Исследование разностных краевых задач гидродинамики методов дробных степеней операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЩ1АЛЫЮГО ОШЕОВАНШ РСФСР НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА. ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЕНАШЩ ГОСУДАРСТВЕННЫ!! УНИВЕРСИТЕТ ЖЕНИ ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА ,_[

С

На правах рукописи

Бнкадорова Ольга Владимировна

УДК 519.634

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ КРАЕБ1Д ЕАДАЧ ШР0Д11АШКИ МЕТОДОМ ДРОБЕЙ СТЕПЕНЕН ОПЕРАТОРОВ

01.01,02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - Г989

Г...............

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной мехат

ки Сибирского отделения Академий наук СССР

. Научные руководители - кандидат физико-математических наук,

доцент Кузнецов Б.Г.

доктор физико-математических наук Сглагулов Ш.-

• Официаг гае оппоненты: доктор физико-математических нарт-,

профессор Кажихов Л.В.

доктор физико-математических наук, профессор Соболевский П.Е.

, Ведущая организация: Вычислительный центр СО АН СССР

г. Красноярск

Еащитд д: :сертации состоится " 19& года в

■ /Ч часов на заседании специализированного совета по присуждению ученой степени кандидата наук в Новосибирском сударственном университете им. Ленинского комсомола по адресу 630050, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале уюте ситета.

Автореферат разослан УУ7 " й/ с ^ 19

Ученый секретарь специализированного совета, доктор ¿из,-мат, наук

о

аейрмакоз А.Ы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Математически описание процессов, происходящих в движущихся жидкостях, приводит к решению краевых задач для уравнений гидродинамики» Исследование приближенных методов решения этих задач представляет большой практический и научный интерес. Работа посвящена обоснованию ряда разностных методов решения некоторых краевых задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, развитию и применению метода дробных степеней операторов для исследования линейных и нелинейных разностных задач. Обоснование этого.метода пр<! исследовании первой краевой разностной задачи для общих нестационарных уравнений Навье-Сток-са проведено Н.Е.Соболевским и Ю.И.Багородниковым.

В отличие от метода энергетических неравенств метод дробных степеней операторов при доказательстве сходимости приближенных решений дает возможность установить равномерную по временной переменной оценку скорости сходимости в -норме по пространственным-переменным, что позволяет получить в двумерном случае равномерную оценку скорости сходимости приближенных решений к точному.

Цель -работы. 3 данной работе предполагалось провести теоретическое ^следование рада нелинейных разностных задач: згчачи протекания с постоянным перепадом давления; диффузионной модели неоднородной жидкости; начально-краевых задач для одной модели бароклинного океана и для уравнений свободной конвекции с диссипацией. А также обосновать применение метода дробных степеней операторов для получения равномерных по временной переменной оценок скорости сходимости приближенных решений к точному.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. В работе проведено исследование ряда линейных и нелинейных разностных задач. Приближенные методы, обоснование которых дано в диссертации, могут быть использованы при решении разностных краевых задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

В работе изучены стационарная и нелинейная нестационарная разностные задачи протекания с постоянным перепадом давления. Получено ортогональное разложение пространства сеточных вектор-функций на сушу подпространств разностно-солзновдальнпх и p:\rj--ностно-градиентных вектор-^уикций. 3 случае нестационарной задачи рассмотрена схем« с первым я вторым-порядками ^ппрокагалаиш,

по времени. Методом дробных степеней операторов получены равномерные по временной переменной оценки скорости сходимости решений разностной задачи к точнси/цг решенью в Wg -норде по пространственным переменным. Рассмотрена аппроксимация дифференциальных уравнений описывающих движение двухкомпонентной жидкости, разностной схемой r-орого порядка по временной переменной с проь¿вольной б ¡Г',шейной аппроксимацией нелинейности. Установлена глобальная в двумерном и локальная в трехмерном случае равномерные по временной переменной оценки скорости сходимости приближенных решени" к точному. В случае периодической задачи получена глобальная сходимость и в трехмерном случае.

