Исследование спутникового варианта задачи трех тел тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени П.К. ШТЕРНБЕРГА

ОД

На правах рукописи

СЕМЕНОВА Светлана Леонидовна

ИССЛЕДОВАНИЕ СПУТНИКОВОГО ВАРИАНТА ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

Специальность 01.03.01 —Астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена в Государственном астрономическом институте им. П.К. Штернберга.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Е.П.АКСЕНОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук ЖУРАВЛЕВ С.Г.

кандидат физико-математических наук МАРКОВ Ю.Г.

Ведущее предприятие — Институт теоретической астрономии РАН, г. Санкт-Петербург.

Защита состоится ......^Р..».. .............. . ..1995 г. в часов на

заседании специализированного совета Московского Государственного университета им. М.В. Ломоносова, шифр Д 053.05.51.

Адрес: 119899, Москва, В-243, Университетский проспект, 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга при МГУ (Москва, Университетский проспект, 13.).

Автореферат разослан «...1^....».

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук

..1995 года. Л.Н.БОНДАРЕНКО

ОВЩАЯ ХАРАКЧЕРЙСТМКА РАБОТЫ

Актуальность.Одной из основных моделей небесной механики, в рамках которой исследуется движение небесных тел в системах различного масштаба, является задача трех тел. Особое внимание в теоретических исследованиях уделяется движениям, близким к равновесным конфигурациям, поскольку они могут быть описаны в аналитической форме, что позволяет качественно представить эволюцию орбит в системе без привлечения численных методов и, следовательно, значительно сэкономить время вычислений на ЭВМ.

Движение недавно открытых коорбитальных спутников Сатурна (Дионы-Елены, Тефии - Гелесто - Каллиясо и Януса-Зпиметея) исследовалось до настоящего времени лишь в рамках ограниченной задачи трех тел. В результате были выявлены основные типы орбит в таких системах - орбиты тина "подкова" и "головастик". Динамическая эволюция, численно прослеженная на небольших интервалах времени, показала настоятельную необходимость аналитического подхода для долговременного представления движения. В системе Сатурна действует множество возмущающих факторов, которые влияют на движение коорбитальных тел и возмущения от которых в предыдущих исследованиях оценивались только частично. Представление движения коорбитальных пар в аналитической форме позволяет приложить развитую методику к движению любых систем трех тел, центральным телом в которых является сфероид, получить качественную картину эволюции орбит, оценить точность решения и величину возмущений от неучтенных моделью возмущающих факторов и откорректировать динамическую эволюцию. Диссертационная работа выполнена в русле современных международных научных программ наблюдений спутниковых систем, интерес к которым в настоящее время необычайно высок, включая как наземные наблюдения, так и наблюдения с борта КА.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационной работы -аналитическое описание движения коорОитальшх тел в экваториальной плоскости сфероида с использованием полярной системы координат. Исследование предполагалось проводить на основе:

- качественного изучения системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8 порядка, определяющей движение тел вблизи равновесной конфигурации;

- определения корней характеристического уравнения и периодов коротко- и долгопериодической либрации;

- получения общего решения, представляющего собой совокупность вековой и периодической частей.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

- сформулировать в общем виде задачу определения движения коорбитальных спутников сфероидальной планеты;

- исследовать дифференциальные уравнения движения и корни характеристического уравнения, определяющие периоды либрации;

- разработать методы нахождения решения линеаризованной системы, составить алгоритмы и комплекс программ для ЭВМ;

- проанализировать величину возмущений, обусловленных основными возмущающими факторами, и сравнить их с неучтенными в модели членами, начиная со второго порядка малости относительно масс спутников, на предмет ответа на вопрос о возможности корректной постановки задачи в линеаризованном виде;

- оценить точность полученного решения посредством сравнения результатов с наблюдательными данными и решением, полученным высокоточным методом численного интегрирования Эверхарта.

Методы исследований. При решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами использовались два метода построения решения, первый из которых

включал в себя преобразование координат и приведение исходной системы к алгебраической, а второй может быть охарактеризован как метод возмущений порождающего решения, соответствующего треугольной лагранжевой конфигурации, при применении которого решение в явном виде содержит две части: основную часть, не зависящую от сжатия тела, и часть, пропорциональную коэффициенту при второй зональной гармонике потенциала планеты.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

Проведено теоретическое исследование дифференциальных уравнений, описывающих движение коорбитальных тел.

Преодолена основная трудность аналитического представления движения коорбитальных спутников - резонанс 1:1.

