Исследование регулярных колец методом булевозначного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

НАУК СССР

сшш отдзлвюя тшт мтотмки

на пра&ах рукописи

ЧУШИ Вдасшай Александрович

Ш 512.552,35

ИЭЙЕДОВАНИВ КО-'ЕЦ

МЕТОДОМ БУ/Е0СОН*ЧНОГО ЯКАШЗА

01.01. Об - математическая лог;<.кз, алгебра и теория чисел

; А В 7 0 Р Е Ф 2 г -.1 диссертации на соискание уч* сЯ ^гелени

I

кандидата фга икс - иэгеиат; -г.< х цзук

Новосибирск - 1591

P&ÜOTÜ ваполнанз в íiíAcKOB гсоуи^стагпноу П2£йГСРич2С$£&

Научный руководитель: кандидат фюмко-штевагичвсгва; ?гзук,

дсцеиг В. Л. Дкбецкий Официальное оппонент- доктор ико-а^емати ческия паук

В. К.

««гдидат цшя'0>-ш» ©мат ичгскнх «аук Д.В.Твкавкин

Ведущая opríücraeiü«: Московский государственный у}-тв&рсит&

ш. M.B.JbyoHocoaa

Зашита coc'í -жтся " . " МЯЛ iggi гола в ^ "часа на asaosna;; -i специализированного совета ДЮ2.23.01 по присуждению v ¿¿ной степени -докТс^ »¿йтештгчзснкг наук

Тфи <№ СО АН СССР

С диссертациай пэзнгжойдггься в би^лиат-дкс* ИМ Ш ¿

СХХР.

Авторефгрггг разослан " " 1991

Ученый секретаоь спешшлязированногс совета, кандидат фюикс-аэтештяческих наук СкоодзсяиЯ Влзяяйнр Григорьйекч

h л ' ■

: . - а -

" .. \

' ХАРАКТЕВСТИКА РАБОТ а'

Актуальность темы. ВулевоэначныЛ _(з также и гейтнчго-воэиачный) анализ алгебраических структур представляет собой. один из путей приложения методов теории моделей к а",-•гебре, в частности к теории голец. Конструкция бул».-зознзч-ного -универсума, оценки й других атрибуты булевозначксго анализа первоначально разрабатьвапись шш решения сяохкых тесфетико-ынсдестБенньд; проблем, ¡5 частности, для выяснения вопроса о »»зависимости некоторых гипотез (з частности, континуум-гипотезы) теории множеств, Однако в дальне?-вем вьы снилось, что булевозначкьй (и близкий к нему гей-тинговозначный) анализ могут применяться к для ревекля иа-теггал кческих проблем в обычном сшсле этих слоа, & не з смьсде доказательства юс независимости от аксиом теории ьаюжеств. Общие подходы к этому разраб.-. нзалисъ Д.Скст-тоы, М, Сур«£>,ном, Г. Т-'кеути, В. А. ГЬобецкиы и друг.'мн, с,ц. налркаер, С 1,2,3,43. Сбг^за схема применения булевозкачного (& такза и гойтккгозначного) анализа к изучению алге-брзи-■ чесгасс систем оп»'<сз.ча., например. в [4,5]; это гак называемь':-теоремн переноса. Родственный (хотя в существенном к иной; подход к исследованию алгебраических сжте» был развит з работе С53. В диссертации упомянутая схема применена -ала исследов«зми8 регулярных по фон Нейиану колец и модулей над такиж кодьиаш. Упомянуть» кольца и модули являются традиционными ь алгебраических исследованиях. Достаточно указать из моногрэфоэ Гудерла [73 обобчзк^'в многочисленные ксс»едс«жиа по этой -¡еиэтуж-.

