Исследование сходимости формулы Карлемана-Голузина-Крылова в классических метриках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

I I \

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА-ГОЛУЗИНА-КРЫЛОВА В КЛАССИЧЕСКИХ МЕТРИКАХ.

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физико-математических наук, профессор В.П.ХАВИН

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук В.И.ВАСЮНИН

кандидат физико-математических наук И.В. ВИДЕНСКИЙ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Российский государственный педагогический университет имени А.И. Герцена

Защита диссертации состоится «7» фгЫЬкРи 2003 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН по адресу 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института имени В.А. Стеклова.

Автореферат разослан «¿7» 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук А. Ю. Зайцев

Ч 72^0

Общая характеристика работы. Актуальность темы.

Формула Карлемана-Голузина-Крылова (СОК) восстанавливает аналитическую в единичном круге В функцию / класса Харди Н1 (Ю) по ее граничным значениям на множестве Е С Т = {г : )г\ = 1} положительной меры Лебега. А именно, полагая

где г £ Ю>, с > 0, 0 — внешняя функция в Ю>, причем выполнено равенство

Формула (СОК) была впервые построена в статье [1], где, в частности показано, что предел в (СОК) можно понимать в смысле равномерной сходимости на компактах круга ЕР. Она подробно описана также в монографиях [2, 3, 4]. В книге [3] значительное внимание уделено многомерным вариантам формулы {СОК). В статье [5] Д.Патил доказал, что сходимость в (Св К) имеет место по норме пространства Харди Нр, 1 < р < оо, если / е Нр. В работе [6] описаны модификации (СОК) (в частности, для Е С В и Т), применимые для доказательств теорем единственности для различных классов аналитических функций, гладких вплоть до границы.

В монографии [4] автор ставит следующие два вопроса: имеет ли место аналог теоремы Патила для сходимости по норме диск-алгебры А (соответственно, Н1), если / 6 А (соответственно, / е Я1)?

Ответам на эти два вопроса посвящены Глава 1 и Глава 2 диссертации, соответственно.

Надо сказать, что такая постановка вопросов требует уточнения. Дело в том, что из известных свойств интегрального оператора Коши, участвующего в (СОС), и из разрывности функции <3 следует, что, вообще говоря, для / 6 А (соответственно, / € Я1), выражение под знаком предела в (СОС) может не принадлежать А (соответственно,

имеем

/(г)= 1ш1 {С0К)ЛШ-

Осек)

Я1).

Тем не менее, для функций из этих пространств интерес представляет сходимость формулы в точках окружности Т, отделенных от Е, то есть в метриках, соответственно, С (К) и L1 {К), где К с Т \ (J, U — окрестность множества Е. Именно эти задачи и решены в Главах 1 и 2.

Цель следующей Главы 3 — исследовать сходимость описанного классического варианта формулы (CGK) на известных пространствах аналитических в круге функций с граничными значениями на Т, обладающими определенной гладкостью. Именно, нас будет интересовать принадлежность к пространству Липшица самих функций либо их производных нескольких порядков. В этой главе Е будет дугой окружности.

По той лее причине (разрывность интегрального ядра (CGK) в концах дуги Е) естественно рассматривать сходимость формулы в простан-ствах гладких функций на (компактных) дугах, не содержащих двух этих точек.

Интерес представляют следующие 3 вопроса.

1. Сходится ли формула (CGK) в метрике Липшица на компактной дуге окружпости Т, не содержащей концов дуги Е, при условии, что восстанавливаемая функция / удовлетворяет условию Липшица того же или большего порядка на всей Т?

2. Что можно сказать о сходимости к—х производных приближающих функций в формуле (CGK), если € Lipa{Т) или если /<*> £ Lip (а + г)(Т)?

3. Какова скорость сходимости (или расходимости)?

С формулой Карлемапа-Голузина-Крылова оказывается связан еще один вопрос.

Рассмотрим задачу весового приближения функциями с полуограниченным спектром на прямой М. Решение этой задачи доставляет следующая теорема М. Г. Крейна [7, 8].

Теорема (М. Г. Крейн).

Пусть Д — неотрицательная функция, заданная и суммируемая на R. Следующие утверждения равносильны:

+0О

1) ДА) =

—оо

2) для любых е > 0 и а > 0 найдется тригонометрическая сумма S вида

n

S(w) = £ c*e,<Tk*. k = l,...,N,

к-1

удовлетворяющая неравенству

+оо

J |1 - 5(ж)|2Д(а;)йат < е.

—оо

Аналогичные результаты, касающиеся весовых приближений на окружности, принадлежат Г. Сеге [9,10] и А. Н. Колмогорову [11]. Приближения тригонометрическими суммами в весовых /^-пространствах изучали Н. Н. Ахиезер [12] и Г. Ц. Тумаркин [13]; поточечную весовую аппроксимацию в L°°(T) изучал Н. К. Никольский [14].

Известные доказательства теоремы Крейна и ее аналогов основаны как правило на соображениях двойственности и не дают явного выражения аппроксимирующих тригонометрических сумм. В связи с этим (а также в связи с вероятностными задачами прогноза) в статье Маккина [15] была поставлена задача построения эффективных формул, определяющих суммы S, о которых идет речь в теореме Крейна. Решению этой задачи (см. также [16]) и посвящена Глава 4.

Нужно сказать, однако, что для весовых приближений на окружности Т такие формулы содержались уже в работах Сеге. С помощью замены переменной их нетрудно преобразовать в аналогичные формулы для Ж (см. ниже обсуждение в обзоре п.4.1.5 диссертации).

В п.4.3 Главы 4 диссертации мы предлагаем иную конструкцию.

В статье [б] было отмечено, что с учетом работы Патила [5] формулу (CGK) (и ее аналог на вещественной прямой) можно воспринимать как конструктивное приближение функции / 6 Н2(Х), где X = Т или X = Е, последовательностью функций класса Ht{X) в весовой метрике L2(X\ Д), если в качестве веса Д взять характеристическую функцию множества СЕ. Естественно возникает вопрос о такой модификации формулы (CGK), которая осуществляла бы подобное приближение при любом суммируемом на X весе Д, удовлетворяющем условию 1) теоремы Крейна, и тем самым, по существу, решала задачу Маккина.

