Исследование стойкости решений систем линейных дифференциальных уравнений со случайными периодическими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МШГСТЕРСТВО ОСЬШ УКРАШ КШВСШЙ УНИВЕРСИТЕТ шец{" ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

РГ6 од

о <2 ^г;

На правах рукаиксу

ДЕА1ЛАДОВА 1рада Агаведа кизи

досжданшя сгйикоси розвиязыб систем дшшш дизершщш1их р1в11янь 3 випаикобши пер1одичшми к0еф1ц1штами.

01.01.02 - дифврещ1йн£ р!вняшя

АВТОРЕФЕРАТ дисертащГ на эдобуття вченого1 ступеня

кандидата фхзкко-математичних наук

. К И I В - 1994

Дисертащя е рукопкс.

Работа вюсонана на кафедр еицсй математики

Кшвсъкого державного економЬшого унхверситвту

Науковий коровник - доктор фазико-математичних наук,

професор Валеев К.Г.

0фхц1й1Й опоненти - доктор ф]' зико-математичних наук,

професор Хуса^нов Д.Я. - кандидат фi зико-математичних наук, ст.науковий смвроб!тник Колошець В.Г.

Прошдна орган! зад я - Санкт-Петербурзысий державний

университет

Захист дксертацН вхдбудегься " 2.Ъ" 1994 р,

о ^ год., на ваозданм снегаал1зовано! ради К 01.01.14 по присудаенш ечоного ступени кандидата ф1зико-ыатеыатичних наук в Кгавськоку ушверситем :мещ Тараса Шевченка за адресов:

252127, Кщ^в, проспект акадеглка Глушкова 6, мехашко-гагемагэт-7шй"1[|а1сульгет7~ауд~42; -

3 дисертащею можна ознайоштись в б!блх отецЬ Киавського университету х'ланх Тараса Шевченка, КшЕв, Володширська, 58.

Автореферат разделений " Ц " кЛ/т/С? 1994 р

Г

¿чений секретар л

спевдалгзоваког ради Курченко 0.0

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теми. Запропонована робога присвячена розраб-.: ; ленню чисельно-анал!гичних иетод1в дослихення ст1йкост1 розв"язк!1в систем л1н!йних диференц!йних р1внянь з випадковиии першдичнима марковсысими коеф1Ц1ентами.

В досл1дзсенн1 систем диференц!йних рхвнянь з1 зимними кое-<$1ц1енгами важлйву роль вхд1грають асикптогичн! метода, Я1й ство-ре1г1 в роботах К.Гаусса, К.Делоне, Ж.Лаграша, М.Линдстедта, а.Пуаякаре. Розвигок га повшрення асимпюгичних ыегод1в пов"яза-я! э 1ыенами М.М.Боголюбова, Е.А.Гребенн1кова, Г.Дгакалья, Да. Коула, М.1.Крилова, Ю.О.Митропольського, М,М.Мо1сеева, А.М.Са-мойленка, Т.Г.Сгрйвдс, М.1.Шк1ля, 1.3,11)токала та 1нших.

Для зниження порядку систем лШйних диференц1йни]с р!в-нянь, що доел 1дисуюгьс-я викорисгована теор!я ¡нтегральних ино-госгатностей. Способн пойудови итегральних шшгостатносгей розроблен! в роботах А.М.Ляпунова, А.Пуанкаре. Теор1я Знтеграль-них многостатностей була роз винена в роботах Ы.И.Боголюбова, Ю.О.Митропольського, О.Б.Ликовой, В.А.Пл1сса та 1нших.

В диоерт&цП застосована .теор!я л1н1йних оисхеи диференц1й-них р|внянь з пер1одичниш коеф1ц!ентами, в розробленн! яко1 приймали участь 0.0.Андронов, К.Г.Валеев, !1.Г.еруг1к, О.М.Ляпунов, 1.Г.Малк1н, А.Пу^нкаре, В.М.Стартанський, В.О,.Якубович та 1нш1.

Деяк1 нов1 резульгаги одержан! для систем лШйних дифе-ренцИних р1внянь з випадковими пер1одичниии коеф1ц1ентами 1 стали» загаювальням аргумента. Теор1р систем диференцШих р1внянь з загаювальниии аргументами створивали В.I.Зубов, М.М.Красовський, Д.1.Маргиндк, А.Д.Ыипк1с, В.П.Рубан1к, ¡иА.

