Теорема типа Левинсона - Щёберга. Квазианалитические классы функций. Применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0034Б51Ькг На правах рукописи

Кинзябулатов Ильнур Галиянович

ТЕОРЕМА ТИПА ЛЕВИНСОНА - ЩЁБЕРГА. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ.

ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

1 ~ ■-лр 2ССЗ

Уфа — 2009

003465152

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Гайсин A.M.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Юлмухаметов P.C. кандидат физико-математических наук, доцент Луценко В.И.

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Сыктывкарский государственный университет"

Защита состоится " 23 " апреля 2009 г. в 15 часов на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан „20" марта 2009 г.

Ученый секретарь совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико - математических наук C.B. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению вопросов, связанных с квазианалитичностью классов Карлемана на дугах и двойственной задачей о компактности семейства Fm — {/} аналитических в некоторой области D функций /, удовлетворяющих вне некоторой дуги 7 из D оценке вида

\f(z)\<M(dist(z,7)), (1)

где distíz, 7) = inf \z — í|, M = M(p) — убывающая на (0,оо) функция, не

te 7

ограниченная в окрестности нуля. Предполагается, что функция М удовлетворяет некоторому билогарифмическому условию, которое называется условием Левинсона. Данное условие возникает во многих вопросах комплексного анализа, спектральной теории и теории операторов, в теории целых и субгармонических функций, рядов экспонент, в теории интерполяции (см., н-р, в [1]).

В 1938 году Н. Левинсон [2] доказал теорему, которая явилась „далеко идущим обобщением принципа максимума модуля для аналитических функций" [3].

Теорема (Н. Левинсон). Пусть М{у) положительная, монотонно убывающая в полуинтервале (О, Ь] функция, М(у) | оо при у i О, М{Ъ) = е. Пусть, далее, Fm — семейство функций, аналитических в прямоугольнике Р = { z = х + iy : |ж| < о, |т/| < b }, удовлетворяющих в Р оценке |F(z)| < М(\у\). Если

ъ

J lnlnM(y)dy < 00, (2)

о

то для любого д > 0 существует постоянная С, зависящая только от 6 и М(у), такая, что для всех функций / е Fm в прямоугольнике

Ps = {z = x + iy:\x\<a- 5, \у\ < Ь}

справедлива оценка \f(z)\ < С.

Отметим, что независимо от Левинсона (по-видимому, одновременно с ним) эту теорему в несколько иной форме доказал Шёберг (N. Sjoberg) [4]. Впоследствии, Ф. Вольф (F. Wolf) распространил теорему Левинсона-Шёбергана более широкий класс функций [5]. П. Кусисом показано, что условие (2) в теореме Левинсона является и необходимым [6]. Существуют иные варианты и различные обобщения этой теоремы. В отличии от первоначального, весьма громоздкого и сложного, доказательства теоремы Левинсона в [3] предлолсено более простое.

Теорема Левинсона нашла многочисленные применения в различных областях анализа, в первую очередь в комплексном анализе, спектральной теории функций и теории операторов (см., н-р, в [6]-[12]).

В диссертации получено некоторое обобщение теоремы типа Левинсона -Щёберга, которое представляет особый интерес с точки зрения её применения к известным проблемам квазианалитичности классов Карлемана и полноты систем экспонент на дугах. Как известно, в случае отрезка 7 = [а, Ь] исчерпывающие ответы на эти проблемы получены в теоремах Мюнца [13] и Данжуа-Карлемана [14].

Классическая проблема квазианалитичности в дальнейшем обобщалась в разных направлениях. В работах М.М. Джрбашяна и его учеников разработана теория а - квазианалитичности, которая при а = 0 совпадает с обычной квазианалитичностью (см., н-р, [16]).

Проблема квазианалитичности класса Н(А7,Мп), где Д7 — угол Д7 = { г : \агдг\ < 0 < \г\ < оо }, была впервые поставлена и решена Сали-насом [17]: класс Я(Д7, Мп) квазианалитичен в точке 2 = 0 тогда и только тогда, когда

Следует заметить, что известное условие квазианалитичности А. Островского (см., н-р, [15]) для класса Ci{Mn) формально является предельным случаем условия (3) (при 7 —» оо).

Задача о квазианалитичности класса Н(К, Мп) (К — круг) решена Б.И. Коренблюмом [18]. В [19] P.C. Юлмухаметовым доказан критерий квазианалитичности класса H(D, Мп) в граничной точке.произвольной выпуклой, области D. В последние годы было получено описание классов Карлемана для ограниченных односвязных областей со спрямляемой жордановой границей

В работах А. Бёрлинга [22], Бреннана [23], В. Мацаева и М. Содина [24] и других исследованиях обнаружена тесная связь квазианалитичности с задачами аналитического продолжения и аппроксимации полиномами в различных весовых пространствах. В [25] A.A. Гончар исследовал задачи, связанные с понятием квазианалитического продолжения через дугу. Полученные в данной работе результаты применимы к исследованию особенностей и единственности представления функций рядами вида Вопросам квазианалитической продолжаемости или непродолжаемости функций, представляемых рядами Дирихле или рядами экспонент посвящены работы А.Ф. Леонтьева [26]-[28]. В [29] А.И. Павловым приведен пример функции, которая квази-аналитически продолжается через прямую голоморфизма на всюду плотном множестве.

Применяя метод, основанный на решении одной экстремальной задачи в

(3)

[20], [21].

неквазианалитическом классе Карлемана C/(Mn), A.M. Гайсину удалось по' лучить точную оценку роста ряда Дирихле с вещественными коэффициентами на положительном луче [30].

Особую актуальность описание классов Карлемана приобретает в связи с задачами аппроксимации системами экспонент на тех или иных континуумах (например, на дугах) комплексной плоскости. В [31] А.Ф. Леонтьевым доказана теорема:

Пусть 7 : у = f(x) — непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких дуг ъ '■ У = fs(x), причем ]Л(х)] < 1. Если

v^ 1

0 < Afc 1 оо, Xk+i - Afc > h > 0,22 Г" = °°>

t=i fc

то система {eAtz} не полна на 7 в метрике С.

Данная теорема основана на замечательной „теореме о стирании особенностей" [31], доказательство которой сводится к обоснованию квазианалитичности класса Карлемана С7(Мп),

п 00 2

на кусочно-гладкой кривой 7. Отметим, что приведенный результат А.Ф. Леонтьевым ранее был доказан для аналитических дуг в [32]. В [33] Коре-варом показано, что для полноты системы {ел*г} на кусочно-гладкой кривой 7 достаточно лишь условия

оо 1

£аг°°- - w

к=1 L

Используя те же соображения квазианалитичности класса С7(М„.), ученик Коревара R.Zeinstra в [34] перенёс результат из [33] на случай кривых ограниченного наклона.