Цель работы.

Исследовать сходимость операторов (CGK)a в пространствах Я1 и А. Исследовать сходимость операторов (CGK)a в пространствах Липшица и пространствах функций более высокой гладкости. Построить модификации формулы (CGK), решающие задачу Маккина [15] из теории экстраполяции случайных процессов, то есть построить последовательность ганкелевых операторов, действующих в весовом простран-

стве Н2(Д) на прямой (или единичной окружности), значения которых приближают заданную гармонику е1ах (соответственно, га) а > 0, при условии расходимости логарифмического интеграла от веса .

Общая методика исследования.

Используется аппарат теории функций одной вещественной пременной, комплексного анализа функций одной комплексной переменной, линейного функционального анализа.

Конструкцию (СОК) можно воспринимать как своеобразную "аппроксимативную единицу"( "сингулярный интеграл"— в том смысле, в каком этот термин понимается в монографии [17]). Эта точка зрения позволяет предвидеть результаты глав 1 — 3, но мало помогает в их доказательстве, так как операторы (ССК)„ довольно далеки от сверточных, и оценки сходимости (или расходимости) требуют довольно специальной техники, которая, к тому же, должна учитывать аналитичность изучаемых функций.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории аппроксимации функций и операторов, теории функций комплексного переменного, теории стационарных случайных процессов. Кроме того, полученные результаты являются источником явных формул приближения функций.

Апробация работы.

Результаты диссертационного исследования докладывались на семинаре по теории функций комплексной переменной ПОМИ РАН (2000); на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2001); на семинаре по математическому анализу университета Трондхейма (Норвегия, 2001); на международной летней конференции по математическому анализу (ПОМИ РАН, 2003).

Публикации.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [1].[И],[Ш].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из четырех глав, разбитых на пункты. Библиография содержит 33 наименования.

Краткое содержание работы. Общее описание.

Два основных результата первой и второй глав — Теоремы 1 и 2 — в основной своей части состоят в том, что даже "ослабленной"сходимости формулы (С<3К), то есть сходимости в метриках, соответственно, Ь1 (К) и С(К), где К С Т \ I/, и — окрестность множества Е, может не быть для некоторых функций из Н1 (В) и А, соответственно. Тем самым, получен ответ на вопросы Партингтона [4]. В Главе 3 изучена сходимость формулы (СОК) в классических пространствах аналитических функций с гладкими метриками (пространствах Липшица и пространствах функций более высокой граничной гладкости), оценена ее скорость.

В Главе 4 с помощью модификации формулы (ССК) решена задача Маккина [15] из теории экстраполяции случайных процессов, то есть построена последовательность ганкелевых операторов, действующих в весовом пространстве Нр(Д) на прямой (или на единичной окружности), значения которых приближают заданную гармонику егах (соотвтствен-но, га) а > 0, при условии расходимости логарифмического интеграла от веса Д.

Обзор диссертации по главам. Введение.

Введение содержит постановку задач, историю вопроса, обзор полученных результатов, а также обозначения, общие для всех разделов диссертации.

Вот некоторые из них.

Буква т обозначает нормированную меру Лебега на единичной окружности Т:

, / ч М гв

am(z) — —, л = е . 27Г

Пусть I — интервал, 7 : I € — гладкий простой путь, М С j(I), f — гладкая функция, суммируемая (относительно длины дуги) на кривой 7(/). Введем обозначение

Ct М- — f^

°m(Z) ~ 2т J C-z '

м

для 2: € С \ 7(/)-

Везде ниже Е будет обозначать компактную дугу, Е = Е$ С Т, такую, что Т \ Е = СЕ = {eie : |0| < 5}, 0 < S < щ Е° = Е\ {e±,i}. Если f 6 #г(Ш>), то для г 6 © и а > О

f(z) = • Cseq° (z) + Q-*(z) ■ Cfc% (г) = (CGK)l (f) + Я*(/). (1)

В качестве Q, вообще говоря, можно взять любую внешнюю в круге Ш> функцию, для которой |Q| = 1 почти всюду на СЕ,

J log\Q\dm > 0.

Е

Эти условия обеспечивают равенство

lim K(f)= 0

<г-*ос

при \z\ < 1. Мы же остановимся на классическом варианте формулы (CGK), положив |Q| ~ е на множестве Е.

Глава 1. Оценки норм операторов (CGK)a на диск-алгебре.

В первой главе дается отрицательный ответ на первый из вопросов Пар-тингтона [4, стр.60] (см. выше). Именно, доказано, что предел функции a \\(CGK)a\\c(K), где компактная дуга К С СЕ, равен +оо при а —> оо.

Это следует из Теоремы 1 (п.1.2.2) и формулы 1.

В п.1.1, формулируется и обсуждается Теорема 1, к чему в пп.1.1.1 и 1.1.2 проводится некоторая подготовка.

В частности, в п.1.1.1 отмечено, что если / G А, то функция г i-* R%{f), z € D, непрерывно продолжима из D на Ю) U СЕ.

Таким образом, / >->■ Rla(f) есть линейный непрерывный функционал на А.

Теорема 1.

а) Пусть f 6 А, ||/|Ц < 1; тогда найдется такая функция а : а ь» а(сг) (сг > 0), что

I-Rct(/)I < о(сг), и а(а) ~ - loger, о оо.

7Г

б) Существуют такие числа с = с(8) и d = d(6), с, d > 0, что

\R1cm(gm)\>d-logrn,m = 2,i,..., (2)

где функции дт лежат в единичном шаре в А.

В качестве дт можно взять функции Ландау (см. п. 1.1.2), которые будут использованы в Главе 1, дополнении к ней (см. п. 1.6) и в Теореме 5 (Глава 3). Это рациональные функции:

где Pm(z) есть т-я сумма Маклорена функции l/yl — z (считаем, у/1 = 1). Они

являются конечными произведениями Бляшке и применялись различными авторами (см. например,[19] , [18]) для оценки равномерных норм частичных сумм Фурье функций из А и функционалов на А (и Я°°(В)).