Рябов, В.Хан, А.Е.Ельсгольц га 1нш1.

Останн!м часом велике и!сце в досл!дженнях по як!сн1й теор!1 диференц!йних р!внянь эайыавгь системи л!н!йних диференцШих р!внянь з випадковими коеф!ц!ентами, якj залежагь в 1д марковсько-го ск!нченнозначного процесу. 1х вивчали В.И.Артемьев, 1.А.Кац, М.М.Красовський, А.М.Колмогоров, Г.М.Мильштейн, KJ.M.PeniH, Р.З. Хасыпнський, Хусшнов Д.Я.' та 1нщ.

Незважаючи на велику к!льк!сгь роб 1т по Д0сЛ1Д*енню систем з випадковими коефщ1ентами, проблема побудови нових метод1в ta поширетт 1снуючих на (Ильи широк! класи р1внянь у зв"язку з ви-pimoHHAM прикладних завдань залишаеться як 1 ран!ше актуальною.

У наших роботах проведен1 доол1д*ення ст1йкост1 роэв"язку л1н1йних диференц!йних р!внянь з коеф!ц1енгами, як! залежать в!д марковського пер!одичного ск1нченнозначного випадкового процесу у резонансних випвдках. Б1лыпе уваги прид!лено вир!шенню задач по знаходхешш близьких один до одного коренiB алгебра1чних та грамдмдМ1М^Р*внянь> эалежиих в!д параметра, що пов"яэано з дослЦженням характеристичных piBHHftt.

Мета робоги полягае в розробленн! метод1В знаходження близьких до кратких корен!в алгебра!чних га трансцендентних р!внянь, залежних в!д параметра, створенй! чисельно-анал!гичяих метод!в досл!д*ення cii«KocTi розв"язк!в систем л1н1йних диференц!йних р!внянь, залежних в!д.марковського пер!одичного випадкового процесу, побудови границь областей неот!йкосг! для моментних р1внянь.

Вагальн! метод и досл!дження. Основниии анал!тичними засобами досл!дження е метод ¡нтегральних иногостагностей, метод малого параметру, метод моментних р1внянь, асимптотичний метод, перетв!р Лапласа, метод 5-ряд1в, чисельн! мегоди знаходження корен!в алгеОра!чних та трансцендентних р!внянь.

Z

Наукова новизна, I, Побудован1 нов! алгоритма розкладу многочлен^ на мнояншси у випадку близьких до крагних корен1в э використанням 1двГ п!дгоговчо! теореыи Вейерштрасса га теорИ !нтегральних многостагноотей.

2. Побудовано новий опое 10 знаходження близьких один до одного корен!в анал1тично1 функцН, яка заложить вЦ параметра.

3. Одержан! досгатн! умови зб1жност1 узагальненого методу Л1на до розв"язання алгебра1чних р!вняиь у випадку близьких один до одного корен1в.

4. Розроблено га обгрунювано иетод виведення моыентних р1внянь для л1н1йннх систем диференц1йних р1внянь з випадковими пер!одичниии коеф1ц1енгами.

5. Розроблено та обгрунювано чисельний споо1б досл1д*еяня ст!йкоог! розв"язк!в оисгени л!н ¡йних ди^ренцШих р!внянь з випадковими марковськиии пер!одичниыи коеф!ц!ентами.

6. Розроблено спос 16 доолЦжеяня о^йкост! розв"язк1в сио-теы з випадковими параметрами та з загальниы аргуиекюи.

7. Розроблен! способи чисельно! побудови границь областей нест!йкоот1 та чисельяого знаходхення харавтерисгичних показник1в за параметричного резонансу.

Практична ц1ин1сть роботи. Одержан! результат- иохугь бути використан! для вир1пення практичних завдань у гворН ст!йкост!, математичн!й економ!ц! та !н. при проектуванн! реэдьних сиотеи э випадковими параметрами, а гакож у викладани! хеорИ випадко-вих процео!в, обчислювально! математики ; розробленн! чиселыи способи можуть бути кориен!, для досл!д*ення конкрегних систем, для яких вион! методи не ефективн!.

Апробац!я ! публ!кац1я. Матер!али диоертацМ обговорпвалися на наукових оем1нарах у ¡Швському державному економ!чному ун!-

верситетЦ у Ки!вськоыу пол1техн1чному !нститугЦ на укра1нськ!й конференцН "Моделювання та досл!д*ення ст!йкост! систем" у и. Киев! (1993 р.)>У КиЬському ун!вероигет1 лм.Т.Шевченка.

Основн! результата дисертацИ опубл!кован! в роботах /1-7/.

Структура дисергацН. Дисергац!я складаеться !з вступу, трьох розд!л!в, як1 м!сгять 15 параграф!в, висновк!в, списку л1-гератури, додатк!в, як1 м1стять результати розв"язання приклад!в, представлених таблицями та граф!ками, а гакок прогреми.

Зм!сг диоергацП

У всгуп! обгрунтовано актуальн!сть теми дисертацН, сформу-льовано мету роботи, м1ститься огляд л!тератури, даеться короткий виклад зм1сту дисертацИ.

В першому розд1л! запропонован! нов1 обчислювальн! методи в!дд!лення корен!в алгебра!чних та трансцендентни* р!внянь з ви-користанням п1дготовчо! теореми Вейерштрасса ! методу 1нтеграль-них многостатностей.

Побудовано новий~алгориты~розкладу-многочлена-на-мнохники,— досл!д*ено зб!*н!сгь узагальненого методу Л1на для розв"язання алгебра!чних р!внянь у випадку близьких один до одного корен!в. Запропояовано спос!б знаходження.близьких один до одного корен!в аналогично! фуикцИ, яка залехпть в!д параметру. Результати першого розд!лу використовуюгься в третьому розд!л! роботи для обчислення характернотичних показншив розв"язок, що досл!д*у-еться у резонансному випадку. Одержан! результати являють га-кож самост1йний теоретичний та практичний результат.

В § 1.1. знайден! досгатн! умови застосування падготовчо!. теореми Вейерштрасса в випадку, коли анал!тична функцхя мае спец!альний вигляд.

Теорема 1.2. Пехай анал1гична функц!я

^г.О-ОГгНгЧ'Сг.'О (1.2.)

да Q(z) - многочлен л-го степени, нол1 якого належать облас-Ti l«|<|z.0 , ^(г.г) - анал1тична в1д зи!нних z,x функ-

ц!я в обласг!»

lz|<zq , hl<T„

при деякому г0 мае в обласг! /1.3/ п нол!в. Якщо виконуюгюя yMOBBi .

1. 11?1гС*.'с>1'СМ-свдв1 /1.4.J

2. lzKzo , l-cl-cmui [г, , тМ~'} /1.5./

■а

m-mox 1СКг)| , ОСг)55^ a*2 *

то грансцевдентне р!вняння вигляду«

G(z) + x Ч^Сг.г)-0 Л.7./

приводиться до аягебра!чнаго в1дносно г. р(вняння« я

t^(t))zJC=0 /1.8,/

хо

Вир1шуеться прикляд, в якоиу теореиа 1.2. викорисговуеться для вид!лення групи близьких один до одного'корен!в аналНично! в облает! >zl<zo , lr/<T0 функц!I /Cz.t^z+expf-it.)

i вивчаеться поводження корея!в z эалежно в1д параметру % п!сля 1х з!ткнення в T04ni z=-e при r-i/e

В §1.2. запропоновано ! обгрунтовано новий алгоритм обчислювального методу розкладу многочленов на мюжники, Розглядаеться зведений многочлен п -го сгепеня

. a.0=i , /1.14./

для якого справедливая розклад на множники

¿(яУ^МхУйгСх) . .

/роз 7 Т г /I,W

де у>(аО , трех) - ыногочлени степени у ,п -у вЦповЦно. Многочленное) чисельно розд1ляетьс* на многочлен

де С- величини приросту до коеф1ц1ент!в мно-

гочлена тЬ- (к=йг) . Остача в1д д!лення

к Р-1

^ <■ ....."^¿^Л««,)^1'* /1Л7./

х-о

вшпукуеться близькою до 0. Для цього чисельно розв"язуеться система р!внянь:

КО,.<^.-,<0=0 ,

/1.18./

Теорема 1.3. Нехай справедлива розклад на мнохниш /1.15./. Для того, шоб многочлени ^Ьс), ^(ос) не мали за-гальних корен!в необх!дно га достагньо, щоб були виконан! умови»

-*Г * 0 . <к.1.рГ. ЛЛ9Г/—

, Ч.....аЛж«0

Розроблело алгоритм чисельного засобу розкладу многочлена х) на многаики для реал1зацЛ на ПЕОМ. Докладно розглянуто випадок в1дд!лення квадратичного мновдика, коли многочлен мае стегпнь р=2.

В §1.3. !дея розкладу многочлена на множники використовуеть-ся для знаходхення близьких один до одного корен1в анал^тично! в област1 1х|< г0 , |х|<т0 функц!! ^Гг.х) . Функц1я 0 чисельно розд1ляегься на квадратичная трьохчлен з коренями к1,"г2 • Коеф1ц1енти ^, 6г визначаються 13 системи р1внянь»

/ямльо

дв К^И - осгагн! члени в розкладу

¿С г,тУ= у(*,х)(гг+ + /Ь27>/

Дема 1.1. Нахай корен! функц!! /Сг.г) за

ф!коованого х близьк! один до одного. Тод! осгагн1 члени в розкладу /1.27./ визначаюгься за формулами»

Дв Г(3) .№)

рО/ - { , %^-ьл

Б §1.4. энайден! до&татн! уиови эй1*ноег1 узагаяьненого методу Я1ка для розв"язання алгебра! чних р!внянь в випадку блвзь-ких один до одного корен 1в.

Теорема 1.4. Для гого щоб многочлен <£сх)заг-<-ои£+-6 був д1льнвком многочлена я. -го сгэпеня , який мае близьк! до крагних корен! достагию, щоб виконувалися уыови»

1. Почагковий д1льник с^Сх) був доотагньо близьюш до многочлену &(х)

2. .

Ылыи дояладно досл1джена зб1хн1сгь методу Л1на в випадку, коли многочлен /Сх) пае степень л = 3.

В §1.3. розроблено новий алгоршы знаходження простих га в!дд1лення групи близьких до крагних корен1в алгебра1чного

р!вняння з використакням георИ !нтегральних мнагостатностей. Розв"язан! приклади.

У другому роздШ дано поиирення асимптогичного меюду для систем диференцШих р1внянь з випадковими пер!одичними коеф!-ц!ентами. Даеться короткий оглед роб1т авюр1в, як! роэвинули та поширили теор1ю асимптотичних метод¡в.

В §2.1. приведен! вЦом! знания про пер!одичн1 марковськ! процеси, необх!дн! для викладу наступного. Дано поняття, основн! властивост1 пер1одичного продесу, запропонован1 ¿.Я.Дорогрвцевим, визначення основних характеристик випадкового процесу, поняття р-ст!йкост! для розв"язку диференц1йного р!вняння з випадковими коеф1Ц1ентами.

В §2.2. запропоновано асимптотичний метод побудови системи р!внянь для математичного спод!вання розв"язок сисгемк л!н!йних

диференц!йних р!внян! __ (2Л,)

де ух. - малий параметр, - випадковий пер!одичний процес,

що наОувае стани з !мов!рностями ,

як! задовольняюгь систем! диферетШних р!внянь

<1Р,(Ь) * V —

Розглянуго випадок, коли випадковий перЬдичний процес е марковськиы ск!нченнозначним. Обгрунтовуеться використання асимптогичного методу для побудови моментних р!внянь у випадку, коли коеф£ц1енти залекать в!д иарковеького пер!одичного процесу.

Дема 2.1. ЛШйна система диференц1йних рхвнякь

Ас^тха.^) /2.25./ 8

коеф1ц!енти яко! залежать в1д марковського пер!одичного процесу ^(Ь) , що набувае стани ^ з !мов!рностями pi

), як! задовольняюгь систем! диференц!йних р!внянь /2.19./ за виконанням уыови

II¡1 ка0,15^6ле , -со С Ь < оо

Ы , Л>0. /2-26-/

зводигься до стац1онарно1 системи диференц!йних р!вяянь

В §2.3. асимптогичний метод засгосовано для доел равняя стШост! р!шень диференц!Иного р!вняння другого порядку!

% +^ 3? + ( ^раа'5(ь)))* = 0 > /2.11./

де - випадковий марковський пер!одичний процес, який

набувае стани в (к=1,п) з ¡мов 1рностями ,

що задовольняюгь систем! диференцИних р!внянь /2.19./.

Лема 2.2. Для ст!йкост1 у середньоыу квадратичному розв"яз-к1в диференц!йного ргвняння /2.41./ достатньо, щоб вс! характерно-тичн! числа матриц! + ^^ ыали в!д"емн! д!йс-

н! частини, незалеяно в!д члея!в порядку , де матриц! С1,Сг обчислюються за формулами»

С4-£б/0] . Сг=[Вг(Ь)]

вга)- А-1(^£(*))аа0*.£<■*))>а* + < .

о

У приклад! досл!дяуегься ст!йк!сть у середньому квадратичному рсзв"язк!в р!вняння /2.41./ в випадку, коли випадкова величина визначаеться насгупним способом8

л t сos 2<ji , 6>

о/ — cos 2wt , fftO - a, де ~ випадковий перЬдичний иарковський процес, який

набувае два стани з ímobíphociauh р1,ря , що задо-

в1льня»гь систем! диференп!йних р!внянь»

Умови criflKocri у середньому квадратичному розв"язк!в р!вняння /2.41./ иаюгь виглед»

Ijia и.а I Я j j 1 5

|tr - e&o wj I >>L iclèhJy +oCjl >

i y_ ^

-В-§2.4,_для_системи лШйних диференц1йних р!внянь /2.1»/

чисельно побудовуюгьея л i и i ян i диференцШ! р!вняння, як1 визна-чавть иатематичне спод!вання випадкового процесу. Метод побудо-ви базуетьоя на пошуц! 1нтегрально! многоетагносri система л1-н!йних диференц1йних р!внянь з пер!одичними коеф!ц|енгами, Чисельно в1дшукуеться матрвдя монодромП та з допомогою оц!нвван-ня мультипл1катор1в проводиться досл!д*ення сг!йкост1 у серед-ньому початковоТ системи дифервнц1Яних р!внянь.

Лема 2.3. Для того, щоб иарковський пер^одичний випадковий процес , визначений системою р!ьнянь /2.19./ був ерго-

дачиии необх!дио i достатньо щоб нульовий розв"язок однор1д-но! сис'теми р!внянь

JO

S-l

Оув асимпготично ст!йким.

Для сисгеки р!внянь /2.1./ м&еыо систему моыентних piBHjmbs JM (1\ п.

-¿Г~ « £ c^WN/t) + jiAx(t)MJl) , <*-С«>/2.бб./

5-i

де

мксв= jxfKa,x)dx , dx-d^d^...^

E„

■fj.CtjX) - окрем! щ1льноот1 iMOBipHOdi, X - розв"язок

системи р1внянь /2.1./, - npocrlp виы1рносг1 ж векторов

t > ••• > } • Система р1внянь /2.66./ перетворюегься до виглдду*

^ = у. CtiCt) VnCO f JL Catt)WCt) n.KJ

■ ¿j^ = cct) wet)+f-cjt^ cjowa)

де матриц! C^Ci) , ( -¿,£ = ¿,2) визначен1 наотупним чином: ni

cjt)-ZCАка)-АЛа)Ыи+АЛа),

if^Afb)- f/t)[£[\(0-А,(ЩЮ+Аа)]\

di

сгга)~}1-Гкш[А,а)-Апа)] + ^дшГ^ .

Для норм магриць С^ С»= ) вводиьоя наступи! оц!нки ••

II С^окц, ис1г(01<121 неа1а)1*ъл, 1сиа>1<^

Теорема 2.4. Якщо для системи р!внянь /2.73./ виконана уыо-

ва«

--А—> /2.74./

с».! , Л^О ,

ю система р1внянь /2.73./ мае хнтегральиу многостатн!сгь розв"яз-к!в, наведеними р1внлннями

де зазначено«

Теореца 2.5. Ккщо виконана уыова /2.7**./} то Судъ-який розв"язок системи р1внянь /2.73./ зб!гаеться при -кю до ¡нтегрально! многоста1ност1 системи /2.73./, яка визначена системою р1внянь /2.75./.

Теорема 2.6, Якщо виконана умова /2.74./, то система дифе-ренцШшх р!внянь /2.66./ мае пиегральну многостатн1сть роз-в"язк!в в игл яду«

Ш

^^ба.р^П:) /2.77./

V, 1у- нк ] vлa). с*-^).

де всI матриц! е - пер1одичними 1 анал!тич-

ними в!дносно ух.

Побудований алгоритм чиселыюго дослдаення сгIягсост I розв"язк!в системи .гц'пренцШних р1внянь /2.1./.

В §2.5. запропоновяно два способи побудови пер1одично1 л!н!йно! системи моменпшх р!внянь для системи /2.1./г

Теорема 2.7. Для систени диференцМних ргвнянь /2.1»/ за використанням умови /2.26./ 1снуе система моыентних р!внянь /2.89./, де матриця (уЛ.уО пер!одична з передом 2эс ! едина.

В §2.6. асинптотичний метод побудови лш!йно! системи ди-ференцМних р!внянь для момент1В розв"язк!в поширено на систему диференцШних р1внянь з випадковиыи пер!одичними коеф!ц!ентами 1 з сталим загаювальним аргументом»

сИ ь^ /2.108./

де £(£) - випадковий марковський перЬдичний пронео з в!домими функц!ями розпод1лу, тк1к>0 (К-1,3-,^).

В приклад! досл1джуегься ст!йк!сть розв"язк1в диференцШго-го р!вняння першого порядку з загаювальним аргументом!

■ и.о.а,?а)на-о, ч>о,

■ Г Ъ * /2 ЛИ./

ХЗ

де випадкова величина виэначэна наптупним

способом!'

-'1

Випадковий процес £ Марков пькпи пер^одлчним, я кий набу-

вае два г.тани вЛг 0Й з 1мов ¡рношями, що задовольняють пишем! р1внянь /2.^0./.

Умова (гт1лкоот1 розв"язк!в р1Вняння /2.114./ мае вигляд:

V. > ¿см*. /2.118./

3 анал'зу укови гг1№0(?г1 розв"язк!в писгеми диференМйних р!внянь /2.114./ випливае наетупний результат, який одержано, маСуть, вперпег -

Розв"язки р1вняння/2.П4./ в першому шан^

та у другому тан!

£(£)}*».

за наявн!птю дотахньо малого загаювальня будут* аеимптотично лт!йкими. При тзипадкових переходах !з периюго птану в другий за наявн1птю дошатньа малого загаювальня Х>0 розв"язки л!н11кого диференц¡Иного р1вняння м /2.И4./ иояугь пгати не-гт!кими.

В третьоцу роздШ от¡йк^гть розв"язк!в пишем Л1н!йних ли^еренц¡"них р^виянь з випадковини перюдичними коеф4ц1ента-ни при параметричному розонане! допл!д«уетьея методом 5-ряд!в,

запропонованим в роботах Валеева К,Г. Чисельно побудован! границ! областей несНйкост! для роэв"язк!в моментних р1внянь. Запропоновано алгоритм чиоельного знаходження характеристичних показник!в в резонансному випадку,

В §3.1» приведен! поняггя &-матриць, 1х властивост!, поняття характеристичних покаэник!в, деяк1 результати по досл!д-женню ст!йкост! розв"язк!в систем л!н!йних диференц!йних р!вплнь э пер1одичнимикоеф1ц!енгами методом 5-ряд1в, введен! ланцвгов! матричн! др1би.

В §3.2. виведено р1вняння для визначення характеристичних показник!в розв"яэк!в системи р!внянь в резонансному випадку.

В §3.3. досл1дгуетьсл система диференцШих р!внянь

¿Х(Ь) = ( о 1

¿1 (-сог-ухаСЦЛ))

/3.45./

де - випедаовий марковський пер10дичний процес, який

набувае два стани , з !мов!рностяни ?>л,рг , но за-

дов1льняють систем! л!н!йних диференцШних р(внянь /2.Ь0./. Ви-падкрва величина а&^СО) приймае значения /2.49./.

При 0<}1<а,, 1р-2иЦ<£л , де -

достатньо мал1 числа, умова сг!йкост! системи р!внянь /3.45./ зб!гайтьвя з уыовами сг^йкост! /2.54./.

Лема 3.4» Для ¡снування областей неспйкост! при основному резонанс! необхцно виконання умови«

)хах

о анал!зу умов ст1йкост! розвнязк!в сиотеми диференц!йних р!внянь /3.4Ь./ випливае результат, одержаний, мабуть, вперше»

Система диференц!йних р!внянь /3.45./ з коеф1'ц!ентами, як! залежать В1Д випадкового марковського перюдичного процесу, маюча нест!йк! розв"язки в кожному з стан¡в, як! набувае випадко-вий Марковаький процес мохе маги спйк! розв"язки за рахунок зб1лылення к!лькост1 випадковпх переходов ¡з одного стану в дру-гий.

Побудован! залезшост! характеру розв"язк!в сисгеыи /3,45./ в!д парамегр!в \р на площин1 Сл,^) .

В §3.4. пропонуеться алгоритм чисельного пошуку характерис-тичних показник!в розв"язк!в система р!внянь /5.45./в резонанс-» них випадках. Ана>пгична функц!я апроксимуеться пол!номом степе-ня п. . Бот1М з використанняы розроблених в першому розд1л! дано! роботи методов, вишукуються близьк1 до кратних корен! апроксимуючого алгебраГчного р!вняння, яке залежить в1д параметру при р!зних значениях випадкового параметру 0 . Побудован! залежност! поводження характерно гичних показник!в розв"язк!в системи р!внянь /3.45./ в!д параметр!в у. та 0 . Випадковий параметр ч? вибираетьоя меншим, б!льшим та р!вним "критичному".

В додагках приведен! прогреми на нов! ваз/С" для

ПЕОй, реалгзуючи алгоригми чисельних метод!в, таблиц!, що м!стять результати анал!зу, графики границь областей нест!йкост! та поводження харакгеристичних показник1в.

Основн! 'науков! результати, вмщен! у дисертац1ю, опубл¡кован I в наступних роботах!

Лб

1. Джалладова I.A. До запитання узагальпення Шдготовчо! теореми Вейерштравса. - Ки!в, 1992. - 7 с. - Деп. в Укр1НТЕ1

25.06.92, № 928-Ук 92.

2. Джалладова I.A. Побудова областей яест1йкосП роэв"яз-к!в диференцШого р1вняння другого порядку з випадковими nepl-одичними хоеф1ц!ентами. Тези укра!нсько1 конференцН "Моделюван-ня 1 досл!дження стIякосгf систем". Ч.П. - Ки1 в: говариство "Знания" Укра1на, 1993. - 0.44.

3. Джалладова I.A. Досл1дхення erIйкостi розв"язк!в систем диференцШмх р!внянь з випадковими пер!одичнш.ш коефШента-ми. - Ки1в, 1993. - 10 с. - Деп. в ДН'ГЕ УчраТттг

28.06.93, № 1258 - Ук 33.

4. Валесв К.Г., Джалладова I.A. Про 3öi*HicTb негоду Л1на. -Ки1в, I9S2. - 7 с. - Деп. в УкгШТЕ! 24.06.92, » 925 -Ук 92.

5. Балеев К.Г., Джалладова I.A. Про розклад многочлена на множники. - Ки1в, 1992. - 12 с. - Деп. в Укр1НТЕ1 25.06.92, К 926 - Ук 92.

6. Валеев К.Г., Джалладова I.A. Чисельне досл1дхення стitf-кост! розв"язк!в систем л1н1йних диференц!йних рхвнянь з перi-одичними випадковими коеф1ц1ентами. - Ки1в, 1993. - 19 с. - Деп. в ДНТБ УкраТни. • 28.06.93, ff 1256 - Ук 93.

7. Валесв К.Г., ¿"алладова I.A. JÜHiflni диференцШн! р|Бняння з випадковими пер!одичними коеф!ц1ентами. - КиТв, 1993. - 13 с. - Деп. в ДН1'Б УкраТни 28.06.93, № 1257 - Ук 93.