А.Ф. Леонтьевым показано [31], что условие (4), следовательно, соответствующие условия Карлемана, А.Островского, Мандельбройта и Банга достаточны для того, чтобы класс С7(МП) был квазианалитическим.

Проблема заключается в следующем: будет ли для полноты системы {eAtz}

в (7(7) (С(7) — пространство непрерывшлх функций с нормой ||/|| = max j/(z)j)

7

условие (4) необходимым?

Для аналитических дуг 7 ответ положительный [35]. В общем случае задача весьма сложная и, как следует из [36], всё сводится к двойственной проблеме о квазианалитичности класса Карлемана С7(МП).

В настоящей диссертации полностью решена задача о квазианалитичности регулярных классов Карлемана на дугах ограниченного наклона.

В качестве применения изучается свойства систем {ел"г} (последовательностей полиномов и рядов экспонент), показатели которых подчинены условиям:

71 °° 1

An > Цт о < (Лп Т оо, — I О, ^ — < 00• (5)

п=1

Как известно, группа условий (5) сильнее, чем требование X^i у- < оо [1].

В диссертации показано, что при выполнении условий (5) система {еАп2} усиленно не полна и усиленно свободна на семействе дуг ограниченного наклона (в частности, система {еЛ"2} не полна в С(7)). Наконец, решена задача аналитического продолжения и представимости рядами Дирихле функций / из замыкания линейной оболочки системы {eA"z} в (/(7); доказана теорема единственности о поведении рядов Дирихле F(z) = JZ апеЛ"2 на системе дуг,

п

уходящих определенным образом в бесконечность и образованных движением (сдвиг, поворот) дуги 7. Этот круг результатов обобщает и дополняет известные результаты Бёрлинга [22], Коревара, Диксона [36],[37], А.Ф. Леонтьева [31],М.А. Евграфова [38], А.Е. Фрынтова [39], A.M. Гайсина [40].

Цель работы. Доказать теорему типа Левинсона в случае, когда семейство Fm — {/} аналитических функций / вблизи некоторой дуги 7 подчинено оценке (1), применить полученный результат к известным проблемам квазианалитичности классов Карлемана и полноты систем экспонент на дугах.

Научная новизна. Все основные результаты настоящей работы новые.

Получены следующие результаты:

— получено обобщение известной теоремы Левинсона - Щёберга для семейства аналитических функций, имеющих вблизи некоторой дуги определенную мажоранту роста.

— доказан критерий квазианалитичности для регулярных классов Карлемана на дугах.

— полученные результаты применены в задачах аналитического продолжения, для доказательства теорем единственности рядов Дирихле.

Методика исследования. Использованы методы теории рядов экспонент, разработанные А.Ф. Леонтьевым и развитые в работах A.M. Гайсина, а также методы комплексного анализа, теории целых функций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как в теории целых функций,

рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких, как теория аппроксимации в комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, спектральная теория. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В. А. Стек-лова РАН, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Санкт - Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Ростовском, Саратовским, Львовском, Башкирском, Сыктывкарском госуниверситетах а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН; на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Башкирского госуниверситета; на VI Региональной школе — конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам(2006 г.), на Уфимской международной конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева(2007 г.), на Международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения"(4-8 декабря 2006 г., Якты-куль), на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(1-5 декабря, Якты-куль 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 92 страниц. Библиография - 61 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В Главе I получено обобщение теоремы Левинсона — Щёберга на семейство аналитических функций Fм = {/}, удовлетворяющих в окрестности некоторой жордановой спрямляемой дуги ■у оценке

\/(г))<М(сИзг(г,у)), (6)

где М — некоторая монотонная функция, не ограниченная в окрестности нуля. Этот результат представляет как самостоятельный интерес, так и интерес

с точки зрения его приложений. В данной главе он применен для изучения квазианалитичности классов Карлемана на дугах.

В §1 приведены необходимые факты (Теорема Альфорса об искажении, теорема Каратеодори), доказана одна геометрическая лемма.

В §2 доказана теорема типа Левинсона — Щёберга для семейства Рм = {/} функций, подчиненных оценке вида (6).

Пусть 7 — дуга, заданная уравнением у = д(х) (|ж| < а) и удовлетворяющая условию Липшица

эир

д(х2) - д(х 1)

Ь < оо.

х2 ~ х\

В лемме 1.1 показано, что для любого г = хЛ-гу (|а;| < а) вне 7 верны оценки к

^\у-д{я)\ < р{г) < \у-д{х)\,

где р(г) = тт|,г — ш\,к = тт^Ь"1).

Пусть М(у) — положительная, монотонно убывающая в полуинтервале (О, Ь] функция, М(у) | оо при у О, М(Ь) > е. Через Рм обозначим семейство аналитических в криволинейном четырехугольнике П = {г = х + 1у : |я| < а) \у ~ 9(:Е)| < Ь} функций, удовлетворяющих для 2 € П условию

| Г(г)[<МШ), Р(*) = тт|г-Ч (7)

где 7 — дуга, введенная выше.

Теорема 1.1. Если для функции М{у) выполняется условие (2), то для любого 3 > 0 существует постоянная С, зависящая только от 5 и М(у), такая, что для всех функций / € Рм в области П$ = {г = х + гу ■ |з;| < а — 5, \у — д(х)| < Ъ} справедлива оценка |/(г)| < С.

Основной момент доказательства теоремы 1.1 — построение так называемой „ срезающей " функции — аналитической в некоторой окрестности Б дуги 7 функции Р, такой, что отношение ^ аналитично в Ю и непрерывно в XX Конструкция такой функции основана на теореме Альфорса об искажении при конформных отображениях.

В теореме Левинсона для компактности семейства Рм условие (2) является необходимым. Это следует из следующей теоремы.

Теорема( П.Кусис)[6]. Пусть функция М(у) непрерывна и убывает на полуинтервале (0,6], М(Ъ) > е, причем М(у) —> оо при у —> 0. Если

ь

1п1пМ(у)с1у = оо,

о

то существует последовательность полиномов Рп(г), такая, что:

о

/<

1) \Pn(z)\<constM(\y\) (n > 1)

для всех z = x + iy из прямоугольника D = {z — x + iy : |z| < a, |y| < 6} ;

2) при n —> oo

J 1, если zgöfl П+; L-1, если z € £> П П_. Здесь П+ = {z = а; + гу : у > 0}, П_ = {z = х + iy : у < 0}.