Из принципа сгущения особенностей Банаха-Штейнгауза и формулы (1) следует, что существует функция f £ А такая, что равенство

lim (CGK)l (/) = /(1)

о —> + оо

не имеет места (причем выражение под знаком предела неограничено), так что формула (CGK) не пригодна для "поточечного восстановле-ния"функций из А в точках дуги СЕ по их значениям на дуге Е.

В п.1.2 вводятся обозначения, касающиеся, в основном, разбиения дуги СЕ, интегралом по которой и представим остаток R„(f) формулы (CGK).

Следующие пункты Главы 1 посвящены доказательству Теоремы 1: п.1.3 — ее первой части, а п.1.4 — второй.

При этом в п.1.4.1 мы выделяем ту часть дуги СЕ, на которой в п.1.4.2 оценка снизу интеграла, представляющего значение остатка Яа(дт), дает неравенство части б) Теоремы 1.

В п.1.5 приводится доказательство оценки, использованной нами в предыдущем пункте и заимствованной из статьи [18] (в которой доказательство не приводилось).

Дополнение к Главе 1: о точности п.а) в Теореме 1.

Здесь приводится доказательство следующего утверждения. Предложение.

Для любого д € N существует такая последовательность функций

Утверждение а) Теоремы 1 показывает, что справедливо неравенство, обратное по отношению к неравенству (2) (только, может быть, с большей константой с1).

Из Предложения сразу следует, что константа 1/п в первой части Теоремы 1 не может быть заменена на меньшую.

Глава 2. Оценки норм операторов (ССК)а на пространстве Я1.

Обозначим через Ла оператор, сопоставляющий функции / б Ях(©) функцию г >-> Я£(/), г £ Р (см.(1)). В главе 2 для / б #*(©) мы рассматриваем вопрос о сходимости к нулю функций при о —+оо в пространстве Ь1К := ЬХ(К), где К С СЕ\ К — компактная невырожденная дуга. Норму в Ь1К будем обозначать через || • ||к-. Теорема 2

Существуют такая константа с = с(5) > 0 и такая последовательность функций Рп, Ц^пЦямю) 1 » что

СП (■РпМк+00, п = 2,3,...

И здесь принцип Банаха-Штейнгауза обеспечивает существование функции / из Я1 (©), такой, что

ыр{\\(СОК)1\\к; а = 2,3,...} = +со.

В п.2.1 изложено в удобной для нас форме доказательство известного факта из теории рядов Фурье — пример Ф.Рисса ряда Фурье функции расходящегося в Ь1 (см. напр., [20]). На него будет существенно опираться доказательство Теоремы 2. В нашей формулировке примера Рисса мы дополнительно предполагаем, что Р £ Я1.

Результат примера Рисса следует из принципа Банаха-Штейншуза примененного к последовательности функций ^ из единичного шара Я1.

Важную роль также играет Следствие в конце пункта 2.1 о том, что расходимость частичных сумм Фурье в примере Рисса имеет место в метрике Ь1{К), где К. — сколь угодно малая окрестность нуля.

Пункт 2.2 разбит на 3 следующие части.

В п.2.2.1 введены вспомогательные обозначения геометрического характера.

В п.2.2.2 рассматривается разность между частичными суммами ряда Маклорена функций Ррг из примера Рисса и Яак (Г/у) (для предварительно подобраных значений ст* 1" +оо). Эта разность оценивается в метрике Ь1 на некоторых подмножествах дуги СЕ.

В п.2.2.3 доказано, что упомянутая разность ограничена в пространстве Ь^ равномерно по а, что вместе с примером Рисса доказывает Теорему 2.

Глава 3. Формула Карлемана-Голузина-Крылова и аналитические функции, гладкие вплоть до границы.

В Главе 3 даны ответы на вопросы, поставленные во Введении и относящиеся к аналитическим функиям, гладким вплоть до границы. Основным итогом являются Теоремы 3, 4 и 5.

Теорема 3.

Предположим, что Ь*,Ь** — произвольные компактные дуги, лежащие, соответственно, в СЕ и Е, не содержащие точек ег3 и е~г6 и удаленные от них не меньше, чем на е > 0. Пусть а > 2, 0 < а < 1,

Ь = и и Ь**.

Тогда, при любом ¡3,0 < (3 < а, отображение Яа : / м- Raf, определяемое формулой (СвК), есть линейный непрерывный оператор

Ra : -4 Лp(L), и существует константа С — С(а,0,5,е) > 0, не зависящая от а, такая, что для нормы указанного оператора верна оценка

Здесь

A£(L) = An Lipa{L)-, := А П Lipa{Т).

Таким образом, для / ё Л* сходимость формулы (CGK) к / имеет место по норме || • \\иРв(Ь) при любом 0 < а. Будем считать, что дуга L* имеет вид

L* = je-il5*,eirj С Т, 0 < 6* < 6.

Теорема 3 точна в том смысле, что существует (неограниченно возрастающая)

последовательность оп т&кяя, что нормы операторов

(CGK)„n,

{CGK)an : Л* 0 < а < 1,

растут при п оо, не медленнее, чем С(5,5*) 1п<т„, то есть верна следующая

Теорема 4.

Для любого а, 0 < а < 1, существует последовательность ап такая, что равномерно по п

||Л(7„||ла_>.ла(£-) >Ca,s,g' -In<т„,

где п = 2,3, —

Из принципа сгущения особенностей Банаха-Штейнгауза непосредственно вытекает

Следствие. При любом а, 0 < а < 1, существует функция / £ такая, что последовательность ап := ||Д<т„/||a£(L>) стремится к бесконечности.

Введем некоторые новые обозначения.

Пусть L — объединение конечного числа компактных дуг окружности Т.

Пространство C£a(L) по определению состоит из функций /, у которых все производные до порядка к включительно непрерывны в единичном круге вплоть до L, причем € Lipa(L); положим С£а :— С£а(П В качестве нормы / в C£a(L) возьмем величину

ll/lli,ос + ll/'IU,ОС + • • • + ll/^^lkoo + \\f{k)hipalL).

Теорема 5. (Сходимость формулы (СОК) в пространствах С£а; см. п.3.3)

Предположим, что Ь", Ь*" — произвольные компактные дуги, лежащие, соответственно, в СЕ и Е, не содержащие точек е"5 и е~*5, и удаленные от них не меньше, чем на £ > 0. Пусть сг > 2, 0 < а < 1, Л = 0,1,2... Ь = Ь*иЬ*'.

