Исследование процессов распространения и взаимодействия акустических волн в твердых телах с микроструктурой тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Одномерные модели сред с микроструктурой

1.1. Краткий обзор по истории развития акустики и механики сред с микроструктурой.

1.1.1. Дискретные модели сред без учета микровращений.

1.1.2. Модели сред с вращательными степенями свободы частиц.

1.1.3. Экспериментальные исследования динамических свойств сред с микроструктурой.

1.2. Дискретная модель ориентированной среды.

1.3. Континуальная модель ориентированной среды. • > ♦ щ

1.4. Исследование зависимости акуст^чесрх^ар^^ристик среды от параметров микроструктуры.:.

1.5. Среда с моментными напряжениями.

1.6. Механическая модель квазиодномерного кристалла. Пространственные колебания.

1.6.1. Дискретная модель.

1.6.2. Континуальное приближение.

Глава 2. Нелинейные волны и их взаимодействие в ориентированных средах.

2.1. Простые волны в мультиполярной среде.

2.2. Нормальные волны в мультиполярной среде.

2.2.1. Нормальные волны в дискретной модели среды.

2.2.2. Нормальные волны в мультиполярном континууме.

2.2.3. Нормальные волны в среде с моментными напряжениями.

2.3. Эволюционные уравнения многоволновых взаимодействий.

2.3.1. Условия фазового синхронизма.

2.3.2. Метод усредненного лагранжиана в комплексной форме.

2.3.3. Уравнения трехволновых взаимодействий первого приближения.

2.3.4. Уравнения трехволновых взаимодействий второго приближения.

2.4. Общие свойства эволюционных уравнений первого приближения.

2.5. Установившиеся процессы в полупространстве и в слое конечной ширины.

2.5.1. Трехволновые взаимодействия в полубесконечном пространстве.

2.5.2. Трехволновые взаимодействия в слое.

2.6. Трехчастотные солитоны.

Глава 3. Многомерные модели сред с микроструктурой.

3.1. Квадратная решетка из точечных частиц.

3.2. Континуальная модель решетки.

3.2.1. Изотропное твердое тело.

3.2.2. Анизотропная среда.

3.3. Анализ зависимости акустических характеристик среды от параметров микроструктуры.

3.4. Мембранная модель слоистой среды.

3.5. Трехмерная слоистая среда с кубической решеткой.

3.6. Уравнения нелинейных квазиплоских волн в среде с микроструктурой.

Диссертационная работа посвящена разработке новых математических моделей сред с микроструктурой и исследованию процессов распространения акустических волн в таких средах.

Актуальность темы. В настоящее время все более широкое применение в технике находят зернистые и гранулированные материалы [7-9, 143, 144], керамика и композиты [23, 71, 72, 99, 112]. В таких средах имеются относительно крупные структурные образования (блоки, зерна). Эти фрагменты могут смещаться и поворачиваться относительно соседей, что ведет к возникновению не только силовых, но и моментных взаимодействий между частицами, которые порождают новые свойства материала. Существует также широкий класс органических кристаллов, в которых силы, действующие между атомами отдельной молекулы, значительно превосходят междумолекулярные силы (силы ван-дер-Ваальса), соединяющие молекулы в с решетку. В силу этого молекулы ведут себя как жесткие, твердые образования, способные совершать движения как единое целое. Эти движения разделяются на трансляционные колебания центров масс молекул и "вращательные качания" относительно центров масс. На существование волн микровращений указывают, в частности, эксперименты Е.Гросса [15-17] по рассеянию света в конденсированных средах. Такими же степенями свободы обладают и частицы, составляющие жидкие кристаллы, кристаллы слоистой структуры, упругие ферромагнитные кристаллы и др. Все перечисленные . выше материалы получили название сред с микроструктурой (или сред сложной структуры). Классическая теория упругости, исходящая из представления, что твердое тело есть континуум материальных точек, не учитывает ротационные степени свободы частиц среды и связанные с ними моментные взаимодействия. Она неспособна адекватно описать упругие свойства таких сред и ряд физических явлений (например, распространение волн микровращений в окрестности трещин, их взаимодействие с электромагнитными полями, а также структурные и фазовые переходы и т.п.). В связи с этим возникают проблемы адекватного математического описания сред с микроструктурой и их диагностики.

