Исследование собственных значений и собственных функций полуэллиптических операторов в ограниченной области и в полупространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГв од

г5 дек ?м|

ьпьаиъь 'пьэишъ =шиишириъ ииппиозиь аиниъ зьпиъь

ЦМШШ^ПЗЬМ СПЬРиЭПРЪЬРЬ иьфичиъ иРйЬбЪЬРЬ Ы иьФимиь ьпььмзьиььрь яьэиапзпи/с ишииъиФим эьргизгапш ьа чьиизириогигазиъ иьа

и.01.02 - «1ЬФЬрЬ0д|1Ш[ Ьш^шишртйОЬр» йшиОищЬттиилЗр фЬчМш-йшрЬ^шт^ш^шО с^илгадтООЬрЬ рЬЦОшбпф q^^lлшl^шQ шиифбшО|п ИицдйшО штЬйш[ипипф]шй

иьишчьп

ьрьаиъ 2000р.

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ САРДАРЯН ВАГАН ТИРАНОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ И В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности $01.02 — "Дифференциальные уравнения"

ЕРЕВАН - 2000

UmbüuitununipjujG pbúuiü huiuinujinijbt t bpbL[uJÜfi щЬшш^шС huiúujiuujpujüniú:

QhmiubmG nbbuiiliun' 'ЛшгтпвшЬшй nOnriMiuhinunbn'

ипшроипшп UiucúujUt¡niijni.pinLO'

$fiq.-i5uip. qhuiriLpjnLOühpfi рЫ^йшйги, qngbDui Q. U. МшршщЬт^й

¡Jjfiq—йшр. qfimrupjnLÜübpfi rinlfinnp Ъ. büq|ipujpjujG

3)fiq.-úiup. qh^n'PJnLOljbpfi pbl|Guióru, ryigbüui Q. 3ujl|npjujQ

ач ад а. илЫцп^ шй4ша

13шрЬйшт^1|ш1|шй fiGumtimruin

'Пш21лщш0п1р]п10о L|1|ujjujüui 2000 р. qbljmbúpbpfi 19-fiO ctuiúp 15-fiG, tpbiliuGfi щЬ1Лш1)шО У1шйш|ишршй(1й Ijfig 050 úiuu&ujqtiinujljuiO hjnphprjfi DfiuuifiG, hbinUjiuL ЬшидЬпф 375049, bpUuG, UuiüruljjujG ф. 1:

UinbGujIunurupjujGp l|Uipbih t ÓLuGnpiuGuiL bpbiJiuGti iqbmuiljiuG hLuúui|uuj-poiDfi qpiur)ujpuJünLÚ:

UbriúuiqfipG шпшр^шй t 15.11.2000 р.

UuiuGuiqfiLnuiljuiG [unphprih q|un. ршртпщшр, ФЬч-^шр. qtiinnLpjniGQbph pbljGuiAni, qngbGLn

S. Ъ. ^uipnLpjruüjujü

Тема диссертации утверждена и Ереванском государственном университете

Научный руководитель — кандидат физико-математических шук,

доцент Г. А. Карапетян

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

Н. Енгибарнн

кандидат физико-математических наук, доцент Г. Акопян

Ведущая организация — Московский институт математики

им. В. Стсклова

Защита диссертации состоится 19 декабря 2000 г. в 15 часов на заседании специализированного Совета 050 при Ереванском государственном университете по адресу: 375049, Ереван, ул. А Манукяна, 1.

С диссертацией можно ознакомиться н библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан 15.11.2000 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Т. Н. Арутюнян

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Многие вопросы математической физики приводят к задаче определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям. Например, к подобным вопросам приходят всегда, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частых производных, удовлетворяющего начальным и краевым условиям. Особенно интенсивно спектральный анализ дифференциальных операторов используется в квантовой механике, где он является основным математическим аппаратом для решения многих задач.