Отметим, что при некоторых дополнительных ограничениях на поведение функции М(у) аналогичное утверждение доказано Н. Левинсоном [2]. В [7] показано, что в теореме Н. Левинсона условие монотонности функции М(у) можно заменить на измеримость этой функции по Лебегу.

В §3 изучаются классы Карлемана на дугах. Пусть 7 С С континуум. Рассмотрим функцию /, заданную на 7. Функция / называется дифференцируемой на 7, если для всех а Е 7 существует конечный предел

/(в)== lim Л«)-*»).

267,2:—>а z — а

Высшие производные /^(а) определяются по индукции.

Пусть {Мп}™= о — положительная последовательность. Класс С7(МП) Карлемана на 7 определяется как множество бесконечно дифференцируемых на 7 функций /, таких, что \f1l(z)\ < KjMn, z 6 7 (п > 0). Класс С7(МП) называется квазианалитическим, если из того, что / £ С7(Мп) и f^n\a) = 0 в некоторой точке а £ 7 при всех п > 0, следует, что /(л) = 0.

Если 7 — кусочно-гладкая кривая, то эквивалентные между собой условия Данжуа - Карлемана, Островского, Мандельбройта - Банга (см. в [15]) достаточны для квазианалитичности класса С7(М„) [31].

Верно ли обратное утверждение? В данном параграфе дан ответ на этот вопрос (теоремы 1.2 и 1.3).

Последовательность {Мп} называется регулярной, если для чисел т,п — {п > 0) выполняются свойства [9]: а) тп^ < mn_imn+i (n > 1); б)

sup (j—— "j" < оо; в) rrin ->- oo, п —> оо. В этом случае, класс Карлемана

п ^ ™ ' С(Мп) называется регулярным.

Условие а) — условие логарифмической выпуклости последовательности {mn}, условие б) — замкнутость класса С(Мп) относительно дифференцирования, а условие в) означает, что класс Карлемана содержит аналитические функции.

Для регулярной последовательности {Мп} введем так называемый ассоциированный вес

, , гп Мп

w{r) = sup—, mn = —-. „>о m„ п!

тпп — sup -

Последовательность {Мп} полностью определяется функцией w(r), причем

[9]

r>o w{r) w{rn) \ " тп ) '

Заметим, что из условия а) следует, что М\\ < M„_iMn+i (логарифмическая выпуклость последовательности {Мп} ). Поэтому критерий квазианалитичности класса С[од](Мп) принимает вид

оо „г

ST Мп

У Т7-= 00-

Последнее условие допускает переформулировку в терминах веса xv(r).

Если 7 — отрезок [0,1], единичная окружность или аналитическая дуга, то регулярный класс Карлемана С7(Мп) с ассоциированным весом w квази-аналитичен тогда и только тогда, когда [9]

а

d

In In H(r)dr = +oo,

о

где H{r) = H(d) < e.

Сформулируем основные результаты §3.

Теорема 1.2. Пусть 7 — дуга, заданная уравнением у — д(х) (|а;| < а) и удовлетворяющая условию Липшица, М = М(у) — функция из теоремы Левинсона, удовлетворяющая условию (2). Если

п'

Мп = sup li/[f ч п+1 < оо (п > 0),

г>0 М(г)г

то существует функция / £ С7(МП), /(г) ф 0, такая, что:

а) |/М(*)| < С}Мп (п > 0);

б) /(пНс) = /(пЧ^) = о (п > о), где с,<1 — концы дуги 7.

Отметим, что в данной теореме последовательность {т^г} — неограниченно возрастает, логарифмически выпукла (последовательность {Мп} не обязана быть регулярной). Теорема 1.2 дает частичное решение одной задачи Сиддики (Проблема 1), сформулированной в [42].

Известно, что если 7 — локально-спрямляемая кривая, а последовательность {Мп} — логарифмически выпукла, то при условии = 00 класс С7(МП) является квазианалитическим [41], [34] (для кусочно-гладких кривых — это результат А.Ф.Леонтьева [31]).

Таким образом, в частности, справедлива

Теорема 1.3. Пусть {Мп} — регулярная последовательность, 7 — дуга из теоремы 1.1. Положим

М(г) — йир

п>о Мпгп+У

Для того, чтобы класс С^(Мп) не был квазианалитическим, необходимо и достаточно, чтобы функция М(г) удовлетворяла условию Левинсона (2).

Замечание. В [22] Бёрлинг рассматривает два типа классов непрерывных функций на дугах (оба не являются классами Карлемана). При этом класс С(7) непрерывных на жордановой дуге 7 функций называется квазианалитическим, если из того, что / € С(7) и /(г) — О на некоторой поддуге 7о С 7, следует, что / = 0 [22]. Для классов Карлемана это определение эквивалентно обычному определению. В общем случае это не так.

Рассмотрим для примера один из классов из [22] (другой класс определяется по такому же принципу).

Пусть В — область в С, 7 — жорданова дуга, разделяющая В на две подобласти В+ и В~: В = В+иуиВ~-, а(А) — возрастающая положительная на [0, оо) функция. Классом С (-у, а(Х),В+) называется класс всех функций / е С(7), обладающих свойством: для любого А > 0 существуют функция /, аналитичная в В+ и непрерывная в В+, постоянная С/, такие, что

Аналогично определяется класс С(у,а(\), В~).

Показано [22], что класс С(7, а(А), В+) квазианалитичен тогда и только тогда, когда

Видно, что определение класса С(7,а(\),В+) является инвариантным относительно конформных отображений. Поэтому доказательство данного утверждения из [22] просто сводится к случаю отрезка [а, &].

В Главе II изучаются свойства не полных систем экспонент {еА"г} на дугах.

В §1 проводится подготовительная работа для построения биортогональ-ной системы, доказаны две леммы.

Пусть Л = {Ап} (0 < Ап | оо) — последовательность, имеющая нулевую плотность,

|<7Л(.г)| < е\ геЬ

>, г е Т,

оо

1

Предположим, что последовательность Л такова, что функция

/■оо

Н(6)= / . (1 +r)G{ir)e~5rdr (5 > 0)

J о

удовлетворяет условию Левинсона

Г In In #((5)^ < оо, H(d) = е. (8)

J о

Из (8) следует, что

00 ^

Ег<о° Лп

(обратное утверждение не верно) [1]. В [1] приведён ряд эквивалентных к (8) условий. Они все равносильны к группе условий (5). Положим !

Пусть 7 — дуга, полученная путем поворота и сдвига некоторой дуги из теоремы 1.1, 7 = {z е С : л = (p(t),0 <t< 1,^(0) = 0,</э(1) = b}. Рассмотрим класс Карлемана

С7(М„) = |/ G С°°(7) : sup |/<»>(г)| < С/М„|.

Пусть

Соо(Мп;7) = { / G С7(М„) :7(в)(0) = f{n\b) = 0, (п > 0) } .

Из (8) и теоремы 1.2 следует, что для любого е > 0 существует / G Соо(еМ„; 7), / ф 0. Введем последовательность

fm(z) = ~eXtZ [ e^/m-iWdi (m > 1), Jo

где /о = /, интегрирование происходит по дуге 7. В §1 доказана Лемма 2.2. Пусть

Н,

,(s) = J eszd[im(z),

где dfJm(z) = fm(z)dz (m > 0), fm(z) — функции введенные выше. Если А4. — нуль кратности rrik для целой функции Hq(s), то

H0(s) = (s- Xk)mhHmk(s), Hmk{\k) ф 0.

В §2 строится система, биортоганальная к системе {ел"г}. Для этого вводится функция

(2 \ 00

=£(-1)П«2п(Ф2"

„.у-л, п=О

При выполнение условия (8) показывается, что ряд

оо п=О

равномерно сходится на 7, причём

I - 1 ь), если n = /с. (9)

7

л ,„ , ч , Г 0, если п ф к; eKzVk(z)dz =r ) ' г

Отсюда следует, что система

биортогональна к системе eXnZ (п> 1).

Теорема 2.1. Пусть 7 = 7(^0) ~~ дуга, полученная поворотом некоторой дуги 7о, заданной уравнением у = д(х) (с < х < на угол </?о. Предположим, что дуга 7 удовлетворяет условию Липшица.

Если выполняется условие Левинсона (8), то система экспонент {eAnZ} не полна в С(7(^0))-

Отметим, что при условии (8) неполнота системы {eAnZ} в С(7) иным способом (без построения биортогональной системы) доказана в [40], но только для дуг Липшица вида у = д(х) (с < х < d).

Приведём некоторые следствия, вытекающие из теоремы 2.1.

Пусть последовательность

рш *=1

равномерно сходится к функции P(z) на дуге 7. Применяя формулы (9), показывается, что существуют пределы

зд = lim а^ (k > 1),

а>к = -

AfcG"(A к)Нтк(Хк)

J P(z)Vk{z)dz (к > 1).

Если при некотором а 6 С последовательность {Рт(г)} равномерно сходится к функции Р(г) на дуге уа (уа — сдвиг дуги 7 на вектор а), то справедливы следующие формулы для коэффициентов:

_2_

А кО' (Хк)Нтк(Хк)

<*к = / P(z + a)Vk{z)dz (к > 1).

Другим следствием из теоремы 2.1 являются следующие утверждения о продолжении.

а) Пусть 7 — дуга класса С1, заданная уравнением у = д(х) (с < х < d). При условии (8) любая функция f из замыкания линейной оболочки системы {еЛ'г} в С(7) допускает аналитическое продолжение на всю полуплоскость ГЦ = {z : Rez < Reb}, где b — правый конец дуги 7.

б) Если индекс конденсации последовательности Л конечен, указанное продолжение задается при помощи некоторого ряда Дирихле.

В §3 доказана теорема единственности для рядов Дирихле вида

оо

F(s) = Y^ aneKs {s = a + it, (10)

71=1

сходящихся во всей плоскости. Известно, что при условии

оо 1 . Лп

71=1

сумма Е ряда (10) не ограничена на луче [0, оо) [38].

Пусть 7(у>) — дуга, полученная поворотом на угол <р (0 < <р < 2тт) некоторой дуги 7 = { г = х + гу : у = д(х), с < х < d } , удовлетворяющей условию Липшица. Через Г = {7а(</з)} обозначим счетную систему дуг 7а(<р) (7а(ср) — сдвиг дуги 7(<р) на вектор а), где ц> = (р(п) (0 < <р(п) < 27г), а = а(п) (п > 1), причем Деа(п) +оо при п —> оо.

Имеет место следующая теорема единственности. Теорема 2.2. Пусть выполняется условие Левинсона

с

s

lnlnh(<5)ctô < 00 (h(c)

где

Н(5) = I в(п)е-5Чг (0<5<оо), = Д - ^

о П=1

Если функция Е, заданная рядом (10), ограничена па системе дуг Г = ЬаШ, то Е(г) = 0.

Если 7 = [0,1], то при условии (11) аналогичная теорема единственности доказана А.Е.Фрынтовым [39].

В Главе III показана, что если выполняется условие Левинсона (8), то система экспонент {eAnZ} усиленно не полна и усиленно свободна на некотором семействе дуг.

В §1, §2 приводится обзор результатов и необходимые факты.

Пусть 7 : [а, Ь] С — кривая, имеющая вид 7(£) = t + ig(t). Если

sup

ифЬг

9(ts) ~9(t 1)

¿2 -ti

М7 < OO,

то 7 называется кривой ограниченного наклона. Обозначим С9(а, Ъ) — { 7 : М7 < д}. Пусть Д(а,/3) = { г : \агд\-{г - а)]| < /3 < | }, Т(а,Р) -треугольник Д(а,/?) П Па, где Па = {г : Дег > а}.

Определение. Система {еА"г} называется Т - усиленно не полной, если для любых а € С, /? (О < /? < Элл любого д (0 < д < оо), для любого 1/ > 0, и Ф Хп

Ы и* ||е"г - У) с„еА"г||7 = е„(а, 0, д, А) > 0.

7 с„ *—<

п

Здесь внешняя точная нижняя грань берется по всем кривым 7 из Сд(а,Ь) содержащимся в треугольнике Т(а,(3) и таким, что 7(Ь) = а, — квазиполипом.

п

Рассматривая в данной формулировке выражение

||еА**-]ГспеА"г||7,

пфк

приходим к определению Т-усиленно свободной системе.

В §3 доказана

Теорема 3.1. Если выполняется условие (8), то существует е = е(а, ¡3, О такое, что для любого 5 > 0, и ф Хп

[пПп[\\е^ - У" Спек% > е.

7 Сп ''

п

следствие. При условии (8) система {еАп2} Т-усиленно не полна и Т-усиленно свободна.

Теорема 3.1 для указанного семейства кривых существенно усиливает теорему 2.1. Аналогичная теорема , когда вместо С9(а, Ь) рассматривается семейство произвольных кривых, соединяющие вертикальные стороны прямоугольника { г = х + гу ■. а < х < Ь,\у\ < с } при существенно жестких, чем (8) ограничениях доказана в [40].

Теорема 3.1 играет полезное приложение к изучению асимптотических свойств рядов Дирихле (10).

Выражаю глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Гайсину Ахтяру Магазовичу за постановку задач, предложенную тематику исследования, ценные советы, постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Гайсин A.M. Условие Левинсона в теории целых функций. Эквивалентные утверждения // Матем. заметки. 2008. Т.83, №3. С. 350-360.

[2j Levinson N. Gap and density theorems. New York: Amer. Math. Soc., 1940.

[3] Гурарий В.П. К теореме Н. Левинсона о нормальных семействах аналитических функций // Исследования по линейным операторам и теории функций. 1. Записки научных семинаров ЛОМИ. 1970. Т. 19. С. 215-220.

[4] Sjoberg N. Sur les minorantes subharmoniques d'une fonction doñeé // Сотр. rendus IX Congreá des Math. Scandinaves Helsingfors: 1939. p. 309—319.

[5] Wolf F. On majorants of subharmonic and analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc., 1942. V. 49. p.952.

[6] Koosis P. The logarithmic integral I. Cambridge: University Press, 1988 (1998).

[7] Domar Y. On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function // Arkiv f5r Mat. 1958. № 3. P.429-440.

[8] Дынькин E.M. О росте аналитической функции вблизи множества её особых точек // Записи научн. семин. ЛОМИ АН СССР. 1972. Т.ЗО. С.158-160.

[9] Дынькин Е.М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала // Математическое программирование и смежные вопросы. Теория функций и функциональный анализ (Труды VII Зимней школы Дрогобыч) М.: АН СССР. Центральный экономико-математический институт, 1976. С. 40-73.

[10] Дынькин Е.М. Функции с заданной оценкой на и теорема Н. Левинсона // Матем. сб. 1972. Т.84.№ 2.С. 181-190.

[И] Мацаев В. И. Некоторые теоремы полноты и компактности, связанные с класической квазианалитичностью. Дисс. ...докт. физ.-мат. наук. Харьков, 1964.

[12] Дынькин Е.М. Операторное исчисление, основанное на формуле Коши-Грина и квазианалитичность классов D(h) // Исследования по линейным операторам и теории функций. 1. Записки научных семинаров ЛОМИ. 1970. Т. 19. С. 221-226.

[13] Muntz Ch. Uber den Approximationssatz von Weierstrass. Schwarz Festschrift. Berlin: 1914.

[14] Carleman T. Les functions quasi analytiques. Paris: 1926.

[15] Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: Изд-во ИЛ, 1955.

[16] Джрбашян AIM. Расширение квазианалитических классов Данжуа -Карлемана // ДАН СССР. 1976. Т.180, №4. С. 782-785.

[17] Salinas R.B. Functions with null moments // Rev. Acad. Ciencias. Madrid.

1955. P. 331-368.

[18] Коренблюм Б.Н. Квазианалитические классы в круге // ДАН СССР. 1955. Т. 164, №1. С.36-39.

[19] Юлмухаметов Р.С. Квазианалитические классы функций в выпуклых областях // Матем. сб. 1986. Т.130(172), №4.С. 500-519.

[20] Напалков В.В. Трунов К.В. Юлмухаметов Р.С. Граничные теоремы единственности в классах Карлемана и задача Дирихле // Доклады РАН. 2005. Т.404, №3. С. 1-4.

[21] Трунов К.В. Описание классов Карлемана // Вестник Башгосунивер-ситета. 2005, №3. С. 15-18.

[22] Beurling A. Collected works. V.l. Birkhauser: 1989.

[23] Brennan J. Weighted polynomial approximation quasianalyticity and analytic continnation // J. Reine Angew. Math. 1985. 357. P.23-50.

[24] Matsaev V., Sodin M. Asimptoties of Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions // Алгебра и анализ. 2002. T.14. Выпуск 4. С. 107-140.

[25] Гончар А. О квазианалитическом продолжении аналитических функций через жорданову дугу // ДАН СССР. 1966. Т.166. №5. С. 1028-1031.

[26] Леонтьев А.Ф. Об одном дополнении к теореме Адамара // ДАН СССР. 1972. Т.206. С. 1049-1051.

[27] Леонтьев А.Ф. О неквазианалитической продолжаемости функции, представляемоц рядом экспонент // Матем. заметки. 1987. Т.41. №2. С. 185193.

[28] Леонтьев А.Ф. О неквазианалитической продолжаемости функции, заданной рядом экспонент // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1987. Т.51. №2. С. 270-286.

[29] Павлов А.И. Квазианалитическое продолжение и диофактовы приближения // Analysis Math. 1975. T.l, №1. P. 63-73.

[30] Гайсин A.M. Ряды Дирихле с вещественными коэфициентами, неограниченные на положительном луче // Матем. сб. 2007. Т. 198. №6. С.41-64.

[31] А. Ф. Леонтьев. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

[32] Леонтьев А.Ф. О полноте системы экспонент на кривой// Сиб. матем. журн. 1973. т. 15. № 5. с. 1103 - 1114.

[33] Korevaar J. Approximation on curves by linear combinations of exponentials //Approximation theory. New York and London 1973. p. 387 - 399.

[34] R. Zeinstra. Zeros and regular growth of Laplace transforms along curves // J. reine angew. Math. 1992. V. 424. P. 1-15.

[35] Malliavin P. Siddiqi J. Approxmation polynomiale sur un arc analutique dans le plan complexe// Comptus rendus Acad. Sci. 1971. v. 273. № 2. p. 105 -108.

136] Korevaar J. and Dixon M. Nonspanning sets of exponentials on curves// ^ta Math. Acad. Sci. Hungaricae 1979. v. 33. № 1 - 2. p. 89 - 100.

[37] Korevaar J. Dixon M. Interpolation, strongly nonspanning powers and acintyre exponents// Indag. Math. (N.S.) 1978. v. 40. № 2. p. 243 - 258.

[38] M. А. Евграфов. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле. / Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. № 3. С. 169-175.

[39] А. Е. Фрынтов. Операторы, сохраняющие субгармоничность, и неко->рые задачи класического комплексного анализа. Докторская диссертация. ТИНТ НАН Украины. Харьков: 1995.

[40] Гайсин A.M. Усиленная неполнота системы экспонент и проблема Ма-штайра// Матем.сб. 1991. т. 182. № 7. с. 931 - 945.

