Исследование процессов кристаллизации полидисперсных систем частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ МАССОВОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ.

1.1.Образование кластеров, метастабильное состояние, нуклеация и рост кристаллов.

1.2. Макрокинетика процессов фазового перехода.

1.3.Периодические режимы массовой кристаллизации.

ГЛАВА

КИНЕТИКА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ ИЗ РАСПЛАВОВ И РАСТВОРОВ.

2.1.Модель объемной кристаллизации переохлажденных расплавов.

2.2.0сновные интегральные уравнения.

2.3.Кристаллизация с флуктуационным образованием зародышей. Сравнение результатов теории и эксперимента.

2.4.Кинетика кристаллизации в каскаде последовательно соединенных объемов.

2.5. Кристаллизация в каскаде объемов с флуктуационным зародышеобразованием.

ГЛАВА

АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ В ОБЪЕМЕ.

3.1.Постановка задачи.

3.2.Вывод эволюционного уравнения.

3.3.Стационарные режимы кристаллизации. Сравнение расчетных и экспериментальных данных.

3.4.Анализ устойчивости стационарного режима кристаллизации.

3.5. Бифуркация автоколебательных режимов кристаллизации из стационарных.

3.6.Автоколебания при произвольной надкритичности.

3.7.Колебания интегральных характеристик. Интенсификация кристаллизации в автоколебательных режимах.

3.8.Сравнение результатов теории и экспериментов.

ГЛАВА

ВЛИЯНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ НА КИНЕТИКУ РАСТВОРЕНИЯ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ.

4.1.Основные причины осевой диффузии в потоках и ее учет в кинетическом уравнении.

4.2. Выбор характерных масштабов и решение задачи.

4.3.Некоторые условия сохранения в потоке двухфазной полидисперсной среды. Анализ предельных случаев.

4.4.Кинетика растворения монодисперсной фракции в полуограниченном канале.

4.5. Математическое моделирование растворения полидисперсной системы кристаллов.

4.5.1.Уравнения, описывающие динамику растворения.

4.5.2.Постановка краевых задач.

4.5.3.Лагранжевы переменные.

4.5.4.Решение задачи для функции распределения.

4.5.5. Редукция задачи.

4.5.6.Алгоритм решения.

4.5.7.Примеры расчетов.

ГЛАВА

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ.

5.1 Постановка и решение краевой задачи.

5.2Практическое использование полученных результатов.

5.3 Сравнение теории с экспериментальными данными.

Массовая кристаллизация из расплавов, растворов и газовой фазы широко распространена в современной технологии и природе. Кристаллизация является важным этапом получения твердых материалов с заданными свойствами, мировое производство которых составляет миллионы тонн. Поэтому разработка совершенных методов получения дисперсных материалов методом массовой кристаллизации представляет одну из основных проблем металлургии и химической технологии. Исследованию молекулярно-кинетического механизма кристаллизации и возможности воздействия на характер ее протекания посвящена обширная литература [3-5,16,18,30,31,57]. Однако до сих пор многие кардинальные проблемы массовой кристаллизации далеки от разрешения. Для управления технологическими процессами до сих пор применяются приемы и элементы оборудования, позволяющие лишь «на ощупь» контролировать протекание процесса и направлять его в нужном режиме.

Основную роль в формировании кристаллического продукта заданного гранулометрического состава играют процессы нелинейного тепло- и массопереноса, определяющие режимы работы кристаллизаторов. Современная технология предъявляет все более высокие и разнообразные требования к свойствам и качеству дисперсных кристаллических продуктов, что приводит к резкому возрастанию сложности и стоимости экспериментальных исследований. В этих условиях возникает необходимость привлечения к исследованиям, направленным на детальный анализ особенностей тепломассопереноса и на его основе интенсификацию и оптимизацию рабочих режимов кристаллизаторов и способов управления ими, методов математического моделирования. 5