Класс эллиптических операторов относится к тем классам дифференциальных операторов, спектральная теория которых изучена наиболее полно. Весомый вклад в ее изучение внесли такие авторы, как В. А. Ильин, Ш. Агмон, М. А. Шубин, Л. Хермандер, Б. М Левитан, Р. А. А\ександрян, Б. М. Вайнберг, Ю. М. Березанский, В. А. Кондратьев и многие другие.

Одним из наиболее важных вопросов при изучении спектральной теории эллиптических операторов является вопрос полноты системы собственных и присоединенных функций, а также асимптотика собственных значений, имеющие многочисленные применения на практике. Особенно полные результаты в этой области принадлежат Ш. Агмону, которым была получена асимптотическая формула для собственных значений самосопряженных эллиптических операторов произвольного порядка в ограниченной области. Некоторыми другими авторами рассматривались аналогичные вопросы для случая неограниченной области, а также для операторов некоторых специальных типов.

В последние десятилетия все большее внимание многих математиков приковывает класс гипоэллиптических операторов. Этот класс, вве-

денный Л. Хермандером, содержит в себе эллиптические и параболические операторы, и выходит далеко за его пределы. Хермандером же были изучены вопросы существования и гладкости решений краевых задач для гипоэллиптических уравнений, при определенных ограничениях на коэффициенты операторов, а также на алгебраические свойства их символов. Эти результаты, а также результаты исследований некоторых других авторов, изложены в известной монографии Л. Хермандера. Также для гипоэллиптических операторов были получены многие результаты, аналогичные известным результатам для эллиптических задач.

Данная работа посвящена изучению некоторых вопросов спектральной теории одного подкласса гипоэллиптических операторов — полуэллиптических операторов, содержащего в себе класс эллиптических операторов. Цель работы

• Исследование асимптотики собственных значений полуэллиптических операторов в ограниченной области.

• Изучение условий полноты системы собственных и присоединенных функций полуэллиптических операторов в ограниченной области.

• Изучение вопроса полноты системы собственных и присоединенных функций полуэллиптических операторов в полупространстве.

Научная новизна В работе получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

• Получена асимптотическая оценка для количества собственных значений самосопряженного полуэллиптического оператора, по модулю не превосходящих некоторого положительного числа А, в ограниченной области.

• Данная оценка распространена на случай одного класса несамосопряженных полуэллиптических операторов.

• Доказана полнота системы собственных и присоединенных функций полуэллиптических операторов в ограниченной области.

• Рассмотрена полуэллиптическая задача в полупространстве. Доказаны условия полноты системы собственных и присоединенных функций

Общая методика Результаты работы получены путем изучения свойств соответствующих дифференциальных операторов, с привлечением некоторых методов общей теории операторов в гильбертовых пространствах, а также при использовании некоторых фактов из работ, посвященных исследованию полуэллиптических и регулярных операторов. Апробация работы Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа факультета Математики, а также на семинарах кафедры математических моделей и методов факультета Информатики и вычислительной математики Ереванского Государтвенного Университета.

Публикации Основные результаты диссертационной работы изложены в работах [1 - 3].

Объем и структура работы Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, и изложена на 84 страницах.

Определение Пусть изучается линейный дифференциальный оператор Р(х,О) - ^аа(х)Оа, действующий из Р(Р)с12(п) в ¿2(п), где

дайной задачи в Л, (/?").

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

натуральные числа, а - мультииндекс, а

аа(х)- действительные функции, определенные на некотором множестве П.

Оператор Р(х, D) называется полуэллиптическим, если существует постоянная С > 0 такая, что для любого £ e R", и для любого л е П Paix,Z) ^ С^,2'"1 +... + ¿j*"'"У , где Ри(х,D) = £аа(х)£>" - главная часть оператора

(а./'Ы

Р{х, D).

Через W^ (ß) будем обозначать анизотропное пространство Соболева, т.е. множество всех функций, для которых существуют D°feLp(n) для любого мультииндекса а\ (а,ц)<к. При р = 2 (С(""(о)е //,.,((2) является гильбертовым пространством. Любой функции иеЯ,До) поставим в соответствие следующую норму и полунорму:

^ I

\а {".РЫ ) Vtite^H )

Целью первой главы диссертации является получение оценки роста собственных значений самосопряженного полуэллиптического оператора, действующего из пространства Hhl(ü) в L,(О), где Q - ограниченная область с гладкой границей.

В параграфе 1.1 первой главы доказываются несколько вспомогательных теорем, относящихся к операторам, действующим из Л2(п) в Я,я(п). При этом везде предполагается выполненным условие известной теоремы вложения Соболева в анизотропных пространствах (см., например, [22]), в рассматриваемом случае —-< 1, при этом линейный оператор, действующий из L2(Cl) в Htll(Q), оказывается компактным. Рассмотрим результаты параграфа 1.1 более подробно. При этом некоторые определения не даются в обзоре в целях краткости изложения, но могут быть найдены в соответствующей главе.

Теорема 1.1.1 показывает, что при выполнении условий теоремы вложения рассматриваемый оператор обладает конечной двойной (гильбертовой) нормой, и дает ее оценку через нормы оператора в пространствах HjQ) и ¿2(П).

Теорема 1.1.1 Пусть Т — ограниченное линейное преобразование на ¿2(Q), такое, что Д(Г)с Hlfl(ii), где < 1. Тогда Т имеет конечную двойную норму, удовлетворяющую неравенствам

Id , и

, и , и |||Г||!<г.,-|п|'/ № ||г||о« ,

где |П| — лебегова мера области П, а у —постоянная.

В теореме 1.1.2 доказывается оценка для характеристических значений оператора, действующего из Hifl(n) в L2(ii);

Теорема 1.1.2 Пусть Т — ограниченное линейное преобразование на L2(П), такое, что R{T) с Я1;ДП), где ~ < 1. Пусть существует хотя бы одно

направление минимального роста видоизмененной резольвенты оператора Т. Обозначим через характеристические значения оператора Т, повторяющиеся число раз, равное их кратности. Пусть N(t) - число характеристических значений оператора Т, по модулю меньших или

И

равных /: N(t) = I. Тогда N(t) = 0(tk ) при / -> оо, и для всех Ле р,„ (Т)

И7Т,) = У-!--.

?(Л,-Л)Л,

Точнее, если ||7"д||(| < с|Д|~' для Л, лежащего на луче Е(в,а) = {ге'е;г ><?}, то при t >а> О

И И jV(/) < 4Гл210|||7-||/ (l + c)V .

Следствие 1.1.1 Если при выполнении условий теоремы 1.1.2 характеристические значения {Л,}оператора Т расположить в порядке возрастания модулей, |Д,|<|Д2|<..., то для характеристического значения с порядковым номером у выполняется неравенство:

[4^41+0^ и;1-А

Следующие две теоремы (1.1.3 и 1.1.4) уточняют данный результат для оператора, порожденного билинейной формой над замкнутым подпространством V пространства Н1и{П) при выполнении условий теоремы Лакса-Мильграма (см., например, [36]).

Теорема 1.1.3 Пусть #[у,м] —билинейная форма над замкнутым под-

\и\

пространством V пространства (П), ~ < 1 ■ и существуют положительные константы К и с„ такие, что для всех V

ИМ* 44*14*. М».фсо1<п-

По теореме Лакса-Мильграма существует единственное линейное преобразование Т, действующее из 12(С1) в V и удовлетворяющее соотношению

Ф.7/"] =(*,/)«,. УбГ

Тогда полуплоскость {Л;ЯА< 0} содержится в р,„(П. и отрицательная вещественная ось является направлением минимального роста видоизмененной резольвенты оператора Т. Если характеристические значения Г расположить в порядке возрастания модулей, то

1Ф—^А

Теорема 1.1.4 усиливает последнюю оценку в случае, когда билинейная форма в теореме 1.1.3 эрмито-симметричная, и, следовательно, оператор, порожденный этой формой, самосопряженный. Тогда имеет место следующая оценка:

Я. >-

В последних двух теоремах первого параграфа, т. 1.1.5 и 1.1.6, рассматриваются ядра Гильберта-Шмидта оператора Т: ¿2(П) -»и его видоизмененной резольвенты соответственно. Доказывается гладкость ядер Гильберта-Шмидта, а также оценки для их следов на диагонали х = у области О. Эти теоремы играют важную роль при доказательстве оценок для собственных значений полуэллиптических операторов (§§ 1.2 и 2.1).