Тогда, при любом /3, 0 < 0 < а, отображение Д(, : / Д^/ определяемое формулой (СйК) (см. формулу (1)), есть линейный непрерывный оператор

Иа : С£а -»• С£р(Ь), и существует константа С — С(к,а,0,5,е) > 0, не зависящая от сг, такая, что для нормы указанного оператора верна оценка

Следствие. Если / 6 (7°°(Т) П А, то при а оо все производные функции Яа/ стремятся к нулю равномерно на любом замкнутом подмножестве множества Т \ е±,<5.

В п.3.1 определяются несколько пространств функций, аналитических в круге © с различной степенью гладкости вплоть до заданной дуги окружности Т.

Кроме того, в этом пункте мы приводим классическую теорему Харди-Литтлвуда, которую доказываем в удобном для нас локальном варианте.

В п.3.2 доказывается серия лемм подготовительного характера. Среди них отметим Лемму 3, которая играет важную роль в доказательстве Теорем 3 и 5.

Обозначим через дугу, опирающуюся на точки ег6 и е~г6, проходящую через точку ( € ГО, а через П(() — область между дугами и СЕ.

Лемма 3 (Основная формула понижения).

Пусть / 6 2 £ ГО, х €

Тогда

+ + ; (3)

2 это

кроме того, на пространстве С* верно следующее операторное равен-

где V и в — соответственно, операторы дифференцирования и сдвига (умножения на независимую комплексную переменную), Аз(г) = (7Г/28Ш6)(г - 2соз5), г 6 С.

Здесь аналитическая в круге Ю> функция Ф такова, что <2 = еф. Из свойств функции следует, что 1/Ф' есть квадратный трехчлен с нулями е±г<5. Поэтому Лемма, фактически, утверждает, что операторы Я„ перестановочны с дифференцированием с точностью до умножения на ограниченные аналитические функции и двух слагаемых большего порядка гладкости.

Лемма 6 дает производным Яст(/) (см. (1)) равномерную оценку на множестве Ш)\ К(е), где У{е) произвольно малая фиксированная окрестность точек е±,л, в случае, когда / аналитична в окрестности дуги СЕ.

Лемма 8 доказывает Теорему 3 в части сходимости на дуге Ь**, внутренней по отношению к дуге Е (с которой "восстанавливает-ся"функция /, см. {С С К)). Скорость сходимости в метрике сколь угодно высокого порядка гладкости и при самых общих допущениях относительно /(/6 Я1) на Ь** оказывается намного выше, чем указанная в Теореме 3 (для всей дуги Ь).

Пункт 3.3 целиком посвящен формулировке и доказательству Теоремы 3.

Доказательство проводится в два этапа. На первом (п.А) мы получаем равномерную по а оценку

где х £ Ш>\ У(е), д(г) = 1 — \г\, по виду напоминающую условие теоремы Харди-Литтлвуда.

На втором шаге (п.Б) мы окончательно преобразуем эту оценку к виду, подходящему для применения теоремы Харди-Литтлвуда. В пп.3.4 и 3.5 доказаны (соответственно) теоремы 4 и 5.

Глава 4. Задача Маккина и формулы типа Карлемана-Голузина-Крылова.

Как говорилось выше, в Главе 4 предлагается конструкция, решающая задачу Маккина явного весового приближения функциями с полуограниченным спектром на прямой К.

ство

= Ф' (-) + А*+ , (4)

Основным результатом этой главы (см. п.4.3.2) является Теорема 6. В этой теореме есть оператор Ганкеля с символом А € L°°{X),

Ux-.Hl{X)^Hl{X).

Теорема 6.

Пусть X есть единичная окружность Т или прямая К, Д — ограниченный неотрицательный вес на X, А € L1 {X), с расходящмся логарифмическим интегралом. Пусть f € Н2(Х).

Тогда, если А £ Ь°°(Х), то

f = lim qs-НМЛ е Ь2(Д), (5)

8—ЮО Чв

где qa есть последовательность внешних функций, задаваемая явно по весу А.

В случае, если А € Ll(X) и А £ L°°(X), формула (5) также имеет место, при следующих ограничениях на функцию / :

• / аналитична в круге rD при некотором г > 1, если X = Т;

• / совпадает па К с некоторой целой функцией конечного типа, если X = К.

Аппроксимационная формула (5) по структуре и даже количественно близка к формулам типа (CGK) (см. ниже обзор пункта 4.1.1).

Мы ограничиваемся среднеквадратическими приближениями, хотя формулы пп.4.2,4.3 можно, по-видимому, использовать для других метрик (в том числе для равномерной; см. в этой связи замечание 4.2.1Е).

В п.4.1 мы обсуждаем формулу (CGK) и ее обобщения; стремясь к замкнутости изложения, приводим довольно подробную сводку классических результатов Сеге-Колмогорова-Крейна (причем мы используем также работы Н. И. Ахиезера и Г. Ц. Тумаркина).

В п.4.1.1. вводятся некоторые дополнительные обозначения. В частности, вводятся пространства Харди HP(R) и Н±(Х), где 0 < р < оо, а X — одно из множеств Т или Е.

С учетом теоремы Патила [5] (см. также [4, Глава 2]) формуле (CGК), можно придать следующий вид:

/= lim ±Tcf(fxii) в L2(Т) (/ея2). (6)

17—>00 Ц/

Здесь хе обозначает характеристическую функцию множества Е. Кроме того, в формуле (6) участвует оператор Теплица

7д:£2(Т)^#2, T\(F) := P+(XF), (F € Я2),

где

Р+ : L2(Т) -V ff2( Т)

есть ортогональный проектор ("проектор М. Рисса").

Функция Q в формуле (CGK) продолжима через дугу СЕ, и на самой дуге |Q| = 1. Это означает, что Q_1(() = Q(Oi С £ и пользуясь разложением Сохоцкого-Привалова, мы получаем

~tcf(fxe)(С) = / • Xg(C) -ф'-к^ (1хеш), С G СЯ. (7)

Здесь И\ есть оператор Ганкеля

■Нх:Н2(Х) ^ Н2(Х), А 6 L°°, %\F = F — T\F.