Доказана возможность получения корней характеристического уравнения в виде чисто мнимых величин, что определяет существование периодического решения по А.М.Ляпунову.

Получено общее решение, представляющее в аналитической форме движение коорбитальных компаньонов.

Исследована устойчивость движения коорбитальных спутников.

С точки зрения динамики сделаны некоторые выводы о возможности долговременного существования нескольких тел на близких орбитах.

В соответствии с разработанными алгоритмами составлен комплекс программ для ЭВМ.

Практическая ценность. Разработанные методы и полученные результаты позволяют строить модели движения коорбитальных спутников на основе наблюдений, а также наметить рациональные пути проведения исследований на ЭВМ по выбору соответствующих аналитических разложений в зависимости от соотношения масс тел и, тем самым, существенно сократить об'ем вычислений.

Созданный автором комплекс программ получения аналитических разложений движения коорбитальных пар в полярных координатах, исследования устойчивости орбитального движения на больших интервалах времени, устойчивости полученного решения по начальным данным и его сравнения с результатами численных . расчетов, может быть использован для практических расчетов в спутниковой модели задачи трех тел, т. е. для исследования движения точечных тел в поле сфероида при любых масштабах.

Апробация работы. Отдельные положения диссертация докладывались и обсуждались на Совете по небесной механике ГАШН. Основное содержание работы отражено в трех статьях и в тезисах Всесоюзной конференции 22-26 авг. 1989 г. в г.Душанбе.

Структура и об'ем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (84 наименования) и 8 приложений. Текстовую часть (125 страниц) дополняют 37 таблиц и 12 страниц приложений.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ПРЕДСТАВЛЯЕМЫЕ К ЗАЩИТЕ.

1. Вывод о возможности представления движения коорбитальных тел в аналитической форме, когда коэффициенты при тригонометрических функциях могут быть описаны аналитическими разложениями с точностью до первых степеней относительно произведения масс спутников на коэффициент при второй зональной гармонике потенциала планеты.

2. Два метода получения общего решения, определяющего движение тел и сравнение точности решений, полученных каждым из них, а также сравнение точности аналитического и численного решений с учетом наблюдений на примере коорбитальных спутников Сатурна.

3. Методика оценки влияния на движение коорбитальных тел возмущающих факторов, действующих в системе Сатурна.

4. Практическая реализация в комплексе программ разработанных

мегодик и алгоритмов, а также результаты численных расчетов по построенным автором моделям.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении выделены, как об'ект исследования, плоский вариант спутниковой задачи трех тел и основные типы орбит коорбитальных спутников, полученные без учета сжатия центрального тела, обоснована цель диссертации, показана ее актуальность и научно-практическая значимость, намечены основные направления и методы исследований.

В первой главе описана постановка задачи движения коорбитальных тел в экваториальной плоскости планеты с использованием полярных координат (р, М. Представлены уравнения движения вблизи равновесной равнобедренной конфигурации для возмущений долгот (г?1 и ф) и радиусов - векторов спутников и V), а также соответствующий вид первых интегралов: интегралов энергии и момента количества движения. Для переменных:

р1/а-1, ¥'=(р2-Р1)/а, v^г-ъ(t-t0),

где а, п и <5- соответственно, радиус средней орбиты спутников, их среднее движение и угол при вершине равнобедренной конфигурации, связанный с коэффициентом при второй зональной гармонике, а 1;0 - начальный момент времени, получена следующая система дифференциальных уравнений:

ф +2п.ч< =йе+Е?нКу1 +$, -2пг?1 =Ъу1 . (I)

Коэффициенты при переменных ф, у и -ч>л в правых частях

представляют собой произведения тригонометрических функций углов

& и <5/2, в них также входят члены, пропорциональные массам тел

2 з

тр 1=0, I, 2 через величины К^Ггт^/а-, где 1 - гравитационная постоянная, и произведению к? на коэффициент при второй зональной гармонике ¿2г^/аг, где г0 - экваториальный радиус

планеты. Буквами , $ и^ обозначены все члены, начиная со второго порядка малости относительно масс спутников.

Определяющее уравнение системы (1) содержит только четные степени

х.8+йлб +сИ+Рх2=0, (2)

где Р, 0 и И - сложные выражения, зависящие от тех же параметров, что и коэффициенты в (I). Отсюда видно, что необходимо решать кубическое уравнение относительно двойной нулевой корень уравнения (2) соответствует чисто вековому члену

имеем:

в Переменной . Решая кубическое уравнение,

х2=-(й2+к|) (27/4+315/8^г2/а2) х|>3=-к2(1-1,5^/а2) (3)

Для получения периодических решений необходимо, чтобы корни были чисто мнимыми (л=Ир).

Каздому найденному р1 отвечает одно семейство периодических решений. При этом, вообще говоря, кратному корню р2 должно отвечать решение смешанного типа, имеющее вековой сдвиг:

x=l■coзpt+й•sinpt+ct•cospt+et•sinpt, ф, гг.,}

Выполненный анализ показал, что система уравнений для коэффициентов имеет только тривиальное решение. При точном исследовании порождающей системы, без ограничений по массам, последняя не имеет кратности в соответствующем корне, и решение получается чисто периодическим. Значит, это додано относиться и к рассматриваемой системе. Общее решение, таким образом, представляет собой линейную комбинацию независимых частных решений, периоды которых определяются как Период Т2

соответствует периоду обращения малого тела вокруг центрального сфероида и называется периодом короткопериодической либрации, а Т1, называемый периодом долгопериодической либрации (или просто периодом либрации), имеет гораздо большие значения, поскольку

для реальных систем га1, ш2 <<.гп0 , Отмечается хорошее согласие теоретических и наблюдаемых значений Т1, за исключением пары Янус-Эпиметей, для которой предлагаются другие одержи масс, что подтверждается последними исследованиями других авторов.

Вторая глава диссертации посвящена построению общего решения с использованием двух аналитических методов. При дальнейшем исследовании система (I) преобразуется к виду: с12¥'/с1т2+2п/р1 -йФ/йтчА/р? • V +В/р| >ф +С/р|, й^ф/йг 2+2п/р^ • (1ф/ йт=В/р^ ■ ф+Е/р? >ф+К/р| •ф1 , (5)

С(2¥'1 /йт£1'-2п/р1 • йтц /сЬг=1/р|.ф1 +М/р| -ф+ф/р? -ф, Йгг)1/(1т2+2п/р1 .(1ф1 / йт=Р/р| .ф^ +М/р| <ф+Н/р| >ф, 1=И ,2

где новая переменная т связана с реальным временем соотношением:

Особенностью этой системы является малость коэффициентов С,К,? ко сравнению с остальными, поскольку в них входят только величины к?<Г2г^/а2, 1=1, 2. Первый метод построения общего решения заключается в следующем:

- предлагается преобразование координат от (у,ф) к (х,у):

х=(Кф-Сф)/р2, у=(Кф+С.ф)/р2;

- для новых переметших записывается соответствующая система дифференциальных уравнений, причем постоянные коэффициенты в правых частях приводятся в явном виде отдельно для случаев:!) Щ; «К^ «1ф 2) ; 3) к2=к|=к2<<

- выполняется качественное исследование полученной системы, а также ее сравнение с системой, определяющей движение вблизи треугольной лагранжевой конфигурации;

- делается вывод о том, что для рассматриваемой системы преобразования поворота, позволяющего представить решение в очень простой форме, не существует;

- далее предлагается искать решение в виде:

А..С03Т .+В-8Шт . , Б,С03Т .+С.8Щт - , (6)

-10-

х=01со8т+С?81п,1> у=С3созт+С4з1ш;;

- для получается система алгебраических, уравнений, после решения которой все коэффициенты выражаются через С.1. Общее

решение для у ш ф ~ линейная комбинация периодических решений:

2 _ 2 =£ А; 1=1"

где коэффициенты к^, В^ С1, выражаются через новые

С

произвольные постоянные С^ с1( 11, 1=1посредством формул:

С12. 1=2,4

Х.рЗ.,^, 52=Б2С2, В^З^, Б2=З4С2,

Г^-б^С^, И^-З^р^, С^Б^Од,

здесь сложные алгебраические выражения, зависящие от р и

представляющие собой комбинацию произведений правых частей

системы дифференциальных уравнений для переменных (х,у).

- решение для переменных у1 и п также предлагается искать как:

у>л =1^ созт+З^аЗлт , гг1 =Ь3со8т+Ь4з1пт;

- для облегчения дальнейших вычислений полагается:

1 /р2 • (ГШ +<Ц)=к, 1 /р2 • 0Й+И5)=*, 1 /р2 • (МС+ФБ )=е, 1 /р2 • (Ш+ЕС )=р .

При этом для коэффициентов Ь1 получается система алгебраических

уравнений, в правых частях которых будут стоять члены ж,г, п, Р;

~ находится решение для Ь1:

Ь1 = [р2«-2пр.р-4п21,я/{4п2-рг-Ь}+2прР.ь-/{р2+Ь)(1-4п2/(4п2-р2-Ь))]/

(4п2-р2-Ь);

Для осталышх Ъ± приводятся их явные выражения через р и ]Ц;

- общее решение для у1 и также есть линейная комбинация периодических решений, ав^, кроме того, входит вековой член.

^ =С5 СЦ 1 С03т1+Ь21 з1Пт1 )+Сб (Ь., 2СОЭт2+Ьг|111т2),

Т71=С7(Ь31С08Т1+Ь4^1ПГ1 НС^Ь^СОЗ^+Ь^ЗЗ-ПТ^+С^. (7) Далее исследуется орбитальная устойчивость движения коорбитальных тел. Известно, что поверхностями устойчивости типа Хилла в задаче трех тел называются поверхности, на которых:

где с-модуль углового момента, а Н-энергия системы. Критическое значение этой величины соответствует коллинеарной точке либрации Ц. Движение будет устойчиво, если действующее значение сгН меньше критического. В линейном приближении предлагаются выражения для с и Н, а также соответствующие выражения, отвечающие коллинеарной конфигурации.

Решение системы (5) предлагается также решать и другим методом - методом возмущений порождающего решения, отвечающего случаю ^=0. Тогда решение может быть представлено как: У=у0+<5У, Ф=<Р0+6Ф, о+б¥'1' г'1=тг10+6,71'

здесь и в дальнейшем индексом "О" обозначаются выражения,

имеющие отношение к порождающему решению. Появляется возможность

отдельно составить уравнения для порождающего решения и для

возмущений. Общее решение первых двух уравнений: ¥'0=й1 (созт0-^ зШт0), ?=-2п0р10Л)0,

С08Т0, п=-(р10+а0)/в0. о)

где т0=р±0сг-г0>.

Аналогично ищем решение оставшейся пары уравнений:

У10=05созт0+С681ПТ0, С03го+Я9з1пто

и, решая уже неоднородную алгебраическую систему, имеем:

(аСОБт0+/гБ1Пг0) , "ЧСГ0! (6С08г0+е,ч1Пт0)

«=м0/ <п|-р|0). <5=(Зп§+р|0 (гпоР^) -М0/В0,

^2п0(ф0+М0а0)/(р10(п2 -р|0)). «2п0(Ф0ув0-»)/р.0 ,

Перейдем теперь к уравнениям для поправок, ограничиваясь членами к? Л^/а2, 1=1,2. Эта точность соответствует удержанию членов порядка к^2г®/а8 относительно к^. При дальнейших выкладках все коэффициенты в правых частях уравнений и зависящие от них выражения представляются как суша членов с индексами "О" и "I", последний из которых соответствует малым поправкам к основным членам. Уравнения для возмущений и &ф таковы:

где через обозначены выражения, зависящие от коэффициентов правых частей уравнений <5) и величин р. Поиск возмущений также осуществляется в виде:

Ьц> =Р1СОВт0+Г2з1Пт0, 64>=Р3СОЗТ0+]?431ПТ0.

связаны алгебраической системой, в которой неоднородные члены представлены как:

Переходим к двум последним уравнениям:

(12)

<5^ -г1 бг>1 =22Г'0+212*10+21 3^1 +214^0+2160О+211 Принимая, что:

имеем неоднородную систему, где аналогично обозначено: (22£+212с'+г114+2;1б,}Н2171'з +215:р1=к561'

Х6=С1 <214?+212'5~й26)+215:Р2+017:Р4='£бС1' Х^О., (-22Г5+218а+219Т)+220)-215Р3+217Р1=»7а1 ,

Хд^ (22а+218/?+220? )-215Р4+217Р2-«8а1 .

Таким образом, получаем:

, 1=178, (13)

где е^- алгебраические выражения, зависящие от и К^.

Окончательно, общее решение системы (5) представляется как: 2

V = ^С111(С08т10(1+£1:1)+31Пг10(?1+е21)),

= Уи((о11+е5х)СОЗт10 +(^1+'б1)81Пт10),

Теперь на повестку дня выступает задача сравнения решений, полученных этими способами, с точки зрения точности

аппроксимации истинного движения. Найдено решение линеаризованной системы. В явном виде получены разложения для всех отброшенных членов в правой части уравнений. И теперь можно получить их численную оценку, сравнить с. неучтенными в модели возмущающими факторами, действующими на спутники, и сделать вывод о том, будут ли они сильно искажать полученное решение в пределах точности наблюдений.