Теорема 1.1.5 Пусть Г — ограниченное линейное преобразование на

ГИ1 2

¿2(П), такое, что /?(7')с //,„(0), где к >2

+ 1. Допустим также, что

ЦГ*)аН,и(П). Пусть !--

-1. Тогда Т — интегральный оператор с

ядром Гильберта-Шмидта К(х,у). Функция К принадлежит Н/-(ПхС1), ц = . Кроме того, след К(х,у) на диагонали ПхП существует и

1/2

сЬ

- У'

И и ^ , и

1Г1/ +М/ \А ' +1П,

где у = у(С1,ц).

Теорема 1.1.6 Пусть условия теоремы 1.5 выполняются и, кроме того, существует направление е'" минимального роста видоизмененной резольвенты оператора Т. Пусть \Л1} — последовательность характеристических значений Г, повторяющихся число раз, равное их кратности. Тогда для произвольного Л, которое не является характеристическим значением Т, видоизмененная резольвента —интегральный оператор, имеющий ядро Гильберта-Шмидта Кл (х, у) с- (О х О). Также К^х,у) имеет след на диагонали х = у и

; <9([Д|~'+ < ) при |Л| —> оо, ат%Х = 0.

Если Я не является характеристическим значением Т, то

/А'я(лг,л)Л = Х—1-- . п 1 л, ~ л

В параграфе 1.2 доказывается основной результат первой главы — оценка собственных значений самосопряженного полуэллиптического оператора в ограниченной области, он дается теоремой 1.2.2. При этом сначала в теореме 1.2.1 доказывается вспомогательная теорема, похожая на теорему 1.1.6, но предполагающая выполнение некоторых дополнительных условий, и дающая в этом случае уточненный результат. Сформулируем основной результат первой главы:

Теорема 1.2.2 Пусть А(х, £>) — полуэллиптический оператор в П вида А(х,0) = ^аа(х)й°, у которого старшие коэффициенты непрерывны, а

коэффициенты низших порядков являются ограниченными измеримыми функциями. Пусть А симметричен на С," (п) в том смысле, что для всех

е С,7 (а) (А ч>, у/\я = {<р, А у/)„л. Пусть существует такой неограниченный самосопряженный оператор О на ¿2(п), что С,7(п)с£>(С)с//1;,(а) и Си = Ли для ыеО(С).

Если к < 2

+1, то предположим, что существует такое нечетное число

Ъ , что Ь > ф')с //ыДо).

м + 1

2

, коэффициенты А принадлежат (с''4'" (п)) и

Тогда спектр оператора в дискретен, и собственные значения С имеют конечную кратность. Пусть {л,}— последовательность собственных значений С, взятых по их кратности. Для Л> 0 обозначим через N+(/1)

- и -

количество всех неотрицательных < А, а через //.(л)— количество

всех Л1 < 0 таких, что Л1 >-Л.

Тогда

И ( НА

М±(Л) = сгЛк +о Лк при Л->а>, где с± = (2/г)" |й>± (*)<&,

V J ч

ш±(*) = |к-' 0 < ±Л (х,Ц)< 1|.

В главе 2 данной работы рассмотрен один класс несамосопряженных полуэллиптических операторов в ограниченной области. В параграфе 2.1 получена оценка для собственных значений таких операторов, аналогичная оценке для самосопряженных операторов, полученной в главе 1, а параграф 2.2 посвящен доказательству полноты системы собственных и присоединенных функций в ¿2(п).

Итак, рассматриваются операторы вида й = + В, где С„ - самосопряженный оператор, а В - оператор более низкого порядка. Важное значение в данной главе имеет теорема 2.1.2, которая устанавливает одно ключевое в дальнейшем свойство подобных операторов: Теорема 2.1.2 Пусть й — несамосопряженный полуэллиптический оператор вида О = + В, где С?() - самосопряженный полуэллиптический

оператор, а В- оператор более низкого порядка, и £>(о)= I

Тогда всякое невещественное направление является направлением минимального роста резольвенты оператора й.

Этим свойством обладают самосопряженные операторы, спектр которых расположен на вещественной оси. То, что операторы рассматриваемого класса также обладают этим свойством, позволяет применить для доказательства оценки собственных значений метод, схожий с методом гла-

удовлетворяет неравенству

вы 1 для самосопряженных операторов, а также применять многие положения главы 1. Результат параграфа 2.1 формулируется теоремой 2.1.3: Теорема 2.1.3 Пусть С(х,й) = {х)Оа — полуэллиптический оператор,

определенный в 0(в)= //,До)1 //<„(п), аа{х)е С"(О), и его главная часть является самосопряженным оператором. Пусть С„О,/£)>0 для любого х е П и любого ненулевого е Л .

Если к <2

+1, то предположим, что существует положительное целое

число Ь такое, что Ьк> 2

1-й о(о6)= Ни„(п) 1 Ны„-(п).

При выполнении этих условий спектр оператора С дискретен, а его собственные значения имеют конечную кратность. Для любого положительного в только конечное число собственных значений лежит вне угла Если {л,} — последовательность собственных значений оператора О , повторенных по числу их кратности, а через N(X), Л > О обозначить количество тех Х1, для которых Яе Х1 < Я, то

ы

Л,(Я) = с„Я' +о

кП

Лк

\

, где са=(2пГ\\{^-.йа(х,^)<\\^.

В параграфе 2.2 при выполнении условий теоремы 2.1.3 показывается полнота системы собственных и присоединенных функций рассматриваемых операторов в 1.2(о). Данный результат формулируется и доказывается в теореме 2.2.4:

Теорема 2.2.4. Пусть выполняются условия теоремы 2.1.3. Тогда

В главе 3 рассматривается полуэллиптическая задача в Л" с нулевыми граничными условиями. При выполнении определенных условий на коэффициенты оператора доказывается полнота системы собственных и присоединенных функций данной задачи в ¿2 (/?"). Итак, пусть в

Л" рассматривается следующая задача с нулевыми граничными условиями:

Р(х, D)u = 2X(jr)D° и = /(*), xeR:

(о,//)< I

Здесь коэффициенты будем предполагать бесконечно дифференцируемыми, а оператор Р - полуэллиптический в следующем смысле: ¿(х)^,2'"' + £22"'; +... + £,2"")<|Я0(х,£)|, Л(л-)>0, дге ä;, £е/Г, где через Р„ обозначена главная часть оператора Р(х, £>).

Будем также предполагать, что для оператора Р выполнены следующие условия:

1. a<sx%P0{x,$)< ß, xeR", £ a R", Q<ß-a<2rt.

2. ß - л + е <argi70(jr)<a + л - е, |x|>jV, с>0.

Обозначим через Л множество всех А, для которых а + я - е < arg Л < ß + л + с, если ß -а<л - е\ ß < arg Л < а + 2л, если ß-а > л - е .

3. Величины sup 1 °v ' °v м при (a,fi)=\; sup 1 w. ,v M;

|,-v„|s;, 8{xa) |,-,„|S» ¿(-M

|д0(х)- а„(хЛ I

sup J—■—-.—г—- стремятся к 0 при ЛО равномерно по х„, \х0 > N .

\а (х)( . . , .

4. Функции ----——r~i—г->0, когда Ы-»ао, 0<(а,и)<1.

5. |а„(фсЛ(*), (а,М)= I, xbR';.

Пусть 5(.г), у(х) — положительные функции в Л". Обозначим через //Iu(ö,/,/?") пространство функций, локально суммируемых в R" вместе со своими производными до порядка (а,/л)=к с нормой

имнН*,/,*;)= S

я»

В параграфе 3.1 доказывается теорема существования и единственности, а также априорная оценка для решений рассматриваемой задачи в нор-

ме пространства где у - \atl. При этом сначала доказывает-

ся аналогичный результат в случае л = ,т0, а затем он распространяется на случай с переменными коэффициентами, удовлетворяющими вышеперечисленным условиям. Сформулируем теоремы 3.1.5 и 3.1.6, которыми даются основные результаты параграфа 3.1:

Теорема 3.1.5 Пусть рассматривается следующая задача с нулевыми граничными условиями: Р(х, D)u = (х)ГУи = /(*), л с- К ,

(«.«>51

где оператор Р — полуэллиптический. Пусть также выполнены условия

s(x) «Ii

1-5, и \ ' -» 0, дг ->оо.

KWI

Тогда для всех и е //;,(<5,|я„|,R") выполняется следующее неравенство:

in «in, (<у,К|,л;)<сИлг,о)«|(,а. +|Н!„ ун/

Wji г.^

где С не зависит от и(х).

Теорема 3.1.6 При выполнении условий теоремы 3.1.5 что для любого / е L2(Rl) существует единственное решение и е //ll{s,y,R'l) рассматриваемой задачи, причем имеет место неравенство

|||»|||.(^КИ:)*сИп.я:+Ио. Y", ■

В параграфе 3.2 доказывается существование резольвенты оператора Р, а также дается ее оценка вдоль луча комплексной плоскости. Теоремы 3.2.1 и 3.2.2 данного параграфа аналогичны приведенным теоремам 3.1.5 и 3.1.6, и переформулируют их результат в несколько иной форме, они приведены без доказательства. Приведем следующие две теоремы и вытекающее из них следствие, показывающее существование резольвенты рассматриваемого оператора, а также справедливость искомой оценки. Теорема 3.2.3 Пусть выполнены условия теоремы 3.2.1. Тогда для всех ие Dp, и любого Л е Л , \Л\>М, М = A/(argA) выполняется оценка

ии^и^'-^и,,..

где С = С(агёЛ).

Теорема 3.2.4 Пусть выполнены условия теоремы 3.2,1. Тогда оператор

отображает йР на все пространство ¿2(л"). Следствие 3.2.1 Оператор Р - Ла/ имеет ограниченный обратный (Р-Д,,/)"', определенный на Л2(й"). На любом луче е"', принадлежащем Л при |Я| -> со справедлива следующая оценка:

¡(Л-Я/)"'II = О[А].

I!»

И, наконец, в параграфе 3.3 доказывается принадлежность резольвенты оператора Р классу Н :

Определение Пусть Г — ограниченный, вполне непрерывный оператор. Тогда оператор (т'т)* также вполне непрерывен. Обозначим через з (г)

ненулевые собственные значения оператора (т'т)1-, занумерованные в порядке убывания с учетом их кратности. Оператор Г называется принадлежащим классу 0 < р <х, если

2>;(г)<®.

]

Это позволяет применить абстрактную ' теорему о полноте системы собственных и присоединенных функций линейного оператора в гильбертовом пространстве, описанную в книге Данфорда и Шварца [3]. При этом сначала доказывается аналогичный результат для вспомогательного оператора, имеющего более простой вид, а затем он распространяется на случай рассматриваемого оператора. Рассмотрим в Л" уравнение

ох, '

Определим в Л2(я") оператор V следующим образом: £>г = СЦ (л") и ¿'(х,о)и = 1(х,й)и, когда и е

Оператор V допускает замыкание Ь'(х,П) = Ь{х,0).

Теорема 3.3.1 Пусть а0(х) удовлетворяет условиям 2 и 3, и а„(х)ю, |дг| -> да. Тогда оператор Ь имеет вполне непрерывный обратный ¿"', определенный на /,2(л").

Теорема 3.3.2 Пусть а0{х) удовлетворяет условиям 2 и 3, а также > с при > N для некоторых у, с> 0. Тогда оператор I'1 принадле-

И'

жит классу для любого р, р > Щ + —.

