Исследование роли электрофизических и теплофизических характеристик жидкости на нелинейное волновое движение на поверхности заряженной струи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ
|
Воронина, Наталья Викторовна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ярославль
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.14
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ВОРОНИНА Наталья Викторовна
ИССЛЕДОВАНИЕ РОЛИ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ И ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЖИДКОСТИ НА НЕЛИНЕЙНОЕ ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАРЯЖЕННОЙ СТРУИ
01.04.14. -Теплофизика и теоретическая теплотехника
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Оиа ' ~
Москва - 2007
003158737
Работа выполнена в Ярославском государственном университете им П. Г. Демидова
Научный руководитель
доктор физико-математических наук, профессор Ширяева С.О
Официальные оппоненты-
доктор физико-математических наук, профессор Дадиванян А. К.
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Бычков В.Л
Ведущая организация-
Ярославский государственный технический университет.
Защита диссертации состоится «26» октября 2007 года в /5- часов на заседании диссертационного Совета Д 212 155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 107005, Москва, ул. Радио, дом 10a.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета
Автореферат разослан «Z9» сентября 2007 г.
Ученый секретарь
диссертационного Совета
доктор физ.-мат. наук, /7
профессор )[ --Богданов Д Л
Общая характеристика работы.
Актуальность темы. Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости и электродиспергирования при эмиссии поверхностью жидкости на нелинейной стадии реализации неустойчивости заряженных струек, распадающихся на отдельные капли, представляет значительный интерес, поскольку эти явления лежат в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, являются неотъемлемой частью многих технологических и геофизических процессов В частности это относится к ионным коллоидным реактивным двигателям, к распиливанию топлив и лакокрасочных материалов; к получению интенсивных ионных пучков в жидкометаллических источниках ионов; в жидкостной масспектрометрии, к устройствам электроструйной печати, к получению ультрадисперсных порошков тугоплавких металлов и тп В связи со сказанным, этот физический объект неоднократно изучался как экспериментально, так и теоретически в линейной и нелинейной постановках. И все таки некоторые вопросы, связанные с устойчивостью струй до сих пор непонятны. Сказанное, в частности, относится к спонтанному дроблению струй, реализующемуся при неконтролируемых начальных и граничных условиях. Несмотря на большое количество экспериментально наблюдаемых режимов спонтанного электродиспергирования жидкости, теоретическое осмысление этого факта пока не выходит за рамки простой классификации Одним из факторов, способствующих умножению реализующихся режимов электродиспергирования жидкости, является отличие формы струй, выбрасываемых неустойчивой поверхностью жидкости, от цилиндрической Поверхностная плотность заряда на такой струе уже не будет однородной, а влияние вязкости жидкости на устойчивость по отношению к дроблению на капли будет различным на участках, с различающимися поперечными размерами Влияние отличия формы спонтанно распадающихся струй от цилиндрической на закономерности реализации их неустойчивости и последующего электростатического распада в теоретическом отношении до сих пор никем не исследовано Особенно важным вопросом является теоретическое изучение влияния релаксационных эффектов на закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности струи жидкости Попытки исследования данного феномена предпринимались неоднократно Однако в большинстве работ уравнение баланса заряда на поверхности струи выписывалось неверно - на основе механического переноса уравнения баланса вещества, выписанного для плоской поверхности, на цилиндрическую поверхность невозмущенной струи В итоге пропадало слагаемое, связанное со средней кривизной поверхности струи Неосесимметричное волновое движение на поверхности заряженной струи жидкости до настоящего времени теоретически была корректно исследована только на уровне решения линейных (для случая идеально проводящей жидкости - квадратичной) по амплитуде отклонения формы поверхности от равновесной задач Экспериментальные исследования электродиспергирования струй жидкости с заряженной поверхности свидетельствуют о возможности возбуждения неосесимметричных мод заряженных струй, но в теоретическом отношении этот вопрос исследован пока не достаточно полно, несмотря на то, что реализация неустойчивости именно этих мод в сущест-
венной степени ответственна как за хлыстообразное движение струй, так и за полидисперсный характер их распада на капли Многообразие наблюдаемых режимов электрогидродинамического диспергирования в немалой степени зависит от электрофизических и теплофизических характеристик жидкости В связи со сказанным, представляется весьма актуальным детальное теоретическое исследование закономерностей реализации неустойчивости заряженных струй жидкости, исследование влияния электрофизических и теплофизических характеристик жидкости на развитие неустойчивости, и построение модели формирования рельефа струй в процессе развития неустойчивости
Цель работы состояла в теоретическом исследовании нелинейной стадии неустойчивости заряженных струй электропроводной и диэлектрической жидкостей, а также исследовании влияния эффектов релаксации заряда, температурной зависимости электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и отличия формы струи от цилиндрической на закономерности развития неустойчивости
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.
- теоретический анализ нелинейной эволюции периодического неосесим-метричного возмущения, распространяющегося по заряженной поверхности идеальной идеально проводящей и диэлектрической струй жидкости в третьем порядке малости по амплитуде деформации,
- исследование влияния релаксации электрического заряда на форму капиллярных и релаксационных волн на заряженной поверхности струи вязкой жидкости конечной проводимости,
- построение теоретической модели колебаний заряженной нецилиндрической струи вязкой электропроводной жидкости,
- исследование влияния температурной зависимости электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и отличия формы струи от цилиндрической на закономерности распада осциллирующей заряженной вязкой электропроводной струи
Научная новизна работы состоит в том, что
- аналитическим асимптотическим путем детально исследованы нелинейные неосесимметричные волны на поверхности заряженных струй, впервые получены выражения для нелинейных поправок к частотам неосесимметричных осцилляции заряженных струй идеальной электропроводной и диэлектрической жидкостей, оказывающих влияние на критические условия реализации неустойчивости струй,
- предложена аналитическая математическая модель линейных неосесимметричных осцилляции поверхностно заряженной струи конечной проводимости вязкой несжимаемой жидкости, которая учитывает влияние эффекта релаксации электрического заряда, при этом, корректно выписано уравнение баланса поверхностного заряда (принято во внимание слагаемое, связанное с кривизной поверхности струи),
- исследованы закономерности реализации неустойчивости заряженной нецилиндрической струи вязкой электропроводной жидкости, выявлено влияние
электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и отклонения формы струи от цилиндрической на критические условия дестабилизации струи
Научная и практическая ценность состоит в том, что полученные результаты расширяют имеющиеся представления о явлениях, происходящих при диспергировании жидкостей под влиянием электрического поля, и о роли электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и релаксационных эффектов в этих явлениях Анализ неустойчивости заряженной поверхности струи способствует более глубокому пониманию закономерностей спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй Кроме очевидных академических приложений полученные результаты, связанные с особенностями реализации ЭГД неустойчивостей, могут найти применение при разработке новых электрокаплеструйных печатающих устройств, аппаратов для распиливания горючего, ядохимикатов и лако-красочных материалов, жидкометаллических источников ионов и прецизионных приборов для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей, устройств для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и литографии В основной же своей части результаты работы носят фундаментальный для теории спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй характер
На защиту выносятся:
1 Расчет нелинейных неосесимметричных осцилляции заряженной поверхности идеальной идеально проводящей струи жидкости в третьем порядке малости по амплитуде деформации
2 Теоретический анализ нелинейных неосесимметричных колебаний и критических условий развития неустойчивости из виртуального возмущения объемно заряженной струи идеальной диэлектрической жидкости
3 Исследование влияния релаксации электрического заряда на форму капиллярных и релаксационных волн на заряженной поверхности струи вязкой жидкости конечной проводимости
4 Исследование влияния температурной зависимости электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и отличия формы струи от цилиндрической на закономерности распада осциллирующей заряженной вязкой электропроводной струи
5 Результаты численного исследования зависимости величины инкремента неустойчивости объемно и поверхностно заряженных струй от номера моды и значений физических параметров
Апробация работы Основные результаты работы обсуждались на
- межвузовской научно-методической конференции «Математика и математическое образование Теория и практика» (Ярославль, 2006),
- VIII Международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2006),
- IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006),
- XXII научной конференции стран СНГ «Дисперсионные системы» (Одесса, 2006),
- научных семинарах лаборатории математического моделирования физических процессов ЯрГУ им П Г Демидова (Ярославль, 2005-2007)
Структура и объем работы Диссертация общим объемом 167 страниц состоит из введения, пяти глав, заключительного раздела «Результаты и выводы», списка литературы из 176 наименований, приложений и содержит 72 рисунка
Содержание работы
Во введении обоснованы актуальность исследуемой проблемы, цели, научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту
Первая глава диссертации представляет собой литературный обзор, в котором рассмотрены основные работы по изучению устойчивости цилиндрических струй и рассматривается ретроспектива представлений о механизме их спонтанного распада В начале обзора описываются возможные режимы электродиспергирования и области его применения Анализируются экспериментальные и теоретические данные дробления заряженных и незаряженных струй, рассматривается влияние вязкости и электрофикации струй на условия реализации их неустойчивости Кроме того, проанализированы основные недостатки линейной теории Отмечена необходимость учета нелинейных членов, присутствующих в полных уравнениях и граничных условиях задачи, в связи с чем, сделан вывод о необходимости теоретического исследования нелинейных периодических неосесимметричных капиллярных волн на заряженной поверхности струи жидкости Также указано, что проведенные эксперименты выявляют отличие формы струй, выбрасываемых со свободной поверхности заряженных капель, от цилиндрической, для которой на сегодняшний день выполнены все известные теоретические исследования Далее представлены общие сведения о нелинейных колебаниях жидких струй
Во второй главе проведено аналитическое асимптотическое исследование закономерностей реализации нелинейного неосесимметричного периодического волнового движения на заряженной поверхности струи идеальной идеально проводящей жидкости Рассматривается движущаяся с постоянной скоростью 1/0 бесконечная струя постоянного радиуса Я идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью р и коэффициентом поверхностного натяжения 7 Внешняя среда отсутствует, в окружающем струю пространстве создано электростатическое поле, перпендикулярное оси струи Вследствие этого на поверхности распределен заряд, поверхностная плотность которого в равновесном состоянии х По поверхности струи в положительном направлении оси От. распространяется плоская бегущая волна малой амплитуды с волновым числом к и частотой со
( = 0 ^ = ехр(гда^) + ^("'(г) ехр(-гт^)] ехр(г£), <С Я,
(6 = к г -со О, возмущающая равновесную свободную поверхность жидкости г = Я, так, что ее уравнение принимает вид /• = /? + г, г1)
Целью решения задачи являлась определение аналитического выражения для поля скоростей нелинейного волнового движения жидкости, поля электрического потенциала в окрестности струи и профиля волны £ = £(<£,г,г) на заряженной свободной поверхности слоя, а также определения нелинейной поправки к частоте В результате решения задачи методом многих масштабов в безразмерных переменных, в которых у = р = Я = 1, было получено выражение для формы свободной поверхности жидкости струи в произвольный момент времени г(ф,г,{) = \ + е-сов(»20)соъ\Лг-{а> + ег 5/0) ^ -
-0 25 е1 [0 5 - (я, соь(2тф) + а2) соз(2<9) - а, <х>%(2тф)\ +
+(г3/!6){[а, са%(3тф) + а7 со${тф)\со&(1>в) + а, со$(Ътф)жъ(в)^, (1)
где ау а}, амплитудные множители нелинейных поправок, имеющие весьма
громоздкий вид и потому не приведенные, частота О) определяется из дисперсионного уравнения
(*)= {к)[кг + т7 -1 + Ш (1 + Нт (Л:))], УУ = 4л%\
Ст(х) = х1'т(х)/Ш, Нт(х) = хК'т(х)/Кт (х), где 1т (х), Кт (х) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, штрихами обозначены производные по аргументу, Ш - безразмерный параметр, характеризующий поверхностный заряд струи
Несложно видеть, что помимо исходной волны в результате нелинейного взаимодействия появляются волны с удвоенными волновым и азимутальным числами (поправка 2-го порядка), а также волны с утроенными волновым и азимутальным числами (поправка 3-го порядка) Выражения для потенциалов отличаются от вида (1) лишь наличием радиальной зависимости, которая определяется модифицированными функциями Бесселя 1-го рода 1т) (/с;) для гидродинамического потенциала Ф и 2-го рода (к]) для электрического потенциала Ф
Между исходной волной и этими волнами имеет место резонансное взаимодействие, определяющееся наличием обращающихся при определенных условиях в ноль знаменателей у коэффициентов а], а] Положения резонансов, реализующихся во втором порядке малости определяются условием
Еу=0, Е1 г Аи?т (к) — со\т (2к), =4о£(Л)-«;*(2*) (2)
Амплитудный множитель поправки третьего порядка малости Т имеет по сравнению с амплитудным множителем поправки второго порядка малости О дополнительные резонансы, положения которых определяются условием
Пг=9и^я(к)-шгят, (3)
При резонансном взаимодействии нелинейных осцилляции и волн возможен стопроцентный обмен энергией между ними Кроме того, примечательно, что резонансно взаимодействуют волны с различными волновыми и азимутальными числами, то есть с различной симметрией, как это видно из выражений для
П и . Из вида соотношений (2) и (3) сразу можно скатать, что в реализующихся вырожденных резонансах перенос энергии между длинными и короткими волнами идет лишь в одном направлении: от длинных волн к коротким, независимо от симметрии взаимодействующих волн.
В выражении (1) для формы поверхности струи коэффициент Л' определяет нелинейную поправку к частоте. Сама по себе нелинейная поправка к частоте в асимптотическом анализе означает лишь расплывание нелинейной волны со временем за счет различия » фазовых скоростях поправок различных порядков малости, на. тем не менее, она оказывает существенное влияние на закономерности реализации неустойчивости струи (на закономерности разбиения струи на отдельные капли). Условие реализации неустойчивости струи то отношению к действию сил поверхностного натяжения и давлению электрического ноля заключается в прохождении квадрата частоты через ноль в область отрицательных значений. С учетом наличия нелинейной поправки к частоте в третьем порядке малости это условие приведет к соотношению;
(%! + ' V®. * + = 0 ■
Несложно видеть, что влияние нелинейной поправки на критическую для начала реализации неустойчивости струи длину волны А и критическое значе-
т=0 т=1
Рис.! а-6. Зависимость безразмерной нелинейной поправки к частоте. л = £~ от параметра И' и безразмерного волнового числа к.
Друг ими словами, нелинейная поправка к частоте для одних длин волн увеличивает область устойчивости по отношению к физическим параметрам задачи (когда g > 0 ). а для других длин волн уменьшает (при < 0) Нелинейная поправка к частоте также имеет резонансный характер, определяемый наличием в выражении для поправки амплитудных коэффициентов 2-го порядка, что наглядно иллюстрирует рис. 1. Из рис.1 видно, что величина и знак (а, следовательно, и влияние на критические условия неустойчивости струи) нелинейной поправки к частоте завися т не только от поверхностной плотности электрического заряда на
струе и от волнового числа, но и от азимутального числа т при увеличении асимметрии начального возмущения струи (то есть, числа т), увеличивается спектр неустойчивых волн
Таким образом, решение задачи о расчете нелинейных осцилляции заряженной струи до третьего порядка малости включительно по амплитуде деформации невозмущенной цилиндрической струи позволяет обнаружить резонансное взаимодействие волны, определяющей начальную виртуальную деформацию с волнами, появляющимися вследствие нелинейности уравнений гидродинамики и имеющими вдвое и втрое большие волновые числа Положение резонансных ситуаций зависит от величины волнового числа и от поверхностной плотности электрического заряда на струе Из изначально возбужденной моды с т — 1 энергия может перекачиваться как в осесимметричную моду с вдвое большим волновым числом, так и в неосесимметричную моду с т = 2 также с вдвое большим волновым числом. Также, энергия может перекачиваться в моду с т = 3 как с таким же волновым числом, так и имеющую втрое большее волновое число Вовлечение в нелинейное резонансное взаимодействие мод с т > 2 возможно лишь при значительных плотностях поверхностного заряда на струе В асимптотических расчетах нелинейных осцилляций струи третьего порядка малости появляются нелинейные поправки к частотам, квадратичные по амплитуде, зависящие от вида начальной деформации струи, имеющие резонансный вид и оказывающие влияние на критические условия реализации неустойчивости струи
Третья глава посвящена исследованию нелинейных периодических не-осесимметричных волн на поверхности объемно заряженной диэлектрической жидкости Рассматривалась бесконечная цилиндрическая струя радиуса Я идеальной несжимаемой жидкости с массовой плотностью р, диэлектрической проницаемостью £с|, и коэффициентом поверхностного натяжения 7, движущаяся вдоль оси симметрии с постоянной скоростью 00 В рамках модели «вмороженного» заряда, считаем, что электрический заряд распределен равномерно с объемной плотностью /х. По поверхности струи в положительном направлении оси Ог распространяется плоская бегущая волна малой амплитуды £ — с волновым числом к и частотой со Задача решалась методом мно-
гих масштабов в рамках теории возмущений, аналогичным описанному во второй главе В качестве малого параметра е, по степеням которого проводим разложение подлежащих определению функций выбираем отношение амплитуды волны к радиусу струи (как и во второй главе) В результате в третьем приближении по амплитуде было получено выражение для профиля струи диэлектрической жидкости, отличающееся от (1) видом амплитудных коэффициентов а} и а}, которые являются функциями, зависящими от электрических свойств жидкости (диэлектрической проницаемости £а и параметра ¡V = ж/лг, характеризующего объемный заряд струи) В связи с этим, представляет интерес сравнительный анализ амплитудных коэффициентов в выражении для формы поверхности
струи диэлектрической жидкости относительно таковых для случая идеально проводящей жидкости
4
1 4 1 2
06 1 02 06 т=1 т=2
Рис.2а-б. График относительной зависимости амплитудных коэффициентов 31 = а^ /я" (отношения величин а, для диэлектрической жидкости к соответствующим величинам идеально проводящей струи), определяющих поправку второго порядка малости к профилю волны, от параметра IV, для различных значений азимутального числа т; к = 2
Из рисунка 3 (и из неприведеных здесь зависимостей 8Ъ) видно, что зависимости коэффициентов а2 и а3 от параметра Ш незначительно отличаются от таковых для идеально проводящей жидкости, причем при увеличении асимметрии струи (при увеличении числа т), это расхождение становится еще меньше
0 98
0 6 1 0 92
т-1 т=2
Рис.За-б. График относительной зависимости амплитудных коэффициентов ё2 = а'12 /я"' (отношения величин а2 для диэлектрической жидкости к соответствующим величинам идеально проводящей струи), определяющих поправку второго порядка малости к профилю волны, от параметра №, для различных значений азимутального числа т; к = 2.
