О восстановлении в звездных областях голоморфных и квазианалитических функций по их значениям на множествах единственности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

г^1

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На. права* рукописи

Знаменская Людмила Николаевна

О ВОССТАПВЛЕШИ В ЗВЕЗДНЫХ ОБЛАСТЯХ ГОЛОМОРФНЫХ И КВАЗИАНАЛИТИЧЕСШ ФУНКЦИЙ ПО ИХ ЗНАЧЕНИЯМ НА МНОЖЕСТВАХ ВДИНСТВЕННХТИ

0Г.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени каццидата физико-математических наук

Новосибирск - 199Р

# 4 > V Г %

Работа выполнена в Институте физики им. Л.В.Киренегого СО АН СССР в сектор теории функций

Н учный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор Л.А.Айзенберг

Официальные оппоненты доктор физико-математических \ наук А.П.Копылов

А.П.Копылов

кандидат физико-математических

наук

Е.М.Дынькин

Ведущая организация Физико-технический институт

низких температур АН УССР

Защита состоится

и

1990 г. в

Уй

/V час.

на заседании Специализированного совета К 002.23.02 в Институте математики СО АН СССР по адресу 630090, г. Новосибирск -90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Лнститута математики О АН СССР.

Автореферат' разослан

Ученый секретарь Специализированного - твета ''.ф.-М.Н.

В-В/'п.-шов

ОЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

на.

Актуальность теш. В Т9Т6 г. а трудах 4-ого Скандинавского математического конгресса братья '5. и Ы.Рнсс опубликовали теперь уже ставшую классической теорему. В нсЛ доказано, что кора, ортогональная при интегрировании по единично; окружности функциям, голоморфным в эагчкании единичного кр'-та, абсолютно непрерывна на этой окружности относительно меры Лебе-

ч>

га.

Широко известна и более сильная формулировка. В иеП ут-верздается не только абсолютная непрерывность мери JL■ , ортогональной го.томорфним функциям, относительно мер!» Лебега

р , но н что^ £ 9 , где £ продолжается внутрь

единичного круга как функция класса Харди Н . В частности, эта тчорама псгользозалась Л.А.Айзенбергом пои решении задачи описания кар, ортогональных при интегрировании по граница облает:; пространству {0^30) (пространству функ-

ций. ортогональных голоморфным).

Таким обрлзом, теорему Риссов кожно раесиатрявать как условие голоморфного продолжения. Тем сами.) на тесно связана с задачей ош«.с"ушя тех функций, эр чанных на всей граница области, которые продолжаются голоморфно внутрь области. Возникает и друг&ч задача - задача описания функций, заданных на части границы области, которые голоморфно продолжаются внутрь области, Решением этой задачи занимались Г.Ц.Тумаркин, В.А. Фок н В.М.Куни, Д.Гатил, А.ИтеПнер, М.Г.Крейн и П.Я.Нудельшш, Е.М.Чирка, Л.Л.Айзенберг, Н.Н.Тарханов.

Известны формулы, осуществляющие голоморфное продолжение функций с полномерного куска границы области. Впервые такая формула была получена Т.Карлеманом в 1926 г. для областей в

специального вида. Г.М.Голузииым и В.М.Крыловым решение било распространено на односвязные области а {£■ . Для областей в С , М- > Л , формулы Карлемана били получены Д.Патнлом.. 0).А.Даутовьш и Е.С.Мкртчяном, Ш.Ярмухамидояш, Т.Ишанкулочьш, Л.А.Айзенбергом, А.М.Кытманошл«, Т.Н.Никитиной, Н.Н.Тархановым. Следует отметить, ,что во воех упомянутых результатах ядро в формуле Карлемана не является гол<;морфинм.

Сам этот факт показывает насколько трудна задача постр'ения формул Кар:<емана с голоморфным ядром. Л.А.Айзенберг доказал существование многомерного аналога формулы Карлемана о голоморфным ядром для ограниченной области с кусочно гладкой границей . На множество максимальной размерности /7сП д<£) налагалось дополнительное условие: множество д£)\ f"} имеет связное дополнение. Но эта. формула явно не была построена. Все это предает интерес любому продвижению в решения указанной задачи.