Из (7) видно, что формула (CGK) доказывает Теорему 6 в частном случае: X = Т, Д = хсе-

В п.4.1.1 после введения необходимых обозначений рассматривается аналог формулы (CGK), восстанавливающий функцию / класса Н2(Ш.) по ее следу на множестве 5 С К.

Пункты 4.1.2 и 4.1.3 посвящены введению и уточнению обозначений, участвующих в формулах аппроксимации п.4.3 и необходимых при доказательстве Теоремы 6. Вводится система обозначений для пространств Харди и внешних функций, единая для единичной окружности и вещественной прямой (далее последние обозначаются буквой X, а примыкающие к ним области плоскости: единичный круг JJ и верняя полуплоскость — символом ®+).

В конце пункта 4.1.3 доказано утверждение, используемое в дальнейшем при доказательстве Теоремы 6 : если

а) последовательность положительных функций hs равномерно ограничена на X или sup, (fx h2 cffl) < +оо, и

б) lim^oo £-(hs) = -оо,

то семейство внешних функций (Exths) стремится к нулю равномерно на каждом компактном подмножестве в ©+. Здесь П есть нормированная мера Лебега на X, если X = Т, и <Ш = „(\+х*)' если Х = Т.

Логарифмический интеграл функции F на X обозначен символом £(jF) = fx In l-Flcffl; £+(F) и С-(F) — его, соответственно, положительная и отрицательная части в смысле определения интеграла Лебега.

В п.4.1.4 приведено короткое, но не конструктивное доказательство следующей теоремы.

Следующие утверждения равносильны:

1) Множество Нагт+ плотно в L2(Д);

2) С{А) = -оо.

Под множеством Harm+ (Harm-) понимается линейная оболочка всех гармоник с положительным (соответсвенно, неположительным) показателем £ (£ — переменная в I; ( S I, при X = Е, и £ — целое в случае X = Т). Таким образом Теорема содержит те результаты Сеге-Колмогорова-Крейна, о которых говорилось выше.

В связи с отмеченной неэффективностью этого доказательства в п.1.5 обсуждается вопрос Маккина: "Пусть Д — неотрицательная суммируемая функция на прямой, и пусть /Rlog Д(ж)(1 + x2)~1dx = -оо. Тогда экспоненты ettx, t < 0, порождают ¿2(Е, Adx), но как эффективно приблизить егТх при фиксированном Т > 0 их линейными комбинациями?"

Некий вполне конструктивный ответ на этот вопрос следует из доказательства теоремы пункта 4.1.4 (при X = Т), данного Сеге в 1921г. Описанию указанной конструкции и посвящен п.4.1.5.

Она достаточно громоздка и состоит из двух принципиальных шагов. На первом шаге мы строим явную последовательность, аппроксимирующую в весовом пространстве L2(T, &.dm) константу 1 многочленами вида сьС* (без свободного члена), из которой легко получить приближение суммами того же вида любой отрицательной гармоники С" (п < 0) и далее, любой функции / € Н°°.

На втором шаге с помощью замены переменной ш : х и то-

ждества

оо

Г^Т = F-Tii f u^e-^du, j = 1,2,..., (x +1)3 (J - 1)! J

о

строятся линейные комбинации 1 и гармоник elxUh, х € К, с положительными частотами Uk, сколь угодно близкие в пространстве Ь2(Ш, Adx) к заданной гармонике F(x) = егхТ, Т < 0.

Описанная выше процедура пересадки с Т на К использовалась (с той же целью) в работах [7, 12, 13].

В п.4.2.1 доказана серия утверждений, используемых при доказательстве Теоремы 6. Следующая лемма — наиболее важное из них.

Лемма Патила. Пусть {G's}sgr; — последовательность функций класса Н°°(Х), gs — соответствующие функции класса Я°° (©_)(<?* = Gsm -п.в.). Если a) sups ||(?я||оо < +оо и б) lim*-*.,» gs(z) = 0 при любом

геО_, то

Здесь 0_ — область на плоскости, дополнительная к X и ©+, а обозначает угловые граничные значения на X функции ^ £ Н°°(0-) или ^ е я°°(о+).

Отметим также усиление Леммы Патила в случае, когда / имеет дополнительную регулярность (рассмотрен только случай X = Т): / представима формулой

где А — конечная борелевская мера на Т с конечным интегралом

В этом случае мы можем сказать, что lim То, (/) = 0 равномерно на Т.

В работах Е. М. Дынькина указан ряд эффективных критериев, связывающих гладкость функции / с убыванием меры Л вблизи Т (и, в частности, обеспечивающих конечность интеграла j (Л) ).

В п.4.2.2 предлагаются три различные последовательности весов, построенные по данному суммируемому весу Д на X, со следующими свойствами:

I. Д, > Д.

П. As > сь > 0 при тп-п.в. х t X.

HL £f(A,) < +00.

IV. Последовательность (Д/Дя)8 сходится по мере Лебега т на X к некоторой функции к.

V. Ит^оо £_(AS) = -00.

Если вес Д ограничен, то при всех трех способах конструкции весов Д« выполнено следующее условие (более сильное, чем III):

VI. Веса Д., ограничены на X равномерно по s.

В качестве функций qs, участвующих в аппроксимационной формуле (5) Теоремы 6, мы берем угловые граничные значения на Л' внешних в области ©+ функций Ext(\/\fK~s).

В п.4.3 доказывается Теорема 6.

Случай ограниченного веса Д рассмотрен в п.4.3.1.

М>1

W>1

В п.4.3.2 по отдельности доказаны оба пункта второй части Теоремы 6: X = Т - п.4.3.2.А, и X = 1 - п.4.З.2.Б.

Формально Теорема 6 не дает окончательного ответа на вопрос Мак-кина: гармоника : х н-> егТх не лежит в классе R). Тому, как "подправить"функцию (т, чтобы она оказалась в и к ней мож-

но было применить формулу (5), посвящен п.4.3.3 Главы 4 диссертации.

Работы автора по теме диссертации.

[I] Барт В. А., Хавин В.П. Теоремы Сеге-Колмгорова-Крейна о весовой тригонометрической аппроксимации и формулы карлемановского типа.// Укр. мат. журн., 1994, т.46, 1, С.100-127.