Заметим, что в процессе доказательства данной теоремы получается оценка для количества собственных значений оператора Ь, которые по модулю меньше некоторого положительного числа А. Так, если это количество обозначить через N(A), то для него имеет место оценка

Ы(л) < сА1"1 '. Эта оценка аналогична оценкам, полученным в главах 1 и 2 для полуэллиптических операторов в ограниченной области. И, наконец, сформулируем основной результат главы 3, который дается теоремой 3.3.3:

Теорема 3.3.3 Пусть ¿> (л) > <5„ > 0. Пусть также выполнены условия 1-5,

1 I кЫ ,,

т—Мг -> 0, |д-| —> оо, а также !—^ > с, |л| > Л' для некоторых постоянных

К И

с > 0, V > О. Тогда оператор (Р - Я,,/)"' принадлежит классу Ер для любого

рф | + -.

v

Выражаю глубокую благодарность научному руководителю Г. А. Кара-петяну за постановку задач, а также за неоценимую помощь в работе.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Г. А. Карапетян, В. Т. Сардарян, А. П. Крмзян, "Задача на собственные значения для самосопряженных полуэллиптических операторов", Известия АН РА (англ. изд) , 34, N0.2, 1999, 33-53

2. В. Т. Сардарян "Оценка для собственных значений и полнота собственных функций одного класса несамосопряженных полуэ,глиптических операторов", "Ученые записки ЕГУ", N0. 2, 2000

3. В. Т. Сардарян "Условия полноты системы собственных и присоединенных функций полуэллиптических операторов в /.,(/?;')", Деп. в АРМНИИНТИ , N0. 51, 2000, 15 с.

ЦиФПФГки

UuibGuitunurupjnLÜruú nLuruúGiuufipiluiá bû иЬфш^шО lupdbpûbpfi Цшррр U иЬфш^шй фтй1)д(1шйЬр[] Lpf^rupjujG hiupgbpp IjfiuuitLhujinfili г^1фЬрЬйд|ищ oujbpuJuinpGbpti huiúujp ишИбшйшфш^ ифрпцргий U ljhuiuinu¡piuárupjiuú úbg:

UinuigiJbL Ьй hbmUjuL hfiùGiuljuJÛ шрг^гийрйЬрр.

1. Uwiug4b|. t uiutiúiqinnuifili qGiuhiuuiiuljiiiG nrinplj bqpiuqón4 ишЬйшйшфш!^ uifipnLjpnLiü hößüaihmi3m[riLÖ ^(пишЦЬщифЦ ощЬриллпрЬ иЬфш1^шй luprfbp-ûbph hiuúiup: UjGruhbwL lujr]. qGiuhuiuiiuLiujÜQ шшрш0ЦЬ[ t n¿ Jiüpüujhujúiu-[ruö lifiuiutLbminfil) ou|bpuimnpGbp]i úfi rçuiufi huiúujp:

2. UiquignLgi{b[ t гфтшрЦфчп. n¿ fiü£üujliujúuj[ni.á LdnuixitLlr-M^hU oiqbpuJinnp-übph иЬфш^шй U ligjuiL фгийЦдЬшйЬр|п hiudujljujpqfi LPh^n^jn^D

iuú:

3. ^(ипшрЩЬ^ t ЦЬишЬфЩцф^ fuQr^p l^uujinujpuiárii.|3jr\i.Gnu5: UGb|nt| npnpz bûpiurjprupjruûGbp oiijhpiumnpfi qnpôuiljfigûbpfi uiöfi ilbpiupbpjuJL, ши)ш-дтдЦпиЗ t uiujp|inph qGiuhiumiu^uiD гфтшр^фи^ ïuûrçpfi |nLóni.úQbp|i hui-Ciuip, U uijGnLhbinli' иЬфшЦшО U L)gjoi|. ¡}>ruGl)g|iiuGbpfi Ьшйш^шрсф [р[и1пф-jmGp ¿2(/?;')-riLÚ: