Исследование прочности, устойчивости и малых послекритических деформаций элементов конструкций при комбинированном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ПУСТОВОЙ Николай Васильевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ, УСТОЙЧИВОСТИ И МАЛЫХ ПОСЛЕКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

А ВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

НОВОСИБИРСК -1997

Работа выполнена на кафедре «Прочность летательных аппаратов» Новосибирского государственного технического университета

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В.В. Кабанов; доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Паймушин; доктор физико-математических наук, профессор Б.Д. Аннин

Ведущая организация: НПО Прикладная механика

г. Красноярск

Защита диссертации состоится г. в 14 час. на за-

седании диссертационного совета Д 003.220)1 в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, уд. Институтская, 4/1, ИТПМ СО РАН.

Факс: (3832)35-22-68

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО РАН.

Автореферат разослан « О) » 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д-р физ.-мат. наук, ст. науч. сотр.

. Самсонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Тонкостенные конструкции типа гладких или подкрепленных цилиндрических оболочек, сочетающих в себе такие важные параметры, как легкость, жесткость и высокая прочность, широко применяются во многих областях техники. Условия работы подобных конструкций (существенная неоднородность внешних нагрузок, наличие концентраторов в самой конструкции) и требование снижения металлоемкости изделий вызывают необходимость более точного определения их напряженно-деформированного состояния (НДС) и запаса устойчивости.

В настоящее время в инженерной практике используется значительное количество как аналитических, так и численных алгоритмов расчета на прочность, устойчивость и исследование нелинейного поведения тонкостенных элементов конструкций. В связи с большой сложностью натурных конструкций, высокой неоднородностью их НДС имеющиеся способы решения, как правило, используют различные упрощающие гипотезы относительно самой оболочки, подкрепления, вырезов и характера их взаимодействия, характера приложения нагрузок, чувствительности к неправильностям формы. Это позволяет либо создать новый, либо существенно повысить эффективность имеющихся алгоритмов для решения определенного класса задач. Однако каждый раз возникают вопросы о границах применимости таких прикладных методик, о правомерности введенных упрощающих гипотез и допущений, и их решение до настоящего времени представляет собой актуальную проблему, требующую совершенствования методов исследования и углубления знаний по прочности и устойчивости конструкций.

Целыо работы является разработка методов и численных алгоритмов расчета НДС и устойчивости цилиндрических оболочек и исследование на их основе влияния геометрических характеристик и упругих свойств оболочки, параметров подкрепления (жесткостные характеристики, шаг и эксцентриситет установки, асимметрии подкрепления), первоначальных неправильностей формы, наличия вырезов и характера нагружения (локальный, распределенный и их комбинация) на напряженно-деформированное состояние и запас устойчивости элементов конструкций; исследование малых послекритических деформаций оболочек и разработка на их основе оценок чувствительности конструкции к неправильностям формы; разработка рекомендаций по границам применимости упрощенных расчетных схем тонкостенных элементов конструкций.

Достоверность научных положений и выводов, содержащихся в работе, определяется использованием разработанного аппарата теории оболочек и теории криволинейных стержней, использованием надежных и проверенных математических методов и исследованием их сходимости, сравнением полученных результатов там, где это возможно, с расчетами других авторов. Численные алгоритмы реализованы с требуемыми степенями приближений искомых функций. Определена область применимости полученных результатов.

Научная новизна работы заключается:

- в разработке метода расчета подкрепленных ортотропных цилиндрических панелей, полученного на основе исследования влияния на НДС конструкции характеристик подкрепления и свойств оболочки, и в рекомендациях по упрощению расчетных схем указанных конструкций;

- в получении предельных оценок уравнений, описывающих дискретно-континуальную модель при устремлении шага установки подкрепления к нулю;

- в развитии методов исследования малых послекритических деформаций тонкостенных элементов конструкций при комбинированном нагружении и разработке алгоритма оценки применимости решения линейной задачи для определения запаса их устойчивости;

- в исследовании чувствительности критических значений параметров нагрузки в задачах устойчивости цилиндрических оболочек к точности определения докритического напряженного состояния;

- в предложении способа построения функций формы оболочечного конечного элемента;

- в построении интегрального представления решения уравнений для весьма пологой цилиндрической панели с системой отверстий неизвестной формы при различных случаях нагружения и параметрах системы.

Практическая значимость работы заключается:

- в разработке численных алгоритмов исследования сложных задач нелинейного деформирования и устойчивости тонкостенных конструкций и рекомендациях по оценке чувствительности конструкции к жесткостным, упругим и силовым параметрам;

- в исследовании границ применимости известных и предложенных в работе постановок задач расчета НДС и устойчивости элементов конструкций;

- во внедрении отдельных результатов и пакетов программ в расчетную практику заинтересованных организаций.

На защиту выносятся:

- разработанный метод расчета подкрепленных ортотропных цилиндрических оболочек и проведенные на его основе исследования влияния на НДС конструкции характеристик подкрепления и внешних нагрузок, рекомендации по упрощению расчетных схем и переходу к расчету приведенных конструкций;

- способ исследования малых послекритических деформаций тонкостенных оболочечных элементов при комбинированном нагружении и разработка оценки применимости решения линейной задачи при определении запаса устойчивости конструкции;

- исследование чувствительности критических параметров нагрузок к точности определения докритического напряженного состояния конструкции;

- результаты исследования влияния характера нагружения, геометрии оболочки и системы вырезов на равнопрочные формы отверстий в тонкостенных цилиндрических панелях;

- вариант уравнений теории оболочек и способ определения функций формы оболочечного конечного элемента для расчета тонкостенных элементов авиационных конструкций по МКЭ.

Апробация работы:

Отдельные результаты докладывались на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986 г.); на IX, Х1У, и ХУ Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин (Ленинград, 1975 г.; Кутаиси, 1987 г.; Казань, 1990 г.); на I, II и III Всесоюзных конференциях "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов" (Москва, 1988 г.; Куйбышев, 1986 г.; Казань, 1988 г.); на 1У Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике (Харьков, 1972 г.); на I и II Международных конференциях по математике и механике (Новосибирск, 1994 и 1995 гг.); на УШ, IX, X и XI Дальневосточных научно-технических конференциях по повреждаемости и эксплуатационной надежности судовых конструкций (Владивосток, 1981, 1984, 1987, 1990 гг.); на У1 и IX Бубновских чтениях (Горький, 1982,1988 гг.); на Всесоюзной и Международной конференциях по проблемам биомеханики (Рига, 1983 и 1986 гг.); на Всесоюзной конференции "Совершенствование технической эксплуатации корпусов судов" (Ленинград, 1989 г.); на конференции молодых ученых ИТПМ СО АН СССР (Новосибирск, 1979 г.); на Региональной конференции по математике и механике (Томск, 1981 г.); на Региональной научно-технической конференции по механике (Улан-Удэ, 1987 г.); на научно-технической конференции "Расчетные методы механики деформируемого твердого тела" (Новосибирск, 1995 г.); на семинаре института прикладной и теоретической механики СО РАН (1997 г.); на семинаре кафедры строительной механики Новосибирской академии путей сообщения (1982; 1987 гг.); на НТС Государственного Сибирского НИИ авиации им. С.А. Чаплыгина (1982, 1988, 1997 гг.); на семинарах кафедры "Прочность летательных аппаратов" Новосибирского государственного технического университета.

Работа проводилась по договорам с СибНИЙА им. С.А. Чаплыгина, ОКБ им. Мясищева и другими предприятиями Минавиапрома в соответствии с правительственными научно-техническими программами "Икарус-МАП", а также программой Минвуза РСФСР "Полет".

Публикации. По теме диссертации опубликовано 45 печатных работ. Результаты исследований автора, выполненные по заказам промышленности, отражены в многочисленных (свыше 30) научно-технических отчетах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы из 250 наименований. Общий объем диссертации 309 страниц, в том числе 80 страниц с рисунками и таблицами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается современное состояние проблемы расчета на прочность и устойчивость упругих гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек при комбинированном локальном и распределенном силовом и температурном нагружении. Излагается последовательность развития постановок и методов решения, формулируется общая цель работы.

Теория оболочек явилась на протяжении последних десятилетий областью механики деформируемого твердого тела, которая привлекла к себе особенно большое внимание. Это объясняется, прежде всего, широким применением тонкостенных элементов типа оболочек в инженерных сооружениях, машиностроении, авиации, судостроении и других областях техники.

Большой вклад в развитие теории оболочек вообще и разработку методов их расчета на прочность и устойчивость в частности внесли Н.П. Абовский, A.C. Авдонии, Л.В. Андреев, В.В. Болотин, Л.И. Балабух, В.З. Власов,

A.C. Вольмир, Э.И. Григолюк, А.Л. Гольденвейзер, Л.В. Енджиевский, С.Н. Кан,

B.В. Кабанов, В.М Корнев, Л.М. Куршин, A.B. Кармишин, Ю.В. Липовцев, Х.М. Муштари, В.И. Мяченков, Ю.В. Немировский, В.В. Новожилов, И.Ф. Образцов, В.Н. Паймушин, Л.А. Шаповалов и др.

В развитии методов расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) подкрепленных оболочек значительную роль сыграли работы С.И. Галкина, В.М. Даревского, B.C. Гудрамовича, С. Лукасевича, В.И. Массаковского, Е.М. Макеева, Б.В. Нерубайло, Г.Н. Чернышева и др. В этих работах рассмотрены различные расчетные схемы конструкции: сведение к гладкой конструк-тивно-ортотропной оболочке; дискретно-континуальная модель разного уровня точности.

Значительный прогресс в развитии методов исследования НДС и устойчивости оболочек был достигнут начиная со второй половины 60-х годов в связи с разработкой численных методов и расширением возможностей вычислительной техники. Вместе с тем для повышения эффективности любого расчетного метода определяющими являются точность расчетной схемы, глубина проработки постановки задачи, целесообразность учета тех или иных факторов и параметров. Возникает вопрос о границах применимости приближенных методик, о правомерности введенных гипотез, ответ на который можно дать на основе анализа результатов, полученных без привлечения упрощающих предположений.

Исследованию влияния отверстий, вырезов и включений на напряженное состояние тонкостенных конструкций посвящены работы Г.И. Савина, Э.И. Григолюка, Л.А. Фильштинского, В.Н. Максименко, А.Н. Гузя, A.C. Кос-модамианского, Н.В. Баничука, Б.Д. Аннина, Г.П. Черепанова, Н.И. Остросаб-лина, И.Д. Суздапьницкого, Ю.И. Соловьева, А.И. Лурье, М.С. Корнишина, Ю.Т. Коноплева, A.B. Саченкова и др.

Тем не менее, разработка теории и методов расчета тонкостенных оболо-чечных конструкций с вырезами и отверстиями продолжает оставаться актуальной, особенно в связи с необходимостью оптимального проектирования современных инженерных сооружений и конструкций.

Для правильной оценки полученных в результате решения задач устойчивости критических параметров нагрузок существенное значение имеет исследование послекритического поведения оболочек с точки зрения развития форм равновесия, возникающих при потере устойчивости. На это указывается в работах В.В. Болотина и Койтера и объясняется тем обстоятельством, что характер послекритического поведения определяет чувствительность оболочки к начальным неправильностям формы. В связи с этим представляет интерес рассмотрение поведения оболочки при совместном действии нагрузок различного вида и определение параметров нагружения, при котором меняется характер поведения оболочки в закритической области. *

В первой главе записываются основные соотношения для дискретно-континуальной модели подкрепленной шпангоутами ортотропной цилиндрической оболочки, строится метод расчета ее напряженно-деформированного состояния, исследуются границы применимости моделей различных уровней точности.

При выводе уравнений модели конструкции обшивка считается моментной, непологой ортотропной цилиндрической оболочкой. Оси ортотропии совпадают с направлениями главных кривизн. Используются соотношения упругости в форме Новожилова-Балабуха. Тогда уравнения равновесия обшивки в перемещениях принимают вид:

|1|« + 1=0, (1) где й -- {к; V; и'} - вектор-столбец перемещений срединной поверхности оболочки; |£| - матрица дифференциальных операторов, компоненты которой зависят от геометрических и жесткостных параметров оболочки; X - {Х,У,2} -вектор-столбец внешних нагрузок.

Подкрепление представляется криволинейными брусьями малой кривизны, имеющими все компоненты изгибной жесткости, а также жесткости на растяжение и кручение. Вводится в рассмотрение произвольный угол 9 между главными центральными осями шпангоута и плоскостью подкрепления, а также эксцентриситет 5 установки подкрепления относительно срединной поверхности обшивки. В результате для шпангоута записывается система четырех дифференциальных уравнений относительно перемещений и, V, 1¥ и угла закручивания Г;

|Л|£/+П = 0, (2)

где 0 = {1/;У;1¥;Г}— вектор-столбец искомых перемещений; [Л| - матрица дифференциальных операторов, компоненты которой зависят от геометрических и жесткостных параметров шпангоутов; О - вектор-столбец нагрузок,

приложенных к подкреплению (внешние усилия и моменты, а также реакции со стороны примыкающих отсеков оболочки).

Система уравнений подкрепленных цилиндрических оболочек замыкается уравнениями совместности деформаций оболочки и подкрепления. Они включают в себя условия стыковки силовых и кинематических факторов на границах отсеков. Условия стыковки представляются в виде двух матричных уравнений, первое из которых выражает зависимость между силовыми факторами, действующими на границах отсеков, примыкающих к к-му шпангоуту, а второе - соотношения между перемещениями граничных сечений оболочки и точками нейтральной оси шпангоута. Коэффициенты уравнений, входящих в условия стыковки, зависят от геометрических и жесткостных характеристик конструкции, эксцентриситета установки шпангоутов и от расположения их главных центральных осей относительно срединной поверхности оболочки.

Предлагается следующий метод численного решения системы уравнений дискретно-континуальной модели, включающей в себя уравнения (1), (2) и условия совместности.

Перемещения шпангоутов и оболочки, а также силовые факторы представляются в виде тригонометрических рядов по окружной координате. В виде рядов Фурье записываются также внешние сосредоточенные усилия и моменты, приложенные к шпангоутам.

Для коэффициентов разложения перемещений оболочки и их производных строится общий интеграл уравнений равновесия (1):

ч=\А\ск, (3)

где йк = | щ; V*; ; щ; у>>1 вектор-столбец коэффициентов

[ йа. с1а. }

разложения перемещений и углов поворота торцевых сечений на границах отсека оболочки; Ск = С2; С3;...; С8|- вектор-столбец постоянных интегрирования; \Ак\ - матрица, элементы которой зависят от геометрических и жесткостных свойств оболочки и продольной координаты.

Постоянные интегрирования выражаются через коэффициенты разложения кинематических факторов на границах отсека оболочки, которые с помощью условий совместности заменяются коэффициентами разложения перемещений и углов закручивания сечений примыкающих шпангоутов:

^Н^ИМ^Ч)^1' (4)

где и - матрицы кинематических условий стыковки; |{/|| и

векторы-столбцы коэффициентов разложения перемещений и углов закручивания для к-го и к + 1-го шпангоутов, примыкающих к к-му отсеку оболочки.

Коэффициенты разложения силовых факторов, которые действуют на границах отсеков, примыкающих к к-му шпангоуту, с помощью условий совместности выражаются через амплитудные значения перемещений и углов закручивания к - 1-го, и к + 1-го шпангоутов. В результате для к-го шпангоута с помощью уравнений (2) записывается система четырех алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения перемещений и углов закручивания к- 1-го, к -го и к + 1 -го шпангоутов:

Kl йк +1 +| 0к +| Пк+1\ ÖM + = 0, (5)

где |Л\|- матрица 4x4, коэффициенты которой зависят от геометрических и жесткостных свойств А:-го шпангоута; | £}(| i = к-1, к+\ - матрицы 4x4, характеризующие воздействие примыкающих отсеков оболочки; — вектор-столбец, описывающий внешние воздействия на к-й шпангоут.

Таким образом, задача вычисления НДС подкрепленной цилиндрической оболочки в общем случае сводится к системе 4 т (т - количество шпангоутов) алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения перемещений и углов закручивания шпангоутов для каждой гармоники в разложениях компонент напряженно-деформированного состояния.

Вопросы эффективности разработанного алгоритма и пакета прикладных программ, а также влияния на НДС конструкции геометрических и жесткостных характеристик и возможность применения упрощенных расчетных схем рассматривались на примере ортотропной цилиндрической оболочки, подкрепленной равноотстоящими круговыми шпангоутами. Первый шпангоут оставался свободным от закреплений, а для среднего во всех случаях нагружения выполнялись условия симметрии относительно краев оболочки. Выбор такой расчетной схемы объясняется следующими соображениями. Достаточно длинная оболочка позволяет исследовать вопросы, связанные с затуханием возмущений от приложенных усилий, с учетом влияния свободного края, а наличие симметрично нагруженного шпангоута дало возможность исследовать НДС подкрепления, когда деформации его из плоскости отсутствуют.

Были рассмотрены наиболее характерные случаи нагружения: радиальные и осевые усилия, сосредоточенные крутящие моменты. Эти силовые факторы прикладывались к различным шпангоутам. Вычисления проводились в широком диапазоне изменения геометрических и жесткостных параметров конструкции. Таким образом, были рассмотрены все основные варианты НДС, возникающего в конструкции при внешних локальных воздействиях, приложенных к подкреплению. Распределенные нагрузки не рассматривались, так как они сглаживают все эффекты расчетных схем.

Случай нагружения радиальными усилиями является наиболее типичным для подкрепленных оболочечных конструкций. Проведенные вычисления вы-

явили ряд закономерностей, характерных для этого варианта внешних воздействий.

Влияние длины отсеков оболочки для данного случая нагружения проявляется главным образом в локализации НДС вокруг элементов подкрепления. С увеличением длины отсеков зоны, характеризующиеся наибольшим изменением НДС, приближаются к шпангоутам.

Существенное влияние на НДС конструкции оказывают: 5 — эксцентриси* тет установки шпангоутов и в - угол поворота их главных центральных осей относительно срединной поверхности оболочки. Наибольшие прогибы оболочки соответствуют случаю нулевого эксцентриситета установки шпангоутов. Прогибы возрастают с увеличением угла 0.

Наличие эксцентриситета подкрепления приводит также к значительным нормальным изгибным напряжениям Ст|м. Эти напряжения связаны с изгибающим моментом, действующим в сечениях оболочки, перпендикулярных образующим. Изгибные напряжения равны нулю в случае 5 = 0 и 0 = 0. При этом НДС оболочки с высокой степенью достоверности можно считать безмомент-ным. При установке же шпангоутов как внутри, так и снаружи оболочки ее НДС отличается значительными изгибными напряжениями, и применение упрощенных расчетных моделей в этом случае неправомерно.

Еще большее влияние на изгибные напряжения оказывает угол В. При 9 = 0 НДС не является безмоментным даже при отсутствии эксцентриситета установки шпангоутов, а напряжения а1м в некоторых случаях могут возрастать в два раза при изменении 0 от 0 до я/4.

Что же касается НДС подкрепляющих элементов, то оно мало зависит от эксцентриситета установки шпангоутов. Зато существенное влияние на изгибающие и крутящий моменты, действующие в поперечных сечениях шпангоутов, оказывает угол поворота главных центральных осей относительно срединной поверхности оболочки. Такая ситуация возникает в случае применения в качестве подкрепляющих элементов профилей с несимметричным поперечным сечением. Изгибающий момент, обусловленный деформацией колец из своей плоскости, практически равен нулю для симметричных профилей. Для несимметричных профилей этот момент становится сравнимым с изгибающим моментом, действующим в ортогональной плоскости.

Во многих приближенных методиках расчета подкрепленных цилиндрических оболочек полагается, что касательные напряжения распределяются равномерно вдоль продольной оси внутри каждого отсека. Из расчетов видно, что это справедливо лишь в случае нулевого эксцентриситета установки шпангоутов и достаточно длинного отсека. При установке шпангоутов внутри или снаружи оболочки касательные напряжения испытывают существенные изменения в окрестностях сопряжения оболочки с элементами подкрепления.

Расчеты показали, что для НДС ортотропной подкрепленной оболочки в целом характерны те же закономерности, что и для изотропной. В частности,

увеличение продольного модуля упругости почти не влияет на затухание НДС вдоль образующей оболочки. Не изменяется при этом и характер распределения перемещений и напряжений в обшивке.

Для случая нагружения подкрепленной цилиндрической оболочки сосредоточенными осевыми усилиями характерно, что затухание НДС от нагруженного шпангоута происходит быстрее, чем при нагружении конструкции радиальными усилиями. При этом перемещения затухают медленнее, чем напряжения, действующие в обшивке. В частности, нормальные изгибные напряжения достигают существенных значений только в окрестности нагруженного шпангоута и только в том случае, если эксцентриситет установки подкрепления отличен от нуля.

Те же закономерности характерны и для НДС шпангоутов. Оба изгибающих и крутящий моменты практически равны нулю всюду, кроме нагруженного шпангоута. В нагруженном шпангоуте значения моментов зависят от расположения главных центральных осей поперечного сечения относительно срединной поверхности оболочки.

В случае нагружения конструкции сосредоточенными крутящими моментами область интенсивного изменения НДС также расположена внутри отсеков, граничащих с нагруженным шпангоутом. В частности, возмущения, вносимые крутящим моментом, приложенным к крайнему шпангоуту, распространяются только внутри первого отсека, а далее нормальные и касательные перемещения практически равны нулю. Расчеты показали, что в данном случае нагружения НДС конструкции не зависит от угла поворота главных центральных осей 0, а изменение эксцентриситета установки шпангоутов приводит в основном к изменению характера распределения нормальных и касательных перемещений.

В результате проведенных расчетсв оценены границы изменения геометрических и жесткостных параметров обшивки и подкрепления, при которых НДС подкрепленных цилиндрических оболочек можно рассчитывать с использованием менее точных моделей. Так при некоторых значениях параметров нагрузок и жесткостных и геометрических характеристиках (шаг установки, симметричность и отсутствие эксцентриситета у шпангоутов, отсутствие сосредоточенных радиальных нагрузок и др.) для анализа общего НДС подкрепленной конструкции можно применять дискретно-континуальную модель с безмо-ментной обшивкой. При этом для практических рекомендаций важно исследовать поведение этой модели в зависимости от шага установки поперечного и продольного подкрепления и получить предельные оценки при устремлении его к нулю.

В связи с этим в работе записаны дифференциально-разностные системы уравнений для безмоментной цилиндрической оболочки, подкрепленной поперечным (шпангоуты) и продольным (стрингеры) силовым набором. Показано, что в пределе (уменьшении шага установки подкрепления) уравнения безмоментной оболочки, подкрепленной шпангоутами с жесткостью на изгиб в своей

плоскости, переходят в уравнения полубезмоментной теории гладких оболочек В.З. Власова. В случае безмоментной оболочки, подкрепленной шпангоутами и стрингерами, имеющими жесткость на изгиб в своей плоскости и кручение, показано, что в пределе,в зависимости от точности записи кривизны для шпанго-ута>можно получить или общие уравнения теории тонких оболочек, или уравнения пологих оболочек, или уравнения нерастяжимой в окружном направлении оболочки. Даются оценки шага установки подкрепления, начиная с которых возможно применение регулярной приведенной модели для оценки общего НДС конструкции.

Во второй главе исследуются устойчивость и малые послекритические деформации оболочки и на их основе разрабатывается алгоритм оценки достоверности линейного решения и чувствительности конструкции к первоначальным неправильностям формы. В качестве объектов, иллюстрирующих методику исследования, выбраны цилиндрические оболочки при комбинированном нагружении. Это связано с тем, что для подобных случаев характерна большая изменяемость НДС и есть основания ожидать проявления у оболочки контрастных свойств при различных сочетаниях нагрузок.