[41] Т. Bang. От quasianalytiske functioner. Thesis. Univ. of Copenhagen. M6.

[41] Siddiqi J. Non-spanning sequenses of exponentials on rectifiable plane arcs ' Linear and complex analysis. Problem book. 1984. 1043. Springer - Verlag. L-rlin. Heidelberg. New York. Tokyo.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кинзябулатов И.Г. Обобщение теоремы Левинсона. // VI региональная кола-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по матема-1ке, физике и химии.// Тезисы докладов. Математика. Уфа: РИО БашГУ, )06. С. 6.

2. Кинзябулатов И.Г. Обобщение теоремы Левинсона. //VI региональная кола-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по мате-игике, физике и химии.// Сборник трудов. Математика. Уфа: РИО БашГУ, )06. С. 1-10.

3. Гайсин A.M., Кинзябулатов И.Г. Теорема типа Левинсона и квазиана-[тические классы Карлемана // Вестник УГАТУ, Математика. Уфа. 2007. .9. №3(21). С. 14-19.

4. Гайсин A.M., кинзябулатов И.Г. Квазианалитические классы функций i дугах. // Уфимская международная математическая конференция, посвя-онная памяти А.Ф. Леонтьева.// Сборник материалов. Том 1. Уфа: Инсти-"г математики с вычислительным центром УНЦ РАН, 2007. С. 59-60.

5. Гайсин A.M., Кинзябулатов И.Г. Теорема тииа Левинсона - Щёберга. рименения // Матем. сб. 2008. Т. 199. №7. С. 41-62.

6. Гайсин A.M., Кинзябулатов И.Г. Неполные системы экспонент на дугах ' Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск I. Уфа. 2008. С.50-).

Подписано в печать 19.03.2009 г. Бумага ксероксная. Печать оперативная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times». Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 132 / 09

Отпечатано в полиграфическом участке Стер лигам акской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой: 453103, Огерлигамак, пр. Ленина, 49.

Введение

1 Обзор результатов и постановка задач

2 Основные результаты диссертации

Глава I. Компактность и квазианалитичность

§1 Теорема Альфорса об искажении и другие геометрические факты

§2 Обобщение теоремы Левинсона-Щёберга

§3 Классы Карлемана на дугах. Критерий квазианалитичности

Глава II. Условие Левинсона и неполные системы экспонент на дугах

§1 Вспомогательные утверждения

§2 Существование биортогональной системы. Теоремы продолжения

§3 Теорема единственности для рядов Дирихле

Глава III. Усиленно не полные и усиленно свободные системы экспонент на системе ДУГ.

§1 Краткий обзор результатов

§2 Предварительные сведения

§3 Основной результат

1. Обзор результатов и постановка задач

Диссертация посвящена изучению вопросов, связанных с квазианалитичностью классов Карлемана на дугах и двойственной задачей о компактности семейства Ем = {/} аналитических в некоторой области Б функций /, удовлетворяющих вне некоторой дуги 7 из Б оценке вида

И|<М(^(г,7)), (1) где £¿¿<§¿(2:, 7) = т£\г — М = М(р) ~ убывающая на

67

О, оо) функция, не ограниченная в окрестности нуля. Предполагается, что функция М удовлетворяет некоторому би-логарифмическому условию, которое называется условием Левинсона. Данное условие естественно возникает во многих вопросах комплексного анализа, спектральной теории и теории операторов, в теории целых и субгармонических функций, рядов экспонент, в теории интерполяции (см., н-р, в [1]).

Пусть В — область в С, Н(Б) — пространство функций /, аналитических в И, наделенное топологией компактной сходимости, то есть топологией, определяемой системой норм = вцр|/(*)1, гек где К С С D, то есть К — компактное подмножество области D, К С D. Эта топология может быть задана и при помощи счетного семейства норм = max \f(z)\, zEKn где

Кп = <z е D : dist(z,dD) > \z\ < n [ n

Следовательно пространство H{D) метризуемо. Компактные подмножества в H(JD) называются компактными семействами аналитических функций. Другими словами, семейство N = {/} функций / Е H(D) называется компактным в D) если из каждого бесконечного подмножества Т множества N можно выделить последовательность, равномерно сходящуюся на каждом компактном множестве К С С D. Предельная функция / по теореме Вейерштрасса будет аналитичной в D, но, вообще говоря, не принадлежащей семейству N.

Имеет место следующий критерий компактности, обычно называемый принципом компактности (теорема Монтеля) [2], [3]: семейство N = } функций / Е H(D) компактно в D тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено внутри Z), то есть для любого компактного множества К, К С С -D, существует число С = С (К), такое, что \\/\\к < С для всех / € N.

В 1938 году Н. Левинсон [4] доказал теорему, которая явилась „далеко идущим обобщением принципа максимума модуля для аналитических функций" [5].

Теорема (Н. Левинсон). Пусть М(у) положительная, монотонно убывающая в полуинтервале (0, b] функция, М(у) t оо при у i О, М(Ъ) = е. Пусть, далее, Fm — семейство функций, аналитических в прямоугольнике

Р = { z = х + iy : \х\ < а, \у\ < b } , удовлетворяющих в Р оценке < М(\у\). Если ь

J lnlnM(y)dy < ос, (2) о то для любого 5 > 0 существует постоянная С, зависящая только от 5 и М(у), такая, что для всех функций / ^ Fm в прямоугольнике

Р§ = {z = х + iy : \х\ < а — S, \у\ < Ь) справедлива оценка \f(z)\ < С.

Отметим, что независимо от Левинсона (по-видимому, одновременно с ним) эту теорему в несколько иной форме доказал Шёберг (N. Sjoberg) [б]. Впоследствии, Ф. Вольф (F. Wolf) распространил теорему Левинсона-Шёберга на более широкий класс функций [7]. Имеются другие варианты и различные обобщения этой теоремы. В [5] предложено другое, более простое доказательство этой теоремы Левинсона. Приведем одну из версий данной теоремы.

Теорема (Y. Domar).[8],[9] Пусть D = { z = х + iy : а < х < a',—b < у < b}, а Ь(у) — измеримая по Лебегу функция, Ь(у) > е (—6 < у <Ь), и ь 1п1пЬ(у)4у <00. (3)

-ъ

Тогда имеется убывающая функция т(5), зависящая только от Ь(у) и конечная для 5 > 0, такая, что если /(г) аналитична в Б и <Щтг), (4) то

Следствие. Пусть J = {/} — семейство аналитических в И функций, удовлетворяющих условию (4). При условии (3) семейство функций 3 является компактным.

