R.J. A note on some common diffraction link loss models. Radio Science, 1982, vol.17, no.6, pp.1536-1540.

30. Ong L.C., Constantinou C.C. Evaluation of multiple diffraction integrals: computational speed and accuracy considerations. IEE Procedings Microwave, Antennas and Propagation, 1997, vol.144, no.l, pp.35-41.

31. Andersen J.B. UTD multiple-edge transition zone diffraction. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1997, vol.45, no.7, pp. 10931097.

32. Vogler L.E. An attenuation function for multiple knife-edge diffraction. Radio Science, 1982, vol.17, no.6, pp. 1541-1546.

33. Deygout J. Multiple knife-edge diffraction of microwaves. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1966, vol.14, no.4, pp.480-489.

34. Lee S.W. Path integrals for solving some electromagnetic edge diffraction problems. J. Math. Phys., 1978, vol.19, no.6, pp. 1414-1422.

35. Пономарев Л.И., Алексеенко М.Г., Ганицев А.Ю. Детерминированный подход к расчету городских радиотрасс для сотовых систем связи. Антенны, 1999, N.1, с.52-59.

36. De Assis M.S. A simplified solution to the problem of multiple diffraction over rounded obstacles. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1971, vol.19, no.3, pp.292-295.

37. Введенский Б.А. Распространение ультракоротких радиоволн. М.: Наука, 1973, 408 с.

38. Пономарев Г.А., Куликов А.Н., Тельпуховский Е.Д. Распространение УКВ в городе. Томск: МП "Раско", 1991, 222 с.

39. Лаврентьев Ю.В., Пономарев Г.А., Сковронский А.Ю., Соколов А.В., Тельпуховский Е.Д., Федорова Л.В. Распространение ультракоротких волн в городе. Препринт N 10(539), М., 1990, 58 с.

40. Li J., Wagen J.-F., Lachat E. ITU model for multi-knife-edge diffraction. IEE Proceedings Microwaves, Antennas and Propagation, 1996, 143, N.6, pp.539-541.

41. Куликов A.H., Пономарев Г.А. Средняя интенсивность поля УКВ над слоем городской застройки. XV Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Алма-Ата, октябрь 1987, тезисы докладов, с.323-324.

42. Куликов А.Н., Пономарев Г.А. Средняя интенсивность поля УКВ в городе. XIV Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Ленинград, октябрь 1984, часть 2, тезисы докладов. М.: "Наука", 1984, с.268-271.

43. Куликов А.Н., Пономарев Г.А., Путилов П.П. Интенсивность бокового излучения в городе. Вопросы дифракции и распространения радиоволн, междуведомственный сборник научных трудов. Москва, 1990, с.104-110.

44. Пономарев Г.А., Куликов А.Н. Влияние высотного профиля городской застройки на среднюю интенсивность поля УКВ в городе. XV Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Алма-Ата, октябрь 1987, тезисы докладов, с.325.

45. Пономарев Г.А., Куликов А.Н. О средней интенсивности поля УКВ в городе. Радиотехника и электроника, 1985, том 30, выпуск 4, с.678-683.

46. Пономарев Г.А. Средняя интенсивность многократно рассеянных волн. Известия вузов MB и ССО СССР, Физика, 1984, N.5, с.85-90.

47. Куликов А.Н., Пономарев Г.А., Путилов П.П. Использование ЭВМ для расчета радиотрасс в городе. XVI Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Харьков, октябрь 1990, часть 2, тезисы докладов, с. 104.

48. Куликов А.Н., Пономарев Г.А., Сковронский А.Ю., Тельпуховский Е.Д., Фортес В.Б., Чужков Ю.П. Распространение ультракоротких волн в городе. XV Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Алма-Ата, октябрь 1987, тезисы докладов, с.320-321.

49. Куликов А.Н., Пономарев Г.А., Тельпуховский Е.Д. Дифракция, отражение и рассеяние радиоволн в городской среде. Научно-технический семинар "Распространение и дифракция электромагнитных волн в неоднородных средах", тезисы докладов. М., 1992, с.70-72.

50. Куликов А.Н., Пономарев Г.А., Чужков Ю.П. Радиопрозрачность зданий. XVI Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Харьков, октябрь 1990, часть 2, тезисы докладов, с. 107.

51. Куликов А.Н., Путилов П.П. Ослабление сигнала при связи между подвижными объектами в городе. XVI Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, Харьков, октябрь 1990, часть 2, тезисы докладов, с. 105.

