Исследование структуры и динамики квантованных вихрей в сверхтекучем 3He тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.09 ВАК РФ

1 Введение

1.1 Общие сведения.

1.2 Вихри в сверхтекучем 3Не.

2 Экспериментальная методика

2.1 Вращающийся криостат.

2.2 Принцип ЯМР измерений.

2.3 Техника ЯМР.

3 Образование вихрей при быстром фазовом переходе

4 Двуквантовый вихрь в 3Не-А

5 Динамика и топологические переходы в вихревом листе в 3Не-А

6 Граница 3Не-А и 3Не-В во вращении

6.1 Неустойчивость границы и образование вихрей.

6.2 Структура пограничного вихревого слоя.

7 Турбулентность в 3Не-В

Макроскопические квантовые системы активно изучаются в современной физике. Многие свойства таких систем определяются наличием и поведением дефектов параметра порядка, из которых наиболее известны и универсальны линейные дефекты — вихри. Одной из самых интересных систем для экспериментального изучения подобных дефектов является сверхтекучий 3Не. Именно в 3Не был впервые обнаружен многокомпонентный параметр порядка, допускающий существование разнообразных типов дефектов [1, 2]. К настоящему времени методика получения и наблюдения в 3Не различных вихревых структур и планарных дефектов хорошо разработана, что открывает путь к изучению нетривиальных вопросов о механизмах образования разных типов дефектов, об их взаимодействии между собой и о переходах между различными структурами. Исследования в этом направлении и являлись целью настоящей диссертационной работы. Ввиду исключительной чистоты сверхтекучего 3Не и достаточно большой длины когерентности, все вопросы динамики дефектов могут быть изучены в 3Не в базовом виде, без влияния неоднородностей, вносимых примесями или шероховатыми стенками контейнера.

Вихри и другие дефекты в сверхтекучем 3Не давно и успешно изучаются на базе вращающегося криостата в Лаборатории низких температур Хельсинкского технологического университета. В настоящем докладе кратко сформулированы результаты исследований 1995-2003 гг., в получение которых автором внесен принципиально важный или определяющий вклад. В ходе этих исследований был открыт целый ряд новых явлений, имеющих значение для физики макроскопических квантовых систем в целом.

Краткое содержание работы. Сведения о параметре порядка в сверхтекучем 3Не, а также об известных особенностях структуры и динамики вихрей в этой системе приведены в следующих разделах введения.

В главе 2 дается описание основных экспериментальных методик. Здесь рассказывается о принципах наблюдения вихревых структур в 3Не с помощью ядерного магнитного резонанса, а также приводится описание экспериментальной схемы и поясняются детали, важные для достижения высокой чувствительности измерений.

Глава 3 посвящена изучению процесса образования вихрей в 3Не-В под воздействием облучения тепловыми нейтронами. Здесь приводятся качественные и количественные характеристики этого процесса, а также результаты численного моделирования, позволяющие сделать вывод о наиболее вероятном механизме образования вихрей.

В главе 4 рассказывается об измерениях с разрешением в один вихрь в 3Не-А. Полученные данные позволяют доказать, что вихри, наиболее распространенные в 3Не-А, переносят два кванта циркуляции и обладают непрерывным кором.

Глава 5 посвящена изучению динамики вихревого листа в 3Не-А. Здесь показано, как отклик листа на изменение скорости вращения определяется топологией его конфигурации в образце. Основное внимание уделено новому типу динамического отклика, который проявляется в переходах между различными конфигурациями листа и от вихрей к вихревым листам.

В главе 6 излагаются результаты исследований взаимодействия вихрей с границей между 3Не-А и 3Не-В. В ходе исследований были открыты неустойчивость границы и новый механизм образования вихрей в 3Не-В, связанный с этой неустойчивостью. Дополнительно были получены данные о структуре пограничного вихревого слоя.

В плаве 7 рассказывается о систематическом поиске условий существования турбулентности в 3Не-В. В результате был обнаружен новый тип перехода к турбулентности, контролируемый внутренним параметром сверхтекучей жидкости — взаимным трением.

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на 13 международных конференциях (1998-2003 гг.) в России, США, Японии, Германии, Финляндии, Испании, Греции, Чехии (в частности, ЬТ22, ЬТ23; 1998, 2000; иЬТ 1999, 2002) и на всероссийской конференции НТ-33 (пленарный доклад), а также на семинарах в ИФП РАН и университетах Хельсинки, Манчестера и Ланкастера. Результаты опубликованы в 23 статьях в ведущих научных журналах и 3 обзорах в сборниках публикаций.