Вздьеэя часть результате© диссертации относится к ре~

¡ \jiiiPHiiu кольцам и антмемнгуйяр-

нш икьекгканш шяуАзи ыш тегсад« кольцвш. Б алгебре имеются езжиуй конструкции. прдаоязщг© к таким кольцам и шдуляк. Наприагр, полнее прайс? кольцо частжд: всякого антнеингуляркого кольца являйся 'Регулярным сашинъектив-ныы кольцом. То Ж: саше ш получим, если рйссштрии пополнение регулярного кольца, обладгдааэге функцией пеевдо-рачга. отнфительно *гетрики. ггороздгнкей этой функцией, см. :?:. Для гнгиск-гувхрного модуля его ннъективнея оболочка - гттиейнгуляри^й ин-ьектиздай модуль.

Нгбой»®» часть результате© диссертации относится к ортогошшзно-.пай>&^ С по другой .терминологии - пучковым) регулярна кольцам кол!>1Ш;. Доказательства ате: результатов получены тис» с паж .-ж б у л г доз начнег с анализа. Орто-гоя&льно-поянае коаьца апгр^ае определены и изучены в роботах К.И.Вейдзра и А. ' ■•■мхййеэй.

Та!сш оброаои, предсгезлается агстуадышы развитие метода Ьуяовс&п&чпуго агшяиэа для рл^йнмя проблей, относя-шхея к укааяакш кяагсаи ¡«леи и дадулей.

Цель работы состоит 8 тш,. чтобы для данного регулярного' ла5*ашш«и8«ого кольца и аитиемнг-удярного инъектив-ного ¡¿одула над кмьг одаезтъ соотвествукк^е внутренние сб-ь-с-гсгы й булодйа»ам№ш униаврсуьге и, на этой основе реаить 16-к прайму из £в£шупойзнутой монографий Гудерла. а та® обебшть рзд других результатов со случая первичного кольца на случай полулер^ач-ного кольца

Обкж? като.гш иссдедраанкя. Метод состоит и исследовании свяаи К5?®пу' внутренним ■ объектоаи иг булевозначногс уншзерсуш и состветствуяэми ему внешний объектом,в тагах?

перенос теорем о внутреннем объекте ка внезший объект, т.е. по существу кспош>йуетсг{ игтод бул^воэначнсго анализа.

Научная ковмзна. Целостное исследование р»гул5.'р«ух колец и модулей над ниш методом булевоэначнете а?взлиза до настоящей работу не .проводилась. ГЬэтоиу большя часть ревультатое получена впервые. Некоторые взвеегкда ранее результаты о соответствии внутренних и внейккх объектов получаются как частные случаи более обтх результатов. полученных в данной работе. Пругая часть результатов, которая "касается регулярных колец и модулей над н«кн. была доказана ранее без гсрюггвеккл булевоэначного метода. Tarace- ревультаты приведется только там, где без них ийруек-дась бы целостность изложения. С другой стороны, приведенные е работе доказательства с использованием булево®-начнсй техники, на на® взгляд, проясняю? ях иктуитизнус сувиость. При формулировка рачее известгед результатов указано, где они были доказаны ранее.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Получении:! результаты могут быть использованы в дальне пеги х нсслегонакетх по регулярным кольцам и модулях над ниш, а также для чтения спенюфсов в ВУЗах.

Апробация .работы. Результаты диссертации дэклёдыва-лись на Международной алгебраической конференции паьехтм А.И.Мальцева Сг.Новосибирск. 1989 г.). ка X Всесоюзно"! конференции по логике, методологии я философии науки (г.Шнек. 1990 г..4, на семинаре по функциональному анализу в Институте Йзтематикк СЮ АН СССР, на семинаре при кафедре алгебры 1.СПИ им. Б. И. Ленина, на Третьей В^есокзнси Семинаре по нестандартному анализу,г.Caparos. 19РС г.;, на алгебраической семинг*^ з Уральском государственном университете.

Ду15лихааим. Ссноонш результаты диссертации опубликована з* Плти работа-:.

Структура и объем диссертации. Диссертация изломана на 83 страницах машинописного текста. Состоит из введения, параграфа С, в которой излой»ш используеше определения и обозначения, девяти параграфов я списга штдогуры, содгр-жаээго 31 иалшнойание.

СВЗСР ошэтмния РАБОТЫ *

7 : - .. . - ; Чг'-.

Во введении обсхгюзи<аас-тся актуальность то^ диссертационного исследования и открываются результаты, получение в диссертации.

В параграфе 0 даэтса определения понятий, испрльзуе-ыых 8 диссертации и разъяснявся обозначения. 'мл касаются, во-первых, ?е£$ич&ских атрибуте® булевозн/. 1|{0Г0 анализа, и/ во-вторых',? терминологии и обозначен*^ „теории колец и модулей.

В нервен параграф »оказана теореьа. ТВСРВ№ 1- 1) Пусть - регулярное сашинъективиее сгрд-,''"' ва кольцо, А - антисингуларкгй ингектмш&й правы;? аоду^ над кольцом Гч , Ь? полная. булев?!, алгебрах центральных ияемпотеьтс:» кольца к ;--..{?у.сть V - Оулеаозначньй универсум над В .' Тогда в ебшегы & и А такие,

что - пеоаичнод рояуллриое саьшнгектиансе... справа • А'

кольцо, - . актисингулярнш"! инъектиеныР поавцЯ водуль надШ.и и .

2) Обратно, если 5 булз^рзначном утверсуш-^У над некоторой полной булевой алгеброй Ь объекты к А та-козы, что - первичное регулярное садаш-тьективкое

справа кольцо. А' - антисингулярныа инъехтивнЦ, правый модуль над Я: |=1 , та Я" * будет' регулярный саиойнгек-

к&пьца будет регулярнш сююикьективиш cnpasa kojsw^j. Тем самым выявлен'путь. позволяется применять булсссзмач-

иый анализ к изучение регулярных непрерьвных справа колец.

Наконец, в теореме 3 доказано соответствие некоторых обобщений понятия сравнимости [7] для регулярного саио-" иньективного справа кольца и соответствующего еыу объекта в булевоэкачном универсуме. Эта теорема используемся'-^ параграфе 8 для обобщения результатов 0" )4-,ры" [ 93 о представлении. .элемента кольца в виде произведения идемпотек-тов.

В параграфе 4 объединены результаты о внурргннга описании регулярных сашиньективньа справа колец тишз 1. II, а также прямо-конечных-- и* чисто-бесконечных колеи.. '' *•'•-■ м

ПРЕКЛОНЕНИЕ 4.7 Регулярное саыош-гьектизноэ справа кольцо R будет кольцом ткг,а I тогда и только тогда, когда |су®ествует тело I и ipasoe векторное' прсстрк.ствс А над Т такие. что R » ;.псЦД .

ПРЕ.ЩЖЭ-3-S 4.9 Per лярное -"Са^отгьективное спреса кольцо R будет кольцо« тгпа II тогда и только тогда, когда ^сутэствует простое U--регулярнее регулярное с&^игь-ектнзное справа гсмыюТ и гаягпгкнгулярньй ит*ктквнмй

А' ^^ f ГУ J ^ Г j I

правая »одуль Я над I тггек-, что U ** снЛуА к из существует телз S к полого векторного простремся» В> над -S'two«. ЧТО R'sWs'b' >1 ; ^ , 1

гедаж® 4.11 Пусть R - , кояыр tmtü'I.T я Ä взяты из, прешюжэкка 4.7. ••• ,.,-r "' t) ■

'■1) R -колы$> типа Ц рйвдегсияьио тсазу/гчто £ А конечкоиорног': Вйеторнте прострвистео кед гало» Т 1 -

«■» - ю - (

'У> К -каг&цо типа. 2,., ч.хг/. что | А

¡чыъ&гыуяг&ж вехгсрн>:> пространств нзс т*яом f']j-Уч^п-пад аа^ахтеретг^, > , г«"-нну? ь прсллсж-кии 4 1

г

йасда.-гг» ог.-рехгелеки-; кол? ца г игл i.^ беокс-нечксго к:

аииалй «А R - иг. . осям jjdÄ»*. А'-«*. j|-

СкЖаЗ-'гН--. ЧТО TiCi ХС-ЛЪЦа Н*0ДНЗ?НЗЧНС. то ее

каяыг> ш.-а-т б irrt типа и тяпа (

н.»ко доказано сул-гг^твание разложения

TECfQt> 4 В?-,1 кольце R типа единственным разом. разлагайся в прям»? лр:иэ*едекие колец *П ! ^ . кекстс&кк «j, могут Сьп. нулевыми'' так. vr:

§Д € я ^¿R -кольйо типа для кажде:

¡ei. илу которого ^ - мс-нул-ЕОй

В rwiparpaiiiSüt Ь м б исследуется проблей;! ig из Г' ©of-чуяироека проблемы такова. если R -регулярное cauoi гс .ивное справа кольцо. А -антисингулйрнки мнъектиы № ни'! дедуль над R . - функция бесконечной Р

ости и С . тс typet ли

(Е. (J- А)) - ъпах (А),

ССкиЯ CTiH-r дан в те-cp-u- Ь -

где dt, * кардинал, вычисляемый индивидуально кагаогс ыакекмальнего идеала. Н булевой алгебры Ь и вдеядой только^ от свойств fb . Более точно. «¿^ - н ыемьтй кардинал, для которого ¡¿_ иоплс-сть («*- м больее мощности сМ . В частных случзях. ко рьк? возникают при наложении на с о п о л н иг е л ь н u>: у слов J.t совпадает с / и зз счет этого первоначальная- £оры

будет выполняться. То, что последняя формула в об случае вшолняется не всегда, показывает пример, пост

S»'

. 6. t спрсмь кояыю тоге»,« 70ÄKD тогда/' когда - т^юстое 'регулярное регулярное ейкжкъенЛЪное справа кольцоi. В «том ж ¡ .параграф Ьф^мулиро&ака теорема 2. суть шторой такова соепайагт ЗЕорноем. теории того класса ко~ aeu. Куда попадает Я и того класса, куда попадает. для КП пар R Д. описанных в теореме 1 к следствии и •мазогичмз для медул*й

Параграф 2 к г-тсму резулштатами.

•ТСЗХЕЗДС £ Z & ■ -г^гулйрн^ • •

спраьа колы!; Хггда дл? лсб^.': Je;: ¡гулы первого порядка £R тсгга к только тогда, когда f выполняется

•о всех факторизация*, ^/Р по азем минимальным первичным маеаллмкольца R -

-регулярное саюинъекгиэное справа., кольцо. У - юриова., Формула первого порядка и истинна во всех фвкгор- кольцах «ельца-R. по всем ымни»аг.ьныа: пер&кчкым идеалам, то Y игтккка ¡r R .

При ' атсм отшчем^. что фзктор- гхшьца жгут- и не быть саиоюгдепрвныш спрааа.

В параграфе 3. вь^ейено;свойство регулярных пряш-конечных сашкнгектиакыг • спрг^а'. жлеи. выпгег^ш^« из их B-RpocTOmi Е-простого кольца введено Тахеуги

т.

■■ ГРЕШШЕ№5 ' 3 ? Пусть R - i прямо-конечное регулярное . САмоинъектиэное справа гюльцо. Тогда для любого Vfits су-«гствует разбиение единицы в tb и существуют

(ю!) такие, что С0 - наибольший центральный ипеы-потекг. акнулирувггкй "Р . а для. всех других -Н. иыгеы:

в*« * «X^ív V В этом se параграф? в предложении 3.3 доказано, что ортогональное пополнеть непрерыкого справа регулярного

- ? -

тивньи crs. -ж кольцом, булева алгебра ц«итраяьи;.зс иле-:,; потектое- е ■ ¡. oso г о иоопгосСно В , а К будет ««гисччгу ларньи илге<..гивккы правым чеяулеы нас fs

Ь принш! теореиа S аналогична результата« Дсбеико го L4J дяй И! активных н рационально-полных колец, одна» сна является очень важой для всего диссертационного но следования Все полученные в диссертации результаты с регулярных са\юиньектийньа справа кольцах и антисингулярны: иньективных справа «одулях кап ними .«оказываются с признанием теоремы 1. Teopeua 1 выделяет нозьей класс алгебра-ичео;а1Х объектов. вложа«ых б булеЕозначни;-, универсум v поэтому пригодных для изучения ыетодоы булевозиачногс анализа.:

В этом ж параграфе з предложении 1.4 описан вид соответствующего внутреннего объекта для иньективне- - оболочки пряшй суша 'íá, копий актисингулярного инье • ивногс правого модуля А шу^регулярнш самоиньективн» cnpasí кольцо«, именно доказано, что

- кардинал, равноаодаыи <L . Это означ&эт, что со-

ответствующий внутренний объектом для будет .

где инъективная оболочка для берется, ко-

нечно, внутри "V^ .Этот результат ныает основное пртге-нение при решении в параграфе 5 проблаш 18 из 17].

Вс втором параграфе приведены некоторый чзстниг еду-чай теореш 1, полученные наложением perушрное саш-иньектианое спрааа кольцо дополнительных условий: абеее-вой регулярности.лра4а>-ксй-$ечности и и.-регулярности.

СЛЕДСТВИЕ 2.2 из теоремы 1. 1) ( 14. теореш 4а) ) & есть абелево регулярное самоинъмтвакое справа кольцо тогда и только тогда, когда j[R - теио^«1 .

2) & есть прямо-конечное регуйзрдое езшинъекткшее

еннйзй в параграф* 3. Пра псстрс.*.-*»» пр^'/лра гятайзьзузгез тойы«5 средства аяге£ры и киг§о т йсша>зуэтсз йут-^уи-иаинш теакяка. Они®« иа еашм йадо яр?гшр пояучйй па?®-аояом на классячоский адгебразчеекйй яз*з« очс.а» простев с булавевначной точки зрения наа&рукцяй. йяшф, сзята такая полная булша алгебра Ь , 1 ц??о £ (^Зр1!. взято йУ^ тяхвг. что |,Рг - три8каш£« псаа, еее-таадэ* !«з яуйя и едааеам . Тетка £>« Р2/Ч> - будет

прямо- кскечгаш регулярна* сагюш*зздиат&( справа кояыгс«, поэтому есегда Б то' за ореья Е(й*~Ь

и ЦЩЩ^^ 'л так как , то

Пюте*г (Е ивх .

В параграфе 7 путем сбобиэнот еявветаиз 10.20 не С Л дая к&игврка, »отда регудяр:юе ' са^шиъекгивнее спраза колы» будет пзжзо-гаэквчкЫ., .

ТЕСРЗЯА ? Пусть -регулярно«* еаусингектизное справа }*ея«»цо тено®, что-в буяевоз.вд-лка универсуш "У^над полной булозся алгеброй центральных ирйшотентсв кольца Я жзк I » где ¡2;, ¡и'Ц образует- разби-

ение единицу в Ь (все ненулаоь-е) я аса - кардинала. Тогда кольцо будет праш-конечны» тогда и толы» тогда, когда пр« яябом нндемсе для джбого иенулегого цйнти^^кого иде^отента кольцо- не сояермнт

пря«у» сутану ^ вполне ненулевых гггзнш левьа идеалов.

8 параграф 8 с&эбвдаотся на обе&«А случай регулярных са-

справа колец и ортогонально-полных -простых обобя»нн&-сравнииизс колец результаты С Миры С 9) о представйс-яда. -с&омента кольца а виде . произведения идешзтентов.

:пр©в£

'.1 ! £ *

ТЕОРЕМА 8 Пусть -регулярное сатязгъектй.внсе главьцо. & - элемент кольца и 1-й не аннули-

руется никаким ненулевым центральным идемпотентоы. Тогда • равносильны условия:

1) Существует разбиение единицы | £ } ке

•I

и существуют идемпотенты кольца такие

что для всякого * имеем; к. е*- Т14 к. ^

** к,'

2) Для любого максимального идеала М булевой алгебры & имеем: {<„

. 5 как в случае первичных колец без дополнительных

ограничений нельзя указать верхней границу для ^нкмааьно необхопимиого количества представляю»« идемпотентов. то а в полученной теореме 8 л® вынуждены говорить о "кусочно«" . представлении элемента А. в виде произведения идомпотсн-, тов. то есть о наличии разбиения единицы 1к£ такого: что каждый ."представляется в виде произведения Ь-чдёмпотентов • &>гюлкительнке ограничения на кольцо или на алемекгй. „ ограничиваемое шнимапьно необходимое количество представляю»* опеяпотентов, пат на« предложения, бздее схожие в смысле формулировок с результатами для первичного случая.' Контрпример, построенный здесь же. по-*сэаывает. .что без-подобных ограничений избавиться от не, обходимое?и "кусочного" "представления элеио>гга в виде "произведения идв«ютент©в нельзя.

' ; В последнем,' девятом параграфе делаются обобщения ре-« .

эультатов'С 73 о соответствии кардиналов и двусторонних идеалов перймчнон .регулярном самоинъективноы справа кольце'. 8 параграф.описываются соответствия ыехду функ-.икями ," бесконечной •размер£;ссти и ортогонально-полными

шзнлгирсювеж в регулярном са&юимьектдакс«* спра-

ва кольце. 8 случае, тогда Ъ допускает склейку -касдина- • лов, две разные функции югу? определять спин и тот ' зе идеал. Ойнахо при этой они вашш быть эквивалентна»! в сааюле определений 9.6. •

ЛИТЕРАТУРА.

1.. Foursen М.Р.. Scott D.S. Sheaves and losic.-Berlin, He i de1berg; York: Spr i n?er,1979.

2., Solovay R. „ Tennentoaum S. Cohen extensions ana Souslin's problem// Arm. Math. ,1972-v.S4,K!t-2-p. 1-56

3. Tskeuti G. Two applications of Logic to. Mathematics. -Tokio, Princeton: Inremmi and Princeton Univ.Pnrss., 1978.

4.йсбецк»й В. A. Henoropssa пршененмя тесрии тспоеаз к из учк-гиа аяг«еранчесгеа сяст!//Дюнстон П ? Теория топо-сов. - И.: Наука, 1985.

Б. А Оцймйи и tty*ooi. О некоторых вопросах нестандартного анал»за//МФ. -1989. -т. 44, ssn.4(268)-с.99-153

6. Бвйй£Р К. И., Шхш&в А. В. Сртогональная полнота у. an-гебрй^ческке систеш/'/У&Н. -т. 40, в«п. 6.

7. Goodear 1 К. R.Vcn Мэивалл regruiar r ir^.-Lenten e.a.: PitRan, 197S

8. Takeuti G Boolean sisple groups and boolean staple rings//Journal of Syrrboiic Logic,-13S8 -v. 53,}^--p. 160-173

5. 0'bteara K.C. Products of idse-potents in regular rings// Glasgow totheratical Journal.-v.23,N 2.-p. 143-1К

говжда А8ГСРА Ш ГШ лз^хшмт Ю. Н. A. Месдеооегние ттх

девознйчносо анализа. Тезиса'/Труды Игдцунароаной алгебра-r.4octüjñ конференции паьяти А. И. Мальцева. -Новосибирск.-1989.

11. Чупин H.A. О проблеме 18 из книги Гудерла "Регулярные кольца фон Н&ймама^/Сиб. мат .-дурная.-1991 .■••т.32. Нь1-е.161-16-7.

Чулки H.A. Исследование регулярных сьыоинъектизних ко-j>f-u и:псазло*. булевоэначного анализа -М. 1989.-Вел. с-'ВИНИТ И N 5314-839.

Чулик Н А. Результаты с регулярных кольцах, полученные методами математической логики. Тезиса-'/Труды X Всесо-пэной конференции по логике, методологии и философии н&укм -14шск.-1990.

14. Чупин Н.А Булевозначный анализ регулярных колец. Тезисы/'/ Третий Бсесовзный семинар по нестандартному анализу - Саратов.-1990.