Большой интерес теоретиков и экспериментаторов в последнее время вызывает исследование нестационарной кристаллизации полидисперсных систем. Особое значение имеют различного рода неустойчивости, колебания, а также пульсационные, переходные и кризисные явления, поскольку их наступление способно кардинально изменить как характер фазового перехода, так и его результаты [98,101,102]. Прикладное значение исследования динамических режимов массовой кристаллизации определяется необходимостью разработки эффективных методов управления процессами получения кристаллов заданного гранулометрического состава, выяснение причин нарушения устойчивости работы кристаллизаторов непрерывного действия и исследования возможности применения периодических режимов кристаллизации для улучшения таких технологических характеристик кристаллизации, как массовый выход, средний размер, дисперсность продукционных кристаллов и т. д. Принципиально новой задачей является исследование влияния на кристаллизацию внешних периодических и пульсационных воздействий, вызывающих модуляцию определяющих параметров системы. Развитие теории колебательных процессов, связанных с объемной кристаллизацией, диктуется также необходимостью исследования механизма формирования и эволюции двухфазной зоны, формирующейся в области концентрационного переохлаждения перед фронтом направленной кристаллизации расплава [3,39].

Аналогичные неустойчивости могут иметь место и в процессах иной природы, связанных с эволюцией полидисперсных систем частиц в метастабильных и химически активных средах: вскипании сильно перегретых жидкостей и горении полидисперсного топлива. Нестационарные процессы в указанных системах имеют много общего с массовой кристаллизацией из переохлажденных расплавов, и 6 полученные в диссертации результаты могут быть без особого труда распространены на упомянутые явления.

Анализ нестационарных процессов кристаллизации полидисперсных систем требует создания представительных физических моделей, формулировки на их основе и последующего решения существенно нелинейных математических задач с привлечением сложных методов математической физики. Достаточно полные исследования указанных явлений в настоящее время отсутствуют.

В соответствии со сказанным основные цели диссертации можно сформулировать следующим образом :

1. Разработка единого подхода к решению нелинейных задач массовой кристаллизации из переохлажденных расплавов и пересыщенных растворов и на его основе методов исследования конкретных процессов.

2. Разработка методики расчета условий нарушения устойчивости стационарных процессов, характеристик нелинейных автоколебательных режимов и осредненных характеристик массовой кристаллизации в отдельном объеме и в каскаде ячеек. Выяснение возможности интенсификации кристаллизации в нестационарном режиме.

3. Решение обратной задачи для кинетического уравнения для плотности распределения кристаллов по размерам, позволяющей рассчитывать скорость зародышеобразования на основе данных о распределении кристаллов по размерам.

4. Анализ влияния гидродинамических факторов на кинетику растворения полидисперсной системы кристаллов. 7

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

- разработан метод получения функциональных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию полидисперсной системы кристаллов при кристаллизации из переохлажденных расплавов и пересыщенных растворов при общих предположениях о кинетиках нуклеации, роста и удаления кристаллов из системы;

- получены аналитические и численные решения этих уравнений для периодической и непрерывной кристаллизации, рассчитаны плотность распределения кристаллов по размерам и интегральные характеристики процесса;

- выяснены условия потери устойчивости стационарных режимов кристаллизации; показано, что в областях неустойчивости формируются автоколебательные режимы кристаллизации, амплитудно-частотные характеристики которых рассчитаны методами малого параметра и численно;

- получен аналитический критерий интенсификации кристаллизации в слабонелинейном автоколебательном режиме;

- поставлена и решена задача о растворении полидисперсной системы кристаллов, вовлеченных в макроскопическое течение двухфазной среды в полуограниченном канале круглого сечения с учетом осевой диффузии частиц, вызванной влиянием на их движение гидродинамических факторов;

- поставлена и решена обратная задача для кинетического уравнения, определяющего плотность распределения кристаллов по размерам; рассчитана интенсивность зародышеобразования и начальная плотность распределения затравочных кристаллов; предложен эффективный метод интерпретации экспериментальных данных по 8 кристаллизации в полидисперсных системах, в основу которого положено решение обратной задачи ;

- предложена математическая модель растворения плотной кристаллической массы при фильтрации в цилиндрическом сосуде, разработан метод ее решения.

Практическая ценность работы. Методы и алгоритмы, предложенные в работе, могут служить теоретической основой для расчета технологических режимов кристаллизаторов непрерывного и периодического действия и условий перехода от стационарных к автоколебательным режимам. Полученные результаты позволяют рассчитывать важнейшие технологические характеристики кристаллизации, воздействовать на гранулометрический состав конечного кристаллического продукта и выявлять оптимальные режимы реализации процесса. Результаты исследования растворения плотной кристаллической массы при фильтрации в цилиндрическом сосуде могут быть использованы при расчетах аппаратов колонного типа. Решение обратной задачи для кинетического уравнения позволяет вычислять частоту нукпеации по известным осредненным характеристикам массовой кристаллизации.

Исследования выполнены в рамках важнейших комплексных программ в области естественных наук: Программы фундаментальных исследований РАН до 2000 г. , Программы Государственного комитета РФ по высшей школе до 2000 г., плана фундаментальных исследований РАН по теме «Исследование гидродинамики и процессов переноса в многофазных и дисперсных системах» ( № 01860045507 ).

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается хорошим согласием с экспериментами других авторов 9 по плотности распределения кристаллов по размерам, а также по периоду и амплитуде автоколебаний переохлаждения и осредненных характеристик процесса. Достоверность подтверждается также тем, что результаты получены в рамках достаточно полных математических моделей с помощью современных методов исследования полидисперсных систем; численные результаты согласуются с аналитическими асимптотиками.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Математические методы в химии и химической технологии» (Тверь, 1995), на первом, втором и третьем Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 1997, 1998, 1999), на Международном симпозиуме молодых ученых «Стратегии - 3000» (Кисловодск, 1996), на научном семинаре НИФХИ им. Л.Я. Карпова (Москва, 1998).

Материалы диссертации изложены в 9 публикациях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Основной материал работы изложен на 172 страницах машинописного текста, в работе две таблицы и 35 рисунков; список литературы насчитывает 128 наименований.

Основные результаты работы состоят в следующем :

1. Построена модель массовой кристаллизации из переохлажденных расплавов и пересыщенных растворов, учитывающая тепло- и массообмен с внешней средой и наличие распределенных по объему источников кристаллов произвольной природы. Задача сведена к единственному функциональному интегральному уравнению, описывающему эволюцию метастабильности в среде. В неявной форме получена плотность распределения кристаллов по размерам. Эти результаты позволяют проводить полный анализ нелинейных нестационарных процессов массовой кристаллизации, что в принципе не может быть сделано в рамках традиционных подходов. Проведенные расчеты конкретных процессов кристаллизации показали хорошее соответствие теоретических результатов экспериментальным данным. Предложено обобщение задачи на каскад последовательно соединенных объемов.

2. Показано, что возникновение неустойчивости стационарных режимов кристаллизации в кристаллизаторах с непрерывным отводом твердых частиц обусловлено сильнонелинейной зависимостью частоты зародышеобразования от переохлаждения. Неустойчивость определяется конкуренцией между процессами подвода переохлажденного расплава в систему, отвода кристаллов из нее, нуклеации и роста кристаллов. Получено уравнение поверхности нейтральной устойчивости стационарного режима кристаллизации в пространстве физических и режимных параметров системы. В областях неустойчивости формируются автоколебательные режимы

159 кристаллизации. Проведен полный расчет их амплитудно-частотных характеристик. Предложена физическая интерпретация формирования автоколебаний. В аналитической форме получен критерий интенсификации кристаллизации в слабонелинейном автоколебательном режиме, когда автоколебания близки к гармоническим, а дисперсия функции распределения кристаллов по размерам увеличивается незначительно.

3. Поставлена и решена обратная задача для кинетического уравнения, описывающего релаксацию полидисперсной системы кристаллов к стационарному распределению по размерам в ходе их роста из расплава или раствора. На основании полученного решения определены интенсивность зародышеобразования и начальная плотность распределения по размерам затравочных кристаллов. Предложен эффективный метод интерпретации экспериментальных данных по кристаллизации полидисперсных систем, в основу которого положено решение обратной задачи. Метод требует привлечения минимального количества эмпирических констант для описания кинетики процесса.

4. Предложена и исследована математическая модель растворения плотной кристаллической массы при фильтрации в цилиндрическом сосуде. Рассмотрен класс задач, основанный на уравнениях баланса массы вещества и кинетики растворения. Для описания пространственного переноса введен аналог лагранжевых координат. Для функции распределения кристаллов по размерам получено явное выражение, дающее наглядную математическую картину кинетики рассматриваемого процесса. Проведена редукция исходной задачи к замкнутой постановке, основанной на уравнениях пространственного переноса. Для полученных уравнений рассмотрен алгоритм решения и приведены примеры численных расчетов.