[II] Барт В.А. Оценки норм операторов Карлемана-Голузина-Крылова в диск-алгебре и пространстве Харди Я1// ПМА, Выпуск 21, декабрь 2000 - С.45-67

[III] Барт В. А. Формула Карлемана-Голузина-Крылова и аналитические функции, гладкие вплоть до границы// Препринты ПОМИ, 10/2003, 35с.

Список литературы

[1] Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Карлемана и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат.сб., 1933,т.40, N.2, С.144-149.

[2] Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. — М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1950, 336с.

(Privalov I.I. Randeigenschaften analytischer Funktionen. — Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1956.)

[3] Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1990. - 246с.

[4] Partington R.J. Interpolation, Identification, and Sampling. — Clarendon Press, Oxford. - 1997. - 267p.

[5] Patil D.I. Representation of Hp functions // Bull. Amer. Math. Soc. -1972. - 78. N5. - P.617-620.

[6] Виденский И.В., Гавурина Е.М., Хавин В.П. Аналоги интерполяционной формулы Карлемана-Голузина-Крылова.// Теория операторов и теория функций, 1983, Вып. 1, С.21-31.

[7] Крейн М. Г. Об одном обобщении исследований G. Szego, В. И. Смирнова и А. Н. Колмогорова//Докл. АН СССР. - 1945. - 46, N3.

- С. 1378-1409.

[8] Крейн М. Г. Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова // Там же. - N8. -С 339-341.

[9] Szegö G. Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Eben gehören //Malh. Z.- 1921.-9.-S. 218-247.

[10] Szegö G. Uber die Entwickelung einer analytischen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems //Math. Ann. - 1921.-82.-S. 188212.

[11] Колмогоров А. H. Стационарные последовательности в гильбертов-ском пространстве// Вюлл. Моск. ун-та. Математика. - 1941. - 2, вып.6. - С. 1 - 40.

[12] Ахиезер Н. И. Об одном предложении А. Н. Колмогорова и об одном предложении М.Г. Крейна// Докл. АН СССР.- 1945- 50. N1. -С. 35 - 39.

[13] Тумаркин Г. Ц. Приближение в среднем функций па спрямляемых кривых // Мат. сб. -1957.-42.-С. 79- 128.

[14] Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. - М.: Наука, 1980. -384с.

(Nikolskii N.K. Treatise on the Shift Operator. Spectral Function Theory. - Springer-Verlag, Berlin, 1986)

[15] McKean H. P. Some queslions about Hardy functions // Lect. Notes Math. - N1043. - 1984. - P. 85 - 86.

[16] Никольский H. К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1974. - 70.

- С. 1 - 270.

[17] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. — М.:Наука, 1974, 480с.

(Natanson, I.P. Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. [Theory of functions of a real variable] Mathematische Lehrbucher und Monographien, I. Abteilung: Mathematische Lehrbucher [Mathematical Textbooks and Monographs, Part I: Mathematical Textbooks], VI. Akademie-Verlag, Berlin, 1981, xii+590 pp)

[18] Хавинсон С.Я. Оценка сумм Тейлора ограниченных аналитических функций в круге. - ДАН СССР, t.LXXX, N3, 1951. - С.333-336.

[19] Landau Е. Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin, 1929.

[20] Бари H. К. Тригонометрические ряды. M.: Наука, 1961 - 936с.

(Bari N.K. A Treatise on Trigonometric Series. -Pergamon,NewYork,1964.)

Отпечатано в типографии ООО «Веронис». 191194 СПб., ул. Чайковского, 79. Тираж 80 экз. 18.09.2003 г.

jft 17 29 0

Оглавление

Введение.

0.1 Общий обзор работы.

0.2 Обозначения.

0.3 Свойства функции Q.

1 Оценки норм операторов (CGK)a на диск-алгебре.

1.1 Остаток формулы (CGK). Формулировка основного результата.

1.1.1 Оценка функционалов на пространстве А.

1.1.2 Функции Ландау.

1.2 Обозначения.

1.3 Доказательство утверждения (а) Теоремы 1.

1.4 Доказательство утверждения (б) Теоремы 1.

1.4.1 Разбиение дуги La.

1.4.2 Оценка снизу интеграла С£т(?<т(1)|.

1.5 Вспомогательное Предложение.

1.6 Дополнение к Главе 1: о точности пункта а) в Теореме 1.

2 Оценки норм операторов (CGK)(Т на пространстве Я1.

2.1 Формулировка основного результата.

2.2 Пример Рисса.

2.3 Доказательство теоремы 2.

2.3.1 Обозначения.

2.3.2 Подготовка.

2.3.3 Оценка интеграла III.

3 Формула Карлемана-Голузина-Крылова и аналитические функции, гладкие вплоть до границы.

3.1 Некоторые обозначения.

Теорема Харди-Литтлвуда.

3.2 Подготовительные утверждения.

3.3 Основная теорема о гладкой сходимости.

3.4 О точности оценки в Теореме 3.

3.5 Сходимость формулы (CGK) в пространствах функций высокой гладкости.

4 Задача Маккина о весовой тригонометрической аппроксимации и формулы типа (CGK).

4.1 Введение и дополнительные обозначения. Конструкция Сеге.

4.1.1 Классическая формула (CGK) и весовая аппроксимация.

4.1.2 Обозначения.

4.1.3 Внешние функции.

4.1.4 Возможность весовой аппроксимации: доказательство.

4.1.5 Об одном вопросе Маккина.

4.2 Подготовка к доказательству основной теоремы.

4.2.1 Лемма Патила.

4.2.2 Веса, отделенные от нуля и близкие к данному весу.

4.3 Явная конструкция весовых приближений функциями класса Харди.

4.3.1 Ганкелевы операторы, осуществляющие весовую аппроксимацию.

4.3.2 Аппроксимация с неограниченным весом.

4.3.3 Весовая аппроксимация "положительной"гармоники линейными комбинациями "отрицательных" задача Маккина).

0.1 Общий обзор работы.

Формула Карлемана-Голузина-Крылова (CGK) восстанавливает аналитическую в единичном круге D функцию / класса Харди Н1 (Ю>) по ее граничным значениям на множестве Е С Т = {z : \z\ = 1} положительной меры Лебега. А именно, полагая где z ЕШ>, а > 0, Q — внешняя функция в D, причем выполнено равенство

Формула (CGK) была впервые построена в статье [1], где, в частности показано, что предел в (CGK) можно понимать в смысле равномерной сходимости на компактах круга D. Она подробно описана также в монографиях [2, 3, 4]. В книге [3] значительное внимание уделено многомерным вариантам формулы (CGK). В статье [5] Д.Патил доказал, что сходимость в (CGK) имеет место по норме пространства Харди Нр, 1 < р < оо, если / € Нр. В работе [б] описаны модификации (CGK) (в частности, для Е С DUT), применимые для доказательств теорем единственности для различных классов аналитических функций, гладких вплоть до границы.

Q(z)\ = е, п.в. на Е 1, п.в. на Т \ Е, имеем f(z) = lim (CGK)a{f){z).

CGK)

В монографии [4] автор ставит следующие два вопроса: имеет ли место аналог теоремы Патила для сходимости по норме диск-алгебры А (соответственно, Я1), если / е А (соответственно, / G Я1)?

Ответам на эти два вопроса посвящены Глава 1 и Глава 2 диссертации, соответственно.

Надо сказать, что такая постановка вопросов требует уточнения. Дело в том, что из известных свойств интегрального оператора Коши, участвующего в (CGK), и из разрывности функции Q следует, что, вообще говоря, для / е А (соответственно, / € Я1), выражение под знаком предела в (CGK) может не принадлежать А (соответственно, Я1).

Тем не менее, для функций из этих пространств интерес представляет сходимость формулы в точках окружности Т, отделенных от Е , то есть в метриках, соответственно, С{К) и Ll(K), где К С Т\ U, U — окрестность множества Е. Именно эти задачи и решены в Главах 1 и 2.

Цель следующей Главы 3 — исследовать сходимость описанного классического варианта формулы (CGK) на известных пространствах аналитических в круге функций с граничными значениями на Т, обладающими определенной гладкостью. Именно, нас будет интересовать принадлежность к пространству Липшица самих функций либо их производных нескольких порядков. В этой главе Е будет дугой окружности.

По той же причине (разрывность интегрального ядра (CGK) в концах дуги Е) естественно рассматривать сходимость формулы в простанствах гладких функций на (компактных) дугах, не содержащих двух этих точек.

Интерес представляют следующие 3 вопроса.

1. Сходится ли формула (CGK) в метрике Липшица на компактной дуге окружности Т, не содержащей концов дуги Е, при условии, что восстанавливаемая функция / удовлетворяет условию Липшица того же или большего порядка на всей Т?

2. Что можно сказать о сходимости к—х производных приближающих функций в формуле (CGK), если /(*> е Lipa{Т) или /W е Lip (а + е)(Т)?

3. Какова скорость сходимости (или расходимости)?

Конструкцию (CGK) можно воспринимать как своеобразную "аппроксимативную единицу"("сингулярный интеграл"— в том смысле, в каком этот термин понимается в монографии [17]). Эта точка зрения позволяет предвидеть результаты глав 1 — 3, но мало помогает в их доказательстве, так как операторы (CGK)(Г довольно далеки от сверточных, и оценки сходимости (или расходимости) требуют довольно специальной техники, которая, к тому же, должна учитывать аналитичность изучаемых функций.

Два основных результата первой и второй глав — Теоремы 1 и 2 — в основной своей части состоят в том, что даже "ослабленной"сходимости формулы (CGK), то есть сходимости в метриках, соответственно, Ьг(К) и С (К), где К С T\U, U — окрестность множества Е, может не быть для некоторых функций из Я:(Р) и А, соответственно.

Тем самым, получен ответ на вопросы Партингтона [4].

В Главе 3 изучена сходимость формулы (CGK) в классических пространствах аналитических функций с гладкими метриками (пространствах Липшица и пространствах функций более высокой граничной гладкости), оценена ее скорость.

С формулой Карлемана-Голузина-Крылова оказывается связан еще один вопрос.

Рассмотрим задачу весового приближения функциями с полуограниченным спектром на прямой R. Решение этой задачи доставляет следующая теорема М. Г. Крейна [7, 8].

Теорема (М. Г. Крейн).

Пусть Д — неотрицательная функция, заданная и суммируемая на R. Следующие утверждения равносильны: оо —ОО

2) для любых е > 0 и а > 0 найдется тригонометрическая сумма S вида N

S(x) = J2c»ei<TkX> k = lt.yN, k=1 удовлетворяющая неравенству

00

J \l - S(x)\2A(x)dx < е. оо

Аналогичные результаты, касающиеся весовых приближений на окружности, принадлежат Г. Сеге [9, 10] и А. Н. Колмогорову [11]. Приближения тригонометрическими суммами в весовых ^-пространствах изучали Н. Н. Ахиезер [12] и Г. Ц. Тумаркин [13]; поточечную весовую аппроксимацию в L°°(T) изучал Н. К. Никольский [14].

Известные доказательства теоремы Крейна и ее аналогов основаны как правило на соображениях двойственности и не дают явного выражения аппроксимирующих тригонометрических сумм. В связи с этим (а также в связи с вероятностными задачами прогноза) в статье Маккина [15] была поставлена задача построения эффективных формул, определяющих суммы S, о которых идет речь в теореме Крейна. Решению этой задачи (см. также [16]) и посвящена Глава 4.

Нужно сказать, однако, что для весовых приближений на окружности Т такие формулы содержались уже в работах Сеге. С помощью замены переменной их нетрудно преобразовать в аналогичные формулы для R (см. ниже обсуждение в обзоре п.4.1.5 диссертации).

В п.4.3 Главы 4 диссертации мы предлагаем иную конструкцию.

В статье [6] было отмечено, что с учетом работы Патила [5] формулу (CGK) (и ее аналог на вещественной прямой) можно воспринимать как конструктивное приближение функции / € Н2(Х), где X = Т или X = К, последовательностью функций класса Я£(Х) в весовой метрике 1?{Х; Д), если в качестве веса Д взять характеристическую функцию множества СЕ. Естественно возникает вопрос о такой модификации формулы (CGK), которая осуществляла бы подобное приближение при любом суммируемом на X весе Д, удовлетворяющем условию 1) теоремы Крейна, и тем самым, по существу, решала задачу Маккина.

В Главе 4 с помощью модификации формулы (CGK) задача Маккина [15] решена, то есть построена последовательность ганкелевых операторов, действующих в весовом пространстве ЯР(Д) на прямой (или на единичной окружности), значения которых приближают заданную гармонику егах (соотвтственно, za) а > 0, при условии расходимости логарифмического интеграла от веса Д. Диссертация состоит из четырех глав, разбитых на пункты.

Обзор диссертации по главам.

В пп.0.2 Введения собраны обозначения, общие для всех разделов диссертации. Вот некоторые из них.

Буква т обозначает нормированную меру Лебега на единичной окружности

Пусть I — интервал, 7 : I С — гладкий простой путь, М С 7(/), / — гладкая функция, суммируемая (относительно длины дуги) на кривой 7(/). Введем обозначение для г £С\т(/).

Везде ниже Е будет обозначать компактную дугу, Е = Е$ С Т, такую, что

Т \ Е = СЕ = {eie : \в\ < 6}, 0 < S < тг; Е° = Е\ {e±i<5}. Если / € Я^В), то Т , . d6 io dm(z) = —, z = e м для z 6 Р и a > О = Q-{г) ■ cgr{z) + Q~*(z) • Csc%(z) = (CGK), (f)(z) + Ra{f){z) = (CGK)l (/) + Я* (/). (1)

В качестве Q, вообще говоря, можно взять любую внешнюю в круге ЕР функцию, для которой |<2| = 1 почти всюду на СЕ,

Jlog\Q \ dm > 0. Е

Эти условия обеспечивают равенство lim Д*(/) = 0 а—юо при \z\ < 1. Мы же остановимся на классическом варианте формулы (CGK), положив \Q\ = е на множестве Е.

В п.0.3 Введения доказаны основные свойства функции Q, на которые опираются доказательства различных разделов диссертации.

1. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Карлемана и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат.сб., 1933,т.40, N.2, С.144-149.

2. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. — М.; JL: Го-стехтеоретиздат, 1950, 336с.Privalov I.I. Randeigenschaften analytischer Funktionen. — Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1956.)

3. Айзенберг JI.A. Формулы Карлемана в комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1990. 246с.

4. Partington R.J. Interpolation, Identification, and Sampling. — Clarendon Press, Oxford. 1997. - 267p.

5. Patil D.I. Representation of Hp functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. -78. N5. - P.617-620.

6. Виденский И.В., Гавурина E.M., Хавин В.П. Аналоги интерполяционной формулы Карлемана-Голузина-Крылова.// Теория операторов и теория функций, 1983, Вып. 1, С.21-31.

7. Крейн М. Г. Об одном обобщении исследований G. Szego, В. И. Смирнова и А. Н. Колмогорова//Докл. ЛИ СССР. 1945. - 46, N3. - С. 1378-1409.

8. Крейн М. Г. Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова // Там же. N8. -С 339-341.

9. Szego G. Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Eben geh5ren //Malh. Z.- 1921.-9.-S. 218-247.

10. Szego G. Uber die Entwickelung einer analytischen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems //Math. Ann. 1921.-82.-S. 188-212.

11. Колмогоров A. H. Стационарные последовательности в гильбертовском пространстве// Бюлл. Моск. ун-та. Математика. 1941. - 2, вып.б. - С. 1 - 40.

12. Ахиезер Н. И. Об одном предложении А. Н. Колмогорова и об одном предложении М.Г. Крейна// Докл. АН СССР.- 1945- 50. N1. С. 35 - 39.

13. Тумаркин Г. Ц. Приближение в среднем функций на спрямляемых кривых // Мат. сб. -1957.-42.-С. 79- 128.

14. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980. - 384с.Nikolskii N.K. Treatise on the Shift Operator. Spectral Function Theory. -Springer-Verlag, Berlin, 1986)

15. McKean H. P. Some questions about Hardy functions // Lect. Notes Math. -N1043. 1984. - P. 85 - 86.

16. Никольский H. К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1974. - 70. - С. 1 - 270.

17. Барт В.А., Хавин В.П. Теоремы Сеге-Колмгорова-Крейна о весовой тригонометрической аппроксимации и формулы карлемановского типа.// Укр.мат.журн., 1994, т.46, 1, С.100-127.

18. Барт В.А. Оценки норм операторов Карлемана-Голузина-Крылова в диск-алгебре и пространстве Харди Н1// ПМА, Выпуск 21, декабрь 2000 — С.45-67

19. Натансон И.П. О приближении к многократно дифференцируемым периодическим функциям при помощи сингулярных интегралов//ДАН СССР, 1952, 82, N.2, С.337-339.

20. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977, 512с.

21. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984, 336с. (Koosis P. Introduction to Нр Spaces. Cambridge Univ.Press, Cambridge,1998.)

22. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М. : Наука, 1966, 628с.Goluzin, G.M. Geometric theory of functions of a complex variable. — Providence, R.I.: American Mathematical Society. VI, 676 pp. (1969).)

23. Duren P. Theory of Hp Spaces. — New York, Academic Press, 1970.

24. Landau E. Darstellung und Begriindung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin, 1929.

25. Полиа Г.,Cere Г. Задачи и теоремы из анализа, Ч. 1. М.: Наука, - 1978. -392с.

26. Хавинсон С.Я. Оценка сумм Тейлора ограниченных аналитических функций в круге. ДАН СССР, t.LXXX, е 3, 1951. - С.ЗЗЗ-ЗЗб.

27. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Наука, 1961 936с.Bari N.K. A Treatise on Trigonometric Series. Pergamon,NewYork,1964.)

28. Харди Г.Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: Госиздатфизматлит, 1962. - 156с.

29. Carleman Т. Les fonctions quasianalytiques. Paris: Hermann, 1926. - 116p.

30. Koosis P. The Logarithmic Integral: In 2 Vol. Cambridge: Univ. press, 1988. -Vol. 1. - 616 p.

31. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.; Л.: Наука, 1964. - 438 с.

32. Барт В. А. Формула Карлемана-Голузина-Крылова и аналитические функции, гладкие вплоть до границы// Препринты ПОМИ, 10/2003, 35с.