Исследование решений граничных задач для уравнения Бицадзе в ограниченной плоской области с общими линейными граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

министерство образования

I 2 '."Азербайджанской республики

академия наук азербайджана институт математики и механики

На правах рукописи

ИБРАГИМОВ НАТИГ СОХРАБ оглы

УДК 517.946.

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ГРАНИЧНЫХ

ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БИЦАДЗЕ В ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ С ОБЩИМИ ЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

(01.01.02—Дифференциальные уравнения)

а в г о р е ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ— ¿996

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Бакинского Государственного Университета им. М. А. Расул-заде.

Научный руководитель:

—кандидат физико-математических наук, доцент Н. А. Алиев.

Официальные оппоненты:

—доктор физико-математических наук, профессор Б. А. Искендеров.

—кандидат физико-математических наук, доцент Г. А. Багиров.

Ведущая организация:—Азербайджанский Технический Университет.

Защита состоится . ' С^^Г^. ¿^Л ^ 199В г. в

УУОо ~

« 7/ « часов на заседании специализированного совета Д 004.01.01 по присуждению ученых степеней физико-математических наук при ОФМТН АН Азербайджана по адресу: 370602, Баку, ул. Ф. Агаева, 9, кв-л 553, Институт математики и механики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики и Механики.

Автореферат разослан , 1996 г.

Ученый секретарь Специализированного совета,

к. ф. м. н.

Р. А. БАЙРАМОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа яосвядена исследования решений граничных задач для уравнений Бицадзе и эллиптического типа третьего порядка ь ограниченной плоской области о общими линейными граничными условиями. При этом доказана фродгольмовость граначшк задач, для уравнения Бицадзе и для. уравнения третьего порядка с домошью вибора граничных условии

Актуальность работы. Как в' курсе уравнений математической физика , так и уравнений с частик?.;с производными, з основпом, рассматриваются задачи /ля уравнений, принадлежащих классической типовой классификации. Тогда собственно, если уравнение' рассматриваемой задачи не принадлежит к известной тилозо? классификации, то намного затрудняется исследование задач для таких уравнений. Но иногда классические задачи, даже для уравнений или систем уравнений, принадлежащих известной классификации, оказывается некорректно доставленными. Развитию теории и методов решения подобиях задач посвшены немало работ отечественных и заруленных авторов. Из них особенно mosho отметить работы Бицадзе A.B., Самарского A.A., Гахова Ф.Д., Двзява A.A., Дкураева А. Дтсураев-ч Т.Д.. Саяахатдинова М.С., Алиева H.A., Ахиева С.С., Ис; лщерова Б.А. и др0, где исследованы нелокальные п другие краевые задачи для уравнений типовой классификации, а такав для уравнений не прднадло-ла^ах лиловой классификация.

Известна, что граничные задачи для уравнений Бяцядзе и ашшп-гичесдого тшта третьего порядка, порожденных соответственно квадратом е кубом оператора Кошя-Ряшна имеют приложения в различш .с областях практика, в том числа в бесконечно малых изгибаниях поверхностей, бозмоментной теории оболочек и др. Кро: э того, ясслэ-Zd&fzzn мс:садао-адногспксй (¡¡ункцгл приводит к граззчзоЗ

- 4 -

задаче дог уравнения Ь'яцадзе.

От.чшто;, что задача Дирихле для уравнения Бицадзе не хорошо поставлена, го есть порожденный этой задачей оператор тлеет бесконечномерное ядро. В связи с этим возникает вопрос нахождения пригчлешх граничных условий для этого уравнения, гри которых соответствующая граничная задача оказывается фредильмовой. Аналогична вопрос возникает и.для уравпония эллиптического типа третьего порядка.

Дэдиая диссертационная работа посвящена ишш о исследованию этих вопросов для уравнений Бицадзе и эллиптического типа третьего порядка. Отметим, что ранее задача Дирихле уш уравнения' Бицадзе в круговой области была исследована в работе Бицадзе. Однако в настоящей диссертационной работе для э ¿ого уравнения исследуется граничная задача с общими линейны/1 граничными условиями в ограниченной плоской области. Кроме того, отметит.:, что подобные вопросы для других уравнений ранее были исследованы в ра-'"ботах Алиева H.A., Ахмедова Р.Г., Багирг/за Г.А., Гулиева'A.C., Сулейманоза И.О., Салгаиова Ю.М. и др.