Исследована разностная задача для одной модели бароклинно-го океана. Методом дробных степеней операторов в случае разностной схемы о порядком аппроксимации О СИ) по пространственным переменным получены равномерные по ври,лени оценки скорости сходимости с порядком О С Я1/z + т) в сеточной норме IV, . Построена схемы с порядком аппроксимации О (Я ) по пространственным переменно. В случае линейной стационарюй задачи для такой схемы установлена скорость сходимости О в W/f -нор-^

ме, а внутри области аналогичная сходимость в сеточной норме Уг

Для решения линейных стационарных за^ач (задача протекания; модель бароклинного океана) предложены итерационные процессы. Доказана их сходимость.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинар? "Численные методы механики сплошных сред" под руководством профессора Ковени В.М. в Институте теоретической и прикладной механики СО АН СССР, на семинаре "Математические методы механики", руководимом профессором Монаховым В.Н. в Институте лвдтюдинамики СО АН СССР, на семинаре кафедры функционального анализа Воронежского государственного университета иод руководством профессора Соболевского D.E.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано три работы.

Структура дяосетггашга. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем работы 141 страница, библиография 42 наименования.

СОДЕРЖАВ РАБОТЫ

Во вве,пении приведены результаты диссертации, описаиы преимущества используемых в работе методов исследований.

3 первой главе рассматривается задача протекания с постоянным перепадом давления. В первом параграфе этой главы исследуется линейная стационарная задача протекания несжимаемой жидкости сквозь прямоугольную область С 3 , граница которой состоит из трех частей: Г - непроницаемая стенка, Г0 - граница втекания, П, - граница вытекания

О (X) = COn.it , Х£ Г0 и Гы (<2)

Вопросы существования, единственности и гладкости решения этой задачи изучены в работах Рагулина В.З. и С.магулова Ш.

Задача (I), (2) поставим в соответствие следующую разностную задачу. Пусть - сеточная область, соответствующая области О. ( тС - шаг сетки), - граница области О А , ^ = /1 ° Иц и . П,Ц и лежат в гиперплос-

V А й -Чр = X € О. си* V и = О

(I)

О. ъе Г ; I ' - Iй I > * 5 Го :

костях ос = согч£.

(3)

¿¿ГА ¡¿я = О ия Сов) = о, зс а Гц ; ¡ЯЛ I = / I, ® б Гы о Гыц (х) = соп^ , ос € ГоциГыИ,

Здесь Vf.pt = р*"^/3* *

с П, . - I 4 '

(4)

П

rv

Д и = Г А* й' и (V)

¿ & ¿-ь к к А

У

Разностные операторы на сеточвдх функциях V7^ определяют-

ся следующим обр, зом:

Д* ^ Га:) = i Я" [ <РЯ (Т"а:) - j ,

где Tk ( Т ) - операторы сдвига вперед (назад) вдоль оси а? , обозначим а;, = a¿ U T+Q.t

Исследование разностной задачи основано на ортогональном гавлояенни пространства Lz Г-Q^ Имеет место

Лемма I. \/ G,

' ¡Здесь

V. mt) = [ йк(ос) € lz cn¡) : cUvfl üt (*) = о ;

= -u^u^o m rolU rNku /;tí¿ ;

= ^^/.....VO, a-e ; Oc*. •■•> = ..., а- e гычц } ;

: € 1< (ХГ) •

f t'cc) = eomt , « € Гс, и rNk и rvr(k }

Сценку скорости сходимости решений задачи (3), (4) к ращению дифференциальной задачи (I), (2) дает

Теорема I. Пусть U(x), - решение задачи

(1), (2) такое, что иск) е С'3(-0. и Гл,) , р(Х) ¿ Сг С-О. и ) Тогда при достаточно малом и при всех я ¿ справедли-

ва оценка

и и . 4 мА1Л,

)

¡v! > О не súBiiси от I .

Теорема I доказывается с использованием оценок дробных степеней оператора » Р/ - оператор ортогонального проектирования в ¿г на подпространство Уа С-0.\ ) . Глобальная сходимость приближенных решений к решению дифференциальной задачи установлена и без дополнительного предположения гладкости решения дифференциальной задачи.

Обозначим ¿¿^ (X) оператор сш.шлициального по сс восполнения сеточных функций и £ (Ж) . Справедлива следующая

Теорема 2, Пусть / £ А СО) • Тогда тлеет место предельное соотношение

^ I %, = ^

+ 0 IV, ГО)

где и — слабое решение задачи (I), (2). .

Для решения разностной задачи (3), (4) рассмотрен следующий итерационный процесс;

. л к

В + у

V я л л Г ^ - акт V = о

01 ; ¡¿ гь\ = 1 у! , ГоК и ГЫ1 ■

п

ц.

(6)

= со-ъЫ

' гг> Л Г>> V О д I/ п\

где V = V , V = V - задшш, V <п ; у =

= 9° = ев= согиЛ на ; = ,

Т>0 - некоторое число; В-8* >0 - некоторый сеточный

оператор, а, тленно,

£ = # + * , (7)

где $ = СЕ * + ~ оператор попеременно-

треугольного метода.

Теорема 3. Пусть Т = бч^) , оператор о определяется формулой (7) и £ £ В ^ М ("А/, ) • Тогда итерационный процесс (5), (6) сходится. 3

Рассмотрим теперь в прямоугольной области С2 С К нелинейную нестационарную задачу протекания:

^V&E-yCj + f (8)

Э 6

dvj-Ti - o

U O,o:) - a (re) , tiíir OL ~0 , т с Q. ;

o , Х€ Г, Vi G [O.T] ; |и-л I = | ¿t /, Г.иГ», V i e [0,T] ;

- . 2

^ = ilí + p = cW , a:€ v ¿ e [o,T]

Исследование этой задачи проведено Р^улиным ь.В. и Омагуловым Ш,

Дифференциальной задаче (Б), (9) поставим в соответствие разностную задачу:

dór, й . - О . (i,*) € fC.Tj * Q

i TÍ ' Z A

(10)

(II)

, CCQ r¿ , é € [o,TJz ; } r _

f ¿€[0Tl7

<ja e Cí?/z42Í . J

Цдееь Aj = ;

где

+ — ■ *■ £ + + I

A

Оператор Q^ , ставящий в соответствие соленоидалыюй вектор-функции сеточную соленоидальную вектор-функцию, задается формулой 0 0

[и.Ю] ... J /

& Я ос, х. 02

1 L-< tW п.

Исследование разностной задачи (10), (II) составляет содержание второго параграфа первой глав«.

От задачи (10), (II) перейдем к эквивалентной задаче и пространстве \/0 ( Q* ) ;

&

л; ♦ 4 г, - р4 г(й^ . /> />>, ¿6 (и) г =

Имеет место _

Л е м м а 2. Еадача (13) имеет единственное решение при любых .

Оценку скорости сходимости приближенных решении к точному дает следующая

Теорема 4. Пусть задача (8), (9) имеет такое решение и , у (¿,х> ( ЧГ0

С*([о,Т1.С(ПиП,)) о С ([о.Т],С9СПиГ„)),

с) б

Тогда при достаточно малых ^ , ^ ^ Я0 справедлива

оценка:

¡и- и Л , . . 6 м

** с([о,цм2са;))

где М > 0 не зависит о г "С и А .

Теорема 4 доказывается методом дробных степеней операторов, разработанным Соболевским П.Е. и Еагородниковым В.И.

Для задачи (8), (9) рассмотрена также трехслойная разностная схема второго порядка аппроксимации по временной переменной

К " {\1 ч, +

-гас/г Гси)

с начально-краевыми условиями (II) и следующим необходимым условием :

'и& - %(сс) , а.'СО^ , (15)

где ¿¿-¿(ас) - некоторая оеточная соленовдальная Функция, приближающая пешение задачи (С), (9) на временном слое ^ в норде (у1 (СТ.) о порядком тя +■ & л

Справедлива следующая _

Теорема 5. Пусть существует такое решение и ,

задачи (8), (9), что

и £с'(ю,т1,с(пиг„))п С*([о,т}.с\аиг„)),

9 €ССГ0.Т1,С4СОиГм))