Увеличение же объемного заряда жидкости приводит к увеличению расхождения коэффициентов а2 и аг с электропроводной жидкостью (для т>2), но при этом абсолютная величина данных коэффициентов уменьшается Это говорит о том, что наличие объемного заряда уменьшает неустойчивость волн с удвоенным волновым числом и с удвоенным азимутальным числом (волн с амплитудами а2 и аъ соответственно)
Совсем по другому ведет себя коэффициет а,, что показывает рисунок 2 Увеличение азимутального числа т влечет за собой более существенное отличие от электропроводной жидкости, а повышение объемного заряда (параметра И7) увеличивает абсолютную величину а, (для т<3), при этом увеличение абсолютной величины о, в несколько раз превышает соответствующее уменьшение коэффициентов а2 и а3 Таким образом, можно сделать вывод, что наличие объемного заряда в жидкости приводит к значительному возрастанию амплитуды волны с удвоенными и волновым и азимутальным числами (волны с амплитудой а,), что в конечном итоге ведет к дестабилизации струи
Были построены для различных значений азимутального числа т графики зависимости величины нелинейной поправки к частоте = Л/Фг от параметра IV, характеризующего объемную плотность заряда внутри струи, и безразмерного волнового числа к при фиксированных значениях диэлектрической проницаемости жидкости Проведенное исследование показало, что величина и знак (а, следовательно, и влияние на критические условия неустойчивости струи) нелинейной поправки к частоте зависят не только от волнового и азимутального чисел, но также и от электрических свойств жидкости (объемной плотности электрического заряда и диэлектрической проницаемости струи) наличие объемного заряда у жидкости изменяет спектр неустойчивых волн по отношению к идеально проводящей струе
Четвертая глава посвящена исследованию влияния эффекта релаксации электрического заряда на неосесимметричные осцилляции заряженной струи вязкой жидкости конечной проводимости
Математическая формулировка обсуждаемой задачи состоит из уравнений гидродинамики (уравнения Навье-Стокса и условия несжимаемости жидкости) и электростатики (уравнения Лапласа для электростатического потенциала внутри и вне струи), условий ограниченности, кинематического гидродинамического граничного условия и динамического граничного условия для касательных и нормальной компонент тензора напряжений Чтобы учесть эффект релаксации электрического заряда, граничные условия необходимо дополнить уравнением баланса электрического заряда на поверхности струи, условием непрерывности на свободной поверхности струи нормальной компоненты вектора электрического смещения и условием равенства на поверхности струи потенциалов электрического поля внутри и вне струи
В результате решения задачи, проводимого методом операторной скаляри-зации, было получено дисперсионное уравнение в виде
(г,_/ = 1,2,3;4) (4)
где коэффициенты а зависят от комплексной частоты осцилляции 5, номера моды т, волнового числа к, параметра м> (выражаещегося через равновесную поверхностную плотность заряда •м — ^жге^'), кинематической вязкости V, удельной проводимости о и диэлектрической проницаемости е(1
Для струи маловязкой жидкости дисперсионное уравнение (4) приводится к более простому виду - уравнению третей степени относительно комплексной частоты 5.
а3£3 + а252 + а,5 + ао=0, (5)
При численном анализе дисперсионного уравнения (5) были построены зависимости комплексной частоты 5 от электропроводности жидкости О для различных значений т там/
КеШ кг (я) i
Рис4а-б. Зависимости вещественной компоненты частоты от безразмерной электропроводности жидкости о при у=0.03, еЛ=81, Ь=0.01, к=1 для различных значений азимутального числа т.
Численный анализ дисперсионного уравнения показал, что с ростом электропроводности а величины инкрементов неустойчивости (ветви с номером «1») весьма слабо растут. Декременты затухания ветвей «2», «4», «6», порожденных чисто релаксационной ветвью «2», с ростом электропроводности а увеличиваются быстро, а декременты ветвей «3», «5» изменяются слабо Диапазон значений электропроводности а, в котором существует квазипериодическое релаксационное движение «4», расширяется и смещается в сторону больших а с увеличением поверхностной плотности заряда на струе (с увеличением параметра м>) Увеличение плотности электрического заряда на поверхности струи приводит к увеличению инкремента неустойчивости капиллярных движений жидкости, снижению частот капиллярных волн и и к увеличению декремента затухания квазипериодического релаксационного движения «4»
Проведенный анализ обнаруживает, что релаксационные движения жидкости заметно проявляются лишь для слабо проводящих жидкостей (для малых <7), приводя к снижению инкрементов неустойчивости и увеличению декрементов затухания капиллярных движений по сравнению с идеально проводящей жидкостью Интересно, что как и в случае идеально проводящей жидкости, величина инкремента неосесимметричной волны с м = 1 существенно превышает инкремент осесимметричной волны при прочих равных условиях
Таким образом, решение задачи о рассчете неосесимметричных осцилля-ций заряженной струи вязкой жидкости конечной проводимости, учитывающее явление релаксации электрического заряда, показывает, что ограниченность скорости переноса носителей электрического заряда в реальных жидкостях и передача импульса направленного движения носителей заряда при столкновениях с нейтральными молекулами являются причиной возникновения
релаксационных (т е связанных с эффектом релаксации электрического заряда) движений жидкости в направлении движения носителей заряда Релаксационные движения жидкости имеют апериодический характер и приводят к дополнительному (по сравнению с идеально проводящей жидкостью) рассеиванию энергии
Пятая глава посвящена исследованию влияния температурной зависимости физических свойств жидкости на устойчивость нецилиндрической электропроводной струи Кроме того, исследуется влияние величины отклонения формы струи от цилиндрической на критические условия реализации неустойчивости Рассматривалась бесконечная цилиндрическая струя радиуса Л вязкой несжимаемой электропроводной жидкости с массовой плотностью р, кинематической вязкостью v и коэффициентом поверхностного натяжения сг, движущаяся вдоль оси симметрии с постоянной скоростью О0 Струя поддерживается при постоянном электрическом потенциале Ф* относительно коаксиального со струей цилиндрического противоэлектрода, радиус которого /?, предполагается весьма большим (К/Я,) 1 Электрический заряд однородно распределен по цилиндрической в отсутствие возмущений поверхности струи с постоянной поверхностной плотностью заряда х В начальный момент времени цилиндрическая поверхность струи претерпевает виртуальное осесимметричное возмущение вида 77 = а эт(к, г), где (а/К)«: 1, а длина волны А, = {2ж/к,~) » К Также принимается, что в начальный момент времени температура струи неоднородна и зависит от продольной координаты г по закону Т(г) = Т0+Т* г), где Т, <кГ0 Уравнение поверхности струи,
возмущенной капиллярным волновым движением имеет вид
г(<р, = К + г/(г) + 2,0, | # 1« а <к Л, Анализ сформулированной задачи проводился в рамках метода возмущений путем разложения поля скоростей [/(г,О, поля давлений в жидкости Р{гЛ) и поля электростатического потенциала в окружающей среде Ф(?,?) по малым параметрам а, Т,/Т0 и
В линейном по и квадратичном по а приближении, используя метод операторной скаляризации и полагая а ~ к,, д2У(г) ~ 0(аг), было получено дисперсионное уравнение в виде
ае1ау=0, (г, 7 = 1; 2,3,4)
определяющее критические условия реализации неустойчивости Для маловязкой жидкости это дисперсионное уравнение сводится к более простому виду
~В2(к,т,г}) + 2зу Вх{к,т,г]) + В0(к,т,г1,1¥)^0, (6)
В2(к,т,+ 4 20„(к) + т72 у,(к), 1¥ = 4пХ2, В[{к,т.г]) = 2у](к) + Т1 2уг{к) + Г!2уъ{к)-41к в^к) Т]\ В0{к,т,?7,)У) = [2Ст{к) + }7 2у1{к) + г12 уг{к)\{кг + т2-1+ Ш(1 + Нт{к)) +
-{з™2 {5к^7т2 ~(\0-2к2 -2т2 +7Н^к) + 2И1(к))Н^)у2^;
т=0
7=3 п¡2к<; (горловина)
Рис.5а-б. Зависимости вещественной компоненты частоты от волнового числи к и деформации а при х^О.ОЗ, к*-0.0/ для значения параметра №=0,5.
Анализ расчетов по дисперсионному уравнению (6) показал, что условия реализации неустойчивости заметно снижаются при увеличении поверхностной плотности электрического заряда, а значения наиболее неустойчивых волновых чисел при этом увеличиваются.
0.05 О
- о. 1 \
0.5К I
1=л/2к^; (горб)
г-Зл/2к,; (горловина)
Рис.ба-б. Зависимости вещественной компоненты частоты от волнового числа к и деформации и при \'~-0.03, к. =0.0/ для значения параметра н>=0.5.
Примеры расчетов по приведенному дисперсионному уравнению приведены на рис.5-8 в виде зависимостей вещественной части комплексной частоты Ке(л) от безразмерного волноаога числа к к амплитуды синусоидальной деформации о при различных значениях параметра №' для ос ее и м м стр и ч но й (т = 0) и изгибной (м = 1) мод в двух предельных ситуациях: щ-±а. Из приведенных рисунков видно, что инкременты осесимметричной моды (т = 0 ) по-разному ведут себя в местах сужения и в местах возвышения в зависимости от величины деформации а {т.е. в зависимости от степени отклонения струи от цилиндрической). В местах сужения значение инкремента осесимметричных
к а к а
т~0
с-п/2 к^; (горб) г-'Зл/2к.; (горловина)
Рис. 7а-0. Зависимости вещественной компоненты частоты от волнового числа к и деформации а при у=0.03, Щ=0.01 Оля значения параметра »•=!.
неустойчивых волн монотонно увеличиватся с увеличением деформации струи а, а в местах возвышении монотонно убывает. При этом, как и следовало ожидать, скорость увеличения (уменьшения) инкремента возрастает с увеличением электрического заряда на поверхности струи (т.е. с ростом параметра IV).