. Из перечисленных работ известно, что вша названные вопросы для уравнений, порожденных оператором Коши-Ришна сравнительно мало изучены. Поэтому теш исследования данной диссертационной работы несомненно является актуальной и она представляет как теоретический, так и практический интересы.

Цель работы. Доказать фредгольмовость граничных задач, как для уравнения Бицадзе (квадрат оператора Кош-Римана), так я для уравнения третьего порядка (куб оператора Коош-Рш/лна) целесообразным выбором граничных усжтий.

Методы исследования. В работе применяются методы из теории потенциалов, где в отличие от классических работ, ре яма* i:k'1;-io3 аадачп ищется в вида, диктуемом anipoS: «*>;*• у*\оГ. Г'".' ■■

- 5 -

Например, дая уравнения Лапласа независимо от вида граничннх условий решение граничной задачи ищется а виде суммы потенциалов простого к- двойного слоев.

Научная новизна. В классических работ'х (даже во многих со-временкыл. работах), исходя из вида граничных условий, подбирается соответствующий потенциал. Такой выбор во многих случаях, напри, .ар, при исследования.реиеиий задач с наклонными производными для уравнения Яапласа приводит к-интегральному уравнению ¿редголь-каа первого рода, если для некоторого множества точек цроведенный наклон окажется касательным. Известно, что такие интогральныэ уравнения-не всегда поддаются исследованию.

Независимо от вида граничных условий решение рассматриваемых задач ищется в едином виде, диктуемом второй форцуло.. Грпка. Здесь кет необходимости заботиться о скачке потенциалов, так как скачок всегда существует: шш за счет потенциала простого слоя, или за счет потенциала двойного слоя, или не за счет обоих потенциалов. Полученная неопределенность при использовании грангтшх условий устраняется с помощьо выявленных необходимых условии.

Далее своеобразным пу/ем устраняется сингулярность входящая -в необходимые условия, а затем полученные регулярные соотношения совместно с граничными условиями приводят к фредгольмовостя поставленных задач.

Приложения. Полученные в работе результаты могут быть приманены к различны;,! задачам современной математической физия, уравнений с частными производным, теории функций комплексной реременной и теории аналитических- функций.

... г

Апробация работа. Осковнве результаты работы докладывались а обсувдалиоь па семяшрэх акадег-ика Гаснмова М.Г. .профессора • Кскендерога АД», профессора Ахзегл G.G. .доцепха Алиева H.A.

- 6 -

в ЕГУ им..Л.?асул?ада, на республиканской конференции аспирантов педагогически: ВУЗов Азербайджана.

Публикации. Ochoehuo результаты диссертации опубликованы в работах [I] - [3] .

Структура н обьем диссертации. Диссертгцця изложена на 94 отракицах кашанохшслого текста, состоят из взедишя, двух глав и слиска гтгйратурц. Библиография содержат 57 наименований patíos отечественных л оарубэотых авторов. Первая глава состоит из четырех, а вторая глава из шести параграфов.

Во'зседенпп дается С'зор работ, связанных с результата диссертации.

Б первой главе исследуются решения граничных эчдач для уравнения Бнцадзе.

5с второй главе рассмотрена акалогич"ак задача для уравнения эллиптического тала третьего порядка.

Основное содержание диссертации. Первая глава работы состоит :i3 четырэх параграфов. В первом параграфе для уравнения Бицадзе:

ди(х) ; ^ д2и>(х) дг'Мх) _0 . (1)

dx{dxz дя? достроено фундаментальное решение

оо 0

-i(a?-g )sinCC,(со,det, = Л-.-ñnh.-(2)

- 7 -

Бо втором параграфа згой гласи рассматривая уравнение (I) з ограниченной плоской области Й) с границей , с помощью фундаментального решения (2) получаются необходимо условия, одно из которых имеет следующий вид:

даш)

дё4

-Л

дат дЩх-Ю дх2 дх.

со$(п,хг)-

с1х +

Р*~1>2, 1,е[аД] ,

:сдэ й - иыэеняя порть к границе $ области $ и точке

Тр ■ «¡2 , р — 1,2 , Д] ■

Доказана

Тоорэмз I. Пусть & С ограниченная, ьылуклая по Хг область о границей -лиши Ляпунова, такая что, яря-

,,лая параллельная к г'саа пересекать эту границу на более,

7ям з дву точках. Тогда каждоз репзнне уравнения (I) , определенное з области 2) , удовлетворяет полученным необходаюлл УСловиям.

Ле?аЗ . ласагглэ яосеяшен отдаленно сангуляраоствй в ояоду-

'л::.": кесохогжгх условиях:

РН

0-1 ' '

диШ)

Ш

р+1 6/ .И) ; ^ ад

•г

К^) ж а, дх1

¿¿Я,

¿аг,

где многоточием обозначены суммы не сшшудях.шх слагаемых я доказано следующее утверждение

Теорстла 2. При условиях теоремы I, I лк задача Дирихле, так я задача Неймана для уравнения Бицадзе н.: фредгольмова.

- Далее , в формулах (4), полагая и(х) — и{(х) + ¿¿1г(х) отделим сингулярность как вещественной , так и кооф^кциента мнимой части для и(эс) .

, К -'равнении (I), присоединяя граничные условия 2 2(1

2212А)М

Р=, <,=/ I ГГ, V дх,-

а*

о,?) о,?.;

где как дашше аА (х,) , • а*. (>,) , так а неизвестные функ-

вещественнозначные»

/ дх;

- 9 -

а четвертом параграфе проводится регуляризация сиягулярностей, иходаших в необходимые условия. Имеет мпсто

Теорема 3. При условиях теоремы I , если коэффициенты граничных условий (5) принадлежат некоторому классу Гельдера, а правые части являются непрерывно-дифференцируемыми функциями, обра-щалгпмися в нуль в концах интервала [йг,¿^ , чо решение граничной задачи (I),(5) удовлетворяет еще четырем регулярным соотношениям:

[/У' V . ''

+ а,%,) и, (6,,#(£,))-а'к%,)иг (е„ /^Й -/

дг-м,.

" а,

где многоточием обозначены суши но сингулярных слагаемых,.

Далее, получены достаточные условия для фредгольмовооти граничной задача (I),(5).

Вторая глава посеяцэнэ исследованию решений' граничных задач для ураЕненая зллшгаячесЕого типа третьего порядка в ограниченной шгоской областя о общзка пвлокалкпаг граяячпымл условияхгя. Эта глава состоит из сости параграф в. В первом яараграфэ даот-ся постановка задачя для уравнения

д\{х) . д\{х)

Яг 3

о

+ 31-

-3

-ЙЁ 161

Ле, дх1 дх,дхг доц]

с граничными условиями

2

к = 1

<Щ дР\*)

3 ^ 'Щ

= (?)

где область опредолена как и и предыдущей главе, а данные

граничных условий (7) являются кокшгакснозначныыи функциями.

Зо втором параграфе вводится фундаментальное вешание уравнения (6) а виде

1 '(ъ-ШгУ

(8)

Трогий параграф посвящен получению необходимых уело лй, с дно вз которых емее'дг ьзд:

¿= О Уд 1 з ^¿ф) д2{/(х-&

дх% дх,дх2 дх,дхг

+1 да№ д +1

дх? дх,дх2 дзс,дхг. й/ 1\

+

. дги(х) д^Сх-г) . д*и(х) дЬ(сс-Ю 31 1 -г."--=;—х--Ь 3 -

д-То

дх0г

дх,дхг

дх*

д*и(х) дги(х-Ю . дга(х) д2U(x-§)

тшт £ -

dxi

дх?

-№) «

дх,дх2 ' дх?

_г д*и{х) ^Vfr-g) ■ дгц(х-Щ дх,олг дх,дхг docg 5xfz J

К —U2 ,

где У - внешняя нормаль к границе £Г области £5 . и этом случае доказала справедливость утверздепия теоремы I.

Четвертый параграф второй главы посвящен уточнению сингулярности в граничных значениях фундаментального решения.

В пятом параграфе отделяется сингулярность, входящая в необходимые условия:

д а(ю

дВ,рд£*

С

t „м д и(х)

(Щ) Ш й1 дх?дх?

*2

dx, •■ ч >(10)

ft-Sf.