Как показано П. Кусисом, условие (2) для справедливости теоремы Левинсона и необходимо [8].

Теорема Левинсона нашла многочисленные применения в различных областях анализа, в первую очередь в комплексном анализе, спектральной теории функций и теории операторов (см., н-р, в [8]-[14]).

Цель диссертации — доказать теорему типа Левинсона в случае, когда семейство ^ = {/} аналитических функций / вблизи некоторой дуги 7 подчинено оценке (1). Эта задача представляет особый интерес с точки зрения её применения к известным проблемам квазианалитичности классов Карлемана и полноты систем экспонент на дугах. Как известно, в случае отрезка 7 = [а, Ь\ исчерпывающие ответы на эти проблемы получены в теоремах Мюнца [15] и Данжуа-Карлемана [16].

Пусть {Мп} — положительная последовательность, I — отрезок вещественной оси. Классом С/(МП) называется множество всех бесконечно дифференцируемых на отрезке I функций /, удовлетворяющих условию тах|/^(х)| < С]Мп (п > 0).

В общей ситуации в качестве I можно брать любой интервал, полуинтервал (конечный или бесконечный). Отметим, что при Мп = п\ класс С/(МП) совпадает с множеством аналитических на I функций.

В 1912 году в [17] Адамар поставил следующую проблему [18]: "Указать такие условия, которым должны быть подчинены Мп, чтобы всякая бесконечно дифференцируемая функция класса С/(МП) на интервале /, обращающаяся в нуль вместе со всеми производными в некоторой точке из /, была тождественно равна нулю". Такой класс называется квази аналитическим.

Таким образом, класс С/(МП) называется квазианалитическим, если для некоторого жо £ I из условий п>(го) = 0(п=1,2,3,.) следует, что / = 0 на I.

В [19] Данжуа показал, что при Мп = (п\пп.Лпрп)п (1пр п — р-ая итерация логарифма) класс С/(МП) будет квазианалитическим. Им была высказана гипотеза, что условие 2^=1 ~ШГ = 00 достаточно для квазианалитичности класса. Карлеман [16] полностью решил проблему Адама-ра, указав необходимые и достаточные условия квазианалитичности.

Справедлива

Теорема (Данжуа-Карлеман)[16]. Класс С/(МП) ква-зианалитичен тогда и только тогда, когда

00 I / А™

Позже А. Островским (1930), С. Мандельбройтом (1942) и независимо Т. Бангом (1946) в различных терминах были получены эквивалентные условия (см., н-р, в [18]).

Классическая проблема квазианалитичности в дальнейшем обобщалась в разных направлениях. В работах М.М. Джрбашяна и его учеников разработана теория а - квазианалитичности, которая при а = 0 совпадает с обычной квазианалитичностью (см., н-р, [20]).

Пусть С — некоторая область в С. Через Н(С, Мп) обозначим класс функций /, аналитических в области С и удовлетворяющих оценкам г)| <С;Мт ¿6С(Я> 0).

Класс .Н"(Сг, Мп) называется квазианалитическим в точке ¿о е дв, если из того, что / б Я(<7, Мп), = 0 (п >

0) следует, что / = 0

Проблема квазианалитичности класса #(Д7, Мп), где Д7 — угол

7Г

Д7 = { г : \argz] < —, 0 < \г\ < ос } , была впервые поставлена и решена Салинасом [21]: класс Я(Д7, Мп) квазианалитичен в точке г = 0 тогда и только тогда, когда

Следует заметить, что известное условие квазианалитичности А. Островского (см., н-р, [18]) для класса С/(МП) формально является предельным случаем условия (5) (при 7 —>• оо).

Задача о квазианалитичности класса Н(К7 Мп) (К — круг) решена Б.И. Коренблюмом [22]. В [23] P.C. Юлму-хаметовым доказан критерий квазианалитичности класса H(D, Мп) в граничной точке произвольной выпуклой области D. В последние годы было получено описание классов Карлемана для ограниченных односвязных областей со спрямляемой жордановой границей [24], [25].

В работах А. Бёрлинга [26], Бреннана [27], В. Мацаева и М. Содина [28] и других исследованиях обнаружена тесная связь квазианалитичности с задачами аналитического продолжения и аппроксимации полиномами в различных весовых пространствах. В [29] A.A. Гончар исследовал задачи, связанные с понятием квазианалитического продолжения через дугу. Полученные в данной работе результаты применимы к исследованию особенностей и единственности представления функций рядами вида

Вопросам квазианалитической продолжаемости или непродолжаемости функций, представляемых рядами Дирихле или рядами экспонент посвящены работы А.Ф. Леонтьева [30]-[32]. В [33] А.И. Павловым приведен пример функции, которая квазианалитически продолжается через прямую голоморфизма на всюду плотном множестве.

Применяя метод основанный на решении одной экстремальной задачи в неквазианалитическом классе Карлема-на C/(Mn), A.M. Гайсину удалось получить точную оценку роста ряда Дирихле с вещественными коэффициентами на положительном луче [34].

Особую актуальность вопросы квазианалитичности (неквазианалитичности) классов Карлемана приобретают в связи с задачами аппроксимации системами экспонент на тех или иных континуумах (например, на дугах) комплексной плоскости.

В [35] А.Ф. Леонтьевым доказана теорема:

Пусть 7 : у = f(x) — непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких дуг 7s : у = fs(x), причем \f's(x)\ < 1. Если оо ^

0 < Xk t 00, Afc+1 - Хк > h > 0, Т~■ = 00> к=1 к то система {eXkZ} не полна на 7 в метрике С.

Данная теорема основана на замечательной „теореме о стирании особенностей" [35], доказательство которой сводится к обоснованию квазианалитичности класса Карлемана С7(МП), п ос / 2 \ на кусочно-гладкой кривой 7. Отметим, что приведенный результат А.Ф. Леонтьевым ранее был доказан для аналитических дуг в [36]. В [37] Кореваром показано, что для полноты системы {ел^} на кусочно-гладкой кривой 7 достаточно лишь условия оо ^

- = оо. (6) к=1 К

Используя те же соображения квазианалитичности класса С7(МП), ученик Коревара II. Zeinstra в [38] перенёс результат из [37] на случай кривых ограниченного наклона.

А.Ф. Леонтьевым показано [35], что условие (6), следовательно, соответствующие условия Карлемана, А. Островского, Мандельбройта и Банга достаточны для того, чтобы класс С7(МП) был квазианалитическим.