160

5. Сформулирована и решена задача о растворении полидисперсной системы частиц, которые вовлечены в макроскопическое течение двухфазной среды в полуограниченном канале круглого сечения при наличии осевой диффузии.

161

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.Абрамов О.В., Асташкин Ю.С., Степанов B.C. Об акустических течениях в расплавах//Акуст. журнал. 1979. Т. 25, №2. С. 180-186.

2. Абрамов О.В., Теумин И.И. Кристаллизация металлов // Физические основы ультразвуковой технологии .М.: Наука, 1970. С. 429-514.

3. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. -Рига: Зинатне. 1980. 180 с.

4. Аксельруд Г.А., Молчанов А.Д. Растворение твердых веществ. М.: Химия, 1977. 268 с.б.Акуличев В.А., Алексеев В.Н., Буланов В.А. Периодические фазовые превращения в жидкостях. М.: Наука, 1986. 280 с.

5. Барабаш В.М., Брагинский Л.Н., Вишневецкая O.E. Расчет непрерывного процесса растворения в аппаратах с мешалками II Теор. основы хим. технол. 1984. Т. 18, №6. С. 744-748.

6. Башкиров А.Г., Новиков М.Ю. Вывод основных уравнений кинетики неизотермической нуклеации // Теор. матем. физика. 1972. Т. 12, №2. С.251-263.

7. Бельтюков Б.А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, № 5. С. 27-34.

8. Берлинер Л.Б., Горин В.Н. К вопросу об устойчивости модели непрерывного кристаллизатора // Автоматизация химических производств. М.: НИИТЭХим, 1973. Вып. 4. С. 3-10.

9. Ю.Берлинер Л.Б., Горин В.Н. Исследование динамики непрерывного изотермического кристаллизатора II Теор. основы хим. технол. 1973. Т. 7, № 5. С. 643-650.

10. И.Буевич Ю.А. О кинетике обмена полидисперсной системы частиц с162окружающей средой // ПМТФ. 1966. № 1. С. 50-57.

11. Буевич Ю.А. , Ясников Г.П. Кинетика растворения полидисперсной системы частиц//Теор. основы хим. технол. 1982. Т. 16, №5. С. 597603.

12. Бухбиндер И.И., Шапиро М.М. Кинетическая теория гомогенной нуклеации // Изв. вузов. Физика. -1978. №5. С.37-50.

13. Веригин А.Н., Щупляк И.А., Гришечкин Л.В. Массовая кристаллизация как стохастический процесс // Журн. прикладной химии. 1986. Т.59. №9.

14. Веригин А.Н., Данильчук B.C., Щупляк И.А. Математическое описание массовой кристаллизации в результате химической реакции// В сб.: Соврем, аппараты для обраб. гетероген. сред. Л., 1984. С.84-93.

15. Веригин А.Н., Щупляк И.А., Михалев М.Ф. Кристаллизация в дисперсных системах . Л.: Химия. 1986. 248 с.

16. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 544 с.

17. Вигдорчик Е.М., Шейнин А.Б. Математическое моделирование непрерывных процессов растворения.- М-Л.: Химия. 1971. 248 с.

18. Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. Л.: Гидрометеоиздат. 1975. 283 с.

19. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. Л.:Гидрометеоиздат. 1984. 283 с.

20. Гринин А.П., Куни Ф.М., Шекин А.К. Кинетика установления стационарного процесса гомогенной конденсации пересыщенного пара //Теор. и матем. физика. 1982. Т.52, №1.С. 127-137.

21. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Ле Суан Хай. Построение динамических моделей гетерогенно-полидисперсных систем методом пространственного осреднения // Докл. АН СССР. 1982. Т.267, №1. С. 147-150.

22. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Кольцова Э.М., Арутюнов С.Ю. О механизме дробления частиц дисперсной фазы в двухфазной системе // Докл. АН СССР. 1982. Т.264, №2. С. 377-381.

23. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Кольцова Э.М., Арутюнов С.Ю. Движение полидисперсной двухфазной смеси с учетом дробления включений // Теор. основы хим. технол. 1983. Т. 17, №3. С. 381-392.

24. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Кольцова Э.М., Ле Суан Хай. К вопросу осреднения в механике полидисперсных смесей // Изв. вузов . Химия и хим. технол. 1983. Т.26, №6. С.749-754.

25. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Макаров В.В., Ле Суан Хай. К общему уравнению для функции распределения частиц по возрастам в технологических аппаратах // Докл. АН СССР. 1983. Т.269, №3. С. 656-659.

26. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1985. 448 с.

27. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Кольцова Э.М. Процессы массовой кристаллизации из растворов и газовой фазы. М.: Наука, 1983. 368 с.

28. Кидяров Б.И. Кинетика образования кристаллов из жидкой фазы. Новосибирск: Наука, 1979. 134 с.

29. Колесников П.М., Карпова Т.А. О кинетике фазовых превращений и кинетических уравнениях // Инж. физ. журн.1977.Т.ЗЗ, №1. С. 157-161.

30. Куни Ф.М., Гринин А.П. Время установления стационарного режима гомогенной нуклеации // Коллоидн. журн. -1984. Т.46, №1. С.23-28.164

31. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах. Новосибирск: Наука, 1984. 301 с.

32. Зб.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного . М.: Наука , 1965. 716 с.

33. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

34. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы . 1959. 700 с.

35. Лушников A.A., Сутугин А.Г. Современное состояние теории гомогенной нуклеации //Успехи химии. 1976. Т.55, вып.З. С.385-415.

36. ЗЭ.Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах . М.: Наука , 1975. 256с.

37. Мелихов И.В., Михин Е.В., Пеклер А.М. К вопросу о закономерностях роста кристаллов // Теор. основы хим. технол. 1973. Т.7, №5. С. 670-675.

38. Мелихов И.В., Белоусова М.Я., Руднев H.A., Булудов Н.Т. Флуктуация скорости роста микрокристаллов // Кристаллография. 1974. Т. 19, № 6. С. 1263-1267.

39. Мелихов И.В., Берлинер Л.Б. Некоторые результаты изучения кристаллизации и прогнозирование работы кристаллизаторов // Теор. основы хим. технол. 1978. Т. 12, №1. С. 48-53.

40. Мелихов И.В., Берлинер Л.Б. Влияние флуктуаций на кинетику кристаллизации //Докл. АН СССР . 1979. Т. 245, № 5. С. 1159 -1162.

41. Мелихов И.В., Берлинер Л.Б., Слинько М.Г. Влияние дисперсии скорости роста кристаллов на кинетику массовой кристаллизации // Докл. АН СССР. 1985. Т.283, №4. С. 917-922.

42. Мелихов И.В., Берлинер Л.Б. Кинетика периодической кристаллизации при наличии затравочных кристаллов, растущих с флуктуирующими скоростями // Теор. основы хим. технол. 1985. Т. 19,165вып.2. С. 158-165.

43. Мошинский А.И., Сибирев М.И. Массовая кристаллизация с учетом пульсаций скорости роста кристаллов // Журн. прикладной механ. и технич. физики. 1984. №6. С. 102-107.

44. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука. 1988. 336 с.

45. Николаишвили Е.К., Барабаш В.М. , Брагинский Л.Н. , Кулов H.H., Малюсов В.А. Скорость растворения твердых частиц в аппаратах с мешалками.//Теор. основы хим. технол. -1980. Т.14, №3. С. 349-354.

46. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной .- М: Наука, 1979. 319 с.

47. Свиркунов П.Н. О решении уравнений коагуляции и рекомбинации в турбулентной среде// Инж. физ. журн. 1986. Т.51, №4. С.563-565.

48. Сибирев М.И., Мошинский А.И. Исследование кинетики массовой кристаллизации с учетом флуктуаций скорости роста кристаллов // Журн. физ. химии. 1985. Т.59, №2. С. 338-341.

49. Скрипов В.П., Коверда В.П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидкостей. М.: Наука, 1984. 232с.

50. Слинько М.Г. Некоторые пути развития методов моделирования химических процессов и реакторов // Теор. основы хим. технол. 1976. Т. 10, №2. С. 171-183.