1.1 Общие сведения

Легкий изотоп гелия 3Не остается жидким вплоть до абсолютного нуля температур при давлениях р < 34.3 бар. Атомы 3Не имеют ядерный спин 1/2 и образуют ферми-жидкость с температурой вырождения Тр & 1 К. Переход в сверхтекучее состояние происходит за счет образования куперовских пар, имеющих спин 5 = 1 и орбитальный момент Ь = 1. В зависимости от давления, температура перехода составляет Тс = 0.93. 2.49 мК и длина когерентности £о ^ 77. 12 нм при Т = 0. Нетривиальное спаривание приводит к сложной структуре параметра порядка, представляющего собой 3x3 матрицу комплексных чисел АТакой параметр порядка допускает существование нескольких сверхтекучих фаз, рис. 1. Отметим, что значительную роль в свойствах сверхтекучего 3Не играет спин-орбитальное взаимодействие (дипольное взаимодействие между спинами, входящими в куперовскую пару, зависящее от орбитального момента).

Наши измерения проводились в двух фазах: 3Не-А и 3Не-В. А фаза анизотропна в спиновом и орбитальном пространстве: проекция спина куперовских пар на направление (1 равна 0, а орбитальный момент пар направлен вдоль I. Параметр порядка в 3Не-А имеет вид [1, с. 81] AAdl^(mj + шу). (1)

Вектора ш, йи£ = шхп образуют ортогональную триаду. Щель в спектре квазичастиц анизотропна и имеет максимальное значение Ад в направлениях, перпендикулярных к I. Спин-орбитальное взаимодействие ориентирует I || Й. Все измерения, описанные в докладе, выполнены в полях Н > 3 мТ, в которых направление (1 зафиксировано 8 1 Н [1, с. 201].

В фаза в отсутствие магнитного поля псевдо-изотропна. Среднее значение спина и орбитального момента куперовских пар равно 0. Однако, существует вращение, описываемое матрицей Rflj(п, в) и параметризуемое осью п и углом 0, которое переводит орбитальный момент каждой куперов-ской пары в ее спин. Параметр порядка в 3Не-В имеет вид [1, с. 81] у = Две''<%;(п,0), (2) где <р — фаза параметра порядка и Дв — изотропная щель в спектре квазичастиц. Спин-орбитальное взаимодействие устанавливает в & 104°, оставляя п свободным.

С изменением параметра порядка в пространстве (текстурой) связана градиентная энергия. Для текстур, не минимизирующих дипольную энер

А А гию (например, I ft d), баланс дипольной и градиентной энергий приводит к характерной длине £d ~ Ю мкм [1, с. 201].

8 Заключение

В диссертации выполнен комплекс экспериментальных исследований вихрей в сверхтекучем 3Не и получены следующие основные результаты, которые одновременно являются положениями, выносимыми на защиту:

1. Существенно улучшена методика ЯМР спектроскопии дефектов параметра порядка в сверхтекучем 3Не; достигнуто разрешение в один вихрь в 3Не-А и в 3Не-В в широком диапазоне температур.

2. Исследован неравновесный фазовый переход второго рода из нормального 3Не в 3Не-В, вызванный поглощением теплового нейтрона в 3Не-В. Обнаружено образование в этом переходе различных типов дефектов, включая спин-массовые и обычные массовые вихри. Показано, что наиболее вероятным источником вихрей является универсальный механизм Киббла-Зурека.

3. В результате измерений с разрешением в один вихрь доказано, что вихри, образующиеся при вращении образца с 3Не-А, являются двукванто-выми.

4. Исследована динамика вихревого листа в 3Не-А. Открыт переход между топологически различными формами дефектов — от вихрей к вихревым листам, как отклик на динамическое воздействие. Показано, что вихревые листы в радиальной ориентации обеспечивают наиболее быстрый отклик 3Не-А на изменение скорости вращения и являются основной формой завихренности при неравномерном вращении.

5. Впервые во вращающемся образце стабилизирована граница между 3Не-А и 3Не-В. Показано, что граница раздела фаз является барьером для проникновения вихрей из А в В фазу. Открыта неустойчивость АВ границы в параллельном потоке по типу классической гидродинамической неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Открыт новый механизм образования вихрей в 3Не-В, связанный с неустойчивостью AB границы.

6. Открыт новый тип перехода к турбулентности в 3Не-В, контролируемый не внешними условиями (скоростью и геометрией потока), а внутренним параметром сверхтекучей жидкости — взаимным трением.

Результаты, полученные в диссертации, демонстрируют плодотворность исследований сверхтекучего 3Не как для тестирования уже существующих идей в физике макроскопических квантовых систем, так и как источника новых идей и явлений. Вне физики 3Не полученные результаты могут быть использованы, в частности, при построении аккуратной теории образования дефектов в неравновесных фазовых переходах и при планировании экспериментов с такими переходами в других системах, например, в сверхпроводниках; как указание на возможные экспериментальные способы получения вихревых листов в сверхпроводниках и бозе-конденсатах; при анализе образования вихрей и исчезновения вихревой решетки в бозе-конденсатах (поверхностная неустойчивость и турбулентность, соответственно); при планировании экспериментов по квантовой турбулентности в любых системах; при теоретическом анализе роли нормальной компоненты и взаимного трения в квантовой турбулентности; для создания лабораторного аналога черной дыры [41].

Роль 3Не в междисциплинарных исследованиях в последнее время существенно выросла, что было отмечено Нобелевским комитетом при присуждении Нобелевской премии по физике за 2003 год [42]. Без сомнения, исследования сверхтекучего 3Не и в дальнейшем останутся актуальной и переспективной областью физики.

9 Публикации по теме диссертации

Настоящая диссертация основана на следующих публикациях:

П1. V.M.H. Ruutu, V.B. Eltsov, A.J. Gill, T.W.B. Kibble, M. Krusius, Yu.G. Makhlin, В. Plaçais, G.E. Volovik, and Wen Xu. Vortex formation in neutron-irradiated superfluid 3He as an analogue of cosmological defect formation - Nature, 1996, v. 382, N 6589, pp. 334-336.

112. V.M. Ruutu, V.B. Eltsov, M. Krusius, Yu.G. Makhlin, B. Plaçais, and G. E. Volovik. Defect Formation in Quench-Cooled Superfluid Phase Transition - Phys. Rev. Lett., 1998, v. 80, N 7, pp. 1465-1468.

113. V.B. Eltsov, V.V. Dmitriev, M. Krusius, J.J. Ruohio, and G.E. Volovik. New modes of stable spin precession in superfluid 3He-B — J. of Low Temp. Phys., 1998, v. 113, N 5-6, pp. 645-650.

114. V.V. Dmitriev, V.B. Eltsov, M. Krusius, J.J. Ruohio, and G.E. Volovik. Superflow-stabilized nonlinear NMR in rotating 3He-B — Phys. Rev. B, 1999, v. 59, N 1, pp. 165-168.

115. V.B. Eltsov and M. Krusius. Topological defects in 3He superfluids — in Topological Defects and the Non-Equilibrium Dynamics of Symmetry Breaking Phase Transitions, eds. Yu. M. Bunkov and H. Godfrin, Kluwer, Amsterdam, 2000, pp. 325-344.

116. R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, M. Krusius, J.J. Rouhio, R. Schanen, and G.E. Volovik. Double-quantum vortex in superfluid 3He-A — Nature, 2000, v. 404, pp. 471—473.

117. R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, M. Krusius, J.J. Ruohio, and R. Schanen. NMR measurement of quantized vortex lines in rotating 3He-A — Physica B, 2000, v. 284-288, pp. 250-251.

118. V.B. Eltsov, R. Blaauwgeers, M. Krusius, J.J. Ruohio, and R. Schanen. Dynamic response of the equilibrium vortex sheet in rotating 3He-A — Physica B, 2000, v. 284-288, pp. 252-253.

119. R. Schanen, R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, M. Krusius, and J.J. Ruohio. NMR measurement of quantized vortex lines in rotating 3He-B — Physica B, 2000, v. 284-288, pp. 254-255. niO. J. Kopu, R. Shanen, R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, M. Krusius, J.J. Ruohio, and E.V. Thuneberg. NMR line shape of rotating 3He-B at large counterflow velocity - J. of Low Temp. Phys., 2000, v. 120, pp. 213-232. nil. V.B. Eltsov, T.W.B. Kibble, M. Krusius, V.M.H.Ruutu, and G.E. Volovik. Composite Defect Extends Analogy between Cosmology and 3He — Phys. Rev. Lett., 2000, v. 85, pp. 4739-4742.

1112. V.B. Eltsov. Numerical Simulations of the Multiply-connected Vortex Sheet in 3He-A - J. of Low Temp. Phys., 2000, v. 121, pp. 387-392.

1113. V.B. Eltsov, R. Blaauwgeers, M. Krusius, J.J Rouhio, and R. Schanen. NMR Spectrocopy of the Double-Quantum Vortex in Superfluid 3He-A — J. of Low Temp. Phys., 2001, v. 124, pp. 123-146.

1114. A. Finne, L. Grônberg, R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, G. Eska, M. Krusius, J.J. Ruohio, R. Schanen, and I. Suni. Superconducting Nb-film lc-resonator - Rev. of Sci. Instr., 2001, v. 72, N 9, pp. 3682-3686.

1115. R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, M. Krusius, J. Ruohio, and R. Schanen. Quantized vorticity in superfluid 3He-A: Structure and dynamics — in Quantized vortex dynamics and superfluid turbulence, eds. C.F. Barenghi, R.J. Donnely, and W.F. Vinen, Springer, Berlin, 2001, pp. 399-420.

1116. V.B. Eltsov, R. Blaauwgeers, N.B. Kopnin, M. Krusius, J.J. Ruohio, R. Schanen, and E.V. Thuneberg. Transitions from Vortex Lines to Sheets: Interplay of Topology and Dynamics in an Anisotropic Superfluid — Phys. Rev. Lett., 2002, v. 88, N 6, pp. 065301-(l-4).

1117. G.E. Volovik, V.B. Eltsov, and M. Krusius. What can superconductivity learn from quantized vorticity in 3He superfluids — in Vortices in Unconventional Superconductors and Superfluids, eds. R.P. