Исследование сходимости метода дискретных вихрей в нелинейной задаче об обтекании пластинки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА., ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.533

СЕТУХА АЛЕКСЕЙ ВИКТОРОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ ' В НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ОБ ОБТЕКАНИИ ПЛАСТИНКИ

(01.01.07 - вычислительная математика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Военно-воздушной инженерной академии ям.Н.Е.Жуковского на кафедре высшей математики.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Лифанов И.К.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Захаров Е.В.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Шяпилов.С.Д.

Ведущая организация - Институт математического

моделирования РАН

Автореферат разослан " " bUJ-CUP 1994 г.

Защита состоится " % " ¿l¿OC<eJ> 1994 г

в 15 час.30 мин на заседании специализированного Ученого Совэта Д.053.05.37 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу: II9899, Москва, Воробьевы Горы, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, аудитория 685.

С диссертацией моаяо ознакомиться в библиотеке факультета.

Ученый секретарь специализированного

Совета доктор физико-математических

наук, профессор

(УШ^

Моисеев Е.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуаль-ность проблемы. В последнее время Метод дискретных вихрей находит все более широкое применение при решении различных нелинейных задач аэродинамики, ставящихся в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости. Однако, математическое обоснование метода для таких задач, в отличие от линейных постановок, отсутствует.

Отметим, что для нелинейных задач метод был первоначально создан исходя из наглядных физических соображений сразу в виде дискретной модели и лишь затем была сформулирована система из интегральных и интегро-дифференцдального уравнений, которая описывает такие задачи, и при дискретизации которой может быть получена численная схема рассматриваемого метода, причем, вопрос о разрешимости укзанных уравнений остается открытым.1'

При практических вычислениях по методу дискретных вихрей во многих нелинейных задачах получаемые решения имеют тенденции к неустойчивости. Для повышения устойчивости вычислений приходится искусственно сгла:швать поле скоростей, которое в расматриваемом методе ищется как суперпозиция полей скоростей, индуцируемых системой дискретных особенностей типа вихрь. Обычно это делается за счет применения так называемых вихрей конечного радиуса 2> : полэ скоростей, индуцируемое таким вихрем выбирается ограниченным в окрестности точки размещения вихря и совпадающим с полем точечного вихря на расстояниях от этой точки, больших некоторого заданного, именуемого радиусом вихря. Однако, вопрос о выборе размера области, в которой осуществляется сглазгивание, ( радиуса вихря ) и его взаимосвязи с другими расчетными параметрами неясен.

Исходя из сказанного, исследования, направленные на обоснование метода и получение устойчивых численных алгоритмов для нелинейных задач, имеют как теоретический, так и практический интерес.

Белоцерковский С. М. , Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. - М. ¡Наука, 19SS.

г>Белоцерковский С. М. , Ништ М. И. Отрызноэ и безотрызно® обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. - М. : Наука, 1S78,

Сhor in A.J. Bernard P.S. Discretization of a Vortex Sheet with an Example of Roll-Up. - J. Comput. Phis, 1973, 13, p.423-429.

Цель работы. Основной целью работы явилось доказать, что в модификации метода дискретных вихрей со сглажива-дием поля скоростей с использованием параметра сглаживания {радиуса вихря ) не зависящего от параметров дискретизации ( шага ■интегрирования по времени и шага разбиения на теле ) имеется сходимость численных решений при измельчения прараметров дискретизации к некоторым непрерывным функциям "на сетке".

Научная новизна работа заключается в том, что:

1) Для модификации численной схемы метода дискретных вихрей с вихрями "конечного радиуса" в нелинейной нестационарной задаче об обтекании пластинки с отрывом потока нэ задней кромке предложена предельная нелинейная система из двух интегральных и одного интегро-дифференциального уравнений, по-существу, являющаяся модификацией упомянутой В1М8 известной системы уравнений с искусственным сглаживанием сильной особенности в интегро-дифференциальном уравнении, и доказана сходимость численных решений к решению предлагаемой системы.

2) По ходу исследования два указанных'Интегральных уравнения рассмотрены отдельно и доказано, что из этих уравнений две неизвестные функции (интенсивности вихревых слоев, моделирующих пластинку и вихревой след) можно выразить через третью ( закон движения вихревого следа). При этом возникает задача, которая является обобщением известной линейной нестационарной задачи для профиля'' на случай более общих заданных движений вихревого следа. Для этой задачи доказаны однозначная разрешимость, сходимость аппроксимирующего ее численного алгоритма и рассмотрен принципиально новый вопрос об устойчивости решения по отношению к возмущениям функции, описывающей закон движения вихревого следа, причем, в отличие от неизвестных интенсавностей, эта функция входит в задачу нелинейно.