Проблема заключается в следующем: будет ли для полноты системы {еА^} в С(7) (С(7) — пространство непрерывных функций с нормой

11/11 =тах|/(г)|) 7 условие (6) необходимым?

Для аналитических дуг 7 ответ положительный [39]. В общем случае задача весьма сложная и, как следует из [40], всё сводится к двойственной проблеме о квазианалитичности класса Карлемана С7(МП).

В настоящей диссертации полностью решена задача о квазианалитичности регулярных классов Карлемана на дугах ограниченного наклона.

В качестве применения изучается свойства систем {еХпг} (последовательностей полиномов и рядов экспонент), показатели которых подчинены условиям: оо п 1

Ап > 0 < ¿¿п Т — 0,— < оо. (7) п=1

Как известно, группа условий (7) сильнее, чем требование [1] оо ^

Ег<~ оп 1 П п=1

В диссертации показано, что при выполнении условий (7) система {еХпг} усиленно не полна и усиленно свободна на семействе дуг ограниченного наклона (в частности, система не полна в С(7)). Наконец, решена задача аналитического продолжения и представимости рядами Дирихле функций / из замыкания линейной оболочки системы {еА^} в С(7); доказана теорема единственности о поведении рядов Дирихле п на системе дуг, уходящих определенным образом в бесконечность и образованных движением (сдвиг, поворот) дуги 7. Этот круг результатов обобщает и дополняет известные результаты Бёрлинга [26], Коревара, Диксона [40], А.Ф.

12

Леонтьева [35],М.А. Евграфова [42], А.Е. Фрынтова [43], A.M. Гайсина [44].

1. Koosis P. The logarithmic integral I. Cambridge: University Press, 1988 (1998).

2. Domar Y. On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function // Arkiv for Mat. 1958. N5 3. P.429-440.

3. Дынькин E.M. О росте аналитической функции вблизи множества её особых точек // Записи научн. семин. ЛОМИ АН СССР. 1972. Т.ЗО. С.158-160.

4. Дынькин Е.М. Функции с заданной оценкой на Ц и теорема Н. Левинсона // Матем. сб. 1972. T.84.JV2 2.С.181-190.

5. Мацаев В. И. Некоторые теоремы полноты и компактности, связанные с класической квазианалитичностью. Дисс. .докт. физ.-мат. наук. Харьков, 1964.

6. Павлов А.И. Квазианалитическое продолжение и ди-офактовы приближения // Analysis Math. 1975. T.l, mi. P. 63-73.

7. Гайсин A.M. Ряды Дирихле с вещественными коэфи-циентами, неограниченные на положительном луче // Матем. сб. 2007. Т.198. №6. С.41-64.

8. А. Ф. Леонтьев. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

9. Леонтьев А.Ф. О полноте системы экспонент на кривой// Сиб. матем. журн. 1973. т. 15. JV5 5. с. 1103 -1114.

10. Korevaar J. Approximation on curves by linear combinations of exponentials// Approximation theory. New York and London 1973. p. 387 399.

11. R. Zeinstra. Zeros and regular growth of Laplace transforms along curves //J. reine angew. Math. 1992. V. 424. P. 1-15.

12. Malliavin P. Siddiqi J. Approxmation polynomiale sur un arc analutique dans le plan complexe// Comptus rendus Acad. Sci. 1971. v. 273. № 2. p. 105 108.

13. Korevaar J. and Dixon M. Nonspanning sets of exponentials on curves// Acta Math. Acad. Sci. Hungaricae 1979. v. 33. № 1 2. p. 89 - 100.

14. Korevaar J. Dixon M. Interpolation, strongly nonspanning powers and Macintyre exponents// Indag. Math. (N.S.) 1978. v. 40. № 2. p. 243 258.

15. М. А. Евграфов. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле. // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. № 3. С. 169-175.

16. А. Е. Фрынтов. Операторы, сохраняющие субгармоничность, и некоторые задачи класического комплексного анализа. Докторская диссертация. ФТИНТ НАН Украины. Харьков: 1995.

17. Гайсин A.M. Усиленная неполнота системы экспонент и проблема Макинтайра// Матем.сб. 1991. т. 182. № 7. с. 931 945.

18. Т. Bang. От quasianalytiske fnnctioner. Thesis. Univ. of Copenhagen. 1946.

19. P. Неванлинна. Однозначные аналитические функции. М.: Гостехиздат, 1941.

20. Г.М. Голузин. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

21. J. Korevaar. Approximation on curves by linear combinations of exponentials // Approxim. Theory. New York, London: Acad, press, 1973. P. 387-399.

22. M. Dixon, J. Korevaar. Nonspanning sets of powers on curves: analyticity theorem // Duke Math. J. 1978. V. 45. № 3. P.543-559.

23. A. Baillette, J. A. Siddiqi. Non-totalitedexponentielles sur un arc rectifiable // Comptus rendus Acad. Sci. 1979. T. 289. P. 177-179.

24. Siddiqi J. Non spanning sequenses of exponentials on rectifiable plane arcs // Linear and complex analysis. Problem book. 1984. 1043. Springer - Verlag. Berlin. Heidelberg. NewYork. Tokyo.

25. Korevaar J. Müntz approximatioon on arcs and Macintyre exponents// Lecture notes in Mathematics 1978. v. 747. p. 205 -218.

26. Siddiqi J. Baillete A. Approxmation polynomiale sur un arc analutique dans le plan complexe// Comptus rendus Acad. Sei. 1975. v. 281. № 10. p. 791.

27. Гольдберг A.A. Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука. 1970.

28. Кацнельсон В.Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением// Функциональный анализ и его приложения. 1976. т. 10 № 4. с. 35 44.

29. Кинзябулатов И.Г. Обобщение теоремы Левинсона. // VI региональная школ а-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии.// Тезисы докладов. Математика. Уфа: РИО Баш ГУ, 2006. С. 6.

30. Кинзябулатов И.Г. Обобщение теоремы Левинсона. // VI региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии.// Сборник трудов. Математика. Уфа: РИО Баш ГУ, 2006. С. 1-10.92

31. Гайсин A.M., Кинзябулатов И.Г. Теорема типа Ле-винсона и квазианалитические классы Карлемана // Вестник УГАТУ, Математика. Уфа. 2007. Т.9. №3(21). С. 14-19.

32. Гайсин A.M., Кинзябулатов И.Г. Теорема типа Левин-сона- Щёберга. Применения // Матем. сб. 2008. Т.199. т. С. 41-62.

33. Гайсин A.M., Кинзябулатов И.Г. Неполные системы экспонент на дугах // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск I. Уфа. 2008. С.1-11.