Тогда при достаточно малых и произвольном Л сущест-

вует единственное решение разностной задачи (Н),

(15), (II) и справедлива оценка

lt- - и

ее го/п,

м (7*+*,'*)

Во втопчй главе рассматривается приближенная модель, описывающая движение неоднородной жидкости, полученная в работе Кажн-хова Л.В. и Смагулова Ш. в предположении малости коэффициента диффузии Л . Подобная модель неоднородной жидкости била получена Б.Г.Кузнецовым при условии малости коэффициента диффузии, а также массовой концентрации примеси я ее производных, дифференциальная модель выглядит следующим образом:

j)[ Щ + ( V- 7) V ] - ( 7J> ■ V) V Д

cUa тг- О

V - Vj3 +

(16)

ЭР + (у ■ у)р - .Я др

э* ^

Л - ограниченная область в $ ( Л = 2,3) с непроницаемой границей Г . ¡Лассообыен между раствором и внешней средой отсутствует:

= 0 ;

Г

ir

= О

Э/г

(17)

/г - единичный вектор внешней нормали к Г , Дополним задачу данными Коши:

V

v (я)

f=o

f

t=o

= />оС*), »e Q

(18)

О < uzat min. jD ('а;)ß (aO 4 Л/ = ъ-гаотая J> Газ) < со

Вопросы существования и единственности решения задача (16)-(18) изучена в работе Кажихова A.B. и Смагулова Ш. Бадаче (16)-(18) поставим в соответствие следующую разностную задачу:

+ Р^Ъ.,.*)} = | (Я¿сь^+и^ч^ь**-

-/V + :'

сСЬг. V =<9 ; (^СС) € X Л. (19)

£ "Е'З. Т Л-

Ил

3 И р

(20)

.(¿¿,00 = 0, (€ [о,Т1 х Г? ;

Ла' ^= Л> = ^ <' ® € Л ^ .

(21)

Область .О. предполагается прямоугольной. Оператор (?/ определен в (12). Ык&^О? ^ а- > .'в (И) рассматривается произвольная билинейная аппроксимация иолинеИ-иссти с порядком в норме С Г [ 0,1'1г (О.)), п +

х* <

Кг 1

+ л; ЛгГ^.а) л; ] ;

*

Существование и единственность решения задачи (19)-(21) удалось установить яри достаточно малое Т, К на воем временном отрезке, на котором существует гладкое решение задачи (13)-(1В). Именно, имеет место

Теорема 6. Пусть существует такое решение УС¿,яс) , , задачи (16)-(18), что

9 € Сд([0,Т1 С(С1))П с\ [0,Т], с\О)) ;

ре С3([ат),С(а))ПС*С[о,г],с3(П)); /><=СС[0,Т],Сг(П)).

Тогда^три достаточно малых 7 ^ , А -¡ь0 существует решение , р^ разностной задачи (19)-(21), определенное на [ 0, £ ] , и имеет место оценка

¿МСг'+^лч-» : е>0

Здесь ¿а — Т , если п = 2, и 4 Т I еол:1 п -Во второй главе рассмотрена такие разностная задала, соответствующая диффузионной модели неоднородной жидкости в случае периодических по пространсгвенним переменным решений. Все непрерывные и сеточные функции считаются периодическими с периодом, равным единице по координатным направлениям. Поэтому непрерывные функции (сеточные функции) рассматриваются на множестве

; Пс границей ; Г}. - сеточная область, соответствужэдая П , П, = 2,3. 4 4

Рассмотрим вначале дифференциальную задачу:

f[0 + (v.viïrJ-ACvp-v)^ ^JU-AÏ?- Vf> dur 'v-^O (22)

+(îrv-)p ( (0,ï )X fi*)

гг(0,сс) = zr cœj> x e ; ciùr тх0 = о ;

sa

, , <Po C00^ - заданные периодические по прост-

paiicXdGHHi.'M переменим функции; ïr(i, œ) , j>(it a:), р>(i, ос) _ искомые периодические функции.