51. Современная кристаллография. Т.З. Образование кристаллов / ААЧернов, Е.И.Гиваргизов, Х.С.Багдасаров, Л.Н.Демьянец, В.А.Кузнецов, А.Н.Лобачев. М.: Наука, 1980. 408 с.

52. Тимофеева В.А. Рост кристаллов из растворов расплавов. М.: Наука , 1978. 236 с.

53. Тодес О.М. Кинетика процессов кристаллизации и конденсации //166

54. Проблемы кинетики и катализа. Вып. 7. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949. С. 91-134.

55. Тодес О.М., Себалло В.А., Гольцикер А.Д. Массовая кристаллизация из растворов. Л.: Химия, 1984. 232 с.

56. Трейбус Е.Б. Кинетика роста и растворения кристаллов. Л.: Изд-во ЛГУ. 1979. 248 с.

57. Тхай Ба Кау, Трошечников Н.С. К теории агрегации кристаллов при массовой кристаллизации из растворов // Теор. основы хим. технол. 1982. Т. 16, №3. С. 315-324.

58. Ульм С. Алгоритмы обобщенного метода Стеффенсена // Изв. АН ЭССР. Сер. физ,- мат. наук. 1965, № 3. С. 115-131.

59. Федоров С.П., Московец О.Ф., Варламова B.C. К теории массовой кристаллизации из растворов // Журн.физ.химии. 1987. Т.61, №2. С.385-389.

60. Фольмер М. Кинетика образования новой фазы. М.: Наука,1986. 205с.

61. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

62. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. Л.: Наука, 1975.592с.

63. Хаджийски М., Меснянкин И. Оптимално управление на хомогенни химични реактори с идеално смесване // Автоматика и изчислителна техника. 1985, № 6. С. 25-36.

64. Чернов А.А., Любов Б.Я. Вопросы теории роста кристаллов // В сб.: Рост кристаллов. М.: Наука. 1965. Т.5. С.11-33.

65. Abegg C.F., Stevens J.D., Larson М.А. Crystal size distributions in continuous crystallizers when growth rate is size dependent // AlChE Journal. 1968. V. 14, No.1. P. 118-122.

66. Aeschbach S., Bourne J.R. The attainment of homogeneous suspensions in a continuous stirred tank // Chem. Engng Journal. 1972. V.4, No. 3. P.167234.242.

67. Akulichev V.A., Bulanov V.A. Crystallization nuclei liquid in a sound field // Int. J. Heat Mass Transfer. 1983. V. 26 , No. 2. P. 289-300.

68. Anshus B.E., Ruckenstein E. On the stability of a well stirred isothermal crystallizer // Chem. Engng Sci. 1973. V. 28, No. 2. P. 501-513.

69. Baker C.T.H. The numerical treatment of integral equations. Oxford , 1977. 1034p.

70. Baumann K.-H. Mathematical model of particle size distribution of crystals taking into account the growth dispersion // Cryst. res. and technol. 1983. V.18. №12. P. 1547-1553.

71. Beckman J.R., Randolph A.D. Crystal size distribution dynamics in a classified crystallizer. Part II. Simulated control of crystal size distribution // AlChE Journal. 1977. V.23, No.4. P. 510-520.

72. Bourne J.R., Zabelka M. The influence of gradual classification on continuous crystallization //Chem. Engng Sci.1980.V.35,No.3. P. 533-542.

73. Bransom S.H. Factors in the design of continuous crystallizers // Brit. Chem. Engng. 1960. V.5, No. 7. P.838-844.

74. Bransom S.H., Palmer A.G. An experimental «Oslo» crystallizer//Brit. Chem. Engng. 1964. V. 9, No. 5. P. 672-677.

75. Clonts N.A., McCabe W.L. Contact nucleation of magnesium sulfate heptahydrate II Chem. Engng Progr. Symp. Ser.1971.V.67,No.110.P.6-12.

76. Crootscholten P.A.M., Jancic S.J. Effect of external classification on product size distribution in large crystallizers // Industrial crystallization 1984. Proceedings of the 9 th symposium of industrial crystallization. Amsterdam, 1984. P. 203 210.