В начале третьей главы выделены основные возмущения, влияющие на движение коорбитальных пар в системе Сатурна и получены их численные оценки. Отдельно рассмотрены возмущения, обусловленные следующими факторами: I) плоской системой колец Сатурна, в том числе кольцами, расположение которых соответствует резонансам среднего движения со спутниками; 2) другими телами Солнечной системы: планетами- гигантами, а также Солнцем; 3) другими спутниками системы Сатурна и, отдельно, теми из них, которые находятся в резонансных соотношениях с коорОитальными, а именно: влиянием резонансов Энцелад-Диона и Мимас-Тефия. Возмущения характеризуются величиной й^:

и1~ М^О'

где и Р0~ соответственно, ускорения, обусловленные з.~тым возмущающим телом и центральным телом. Обратимся отдельно к каждому пункту.

I. Исходя из наблюдательных данных о физическом строении колец их влияние аппроксимируется воздействием тонкого плоского диска постоянной плотности с фиксированными значениями внутреннего и внешнего радиусов, расположенного в экваториальной плоскости планеты. Отдельно рассмотрено взаимодействие края кольца А с парой Янус-Зпиметей, поскольку в данном случае имеет место резонанс 7:6 между радиусом края кольца и средней орбиты спутников. Показано, что эволюция орбит, обусловленная влиянием

отого резонанса, развивается на масштабах порядка млн лет.

2. Возмущения со стороны планет-гигантов и Солнца рассмотрены в рамках задачи Хилла с соответствующим видом возмущающей функции.

3. Возмущения от других крупных спутников Сатурна от Мимаса до Япета оценены в рамках задачи трех тел с учетом сжатия планеты.

Что касается резонансных возмущений в движении коорбитальных пар, показано их пренебрежимо малое воздействие на движение малого компаньона, а заметные наблюдательные отклонения в движении основного спутника проявляются в этом случае на масштабах порядка многих сотен лет. Далее на основе учета только основных членов в разложениях коэффициентов получены оценки амплитуд либрации во всех переменных, которые хорошо согласуются с результатами численных исследований других авторов. С использованием точных формул для всех отброшенных членов получены их безразмерные численные оценки. Выполнено сравнение этих величин со значениями й^, и сделан вывод о том, что они значительно меньше, чем основные, заведомо не включаемые в модель, возмущения. Обсуждается проблема существования нескольких тел на одной орбите при значительных различиях масс.

Исследование движения трех коорбитальных пар (Тефия-Телесто, Тефия-Каллшхсо и Диона-Елена) выложено в §3.3, а движение пары Янус-Эпиметей - в §3.4. Подобное разделение соответствует различному типу орбит: орбитам типа "головастик'' в первом случае и типа "подкова" - во втором. Исследование выполнено с использованием ЭВМ ЕС-1046 на основе комплекса программ, реализующих алгоритм первого метода на языке ФОРТРАН. Рассматривается отдельно каждый тип движения. I. Движение компаньонов Тефии и Дионы. Все вычисления выполнены в следующей системе единиц: единица массы - масса планеты, единица расстояния - 106км, единица времени - сут. За основную

шюскость принята плоскость экватора планеты. В качестве нулевой эпохи выбрана эпоха, когда реальное угловое разделение спутников д>- было близко к -5, а именно: 60,66° (2445808,82569 J.D.i-для Тефии-Телесто, 59,7° (2444754,7 J.D.) - для Тефии-Каллшсо и 62,88° (2444550,5 J.D.) - для Дионы- Елеш. Входными парамзтрами задачи являлись mi, 1=1, 2, коэффициент J2, г0, а и величины п^ nij1, ф°, ф°, v°, v°. Для сравнения были приведеш реально

млеющиеся наблюдения углового разделения лх, полученные различии?® авторами с предварительным анализом их точности. По наблюдаемым величинам ах найдена оценка для ф°. Расчеты показывают сильную зависимость результатов от начальной скорости изменения дх и, в гораздо меньшей степени, от величины л>,°.