Где многоточиями обозначены оуымн несингулярных слагаемых. Доказано следующее утверждение

Теорега 4. Пусть имеют место условия теоремы I. Тогда граничная задача для уравнения (6) о тремя линейно-независимыми, граничными условиями (два из этих условий вдоль Щ , а другое вдоль % 117111 наоборот) из сести граничных уоловий:

2

** дх,"дхг*

J^TJ ,K~f,2 ,x,e{ajf] , ж

какова бы не была гладкость функций G »

не является фредгольковой,

Шзстой параграф второй главы посняцен регуляризации сянгу-

- 12 -

ллрности, входящей с нообходимые усдовил. При этом доказан аналог теоремы 3.

Далее в отом параграфе получены достаточные условия, обеспечивание фредгольмоность граничной задачи (6),(7). • Пусть имеют место следующие условия:

а) область SÖ с: IR выпуклая по направлению xz -замкнутая линии Ляпунова и кавдая прямая, параллельная к оси

шже ■ пересекать границу не более , чем в двух точ-

ках;

б) граничные условия (7) являются лине^ло-независиыыми.фун"-

да aj?9\xi) >j- w.ic-w, x,e [аиЦ, __

принадлежат некоторому классу Гельдера, а функции Q-ji^i) ,j— 1,3, Д^е [ ü1f , являются непроришо-дафференцируе'ими и обращаются в нуль на концах интервала , ;

в) граници , к — 7^2 дважды дифференцируемые, то асть

J>M(xt) е Cz([dJf]) ,*г/,2 *

к=(,2.

Теорема 5. Пусть имеют место условия п)-в). .. ,'огда граничная задача (6),(7) Фродгольмовз. В заключешш автор шрагаот глубокую благодарность своему научное коЕодитело доценту Аллану НД. за постановку задач д постоянное вквканцо.

1. Н.С.Ибрагимов Исследование решения граничной задача для уравнения Бицадзв на ограниченной плоской обдастя.-Сб:"Нри-блияенниэ метода решения задач математической фязикип.-Баку, изд.БУ,1991.-С.32-42.

2. Н.С.Ибрагимов Исследование решений граничной задачи для уравнения эллиптического типа третьего порядка на ограниченной плоской области с общими нелокальными граничными уолови-я!ди.-Деп.в АзНИШШ, 1994, ^199-^3.-50 С,

3. Н.С.Ибрагимов Исследование реиеш.граничной задачи для : ур .внения аллиптическо^'о тша третьего порядка о нелокальными граничными условилми.-Тозиси докл.научной конф.асппран,педагогических ЕУОоГ) Азерб.Республики, Баку,1994.

ИКРАЫIV.ОБ НАТИГ СбЬРАБ ОШ .

■ МаЬдуд мустэен осшастда Еитсадзетэяли.1я учун умуми хатти сврЬэд шэртлл сарЬад масалалори-нии Ьэлллнан идгиги

ДпсоартаслМ иши маЕлуд ыустэвя областда Битса';зетэшшди из учунчу тартиб едзиштвк тип та:ш!к учун уыуми хатти сарЬад шартли сарцад ыэсзлэлэринин Ьэллипан тадгигша Ьэср олуш /вдур, Ищда бахылан насалашш Ьалля сэрЬэд шэртларишш певуид ш асилы слка-^араг иквнчи Грин дустуру ила ахтарилар. Ьалл уч".н муэЦэн зару-ри ¡партлар асбат олушлуш вэ Ьаиаи иартлар регул; ярлаадырылши -дыр. Алынан регул.1ар ыуиасибатлэр вэ сарЬад шартлари дахялында бахалан масэлэлэрин ФредЪолмлуру исбат олуныуз ^ур.

IBRAHIMOV NATIG SOHRAG ogly

The research of the boundary-value problems solutions -for «it^adzfi's equation in the bounded plane do -main with the» gr?ne»ral linear boundary conditions

The thp^iis dedicated to t.tio re^esrch of boundary-value problem's solutions for Bitrad22*3 equatin and elliptic -v/pe equation of the third order. In th« worl: the solution of the regarded problems is sea*" -ding in tha unique form that dictated by the Green's second formula, independently of the form of the boundary conditions. Same necessary conditions proved and _ regularized. By using the obtained regular relations and corresponding boundary conditions it is proved the Frodholm property of the considered problers.