Исследование решений нелинейных краевых задач с помощью метода колокации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Аквдем1я наук УкраТни 1нститут математики

На правах рукопису

путят1на Тетяна В1ктор1вна

доаидшш розв'яйкгв ншниших крашвюс

задач за допоюгою методу колокацп

01.01.02 - диферэнц1альн1 р!вняння

Автореферат дисвртац!! на здобугтя наукового стуттеня кандидата ф1зкяо-мзт9матичних наук

КШв - Г993

Робота' внконаян у в 1ддш звотейних диференц1альюа р!внянь Тнституту математики АН Укра1нп.

Науковий кер1в1Шс - доктор ф1зяко-магематичнюг наук РОНГО М.й. 'тфШЙн! опоненти - доктор ф!зико-м& геыатичних науг'.

Прой1даа установа - 1нститут геоф1зики АН Укра1ни

Валют в1дсудвться " 199-р року

йа 9йо1данн1 спвц1ал1вовано1 ради Д 016.50.02 при 1нститут1 математики Л" Укра!ни 58 адресов: 262601 Ки1в - 4, ГСП, вул. Терещенко ■ пьед, 3.

3 дисертац}ею ножна оэнвйомитися в б1бл1от9ц! 1нотитуту.

профееор ПЕРВСТЮК М.О., кандидат ф1зико-матекат1гтих наук иодашець в.г.

Автореферат роэ1олвний

Вченпй секретар 1:пец18.п1зоввно1 ради

лучка а.ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актувльн1сть теки, Теор1я крайовкх задач для ввичайних дафа-рзщ1альнк1 р1внкиь стала за останн! роки одвим з роздШв як1а-со! теорП дйфер9нц1алыпа р!внянь, що найб!лыа 1нтеясивно роз-визаеться. Такий 1нгврвс дооя1дник1в до ц!е! га луз! викликаний, а одного боку, потребами практики, ян! винагаоть базпосеродаього вквчешм крайсшпх задач для нелШйшя дифэрвщ1алышх ¿1внянь, 8 другого боку - вишклима тэоретичними проблемами, як 1 торкають-сяякдосл1дквння Юнування, единист!, нвпврврвно!залежност! роз-в *явк1в в! ддвних вадач!, так 1 створвння вфектнвних метод!в 1х виаходкетя.

Ц1 питания рсзглядввтьоя в робота* О.М.Ляпунова, О.Н.Верн-атййнаг, Г.Д.Б1ркгофа, В.Л.Буницького, Д.Джэхсона, Г.А.&л1сса, Р.е.Лангера, Ч.Кактэ, В.А.Отеклова, М.В.Келдша, М.О.Нрасносальськс го, МЛ.НаСшрк'1, АЛ.Пвровз, М.Хукухари, А.А.Бойчука, М.О.Пэрвсто-ка Т!, 1п.

Для досл1дж8Ш1я розв'язк!в крайоЕих вадач викорястовуються так! мзтодн, як анйл^гичн!, Функц1онально-анал1тк'ш!, чи'-нльп! та чи-сэлько-аяал1тичн4. Серзд сучасша засоб!в вивчення нэл1н1йшх кр"й-ових задач досить великого повторения кабули так1, як чисвлъно-анал!~ тнчняй метод посд1довшх каблккэнь» розвинутий для звичайних дкфо -ропщзлыптх р!вяянь А.М.Оёмойлэйком, 1 метод колокяЩ., запропоно-

ййюШ для розв'язку граничнях йядач даферэнц1мьнлх р1внянь

\

1. В. Канторов!гчем.

№«тптгня яостосупеипя 1 досл1джвянп умоп ябГаюст! метода

колокацН для диференц1алыта р1внянь у вкладку, коли вааовими функц1ями е влгебра5чн! многочлвни, Оули розглянут! в роботах ' Е.Б.КврШловсько! , Г.М.ВайнЬшо, М.Ф.Кагашицыю! i А.Ю,Л|Гчки, А.А.Шйвдлера, М.И.Гонто» О.Киа та !н.

В роботах А.М.Оамойлвнкв î И.И.Роито обгрунтовуеться метод колокацН для звичйних дифервнц1влиши р1внянь у випадку, коли базовыми функц1ями е тригономатричнî" многочлвни.

На сучасномуетап! широко розвяваетьоя теория диференц!-альвнх р1внянь в !мпульояою д!ею. Одержан! результат описан! в в роботе А.М.СамоЙленка, M.O.Îfepe стока, М.Лвв!, СЛ Троф!мчука.

Незважапчи на валику к!льк!сть роб!т, присвячених методу колокац! ! розв ' язку крайових вадач для звичайних ди$ервнц!аль-них р!внянь, питания Юнування та вб!*ност! ^osb'askIb крайових задач для нвл!н1йних систем дифереяЩалыда р!вяянь вивчен! не в досттгн1й Mtpt. № отосуеться, еокрема, систем р!внянь, чаот-ково розв'язаних в!дноснопох!дних. Тому серед нврозв'язених пи-тань теорЛ крайових задач для аазначэних систем важливв мЮце займае проблема позшрвння ! подалъиого розвитку ефективяих та практично зручних для реал!зац!1 метод!в, якнми розпоряджаеться на цей чао теор1я крайових задач.

Мета робота - обгрунтування можливост! заотосування методу колокац!! для наблихено! побудови 1 досл!джвння Юнування розв'яз-к!в яелШйних крайових вадач для р!внянь стандартного виду ! диференЩальних р!внянь, частково розв'язаних в!даосно пох!дних у випадку загалъного виду крайових умов»

Метода досл!дження бвзуються fia розробленому i обгрунтова-ному Г.М.Вайн!кко та М.И.Ронто п!дход! до досл!дасення розв'язк1в систем дифервнц!а.т.них р!внянъ за допомогою метод?в алгебраТчно! t

2

григонамагрЕгао! колокац!!.

Каукова новизна результат 1в днсертацШю! робота полягае в в наотупному:

- обгрунтовано метод алгвбра1чнс1 колокац!i для систем нвл!-нНйппс дафэрвнц1альних р!внянь нордольного виду а Ютегральними t багатоточковими крайовимн умовами;

- доведено 3<3ixHicib методу колокацИ для нел1нШш. р1внянь, не розв'язанях в i двоено noxtaou у випадку загального виг ляду Оагатоточкових i 1нтегральнвд крайових умов!

- на основ! наближенкх розв'язк1в, знайдених за методом колокацИ, установлен! умови 1снування точних розв'язк!в розглядува-них нелШйнях крайовях задач.

Практична 1 теоретична ц1вн!сть. Одержан! результата узагаль- * нюють те доповнготь в1Дпов!да1 досл!дквння з крайових задач. За-проюновая! алгоритма мохуть Сути викорястан! при розв'язуванн! ри ду вадач механ1ки, техн1ки, mi аводяться да нелМйних крайових задач.

АлробаЩя робота. Основа! результата дасертэцШю! роботи д<"'то в!дались на сем!нвр! в!дц1лу звичайних диференцШлышх р!внянь 1нс титуту математики AllУкра1ни ( кер!в1шкс0М1нару-чл.-кор. АН Ук-ра!пи А.М.Самойленко ), на школах-оем!нарах : "Розритг. динам1чн1 система * (17-20 вервекя 1991 року, Укгородський двркавний ун!верситет ), " Нел1н!йн! проблема дифе»рвнц1вльних. р!внянь 1 ма тематиччо! ф1яики - Друг* Боголюб 1вськ1 тетания "( 14 - 18 верес «я року, Тяституг мчтемвтаки АЙУкрэ1ни, Матвмгличнюй 1нсти тут fM. R, А .Птгк.П^ПУ ГАИ. М^темчтитйкй 1ЧОТйтуТ Ч OTT АН TofyptKto

тану, Таджицышй деряун!вероитет ),

ПуОлЬтц!!. Результата днсертаЦН опубл!коваи! в роботах С1 *

71.

" Структура робот;.. Днсертац!я складаетьоя !в вотупу, трьох глав, висновку те списку л!твратуря, який мостить 107 наймэяувань. Вагальни* овсяг робота - 108 сторЬюв.. '

3MICT РОВОТИ

У вступ! обгрунтовуеться актуальШотъ теми дисертацИ, фор-мулюеться мета робота, даеться короткий анал1з ооновних роб!т, як! стосуютьоя розглядуввного в дисертац!! методу колокацИ, 1 наводиться основа! одержан! результата.

В repolit глав!, вяходячи 8 припущэкня про !снування точних • розв'язк!в краЯових задач.Лцо досл!джуотьоя, для нелШйнях си-

стем р1вияяъ, досл!джуеться !онування розв'язку вианачалъних р!внянь, якt ва'дають наОлйхений розв ' язок за допояогою методу а.пгебра1чно! колокацИ. Також оц!нено шввдк!сть'зб!хност! наОли-*еного розв'язку до точного.

При обгрунтуванн! Можливост! застооувашя методу колокацП до бвгатоточново! крвйово! задач! i ведач! з 1ятегральняма край-овшя умовами ЮТотно викоримонуеться поняття функцН Гр!на для однор1даих крайових задач. 1снувшйш ц!е! функц!! встановлюеться » § 1 для лШЯно! одгор! дно! крайово!. задач! э !нтегральяими крайовши умовами

н

<Ш&\ = А(г>2 , 1 € [а'.Ы , ^ , (1) *

АЕ(а) ♦ 8х(Ь) + |в(а)з(з)<1з - 0 е Т € (а,Ы (2)

а

Д8 Ж = (X,.....Зп) £ Еп , кЩ - (П « П)- ЕШ1рНЙ НЗПврЗрЕПЗ

пз {а,Ь]ыатр2цяг В(е) - (п « п) - шсйрна матргщя з нытерзрв-

шзга на {а,Ш коеф1ц1ептега$ А, В - дан! (п * п) - Вим1рн1 стал!

НЧТртЦ! 151(1, що

(Н»А + В+Во)!*0,В1с» |в (з)з!::аз , Те <а,Ы ,

к = О, 1 , ... , га + » .

Принускаши, с,о скотома (1), (2> в простор! 0{а,Ь] мае лише тряв1альниа розв'язок, будуеко в явному еигляд! Гр1кэ

для одггор1дно! систеш ()),(2) :

0(4,я)

)с-о (ВЭ{Ь)Ф (э) + нг(а}© (а))}. X е [а,в), '

-1 "-1 -1 -1 ©<ШФ (в) - о (В$<т (а) + нг(в)® (з)ч,.г е <в.ь],

да Н^а) = |в«;)Ф((;)<и , Пг(з) = |ви)Фа)<И , а Ф<Ъ) - нормпвэяв л а

пуч» « й ф^вамедгалыгя мчтрщя одаор*й«*п1 систем»

В § 8 розглядяёться оастосуиалня методу колокацИ для роз-в'явку снотвш нелШ&ш Н8одаор1дшга дг4аренц1вльшх рШшнь

бх/с» = , X € [а,Ы . (3)

при неоднор1даих крайовах уыоввх

т

Ах(а) + Вх(Ь) + |в(в)х(в)<1в = а , Т € (а,Ъ] , . (4)

а

П9 х = (,\хп) « ВП , права частила » (г^.х),...,

- вектор - фуякЩя 1з влечениями в Еп , виэначена та на-пэрервна по 1,7 для г € I б В с !и , И -эамкнвна обмахана

оачасть простору Еп | й = (¿1,,... .й^) - дэнмЧ сталий вектор.

Наблякений розв'язок крайово! задач! (3),(4) , знайдений пп ме:лрм алге0ра!чно1 нолокацП, мае вигляд

т+1

!();) пЛ- П~ [У (Аак + ВЪк)а.] -

т я ( *

Я1+1 0141 9

- П-'ЦГ В^ + ^ , (Б)

до Ок = (Ок1....., к =1,...,тИ , = А + В + В0) и О,

■г

- |"в(в)е^я , Т с <а,Ы , к - 0,1,/..,тй . «

ГСэШдом! коаф1ц!ентя ЕКзначаються а систешнелШйних

[ВНКНЬ

drm(tl)/<lt - f(t,Xm(t1>), 1 - О, 1, , в. (6)

Дня цього розв'язку вкко!1уеться така теорема, ТЕОРЕ.'Л 1.4. ТТршустшдо, ко: .

1. Крайова задача (3), (4) мае розв'язок ж0 = x°(t).

2. Функц!я f(t,x) 1 матрица £ <3f(t,x)/Sx | ='P(t,i) бизнз-чэя! та непэрэрвн! пря

t е [а,Ъ], Jx-x°|0 в, а > 0.

3. Система р!впянь в вар!ац!ях в!дносно розв'язку x°(t)

dx/dt » F(t,x°)x . пря однор!дких кралових умовах (4) мае лише трив!аль-нкй розв'язок.

■ 4. Матриц! A, D, 0(8) так!, ко dst( R*A + B + BQ)^0, т

да В0 = |в(е)сЗв, Т е (а,Ь1.

a

Тод1:

|. Моим вказати такэ d > О, ар в кул!

|dx/dt; - dx°/dt|2 4 а (7)

аЯсолптяо-неггэрпрвних на [a.b'l фуниц!Й K(t) рпчв'язок «poftoool падэч! x°tt) едитй.

2. При достатйьо велжих m ( m 7> в0 ) кэтод колошШ (6), (5) визначве в ¡7) едалий набдяхеваЯ розв'язок

хи = xm(t) виглпду (5).

3. Посл!довн!^ть шзблизвнь xm(l) р!вном!ряо, в dxp(t)/dt в матриц! Ьр[а,Ь] зсЯгаеться прн п-« , в!дяов!дно, до X°(t) î üx°(t)/4t, причоку

|!m(t) - ï°(t)|a « c1Eg<dJt°/at)ï (8)

f^ni(t)/dt - dx°(t)/dt|c < c2^{dx°/dt), (9)

B°(dx°/dt) = шах E°{dx°/dt), де E°(dx?/dt) - най-и j . _ m i . cii

1=1 i■.• tn

краше р!вном!рн0 вабдетюння фуннцН dx°/dt мяогочле- ■ ; вом ступвня не вищв за mj с, .сг - константи, як! нэ ва-ленать в!д т.

В Í 3 доведено аналог!чну теорему для еистеми дифер0нц!аль-

гпи р!внянь (3 ) при багатоточкових л!н!йних крайових умовах <>

V AjXCCj) » d, а • т0< t^.^x tq = Ъ, (10)

1=0 ■ '

дя А4, .1 = 0, 1, 2,..., q - дан! стал! (п « п> - вгол!рн! матриц! ч

тяк!< що det ( П » ^¡Г Al ) * ri ).

1*0 '

НаОлижениЯ розв'язок системи (3), (10) зяаходимо в такому вигляд!:

nvM US* t ;

x.m.rVi"^^^^, di)

k=1

^--Z VÍ, a=v V—<*„-b.

. 1=0

В § 4 обгрунтовуеться застосувзняя штоду алгебра !чш I коло-

иац11 для набликено! побудовя розв'язк!в система (3) у втядку

л1н!йиих багатоточкових крайових умов, як! м!стять означая!

!ятеграли

q т

]Г AjXtTj) + Гв(8)х(а)йз »i,f с (а,Ъ), 02)

1=0

да А±, 1 = 0, 1..... q - дан! стал! (п * п) - вим!рп! матриц! так!, до ' "

ч

det ( Н = £ + В0 ) * О, В0 » ÍD(s)x(a)ds , Т € (a.bj. 1=0

Такоя доводиться торт про 1сяуввння нэблияеного розв'я&лу крзйово!задач! (3), (12), для якого Одержана тяко зобрэженяя:

1Я+1 lt»1

m*-t ratl

да Вк = |в(а)ак14а, Т е (а,Ь1, к = О, 1,..., ш+1,

и,

Я

Лс = - £ а = V V"'« \ = ь-

Устаноавзеться р!вном!рна зб!жн!сть наближеного розв'язку (13) до точного розв'язку х° = х°(и € С[а,Ы крайово! задач! (3), (12) I и<эредньоквадратичнд з01кн!сть поол1доыюст!<1х ЛИ до (1х0/(1!, пркчому нвеодяться оцИш (8), (9).

. В § Б теореткчн! р&зультати 1люструються конкретними прикладами.

Як в!домо, вявчення та побудова розв'язк!в волШйнкх крайо-вих задач 1стотко звлвшть як в!д типу дифёрешЦвльних р!внянь, так 1 в!д виг/шду даних крайових умов. Ц1 питания в достатнМ м1-р! В113Ч9Н1 для дкфэренц1алышх р!внянь нормального вигляду, тод! як для систем р1внянь, частково розв'язаних в1дносно поХ1даюс, !снуе ряд особливостей.

Глава II присвячена обгрунтуванню одного з досить -ошракнх та ефэкггшних набликаних метод а сама - методу коло-кац!! стособно до крайових задач для диф0ренЩальнихр1Енянь, частково розв'язьнкх в!даосно пох!дюа.

В § б метод кологсац!! узагальнюеться па багатоточкон! краяо-в! задач! для частково розв'язанот систем р!внянь

(5хли = Ш.х.ахЛШ, 1 « [а.Ь]. (14)

пр?/ (ч + 1) - точковнх лШЯних крайових умовах (10), де х - (х,.....V с Еп, т.х.ллю =

йх/^) - вектор-функц!я 1з значениями в Е , визначена ! неперерв-на по г С (а.Ь), * е В, с Еп, йх/<11; е Юг с ед; - звмкнвн! ОФленэн! облает! Е .

П

Набливений розв'язок задач! (14), (10) знаходкмо у ви-гляд! (11). Для нього доводиться теорема про !сиування по "аналог!! з теоремою 1.4.

Установлена в деяк!Я облает! един!сть одврханого нвбллкоиого розв'язку (11) ! зб!ет1!сть його до точного розв'язку х° » € € С[а,Ь] крайово! задач! (14), (10) 1 одержан! оц!нхи (8), (Э).

В 5 7 знайдеио розв'язок крвЯово! задач! для система (14), який задовольняе багатоточкоа! крайов! умови (12). В1н мае ви-гляд (13).Для розв'язку (13) доведено теорему про !снування, а теяоя едш!сть в облает! з Еп 4 зб1яя1сть його до точного розв'язку х° = х°{%) е С1а,Ь] крайово! задач! (14), (12), 1 установлен! оц1нки похибки (8), (9).

В остенньому параграф! друго! глави наводяться деяк! приклада, як! !люструпть основн! теоретячн! трердг.вкня дано! глави

Глава III складаеться з трьох параграф!в. В 5 9 кетод колокац!! застосовуеться до розв'язування крайово! задач! для система дпференц1альниых р!внянь (14) у випадку, коля крайов! уме ей задан! у вигляд! л!н!йного функц!ояалу 1(5) = (3, х = x(t), t £ [а,Ь], а = !0< ^...с^ » Ь, (15) до х = <х,,...,х ) € В , 1(х) » (1,(х).....!„<*>>- л!н!йний

1 П П 1 «

фуЕКц1<жал; ¡1 = (¡1,.....йп) - дтШ стадий вектор.

Для найянженого розв'язку одержано таке зобраявння:

( «о*I

-I .

к*1 и««

да Ь0 - стала (п » п) - вин!рна (¿атр;щя, йег Ьс ? О.

Припустивши, цо !снуе точний розв'язок х°(1;) краЕово! задач! (14), м5). доведено теорему про !снувакня 1 едшйсть , наЗлюкэного розв'язку (16) в „_>кн1й ойяасЯ 1 оц1шйо в!дха--чккк каОга.явного розв'язку точного розв'язку х°Ш:

|хю - с^йх0/«),

... © 1%/й5 - <ь°мг|г < сгЕ°«зх°/йг). 1

В § Ю'установлюеться взаедозв'язокмй; 1сяувашшм набда-аешас. росв'язгЛв, одзрганпх ¿а методом. алгвбра!чноГ кодокацН, ! 1снуа81шям точного розз'взку крайово! задач!.

В1домэ, ео !з 1снувапяя точного розв'язку крайово! задач! - для систем! иод1п1йшос д^рэнц1альшх р!внянь вишмвае !сиуеагаш 13б!ш!стьиаб®!2внйхрозв'язк!в, одерзшнихвадопошгой методу алгебр® 1чно1 колокац!Ь В даиому параграф! доведено справ9дякв!сть обдряеного твврдаеннк для система р1шж1ь

<1х/<И » иг.х)» I € (а,Ъ), х € Ею, ройв'язок яко! вадовольняе 1фа§ов! умовя (2).

Справедлива таорзма. _ • •

ТЕОРИЙ 3.3. Нвхвй для даякого й !снуе иаблвимййй ро?й'(ь

Ш

вон хщ = xm(t) снстеми дафвренц1алыда р!внянь (3), який за довольна е крайову умову (2), знайдений за допомогою методу алгебра !чво! колоквц!! (б),(в). Пряпустямо« до!

1. Вектор -функцП f(t,X), fm(t,x). 8 тдкол матриц! ?(t,x>, Fm(t,x) внзначвн!, напорврвн! в двякому окол1 фуяяцИ *m(t)

'.*« 1в»ьь lx-*Jc<e«-

2. Сиртвва р!вяянь в вар!ац1ях

dx/flt » У (t,x )i m ш

при одиор1дгаа крайових умовах (2) мае лише нуль^ий розв'лзок.

3. Вяконуеться нвр!вн1бть

4. Для деяких в' > 0, в > 0, 0 < qm < 1 внкояуються

п га П1

HeplBHOCTi

вир t'(t-x) -

lX"Xm»C « 8т'

|d^(t)/dt - i(t,Xm(t))|2 1 -Ч, )/<,

I

О - | С \г. Чл -Тод! диф»ревд!альнв р!вняння иве в кул!

Ох/1х). г € (а.Ы, к « кп.

I* ' "¿г <

(V - (15

едини* рог ¡'яаок х°Ш гаки», ио

|хв(») - х°Ш| 1 - ч^).

да с1 - константа, яка не залежить в!д ш.

В 4 11 досл1дхуеться 1снувакня розв^язк!в сиотеш даферан-Щвльних р!вшшь

ах/« •= «(г,х>, г < {а.ы, х € в

е "

у випадку Оагатоточкових крайових умов (10). Формулюеться 1 доводиться теорема, аналог!чи а теорем! 3.3 | 10.

Осшвн! результата диоертац!! опубл!кован! в таких роботах:

1. Путятина Т. В. Сходимость метода коллокации для систем нелинейных уравнений с интегральными краевыми условиями//' Нелинейные проблема теории дифференциальных урявнеяий. - Клев? Кн т математики АН. Укрйинм, 199!. - С. ов-73»

Я. ПутятинаТ.В. Омвтодеколлокации для дифференциальных уравнений!, частично разрешенных относительно производных // Докл АН Украины. - 1992,- » 6.- С. 14-19.

3. Путятина Т.В. Об установлении существования решения нелинейной краевой вадачи методом коллокации// Аналитические методы исследования нелинейных дифференциальных систем. - Киев: Ин-т математики АН Укрвкны» 1992. - С. 72-78.

_ 4. РонтоН.Й.. ПутятинаТ.В. Применение метода коллокации к много' точечным краевым задаче« с интегральными краевыми условиями// Укр. мат. журя. - 1992.- 4, * 11.- С. 1548 - 1555.

б. Ронто Н.И., Путятина Т.В. Нахождение решений многоточечных краевых задач для дифференциальных уравнений, част ично разрешенных относительно производных// Докл. АН Украины.- 1992. - Я 10.-С 18.

6. Путлтана Т.В. Отыскание решений многоточечных краевых задач методом коллокации //Школа-семзшар "Разрывные динамические системы", Ужгород, 17-20 сент. 1991 г.: Тез. докл.- Киев: 0-во "Знание", 1991С. 51.

7. Путятина Т.В. Об отыскании решений краевых задач для дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных"// Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и мат.ма- • тической физики - Вторые Воголюбовские чтения, Душанбо, 14-18 сент. 1992 г.: Тез. докл.- Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992. -'126 с.