52. Bertoni H.L. Radio propagation for modern wireless systems. Prentice Hall, 2000,258 pp.

53. Piazzi L., Bertoni H.L. Achievable accuracy of site-specific path-loss predictions in residential environments. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1999, vol.48, no.3, pp.922-930.

54. Piazzi L., Bertoni H.L. Effect of terrain on path loss in urban environments for wireless applications. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1998, vol.46, no.8, pp.1138-1147.

55. Xia H.H., Bertoni H.L. Diffraction of cylindrical and plane waves by an array of absorbing half-screens. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1992, vol.40, no.2, pp.170-177.

56. Walfisch J., Bertoni H.L. A theoretical model of UHF propagation in urban environments. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1988, vol.36, no.12, pp.1788-1796.

57. Bertoni H.L., Honcharenko W., Maciel L.R., Xia H.H. UHF propagation prediction for wireless personal communications. Proceedings of the IEEE, 1994, vol.82, no.9, pp.1333-1359.

58. Maciel L.R., Bertoni H.L., Xia H.H. Unified approach to prediction of propagation over buildings for all ranges of base station antenna height. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1993, vol.42, no.l, pp.4145.

59. Piazzi L., Bertoni H.L. On screen placement for building representation in urban environments considering 2D multiple diffraction problems. IEEE Vehicular Technology Conference, 1999, vol.4, pp.1977-1981.

60. Maciel L.R., Bertoni H.L. Cell shape for microcellular systems in residential and commercial environments. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1994, vol.43, no.2, pp.270-278.

61. Bertoni H.L., Felsen L.B., Hessel A. Local properties of radiation in lossy media. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1971, vol.19, no.2, pp.226-237.

62. Bertoni H.L., Walfisch J. A diffraction based theoretical model for prediction of UHF path loss in cities. Proc. AGARD Conf. Terrestrial Propagat. Characteristics in Modern Syst., Ottawa, 1986, pp.8-1 8-9.

63. Lee W.C.Y. Mobile cellular telecommunications: analog and digital systems. R.R. Donnelly and Sons Company, 1995, 662 p.

64. Ли У.К. Техника подвижных систем связи. М.: Радио и связь, 1985, 392 с.

65. Okumura Y., Ohmori Е., Kawano Т., Fukuda К. Field strength and its variability in VHF and UHF land-mobile radio service. Review of the Electrical Communication Laboratory, 1968, vol.16, no.9-10, pp.825873.

66. Grosskopf R. Comparison of different methods for the prediction of the field strength in the VHF range. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1987, vol.35, no.7, pp.852-859.

67. Grosskopf R. Comparison of field-strength prediction methods in the UHF range. EBU Rev. Tech., 1988, no.229, pp.102-110.

68. Andersen J.B., Rappaport T.S., Yoshida S. Propagation measurements and models for wireless communications channels. IEEE Communications Magazine, 1995, no.l, pp.42-49.

69. Grosskopf R. Prediction of urban propagation loss. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1994, vol.42, no.5, pp.658-665.

70. Shepherd N.H., et al. Coverage prediction for mobile radio systems operating in the 800/900 MHz frequency range. IEEE Transactions on Vehicular Technology (Special Issue), 1988, vol.37, no.l, pp.3-72.

71. Andersen J.B., Savov S.V. Propagation aspects of mobile and personal communications. Review of Radio Science 1993-1996, URSI, 1996, Oxford University Press, pp.551 -560.

72. Karasawa Y., Perez-Fontan F. Mobile, terrestrial, and satellite propagation modeling. Review of Radio Science 1996-1999, Oxford University Press, 1999, pp.443-457.

73. Fleury B.H., Leuthold P.E. Radiowave propagation in mobile communications: an overview of European research. IEEE Communications Magazine, 1996, vol.34, no.2.

74. Delisle G.Y., Lefevre J.-P., Lecours M., Chouinard J.-Y. Path loss prediction. A comparative study with application to the mobile radio channel. IEEE Trans. Veh. Technol., 1985, vol.34, no.2, pp.86-96.

75. Дымович Н.Д. Распространение ультракоротких радиоволн в городе. Электросвязь, 1959, N.12, с.26-34.

76. Пономарев Л.И., Манкевич Т.Л. Моделирование радиотрасс мобильных систем связи. Успехи современной радиоэлектроники, 1999, N.8, с.45-58.

77. Craig К.Н. Impact of numerical methods on propagation modelling. Modern Radio Science, URSI, 1996, pp. 179-203.

78. Мальцева О.А., Настаченко A.C., Анишин M.M. Методы прогноза напряженности поля для современных систем подвижной связи. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1997, N.1, с.57-62.

79. Tzaras С., Saunders S.R. Rapid, uniform computation of multiple knife-edge diffraction. Electronics Letters, 1999, vol.35, no.3, pp.237-239.

80. Saunders S.R., Tzaras C. Progress in multiple diffraction modelling. XXVI General Assembly, URSI, Toronto, Ontario, Canada, August 1321, 1999, p.325.

81. Savov S.V., Andersen J.B. Efficient method for calculation of Fresnel double integral. Electronics Letters, 1995, vol.31, no.6, pp.435-436.

82. Andersen J.B. UTD multiple edge diffraction in transition zones. XXV General Assembly, URSI, Lille, France, August 28 September 5, 1996, p.324.

83. Пономарев О.Г. Дифракционное ослабление в городе. Известия вузов. Физика, 1999, том 42, N 11, с.86-88.

84. Трифонов П.М. Затухание рассеянных сигналов УКВ при радиосвязи в большом городе. X Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, секция V, М., Наука, 1972, тезисы докладов, с.138-140.

85. Трифонов П.М. Пространственная напряженность рассеянного поля УКВ в большом городе. X Всесоюзная конференция по распространению радиоволн, секция V, М., Наука, 1972, тезисы докладов, с.141-145.

86. Grzybkowski M.J., Wojnar А.Н. Validation of the fourth-power law in radio propagation. Electromagn. Compat., 1984, 7 th Int. Wroclaw S.ymp., part 1, p.403-413.

87. Steel J., Court R.A. Measurement of field strength for mobile services at V.H.F. and U.H.F. for the city of Melbourne. Electronics Letters, 1977, vol.13, no.24, pp.710-712.

88. Rowe G.B., Williamson A.G., Egan B. Mobile radio propagation in Auckland at 465 MHz. Electronics Letters, 1983, vol.19, no.6, pp.207208.

89. Rowe G.B., Williamson A.G. Mobile radio propagation in Auckland at 851 MHz. Electronics Letters, 1986, vol.22, no.22, pp.1154-1155.

90. Русинкевич З.Э., Ликонцев Д.Н., Карабанова H.B. Экспериментальное исследование напряженности поля телевизионных сигналов в условиях крупного города. Труды учебных институтов связи. ЛЭ-ИС. Л., 1977, N.85, с.142-144.

91. Morita К., Sato. S., Aizawa S. Estimation formulas of median field strength on UHF band mobile communications in urban area. 1993, В-II, vol.J 76-B-II, no.6, pp.559-564.

92. Bhattacharya S.C. Mobile communication in 800 MHz band. Int. Elec., Electron. Conf. and Expo., 1981. Dig. Rap., New York., pp.172-173.

93. Samuel R.J., Parsons J.D., Ibrahim M.F. Mobile radio propagation in inner London. 2-th International Conference on Antennas and Propagation, 1981, (Heslington, 13-16 Apr.), London; N.Y., pt.2, pp.143-147.

94. Варакин JI.E., Трубин B.H. Характеристики распространения УКВ в городских и пригородных зонах. Сотовые системы подвижной связи. Зарубежная радиоэлектроника, 1986, N. 2, с.9-11.

95. Трубин В.Н. Характеристики распространения УКВ в городской и сельской подвижной радиосвязи. International Wroclaw Symposium on Electromagnetic Compatibility (EMC), 1984, c.393-402.

96. Kelly K.K. Flat suburban area propagation at 820 MHz. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1978, vol.27, no.4, pp.198-204.

97. Allsebrook K., Parsons J.D. Mobile radio propagation in British cities at frequencies in the v.h.f. and u.h.f. bands. Proceedings IEE, 1977, vol.124, no.2, pp.95-102.

98. Ott G.D., Plitkins A. Urban path-loss characteristics at 820 MHz. IEEE Transaction on Vehicular Technology, 1978, vol.27, no.4, pp.189-197.

99. McCarthy K.P., Wellens U. Measurements of 900 MHz propagation for microcellular communications systems design. EUROCON, 1988, 8th Eur. Conf. Electrotechn, N.Y., pp.297-300.

100. Hughes K.A. Mobile propagation in London at 936 MHz. Electronics Letters, 1982, vol.18, no.3, pp. 141-143.

101. Parsons J.D., Ibrahim M.F., Samuel R.J. Median signal strength prediction for mobile radio propagation in London. Electronics Letters, 1980, vol.16, no.5,pp.l72-173.

102. Ibrahim M.F., Parsons J.D. Urban mobile radio propagation at 900 MHz. Electronics Letters, 1982, vol.18, no.3, pp.113-115.

103. Malaga A. An empirical path loss model for HF/VHF propagation in urban areas. Radio Science, 1981, vol.16, no.3, pp.355-364.

104. Hata M. Empirical formula for propagation loss in land mobile radio services. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1980, vol.29, no.3, pp.317-325.

105. Durkin J. Computer prediction of service areas for VHF and UHF land mobile radio services. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1977, vol.26, no.4, pp.323-327.

106. Whitteker J.H. Propagation prediction from a topographic data base. IEEE Int. Conf. Commun., 1983, Boston, vol.1, pp.44-48.

107. Niimi H., Hirabayasi Т., Kajiyama M. Computer aided analysis of propagation characteristics using topographical mesh-data basis. IEEE Int. Conf. Commun., 1983, Boston, vol.1, pp.49-53.

108. Loew K., Lorenz R.W. Determination of service areas for mobile communication with a topographical data base. IEEE Int. Conf. Commun., 1983, Boston, vol.1, pp.54-58.

109. Damosso E., Lingua B. A computer prediction technique for land mobile propagation in VHF and UHF bands. IEEE Int. Conf. Commun., 1983, Boston, vol.1, pp.59-63.

110. Ibrahim M.F.A., Parsons J.D., Dadson C.E. Signal strength prediction in urban areas using a topographical and environmental data base. IEEE Int. Conf. Commun., 1983, Boston, vol.1, pp.64-67.

111. Chan G.K. Propagation and coverage prediction for cellular radio systems. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1991, vol.40, no.4, pp.665-670.

112. Rathgeber R., Landstorfer F.M., Lorenz R.W. Extension of the DBP field strength prediction programme to cellular mobile radio. IEEE Conference on Antennas and Propagation, N.Y., 1992, pt. 2, pp. 164-168.

113. Middleton J. Field strength prediction methods and data logging techniques in relation to mobile radio services. Colloq. propag. urban environ. London, 1986, pp. 3/1-3/5.

114. Ibrahim M.F., Parsons J.D. Improvements in mobile radio area coverage predictions using topographical and environmental data bases. 2 Int. Conf. Radio Spectrum Conserv. Techn., Birmingham, 6-8 September, 1983. New York, pp.66-69.

115. Ликонцев Д.Н. Расчет напряженности поля в условиях города. Ан-тенно-волноводная техника и распространение радиоволн: Сборник научных трудов учебных институтов связи. ЛЭИС. Л., 1989, с.39-44.

116. Lorenz R.W. Service area estimation for mobile radio by the aid of a topographical data base. Proceedings of ISAP, 1985, pp.541-544.

117. Baker P.W., Davies P.G., Haley R. Propagation characteristics and prediction techniques relevant to land mobile applications. 2 Int. Conf. Radio Spectrum Conserv. Techn., Birmingham, 6-8 September, 1983. New York, pp.61-65.

118. Nyuli A., Szekeres B. An advanced method for calculating the diffraction loss of man made obstacles. Journal on Communications, 1993, vol.44, no.l, pp.22-26.

119. Lee W.C.Y. A new propagation path-loss prediction model for military mobile access. Milcom: IEEE Mil. Commun. Conf. Boston, Mass., October 20-23, 1985, Conf. Rec. vol.2-3. New York, pp.359-368.

120. Grosskopf R. Experiences and results with a fieldstrength prediction method based on GTD. International Conference on Antennas and Propagation, Heslington 30 March 2 April 1987, pt.2, pp.35-38.

121. Настаченко A.C. Определение параметров зависимости потерь передачи от расстояния при распространении УКВ в городских условиях. Вопросы радиоэлектроники, научно-технический сборник, серия ОВР, 1997, выпуск 17, с.97-102.

122. Настаченко А.С., Пелевин О.Ю., Кулешов Г.И. Оценка точности прогноза напряженности поля УКВ на основе статистического описания городской застройки. Региональная XXIII конференция по распространению радиоволн, Санкт-Петербург, 28-29 октября 1997, с.20.

123. Настаченко А.С. Теоретико-экспериментальное обеспечение систем подвижной связи. Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники, сборник, Ростов-на-Дону, СКНЦ ВШ, 1998, с.148-157.