Справедливость'формул Карлемана доказывается в предположении, чтт искомое продолжение существует и принадлежит классу Харди. В этой ситуации естественно говори.ь уже не о продолжении, а о восстановлении функции по ее граничным значениям. "

Голоморфные функции, удовлетворяющие условию -Липшица, можно восстановить по их значениям на множестве нулевой меры. Именно такую формулу получили при tt — d. И.В.Виденский,.... Е.М.Гавурика и В.П.Хавин. Функцию, голоморфную в окресть^ети нуля ( О 6 С ), как показал А.И.Маркувевич, можно восстановить в ее максимальной звезде голоморфности с помощью полиномов Пенлев^-Фредгольма по значениям функции и всех ее производных в нуле. Эти и другие результаты приводят к задаче о восстановлении функций некоторых квазианалитическлх классов в ззеэд кх областях по их значениям на дискретном множестве точек или по значениям всех их производных в одной точке.

Цель исследования. Иссле; эвать возможность голоморфного продолжения с части границы Шилова круговьи сильно звездных > Злас ей и сильно звездных областей с двазды гладкой границей Шилова. Получить интерполяционные формулы для функций квазианалитических классов.

Общая методика исследования. В диссертации широко использовались идеи и методы теории интегральных представлений, теории двойственности функциональных пространстг, геометрической теории функций, техника псевдоаналитического продолжения и оценки остаточного члена в инт ;гральной форме, а также другие методы теории функций многих комплексных лере-

менних и функционального анализа.

Научная.новизна и практическая ценность. Bes результата диссертации являются навит.!. Они ноепт теоретический характер и í.íoryT использоваться в задачах об аналитическом продолжении. .

Апробация работы. Но материалам диссертации бг-ш сделаны доклады на школе-сешнерэ "КонплексниЯ анализ и математическая физика" (Красноярск, 1987 г. ), на Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, Т980*'г.), на ¡зколс-семпнаре "Актуалькне вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1939 г.),. на научных семинарах при Институте физики им. Л.В.Киренс-кого СО АН СССР, Красноярской государственном унаверсит - те и Институте мг-теиатики СО АН ССТ.

Публикации. Осношшэ результаты диссертации изложены в работах [_ I - ÍOj .

Структур? и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глаз. Г.-асы разбиты на весть параграф00- Текст диссертационной работы изложен ¡га 74 страницах. Библиография содержит 51 наименопание.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена голоморфной продолжимости функций, заданных на подмножествах границы Шилова, и многомерным аналогам формулы Карлемана. Она состоит из' чет 'рех параграфов.

В И для круговой сильно звездной области & , следуя идеям, предложении.'.! Л.А. Айзенбергом, получен новый многомерный аналог теоремы и М.Риссоа. В отличие от ранее известных результатов мера ^ рассматривается не на всей границе 'д 2) области , а на ее границе Шилова уй -

Дчя формулировки теоремы дадим необходимые определения. Голоморфная а ¿0 функция / называется функцией класса

И^ (> Р> 0 < если Для нее выполняется условие

I £ СI при любом г

Я

где - константа, не зависящая от 'С • Предел

"-1-0

существует почти всюду относительно меры у-Ь. на а> для функц класса (¿0) . Функция I* интегрируема на

3 при я для всех % 6

кг)-

$

где ядро

непрерывно в

Теорема Т.2. Пусть у) - произвольная мера на ' для выполнения равенства

I *Рс1 —0 при любых <рй1^(В)

Ь

1

необходимо и достаточно, чтобы существовала функция 9 *

такая, что У = ^ ус- .

Здес. О Д^ всех А^)}

- пространство функций, ортогональных голоморфным. С помощью методов функционального анализа.-; теоремы 1.2 докалывается теорема аппроксимации.

Теорема 1.5. Е~пи 5 - множество единственности

функций класса ¡-¡^ (7)) > 70 сужения функций ил ("/>)

к М/? плотны в , X * .

М.М.Лаврентьевым в 50-х годах била предложена плодотворная идея получения формул, аналогичных формулам К.рлемана. Для I дуговых сильно звездных областей эту идею реализуют теоремы Т,5 и Т.6.