Для решения первой из них приходится вводить уточнение классической теории, связанное с учетом дискретности вещества, дополнительных степеней свободы и нелинейности межчастичных взаимодействий.

С точки зрения диагностики сред сложной структуры перспективными являются акустические волны, поскольку они могут проникать внутрь материалов, непрозрачных для электромагнитных и оптических волн. В последнее десятилетие теоретическому и экспериментальному исследованию процессов распространения и взаимодействия акустических волн в средах сложной структуры посвящен ряд работ, в том числе и диссертационных [8, 9, 20, 25, 53]. Однако в них основное внимание было уделено анализу распространения продольных волн в таких средах, менее детально исследовалось распространение сдвиговых волн [9] и практически не анализировались (за исключением работы [20]) процессы распространения ротационных волн, связанных с микроповоротами * частиц (структурных элементов) материала. Нелинейные взаимодействия продольных волн и волн микровращений изучались в работах В.Н. Николаевского с соавторами [36, 37] применительно к задачам сейсмоакустики. В рамках предложенной градиентно-согласованной модели ими была сделана попытка объяснения генерации ультразвука при распространении сейсмических волн. Тем не менее акустические явления в таких средах до сих пор нельзя считать достаточно изученными ни в теоретическом, ни в экспериментальном отношении.

Вышеуказанные причины делают актуальными разработку новых моделей сред с микроструктурой с учетом нелинейности упругих взаимодействий между частицами, обладающими внутренними степенями свободы, а также анализ процессов распространения и взаимодействия акустических волн различных типов в таких средах.

Цели диссертационной работы. Построение новых дискретных и континуальных моделей сред с микроструктурой, которые учитывают как трансляционные, так и ротационные степени свободы структурных элементов (микрочастиц).

Исследование нелинейных акустических волн в таких средах. В частности, изучение трехволновых резонансных взаимодействий между различными модами в одномерной цепочке анизотропных частиц.

Теоретическое обоснование возможности параметрической идентификации дискретных моделей сред с микроструктурой по данным акустических экспериментов.

Методы исследований и достоверность результатов. Для построения математических моделей сред сложной структуры использовались вариационные принципы механики сплошных сред, математический аппарат теории упругости и динамики кристаллической решетки. Для исследования процессов распространения и взаимодействия акустических волн применялись асимптотические методы математической физики и теории волн, в частности, метод усредненного лагранжиана. Достоверность результатов обеспечивается корректным применением теоретических методов исследования, согласованием полученных результатов с известными экспериментальными данными и их сопоставлением с аналогичными результатами, полученными другими, авторами.

Научная новизна диссертации. Выведены нелинейные уравнения, описывающие динамику одномерной цепочки анизотропных частиц, обладающих как трансляционными, так и ротационными степенями свободы (модель квазиодномерных кристаллов). Найдена связь между константами упругости среды и параметрами микромодели.

В низкочастотном длинноволновом приближении получена система уравнений нелинейной акустики, широко использующаяся для описания нелинейных и дисперсионных свойств слоистых кристаллов.

Исследованы различные типы трехволновых резонансных взаимодействий, указывающие ' на принципиальную возможность обнаружения ориентационных волн в органических кристаллах со сложной решеткой.

Выведены нелинейные уравнения движения для двумерной и трехмерной решеток, состоящих из точечных частиц, при условии малости взаимодействий между частицами соседних слоев по сравнению с взаимодействиями внутри каждого из слоев (модели слоистых кристаллов с кубической решеткой).

На примере двумерной квадратной решетки показано, что система дискретных уравнений вырождается в континуальном приближении в уравнения теории упругости, если учитываются взаимодействия не только между ближайшими соседями, расположенными вдоль горизонтальных и вертикальных прямых (частицы первой координационной сферы), но и с более далекими частицами, лежащими в узлах квадратной решетки на диагональных прямых (частицы второй координационной сферы). Полученные уравнения описывают нелинейную динамику анизотропной среды, и их линейные части совпадают с уравнениями Ламе для кристаллов с кубической симметрией. 4

Найдено взаимно-однозначное соответствие между акустическими характеристиками реального материала и параметрами микромодели. Оно позволяет сделать вывод о корректности рассматриваемой модели для того или иного вещества.

Практическая ценность работы. Построена иерархия дискретных и континуальных моделей сред сложной структуры, имеющих как-трансляционные, так и ротационные степени свободы анизотропных частиц, и учитывающих различные типы силовых взаимодействий.

Полученное в диссертации взаимно-однозначное соответствие между параметрами микромодели и материальными константами среды позволяет восстановить последние по результатам акустических экспериментов в длинноволновой области.

Дифференциально-разностные уравнения для сред с микроструктурой можно использовать для исследования дисперсионных и нелинейных свойств среды сложной структуры в коротковолновой области, где акустическое приближение становится малоэффективным.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Предложена новая механическая модель ориентированной среды, представляющая собой одномерную цепочку "гантелевидных" частиц -диполей, обладающих как трансляционными, так и ротационными степенями свободы. На ее основе построены нелинейные математические модели ориентированной среды и качественно исследованы зависимости характеристик акустических волн от параметров микроструктуры.

2. Проанализированы свойства нормальных мод L, Т и R типа в ориентированной среде. Показано, что при малых значениях волнового числа в Т-моде преобладают поперечные движения частиц, а в R-моде -ротационные. В области же коротких волн в Т-моде доминируют ротационные движения, а в R-моде - поперечные. В окрестности точки синхронизма каждая из них содержит как ротационные, так и поперечные движения. Мода L-типа является продольной во всем диапазоне волновых чисел и не обладает дисперсией.

3. Исследованы установившиеся процессы трехволнового взаимодействия L, Т и R волн в полубесконечном пространстве и в слое конечной ширины. Показано, что в зависимости от соотношения между амплитудами коротковолновой и длинноволновых мод резонансного триплета возможны качественно различные взаимодействия. В частности, когда на границе полупространства энергия сосредоточена в коротковолновой L-моде, в системе наблюдается пространственная локализация энергии низкочастотных Т и R-мод триплета.

4. Разработаны двумерная и трехмерная модели слоистых кристаллов, у которых взаимодействия между частицами внутри базисной плоскости (слоя) значительно сильнее взаимодействий между различными слоями. Полученные уравнения описывают нелинейную динамику анизотропной среды. В линейном приближении они совпадают с уравнениями Ламе для кристаллов с кубической симметрией.

5. Теоретически показана возможность решения задачи параметрической идентификации дискретной модели по данным акустических экспериментов. Для одномерной ориентированной среды и двумерного слоистого кристалла найдена связь между параметрами микромодели и акустическими характеристиками сред.

Автор выражает благодарность научному руководителю А.И. Потапову за внимание к работе, обсуждения результатов и полезные замечания. Автор признателен также своим соавторам Т.Н. Драгунову, Ж.А. Можену и С.А.Потаповой, в работе с которыми получены вошедшие в диссертацию результаты.

Заключение

В основе настоящей работы лежат результаты теоретических исследований, выполненных автором в Нижегородском филиале Института машиноведения РАН им. A.A. Благонравова (Нф ИМАШ РАН).

1. Аболиньш Я.Я., Гросс Е.Ф., Шултин A.A. Оптико-акустический эффект в кристаллах. //ЖТФ, 1958, Т. 28, с. 2255.

2. Ансельм А.И., Порфирьева H.H. Ориентационно-трансляционные волны в молекулярных кристаллах. //ЖЭТФ. 1949. Т. 19. N 5. С.438-446.

3. Афанасьева Г.К. Упругие константы нафталина при низких температурах. //Кристаллография. 1968. Т. 13. N6, С. 1024-1027.

4. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский C.B. Спиновые волны. М., Наука, 1967. 368 с.

5. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц. // ФТТ. 1960. Т. 2. N 7. С. 1399-1409.

6. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М., Наука, 1982.

7. Беляева И.Ю., Зайцев В.Ю., Островский Л.А. Нелинейные акустоупругие свойства зернистых сред. // Акуст. журн. 1993. Т. 39. № 1. С. 25-32.

8. Беляева И.Ю. Теоретическое и экспериментальное исследование нелинейных акустических свойств структурно-неоднородных сред. //. Дис. канд. физ.-мат. наук. Н.Новгород, 1996.

9. Богданов А.Н. Нелинейные акустические процессы в зернистых средах. //Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1993.

10. Богданов А.Н., Скворцов А.Т. Нелинейные сдвиговые волны в зернистой среде. //Акуст. журн. 1992. Т. 38. Вып. 3. С. 408-412.

11. П.Борн М., Хуан К., Динамическая теория кристаллических решеток. М., ИЛ, 1958.

12. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. Перев. с француз, под ред. П.А. Рязина, М., ИЛ, 1959.

13. И.Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука, 1979.

14. Грекова Е.Ф. Моментные взаимодействия твердых тел. // Труды 23-й школы "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". С.-Петербург: Изд. ИПМаш РАН, 1996. С. 218-228.

15. Гросс Е. Рассеяние света и релаксационные явления в жидкостях. // Доклады АН СССР. 1940. Т. 28. N9. С. 788-793.

16. Гросс Е., Коршунов А. Вращательные колебания молекул в кристаллической решетке органических веществ и спектры рассеяния. // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. N1. С. 53-59.

17. Гросс Е.Ф., Коршунов A.B., Селькин В.А. Спектры комбинационного рассеяния малых частот кристаллов пара-, мета- и ортодииодбензолов. //ЖЭТФ, 1950, Т. 20, с. 293.

18. Драгунов Т.Н., Павлов И.С., Потапов А.И. Ангармонические взаимодействия упругих и ориентационных волн в одномерных кристаллах. //Физика твердого тела, 1997, Т. 39, № 1, С. 137-144.

19. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X., Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., Мир, 1988. 694 с.

20. Ерофеев В.И. Волновые процессы в упругих телах с микроструктурой. // Дис. докт. физ.-мат. наук. М., 1993. i

21. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. Изд. Моск. ун-та, 1999.

22. Ерофеев В.И., Потапов А.И. Нелинейные продольные волны в упругих средах с моментными напряжениями. // Акустический журнал, 1991, Т.37, Вып. 3, с. 477-483.

23. Ерофеев В.И., Родюшкин В.М. Наблюдение дисперсии упругих волн в зернистом композите и математическая модель для ее описания. //■ Акустический журнал. 1992, Т.38, Вып. 6, с. 1116-1117.

24. Жуковский И.М., Рыбин В.В. Моментные напряжения в неоднородно деформируемых кристаллах. // Дисклинация и ротационная деформация твердых тел. Л.: ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР, 1990. С.44-88.

25. Зайцев В.Ю. Нелинейное преобразование звука в структурно-неоднородных средах. // Дис. докт. физ.-мат. наук. Н.Новгород, 1997.

26. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М., Наука. 1966.

27. Зименков С.В., Назаров В.Е. Нелинейные акустические эффекты в образцах горных пород. // Физика Земли. 1993. № 1. С. 13-18.

28. Зорский В.Г., Рогуля Д., Рымаж Ч. Нелокальные континуальные модели дискретных систем. //Усп. мех. 1979. Т. 2. Вып. 1. С. 83-108.

29. Каменский В.Г. Динамика неустойчивости смектика А в магнитном поле. //ЖЭТФ. 1987. Т. 92. N1. С. 97-104.

30. Капустин А.П., Капустина O.A. Акустика жидких кристаллов. М., Наука, 1986.

31. Китайгородский А.И. Молекулярные кристаллы. М., Наука (1971), 424 с.

32. Ковригин Д.А., Потапов А.И. Нелинейная волновая динамикаодномерных упругих систем. I,II,III. //Изв. ВУЗов-Прикпадная нелинейная динамика. 1996, N4, С. 72-102.

33. Короткина М.Р., Замечание о моментных напряжениях в дискретных средах. Вестн. моек, ун-та. Матем., механ., 1969, № 5, С. 103-109.

34. Косевич A.M. Теория кристаллической решетки (физическая механикаiкристаллов). Харьков, Вища школа, 1988.

35. Косевич A.M., Ковалев A.C. Введение в нелинейную физическую механику. Киев, Наукова думка, 1989.

36. Крылов А.Л., Николаевский В.Н., Эль Г.А. Математическая модель нелинейной генерации ультразвука сейсмическими воламин. // ДАН СССР, 1991, Т. 318, № 6, с. 1340-1345.

37. Крылов А.Л., Мазур Н.Г., Николаевский В.Н., Эль Г.А. Градиентно-согласованная нелинейная модель генерации ультразвука при распространении сейсмических волн. // ПММ, 1993, Т. 57, вып. 6, С. 100-109.

38. Кувшинский Е.В,, Аэро Э.Л., Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения. // ФТТ. 1963. Т. 5. N 9. С.2591-2598.

39. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М., Наука, 1975. 416с.

40. Курин В.В. Образование и взаимодействие трехволновых солитонов. // Изв. вузов, Радиофизика, 1988, т. 31, № 10, с. 1201-1209.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости. 4-е изд. М., Наука, 1987. 246 с.

42. Левин В.М., Николаевский В.Н. Осреднение по объему и континуальная теория упругих тел с микроструктурой. // Современные проблемы механики и авиации, под ред. И.Ф. Образцова. М., Машиностроение, 1982, С. 182-193.

43. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе, 1981. 236с.

44. Лифшиц И.М. О тепловых свойствах цепных и слоистых структур при низких температурах. // ЖЭТФ. 1952. Т. 22. N4. С. 475-486.

45. Лич Дж.У. Классическая механика. М., ИЛ., 1961.

46. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

47. Лямов В.Е. Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия акустических волн в кристаллах. М., изд-во МГУ, 1983. 224 с.

48. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М., Наука, 1972.

49. Маневич Л.И., Ряпусов С.В. Нелинейная плоская динамика молекулы полиэтилена. // ФТТ, 1992, Т. 34, № 5, С. 1554-1560.

50. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. М., Мир, 1991.

51. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. С.-Петербург, 1995.

52. Назаров В.Е. Влияние структуры меди на ее акустическую нелинейность. // Физика металлов и металловедение. 1991. № 3. С.172-178.

53. Назаров В.Е. Упругие волны в средах с сильной акустической нелинейностью. // Дис. докт. физ.-мат. наук. Н.Новгород, 1996.

54. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л., 1984. 92 с.

55. Ноздрев В.Ф., Федорищенко Н.В. Молекулярная акустика. М., Высшая школа, 1974. 288 с.

56. Нормальные (собственные) волны. // Физический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия. 1983.

57. Ораевский А.Н., Судаков М.Ю. Ангармонизм и солитоны в молекулярных цепочках. ЖЭТФ, 1987, т. 92, вып. 4, с. 1366-1375.

58. Павлов И.С. Уравнения нелинейной динамики двумерной решетки. // Труды VIII сессии Российского акустического общества ."Нелинейная акустика твердого тела", Н.Новгород, Интелсервис, 1998, с.91-95.

59. Павлов И.С. Квазиплоские волны в двумерной упругой системе. // Сб. "Физические технологии в машиноведении", Н.Новгород, 1999, с. 18-21.

60. Павлов И.С., Потапов А.И. Нелинейные волны в одномерных ориентированных средах. // Нелинейные волны. Синхронизация и структуры. Часть 1. /ред. М.И.Рабинович, М.М.Сущик, В.Д.Шалфеев, ННГУ, Н.Новгород, 1995, с. 127-132.

61. Павлов И.С., Потапов А.И. Многоволновые взаимодействия в квазиодномерных кристаллах со сложной решеткой. // Труды VI сессии Российского акустического общества "Акустика на пороге XXI века", Москва, 1997, с.343-346.

62. Павлов И.С., Потапов А.И. Нелинейная динамика двумерной решетки. // Межвуз. сб. "Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов", М., КМК, 1999, с.66-74.

63. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. Н.Новгород: изд-во Нижегородского ун-та, 1993.

64. Пальмов В.А., Основные уравнения теории несимметричной упругости. // ПММ, 1964, Т.28, № 3, с.401 -408.

65. Пелиновский E.H., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин, Валгус, 1984. - 154 с.

66. Порфирьева H.H. Ориентационно-трансляционные волны в молекулярных кристаллах. 4.2. Динамика двумерной и трехмерной решеток. // ЖЭТФ. 1949. Т. 19. N 8. С.692-702.

67. Пуговкин A.B., Шандаров С.М. Нелинейное взаимодействие упругих волн в акустических резонаторах. // ФТТ, 1974. № 16, С. 1761-1765.

68. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М„ Наука, 1984. 432 е.

69. Реутов В.П. Применение усредненного вариационного принципа для описания многоволновых взаимодействий упругих поверхностных волн. // Изв. ВУЗов Радиофизика. 1973, т. 14, № 11, с. 1690-1702.

70. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М„ Наука, 1975.

71. Савин Г.Н., Лукашев A.A., Лыско Е.М., Веремеенко С.В., Агасьев Г.Г. Распространение упругих волн в континууме Коссера со стесненным вращением частиц. // Прикл. механика. 1970. Т. 6. № 6. С. 37-41.

72. Савин Г.Н., Лукашев A.A., Лыско Е.М. Распространение упругих волн в твердом теле с микроструктурой. // Прикл. механика. 1970. Т. 6. № 7. С.48-52.

73. Слепян Л .И. Механика трещин. М., 1981. 295 с.

74. Сулейманов P.A., Сеидов М.Ю., Салаев Ф.М. Упругие свойства слоистых кристаллов. // ФТТ. 1991. Т. 33. N 6. С.1797-1800.

75. Суханов А.Д., Фундаментальный курс физики; Т.2. Континуальная физика. Кн. 1. М., Агар, 1998.

76. Сухоруков А.П., Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М., Наука, 1988, 232 с.

77. Сыркин Е.С., Феодосьев С.Б., Шамфарова О.Я. Влияние изгибной жесткости слоев на динамические характеристики слоистых кристаллов со сложной решеткой. // Физика низких температур. 1991. Т. 17. N 6. С.746-754.

78. Такер Дж., Рэмптон В., Гиперзвук в физике твердого тела. М., Мир, 1975.

79. Теория солитонов. Метод обратной задачи. / Под ред. С.П. Новикова. М., Наука, 1980.'

80. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. М., Мир, 1972.

81. Турицын С.К., Фалькович Г.Е. Устойчивость магнитоупругих солитонов и самофокусировка звука в антиферромагнетиках. // ЖЭТФ, 1985, Т. 89, вып. 1(7), с. 258-270.

82. Угодчиков А.Г. Уравнения динамики упругого тела с учетом "внутреннего вращения". Вариационный подход. // Прикладныепроблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация конструкций, 1991, с.78-83.

83. Угодчиков А.Г. Моментная динамика линейно-упругого тела. // ДАН. 1995, Т. 340, № 1.

84. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., Мир, 1977. 624 с.

85. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т.7, Физика сплошных сред, М.: Мир, 1977.

86. Франк A.M., Яненко Н.Н. О свойствах усредненного движения упругой одномерной решетки. Новосибирск, 1960. №14, 18 с.

87. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. Изд-во АН СССР, 1945. С. 89.

88. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. Перев. с англ. под ред. Э.М. Надгорного и Ю.А. Осипьяна, М., Атомиздат, 1972.

89. Хуснутдинова К.Р. Нелинейные волны в двухрядной системе частиц. // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 41992. N 2. С. 71-76.

90. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М., Наука, 1981.

91. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., Наука, 1977.

92. Arnold J.M. The Lagrangian approach to nonlinear wave propagation. Nonlinear Waves in Solid State Physics. Edited by A.D. Boardman et al., Plenum Press, New York, 1990, pp. 259-274.

93. Askar A., Molecular crystals and the polar theories of continua: experimential values of material coefficients for KN03. // Int.J.Eng.Sc. 1972, N 10, pp.293-300.

94. Askar A. A model for coupled rotation-displacement mode of certain molecular crystals. Illustration for KN03. // J.Phys.Chem.Solids. 1973. V. 34. P. 1901-1907.

95. Askar A., Lattice Dynamics Foundation of Continuum Theory. World-Scientific, Singapore, 1985.

96. Bardenhagen S. and Triantafyllidis N., Derivation of higher order gradient continuum theories in 2,3-D non-linear elasticity from periodic lattice models. //J.Mech.Phys. Solids, 1994, V. 42, N 1, pp.111-139.

97. Berglund K., Structural Models of Micropolar Media. In: Mechanics of Micropolar Media. Eds. O. Brulin and R.K.T. Hsieh. World Scientific, Singapore, 1982, pp.35-86.

98. Bemal J.D. and Tamm G.R. // Nature. V. 135, p. 229, 1935.

99. Berryman J.G. Long-wavelength propagation in composite elastic media I, II. //J. Acoust. Soc. Am. 1980. V.68. N 6. P. 1809-1831.

100. Cauchy A.L. Memoire sur la dispersion de la lumiere. Paris, 1830.

101. Clebsch A. Theorie der Elastizität tester Korper, Leipzig. 1862. 424p.

102. Cosserat E. and F. Theorie des Corp Deformables. Paris. Librairie Scientifique A.Hermann et Fils. 1909. 226p.

103. Duhem P. Hidrodynamique, Elasticité, Acoustique. Paris. 1891.

104. Edelen D.G.B., Green A.E., and Laws N., Nonlocal continuum mechanics. //Arch.Rat.Mech.Anal. 1971. V. 43. № 1, P. 36-44.

105. Eringen A.C., Nonlinear theory of continuous media. New York, McGraw-Hill, 1962, 477p.

106. Eringen A.C. and Suhubi E.S., Nonlinear theory of simple micro-elastic solids. // Int. J. Engng. Sei. 1964, V. 2, pp. 189-203, 389-404.

107. Eringen A.C. and Edelen D.G.B., On non-local elasticity. // Int. J. Engng. Sei. 1972, V. 10, N 3, pp. 233-248.

108. Erofeyev V.l. and Potapov A.I., Nonlinear wave processes in elastic media with inner structure, Nonlinear World 2, World-Scientific, Singapore, 1990, P.1197-1215.

109. Erofeyev V.l. and Potapov A.I., Longitudinal strain waves in nonlinearly elastic media with couple stresses. // Int.J.Nonlinear Mech. 1993, V. 28, P.483-489.

110. Fisher-Hjalmars I., Micropolar Phenomena in Ordered Structures. In: Mechanics of Micropolar Media. Eds. O. Brulin and R.K.T. Hsieh. World Scientific, Singapore, 1982, pp.1-33.

111. Fujii K., Fuka T., Kondo H. and Ishii K., Orientational phase transition in molecular crystal N2.// Journal of the Physical Society of Japan, 1997, V. 66, P. 125-129.

112. Gauthier R.D., Jashman W.E. A quest for micropolar constants. // Arch. Mech. 1981. V. 33. N5. P. 717-737.

113. Ginzburg V.L. The propagation of Electromagnetic Waves in Plasma. Pergamon Press, Oxford, 1964.

114. Hertz K. Die Prinzipien der Mechanik. Leipzig. 1894.

115. Junger M.C. Wave motion in some composite, porous and layered media. // J. Acoust. Soc. Am. 1990. V.88. N 1. P. 368-373.

116. Kaup P.J., Reiman A., Bers A., Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions. Interactions in a homogeneous medium. // Rev. of Modern Physics, 1979, V. 51 (2), P. 275-309.

117. Keivin, Popular lectures, livre I, 1881, p.185.

118. Kinase W., Makino W., Takahashi K. Theory of the domain wall in NaN02 and the relation with the incommensurate structure. // Ferroelectrics. 1985. V. 64. P. 173-180.

119. Kirchhoff G. Vorlesungen uber mathematische Physik. Mechanik, Leipzig. 1874. 466p.

120. Kovriguine D.A. and Potapov A.I., Nonlinear waves in elastic bar. // Eur.J.Mech. A/Solids, 1996, V. 15, 1049-1075.

121. Krumhansl J.A., Some considerations of the relation between solid state physics and generalized continuum mechanics. // Eur.J.Mech. A/Solids. 1996, V. 15, P. 1049-1075.

122. Lee J.D. and Eringen A.C., Wave propagation in nematic liquid crystajs. // J.Chem.Phys., 1971, V. 54, N 12, P. 5027-5034.

123. Lee J.D. and Eringen A.C., Continuum theory of smectic liquid crystal. // J.Chem.Phys., 1973, V. 58 (10), P. 4203-4211.

124. Mac Cullagh J. An essay towards a dynamical theory of Crystalline Reflection and Refraction. //Trans.Roy.lrish.Acad.Sci. 1839. v.21. p.17-50.

125. Magyari E. The inertia mode of the mechanically generated solitons in nematic liquid crystals. // Z.Phys.B. Condensed Matter. 1984. V. 56. P.1-3.

126. Maugin G.A. and Cadet S., Existence of solitary waves in martensitic alloys. // Int.J.Engn.Sci., 1991, V. 29, P. 243-258.

127. Mechanics of Micropolar Media. Eds. O.Brulin and R.K.T.Hsieh. World-Scientific, Singapore, 1982.

128. Michel K.H. and Courtens E., Dynamics of translations and rotations in molecular crystals: macroscopic and microscopic approaches. // Phys.Rev.B., 1981, V. 23, P. 513-522.

129. Mindlin R.D., Microstructure in linear elasticity. // Arch. Rat. Mech. Anal., 1964, V.16, N 7, pp.51-78.

130. Mossoti E. Lezioni di Meccanica Razionale, Firenze. 1851.

131. Newton I., Philosophical Naturalis Principia Mathematica. London, 1686. 419p.133,Ostrovsky L.A. and Potapov A.I., Modulated Waves. The Johns Hopkins University Press, Baltimore and London. 1999.

132. Phillips O.M., The Dynamics of the Upper Ocean (2nd ed.), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1977.

133. Pouget J., Lattice dynamics and stability of modulated-strain structures for elastic phase transitions in alloys. // Phys.Rev.B., 1993, V. 48, N 2, P.864-875.

134. Pouget J., Askar A., and Maugin G.A., Lattice model for elastic ferroelectric crystals: continuum approximation. // Phys.Rev.B., 1986, V. 33, P.6304-6325.

135. Pouget J. and Maugin G.A., Nonlinear dynamics of oriented elastic solid. Part 1,2.// J. of Elasticity, 1989, V. 22, pp. 135-155, 157-183.

136. Potapov A.I. and Pavlov I.S., Nonlinear waves in 1D oriented media. // Acoustics Letters, 1996, V. 19, P. 110-115.

137. Potapov A.I., Pavlov I.S., and Potapova S.A., Vibro-acoustic analysis of physical properties of nonlinear oriented media. In: New Advances in Modal Synthesis of Large Structures. Ed. L.Jezequel. Balkema, Rotterdam (the Netherlands), 1997, P. 399-410.

138. Potapov A.I., Pavlov I.S., and Maugin G.A. Nonlinear wave interactions in 1D crystals with complex lattice. // Wave Motion, 1999, V.29, pp.297-312.

139. Powell B., An abstract of the essential principles of A.Cauchy's view of the undulatory theory, leading to an explanation of the dispersion of light; with remarks. // Phil. Mag., (3), 1835, V.6, p.31.

140. Voigt W. Theoretische Studien uber die Elastizitatsverhaltnisse der Krystalle. //Abn.Ges.Wiss. Gottingen, 1887. v.34.