124. Crzybkowski M.J. A novel formula for VHF/UHF propagation loss for land mobile communication in rural terrain. Electromagn. Compat., 1980, part 1, 5 th Int. Wroclaw Symp. Electromagn. Compat., p.393-398.

125. Deygout J. Correction factor for multiple knife-edge diffraction. IEEE Trans. Antennas and Propag., 1991, vol.39, no.8, pp.1256-1258.

126. Epstein J., Peterson D.W. An experimental study of wave propagation at 850 Mc/s. Proc. IRE 1953, vol.41, no.5, pp.595-611.

127. Giovaneli C.L. An analysis of simplified solutions for multiple knife-edge diffraction. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1984, vol.32, no.3, pp.297-301.

128. Picquenard A. Radio wave propagation, Wiley, New York, 1974, p.296.

129. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовица М., Стиган И. М.: Наука, 1979, 832 с.

130. Коробов Н.М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел. Доклады Академии наук СССР, 1957, том 115, N.6, с. 1062-1065.

131. The NAG FORTRAN library manual, Mark 14, Numerical algorithms group Ltd, Oxford, 1989.

132. Levy M.F. Diffraction studies in urban environment with wide-angle parabolic equation method. Electronics Letters, 1992, vol.28, no. 16, pp.1491-1492.

133. Janaswamy R., Andersen J.B. Path loss predictions in urban areas sprawling over irregular terrain. Proc. IEEE Symp. on PIMRC, Boston, MA, September 8-11, 1998, pp.874-878.

134. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. M.: Радио и связь, 1988, 440 с.

135. Настаченко А.С. Разработка метода расчета напряженности поля для современных систем подвижной связи. Труды XI Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн, Москва, МГУ, 12-15 января 1998, с.233-234.

136. Настаченко А.С., Александров В.Д. Моделирование распространения радиоволн для оптимизации микросотовых систем связи с подвижными объектами и контроля уровня радиоизлучения. Радиоконтроль, научно-технический сборник, 1999, выпуск 2, с.29-39.

137. Настаченко А.С., Иванов В.Н. Решение обобщенного параболического уравнения методом быстрого преобразования Фурье. Региональная IV конференция по распространению радиоволн. Санкт-Петербург, 27-28 октября 1998, с. 17.

138. Nastachenko A.S., Ivanov V.N. Diffraction modelling in microcellular environment with generalized parabolic equation method. URSI XXVI General Assembly, August 13-21, 1999, Toronto, p.371.

139. Настаченко A.C. Решение широкоугольного параболического уравнения методом конечных элементов с использованием преобразования Фурье. ВНКСФ-5, 1-6 апреля 1999, Ур.ГУ, Екатеринбург, с.324-326.

140. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1970, 856 с.

141. Whitteker J.H. Numerical evaluation of one-dimensional diffraction integrals. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1997, vol.45, no.6, pp.1058-1061.

142. Nastachenko A.S. Asymptotic solution and factorisation for multiple half-plane diffraction. Electronics Letters, 2000, vol.36, no.21, pp.17541756.

143. Настаченко A.C. Многократная дифракция на серии полуэкранов. ВНКСФ-6, 2-8 апреля 2000, ТПУ, Томск, с.416-418.

144. Nastachenko A.S. Analytical solution to diffraction problem in series of half-screens bounded by low-curvature surface. Electronics Letters, 1999, vol.35, no.22, pp.1928-1929.

145. Настаченко A.C. Исследование многократной дифракции поверхностных волн на поглощающих полуплоскостях. Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники, сборник, 2000, выпуск 4, Ростов-на-Дону, СКНЦВШ, с.119-130.

146. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1978,224 с.

147. Lee W.C.Y. Studies of base-station antenna height effects on mobile radio. IEEE Trans. Veh. Technol, 1980, vol.29, no.2, pp.252-260.

148. Xia H.H. A simplified analytical model for predicting path loss in urban and suburban environments. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1997, vol.46, no.4, pp. 1040-1046.

149. Zhang W. A more rigorous UTD-based expression for multiple diffractions by buildings. IEE Proc. Microwaves, Antennas and Propag., 1995, vol.142, no.6, pp.481-484.

150. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., ГИФМЛ, 1963, 1100 с.

151. Propagation by diffraction. Recommendation ITU-R P.526-5, 1997.

152. Propagation by diffraction. Recommendation ITU-R PN.526-3, 1994, pp.129-149.

153. Связь с подвижными объектами в диапазоне СВЧ. Под ред. У.К. Джейкса. М.: Связь, 1979, 520 с.