Теорема 1.6. Пусть а % множество единственности

функций класса Н^к, (¿0) . Тогда существует последователь- б -

яопть [ (Р_ .. I а (О {£!) . аппроксимирующая ядро л ¿¡Г ) при фиксированном Со в смысле сходимости 0 Л | М ) • 11 Для Л1ибо1) функции / класса

¿^/р V = 1 равенство

* - м '

верно для всех £ .

До сих пор не найдено ни одной многомерной формулу Карлемана с 1 зломорфнш ядром для областей, отлмкых от выпуклых И--кругових. 3 §2 доказывается существование таких формул в случае круговой сильно з; ■¡одной области СО

!'еорама 2.1. Пусть и сущест ует последователь-

ность функций ( о), ] , удовлетворяющая следующим ус-Ь» £

ловиям:

1) функции ¿й^ т?) интегрируемы на Й Л Л] , для любой функции ^ 6 ¡-¡^1 (Ф) и любого % & Ю верно равенство

2) сходимость н (I, равномерная на кшпакгах из

Тогдо. существует последовательность функций,

голоморфных по % при фиксированном о Л1 со свойствами I) и 2).

§3 поспяцен описании функций, заданных на части границы Шилова 2> круговой сильно звездной области , которые

голоморфно продеваются внутрь области, Л/ СГ •

Будзг гозорить, что функция класса ^

(П)

голоморфно прэдолкаегся в область ¿Э , если существует га-

кая фикция Г б //д (£)) , что Р (к) = /<£-) ,мя

почти всех относительно мерыуи точек £ 6 А) .

Теорема З.Т. Пусть 1 -с р <£ и ±/р + = 4 .

функция 6 ^^ ^голоморфно продолжается в в

том ч только том случае, когда

для любой стремящей я к цулю 0 по норме / Д (S\h) после-

И довательности ¡р.]. (¿^

Этот результат обобщает на случай подмно?. зств границы Шилова /5 теорему Н.Н.Тарханова, полученную для подмножеств всей границы

В §4 результаты §1 распространяются на сильно звездные

области СО С. (С , 0 ё Ю, с границей Шилова ^ , удовлетворяющей следующим условиям: I) £ - дважды гладкая (т.6.

„г

является многообразием или многообразием с краем класса С ) 1 2) никакая касательная плоскость к ,£> не проходит через нуль и 3) все сечения' "дЮ комплексными прямыми, проходящими через н„ль и точку ¡¡<~ целиком лежат в £

Во второй главе получены интерполяционные фор>-улы, восстанавливающие функции некоторых квазианалитических классов по их значениям на дискретном множествь точек или по значениям всех их производных в одной точке. ^

В §5 для функций класса Жегче О" в замкнутом

круге <эЁ?х - {(С .' /2,/< 1 } , т.е. для функций, голоморфных в и бесконечно дифференцируемы* в 5Г2 ± таких, что

,91 , ь

здесь Сф и Л/ ^ - константы, зависящие от ^

рас-8 -

сиатривается процесс интерполяции с умами С1 л , ... , с: с: А рациональными функциями с полюсам! -— < • • •

4 л I ,

... , --— , гпе О < Г . < х . С помочью полиномов

± а П{-

тг*' т.

Эрмита строится последовательность интерполирующих функций

% ж- ' г 3 _

Теорема 5.1. Есл», ^ - функция класса Яевре ^ ^ )

& < £ , а ^г а ~ ГД0 ¿Ст-) ' *

(и — О^эг^,) при т. , ю последовательность £

равномерно сходится к /. в ± •

Дана формула интерполяции при СЬ^ — ... ~ (X пи~ Л , кото;ал распространяется па случай шара £>(%) -/,2-6 С*"' ,' + ...+ ^ 2 й} • Положим

m. k V. ^

Ьо * ¿-

m.

тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 5.5. Пусть { £ Q (b(z)} , & < 1 .а

#3£> m. ~ последовательность положительных чисел, ,5Л1р = -

где = ^С^1-) и пг « ОС при (tv ,

тогда всюду в £>(2^ последовательность л. , определен-р т-

ная d (2), сходится к f.

В осуществляется с помощью полиномов Пенловэ-Фредголь-

ма интерполяция функций класса Данжуа /<) , О < Л < ± .

т.е. функций /б С (7ч) таких, что

I о I , ■

^ Ьгг /г«) ^ С^ (т^^иЬ) .

здесь £? £ - константа, зависящая от 4 5 11а звездном компакте /( а л Пусть

«V / //

тополином относительно СС. & ¡К , коэффициенты которого имев

(«-) .

вид С 61 ^ , где - теНооовские коэффициенты

функции 4 • а ^/¡¡¿а ~ коэффициенты полиномов Пенлеве-Фред-

гольма.

Теорема 6.1. Последовательность Р» „ . сходится к -е---£, ^

£ на равномерно вместе со всеми производными любого порядка.

Т.Карлеыан интерполировал функции произвольного квазиана-литическопо класса с помощью полиномов на интервале (о, О, ) . Однако в его интерполяционной формуле учас ?вуют некоторые константы, о которых ничего не известно, Утверэдается только их существование.

Сходимость конкретных интерполяционных процессов (в теоремах 5.1 и 6.1) удается доказать г помощью техники псевдоана-литическога продолжения, разработанной Е.".Дыньки-.мм, позволяющей расширить сферу применения некоторых методов комплексного анализа.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

I. Получены многомерные обоощения теоремы Ф. и М.Рисеов - 10 -

ум круговой сильно звездной области и сильно зве.,дной области с дважды гладкой границ й Шилова.

2. Для указанных областей доказано существование многомерных аналогов формулы Кар"емана.

3. Найдено достаточное условие существования формул Кар-гемана с голоморфшм ядром з случае круговой сильно звездной >бласти.

4. Выявлено необходимое и достаточное условие голоморфно-"о продолжения функций класс р , заданных на подмножествах границы Шилова,

5. Указаны интерполяционные формулы для функций класса [евре в замкнутом круге и шаре.

6. Построена последовательность полиноюн, которая интер-юлирует функции класса Датауа на звездном компакте.

.ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДКССЕРТАЩИ

1. Знаменская Л.Н. Обобщение теоремы Риссов и восстанов-ение голоморфных функций многих комплексных переменных по х значениям на части границы Шилова // Многомерный комплекс-ый анализ. - Красноярск: изд-во СО АН ССТ1, Т985.

. 23Т-232.

2. Знаменская Л.Н. Обобщение теоремы Риссов и многомерт ый аналог-формулы Карлемана // Тезисы докладов Всесоюзного эминара молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного акциза". - Ташкент, 1985. - С. 47-48.

3. Знаменская Л.Н. Обобщение теоремы и М.Риссов и /¡цестаозание много.-еряой формулы Карлемана // Сиб. матем. 1фн. 198Э. Т. XXIX, № 4. - С. 75-79.

4. Знаменская 1 Н. Многомерный аналог теоремы Ф. и М. юсов для сильно звездных областей // Тезисы докладов шко-j-семинара "Комплексный анализ и математическая физика", эасноярск, 1987. - С. 41.

5. Знаменская Л.Н. Интерполяция функций класса Жевре з ¡мкнутом круге // Тезисы доклацоз Всесоюзной конференции

i геометрической теории функций. - Новосибирск, ТЭЯО.

42.

- И -

6. Знаменская Л.Н. О сходимости одного интерполяционного процесса // Исследования по комплексному анализу: Межвузовский сборник. - Красноярск: пзд-во КрасГУ, ,589. - ■?. 63-70.

7.. Знаменская Л. Но Интерполяция функций класса Данкуа на звездно« компакте // Тезисы докладов школы-семинара "Ак ■ •¿•уольнио вопроси комплексного анализа". - Ташкент, Т939. 0. 43.

8. Зналенсная Л.Н. ■ Существование 'многомерных формул Карлемша с гояоморфп-Ь ядром для сильна звездннх областей // Тааисы докладов сколы-сешглара "Актуалышз вопросы комплексного анализа". - 1аакент, 1989. - С. 44.

9. Зааьзнская Л.Н. ГЛюгоморшэ аналоги теоремп Ф.Рисс.-: п Ы.Рисса и формулы-Кардеяша // Известил вузов. Математика. 1509. К V. - С. 67-69.

10. Знаменская Л.Н. Кр«:ерий голоморфной продолжимости

функций класса , задашшх на части границы Шилова круговых сильно звездных областей. Лре..ркчт 1? 47М. - Красноярск: изд-во И5 СО АН СССР, Т989. - 8 с.