77. Evans T.W., Margolis G., Sarofim A.F. Mechanisms of secondary nucleation in agitated crystallizers II AlChE Journal. 1974. V. 20, No.5. P. 950-957.

78. Garside J. Industrial crystallization from solution // Chem. Engng Sci.1681985. V.40, No. 1. P.3-26.

79. Heiskanen T., Norden H.V. Dynamics and stability of an MSMPR -crystallizer with fines dissolving // Acta Polytechnica Scandinavica. Chemical technology & metallurgy series. No. 158. Helsinki, 1984. 45 p.

80. Hopf E. A mathematical example displaying features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. V. 1, No. 3. P. 303-329.

81. Hulbert H.M., Stefango D.G. Design models for continuous crystallizers with double draw off// Chem. Engng Progr. Symp. Ser. 1969. V.65, No.95. P.50-58.

82. Jancic S.J., Rosmalen G.M., Peeters J.P. Growth dispersion in nearly monosize crystal populations //Industrial crystallization 1984.Proceedings of the 9th Symposium of industrial crystallization. Amsterdam, 1984. P. 43-50.

83. Juzaszek P., Larson M.A. Influence of fines dissolving on crystal size distribution in an MSMPR crystallizer//AlChE Journal. 1977. V. 23, No. 4 P. 460 468.

84. Krueger G.C., Miller C.W. A study in the mechanics of crystal growth from a supersaturated solution // J. Chem. Phys. 1953. V.21. №11.

85. Leer B.M.G., Konig A., Jong E.J. Stability and dynamic behaviour of crystallizers // Industrial crystallization 1976. Proceedings of the 6 th Symposium of industrial crystallization. New York, 1976. P. 391-399.

86. Lei S.J., Shinnar R., Katz S. The stability and dynamic behaviour of a continuous crystallizer with a fines trap II AlChE Journal. 1971. V. 17, No.6. P. 1459-1470.

87. Levenspiel O. Longitudinal mixing of fluids flowing in circular pipes // Ind. Eng. Chem. 1958. V.50. №3. P. 343-346.

88. Liss B., Shinnar R. The dynamic behaviour of continuous crystallizers in which nucleation and growth rate depend on properties of the crystall magma//AlChE Symp. Ser. 1976. V. 72, No. 153. P. 28-35.

89. McCabe W.L., Stevens R.P. Rate of crystal growth in aqueous solutions //Chem. Engng. Progr. 1951. V. 47, No. 4. P.168-172.

90. Melikhov I.V., Berliner L.B., Simulation of batch crystallization // Chem. Engng Sci. 1981. V. 36, No. 6. P. 1021 -1034.

91. Mersmann A., Kind M. Design principles of mass crystallizers // Germ. Chem. Engng. 1985. V. 8, No. 6. P, 394-405.

92. Miller P., Saeman W.C. Continuous vacuum crystallizer of ammonium nitrate // Chem. Engng Progr. 1947. V.43, No. 4. P. 667-672.

93. Mullin J.W., Sohnel O. Expressions of super saturation in crystallization studies // Chem. Engin. Science 1977. V.32. P. 683-686.

94. Nishioka K. Thermodynamies of a liquid microcluster // Phys.Rev.A. -1977.V.16, №5. P.2143-2152.

95. Nyvlt J. Supersaturation of solution in crystallizers with the well stirred suspension // Collect. Czech. Chem. Commun. 1980. V. 45, No.7. P. 1920-1927.

96. Peters R.W., Ku Y., Bhattacharyya D., Chen L.F. Crystal size distribution of sulfide precipitation of heavy metals // Industrial crystallization 1984. Proceedings of the 9th Symposium of industrial crystallization. Amsterdam, 1984. P. 111-124.

97. Randolph A.D. CSD dynamics, stability & control (a review paper) // AlChE Symp. Ser. 1980. V. 76, No. 193. P. 1-5.

98. Randolph A.D., Larson M.A. Theory of particulate processes. London: Academic Press, 1989. 368 p.

99. Randolph A.D., Beckman J.R., Kraljevich Z.I. Crystall size distribution dynamics in a classified crystallizer. Part 1. Experimental and theoretical study of cycling in a potassium chloride crystallizer // AlChE Journal. 1977.V.23, No. 4. P. 500-510.

100. Randolph A.D., Beer G.L., Keener J.P. Stability of the class II classified product crystallizer with fines removal // AlChE Journal. 1973. V. 19, No. 5. P. 1140-1149.

101. Randolph A.D., White E.T., Chi-Chu D.L. On-line measurement of fine-crystall response to crystallizer disturbances // Ind. Engng Chem. Process Des. Dev. 1981. V. 20, No. 3. P. 496-503.

102. Rousseau R.W., Woo R. Effects of operating variables on potassium alum crystal size distribution // AlChE Symp. Ser. 1980. V. 76, No. 193. P. 27 33.

103. Rovang R.D., Randolph A.D. On-line particle size analysis in the fines loop of a KCI crystallizer//AlChE Journal. 1980. V. 76, No. 193. P. 18 26.

104. HO.Sherwin M.B., Shinnar R., Katz S. Dynamic behaviour of the well-mixed isothermal crystallizer//AlChE Journal. 1967. V. 13, No. 6. P.1141-1154.

105. Sherwin M.B., Shinnar R., Katz S. Dynamic behaviour of the well-mixed isothermal crystallizer // Chem. Engng Progr. Symp. Ser. 1969. V.65, No.95.P.59-68.

106. Sherwin M.B. , Shinnar R., Katz S. Dynamic behaviour of the isothermal well-stirred crystallizer with classified outlet II Chem. Engng Progr. Symp. Ser. 1969. V.65, No.95. P. 75-85.

107. Stuart J. T. Nonlinear stability theory // Ann. Rev. Fluid Mech. 1971. No.3

108. Timm D.C., Cooper T.R. Steady-state crystallization kinetics as a function .of super saturation II AlChE Journal. 1971.V. 17, No.2. P. 285-291.

109. Timm D.C., Larson M.A. Effect of nucleation kinetics on the dynamic behaviour of a continuous crystallizer // AlChE Journal. 1968. V. 14, No, 3. P.452-456.

110. White E.T., Bendig L.L., Larson M.A. The effect of size on the growth rate of potassium sulfate crystals // AlChE Symp. Ser. 1976. V.72, No. 153. P. 41-47.

111. Yu K.M., Douglas J.M. Self-generated oscillations in continuous crystallizers . Part 1. Analytical prediction of the oscillating output // AlChE Journal. 1975. V. 21, No. 5. P. 917-924.

112. Янукян Э.Г., Наталуха И.А. Численное решение интегродифференциальных уравнений тепломассообмена при горении дисперсного топлива // Тез. докл. Межд. конф. «Математические методы в химии и химической технологии». 1995. Тверь. Т.1, С.47-48.

113. Янукян Э.Г. Влияние гидродинамических факторов на кинетику растворения полидисперсной системы кристаллов // Тез. докл. Межд. симп. молодых ученых «Стратегии 3000». Кисловодск , 1996. Т.2 , С. 55-56.

114. Янукян Э.Г., Наталуха И.А. Математическое моделирование растворения полидисперсной системы кристаллов // Физико-химическая гидродинамика. Екатеринбург, УрГУ. 1997. С. 101-111.

115. Янукян Э.Г., Наталуха И.А. Автоволновой режим кристаллизации газонасыщенного раствора // Тез. докл. 1 Всеросс. симп. «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск , 1997. Т.2 , С. 6-7.

116. Янукян Э.Г., Наталуха И.А. Энтропийный анализ эволюции полидисперсных систем при наличии фазовых переходов // Тез. докл. 1 Всеросс. симп. «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск, 1997. Т.2 , С. 7-8.

117. Янукян Э.Г., Наталуха И.А. Обратные задачи для кинетических уравнений Фоккера Планка // Тез. докл. 2 Всеросс. симп. «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск , 1998. Т.2, С. 103-104.

118. Янукян Э.Г. Математическое моделирование массовой кристаллизации в каскаде последовательно соединенных объемов II Прилож. к журн. «Изв. ВУЗов. Сев.-Кав. регион»,1999. №3,С.102-110.

119. Янукян Э.Г., Наталуха И.А. Обратная задача для массовой кристаллизации // Прилож. к журн. «Изв. ВУЗов. Сев .- Кав. регион», 1999. №4, С. 105-118.