Для моды т~ I, ответственной за изгиб струи, величина инкремента неустойчивых волн снижается (-30-40%) по сравнению с осесимметричной молой при прочих равных условиях. Также снижается и скорость изменения изгибной моды. Расчеты показывают, что для данных значений параметра IV волны с большей асимметрией (т = 2 и выше) являются устойчивыми. Любопытно, что величина инкремен та неустойчивости волны с /н - 1, рассчитанная при а = 0,! а местах сужения, превышает величину инкремента неустойчивости волны с т ~ 0 в местах возвышения. Указанное обстоятельство позволяет объяснить результаты экспериментов, где был зафиксирован одновременный разрыв сразу в нескольких сечениях различного радиуса утоньтаюшейся с расстоянием от места зарождения заряженной струи.
к а
к а
г^п\2к.; (горб)
1—3 л/2к<.; (горловина)
Рис.8а-6. Зависимости вещественной компоненты частоты от волнового числа к и деформации а при 03, к,—0.01 для значения параметра №=/,
Анализ выведенного дисперсионного уравнения для волн на поверхности наряженной струи электропроводной жидкости с формой, отличающейся от цилиндрической, показывает, что величины максимальных инкрементов неустойчивости и волновые числа наиболее неустойчивых воли сложным образом зависят как от величины азимутального числа т, так и от величины деформации а цилиндрической формы струи. Указанное обстоятельство может оказывать существенное влияние на степень пол и д ис пер с н о сти капель, образующихся при спонтанном электростатическом распаде струи, и на многообразии реализующихся режимов электродиспергирован ия.
1. Исследование физических закономерностей реализации неосссимметрич-ных осцилляции заряженной струи вязкой электропроводной жидкости с формой, отличной от цилиндрической, физико-химические характеристики которой (в том числе и коэффициент вязкости) являются функцией температуры показывает. что величины максимальных инкрементов неустойчивости и волновые числа наиболее неустойчивых волн сложным образом зависят как от величины азимутального числа, так и от величины деформации цилиндрической формы струи. Указанное обстоятельство приводит к тому, что в различных сечениях нецилиндрической струи влияние вязкости, поверхностного заряда и поверхностного натяжения жидкости различно и может оказывать существенное влияние на степень полидисперсности капель, образующихся при спонтанном электростатическом распаде струи, и на многообразии реализующихся режимов электродиспергирования.
Результаты и выводы.
2 Найдено в третьем порядке малости по амплитуде начальной деформации решение задачи о расчете нелинейных неосесимметричных осцилляций заряженной струи идеально проводящей и диэлектрической невязких несжимаемых жидкостей
3 Анализ математической модели нелинейных осцилляций заряженной струи идеально проводящей несжимаемой невязкой жидкости в третьем порядке малости по амплитуде начальной деформации (помимо взаимодействия с волной с удвоенным волновым числом во втором порядке) позволяет обнаружить резонансное взаимодействие волны, определяющей начальную виртуальную деформацию, с волной, имеющей втрое большее волновое число, появляющейся вследствие нелинейности уравнений гидродинамики Кроме того, исходная волна резонансно взаимодействует с волной с аналогичным волновым числом, но имеющей втрое большее азимутальное число, которая также появляется из-за нелинейности уравнений гидродинамики Положение резонансных ситуаций зависит от величины поверхностной плотности электрического заряда на струе и от величин волнового и азимутальных чисел. Энергия осцилляций всегда перекачивается от более длинных волн к более коротким, независимо от симметрии взаимодействующих волн
4. Обнаружено, что в асимптотических расчетах нелинейных осцилляций струи третьего порядка малости появляются нелинейные поправки к частотам, квадратичные по амплитуде, зависящие от вида начальной деформации струи, имеющие резонансный вид и оказывающие влияние на критические условия реализации неустойчивости струи
5 Анализ полученного аналитического выражения для формы поверхности нелинейно осциллирующей диэлектрической струи показал, что наличие объемного заряда в жидкости приводит к значительному возрастанию (до 60%) амплитуды волны с удвоенными и волновым и азимутальным числами по сравнению с идеально проводящей жидкостью, что в конечном итоге ведет к дестабилизации струи.
6 Из полученного аналитического выражения для нелинейной поправки к частоте осцилляций диэлектрической струи видно, что величина и знак (а, следовательно, и влияние на критические условия неустойчивости струи) нелинейной поправки зависят не только от волнового и азимутального чисел, но также и от электрических свойств жидкости (объемной плотности электрического заряда и диэлектрической проницаемости струи) наличие объемного заряда у жидкости изменяет спектр неустойчивых волн по отношению к идеально проводящей струе
7 Предложена аналитическая математическая модель линейных неосесимметричных осцилляций струи вязкой несжимаемой жидкости для поверхностно заряженной струи конечной проводимости, учитывающая влияние эффекта релаксации электрического заряда с корректно выписанным уравнением баланса поверхностного заряда (принято во внимание слагаемое, связанное с кривизной поверхности струи)
Численный анализ аналитически выведенного дисперсионного уравнения неосесимметричных осцилляций заряженной струи вязкой жидкости конечной
проводимости показал, что релаксационные движения жидкости заметно проявляются лишь для слабо проводящих жидкостей, приводя к снижению инкрементов неустойчивости и увеличению декрементов затухания капиллярных движений по сравнению с идеально проводящей жидкостью.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:
1 Волкова M В , Воронина Н.В. Нелинейные неосесимметричные волны на заряженной поверхности электропроводной струи//Актуальные проблемы физики Сб науч тр молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып 5 - Ярославль Изд-воЯрГУ, 2005 -С 73-80
2 Воронина Н.В. Исследование нелинейных осцилляций заряженной поверхности струи идеальной жидкости/Математика и математическое образование Теория и практика Межвуз сб науч тр Вып 5 - Ярославль Изд-во ЯГТУ, 2006 -С250-251
3 Воронина Н.В., Ширяева С О. Нелинейные осцилляции неосесиммет-ричных возмущений заряженной поверхности струи//Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей Сборник докладов VIII Международной научной конференции 26 июня - 28 июня Санкт-Петербург- ВВМ, 2006 -С96-99
4 Григорьев А И , Воронина Н.В. О закономерностях нелинейного резонансного перераспределения энергии между неосесимметричными модами осцилляций однородно заряженной струи электропроводной жидкости/ЛХ Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Аннотации докладов Т II (Нижний Новгород, 22 августа - 28 августа) Нижний Новгород Изд-во Нижегородского госуниверситета им H И Лобачевского, 2006. - С 50
5 Воронина Н.В., Ширяева С О О нелинейных поправках к частотам мод осцилляций заряженной струи идеальной жидкости/УДисперсные системы XXII науч конф стран СНГ 18-22 сентября 2006 года Тез докл - Одесса Астро-принт,2006 -С96-97
6 Григорьев АИ, Ширяева С.О, Воронина Н.В., Егорова ЕВ Об осцилляциях и спонтанном распаде заряженных жидких струй//Электронная обработка материалов 2006 №6. С 15-27
7 Ширяева С О, Воронина Н.В., Григорьев А И Нелинейные осцилляции заряженной струи электропроводной жидкости при многомодовой начальной деформации ее поверхности//ЖТФ 2006 Т76 Вып 9 С 31-41
8 Ширяева С О , Воронина Н.В., Григорьев А И О нелинейных поправках к частотам мод осцилляций заряженной струи идеальной жидкости//ЖТФ 2007 Т 77. Вып 2 С 46-55
9 Воронина И.В., Ширяева С О, Крючков О С Колебания заряженной струи вязкой жидкости конечной проводимости//Физический вестник Ярославского госуниверситета им П Г Демидова сб науч тр, Яросл гос ун-т Вып 1 -Ярославль ЯрГУ,2006 -С 141-148
Подписано в печать 20.09.2007. Формат 60x90 1/16.
Бумага белая. Условных печ. листов 1.0. Тираж 100 экз. Заказ № 50. Типография ФГОУ ВПО «Ярославская государственная сельскохозяйственная академия». 150042, г. Ярославль, Тутаевское шоссе, 58.
Введение.
Глава 1. Об осцилляциях и спонтанном распаде заряженных жидких струй.
Обзор работ, посвященных анализируемой проблеме.
1.1. Диспергирование жидкости и его применение.
1.2. Линейная устойчивость цилиндрической струи.
1.3. Заряженные струи.
1.4. Нелинейные осцилляции струй.
Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости и явления электродиспергирования при эмиссии поверхностью жидкости на нелинейной стадии реализации неустойчивости заряженных струек, распадающихся на отдельные капли, представляет значительный интерес, поскольку эти явления лежат в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, являются неотъемлемой частью многих технологических и геофизических процессов. В частности это относится к ионным коллоидным реактивным двигателям; к распыливанию топлив и лакокрасочных материалов; к получению интенсивных ионных пучков в жидкометаллических источниках ионов; в жидкостной масспектрометрии; к устройствам электроструйной печати; к получению ультрадисперсных порошков тугоплавких металлов и т.п. В связи со сказанным, этот физический объект неоднократно изучался как экспериментально, так и теоретически: в линейной и нелинейной постановках. И все таки некоторые вопросы, связанные с устойчивостью струй до сих пор непонятны. Сказанное, в частности, относится к спонтанному дроблению струй, реализующемуся при неконтролируемых начальных и граничных условиях. Такой распад связан с одновременным возбуждением различных неосесимметричных мод осцилляций при эмиссии струй неустойчивой поверхностью жидкости (неустойчивость вызывается отрицательным давлением электрического поля у свободной поверхности жидкости). Именно такой способ диспергирования жидкости реализуется в подавляющем большинстве практических приложений феномена. Несмотря на большое количество экспериментально наблюдаемых режимов спонтанного электродиспергирования жидкости, теоретическое осмысление этого факта пока не выходит за рамки простой классификации. Одним из факторов, способствующих умножению реализующихся режимов электродиспергирования жидкости, является отличие формы струй, выбрасываемых неустойчивой поверхностью жидкости, от цилиндрической. Радиус такой струи изменяется примерно обратно пропорционально корню четвертой степени из расстояния от места ее зарождения. Влияние отличия формы спонтанно распадающихся струй от цилиндрической на закономерности реализации их неустойчивости и последующего электростатического распада в теоретическом отношении до сих пор никем не исследовано. Поверхностная плотность заряда на такой струе уже не будет однородной, а влияние вязкости жидкости на устойчивость по отношению к дроблению на капли будет различным на участках, с различающимися поперечными размерами. Особенно важным вопросом является теоретическое изучение влияния релаксационных эффектов на закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности струи жидкости. Попытки исследования влияния эффекта релаксации электрического заряда на струе на ее устойчивость предпринимались неоднократно. Однако во всех перечисленных работах уравнение баланса заряда на поверхности струи выписывалось неверно - на основе механического переноса уравнения баланса вещества, выписанного для плоской поверхности, на цилиндрическую поверхность невозмущенной струи. В итоге пропадало слагаемое, связанное со средней кривизной поверхности струи. Что же касается неосесимметричного волнового движения на поверхности заряженной струи жидкости, то затрагиваемая тематика до настоящего времени теоретически была корректно исследована только на уровне решения линейных (для случая идеально проводящей жидкости - квадратичной) по амплитуде отклонения формы поверхности от равновесной задач. Экспериментальные исследования электродиспергирования струй жидкости с заряженной поверхности свидетельствуют о возможности возбуждения неосесимметричных мод заряженных струй. Однако, в теоретическом отношении этот вопрос исследован пока не достаточно полно, несмотря на то, что реализация неустойчивости именно этих мод в существенной степени ответственна как за хлыстообразное движение струй, так и за полидисперсный характер их распада на капли. Многообразие наблюдаемых режимов электрогидродинамического диспергирования в немалой степени зависит от электрофизических и теплофизических характеристик жидкости. В связи со сказанным, представляется весьма актуальным детальное теоретическое исследование закономерностей реализации неустойчивости заряженных струй жидкости, исследование влияния электрофизических и теплофизических характеристик жидкости на развитие неустойчивости, и построение модели формирования рельефа струй в процессе развития неустойчивости.
Цель работы состояла в теоретическом исследовании нелинейной стадии неустойчивости заряженных струй электропроводной и диэлектрической жидкостей, а также исследовании влияния эффектов релаксации заряда, температурной зависимости электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и отличия формы струи от цилиндрической на закономерности развития неустойчивости. Для достижения поставленной цели решались задачи:
- теоретический анализ нелинейной эволюции периодического неосесимметричного возмущения, распространяющегося по заряженной поверхности идеальной идеально проводящей струи жидкости в третьем порядке малости по амплитуде деформации;
- исследование нелинейных неосесимметричных колебаний и критических условий развития неустойчивости из виртуального возмущения объемно заряженной струи идеальной диэлектрической жидкости;
- исследование влияния релаксации электрического заряда на форму капиллярных и релаксационных волн на заряженной поверхности струи вязкой жидкости конечной проводимости;
- построение теоретической модели колебаний заряженной нецилиндрической струи вязкой электропроводной жидкости;
- исследование влияния температурной зависимости электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и отличия формы струи от цилиндрической на закономерности распада осциллирующей заряженной вязкой электропроводной струи;
- численное исследование зависимости величины инкремента неустойчивости от номера моды и значений физических параметров.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней аналитическими и численными методами исследованы закономерности спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй. В третьем порядке малости по амплитуде капиллярных осцилляции поверхностно однородно заряженной струи идеальной несжимаемой проводящей жидкости и объемно заряженной струи идеальной несжимаемой диэлектрической жидкости получены аналитические выражения для формы струи как функции времени при возбуждении в начальный момент неосесимметричных мод. В том же приближении определены поле скоростей течения жидкости в струе и распределение электрического поля в ее окрестности. Впервые получены выражения для нелинейных поправок к частотам неосесимметричных осцилляций заряженной струи идеальной электропроводной и диэлектрической жидкостей, оказывающих влияние на критические условия реализации неустойчивости струи. Показано, что величина и знак (а, следовательно, и влияние на критические условия неустойчивости струи) нелинейной поправки зависят не только от волнового и азимутального чисел, но также и от электрофизических свойств жидкости (объемной плотности электрического заряда и диэлектрической проницаемости струи. Предложена аналитическая математическая модель линейных неосесимметричных осцилляций струи вязкой несжимаемой жидкости для поверхностно заряженной струи конечной проводимости, учитывающая влияние эффекта релаксации электрического заряда с корректно выписанным уравнением баланса поверхностного заряда (принято во внимание слагаемое, связанное с кривизной поверхности струи). Исследованы закономерности реализации неустойчивости заряженной нецилиндрической струи вязкой электропроводной жидкости и влияние электрофизических и теплофизических характеристик жидкости на развитие неустойчивости.
Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты расширяют имеющиеся представления о явлениях, происходящих при диспергировании жидкостей под влиянием электрического поля, и о роли электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и релаксационных эффектов в этих явлениях. Анализ неустойчивости заряженной поверхности струи способствует более глубокому пониманию закономерностей спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй. Кроме очевидных академических приложений полученные результаты, связанные с особенностями реализации ЭГД неустойчивостей, могут найти применение при разработке новых электрокаплеструйных печатающих устройств; аппаратов для распыливания горючего, ядохимикатов и лако-красочных материалов; жидкометаллических источников ионов и прецизионных приборов для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей; устройств для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и литографии, капель жидкого водорода для установок управляемого термоядерного синтеза. В основной же своей части результаты работы носят фундаментальный для теории спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй характер.
На защиту выносятся:
1. Расчет нелинейных неосесимметричных осцилляций заряженной поверхности идеальной идеально проводящей струи жидкости в третьем порядке малости по амплитуде деформации.
2. Теоретический анализ нелинейных неосесимметричных колебаний и критических условий развития неустойчивости из виртуального возмущения объемно заряженной струи идеальной диэлектрической жидкости.
3. Исследование влияния релаксации электрического заряда на форму капиллярных и релаксационных волн на заряженной поверхности струи вязкой жидкости конечной проводимости.
4. Математическая модель колебаний заряженной нецилиндрической струи электропроводной жидкости, вязкость которой зависит от температуры.
5. Исследование влияния температурной зависимости электрофизических и теплофизических характеристик жидкости и отличия формы струи от цилиндрической на закономерности распада осциллирующей заряженной вязкой электропроводной струи.
6. Результаты численного исследования зависимости величины инкремента неустойчивости объемно и поверхностно заряженных струй от номера моды и значений физических параметров.
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
- межвузовской научно-методической конференции «Математика и математическое образование. Теория и практика» (Ярославль, 2006);
- VIII Международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2006);
- IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006);
- XXII научной конференции стран СНГ «Дисперсионные системы» (Одесса,
2006);
- научных семинарах лаборатории математического моделирования физических процессов ЯрГУ им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2005-2007).
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Исследование физических закономерностей реализации неосесимметричных осцилляций заряженной струи вязкой электропроводной жидкости с формой, отличной от цилиндрической, физико-химические характеристики которой (в том числе и коэффициент вязкости) являются функцией температуры показывает, что величины максимальных инкрементов неустойчивости и волновые числа наиболее неустойчивых волн сложным образом зависят как от величины азимутального числа, так и от величины деформации цилиндрической формы струи. Указанное обстоятельство приводит к тому, что в различных сечениях нецилиндрической струи влияние вязкости, поверхностного заряда и поверхностного натяжения жидкости различно и может оказывать существенное влияние на степень полидисперсности капель, образующихся при спонтанном электростатическом распаде струи, и на многообразии реализующихся режимов электродиспергирования.
2. Найдено в третьем порядке малости по амплитуде начальной деформации решение задачи о расчете нелинейных неосесимметричных осцилляций заряженной струи идеально проводящей и диэлектрической невязких несжимаемых жидкостей.
3. Анализ математической модели нелинейных осцилляций заряженной струи идеально проводящей несжимаемой невязкой жидкости в третьем порядке малости по амплитуде начальной деформации (помимо взаимодействия с волной с удвоенным волновым числом во втором порядке) позволяет обнаружить резонансное взаимодействие волны, определяющей начальную виртуальную деформацию, с волной, имеющей втрое большее волновое число, появляющейся вследствие нелинейности уравнений гидродинамики. Кроме того, исходная волна резонансно взаимодействует с волной с аналогичным волновым числом, но имеющей втрое большее азимутальное число, которая также появляется из-за нелинейности уравнений гидродинамики. Положение резонансных ситуаций зависит от величины поверхностной плотности электрического заряда на струе и от величин волнового и азимутальных чисел. Энергия осцилляций всегда перекачивается от более длинных волн к более коротким, независимо от симметрии взаимодействующих волн.
4. Обнаружено, что в асимптотических расчетах нелинейных осцилляций струи третьего порядка малости появляются нелинейные поправки к частотам, квадратичные по амплитуде, зависящие от вида начальной деформации струи, имеющие резонансный вид и оказывающие влияние на критические условия реализации неустойчивости струи.
5. Анализ полученного аналитического выражения для формы поверхности нелинейно осциллирующей диэлектрической струи показал, что наличие объемного заряда в жидкости приводит к значительному возрастанию (до 60%) амплитуды волны с удвоенными и волновым и азимутальным числами по сравнению с идеально проводящей жидкостью, что в конечном итоге ведет к дестабилизации струи.
6. Из полученного аналитического выражения для нелинейной поправки к частоте осцилляций диэлектрической струи видно, что величина и знак (а, следовательно, и влияние на критические условия неустойчивости струи) нелинейной поправки зависят не только от волнового и азимутального чисел, но также и от электрических свойств жидкости (объемной плотности электрического заряда и диэлектрической проницаемости струи): наличие объемного заряда у жидкости изменяет спектр неустойчивых волн по отношению к идеально проводящей струе.
7. Предложена аналитическая математическая модель линейных неосесимметричных осцилляций струи вязкой несжимаемой жидкости для поверхностно заряженной струи конечной проводимости, учитывающая влияние эффекта релаксации электрического заряда с корректно выписанным уравнением баланса поверхностного заряда (принято во внимание слагаемое, связанное с кривизной поверхности струи).
Численный анализ аналитически выведенного дисперсионного уравнения неосесимметричных осцилляций заряженной струи вязкой жидкости конечной проводимости показал, что релаксационные движения жидкости заметно проявляются лишь для слабо проводящих жидкостей, приводя к снижению инкрементов неустойчивости и увеличению декрементов затухания капиллярных движений по сравнению с идеально проводящей жидкостью.
1. Baily A.G. Electrostatic atomization of liquids (revue)//Sci. Prog., Oxford. 1974. V.61. P.555-581.
2. Коженков В.И., Фукс H.A. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор)//Успехи Химии. 1976. Т.45. №12. С.2274-2284.
3. Бураев Т.К., Верещагин И.П., Пашин Н.М. Исследование процесса распыления жидкостей в электрическом поле//Сб. Сильные электрические поля в технологических процессах. М.: Энергия, 1979. №.3. С.87-105.
4. Габович М. Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор)//УФН. 1983. Т. 140. №.1. С.137-151.
5. Ентов В.М., Ярин А.Л, Динамика свободных струй и пленок вязких и реологически сложных жидкостей//ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер. "Механика жидкости и газа". 1984. Т. 17. С.112-197.
6. Дудников В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор)//Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск. 1987. 66 с.
7. Fenn J.B., Mann М., Meng С.К. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules (revue)//Science. 1989. V.246. №4926. P.64-71.
8. Григорьев А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (обзор)//ЭОМ. 1990. №6. С.23-32.
9. Монодиспергирование вещества: принципы и применение//Е.В. Аметистов, В.В. Блаженков, А.К. Городков и др.: Под ред. В.А. Григорьева. М.: Энергоатомиздат, 1991. 336 с.
10. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Святченко А.А. Классификация режимов работы электрогидродинамических источников жидко-капельных пучков (обзор)//Препринт ИМРАН № 25. Ярославль. 1993. 118 с.
11. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей (обзор)//Изв. РАН. МЖГ. 1994. №3. С.3-22.
12. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Деление заряженных капель во внешнем электрическом поле на части сравнимых размеров (обзор)//ЭОМ. 2000. №4. С.17-27.
13. Salata O.V. Tools of Nanotechnology: Electrospray//Current Nanoscience. 2005. V.l. P.25-33
14. Kelvin T.W. On a self-acting apparatus for multiplying and maintaining electric charges with applications to illustrate the Voltaic theory//Proc. Roy. Soc. 1867. V.16. P.67-72.
15. Bustin W.M., Dudek W.G. Electrostatic hazards in the petroleum Industry. New York: John Wiley and Sons, 1983.
16. Blanchard D.C. Electrically charged drops from bubbles in sea water and their meteorological significance//.!. Meteorology. 1958. V.15. P.383-396.
17. Reiter R. Charges on particles of different size from bubbles of Mediterranean sea surf and from waterfalls//! Geophys. Res. 1994. V.99. P.807-812.
18. Lenard P. //Ann. Phys. 1892. V.46. P.584.
19. Lefebvre A.H. Atomization and sprays. New York: Hemisphere Publishing Corporation,1989.
20. Bellan J. A new approach to soot control in diesel engines by fuel-drop charging//Comb. Flame. 1983. V.51. P. 117-119.
21. Siefert W. Corona spray pyrolysis: a new coating technique with an extremely enhanced deposition efficiency//Thin Solid Films. 1984. V.120. P.267-274.
22. Baily A.G. Electrostatic spraying of liquids//Phys. Bull. 1984. V.35. №4. P.146-148.
23. Domnick J., Scheibe A. and Ye Q. The electrostatic spray painting process with highspeed rotary bell atomizers: Influences of operating conditions and target geometries. Proc. ICLASS 2003, Sorrento, Italy.
24. Park D.G. and Burlitch J.M. Electrospray synthesis of titanium oxide nanoparticles//J. Sol-Gel Sci. Techn. 1996. V.6. P.235-249.
25. Kelly A.J. Electrostatic atomization questions and challenges//Inst. Phys. Conf. Ser. 1999. V.163. P.99-107.
26. Ijsebaert J.C., Geerse K.B., Marijnissen J.C.M., Lammers J.W.J. and Zanen P. Electrohydrodynamic atomization of drug solutions for inhalation purposes//! Appl. Physiol. 2001. V.91. P.2735-2741.
27. Cloupeau M., Prunet Foch B. Electrostatic spraying of liquids: main functioning modes//J. Electrostatics. 1990. V.25. P. 165-184.
28. Carson R.S., Hendrics C.D. Natural pulsations in electrical spraying of liquids//AIAA Journal. 1965. V.3. №6. P.1072-1075.
29. Sample S.B., Bollini R. Prodaction of liquid aerosols by harmonic electrical spraying//J. Coll. Int. Sci. 1972. V.41. №2. P.185-193.
30. Коженков В.И., Кирш А.А., Фукс H.A. О механизме образования монодисперсных туманов при электрическом распылении жидкости//ДАН. СССР. 1973. Т.213. №4. С.879-880.
31. Hendrics C.D., Carson R.S., Hogan J.J., Schneider J.M. Photomic rography of electrically sprayed heavy particles//AIAA Journal. 1964. V.2. №4.
32. Hayati I., Bailey A.J., Tadros Th.F. Investigations into the mechanism electrohydrodynamic spraying of liquids. Part 1//J. Coll. Int. Sci. 1987. V.l 17. №1. P.205-221.
33. Hayati I., Bailey A.J., Tadros Th.F. Investigations into the mechanism electrohydrodynamic spraying of liquids. Part 2//J. Coll. Int. Sci. 1987. V.l 17. №1. P.222-230.
34. Попов С.И., Петрянов И. В. К механизму электростатического распиливания жидкостей//ДАН СССР. 1970. Т.195. №4. С.893-895.
35. Pfeifer R.J. Reply to comments by S.A. Ryce "Charge-to-mass relationships for EHD sprayed liquid droplets" particle deployment//Phys. of Fluids. 1973. Vol.16. № 3. P.454-455.
36. Drozin V.G. The electrical dispersion of liquids as aerosols//J. Coll. Sci. 1955. V.10. №2. P.158-164.
37. Бураев Т.К., Пашин M.M. Качественная картина распыления жидкости в электрическом поле//Электричество. 1971. №4. С.78-79.
38. Wilhelm О.; Madler L.; Pratsinis S.E. // J. Aerosol Sci. 2003. V.34. P.815.
39. Chen C.H., Saville D.A., Aksay I.A. Electrohydrodynamic "drop-and-place" particle depIoyment//Appl. Phys. Letters. 2006. Vol.88. № 3154104. P.l-3.
40. Фукс H. А., Сутугин А. Г. Монодисперсные аэрозоли//Успехи химии. 1965. Т. 34. № 2. С. 276-299.
41. Безруков В.И. Основы электрокаплеструйных технологий. СПб: Изд. Судостроение. 2001.237 с.
42. Тимохин А. Д. Получение потоков монодисперсных нейтральных и заряженных макрочастиц//Тр. Моск. энерг. ин-та. 1981. Вып. 545. С. 3-24.
43. Маску W.A. Some investigations on the deformation and breaking of water drops in strong electric fields//Pros. Roy. Soc., London. 1931. V.133. №A822. P.565-587.
44. Magarvey R., Outhouse L. Note on the break up of charged liquid jet//J. Fluid Mech. 1962. Vol.13. №1.P.151-157.
45. Huebner A., Chu H. Instability and breakup of charged liquid jets//J. Fluid Mech. 1971. Vol.49. №2. P.361-372.
46. Hoburg J.F., Melcher J.R. Current-driven, corona terminated water jets as sources of charged droplets and audible noise//JEEE Transaction on Power Apparatus System. 1975. V.94.№1. P.128-136.
47. Kim K., Turnbull R. Generation of charged drops of insulating liquids by electrostatic spraying//J. Appl. Phys. 1976. V.47. №5. P. 1964-1969.
48. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В. О спонтанном распаде заряженной струи вязкой электропроводной жидкости//ЭОМ. 2003. №1. С.38-43.
49. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В. Об устойчивости неосесимметричной заряженной струи вязкой электропроводной жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.4. С.5-12.
50. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Об устойчивости неосесимметричных мод объемно заряженной струи вязкой диэлектрической жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.11. С.22-30.
51. Grossmann S., Muller A. Instabilities and decay rates of charged viscous liquid jets//Z. Phys. B: Condersed Matter. 1984. V.57. P.161-174.
52. Nayfeh A.H. Nonlinear stability of a liquid jet//Phys. Fluids. 1970. №4. P.841-847.
53. Rutland D., Jamerson G. A nonlinear effect in the capillary instability of liquid jets//J. Fluid Mech. 1971. V.46. №2. P.267-271.
54. Lafrance P. Nonlinear breakup of a liquid jet//Phys. Fluids. 1974. V.17. №10. P.19131914.
55. Новиков А. А. Нелинейные капиллярные волны на поверхности струи вязкой жидкости//Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 2. С.179-182.
56. Chaudhary К., Redekopp L. The nonlinear capillary instability of a liquid jet. Pt.l. Theory. //J. Fluid Mech. 1980. V.96. P.257-274.
57. Chaudhary K., Maxworthy T. The nonlinear capillary instability of a liquid jet. Pt.2. Experiments on jet behavior before droplet formation.//J. Fluid. Mech. 1980. Vol.96. P.275-286.
58. Chaudhary K., Maxworthy T. The nonlinear capillary instability of a liquid jet. Pt.3. Experiments on satellite drop formation and control//J. Fluid. Mech. 1980. V.96. №2. P.287-298
59. Блаженков B.B., Гиневский А.Ф., Гунбин В.Ф., Дмитриев А.С., Щеглов С.И. Нелинейная эволюция волн при вынужденном капиллярном распаде струй//Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. №3. С.54-60.
60. Huynh Н., Ashgriz N., Mashayek F. Instability of a liquid jet subject to disturbances composed of two wave numbers//J. Fluid Mech. 1996. Vol.320. P.185-210.
61. Чесноков Ю.Г. Нелинейное развитие капиллярных волн в струе вязкой жидкости//ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.8. С.31-38.
62. Асланов С.К. К теории распада жидкой струи на капли//ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.11.С.132-133.
63. Горшков В.Н., Чабан М.Г. Нелинейные электрогидродинамические явления и генерация капель в заряженных проводящих струях//ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.11.С. 1-9.
64. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Нелинейный асимптотический анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной струи идеальной жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.8. С.6-14.
65. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Егорова Е.В. О некоторых особенностях нелинейного резонансного взаимодействия мод заряженной струи//Электронная обработка материалов. 2005. №1. С.42-50.
66. Ширяева С.О., Воронина Н.В., Григорьев А.И. Нелинейные осцилляции заряженной струи электропроводной жидкости при многомодовой начальной деформации ее поверхности//ЖТФ. 2006. Т.76. Вып.9. С.31-41.
67. Plateau J. Statique Experimentale et Theorique des Liquids Soumle aux Seule Forces Moleculaire Vols//Gauthier Villars. 1873. V.l. 2.
68. Rayleigh, Lord. On the capillary phenomena of jets//Proc. Roy. Soc., London. 1879. V.29. № 196. P.71-97.
69. Рэлей Дж. Теория звука. Т. 2. М.: Гостехиздат, 1955.475 с.
70. Savart F. Memare sur la contitution veines liquides lancus par des orifices circulaires en mince paroi//Annal. chimic. 1833. Ser. 2. Vol. 53. N 3. P.337-386.
71. Weber C. Zum den Zerfall eines Flussigkeitstrahles//Z. Angew. Math. Mech. 1931. Bd 11. H.3. S. 136-154.
72. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 700 с.
73. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford: Oxford University Press, 1961. 537 p.
74. Keller J. В., Rubinow S. I., Tee Y. O. Spatial instability of a jet//Phys. Fluids. 1973. Vol. 16. №12. P. 2052-2055.
75. Bogy D. B. Wave propagation and instability in a circular semi-infinite liquid jet harmonically forced at the nozzle//Trans. ASME. J. AppL Mech. 1978. VoL 45. №3. P. 469-474.
76. Bogy D. B. Breakup of a liquid jet: third perturbation Cosserat solution// Phys. Fluids. 1979. V.22. №2. P.224-230.
77. Владимиров B.B., Горшков B.H. Особенности образования капель при развитии неустойчивости Рэлея в цилиндрических нитях жидкости//ЖТФ. 1990. Т.60. №11. С.197-200.
78. Горшков В.Н., Мозырский Д.В Самовозбуждение коротковолновых структур и распад на капли в ограниченных нитях жидкости//ЖТФ. 1996. Т.66. Вып.10. С. 15-25
79. Колпаков А.В. Слияние и дробление капель в атмосфере. Одесса: Изд. ОНУ им И.И. Мечникова, 2003.164 с.
80. Петров Г.И., Калинин Т.Д. Применение метода малых колебаний к исследованию распада струй топлива в воздухе//Тех. записки МАП. 1947. №4. 15-23 с.
81. Fenn R.W., Middleman S. Newtonian jet stability: the role of air resistance.// AIChE Journal. 1969. V.12. №3. P. 379-383.
82. Grant R.P., Middleman S. Newtonian jet stability.//AIChE Journal. 1966. V.12. № 4. P. 669-678.
83. Haenlein A. Uber den Zerfall eines Flussigkeitstrahles//Forschung. Ing. Wes. 1931. Bd 2. H.4.S. 139-149.
84. Iciek J. The hydrodynamics of a free, liquid jet and their influence on direct contact heat transfer. 1. Hydrodynamics of a free, cylindrical liquid jet//Int. J. Multiphase Flow. 1982. VoL 8. NT/P. 239-249.
85. Iciek J. The hydrodynamics of a free, liquid jet and their influence on direct contact heat transfer I: Conditions of change of liquid outflow type through sharp inlet edged orifice//Int. J Multiphase Flow, 1983, 9, № 2 P. 167-179.
86. Глонти Г. А. К теории устойчивости жидких струй в электрическом поле//ЖЭТФ. 1958. Т.34. №5. С.1328-1330.
87. Schneider J., Lindbland С., Hendrick Jr. Stability of an electrified liquid jet// J. Appl. Phys. 1967. V.38. №6. P.2599-2606.
88. Michael D., O'Neil M. Electrohydrodynamic instability of a cylindrical viscous jet//Can. J. Phys. 1969. V.47. P. 1215-1220.
89. Saville D. Electrohydrodynamic stability: effect of charge relaxation at the interface of a liquid jet//J. Fluid Mech. 1971. V.48. №4. P.815-827.
90. Saville D. Stability of electrically charged viscous cylinders.//Phys. of Fluids. 1971. V. 14. №6. P. 1095-1099.
91. Huebner A.L. Disintegration of charged liquid jets//J. Fluid Mech. 1969. V.38. Part.4. P.679-688.
92. Френкель Я.И. Действие электрического поля на струю жидкости//Сб. На заре новой физики. JL: Наука. 1970. С.238-243.
93. Garmendia L., Smith I. The effects of an electrostatic field and air stream on water jet break-up length//Can. J. Chem. Eng. 1975. V.53. P.606-610.
94. Toraita Y., Sudou K., Tshibashi Y. Effect of a magnetic and an electrical field on the behavior of liquid jets//Bull. JSME. 1979. V.22. №172. P.1390-1398.
95. Кожевников В. И., Чеканов В. В., Литовский Е. И. Свободные вертикальные струи над деформированной поверхностью магнитной жидкости в электрическом поле//Магнитная гидродинамика. 1982. №4. С.118-120.
96. Назин С. С., Изотов А. Н., Шикин В. Б. Об устойчивости заряженной струи//ДАН СССР. 1985. Т.283. №1. С. 121-125.
97. Герценштейн С.Я., Мусабеков П. М., Рудницкий А. Я., Уразов Ш. Н. Неустойчивость и распад наэлектризованных капиллярных струй//ДАН СССР. 1989. Т.306. №5. С. 1073-1077.
98. Taylor G. Electrically driven jet//Proc. Roy. Soc., London. 1969. V.A313. P.453-470.
99. Gilbert, W. De Magnete. /Translation by P. F. Mottelay. New York: Dover Publications Inc., 1958.
100. Taylor G. Disintegration of water drop in an electric field//Proc. Roy. Soc., London. 1964. V.A280. P.383-397.
101. Zeleny J. The electrical discharge from liquid points and a hydrostatic method of measuring the electric intensity at their surfaces//Phys. Rev. 1914. V.3. №2. P.69-91.
102. Zeleny J. On the condition of instsbility of electrified drops with application to the electrical discharge from liquid points//Proc. Cambridge Phil. Soc. 1914. V.18. Part 1. P.71-83.
103. English W.N. Corona from water drop//Phys. Rev. 1948. V.74. №2. P.179-189.
104. Vonnegut В., Neubauer R.L. Production of monodispers liquid particles by electrical atomization//J. Coll. Sci. 1952. V.7. №6. P.616-622.
105. Navab M.A., Mason S.G. The preparation of uniform emulsions by electrical dispersion//J. Coll. Sci. 1958. V.13. P.179-187.
106. Schjultze K. Das Verhalten verschidener Flussigkeiten bei red Electrostatischen Zerstaubung//Zeitschrift fur angewandte Physik. 1961. B.13. №1. S.l 1-16.
107. Kleber W. Der Mechanismis der Electrostatischen Lackerzerstabung//Plaste und Kautschuk. 1963. №8. S.502-508.
108. Hines R.L. Electrostatic atomization and spray painting//J. Appl. Phys. 1966. V.37. №7. P.2730-2736.
109. Jones A.R., Thong K.C. The production of charged monodispers fuel droplets by electrical dispersion//J. Phys. D: Appl. Phys. 1971. V.4. P.l 159-1165.
110. Коженков В.И., Кирш А.А., Фукс H.A. О механизме образования монодисперсных туманов при электрическом распылении жидкости//ДАН. СССР. 1973. Т.213. №4. С.879-880.
111. Бураев Т.К., Верещагин И.П. Физические процессы при распылении жидкости в электрическом поле//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1971. №5. С.70-79.
112. Robinson K.S., Turnbull R.J., Kim K. Electrostatic spraying of liquid insulators//IEEE Trans, on IA. 1980. V.IA-16. №2. P.308-316.
113. Wilson J. M. A linear source of electrostatically charged spray//J. Agric. Engng. Res. 1982. V.27. P.355-362.
114. Smith D.P.H. The electrohydrodynamic atomization of liquids//IEEE Trans, on IA. 1986 V.IA-22. №3. P.527-535.
115. Hayati I., Bailey A.J., Tadros Th.F. Mechanism of stable jet formation in electrohydrodynamic atomisation//Nature. 1986. V.319. №1. P.41-43.
116. Кириченко B.H., Полевов B.H., Супрун H.H., Петрянов-Соколов И.В. Перенос заряда при электрогидродинамическом распылении жидкости//ДАН СССР. 1988. Т.301. №3. С.814-817.
117. Кириченко В.Н., Михайлова А.Д., Полевов В.Н. Удельный заряд жидкости в процессах ЭГД-распыления и формирования микроволокон//ДАН СССР. 1990. Т.315. №4. С.819-823.
118. Cloupeau М., Prunet Foch В. Electrostatic spraying of liquids in cone-jet modes//J. Electrostatics. 1989. V.22. P. 135-159.
119. Fernandes De La More J., Loscertales I.G. The current emitted by highly conducting Taylor cones//J. Fluid Mech. 1994. V.260. P.155-184.
120. Gomez A., Tang K. Charge and fission of droplets in electrostatic sprays// Phys. Fluids. 1994. V.6. №1. P. 404-413.
121. Shiryaeva S.O., Grigor'ev A.I. The semifenomenological classification of the modes of electrostatic dispersion of liquids//! Electrostatics. 1995. V.34. P.51-59.
122. В. H. Кириченко, Петрянов-Соколов И. В., Супрун Н. Н., Шутов А. А. Асимптотический радиус слабопроводящей жидкой струи в электрическом поле//ДАН СССР. 1986. Т.289. №4. С.817-820.
123. Кириченко В. Н., Супрун Н. Н., Петрянов-Соколов И. В. Области существования свободных стационарных жидких струй в сильном внешнем электрическом поле//ДАН СССР. 1987. Т.295. №2. С.308-311.
124. Кириченко В. Н., Супрун Н. Н., Петрянов-Соколов И. В. Форма свободной стационарной жидкой струи в сильном однородном электрическом поле//ДАН СССР. 1987. Т.295. №4. С.553-555.
125. Canan-Calvo A.M. On the theory of electrohydrodynamically driven capillary jets//J. Fluid Mechanics. 1997. V.335. P.165-188.
126. Шутов A.A., Захарьян A.A. Заряженная струя несжимаемой жидкости в электрическом поле//ПМТФ. 1998. Т.39. №4. С. 12-15.
127. Шутов А.А. Форма слабопроводящей струи в сильном электрическом поле//ПМТФ. 1991. Т.32. №2. С.20-25.
128. Зубарев Н.М. Точное решение задачи о равновесной конфигурации двумерной заряженной жидкометаллической капли//Письма в ЖТФ. 1999. Т.25. Вып.23. С.55-60.
129. Зубарев Н.М., Зубарева О.В. Анализ равновесных конфигураций заряженных цилиндрических струй проводящей жидкости//Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып.1. С.51-55.
130. Feng J.J. Stretching of a straight electrically charged viscoelastic jet//J. Non-Newtonian Fluid Mechanics. 2003. V.l 16. P.55-70.
131. Turnbull R. Self-acceleration of a charged jet/ЯЕЕЕ Trans. Ind. Appl. 1989. V. 25. N4. P. 699-704.
132. Гиневский А. Ф., Мотин А.И. Особенности капиллярного распада струй диэлектрической вязкой жидкости с поверхностным зарядом//ИФЖ. 1991. Т.60. №4. С.576-581.
133. Mestel A.J. Electrohydrodynamic stability of a slightly viscous jet//J. Fluid Mech. 1994. Vol.274. P.93-113.
134. Mestel A.J. Electrohydrodynamic stability of a highly viscous jet//J. Fluid Mech. 1996. Vol.312. №2. P.311-326.
135. Шкадов В.Я., Шутов A.A. Устойчивость поверхностно заряженной вязкой струи в электрическом поле//Изв. РАН. МЖГ. 1998. №2. С.29-40.
136. Shkadov V.Ya., Shutov А.А. Disintegration of a charged viscous jet in a high electric field//Fluid Dynamic Res. 2001. V.28. P.23-39.
137. Бухаров A.B., Гиневский А. Ф., Коновалов H.A. Влияние электрического поля на капиллярный распад струи электролита//ИФЖ. 1991. Т.60. №4. С.582-586.
138. Гиневский А. Ф. Особенности капиллярного распада струй заряженных диэлектриков//Исследование процессов и систем монодисперсного распада жидкости. Сб. н. тр. МЭИ. №119. М: Изд. МЭИ. 1986. С.18-26.
139. Гиневский А. Ф. Особенности капиллярного распада струй вязких заряженных диэлектрических жидкостей//Физико-технические проблемы монодисперсных систем. Сб. н. тр. МЭИ. №185. М: Изд. МЭИ. 1988. С.54-58.
140. Шкадов В.Я., Шутов А.А. Устойчивость поверхностно заряженной вязкой струи в электрическом поле//Итоги науки и техники. Сер. "Механика жидкости и газа". 1984. Т.1. С. 27-35.
141. Fang Li, Xie-Yuan, Xie-Zhen Yin. Linear instability analysis of a coaxial jet//Phys. Fluids. 2005. V.17. №077104. P.l-12.
142. Raco R.J. Stability of a liquid jet in a longitudinal time-varying electric field//AIAA Journal. 1968. V.6. №5. P.979-980.
143. Кириченко B.H., Шепелев А.Д., Полевов B.H., Петрянов-Соколов И.В. Поперечное расщепление струи в сильном электрическом поле//ДАН СССР. 1988. Т.302. №2. С.284-287.
144. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О корректной форме записи закона сохранения количества вещества на движущейся границе раздела двух жидких сред//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып. 11 С.22-28.
145. Higuera F.J. Flow rate and electric current emitted by a Taylor cone//J. Fluid Mech.2003. V.484. P.303-327.
146. Higuera F.J. Current/flow-rate characteristics of an electrospray with a small meniscus//J. Fluid Mech. 2004. V.513. P.239-246.
147. Canan-Calvo A.M. Cone-jet analytical extension of Taylor's electrostatic solution and the asymptotic universal scaling laws in electrospraying//Phys. rev. Lett. 1997. V.79. №2. p.217-220.
148. Gamero-Castano M., Hruby V. Electric measurements of charged sprays emitted by cone-jets//J. Fluid Mech. 2002. V.459. P.245-276.
149. Lopez-Herera J.M., Canan-Calvo A.M. A note on charged capillary jet breakup of conducting liquids: experimental validation of a viscous one-dimensional model//J. Fluid Mech.2004. V.501. P.303-326.
150. Marginean I., Parvin L., Hefferman L., Vertes A. Flexing the electrified meniscus: the birth of a jet in electrosprays//Anal. Chem. 2004. V.76. P.4202-4207.
151. Loscertales I.G., Barrero A., Marquez M. Production of complex nano-stuctures by electro-hydro-dynamics//Mater. res. Soc. Symp. Proc. 2005. V.860E. P.LL.5.9.1.- LL.5.9.6.
152. Donnelly R. J., Glaberson W. Experiment on capillary instability of a liquid jet//Proc. Roy. Soc. 1966. V.290A. P.547-556.
153. Yuen M.C. Non-linear capillary instability of a liquid jet//J. Fluid Mech. 1968. V.33, part 1. P.151-163.
154. Goedde E. F., Yuen M.C. Experiments on liquid jet instability//J. Fluid Mech. 1970. V.40, part 3. P.495-511.
155. Lafrance P. //Phys. Fluids. 1975. V.18. P.428.
156. Rutland. D.F., Jameson G.J. //J. Fluid Mech. 1971. V.49. P.267.
157. Герценштейн С.Я., Мусабеков П.М., Рудницкий А.Я., Умаркулов К. О немонодистереном распаде капиллярных струй в нестационарном электрическом поле//Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. №5. С. 1073-1077.
158. Ширяева С.О., Воронина Н.В., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частотам мод оецилляций заряженной струи идеальной жидкости//ЖТФ. 2007. Т.77. Вып.2. С.46-55.
159. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Курочкина С.А., Санасарян С.А. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости//ЭОМ. 2004. №2. С.27-31.
160. Жаров А.Н., Григорьев А.И,, Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли вязкой жидкости//ЭОМ. 2005. №4. С.35-43.
161. Климов А.В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Санасарян С.А. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны на поверхности слоя вязкой жидкости//ЭОМ. 2005. №5. С.24-33.
162. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Волны конечной амплитуды на поверхности вязкой глубокой жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.4. С.28-37.
163. Справочник по специальным функциям. / Под ред. Абрамович М., Стиган И. М.: Наука, 1979. 832 с.
164. Аликин А.Р., Блаженков В.В., Гунбин В.Ф., Щеглов С.И. Исследование эволюции спектра колебаний поверхности струи при вынужденном капиллярном распаде//ИФЖ. 1991 .Т.60. №4. С.550-553.
165. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные колебания заряженной капли//ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.8. С.45-52.
166. Ширяева С.О.//Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С.173-184.
167. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.
168. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин С.И.//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 16. С.38-40.
169. Ширяева С.О., Лазарянц А.Э., Григорьев А.И. и др. Метод скаляризации векторных краевых задач. Препринт ИМРАН № 27. Ярославль, 1994. 126 с.
170. Bailey A.G.//Atomization and Spray Technology. 1986. V.2. P.95-134.
171. Григорьев А.И., Ширяева C.O., Воронина H.B., Егорова Е.В. Об осцилляциях и спонтанном распаде заряженных жидких струй//ЭОМ. 2006. №6. С. 15-27.
172. Григорьев А.И., Ширяева С.О.//ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С.10-14.
173. Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л: Химия, 1971. 702 с.