При исследовании задач устойчивости рассматриваемых в настоящей работе случаев нагружения (полубесконечная оболочка под действием кольцевых нагрузок, изгибающих моментов на свободном торце, температуры, давления и осевых сжимающих усилий; длинная оболочка под действием кольцевых нагрузок, неравномерного нагрева, давления, осевых усилий с учетом неправильностей формы) конструкций, докритическое состояние которых определяется на основе уравнений краевого эффекта, используются уравнения нейтрального равновесия пологих оболочек. Решение строится с заданием вида функции прогибов и использованием метода Бубнова-Галеркина. Функция прогибов разыскивается в виде:

™ = [А втР^н-^! созр,^ + С,]созт1^ £ Р?+1 ехр(-а^), ^>0,

(6)

Л

>у = [^2зтр1^ + 52со8р1^ + С2]соз'п^2 Рмехр(-а^), £<0,

1=1

Здесь С _ безразмерные координаты по образующей и контуру оболочки соответственно.

Представление решения (6) описывает локальную форму потери устойчивости оболочки в окрестности начала координат = 0).

Соотношение между коэффициентами /¿ь Вк, Ск {к ~ 1,2) определяется из краевых условий конкретной задачи. Параметрами Р,, Р,-,а,, г\ будем распоряжаться в дальнейшем, выбирая их таким образом, чтобы значения критических нагрузок, действующих на оболочку, были минимальными.

Вид решения (6) обладает достаточным числом степеней свободы, чтобы описать довольно широкий класс форм потери устойчивости оболочек.

Система уравнений устойчивости интегрируется приближенно. При этом уравнение совместности деформаций выполняется точно. Уравнение равновесия интегрируется в смысле Бубнова-Галеркина.

В результате получаем характеристическое уравнение, определяющее зависимость критических сочетаний параметров продольных и поперечных усилий при совместном действии нагрузок:

Х2т)+Х, ту.+х0=О. (7)

Здесь коэффициенты Хо>Х1>Хз есть функции параметров волнообразования а, а,, Р,, г),/0* и параметра осевых усилий р. Параметр т)(] = 1,2,3) - учитывает одну из поперечных нагрузок. Остальные параметры поперечных нагрузок входят в Хо- Значения а,, (5], р;,т| должны при этом выбираться так, чтобы при заданных (п-1) значениях внешних нагрузок последняя принимала минимальное значение (п - общее число внешних нагрузок).

Важным является вопрос о точности решения задач устойчивости с помощью представления (6). В работе, кроме сравнения с известными численными результатами, в одной из задач исследуется сходимость для первого собствен-

п

ного числа путем задания представления решения в виде и>= где ка-

(=1

ждая из функций ф,- строится аналогично (6).

В настоящей работе при разыскании экстремальных значений параметров нагрузок и соответствующих им параметров волнообразования использовались, в зависимости от конкретной задачи, градиентный метод с переменным шагом, пропорциональным модулю градиента, и его комбинация с методом Ньютона. При этом для исключения попадания в локальный минимум и определения области существования действительных, положительных значений минимизируемой функции использовался специально разработанный алгоритм анализа поверхности и выбора исходных точек счета.

В результате получены кривые взаимодействия критических параметров нагрузок и соответствующие им значения параметров волнообразования для каждого из рассматриваемых случаев нагружения оболочки. Представлены формы потери устойчивости оболочки.

На рис. 1, 2 приведены кривая взаимодействия критических параметров нагрузок (/и2, р) и соответствующие им значения параметров волнообразования (а1,а2, р,,(32,г|) для полубесконечной цилиндрической оболочки под действием осевых усилий, кольцевой нагрузки и изгибающих моментов на свободном торце. Анализ результатов расчетов показывает, что при действии на оболочку растягивающих усилий и малых сжимающих усилий (р < 0.34) оболочка теряет устойчивость с преимущественным выпучиванием вблизи края, а при р > 0.34 максимальные прогибы при бифуркации реализуются на некотором удалении от края оболочки.

На рис. 3 кривой 1 изображена кривая взаимодействия критических нагрузок цилиндрической оболочки с холодной диафрагмой при нагреве {Kt) и действии на нее осевых усилий, полученная в настоящей работе. Кривая 2 заимствована из работы Ю.И. Бадрухина и В.В. Кабанова. В случае р = 0 в этой работе получено К,= 34,6, в наших расчетах К,= 34,9.

Сравнение результатов определения критических параметров нагрузок для рассматриваемых задач с помощью метода Бубнова-Галеркина с результатами, полученными для тех же задач другими, в том числе численными, методами позволяет сделать вывод об их вполне удовлетворительном соответствии и признать, что метод Бубнова-Галеркина, в смысле применения его по схеме Кармана-Дзяна, является эффективным при решении задач локальной устойчивости гладких оболочек. Полученные результаты являются исходными данными для оценки характера послекритического поведения конструкций.

Исследования параметра малых послекритических деформаций проводятся на основе анализа развития форм потери устойчивости.

Решение нелинейных уравнений пологих оболочек разыскивается в виде:

w = wl +w2 + w3, (8)

где м>, = Wq + е±т А{ sin + Аг cos ];

г 1 " ~2

=l± 4,cosP,^ + /f<;jcosv)£i;P/+1 exp(±ct¿);

/=i

w3 = [± А6 s¡n2p¿ + А7 cos2p,^ +■ A,} t р,2+1 exp(±a¿).

í=i

Здесь верхний знак относится к положительным, а нижний - к отрицательным значениям координаты ^. Запись слагаемых ve в виде (8) предполагает рассмотрение симметричных относительно начала координат напряженных состояний оболочки. В случае кососимметричных и произвольных напряженных состояний решение записывается отдельно для 5 > 0 и ^ < 0 аналогично (8).

В представлении (8) составляющая прогиба и^ отражает докритическое состояние оболочки, прогиб щ соответствует форме потери устойчивости оболочки, с помощью слагаемого w3 удается уловить нелинейный характер задачи.

При подчинении (8) условиям закрепления оболочки на функцию w2 накладываются краевые условия задачи устойчивости оболочки. На функцию w¡ накладывается условие соответствия гармоник: требуется, чтобы длина волны периодической части функции w2 была в два раза больше длины полуволны периодической части функции w3. Для определения коэффициентов A¡ и Аг на сумму слагаемых w, и w3 накладываются краевые условия докритического состояния.

В результате получаем:

Здесь /0,/2,/, - амплитуды прогибов оболочки, соответствующие осесиммет-ричной и неосесимметричной формам.

Принятое в настоящей работе представление для функций прогибов является обобщением формы, предложенной Карманом при решении нелинейной задачи для цилиндрической оболочки при сжатии, на случай оболочек при комбинированном действии локальных нагрузок.

Полученное представление решения вводится в уравнение совместности, которое выполняется точно. В результате выполнения уравнения равновесия в смысле Бубнова-Галеркина получаем систему трех нелинейных алгебраических уравнений относительно амплитуд прогибов /о'/1>/2 и параметров нагрузок ту и р.

В дальнейшем полученная система уравнений исследуется с точки зрения развития форм равновесия, возникающих при потере устойчивости. На рис. 4 показана качественная картина развития амплитуд прогибов оболочки после потери устойчивости. Здесь ц - некоторый параметр нагрузки, кривая 1 соответствует случаю, когда у оболочки с ростом прогибов после потери устойчивости нагрузка растет, а кривая 2 - когда нагрузка падает. Основной целью исследования послекритического поведения оболочек в настоящей работе является определение их чувствительности к начальным неправильностям формы. Для ответа на этот вопрос необходимо исследовать знаки тангенсов углов V, и у2 (рис.4).

В связи с этим в работе исследуются знаки частных производных т^Р = дт/д/к и Пк = др/д/к, которые полностью определяют характер малых послекритических деформаций оболочки: если т^ <0 и Т1к <0 - у оболочки в послекритическом состоянии с ростом прогибов нагрузка падает, оболочка оказывается чувствительной к начальным неправильностям формы; если п^Р >0 и П4 > 0 - у оболочки с ростом прогибов после потери устойчивости нагрузка растет, следовательно, при бифуркации у оболочки происходит смена форм равновесия без потери несущей способности и результаты расчета на устойчивость идеальной оболочки представляются правомерными; если т^4' >0,

П^ <0 или ' < 0, >0 - характер послекритического поведения определяется сочетанием послекритических нагрузок.

На рис. 5, 6 приведены результаты расчетов для частных производных и П, для полубесконечной цилиндрической оболочки, нагруженной осевыми

усилиями интенсивности р, кольцевой нахрузкой rrh и изгибающим моментом тъ на свободном торце при щ = const. Особенности влияния т3 оговорим в дальнейшем. При действии на оболочку растягивающих усилий (р < 0) у оболочки в послекритическом состоянии нагрузка с ростом прогибов увеличивается {тj*' >0, П^ > 0) независимо от сочетания послекритических догружающих усилий. При потере устойчивости у оболочки происходит обмен устойчивостью между докритической и бифуркационной формами без потери несущей способности. В связи с этим при оценке предела устойчивости реальной оболочки в рассматриваемой области нагрузок в линейной постановке оболочку вполне можно рассматривать идеальной.

При 0 <р < 0.007 и 0.5 <р < 0.64 характер послекритического поведения оболочки зависит от послекритического сочетания нагрузок, так как тя^'и Пл имеют различные знаки. Однако если при 0 < р < 0.007 в закритической области у оболочки нагрузка растет с ростом прогибов при р-р' и догружении закритической кольцевой нагрузкой (»4*' > 0), то при 0.5 <р < 0.64 подобное поведение наблюдается у оболочки при щ = т^ и догружении закритическими растягивающими осевыми усилиями ( П^ > 0).

При р > 0.64 у оболочки с ростом прогибов в послекритическом состоянии, независимо от сочетания послекритических догружающих усилий, нагрузка падает (nip <0, nt <0). Поведение оболочки подобно поведению при закри-тическом деформировании цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Оболочка оказывается чувствительной к первоначальным неправильностям формы, ей свойственно явление хлопка. В этой области осевых усилий в линейной постановке рассматривать оболочку идеальной, вообще говоря, неправомерно.

При 0.007 < р < 0.5 у оболочки в послекритическом состоянии с ростом прогибов нагрузка увеличивается ( rdf1 >0, П* > 0).

При р = 0.5 оболочка ведет себя по-разному в зависимости от знака послекритических кольцевых усилий: если в послекритическом состоянии при р = р' = 0.5 на оболочку действуют кольцевые сжимающие усилия, то у оболочки с ростом прогибов нагрузка увеличивается >0), если же оболочку в послекритической стадии догрузить растягивающими кольцевыми усилиями, то у нее с ростом прогибов нагрузка падает.

Расчеты при различных фиксированных значениях щ показывают, что характер поведения оболочки аналогичен приведенным выше с той разницей, что точка смены характера потери устойчивости смещается к меньшим р и диапазон изменения р сокращается с ростом от3.

Таким образом, у полубесконечной цилиндрической оболочки под действием рассматриваемой системы нагрузок существуют зоны нагружения, когда оболочка оказывается слабо чувствительной к неправильностям, и существуют зоны (например, большие р'), когда оболочка весьма чувствительна к первоначальным неправильностям формы, и при исследовании запаса устойчивости рассматривать оболочку идеальной представляется неправомерным.

Проведенные исследования при различных случаях комбинированного нагружения показывают, что чувствительность оболочки к неправильностям формы не является собственной характеристикой и существенно зависит от вида, характера и сочетания нагрузок.

Третья глава посвящена исследованию влияния точности определения докритического состояния на критические параметры в задачах устойчивости оболочек.

Анализ решений задач устойчивости цилиндрических оболочек показывает, что в случаях, в которых учет искривления образующих имеет принципиальное значение, возникает сомнение в правомерности применения для описания докритического состояния линеаризованных уравнений с использованием приближенного представления для кривизны. Поэтому в работе предложен один из вариантов уточнения докритического состояния оболочки и исследовано влияние этого обстоятельства на критические значения параметров нагрузок.

В докритическом состоянии цилиндрическая оболочка рассматривается как оболочка вращения. В работе получены нелинейные уравнения осесимметрич-ных деформаций оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и осесимметричных начальных неправильностей. В случае малых деформаций оболочки из полученной системы следует линеаризованная система уравнений, на основе которой обычно определяется осесимметричное докритическое состояние цилиндрических оболочек.

Решение нелинейной системы уравнений строится приближенно на основе общего интеграла линеаризованной системы. В работе устанавливается приближенная связь между решениями этих систем. При этом нелинейные уравнения выполняются с точностью до квадрата малого параметра X', [Я' =

= [1.2(1 - у2)]~1/4(й/Л)"2; V - коэффициент Пуассона; - толщина и радиус оболочки соответственно].

В задаче устойчивости оболочка также рассматривается как оболочка вращения. Решение задачи строится с заданием вида функции прогибов и использованием метода Бубнова-Галеркина.

В-изложенной постановке рассматриваются: устойчивость полубесконечной цилиндрической оболочки под действием кольцевой нагрузки и изгибающего момента на свободном торце, осевых усилий, нагрева и давления; длинная цилиндрическая оболочка при сжатии, неравномерном нагреве и внутреннем давлении с учетом осесимметричных неправильностей. Рассмотрены различные сочетания нагрузок.

Учет нелинейности докритического состояния приводит к зависимости критических значений параметров нагрузок от параметра X , определяющего геометрию оболочки.

На рис. 7 приведены результаты расчетов для полубесконечной цилиндрической оболочки с холодной диафрагмой под действием осевых усилий р, нагрева к, и давления kq. Здесь построено в зависимости от величины отношение критических значений параметра кольцевой нагрузки к = к,{к)1 к,(0) при различных значениях параметра осевых усилий р и kq = const. Решению с линейным докритическим состоянием соответствует полубесконечная прямая к = 1.0. Расчеты показали, что с ростом к при р = const величина параметра к падает, что говорит об увеличении влияния учета нелинейности докритического состояния. При увеличении параметра сжатия р влияние становится более существенным. Влияние точности определения докритического состояния становится более значительным с ростом давления kq. В рассматриваемой задаче

уже для оболочек средней толщины имеет значение учет нелинейности докритического состояния.

Анализ полученных результатов показывает, что решения, в которых проводится линеаризация докритического состояния, носят асимптотический характер и справедливы для весьма тонких оболочек. Необходимость учета нелинейности докритического состояния в задачах устойчивости определяется характером докритического НДС. При ярко выраженном локальном характере докритического состояния необходимо уточнять это состояние и вводить его в расчет на основе решения нелинейной задачи.

В четвертой главе предложены вариант уравнений теории оболочек и алгоритм выбора функций формы для расчета тонкостенных авиационных обо-лочечных конструкций, позволяющий улучшить решение как для напряженного, так и для деформированного состояния, что важно, например, в задачах живучести авиационной техники.

Большое место в расчетах авиационных конструкций занимает разработка методов и алгоритмов исследования прочности оболочечных панелей сложной формы в плане с поверхностями, существенно отличающимися от канонических форм. Показательными в этом смысле являются крыльевые панели, форма в плане и кривизна которых, как правило, задаются численно из аэродинамического эксперимента. При разработке алгоритмов расчета подобных конструкций МКЭ использование оболочечных соотношений, записанных в главных кривизнах, вызывает значительные трудности (вычисление направлений главных кривизн для системы точек, построение связанных с ними систем координат, работа с граничными элементами и т.д.). Очевидно, что большинство из перечисленных трудностей можно исключить, если использовать при построении конечно-элементных моделей уравнения состояния и, как следствие, уравнения оболочки для произвольной криволинейной системы координат, имею-

щие точность, обеспечивающую им тензорный характер, выполнение "шестого" уравнения равновесия, удовлетворение условиям симметрии и наличие статико-геометрической аналогии.

В работе исходя из классических кинематических гипотез Кирхгофа-Лява и предположения о квадратичной зависимости от координаты по толщине оболочки напряжений от деформаций точек срединной поверхности для произвольной криволинейной системы координат предложен вариант уравнений состояния, и, как следствие, уравнений теории оболочек, удовлетворяющих перечисленным выше требованиям и являющихся обобщением соотношений А.И. Лурье и К.Ф. Черных. Показано, что из полученных уравнений следуют все известные варианты уравнений.

Другая трудность расчета авиационных панелей содержится в самой структуре уравнений оболочек. Обычно используемый при расчете по МКЭ метод перемещений предполагает задание функций формы для определения перемещений и и V и прогиба w1 т.е. функций, описывающих степени свободы КЭ. Строго доказанной сходимость решения МКЭ к точному можно считать только для "совместных" элементов, построение которых для оболочечных конструкций вызывает ряд трудностей, обусловленных тем, что в оболочках мембранные и изгибные деформации завязаны между собой и применение стандартных приемов построения функций формы приводит к плохой сходимости решения.

Проведенные в настоящей работе исследования показали, что для большинства применяемых КЭ (Галлахер, Богнер, Фокс, Шмит, Кантик, Клауф и др.) наблюдается существенная зависимость сходимости от относительной толщины оболочки, особенно это касается мембранных усилий. Следовательно, применение таких КЭ к решению задач расчета тонкостенных авиационных конструкций, где мембранные усилия играют, как правило, основную роль и должны вычисляться весьма точно, может привести к существенным погрешностям.

На основе проведенного анализа предложен способ построения функций формы для оболочечных элементов. Выбор функций формы для прогиба осуществляется в виде кубических сплайнов либо с учетом перемещений элемента как твердого тела. Обратимся к заданию функции формы для определения перемещений и и V. В теории оболочек они взаимосвязаны с прогибом. Поэтому при традиционных алгоритмах задания функций формы в результате решения задачи, например, чистого изгиба оболочечной панели мембранные усилия могут оказаться ненулевыми, т.е. появляются некоторые "ложные" усилия. Для исключения указанных случаев некорректных решений в МКЭ функции формы для определения перемещений Уи Гв оболочечных КЭ будем определять так, чтобы дать возможность мембранным деформациям, связанным с прогибом и', обращаться в нуль. При этом постоянные интегрирования определяются через узловые перемещения.

Исходя из полученных представлений для оболочечцых КЭ были разработаны программы расчета тонкостенных авиационных оболочек применительно

к конечно-элементному комплексу "Диана" в СибНИИА им. С.А. Чаплыгина. С целью тестирования этих программ рассмотрена задача о цилиндрическом изгибе оболочки вращения. На рис. 8, 9 показаны результаты расчетов для прогиба и изгибающего момента. На рис. 8 штрихпунктирной линией изображены решения, полученные интегрированием уравнений в конечных разностях. На рис. 9 кривые с точкой соответствуют КЭ с учетом в функциях формы их перемещений как твердого тела.

Разработанный в настоящей работе КЭ позволяет с большой степенью точности определять не только деформированное, но и напряженное состояние оболочечных конструкций.

В пятой главе исследуется применимость интегрального представления общего решения пологих оболочек, построенного в работах Л.М. Куршина и И.Д. Суздальницкого для одиночного отверстия, к решению задач расчета пологих панелей, ослабленных системами отверстий неизвестной формы. Исследуется влияние характера и уровня нагрузок, геометрии оболочки и условий равнопрочности на напряженное состояние конструкции и форму равнопрочных отверстий.

Рассмотрим тонкую упругую изотропную пологую цилиндрическую панель, имеющую произвольную систему отверстий неизвестной формы. На внешнем контуре панель может быть натужена либо усилиями в срединной поверхности, либо изгибающими моментами. Распределенные поверхностные нагрузки отсутствуют. Ось х направим вдоль образующей, ось у - ей ортогонально, начало координат поместим внутри произвольно взятого отверстия.

Уравнение изотропной пологой цилиндрической оболочки напишем в виде

где V = У(2,2) - комплексная функция напряжений, 2 = у + \х, 2~ у - ¡х, /2=-1, ц2 = [12(1 - V2 )]1/2а2 / (16ЛА), к - радиус, к - толщина оболочки, а - радиус отверстия.

Общее решение (10) разыскиваем в виде

где Vя =КС0(^,2) определяется напряженным состоянием в невозмущенной области; Ь = ЪЬт,Ьт - контур т-го отверстия; ^{г) - неизвестные вещественные функции вещественного аргумента; \ =!;(?) - аффикс точки на контуре; Г4 - частные решения (10).

Усилия 8х,8у,8ху, моменты МХУМу,Мху, перерезывающие силы <2х,()у в оболочке определяются через комбинации вторых и третьих частных производных по 2,2 от У{2,2).

(10)

У = Z-lí)[g2k^t)+iglk{t)}dt , (П)

£*=1

Краевые условия на контуре L для усилий берутся в виде

Sn = S0,S„, = 0,5, = S* = const, (12)

для моментов и перерезывающих сил

М„ = Ма, Мп, = О, М, = м' = const, = 0,й = 0, (13)

» *

постоянные 5 или М подлежат определению в ходе решения задачи об отыскании формы неизвестных контуров в оболочке.

В работе также применяется условие равнопрочности Б.Д. Аннина и Г.П. Черепанова:

= + ysin2a, (14)

»

где S ,у - const,a - угол между направлением действительной оси у и положительной нормалью к контуру отверстия. Условие (14) используется и для моментных условий. В конкретной задаче одно из краевых условий (12)...(14) выполняется с помощью представлений силовых факторов через комплексную функцию напряжений.

Введем комплексные потенциалы:

X«.t(z) = 2v,(7tiT1 ¡{Ugn,,kU)-(^+l)gm+2At)]^zl+zlgm+2ik(t)}dt,

L

4W*(z)= 2v,(rc/r' Jg„+2,*(01nz,cft, (15)

L

<pm,*0)= Xm,iO)> XmO)>

где m= 1,2; A = 0,1,2,...,; z, =г-Щ

Тогда совокупность функциональных уравнений запишем в виде

Фи+2,*(2) = Фп+2 ,k(z) =

Шф'^гЛ) + v'm,k(Q=Gm>k(Q, (16)

где m = 1 соответствует краевой задаче (13); от = 2 - краевой задаче (12). Здесь обозначено:

ф = ЧЧ*<0 =

Правые части H„k{z), Gm k{Q зависят от внешней нагрузки и геометрии оболочки.

При растяжении оболочки полагают gi0(/) = 0, что эквивалентно

равенству нулю изгибающего момента и обобщенной перерезывающей силы в нулевом приближении на краю отверстия.

В задаче изгиба оболочки принимают &о(0 = &о(0= 0» что эквивалентно равенству нулю компонент усилий на контуре отверстия.

Таким образом, общее решение уравнения пологой цилиндрической оболочки в виде интегрального представления сведено к совокупности функциональных уравнений. Нулевое приближение при к = 0 соответствует плоской задаче теории упругости для многосвязных областей, решение которой выражено через комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили. Полученные соотношения (16) применимы также в случае исследования напряженного состояния пологих цилиндрических оболочек с системами подкрепленных равнопрочных отверстий. Заметим, что вид потенциалов Фт+2,И2)> Ут+2.к(2) ■ и функции ЩС,) при решении конкретных задач зависит от связности области.

В работе проведено исследование периодической системы равнопрочных отверстий в цилиндрической панели, нагруженной на внешнем контуре усилиями в срединной поверхности при наложении на контуре отверстий условий (12) и (14), и изгибаемой цилиндрической панели с условиями на контуре (13); двоякопериодической системы отверстий (с равными и неравными периодами) в цилиндрической панели, нагруженной на внешнем контуре усилиями в срединной поверхности. Во всех случаях путем разложения неизвестных функций по малому параметру р.2 задачи сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений, численное решение которых выполняется методом последовательных приближений. Исследовались равнопрочные формы отверстий в зависимости от соотношения внешних нагрузок, параметров решетки, геометрии оболочки и уровня нагрузок на контуре отверстий.

Приведем результаты расчетов для растягиваемой усилиями и ^ панели с двоякопериодической системой (с неравными периодами) отверстий неизвестной формы при

Р = — <0.4; Х = — <0.4; ц2 = ЖТ) —— < 0.4; 5 = ^>0.6.

2тсЯ Н м 16ЯИ

На рис.10 изображены формы равнопрочных отверстий при р2 - 0.2 и 5 =1 и различных значениях Р = 0; 0,2; 0; 0,2; 0,2 и X = 0; 0; 0,2; 0,2; 0,4 (кривые 1,2,3,4,5 соответственно). Анализ результатов расчетов показывает, что при увеличении параметра Р (сближение отверстий в поперечном направлении) отверстия вытягиваются вдоль оси оболочки, а при увеличении X - в окружном направлении оболочки. При уменьшении параметра нагрузки 5 отверстия вытягиваются в поперечном направлении. Аналогично ведут себя равнопрочные отверстия при увеличении параметра р2.

Тангенциальное напряжение на контуре равнопрочного отверстия растет при увеличении параметров Р, X, |л2 и уменьшении 5.

В заключение отметим, что при изгибе оболочки результаты сохраняют подобие как в геометрии равнопрочных отверстий, так и в значениях тангенциального момента на его контуре.

Таким образом, в результате проведенных в настоящей главе расчетов исследовано влияние геометрических параметров оболочки, решетки и соотношений внешних нагрузок, приложенных к оболочке, на формы равнопрочных отверстий. Определены области значений параметров, при которых используемая численная процедура дает достоверные результаты.

В работе получены следующие основные результаты:

1. На основе моментных уравнений теории тонких оболочек с учетом орто-тропии жесткостных свойств построена дискретно-континуальная модель подкрепленных оболочечных конструкций и разработан численный метод исследования их напряженно-деформированного состояния (НДС) при локальных нагрузках. Исследовано НДС подкрепленных цилиндрических оболочек при локальном нагружении радиальными и осевыми усилиями и моментами. Показано существенное влияние на НДС подкрепленных конструкций эксцентриситета установки шпангоутов и положения главных центральных осей поперечного сечения шпангоутов. Определен локальный характер влияния на НДС конструкций осевых усилий и крутящих моментов и значительно более медленное затухание НДС при радиальных воздействиях.

Оценены границы изменения геометрических и жесткостных параметров подкрепления и обшивки, при которых напряженно-деформированное состояние тонкостенной конструкции можно рассчитывать на основе упрощенных моделей.

2. Построен предельный переход уравнений дискретно-континуальной модели подкрепленной шпангоутами безмоментной оболочки в полубезмомент-ные уравнения теории гладких оболочек при устремлении к нулю длины отсеков. В случае дискретно-континуальной модели подкрепленной шпангоутами и стрингерами безмоментной цилиндрической оболочки получен предельный переход к моментной цилиндрической оболочке, причем вариант полученных уравнений зависит от точности записи соотношений для подкрепления: уравнения непологих или пологих оболочек, уравнения для нерастяжимых в окружном направлении оболочек.

Оценены границы значений для шага подкрепления и их жесткостных характеристик, начиная с которых подкрепленную оболочку можно рассчитывать на основе уравнений для гладкой оболочки.

3. Разработаны алгоритмы расчета и проведено исследование устойчивости цилиндрических оболочек при совместном действии на нее сосредоточенных и распределенных внешних воздействий. Предложен алгоритм построения вида решения, исследована сходимость. В результате получены кривые взаимодействия критических параметров нагрузок и соответствующие им формы потери устойчивости, которые используются в дальнейшем при исследовании характера послекритического поведения оболочки. Вместе с тем сравнение получен-

ных результатов с известными показывает высокую эффективность численно-аналитического алгоритма.

4. Разработан способ исследования малых послекритических деформаций тонкостенных элементов конструкций при комбинированном нагружении. Разработана методика построения представления решения нелинейной задачи деформирования цилиндрической оболочки под действием локальных и распределенных нагрузок в малой послекритической области.

5. Исследован характер послекритического поведения цилиндрических оболочек при совместном действии на нее локальных и распределенных силовых и температурных воздействий. Показано, что характер поведения оболочки в послекритической области, определяющий чувствительность оболочки к неправильностям формы и правомерность использования в расчетах линейного решения, не является собственной характеристикой конструкции и существенно зависит от вида, характера, места приложения и сочетания нагрузок. Определены области нагружения конструкции, при которых правомерно использование в расчетах результатов линейной задачи устойчивости.

6. Получены уравнения осесимметричного докритического состояния оболочек вращения с учетом геометрической нелинейности и осесимметричных первоначальных неправильностей. Предложен приближенный метод их интегрирования, основанный на использовании решения линеаризованных уравнений и обеспечивающий построение решения исходных уравнений с точностью до квадрата малого параметра.

7. Исследовано влияние учета нелинейности докритического состояния на критические значения параметров внешних воздействий. Рассмотрено действие на цилиндрическую оболочку силовых и температурных сосредоточенных и распределенных нагрузок и их комбинаций, а также осесимметричных неправильностей формы. Учет нелинейности докритического состояния приводит к зависимости решения от параметра, пропорционального отношению толщины оболочки к радиусу. Анализ результатов расчетов показывает, что решения, в которых используются линеаризованные уравнения, носят асимптотический характер и, строго говоря, могут считаться правомерными только для весьма тонких оболочек. Определены области нагружения, для которых с заданной точностью можно использовать в задачах устойчивости докритическое состояние, найденное из линеаризованных уравнений.

8. Получен вариант уравнений теории оболочек произвольной формы и кривизны в тензорном виде, удобном для использования их в методе конечных элементов, удовлетворяющих "шестому" уравнению равновесия, симметрии, а также допускающих статико-геометрическую аналогию.

9. Предложен способ выбора функций формы для оболочечного конечного элемента, которые обеспечивают слабую зависимость сходимости решения от геометрии конструкции и позволяют с большой степенью точности определять не только деформированное, но и напряженное состояние конструкции.

10. Показана применимость интегрального представления к решению задач теории иологих оболочек, ослабленных системами отверстий неизвестной формы, которые определяются из условий равнопрочности.

11. Построены контуры равнопрочных отверстий в пологой цилиндрической панели, имеющей периодическую и двоякопериодическую перфорацию, нагруженной усилиями в срединной поверхности, а также в изгибаемой цилиндрической панели с периодическим рядом отверстий. Исследованы области значений параметров, когда их влияние на положение и форму равнопрочных отверстий представляется существенным.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Куршин Л.М., Пустовой Н.В. О закритическом поведении цилиндрической оболочки при совместном действии нагрузок: Тез.докл. на IV Всесо-юз.конф. по проблемам устойчивости в строительной механике. - Харьков, 1972.-С. 34-35.

2. Пустовой Н.В. Локальная устойчивость цилиндрической оболочки с учетом нелинейного докритического состояния // Динамика и прочность конструкций. - Новосибирск, 1973. - № 1. - С. 43-52.

3. Куршин Л.М., Пустовой Н.В. Устойчивость длинной цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия и кольцевой нагрузки // Изв. вузов. Сер. Авиационная техника. - Казань, 1974. - № 1. - С. 60-64.

4. Пустовой Н.В. Устойчивость и послекритическое поведение цилиндрических оболочек при локальном нагружении // Динамика и прочность конструкций. - Новосибирск, 1974. - № 2. - С. 23-42.

5. Пустовой Н.В. Об учете нелинейности докритического состояния цилиндрической оболочки с осесимметричными неправильностями формы при сжатии // Динамика и прочность конструкций. - Новосибирск, 1974. - № 2. -С.42-47.

6. Куршин Л.М., Пустовой Н.В. Особенности закритического поведения цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении // Теория оболочек и пластин: Аннотации докладов 9 Всесоюз.конф. по теории оболочек и пластин. - Л.: Судостроение, 1975. - С. 5.

7. Крамаренко Н.В., Пустовой Н.В. Алгоритм наложения связей общего вида в методе конечных элементов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз.сб. науч.тр. // Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1976.-С. 134-137.

8. Пустовой Н.В., Пель А.Н. О напряженно-деформированном состоянии подкрепленной оболочки // Тр. VIII Дальневост, науч.-техн.хонф. по повреждаемости и эксплуатационной надежности судовых конструкций. - Владивосток: ДВПИ, 1981.-С. 212-215.

9. Пустовой Н.В., Пель А.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния подкрепленных цилиндрических оболочек при локальном нагруже- • нии // Матер. VIII регион.конф. по математике и механике / ТГУ. - Томск, 1981.-С. 49-56.

10. Пустовой Н.В., Пелъ А.Н. К вопросу о напряженно-деформированном состоянии оболочки, подкрепленной круговыми шпангоутами II Шестые Буб-новские чтения: Тез. докл. - Горький, 1982. - С. 22.

11. Пустовой Н.В., Лель А.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния подкрепленной цилиндрической оболочки // Пространственные конструкции в Красноярском крае: Межвуз. сб. / Красноярский политехи, ин-т. -Красноярск, 1982.-С. 21-26.

12. Пустовой Н.В., Пелъ А.Н. Исследование влияния жесткости подкрепления на напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки // Тез. докл. Всесоюз. конф. "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов". - М, 1983. - С. 33.

13. Пелъ А.Н, Пустовой Н.В. Расчет напряженно-деформированного состояния подкрепленных цилиндрических оболочек при локальных воздействиях // Тез. докл. IX Дальневост. науч.-техн. конф. по повреждениям и эксплуатационной надежности судовых конструкций. - Владивосток, 1984. - С. 239-242.

14. Куршин Л.М., Пустовой Н.В. Устойчивость элементов конструкции / Новосиб. злектротехн. ин-т. — Новосибирск, 1985. - 90 с.

15. Пустовой Н.В., Пелъ А.Н. Предельный переход от дискретно-континуальной модели к полубезмоментной теории оболочек / Новосиб. злектротехн. ин-т. - Новосибирск, 1985. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ / 21.02.86. - № 1213 В.

16. Пустовой Н.В., Пелъ А.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с несимметричным профилем // Тез. докл. Всесоюз. конф. "Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов". - Куйбышев, 1986.-С. 22-23.

17. Пустовой Н.В., Суздальницкий И.Д. Оптимизация формы отверстий в цилиндрической оболочке с начальной неправильностью // Матер. VI Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике. - Ташкент, 1986. - С. 221-222.

18. Пустовой Н.В. О влиянии жесткости присоединенного упругого элемента на напряженное состояние подкрепленной цилиндрической оболочки // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1986. - С. 3-14.

19. Пустовой Н.В., Берне В.А., Ефремов С.П., Хватов А.Ф. Анализ расчетных моделей тонкостенных трубопроводов // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1986.-С. 30-36.

20. Пустовой Н.В., ПельА.Н. К вопросу о предельном переходе от дискретно-континуальной модели и полубезмоментной теории оболочек // Расчет элементов конструкций летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1987. -С. 34-41.

21. Пустовой Н.В., Пелъ А.Н. Расчет ортотропных цилиндрических корпусных конструкций // Повреждаемость и эксплуатационная надежность судовых

конструкций: Тез. докл. X Дальневост. науч.-техн. конф. / ДВПИ. - Владивосток, 1987.-С. 227-229.

22. Пустовой Н.В., Степанова Е.В. Устойчивость естественно загруженного стержня при сжатии // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций. Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1987.-С. 97-102.

23. /Гель А.Н., Пустовой Н.В. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с несимметричным профилем // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1987. - С. 3-10.

24. Пустовой Н.В., Суздалъницкий И.Д. Исследование влияния первоначальных неправильностей формы на равнопрочные отверстия в цилиндрической оболочке // XIV Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин // Тр. ТбГУ. -Кутаиси, 1987.-С. 360-366.

25. Пустовой Н.В. Строительная механика самолета / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск. - 1988. - 72 с.

26. Пустовой Н.В., Пель А.Н. Напряженно-деформированное состояние ор-тотропных цилиндрических оболочек, подкрепленных силовыми шпангоутами // Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов: Матер. III Всесоюз. конф. 1 Казанск. ун-т. - Казань, 1988. -С. 117-118.

27. Пустовой И. В., Пель А.Н. Расчет подкрепленных цилиндрических оболочек с ортотропной обшивкой в случае произвольного нагружения // Бубнов-ские чтения - 88: Тез. докл. науч. конф./ Горьк. гос. ун-т. - Горький, 1988. -С. 75.

28. Пустовой Н.В., Суздальнищий И.Д. Равнопрочные отверстия в цилиндрической оболочке с начальной неправильностью // Журн.прикл. механики и техн. физики, - 1988,-№2.-С. 141-145.

29. Пустовой Н.В., Рябова Т.Э. Изгиб стержня, взаимодействующего с анизотропной средой // Динамика и прочность авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб.электротехн.ин-т. - Новосибирск, 1989. - С. 91-95.

30. Пустовой Н.В., Пель А.И. Влияние ортотропной обшивки на НДС цилиндрических корпусных конструкций // Композиционные материалы в конструкциях глубоководных технических средств: Докл. межвуз. науч.-техн. конф. - Николаев, 1989. - С. 99-102.

31. Пустовой Н.В., Пель А.И. Напряженно-деформированное состояние подкрепленных цилиндрических конструкций с ортотропной обшивкой // Совершенствование технической эксплуатации корпусов судов: Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф. - Л.: Судостроение, 1989. - С. 155.

32. Пустовой Н.В., Пель А.И. Алгоритм расчета на прочность и устойчивость корпусных цилиндрических оболочек при локальных нагрузках // Повреждения и эксплуатационная надежность судовых конструкций: Тез. докл. Дальневост. науч.-техн. конф. / ДВПИ. - Владивосток. - 1990. - С. 132-134.

33. Пустовой Н.В., Суздальницкий И.Д. Оптимальные формы отверстий в цилиндрической оболочке с двоякопериодической перфорацией, имеющей неравные периоды // Тр. XV Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин: В 2 т. -Казань, 1990.-С. 139-144.

34. Пустовой Н.В. Закритическое поведение цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении // Динамика и прочность элементов авиационных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1990,- С. 93-100.

35. Пустовой Н.В., Темников А.И. Тензорные уравнения для расчета тонких оболочек // Динамика и прочность авиационных конструкций. Межвуз. сб. науч. тр. / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1992. - С. 20-35.

36. Пустовой Н.В., Темников А.И. Об одном варианте уравнений теории оболочек // Тез. докл. I Междунар. конф. по математике и механике. - Новосибирск: Наука, 1994. - С. 97.

37. Присекин В.Л., Пустовой Н.В., Белоусов А.И. Компьютерная модель систем стенда и самолета для испытания на прочность // Науч.вестник НГТУ. -Новосибирск. - 1996. -№ 2. - С. 79-89.

38. Присекин В.Л., Пустовой Н.В. Уравнения изгиба многослойных пластин // Науч. вестник НГТУ. - Новосибирск. - 1996. - № 2. - С. 69-79.

39. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. Основы расчета элементов конструкций на устойчивость. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1997. - 394 с.

40. Pustovoi N. V. Bending of multi-Laner Plates // Proceedings the Fist Korea-Pussia International Symposium on Science and Technology, s.28-33, Ulsan, Korea, 1997.

41. Pustovoi N. V. Research of influence initial deviations of the form on the bucklind of thin-walled aireraft shells // Abstrachs the Fist Korea-Russia International Symposium on Science and Technology, s.20, Ulsan, Korea, 1997.

42. Pustovoi N.V., Prisekin V.L., Belousov A.J., Nigirich U.B. Research of loading system of a construction of the plane in test beds // Abstracts the Fist Korea-Pussia International Symposium of Seience and Technology, s.23, Ulsan, Korea, 1997.

< т\'0

\

|

|

V

-0.5 0 0.01 омс 5--Р*

т; "0

0.54

¡Хрч г0. а Л1

0 Р'

Рис. 1. Критические значения параметров нагрузок

Рис. 2. Критические значения параметров нагрузок

Рис. 3. Критические значения параметров нагрузок

Рис. 4. Варианты поведения после потери устойчивости

П^Сдпр 1 1 1

т^'О № )

-а 5 О 1 1 Г 5 Р"

1 1 1

Рис. 5. Анализ поведения оболочки Рис. б. Анализ поведения оболочки

при малых послекритических при малых послекритических

деформациях деформациях

Рис. 7. Влияние точности определения докритического состояния на критические значения нагрузок

Рис. 8. Результаты расчетов для эллипсоидальной оболочки

£ гй

*

й 1 £ й 1 дл уй ! е, 4 > а ¿1

а/6• а/л

А 'А а/&->.5 а/6-го

у ... í \

Г ' 1

Рис. 9. Результаты расчетов для эллипсоидальной оболочки

йл 0,8 И 16 г (О)

Рис. 10. Результаты расчетов для форм отверстий