оадаче (22), (23) ставится в сс"»тветствие двуслойная разностная схема

- £ ^ г^ +

+ + tPzfA'*^P'd =

2Q^ ïr^/ao , ^ € R* ; /¿P/*)«

Ьдесь >

Оператор Qi определяется следующим образом: „

й(х)1 J - J ¡ -J

J¿y>, x

Аппроксимация нелинейности такая же, как в (19), с заменой разностных производных центральными . В этой схеме может быть рассмотрена произвольная билинейная аппроксимация нелинейности с порядком Тг+£ в норле C([0,T]t Относительно разрешимости задачи (24), (25) и сходимости приближенных решений к точному справедлива

Теорема 7. Пусть существует такое решение VC^,®), , XI задачи (22), <33), что

9еС3([0^}С(О))ПСЪл,С\о.))пС(1-0,Т1С\т ; Р&сыт1ссп))пс\[о,т1сг(атс([о,т1с'(0)и СС(о,Т],Сь(Ш

Тогда при достаточно малых % , & é Aá существует един-

ственное решение ^ , разностной за-

дачи (24), (25) и справедлива оценка

C([o,T}^Lz(CLÁ)) C([0,V,¿(QÍ)

• Гда . - малое; 1-8 ,

ó' > О _ малое.

Ьдесь -АаО>)=-Дл + *1л; A¿<¿>= ~ ^ Да + S hi >

Fj, - оператор ортогонального проектирования на подпространство - периодических сеточних функций Lz(Cl^} , для которых. = ^ Д * ^ . '= О.

i-i 1

В первом параграфе третьей глав» рассматривается линейная стационарная задача для одной модели бароклпнного океана. Пусть XI - ограниченный цилиндр, Г1 - со(хиосц)х (о,Н ) , где СО -область с границей Г ; 3 - Г * [О, Н] .В области П рассмотрим следующую задачу:

л

¿¿й.^ц-^уг. ««О

Н 1

(26)

сИгй сСсс^ - о

° ¿§.=0 при *=//

(2?)

й-О при ОС = 0 ; и - О на 5' . Здесь - постоянные; ^ = ^«„а^; = (±1., 11 ) ;

Дифференциальной задаче (26), (27) соответствует следующая разностная задача в области * (0,Н)д , где = = СО^ (с- прямоугольная сеточная область с границей Г^ ; - сеточная боковая граница области Г)^ .

эи

= 0

эи.

п А , _ + -

где +

Лемма 3. ¿/П* )= ) © г*е

( \ С*/,а^Х и ))€ £ Шр

¿С ' гг ■ Я -я

Я. с11{Г \ <4«®; Д^Г2^ = О

1-0

II п (СС) = О

л

при сс = о

и

на

= и

гс =// 3

ёСГ/)= { ^ 6 ¿Шр : ^ не зависит от ^ }

Теорема 8. Пусть ¿2 = ^ С^/.^г > ? ^

= ^ (сс^сс^ ) _ решение задачи (26), (27) такое, что

СЭ(ОиГы) ; у Сое) £ Сг(и>) . Тогда при достаточно малом •/?„ и при всех ?£ ^ Я0 справ длива оценка:

— '/2 Цч-*Л1 М I ,

м 1

/1>0 -10 зависит от ^.

¿ля решения задачи (28), (23) предложен итерационный процесс :

т у £ ~ К^ сНаг^ V = О ,

е К4 сШг^ V = ^ V (»/ > ^ >

э ;

ГД

висит от Ж

7

А

У=0

на ^

л

= V

3 - ПГЛ

171 + 1

Л

У = 0

при

СС,

с?

(30)

не за-

(31)

л

V- V

= М

+ ' , , - заданы; V.

1 > О - некоторое число, С = + с В^ + х- К^ ^ (¿«г, Опегзтор £ такой :ко, кг в (7). ^

" 'Г е о р е м , а. Пусть г = О (Я \ Ъ £ Т0 , ее = ( <Г= ['^¿г (#-,>0 ] "' • Тогда итерационный процесс (30), (31) сходится.

л

Рассмотрим теперь другую разностную задачу, аппроксимирующую задачу (26), (27) с порядком О (Л ) . Считаем, что Со =

ОспЗУ)\ 0 ^ сг0а2а ^ I } , Н - I. Описание построения сетки проводится аналогично работам Кобелькова Г.1,1. и Лебедева В.И. Обозначим - аппроксимацию интеграла р по формуле трапеций,

в,г, - Н ** " Г, *

Краевые условия!

при «3=0

сс, = о, Я, 1-1, /

ССг ~ 0} V

- О При и^ = О при

^ (В,,** + ¿¿¿(х^Ъц^-Я^ 'где

(32)

(33)

я 2

3 и С«„«а>а:3)-

\

и

V

ос = 0.1 > а. '

о;. = /г

/ ' 3 ^ ^, ^ , ) - ^ ^ 'V, V '

1Ь

_ Т 0 о р_е м а 10. Пусть £ 6 С*СШ , ? 6 С (СО ) , £ € С - решение задачи (26), (27). Тогда решения

задачи (32), (33) сходятся к & со скоростью О в се-

точной норле пространства

Теорема II. Решения V,^ разностной задачи (32), [33) сходятся в .тобой внутренней .юдобласти -О' к решению дифференциальной задачи и. со скоростью в сеточной 1орме V/ .

Во втором параграфе третьей главы рассматривается нелинейная нестационарная задача.

' эсс'

1 3

и

* - з

а* г 1 д ГС, 2 э ж2 2 (34)

н

22££. + = о

ЭХ, 2 Хсл

Здесь ^Ч^/^г.^^^/.^^з));^ о

1ачальные и краевые условия:

постоянные

¿1= ид(Х,%хг >о?3') при {. = О ; и = О при сс3 = ° ; и.-О на <5 ; (35)

= О при X = Н

эгс

эж3 " "з

¡уществование сильного решения в целом по времени начально-кра-шой задачи для системы уравнений динамики океана доказано Сухо-юсовым В. И.

Рассмотрим теперь в еЗласти х Т^ псответ-

¡твуыщую разности,>о задачу:

1 Hdh Ка^лл^ о,

i=o

итА~0 при ¡1,а() ; = ° иа ^ (37)

при аз,- H ■

дъл 3

¡Здесь I _ (0

z L" U о

К = У к

к

+ к ^ WS %*<*>*» 1 > f^i л

Обозначил) , - одоратор ортогонального проек-

тирования на (/(.Q* ) • От задачи (36), (37) перейдем к эквивалентной задаче в пространстве у (-О^) '<

«В)

Лемма 4. Задача (38) имеет единственное решение Ilplf JSKÖUX *Е я '<& .

1 Теорема 12. Пусть задача (34), (35) имеет такое решение и (tpcu i£zvгг3 ) , , что

I

7 6 с (ioj],czc^))

Тогда при достаточно малых . (С 5 ^ справедлива

оценка: _ у

Ий-и II £ М 3)

"и сС[о,т].7,со*д (.г)

при некотором М > О , не завис ящем от 7 и / ,

В третьей главе диссертации построена также разностная схема о порядком аппроксимации О С£2) по пространственннм перемен-нш, обеспечивающая сохранение уравнения неразрывности с заданной точностью. Приведен алгоритм решения системы сеточных уравнений.

В первом параграфе четвертой главы исследуется метод Роте приближенного решения начально-краевой задачи для системы уравнений свободной конвекции с диссипацией. В области , -О - ограниченная облаоть в Й. ( /ь = 2,3) с границей ^ > рассмотрим с.^душута дифференциалы'ую задачу:

С и ■ V) и ~ » ли -ър + гт

и

Г * (и-^уТ = Л ДТ + Ь, <р(и)

Ч - ....... - ' (40)

сОхг и — О

Где Г, У, Л -

постоянные

J 1 1

Начальные и краевые условия:

И

Т

= а (гс) ; и

й=0

= 0 V ¿6 [оЛ] ;

^ (41)