Оценки скоростей изменения радиальных Ееличин, по которым не имеется никаких наблюдательных данных, найдены, исходя из некоторых физических соображений, на основании известных значений средней разности радиусов орбит коорбитальных пар. Предложенные формулы подразумевают одинаковый знак для р° и В последнюю очередь определяются параметры т?° и л° - возмущения долготы и скорости ее изменения для основного спутника пары, обозначаемого индексом I для случаев Тефия-Телесто, Диона-Елена и индексом 2 - для пары Гефия-Каллипсо. Эти значения вычислены на основе величин, определяющих движение спутников и регистрируемых в American Ephemeris (1980, 1981, 1982), а именно: средней долготы Ъ и средней аномалии М для Тефии и Дионы. Истинная долгота х этих спутников вычисляется по формуле, предлагаемой в том же издании, что позволяет определить также оценку и для х?

Результаты работы программ для каждой пары спутников представлены в виде таблиц, в которых приведены значения р^, ар и д>Помимо этого для сравнения представлены и наблюдаемые

значения полученные различными авторами и, естественно,

тенте различную точность. В диссертационной работе собраны практически все опубликованные на' настоящий момент наблюдения коорбитальных пар. Детальный анализ полученных результатов показывает очень хорошую устойчивость решения в радиальных переменных: наблюдаются устойчивые колебания слабой амплитуды вокруг среднего значения радиуса орбиты, представляющие собой наложение двух периодических решений. На всех рассматриваемых интервалах времени получены оценки максимального и минимального отклонений от величины а. В качестве проверки выполнено сравнение полученных результатов с результатами других исследований, проведенных численными методами. Отмечаются большие разногласия результатов с исследованиями, выполненными в рамках ограниченной задачи трех тел?и хорошее согласие с более точными моделями, учитывающими влияние первых членов разложения гравитационного поля планеты - членов, пропорциональных Ло, ¿о,

Чем дальше спутник, тем ближе численный результат к аналитическому вследствие зависимости величины возмущения от к? (к|< Ку). Поэтому чем дальше расположена коорбитальная пара, тем меньше должно быть значение да для орбит типа "головастик".

Возвращаясь к угловой переменной, еще раз отметши очень сильную зависимость получаемого решения от степени близости к б и как можно большей точности величины Для качественных исследований получаемые численные значения не существенны: это периодическая кривая, подобная реальной кривой изменения дхоЬ-Однако от них зависит степень близости получаемой кривой к реально наблюдаемой, т.е., в конечном итоге, точность представления наблюдений. Анализ поведения величины в

пределах соответствующих таблиц показывает близость кривых изменения да с небольшим запаздыванием относительно лх0ь>

-171 .

Вычислены средние, максимальные и ср. кв. отклонения (о-с) для величины ак, а также амплитуды долго- и короткопериодических членов. Последние из указанных величин составляют, соответственно, для систем Тефия-Телесто, Тефия-Каллипсо и Диона-Елена 3,29° и 2,59°; 5,47° и 5,3°; 13,62° и 4,1?°. Приводится сравнение данных по амплитуде долгопериодаческой либрации с результатами других подобных исследований.

Была исследована чувствительность решения ко входным параметрам. Выбор для повторных вычислений значения Т^

показал, что изменение этой величины не влияет ни на ф(Х), ни на др(Л); изменение ф° на доли град, имеет слабое влияние (~1°-2°) на ф(Х), а зависимость полученного решения от ф° очень сильна и приводит к расхождению результатов более чем на 10°. Величина зке

"О т,

полярных радиусов очень устойчива относительно ошибок р^ Для исследования орбитальной устойчивости сравнивались действующее и критическое значения величины с2Н, где с-модуль углового момента, а Н-полная энергия. Критические величины для систем Янус-Зпиметей, Тефия-Телесто-Каллипсо и Диона-Елена составляют, соответственно, -0,247-10~26, -0,521 «КГ19, -0,234-Ю"18. Контроль устойчивости осуществлялся в отдельном модуле программы на примере Тефии-Телесто. Действительное значение -0,363'Ю-19 оказалось меньше критического.

2. Движение пары Янус-Эпиметей. Поскольку для этой пары существует несоответствие между вычисленным и полученным из наблюдений периодами Т1, что проистекает из-за неточности знания их масс, предлагаются некоторые физические соображения относительно их строения, происхождения и динамической эволюции, а также оценки величин их масс. Вследствие очень большого значения Т1 для этих спутников не существует никакой последовательности наблюдений, а только разрозненные

-13. »

"засечки". Поэтому ми будем сравнивать наши результаты с теоретическим поведением этих спутников, изученным методом численного интегрирования и представляющим собой два варианта поведения да в зависимости от масс обоих тел и величины дх°.Для этого вначале найдена привязка фиктивного момента времени, в которое предполагается наиболее близкое к б значение дх (56,46° и 57,89° для вариантов I и 2) к реальному моменту времени 2444780,5 ,7.Б. Привязка оказалась возможной, поскольку модельное значение дх.=180° реально наблюдалось II фзвр. 1980г., а скорость их сближения в этот момент составляла 0,254 град./сут. Нулевая эпоха для обоих случаев отстоит от момента дх=180° на 500 сут.

Для получения как можно большей базы данных по угловому разделению к модельным данным были присоединены все тлеющиеся реальные "засечки" Януса и Эпиметея с учетом их точности. Таких наблюдений имеется всего 6. Для расчетов использовалась та же самая программа, что и для других коорбитальных пар. Преимущество ее использования, помимо быстродействия, состоит в том, что она отдельно включает в себя 4 различных случая соотношения масс спутников: I)произвольное соотношение; 2) т2/т1«1 (п^/т^Ю-3); 3)ш1/га2«1 (т.,/т2<10""3) и 4) равные массы. При сравнении используемых модельных данных, разделенных интервалами в 50 сут., и реальных наблюдений выявляется довольно значительная несогласованность в некоторых интервалах да, что является следствием неточности модельной эволюции. Поэтому в таких случаях, естественно,- предпочтение отдавалось реальным наблюдениям. Величины р(Ъ) и дрш, отвечают следующим значениям масс спутников: I) т^З.ЫСГ9, ^8,4'Ю"10; 2) 1^=6,1 -10~9, т2=1,7.КГ9; 3) т., =2,0 Ю-9, т2=2,001 -КГ9; 4) т^г.О-Ю-9, т?=2,01■Ю~9. Второй случай соответствует тем массам, которые удовлетворяют вычисленному ранее периоду либрации ~2950 сут., а

последние два варианта выбраны для того, чтобы проследить, каким образом большая или меньшая сравнимость масс влияет на взаимную эволюцию орбит. Получены оценки минимального и максимального удалений от средней орбиты спутников.Увеличение в 2,1 раза масс коорбитальных тел практически не влияет на амплитуду их радиальных колебаний относительно средней орбиты и только слегка увеличивает др. В случаях 3 и 4 показано, что чем более близки массы спутников, тем больше возмущения их средней орбиты, тем дальше они расходятся друг от друга в радиальном направлении.

Анализируя поведение ах, отмечаем, что за счет сглаживания короткопериодических членов имеет место строго монотонное поведение. Рассмотрено 4 варианта масс спутников: I) ПЦ -3,57• 10~9, ^-Э,83-Ю"10; 2) ПЦ =5,12• 1СГ9, 1^=1,41-КГ9; 3) гп1 =3,1-Ю-9, т2=8,4-1СГ!0; 4) ^=6,1-Ю-9, т2=1,7-1СГ9. Первые два варианта соответствуют двум случаям модельных расчетов с различными первоначальными дл°. По результатам последних исследований эти значения масс не являются достаточно корректными. Поэтому рассмотрены еще два варианта, причем последний соответствует теоретическому периоду Т., "2950 сут. Результаты показывают плавный ход долгопериодической эволюции, однако, как и следовало ожидать, для всех вариантов, кроме четвертого, вследствие больших периодов либрации за рассматривамый период времени в лх не укладывается половина периода. Единственный вариант, для которого результаты сравнения и данные, полученные в нашем исследовании, совпадают, это четвертый, соответствующий теоретическому периоду Т.,"2950 сут. Для него получены максимальное ж ср. кв.отклонения от модельных данных: -3,09° и 0,45°. Поскольку известно, что сама модель неточно представляет наблюдения (из линейной интерполяции на моменты 2444840,5 З.д., 2444541,5 Л.В., 2444513,5 .Т.Е. и

-20123,53° я 170,15°), можно сказать, что вариант 4 гораздо лучше представляет реальные наблюдения. Сделан вывод о том, что предполагаемые нами значения масс больше соответствуют реальной ситуации и согласуются с результатами последних исследований динамических параметров нары Януе-Эпиметей. С использованием линейной интерполяции и экстраполяции для всех вариантов вычислены периоды Т., и показано их хорошее согласие с теоретическими значениями в пределах точности 1,5$.

Исследование движения коорбиталъных спутников первым из предложенных методов показало его преимущество перед вторым. Программа, реализующая алгоритм второго метода на языке ФОРТРАН, составлена для конкретного случая Тефия-Телеето. Показано, что хотя быстродействие последней программы превышает быстродействие программы, реализующей алгоритм первого метода, она гораздо хуже представляет наблюдения и имеет очень большую чувствительность к выбору входных параметров ф° и у0. Решение, полученное указанным методом, представляет собой периодическую кривую очень малой амплитуды, причем коротко- и долгопериодические члены в этом случае имеют практически одинаковую амплитуду 2°). Оценены средняя и максимальная величины (о-с) для дх, а также максимальное и минимальное отклонение от средней орбиты.

Детальный анализ точности полученного решения выполнен посредством его сравнения с результатами численного интегрирования полных уравнений движения с использованием высокоточного метода Эверхарта, реализованного в подпрограмме ЛАМ27. Ее тестирование осуществлялось как решение модельной задачи исследования динамики первоначальной лагранжевой конфигурации под действием второй зональной гармоники. В качестве контроля точности численного интегрирования в подпрограмме МЕШУ вычислялся интеграл анергии.

• .

Возвращаясь к основной задаче сравнения аналитического к численного методов, отметим, что для простоты расчетов в этом случае Орались одинаковые входные параметры 1?°=0,02 су т.'*1, а все остальные - как в предыдущих расчетах. Полученные результаты демонстрируют очень хорошее согласие аналитических и численных значений ах. На малых интервалах максимальные отклонения в системах Тефия-Телесто и Диона-Елена не превосходят 0,001°, причем ср. кв. отклонения составляют 0,0122° и 0,015°. Для 182-сут. интервала движения Тефии-Телесто максимальное отклонение не превосходит 0,05°, а ср. кв. составляет 0,058°. В конце главы для наглядности представления долгосрочной эволюции орбит коорбитальных тел построены графики изменения >Л1;) и а,о(г), где ¿^-отклонения р± от величины радиуса средней орбиты. Для пары Янус-Эпиметей представлены 2 варианта масс спутников: I) га1 =6,1'10~9, 1112=1,7-Ю-9; 2.) 1^=3,1-1СГ9, т2=8,4-КГ10. На основе графической информации для всех компаньонов приведены максимальные и минимальные значения др и дх, а также значения периодов Т1 и амплитуд либрации. Отслежены некоторые обертоны Т-р выявляемые на графиках.

В заключении диссертационной работы сформулированы основные результаты и выводы выполненных автором теоретических и экспериментальных разработок, а именно:

1. Получены в явном виде дифференциальные уравнения относительного движения коорбитальных спутников в плоской задаче трех тел.

2. Проведено теоретическое исследование на предмет существования и явного вида периодических решений.

3. Разработаны две методики и соответствующие им алгоритмы построения общего решения: прямой метод и метод возмущений порождающего решения.

-224. На основе учета основных членов аналитически разложений выполнен приближенный анализ долгопериодического движения и найдены опенки амплитуд долго- и короткопериодической либрации.

5. Оценены основные возмущения в системе Сатурна: влияние других спутников, колец, резонансов спутник-спутник и спутник - кольцо, а также Солнца и планет-гигантов.

6. Выполнено сравнение погрешности полученного решения с величиной возмущающего влияния неучтенных моделью указанных выше факторов, действующих в системе Сатурна.

7. На алгоритмическом языке ФОРТРАН составлен комплекс программ в соответствии с разработанными алгоритмами для определения возмущений полярных координат и возмущений элементов орбит.

8. Проведены экспериментальные исследования с использованием современных уточненных динамических параметров системы и последних наблюдений спутников с целью построения аналитического приближения, приемлемо представляющего наблюдения.

Основное содержание диссертации отражено в следующих статьях:

1. Шершкина С.л. (Семенова) Периодические движения в окрестности положений относительного равновесия общей задачи трех тел. Численное исследование. Тезисы докл. Всес. конф. 22-26 авг. 1989 г. Мет. исслед. движения, Физики и динамики малых тел Солн. сист. Изд. Астросовета АН СССР и Ин-та астрофизики АН ТаджСССР, 1989, с.75.

2. Семенова С.Л. Качественное исследование дифференциальных уравнений и соответствующих периодических решений спутникового варианта задачи трех тел. Труды ГАШ, 1994,т.64, чЛ, с. 40-53.

3.Семенова С.Л. Движение коорбитальных спутников.Там же, с.54-72.

4.Семенова С.Л. Долгопериодическая либрация и оценка возмущений в движении коорбитальных спутников Сатурна, Там же, с. 73-90.