Практическая ценност ь проведенного исследования заключается в том, что:

I) На примере задачи об обтекании пластинки показано, что в нелинейных задачах аэродана?,мки неизвестные интенсивности вихре-

''Лнфанов. И. К. , Полтавский Л.Н. Линейная нестационарная

задача для профиля и уравнение Абеля. - Сб. "Вопросы кибернетики" 124. М. : АН СССР, Научный совет по комплексной проблем«? "Кибернетика", 1Э86.

вых слоев, моделирущпх. поверхность тела и вихревой след, могут быть однозначно выражены через закон движения вихревого следа.

2)Для рассмотренной задачи-..,-предложена оддозначноразрешимая система уравнений для описания крупномасштабной структуры течения. Можно надеяться, что аналогичные уравнения могут быть использованы для приближенного описания,.,) течений жидкости и нахождения аэродинамических характеристик обтекаемых тел в различных нелинейных задачах аэродинамики.

На защиту выносятся следующие результаты: ,! ]

. Г) Для системы интегральных уравнений относительно функций, выражающих интенсивности вихревых слоев, моделирущих пластинку и след, при заданном законе двшгения вихревого следа:

- доказательство существования и единственности решения для определенного достаточно широкого класса функций, описывающих заданный закон движения вихревого следа;

- оценки для разности решений, соответствующих различным законам движения вихревого следа ( результаты исследовании задачи на устойчивость по отношению-к возмущениям закона двиагения следа );

- обоснование сходимости численного алгоритма решения задачи по методу дискретных вихрей.

2) Для нелинейной нестационарной задачи об обтекании пластинки:

- доказательство сходимости численных решений, получаемых с использованием модификации метода дискретных вихрей с вихрями конечного радиуса, при стремлении параметров дискретизации ( шага интегрирования по времени и шага разбиения на пластинке ) к нухо и при фиксированном значении радиуса вихря к функциям, которые являются решением предложенной в работе системы щттегро-даф^еренциальннх уравнений.

- Результаты исследования поведения численных решений, получаемых по методу дискретных вихрей с использованием вихрей конечного радиуса, когда время г стремится к бесконечности: доказано, что если набегающий шток стационарный, то при определенных начальннх условиях решение нелинейной нестационарной задачи при 1 - со переходит в решение линейной стационарной задачи.

Апробация работы:

I) Научно-исследовательские семинары кафедры математической

физики факультета ВМиК МГУ ( руководители профессор Захаров Е.В., профессор Лифанов И.К.) и кафедры высшей математики ВВМ щ.Н.Е.Жуковского. ( руководитель профессор Лифанов И.К.)

2) 8 симрозиум " Метод дискретных особенностей в- задачах математической физики " ( г. Харьков 1993г.)

3) Всесоюзный семинар по аэродинамике неустановившихся движений ( руководитель профессор Белоцерковский С.М. )

• 4) Публикации с 1-4з.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 235 страницах, машинописного текста и состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 23 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается анализ современного состояния вопросов, связанных с обоснованием метода дискретных вихрей, а также, формулируется цель работы, коротко поясняется содержание работы и дается формулировка основных результатов, выносимых на защиту.

В главе I приводятся интегро-да$ференциальные уравнения, описывающие задачу и численная схема их решения по методу дискретных вихрей. В этой зке главе приводится модификация расчетной методики решения задачи со сглаживанием поля скоростей.

При решении задачи об обтекании пластинки с отрывом потока на задней кромке в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости ищется решение уравнений идеальной несжимаемой жидкости с линией разрыва, состоящей из двух участков: неподвижного I.о задашой формы, на котором расположен профиль пластинки, и подвй:дюго I-неизвестной формы, один из концов которого "закреплен" на задней кромке пластинки.- На линии разрыва ставится условие отсутствия потока жидкости через ату линию, а на участке 1_ , кроме того, ставится условие непрерывности давления.

и

Такая задача может быть сведена к нахождению векторной функции г(*,т)=<г4<^т) ,г2< 1 ,т >), выражающей закон движения 'подвижного участка разрыва I- , и функций Их,*:) и 2<т), выражающих разность касательных составляющих скорости жидкости в точках профиля пластинки и в точке отрыва в момент времени

причем, функции ги,т), ^(х.О и <5 < г) = 2<т)/| 9 а(г'Т)— | 1 должны удовлетворять уравнениям:

T=t

1 1 r<x,t)dx t

__ S - + t <5 (т) V (r <x ),r(t,r)>dr = - u (t) (I)

Sri , x-x . г о о ' ' г

— 1 о ö

1 t

J><x,t) dx + / <5<т) dT = G , (2)

-1 0

—5-Г- = w<r't) U , ' <3)

1 r=r(t,f)

и условию

?Ст,т) = re(l) , (4)

где wtr,t> есть скорость жидкости, выражающаяся через неизвестные функции Г<t,т) , y<x,t> и 6<Т) по формуле

t

w<r,t> = d < t) + / <S(r) v(r,r(t,r))dT +

0 (5)

1

+ T ^(x,t)v(r,r (x))dx , -1

u(t)=(ui(t>,u2<t>) - заданная векторная функция (скорость

набегающего потока на бесконечности),

го<х) = <го1<х) ,гог(х)) - радиус-векторы точек профиля пластинки:

г

(х) = х ¡г (х) = О , х е С-1,13, (6)

>1 'ох * * 4 7

£<г,р> - функция, имеющая физический смысл поля скоростей,' индуцируемого точечным вихрем единичной цирукуляции, помещенным в точку р:

Г - р г - р

V <Г,р) = --- , V (Г ,р) =---- , FOO

I Эя R 2п R ^

'S v (г,р) = v2<r,p) = О , R=0

R = | г - р | ,

g - константа, задаваемая из начальных условий (в задач© об обтекании пластинки, внезапно приведенной в движение из состояния покоя,б=о ).

Заметим, что здесь t - время, а т параметр,

инициализирующий точки линии разрыва причем, при каждом t>o т е со,tu и значение параметра т равное t соответствует концу кривой l , закрепленному в точке отрыва ( с физической точки зрения параметр т есть момента времени, когда выделяемая им точка ( вихрь ) сошла в поток с задней кромки).

В уравнении (2) первый интеграл сингулярный и понимается в смысле главного значения по Коши. Функция w<r,t) определяется выражением (5) для всех точек г на плоскости, причем, если г лежит на или \-± , то один из интегралов в правой части формулы (5) также является сингулярным. Отметим, что функция w<r,t) терпит разрыв касательной составляющей на линиях lq и l и ее предельные значения с разных сторон разрыва ми« связаны со значением на самой линии разрыва соотношением: w = ы* + w~ >/г.

Вывод уравнений (1)~(3) приводится в параграфе I.I. В параграфе 1.2 приводится численная схема решения задачи по методу дискретных вихрей, которая может быть получена при дискретизации уравнений (1)-(3).

Возьмем два набора чисел - xi и х i<i<n , i<i<n ,

образующих каноническое разбиение отрезка с-1,13 :

х = - 1 + < 1-3/4>дх, х . = - 1 + д-1/<одх, (8)

/I OJ

где п - число точек разбиения и лх = г/п - шаг разбиения по координате х. Запишем следующую систему уравнений для

НвИЗВеСТНЫХ rks, Г\ , l£i<n , l<k£N , l<s<k :

1 п у. Дх

- . х. - х

1= 1 I О ] к-1

+ V (г (х . >,а ) 6 = - и <т > -

2 О О 1 2 к

-Т. V (г (X . ) ,г ) 6

ч л л . »

5=1

2 о о; ка

1<.)<п, 1<к<ы

Л г. и к_1 *

£ Г Дх + <5 Д1 = в - Е <5 Д1 1<к<Ы

1=1

5=1

Г = Г + Йк"1(Г, )Д1

У5 к-15 к-15

(Ю) (И)

Гкк = а

1<к<М

(12)

.и ^ ^ с; ^

м (г) = и(т ) + Г 6 V (Г | Т" ) Д1 +

к . КБ

5= 1

Г у. V (г ,г (х ) Дх ,

. , V О V

1=1

(13)

где Д1 - шаг разбиения по переменной 1, т^ = <к-1)Д1, а -фиксированный радиус-вектор, координаты которого в рекомендуется выбирать в виде

а = 1 + 1 /¿»Дх , а =0. 1 '2

Предполагается, что неизвестные г , , ¿к аппроксимируют

значения функций г<1,т>, , ¿(о соответственно при х =

г = кдг , т = «ди

Численно система (9)-(12) решается последовательным переходом от одного временного слоя к другому. На первом временном шаге из уравнений (9) и (10) находятся неизвестные и б1 для всех 1 и из равенства (12) находится неизвестная г^. Далее на каждом к-ом шаге по найденным на предыдущих шагах

значениям неизвестных г. . г1"1 , 1<5<к-1, 1<1<п

вычисляется функция «к"1сг) в точках по формуле (13), из

уравнений (IIуг&аходятся векторы гкз1<5<к и, затем, из уравнений

(9)-(Ю) находятся неизвестные г\ , <5к .

Вопрос о сходимости численных решений, получаемых из системы

уравнений (9)-(12) при измельчении параметров Лх и ¿t, равно как и вопрос о существовании решения у аппроксимируемых ими уравнений (1)-(3) остается открытым.

Основные трудности исследования уравнений (1)-(3) и обоснования сходимости численной схемы их решения связаны с наличием сильной особенности в интегралах, входящих в выражение для функции w(r,t) - правой части уравнения (3) - и разрывностью этой функции вдоль линял r<t,r). Проблема разрешимости этих уравнений связана с более общей проблемой существования разрывных течений идеальной несжимаемой жидкости. Известно, что течение жидкости со свободной поверхность!) тангенциального разрыва, каковой в рассматриваемом случае является линия r(t,-r>, неустойчиво с точки зрения линейной теории устойчивости, а в реальном течении такие разрывы имеют тенденцию к разрушению. Эта неустойчивость находит отражение и при численном решении нелинейных задач аэродинамики методом дискретных вихрей, приводя во многих задачах к развалу решений.

Для повышения устойчивости вычислений искусственно сглаживают поле скоростей, применяя модификацию метода дискретных вихре! с так называемыми вихрями конечного радиуса. При этом решаются уравнения (9)-(12), в которых вместо функции определяемой

формулами (7), используют функцию v*<г,р), такую, что

v*(r,р> = v(?,p) при I г-р| > гв и

V* (г ,р) ограничена при I ?-р\ < гв , где гв - эмпирически подбираемый параметр , именуемый радиусом вихря. Вид функции v*(г,р) при | f-pj < гв подбирается удобным для расчетов образом.

В ларграфе 1.3 приводятся результаты расчетов, проведенных автором, иллюстрирующие поведение численных решений при ■ измельчении параметров дискретизации лх и ¿t и влияние сглаживания на получаемые результаты.

Сопоставление решений, полученных при различных значениях параметров Дх и At, показало, что при расчетах без

сглаживания в рассматриваемой задаче имеется тенденция к сходимости численных решений на сетке, но при сильном измельчении •разбиения (Ax=Ats=o.oi) становятся заметными мелкие осцилляции

получаемой функции r<t,T> . При этом наблюдается следующая

картина: в каждый к-ый момент времени секторы 1<з<к

располагаются хаотически на небольшом расстоянии вокруг некоторой гладкой линии, форма которой плавно меняется со временем.

Расчеты, проведенные по численной схеме метода дискретных вихрей со сглаживанием течения при значении параметра гв = 0.1, показали, что таким образом осуществляется уничтожение осцилляций функции г(ъ,т) без изменения ее глобального вида, а получаемые функции r<x,t) я ¿(-г) практически не меняются. При этом использовалась модификация метода дискретных вихрей в которой уравнения (9)~(Ю) и (12) остаются без изменения, а в уравнении (II) правая часть определяется выражением

wk(r) = Н.(г)

k W * н. о<т, ) + Г 6 V. (г ,г, ) Дt

L k ~^ <- ' kS

" к * + Е у■ v ■ 'г >г ' *•'

=1.2 (14)

j=l *

где н, <г) - множители, введенные для того, чтобы обеспечить непрерывность касательной при переходе с линии г0<*> на линию г < t ,т >. ( т.е. чтобы обеспечить сход вихревого следа по касательной к пластинке) и подобранные так, что

ЗН (г )

Н (rl s 1 Vr eRJ; Н (rl = __1__=0 при г=г (1) (15)

■ 1

И

Н (г) s 1 при I г-г (1) | > гд

(Отметим, что наличие этих множетелей не влияет сколь-нибудь существенно на численные результаты в исследованном диапазоне параметров дискретизации, но является существенным в дальнейшем теоретическом рассмотрении ).

Для системы уравнений (9)-(12) с правой частью уравнения (II), определяемой выражением (14), автором доказана сходимость получаемых численных решений при измельчении параметров дискретизации At и л* на сетке к функциям, являющимся решением системы интегро-дифферэнциальных уравнений, которая может быть получена из системы (1)-(3) сглаживанием сингулярной особенности в правой части уравнения (3). Математическая постановка задачи для этих уравнений приводится в параграфе 1.4, а доказательство ее однозначной разрешимости и обоснование сходимости численной

схемы ее решения в после дующих главах.

Рассматривается нелинейная задача для неизвестных функций f(t,r), r<x,t) и<5(т), включающая условие (4) и систему уравнений (1)-(3), в которых правая часть уравнения (3) - функция wvr,t> -зависит от неизвестных функций и определяется формулой:

г t *

м (r,t) = Н. (г) -I u. (t) + / <5 (т) v Cr,r(t,T))dT +

\ 1 о

1 t * *

+ S y<x,t)v*(г,го(х))dx | , i=l,a ,

векторная функция *0<х> определяется выражением (6), функция vz<r,p> определяется выражением (7), б - заданная константа й u.<t), v*(г,р>, к (г) i=i,a - заданные функции, удовлетворяющие условиям:

v*(r,p> е сг( RZxRZ ), Н (г) е C2(RZ> ; ЭТИ ФУНКЦИИ ВМеСТв

со всеми требуемыми производными ограничены и вторые производные удовлетворяют условию Липшица; u <t> <= с'со,т>; кроме того, функции н^ удовлетворяют соотношениям (15), а функции v* и ut удовлетворяют соотношениям :

Vx,xo€ С-1 ,13 ^ v*(r,р) = О при <г,р)=(г (х),г (х ))

u <t) > в для всех t <= со,со), где в > о.

1 о о

Решение задачи (I.17),(1.29) ищется в классе функций:

г. <t,T)e CCO,T3xCO,t], 3 г. < t ,т )' е С*СО ,T3xC0 , t3 , i=l,2: i I T ' ' * '

{здесь и далее будем понимать со,тixco,ti - тожество пар чисел <t,r) таких, что ost<T,o<T< t.);

у(х, t)e С<-1 ,1 )х(0 ,тз; при каждом фиксированном te(0,T3 >-<x,t.)« и* по х (f(x> s н* на с-1,13 если f < х > = -—i (х>— , o<a<i.

(l-x)a(l+x)a

f*<x)eH,T.e удовлетворяет условию Гельдера ), ограничена при х-и и может быть неограниченой при 1; ¿<т> <= с(о,тз r> l <о,тз.

Сформулированную задачу ниже будем называть нелинейной 'задачей (1)-(4),(16) или просто нелинейной задачей.

В главе 2 рассмотрена отдельно система из уравнений (1)-(2),

в которых неизвестными являются функции r<x,t> и 6 < т ), ar(t,r) -заданная функция, удовлетворящая тем же условиям, которым должна удовлетворять неизвестная Функция ?<t,r> в нелинейной задаче и условию : для всех t и т из области определения

ri(t,T)-i>0(t-Ti , где в > о некоторая константа. (17)

Как и ранее g - заданная константа, u<t> - заданная функция. К функции u<t), а также к функциям г<*, t) и <5<т), предъявляются те же требования, что и в нелинейной задаче.

В диссертации исследован вопрос о разрешимости уравнений (1)-(2), об устойчивости решения по отношению к возмущениям функции r(t,r) и о сходимости аппроксимирующего их .численного алгоритма.

Доказано, что система уравнений (1)-(2) при сформулированных условиях однозначно разрешала в требуемом классе функций и существуют производные

н 1

r<x, t)^ s С <-1,1>х(0,ТЗ , S r<x,t)dx s С(0,Т] ;

если, кроме того, функция r<t,r> принадлежит множеству функций, удовлетворящих неравенству

|r<t,T>l + |r(t,r)'| + |r(t,T)'| +|r<t,T)" | +

T tT (18)

+ |r it,r);-Ti < m,

то найдется константа с, зависящая от параметров т,п,в , а также от функции u(t), такая, что

|<5<t>| < --- , |r<x,t)| < с

/Т /(1-х) (1 + х)

^ | < с -——, I 4г ' 15 .

Г У( 1 + х) (1 -:.) -1 тПГ

Оценку устойчивости решения уравнений (1)-(2) по отношению к возмущениям функции гс<:,т) дает следующее утверждение, доказанное в главе 2:

Пусть г'^и.т), з=1 ,г - заданные функции, принадлежащие множеству функций, удовлетворяющих поставленным условиям и неравенству (18), а ¿'•''«и и /^х.и - соответствующие решетшя

уравнений (1)-(2). Обозначим дм г,т) =г,1>(1,т) - г'г><1,т) и

.пусть:

Б = ъир

(1,г): 0<1<Т

|Аг(1,т)| + ¡Лг^т)^) + | Дг (1, т ) | +■

+ |Лг(1,т)" | + | Дг (1, т ) " |

Тогда найдется константа с, зависящая от параметров т,м,е , а также от функции и(1), такав, что для разностей

A¿^t) = б<1)т - ¿'2><о и дг(х,1:) = ^(Л51 <х,-ь> -

выполнены оценки:

СП с о

IД6 (1) I < и , !Д^ < * « * ) | < ии

1 У С1-х)(1 + х) | <--—-— , | ~ X Дг<х,1)с1х С Р .

1 уа+х> <1-м) . -1 упг

В главе 2, также, дается обоснование численного метода решения уравнений (1>-(2).

Возьмем два набора узлов разбиения по переменной х - х^ и

' х^, определяемых формулами (8}, и два набора узлов разбиения по

переменной 1:

тк = (к-1>д1 , 1к = тк + «км , к=1,г... , где (19)

*к - числа, выбираемые при каждом дг так, чтобы выполнялось условие :

«к * -<Гг /2 ; I «к | < с, |»к+1 - \ \ £ с Д1 ,

с - некоторая константа,'не зависящая от шага дискретизации по времени Д1.

и пусть

г]е5 =г(1 ,те) , 1<к<М, 1<5<к , (20)

где число N выбирается так, чтобы все узлы ^ и т£ лежали на отрезке со.тз.

( Заметим, что числа *к удобнее всего выбирать независящими от к. Случай, когда числа *к зависят от к, рассматривается в- диссертации как необходимый при доказательстве сходимости численного алгоритма, аппроксимирующего ■нелинейную задачу (I)-(4),(16).)

Численное решение уравнений (1)-(Я) ищется из системы линейных алгебраических уравнений (9)-(Ю), в которых неизвестными являются числа бк и а векторы гкз заданы и определяются формулой (20).

При обосновании изложенного численного алгоритма рассмотрена вспомогательная система уравнений для неизвестных функций /к> х « (-1,1) и чисел <5к 1<к<ы :

г £ + г- (х , ^ - ( )

2п ^ х-х " 2 О О К5 2

-1 ° 5=1

х е<-1,1), 1<к<Ы ,

(21)

1 . к

/ г (х)йх + 2 6 АЪ = в 1<к<Ы, (22)

-1 5=1

где вектора гк5 1<к51ч, 1£е<к - заданы. Ищется решение, удовлетворяющее условию:

1г А к

для всех к г « н на с-1,1з, функции г <*> ограничена при х - 1 и могут иметь особенность при х - -1.

В диссертации доказываются утверждения о том, что при каждом фиксированном разбиении по переменной t решение уравнений (9)-(Ю) сходятся при д* - о к решении уравнений (21)-(22), а решение уравнений (21)-(22) сходится к решения уравнений (1)-(2) при д! о:

I) Существует д^ >о такое, что если дкд-^, то уравневния (2Г)-(22) имеют и при том единственное решение. При этом для каждого р: 1/г < р < 1 "найдется функция о<ди такая, что «<дt) о при д-ь - о и решение уравнений (21)-(22) связано с решением уравнений (1)-(2) оценками :

I - <5<ть^>| < (23а)

,/<х> - £ а/Ь> р (236)

< 1-х) (1 + хГ

1<к<Ы

^(х)-^-^/) _ _Д(Д1>_

' ^ ' ' " (Х + Ю^Х-х)^ г

к*1

(23в)

1 к 1 к-»

< х >с!х - ¿Г <х)йх

-1 -1 с! J-!--/ у(х,и й -х

дг -1

(23г)

2<к<М

2) з Д1о > о и для каждого Д1 е <о,д1оз з дхо >0 такое, что если Дх е <о,дхоз , то решения уравнений (9)-(Ю) и (21)-(22) одновременно существуют, являются единственными и найдется константа и : о < V < 1, с которой для этих решений выполнено: а) з с такое, что

¡' - бк | < с дх^ (24а)

СДх) 1

( индексом Дх здесь помечены неизвестные из уравнений (9)-(Ю), чтобы отличить их от соответствующих неизвестных из уравнений (21)-(22) );

п

Г | )| Дх < с Дх" (246)

х=1 1

б) * о < е < г э с2 такое, что если

х е С-1,1-с 3, то I - ->г(х1) I < с2 д/ (24В)

При этом, при неизменных прочих параметрах, Дхо не убывает при увеличении дt , а константы с^ и сг не возрастают при увеличении ди

В главе 3 с использованием результатов, полученных в главе 2, исследуется вопрос о существовании решения нелинейной задачи (I)(4),(16), сформулированной в параграфе 1.4, и дается обоснование численного метода ее решения.

В параграфе 3.1 доказывется теорема I о существовании и

единственности решения нелинейной задачи по крайней мере для некоторого т > о, причем, функция г<1,т>, входящая в это решение, удовлетворяет условию (17) с некоторой константой е>о.

Обоснование сходимости численной схемы решения нелинейной задачи, основанной на методе дискретных вихрей, дается в параграфах 3.2 и 3.3.

В параграфе 3.2 рассмотрена вспомогательная система уравнений для неизвестных функций ук<х> , чисел ¿к и векторов ? 1<к<м,1<е<к, состоящая из уравнений (21)-(22) и уравнений

kS

г, = г, + wk_1(r, ) At 2<k<N ■ (25)

kS k-lS k-lS 4 '

rss = a l<s<N , (26)

где функции wk(?) определяются выражением:

г ^

w (г ) = Н. <г ) ■{ и. (т, ) + Е ¿S V (г ,г, ) At +

v i I i k . к5

I. s=l

S j-k<x> v*<r,ro<x)) dx }• i = 1,2

а = <a4,az), а^ = 1 + А At, а^ = О , (28)

а > о - заданная константа, узлы определяются формулой (19), и число n выбираеися так, чтобы все узлы разбиения тк для к < n+i лежали на отрезке со.тз. ;

К функциям гк < х > предъявляются те же требования, что и при решении уравнений (21)-(22).

Связь между решением нелинейной задачи (1)-(4),(16) и решением уравнений (21)-(22),(25)-(26) дает теорема 2.

Теорема 2.

Предположим, что решение нелинейой задачи существует и функция rtt,T) удовлетворяет дополнительно условию (17)- с некоторой константой в>о.

Тогда найдется aq > о и для каждого а > ао найдется Ato такое, что для любого At е <0 >At0з, решение уравнений (21)-(22),(25)-(26) существует и единственно. При этом для каздого ß: i/г<ß<i найдется функция a<At> такая, что a(At> -> о при At •» о и

а) I 'rks - r(rk,Ts) I < «<At) ;

б) Неизвестные rk(x) и <5k связаны с функциями r(x,t) и <5(т) оценками (23);

. В параграфе 3.3 рассматривается численная схема решения нелинейной задачи. Численное решение ищется из системы уравнений .(9)-(12) с правыми частями в уравнениях (П), определяемыми выражением (14), где неизвестными являются числа г^, ¿к и векторы гк5 1<1<п, 1<к<(м, 1<&<к; узлы разбиения х1 и х определяются формулами (8) , вектор а и числа ^ и ~к выбираются так же, как и в рассмотренных в параграф© 3.2 уравнениях (21)-(22),(25)-(26). Связь между решениями уравнений (9)-(12) и уравнений (21)-(22),(25)-(26)дает следующая теорема.

Теорема 3.

Предположим, что решение налиненой задачи существует и функция ги,п удовлетворяет дополнительно условию (17) с некоторой константой в>о.Возьмем ао и д^ из теоремы 2 и пусть

А > А . о

Тогда для каждого Д1 е (о,дгоз найдется д*с = лхо<д1:> такое, что если дх е (о,дхоз, то уравнения (9)-(12) имеют и

при том единственное решение - г^*у*, <5*Дх) ( индекс дх

введен, чтобы отличить неизвестные в уравнениях (9)-(12) от неизвестных г^, ук(*), ек в уравнениях (21)-(22),(25)-(26) ) 2 найдется такая константа ^ : о < V < 1, что

а) Для каждого Д1 с (о.д^з существует с^ = с^до такое, что

I -»< Дх > -» I - _ . V

| г, - г А < С Дх

I кэ 5 I * ♦

6<д*> и Г1 Удовлетворяют оценкам (25а), (256) и функция с^до

невозрастающая.

б) Для -каждого м е (0,д1оз и для каждого с: о < с < 1 существует с2 = c2<.At,£) такое, что для всех 1 : выполнены оценки (_25.в).

При фиксированном £ функция с <Д1,£> не возрастает по Д1.

Функция дхо(ди неубывающая.

В параграфе 3, также, получены оценки, показывающие близость распределения аэродинамической нагрузки и коэффициентов нормальной силы, получаемых при численном решении, к значениям этих же характеристик, которые могут быть получены на основании точного решения.

В главе 4 доказываются аналитически некоторые свойства решения нелинейной задачи (1)-(4), (16), относящиеся к поведению интенсивностей вихревых слоев в окрестности точки отрыва и к поведению решения при 1 стремящемся к бесконечности.

В параграфе 4.1 доказано, что интенсивность вихревого .слоя, моделирующего пластинку, при каждом непрерывна в окрестности точки х=1, существует предел нт ^ .< х, > = < 1, г > и справедлива

х-1

формула:

которая по существу означает непрерывный переход вихревого слоя, моделирующего пластинку, в вихревой слой, моделирующий след. При 'этом при каждом t*o для распределения аэродинамической нагрузки справедл1гоо равенство:

lira ¿p(x,t> = 0 .

х + 1

В параграфе 4.2 доказывается, что если скорость набегающего потока постоянна:

при всех t ä О u(t> = (cosa, sino) ,

то для каждого угла атаки не превосходящего по модулю некоторого агл-ох > о , найдется такой диапазон значений параметра б ( параметр б имеет смасл циркуляции скорости по контуру, охввтнво:тдому пластинку в момент времени t=o>, что если <з делит в указанном диапазоне, то решение уравнений (1)-(4),(16) может быть продолжено до сколь угодно больших значений времени t. При атом:

1) Найдется а* > о такое, что для всех t« со,coi и те со, ti

г it,г) - 1 > 0*(t-T) .

1

2) з lim <5(t) = о;

t-»CD

при каждом х € (-1,1) 3 lim y(x,t) = ro<x),

t-»tt>

Í

3 lim f I y<x,t> - Г <x> I dx = 0 . t-w» -1 °

Заметим, что параграфе 4.2 делаются дополнительные предположения относительно функций v* ("г,р)и Н (г) по сравнению с теми очень общими требованиями, которые были выдвинуты при

математической постановке нелинейной задачи: v ге R* | н (г) ! < 1 , i=i ,г;

v гr2 функции v*<г,р) имеют тот же знак, .что и функции V. (г , определяемые формулами (7), и

1 V*(r,3> I < ! , i = 1,2.

. В главе 5 анализируются некоторые результаты, полученные численно.

.3 параграфе 5.1 приводятся результаты численных расчетов, позволяющие оценить практическую скорость сходимости численного алгоритма решения нелинейной задачи (1>-(4),(16).

В параграфе 5.2 анализируется зависимость получаемых численно решений уравнений (1)-(4),(16) от радиуса вихря, являющегося эмпирическим параметром.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Сетуха A.B. Связь схем метода дискретных вихрей в стационарной и нестационарной нелинейной задачах для профиля. - Численные методы в интегральных уравнениях и математическое моделирова ние. Научно-методические материалы ВВИА им.Н.Е.Жуковского 1990.

2. Сетуха A.B. 0 некотором подходе к моделированию течения жидкости ; в нелинейной нестационарной задаче об обтекании пластинки. - Численные методы интегральных уравнений в прикладных задачах. Научно-методические, материалы ВВИА та.Н.Е.Жуковского

1991. '

3. Сетуха A.B. Исследование сходимости метода дискретных вихрей в нелинейной задаче об обтекании пластинки.- Численные методы интегральных уравнений в прикладных задачах. Научно-методические материалы ВВИА им.Н.Е.Жуковского 1992.

4. Сетуха A.B. Доказательство сходимости некоторой модификации метода дискретных вихрей в нелинейной задаче об обтекании пластинки. - Численные методы интегральных уравнений в прикладных задачах. Научно-методические материалы ВВИА им .Н.Е.Жуковского

1992.