о; Т

= Т4>о Чье

о

Еадаче (40), (41) поставим в соответствие разностную задачу (дискретизация по времени):

- V д Цр + Г(йт)+ ^ ~ Г Т^

#

л;тг~ллТ7 + Р(йт,тт) = у/я ф(И )

с1иг их = О

и (о) - 3.(Х)} ¡¿ч

Одвсь

= 0 У^ВД, ;

I С

= Т<т Г^С [0.41т

(43)

>2 -

Теорема 13. Пусть ¡^ £ решение задачи (40), (41) в Л^С-О) , то есть И-, Т € С([°,\],1г(О))пС([<>ХЩ^-0гс Решения дифференциальной задачи потребуем дополнительную гладкость:

€ С6>([о,10}) ;

сС 3, ¿/О)) № и9(Ы)

д с-

д1

д

при некотором # : 0 < 0 I.

Тогда при достаточно малых *2" ^ Т' справедливы оценки: 2 ^ ;

т<>ддг)1Уг(Ш)

"и -й§ м т

7 са^.ц'со)) -

-"г'

при некоторых . > ^ . *че зависящих от Т .

Во втором параграфе четверток главы рассмотрена система

уравнений типа свободной конвекции: ■ ^

(4.4)

г = Д^т + % <р(и)

€

dJ.iT и = О

с начальными и краевыми условиями (41).

Б<в>-{£ к(^Щ- ) Я" 1

Рассмотрим пространство

уV с г ' Э сс,: % ' )

£ушсция V выбрана так:

УС-С'СО) • Ч,(&)>0 В О; Уф) равно расстоянию от X до р , если ¡г достаточно близка к границе ^ . \У ' -банахово пространство с норлой:

М = У + 111/11

К . Чсо> ¿СП)

- замыкание пространства финитных бесконечно дифференцируемых соленоидальннх векторов в норле пространства ; V =

йигЪ=о\; { г

Т _е о р е м а 14. Пусть Цу ) ; /б?,®; =

=_0, а € Ну , £ СО) • Тогда существует решение И,Т задачи (44), ('И), обладающее свойствами:

о.г;,- у; л ¿^(чъ-.Ну >

J 2 % (45)

y^T q>(ü)€L (Qy, ТЩо,г^С1))С\Ь(ото; W^CQ))

Qi 2 *

и удовлетворяющее (44), (41),

Теорема 15, Существует не более, чем одно решение U , I

задачи (44), (41), обладающее овойотваш (45). На защиту выносятся основные результаты диссертации, а ю"чцно;

1) теоремы о равномерной по временной переменной сходимости в -норме по пространственным переменным в задаче протекания с постоянным перепадом давления (теоремы I, 4);

2) теорема о равномерной по временной переменной сходимости о порядком Ü г 4- Яв WÄ -норме по пространственным переменным для разностной схемы с произвольной билинейной аппроксимацией нелинейности в случае диффузионной модели неоднородной жидкости,(глобальная сходимость в двумерном случае и локальная

в трехмерном, теорема 6);

3) теорем«* о равномерной .по временной переменной сходимости с порядком О (Т+ l/z) в Ц -норле по пространственным переменным решений разностной начально-краевой задачи для одной модели бароклинного океана (теорема 12); теорема о сходимости итерационного процесса в случае линейной стационарной задачи (теорема 9).

Основные результату, вошедшие в диссертацию, опубликованы ' в раб&.ах:

I, Еыкадорова О.В. Численное решение задачи протекания с постоянным перепадом давления // Динамика жидкости со свободными границами.-Новосибирск, 1985,-Вып. 69.19-35,2. Еыкадорова О.В., Мошкин H.H. Об уравнениях свободной конвекции с диссипацией,-Новосибирск, 1987.-21 с,-(Препринт/ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т теорет. и прикл. механик*'; й 27-67). 3. Еыкадорова О.В., Кузнецов Б',Г. Исследование разностной задачи для одной модели бароклинного океана // Чиолен. методы ыехан. сплошной среды.-Новосибирск, 1989,-ТД20).-Я 4,-С. 34-48..