Исследование решений многоточечных краевых задач численно-аналитическим методом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

о

Г}

ю

¿х

—,— г>

I

Нашональна Академ1я наук Укра'ши

5 петиту т математихи

На правах рукопису

САВ1НА Тетяна Валентишвна

Ц0СЛ1ДЖЕННЯ РОЗВ'ЯЗКЮ БАГАТОТОЧКОВИХ .. КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ЧИСЕЛЬНО-АНАЛГГИЧНИМ МЕТОДОМ

01.01.02 - диференшалыи р1вняння

АВТОРЕФЕРАТ дисерташ? на эдобуття наукового ступеня кандидата ф1зисо-математичиих наук

Кит - 1995

Дисерташао е рукопис.

Робота вжонана у В1дд«л1 звичайних диференшальних рйвнянь 1нституту математики Национально? Академп наук Укра«ни

Науковий кершник : доктор ф1зихо-матемзтичних наук ГОНТОМ.Й.

Офш)йж опоненти: доктор ф1з1«о-математичних наук, грофесор

ТЕплшськийю.а

кандидат ф]зико-математичних наук, доиент ОРДИНСЬКА З.П.

Прош'дна устинова : Кшвський державний ужверситет ¡м. Т.Г. Шевченха

Захист »¡лбудеться _ 1995 року о

ГОЛШ11

га зааданж спешалгэовано! ради Д 01.66.02 при 1нститут1 телематики , НАН УкраУии за адресою:

252601, Юна, 4, МСП, вул. Те[»еи1енк1вс1*а, 3

3 дисерташао можиа ознайомитись в б|блютеш 1нституту. Автореферат роз!слано _ 1995 а

Вчений секретар спешал1Ювано1 ради с '-^А' Ч " '""^..ДУЧКА А Ю.

ЗЛГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

ДктУ71ЛЫ'|Ст>> теми . Теория крайових задач для звичяйних дифе-ренщалышх р1вняш> I на сьогодншшш день е роздЬюм як1сно1 теорм дифе-ренцнпльних р'юнянь 1 приклпдпо! математики, якнй дуже штенсивно розви-ваеться. Це зумомено, з одного.боку, необхадт'стю розв'язання шлого ряду теоретичних питань , з другого - загштами практики. Достатньо полно вивчеш ркпп методи, дозволяють досл'цжунати питания ¡снування I единосп розп'язив , а такох ошнювати похибки .

Щ питания широко розглздаються п роботах М.О. Красносельського, Ю.О. Мигропольського, Г.М. Вайи1кко, А.М.Самойленка, М.О. Перестюка,

B.П.Максимова, МЛ.Наймарка, М.В. Азбелева, ДЛ.Мартинюка, 1.Т.Югурадзе, А.1. Перова, 10.0.Рябова, М. 1.Шк!ля , О.А.Бойчука ,

C.О.Гребешкова та в роботах шших авторов.

Т'^ор1я крайових задач для доСндження розв'язмв використовуе так1 методи як аш-штичш , функцтналыю-аналкичш , чиселып та чисельно -аиялггичш. Чисельно- аншптичш методи вдеякомусмион еушверсалышми - 1х застосовують як для дослщження ¡снування розв'язмв, так ¡для Тх практично! побудови. Серед сучасних засоб1в вивчення нелшшних крайових задач дослть великого пошнрення набув чисельно - анал!тичнин метод посл!довних наближень , розшшутпй для звичайннх диференц!алышх р(внянь А.хМ. Самойленком.

Доол'|дженням застосування 1 умовзб1жност1 чисельно аналтншого методу посупдопних наближень для перюдичних систем звичайних днфе-решйалышх р!внянь , для крайових задач , систем не розв'язаинх шдносно пох'|дно!, злтенних систем , ¡нтегро - диференщальннх ршнянь, звичайних диференЫагсышх р!внянь з ¡мпульсною дгао , систем р1внянь з частиннимн пох1дним11 займалося багато автор1в .Ш пнтання розглянут! в працях А.М.Самойленка, М.Й.Ронто , В.А.Ронто.Т.Г.Стрижак , ДЛ.Мартинюка , Б.Г1.Ткача , М.О.Перестюка, Х.Опездурдисва, Ю.Д.Шлапака, СЛ.Тро-фимчука , О.П.Трофимчук.

Але , незважаючи на доситъ велику кшьккть робгг , присвячених чисельно - аналтншому методу розв'язку крайових задач для звичайних ди-ферешиалышх ршиянь, пнтання ¡снування та побудови розв'язюв крайових задал для систем диферешнальних ршнянь з багатоточковимн крайовимн умозамирозглянут! непповшй м1ри Тому серед нерозп'язаннх питань теори крайових задач для зазначених систем звичайних диферешнальних р|'вняиь вазклиие м'1сце займае проблема пошнрення I подальшого розпитку ефекпт-ннх I практично зручних для реал1зацц нет<ъдо, пкимп иоло;ис зараз теория

крайових задач .

MfiiiL-jißÖQiE_- узагальнення чисельно - анал!тичного методу

послщовннх наблнкень для досладження розв'язкш систем нелшшних дифе-реишальних ртнянь нормального вигляду, i не розв'язаних вщносно -шхщио\'першого порядку у випадкутриточкових ¡багатоточкових крайових

на розробленому A.M. Самойленком п!дхол1 до дослщхссння розв'язк!в диференщальних р!внянь за допомогою чисельно - аналтмного методу послщовних наближень.

- обгрунтовано чисельно - акалггнчиий метод посл!довних наблнжень для систем нелшшних диференц!алышх pieiwiib першого порядку нормального вигляду з триточковими та багатоточковимн крайовими умовами;

- розвинеио метод побудови посл!довних наближень для систем нелшшних диференщальних picusiib, частково розв'язаних в!дносно noxiflnol у випадку триточкових крайових умов;

- одержан! умови розв'язуваност! визначальних р/внянь, достатш уыо-ви ¡снування розв'язк!в, необхщш умови розв'язуваност! крайово! задачка також оцшено похибку наближеного розв'язку i його початкового значения.

Тепретичкя тл практична тни1сть лисертят) полягае В тому, ЩО одержан! результати у загальнюють i доповнюють шдповщш досл!дження в теорП крайових задач.

Запрононоваш алгоритм» мозкуть бути внкористак! при розв'язуванн! ряду задач ф!зики, техшки, як! зводяться до нел!шйних крайових задач.

Апробап!« робот». OchobhI результата дисертацШноТ робота до-

повшалися на сем ¡пар! ввддму звичайних диференц!альиих ршнянь ' 1нституту математики НАНУкраТни (кер1вниксем!нару член - кореспондент HAH Украши A.M. Самойленко ) , на семшарах В1дщлу математично! фиики та теори нелшйних коливань Ькггитуту математики HAH УкраТни (itepißHiiK семинару академж Ю.О. Митропольський) на школах - семинарах :" Нелшшш задач1 математично! ф!зики та Ix застосування " (5 -12 жовтня 1992 року, будинок творчосп вчених, с.Кацивел!, Крнм), на конференцН молодих математиков Кшвського ун!верситету iM. Тараса Шевченка , на се Min a pi кафедри ¡нтегральних i диференц!альиих ршнянь Кшвського Нпцюнального ушверситету im. Тараса Шевченка (кер!вники проф-ecop A.M. Самойленко, професор М.О. Перестюк).

Пуйлмсдп». По тем! дисертаци опубл! ковано 5 poöiT, список якнх наведено в KiHui автореферату. Результат роб'п [2 , 4} отримаш в npoueci сп1льноТ прац!, при ршному вклад! cniuaBtopiB ! в pieiiift Mipi належать кож-

ному сшвавтору;Тх не можна розглядатн як механ!чне об'еднання окрсмих тверджень, що належали б кожному з сшвазтор!в окремо.

Об'ем та структура робот» . Дисертацдя складастьса ¡з встуиу , грыж глав , висновку та списку цнтованоУ ^¡тератури ,якнй ьистить 119 наимсну-вань. Загальний обсяг роботи - //£сторпюк машинописного тексту .

ЗМГСТ РОБОТИ

У встуги обгрунтоиуеться актуа.пьшстьтеми дисертацк, формулюетьл мета дослдасень, коротко атиизуютьса оснотп праги , що тдносэт ьсч до теми дисертаци , 1 наводиться осноми одержан! результат«.

В першш глав!" Чисельно - анплггичиий метод для три гочкових край-ових задач ", до яко{ входять §§ ¡-б.узагальнюеться пошмрюсться чисельно - анал!ткчний метод послщовних наближень иа доелущенпя нелпшпю'' систе .ми звичайних диференцдальннх р1внянь першого порядку вигляду

х - /{их), ( 1 )

яка п1дпорядкована триточковим крайовим умовам вигляду

Ах{0) + Л + Сх{Т) = < 2)

де х »й - точки п - вим!рного евклщового простору /? ,А, Л,, С - стал) розм1рчосп ( п х п) матриц!, як! задовольняють умову

+ ТС)*0 .

Права частина ]((, х) р1внянна ( 1) визначена I неперерзш» в облает!

Д<,х): [0,Г]х А (3)

де И - замкпена , обмежена область £.

В облает! ( 3 ) фунхшя /( /, л) зядовольняе умоау оомежиносп ректором де >/,>0,1умову Л!пшица з матрицею

К «={ДГ , й (.!, -•- .....

1Д/,л)1 5 А/, 1ДГ.Х') - Л'.х")1 < К\ г' - Л-" 1. ! .•) • де I Лих) I «(■/,(/,*)!, !/,(их) I ..... !/,(/,.*) Г.

для вс1х I £ [0,Т] ,х,х' ,х" € О, 1 нертносп м1ж векторами розукнються покомпонентно.

Кр{м цього:

1 ) множина точок .<6£ , яка належить облает! О разом з1 сво!м Р - околом, не порожня:

£>,*0, (5) •

де Р = |л* + /?,(*). /»,(*) - 1Я У - (Л+Л.+ОД1

Г

2 ) найб1лыпе власне значения матриц! ()=-^[К+С!\ ,де

0=0,^, менше за одиницю:

Д(С) < 1 •. (6)

В § 1 формулюються деяк! допом!жн! твердження , як| будуть необх!дк1 для подальших досл!джень.

Побудовано лосл1довм1сть функцШ «„(Л*,), яка задоволыше крайов! умови (2) при дов1льному значенн! параметра х06 0(

4 /О

г ''

4 ~Н{(! - (А + .4, + С)х0 - Л,/ У (»,*.;, (1,х,)) - (7)

Маг. м!сце наступив твердженнн.

Теорему Ь Не хай права частика системи (1) пизиачена, иеперервна в облает! (3)1, кр1м того, вмконан! умови (4) - (6) .

Тод! посл!довшсть функцШ *,(<,х0) вигляду ( 7 ) , як1 задовольншоть крайов! умови ( 2 ) , р'шномфно зб1гасться при т—в1дносно области (1,ха) G 10,Т) X до гранично! функцП х'(1,ха). При цьому функшя ¥(1,хс), яка при С» 0 проходить через точку х'(0,.*0)=.г0, с рояв'язком 1нтегрального р)вняния

б I Ь

+ ~ Н\<1~{А+А+С)х6 - Л,/ [Д?,х(?,*с)) - £

1 *"(<,*„) задовольняе крайов! умови (2) , то&го е розв'язхом збурено! крййовоГ задач}

1 1 1г Д (.*4)* - М -М, +С)хГЛ^ 1Ю<*Ч-\)) - 4 -

--(/('.*•(',*„)¥'. (8)

Дляв'дхидепня *'('••*») В'Д *,('•*<>)< ПРПвс!х глв 1,2.....справедлива

оц!ика

Щ«.*,)-*.^.*»)» Й (9)

В § 2 доведено , що функция дс-((,х0), як граница послщовност! (7), с розв'язком вих!дно1 крайово! задач! (1), (2 ) тод! 1 т!лькн тод!, коли .т0 € е нулем визначальноТ функцН вигляду (8) . Знайдено анал!тичний вираз керуючого параметра ц 1 встановлено йога сдишсть.Вивчаеться спещальна задача управления, яка дозволяв побудувати збурене по вщношенню до (1) р1вняння .для якого розв'язокдеяко! задач! Кош! буде б тон же час розв'язком побудованого р!вняння.

Наведено алгоритм побудови наближеного розв'язку системи (1) при крайових умовах <2).

В результат! того, що на практиц! часто в!домет!льки наближене значения гранично! функцН в §3 вводиться у розгляд наближена визначальна функция

1 '' 1г

- (10)

Встановлено достатш умови ¡снуванвя розв'язк!в крайово! задач! (1),( 2 ).

Теорема 2. Нехяй виконуються вс! припущення теореми 1,1 кр!м того: 1 ) ¡снуе випукла , замкнена область £>, С Облака , що для деякого | фксованого тъ 1 наближене визначальне ршняния (10) мае в Д единий розв'язок ненульового 1ндексу;

, 2) на границ! обласп виконано умову

М «Д>0)1 > {§+К\0-{Е-(2!УЩхл).

Тод! край она задача (1), (2) мае розв' язок х «*•(<) з початковнм значениям х"(0)=х", яке визначаеться таким значениям х0 ■ х;, яке належить

о,.

В § 4 одержан! необхццн умови розв'озувакост! внх!дно! крайово! задач! ( 1 ), ( 2 ) , тобто умови , неоох!дш для того, хцоб деяка пщобласть

Da С Df мктила б у соб) точку яка в свою чергу при Р*0 пизначае почат-кове значения x'(0)=>x¡ точного розв'язку х"(() розглянутоТ крайово! задач!. Наведено чисельиий алгоритм наближеного вибору початково! точки розв'язку.

Взаемозв'язок mí ж розв'язуван^стю наближеного i точного визначаль-них р1внянь Д(д?в)—0,А<1(х,)=0, яю задан! за допомогою вектор функц!й (8) 1(10) в!дпов1дно, розглянуто в § 5. ЗнаЙдено умови, при яких з розв'язу-ваност! точного визначального р1вняяня випливае розв 'язувашсть наближеного визначального р1вняння. Одержан! умови ,як! забезнечуютъ кнування розв'язк1в наближеного визначального р!вкяшш.

В § бгеоретичн! результата ¡люструються конкретним прикладом. ЗнаЙдено нульове наближення до точного початкового значения юукант а розп-язку. Побудован! в анал!тичному вигляд! наближення

*,('.*«)=(*, ).*„('.-<„))•

У друНй глав! " Досл!дження розв'язк!в задач! з багатоточковими крайовими умовами " вивчаегься крайова задача для нормально! системи дифереиц!альних piBHflHb (1) з багатоточковими крайовими умовами вигля-ДУ '

+ (И)

t * t

де х, /, d - точки л - вим!рного евкл!дового простору

/=*0,1.....р+1)- стал! матриц! розм!рност!( п х п ), причому так!, шо

dctE^ + L^o, f,e[o,n. t • t

Припускаеться, що права частяна/^.х,) р!вняння (1) задовольняеумопу (4 ), i kp¡m того виконуготься так1 додатков! умови:

I) множима точок.тб яка нллежить облает! D разом Iicboím р-око лом, не порожня

Df 0, (12)

де

Р(х) = |м+ /?,(*), /3,(*) - t W (d - 2 А, х) I + G, М,

% + • (ЯДI 0,(0;

JP r

2)eci власн! числа A(Q) матриц! (K+(7), де 0=2 1//Д \К

Z f-i

м!стяться в круз! з рад!усом 1:

А«2)<1. (13).

В 8 7 встановлено piBHOMipny зб!жн(сгь посл!довних наближень вигляду

О it

(14)

+ ТяИ-?/Л " ¿,А { [/('-•*.-,('-*„)) - .

як! задовольняють крайов! уыови (11), до гранично! функц11 x*(f,x0). Доведено, то функц!я y(f,xt) е в той же час розв'язком I збу рено! край-ово1 задач!

¿»Д<.*)+Д(*,).

де

У

и*{их0))<н. (15).

.1

Знайденооц!нкув1дхилення точного розв'язку .*'(/,.*<,) в1д його ш-гона-ближення хДЛдс,,) длявс1хт»1,2,... вигляду ( 9 ) .

В § 8 детально розглядаеться звя'зок М1ж розв'язуванктю вих!дно! край- • ово1 задач1 (1), (11) та кнуванням нул!в визначально! вектор - функцИ Д(х ) вигляду ( 15) . Наступив тверджекня формулюе необхщш 1 достатп! умовн того, щоб гранична функшя послщовност! (14) була розв'язком задач! (1),(11).

Теорема Якщо права частина Г(1,х) системи (1) визначена 1 неперер-вна в облает! (3), I виконуються умов» (4), (12), (13), то для того, щоб розв'язок х=х"(<) р!вняння (1), х(0)=х,, був 1 розв'язком вих!дио! задач! (1 ),(11 ), необх!дно ! достатньо , щоб визначальна функщяД(х0) вигляду (15) в точц! хнх, перетворювалася в нуль Д(хо)=0.

Кр1м того , в цьому внпадку х*(/)=*"(/,х,), I для в!дхиления х~(/) в!д на-ближеного розв'язку хо) вигляду (14) викоиуеться

В яаступному параграф! обгрунтовуютьса необх!дш 1 достатп! умови !снування розв'язку крайово! задач! (1),(11) , як! базуються на вивченн! властивостей точно! визначально! функцН Д(х0) вигляду (15) танаближеио! Д„(х0) - вигляду

В § 10 вивчаються умови, при яких э розв'язуваиост! точного випливас

розв'язуваи!сть наближеного визначального р1вняння. Оцшен! похибки об-численна початкового значения розв'язмв.

Приклад , що розглядаеться в осганньому параграф! друго1 глави, наглядно шюструе розроблену методу в!дшукания розв'язк!в задач! з багато-точковими крайовими умовами. Для конкретно! системи piunniib побудова-но два перш! наближеиня в анал!тичному вигляд!, та чисельно знайдено по-чаткове значения.

В третШ глав! "Триточкова крайова задача для системи р!внянь першого порядку, не розв'язано! в!дносно лохщноТ и обгрунтовано чисельно -аналЬичннй метод посл!довних наближень для доел¡дження розв'язк!в край-ових задач для диференц1альних р1знянь , частково розв'язаних в!дносно пох!дних

' ¿=Д <,*,*) (16)

' з крайовими умовами вигляду (2).

Припускаеться , що в деях!й облает! (/,*,*) G [0,71 xDtx йг , де Dt i Dt - замкнем! ! обмежен! облает!1з £,, визначена 1 пеперервна функц!я f(t,x,x) ,а також виконуються умови:

I ISA/, I ftt<x\x') -A,l,x"J") \ « I + KJx'-x" I

(17)

де

л/=(А#|,м|,...,л/<), м, > о, Kt" a o.ij « i,2j;

2) множина Df точок * € Et, як! належать облаем! D, разом !а своТм р - околом, непорожня :

D,*<3 , (18)

де

/?<*) - р,(х) = \H\d - (Л+Л+С)*] I + О.аД) М,

Ht-i^A^Cy, G,»WA, I .

/у

а » (а,,аг,...,ащ), Ь"» (¿>1,А1,...,А<1), тобто деяка множина £>г, яка утворена околом у^гЛУ+^/д:) нульового вектора простору Ет, лежить в обласп

(19)

3) власи! значения Д(2а) матриц!

елол

менш! за одиницю А(С0)<1, (20)

В § 12 при таких припущеннях побудовано поел!довн!сть неперервних функц!й хт(1,х0) вигляду

1'

+ (21)

як! задовольняють крайов! умов« (2) . Ця лосл.1дови)сть р]вном1рно зб!гаеться до точного розв'язкузадач! (16), (2) х"{1,лс) при дгвкому з.чачсян! параметра

В цьому ж параграф1 доведено , що гранич!Ш функц!я посл1довносг1 (21) задовольняе крайов! умови ( 2 ), тобто е розэ'ялхо« збурено! крайово! задач!

Л^+Лл^+С-^Г)«*/,

де збурення

Д(дг,) - {й-(А+А+С)хс -Л,}

Т

Для в!дхилення взд ■*„(/„*,) 1 •*"('<*„) *.('-•*») Длфси<

тш 1, 2,... одержат оц/гпся:

де

ТМ 2

2 И

В иаступиому параграф) досл1джустъся зв'язок питания розв'язуваносп задача (16), (2) з ¡снуванням нул!в визначально! функцП вигляду {22). Зиайдено аналкичний виглад керуючого параметра ц :

ц - - //|</-(Л+-Л,+С)х„ - А/ [/(/„*•('.*„).*■('.*„)) -

який дае можливкть видозмжити праву частику вихщного дифе-ренц!ального ртняння < 16) таким чипом, що розв'язок р1вняння з параметром в правш часгяш виду

який при М) проходить через визначену точку, одночасно буде задо-вольняти крайов! умов и (2).

В § 14 одержат достатн! умови розв'язуваност! крайово! задач! (16), (2), ак1 базуються на пластивостях послвдовиих иаближеиь хи(Ьх0).

Сформульованр лему, в яхЩ оаднюеться близьк!сть граничних функщй *"(''*«') • *■(<-*»") дляточок хл\ ж," е £>,. Доведено теорему про не-перервиу залежн!сть визначально! вектор - функш! А(*0) вигляду (22) в!д V

Проанал!зовано необхщн! умови розв'язуваиосп крайово!

задач! (16), (2) .

Теорема 4 . Пехай крайова задача (16) задовольняе умови (17) -(20). Тод1 для того, щоб деяка область Д, С О, м!стила в сои! точку , яка при 1=0 визначала б початкове значения *•(())«= розв'язку крайово?

задач! (16), (2), необидно, щоб для вс!х т ! дня довольного <= вико-нувалась нер!вн!сгь

+ + КД)К) } +

де

Qm) Q«)

<7"> <?">

1люстрагив1шц приклад, що розгладаеться в § 15, показуе застосування вище викладених теоретичних положень.

Основ»! результата днсертацп опубликован! в наступних роботах:

1. Савина Т.В. Об одном методе исследования решений трёхточечных краевых задач 11 Аналитические методы исследования нелинейных дифференциальных систем. -Киев: Ин - т математики АН Украины, 1992. - С.88-94.

2.Ронто Н.Н., Савина Т.В. Метод последовательных приближений для многоточечных краевых задач 11 Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения . - Киев : Ин-т математики АН Украины , 1993.-с. 115-119.

3. CaeiftaT.B. Триточкова крайова задача для системи р!внянь першого порядку, не розв'язано? в!дносно похадно! II Конструктивш ,методи досл!дження днференщальннх ршнянь. - КиГв: 1н-т математики АН Ук-раТни , 1993. - С. 166- 173.

4-Ронто Н.И., Савина Т.В. Численно - аналитический метод для трехточечных краевых задач 11 Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 4. -С. 393 -403 .

5.Савша Т.В. Доондження розв'языв задач! з багатоточковимикрайовн-миумовамиН Доп. АН УкраГни.-1994.-N 11. - С.14-18.

Савина Т.В.

Исследование решений многоточечных краевых задач численно - аналитическим методом. Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физкко - математических наук по специальности 01.01.02 -диффе-ренциачьные уравнения. Институт математики НАН Украшш,Киев,1995.

Предлагается обоснование численно - аналитического метода последовательных приближений для исследования и приближённого построения решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в случае трехточечных и общего вида линейных многоточечных краевых условий.Исследованы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений частично разрешённой относительно производной, которая подчинена трёхточечным краевым условиям.

Savina T.V.

Investigation of solutions of multipoint boundary value problems by a numerically - analytic method.Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02- Differential Equations. Institute of Mathematics, National Academy of sciences of Ukraine, Kiev, 1995.

We give a justification of numerically -analytic method of consequent approximations for investigation and construction of an approximate solution of a system of nonlinear differential equations in case of three - point boundary value condition as well as those of the general form. We investigate solutions of a system of nonlinear differential equations that is partially solved with respect to derivative that satisfy a three - point boundary value conditions.

IGn040Bi слова : чисельно - аналИгичиий метод поЫдовннх наближень, крпйош умови , крайова задача, керуючий параметр, збурена крайова задача, наближене визначальне ршняння, тгочне визначальнг р!вняння.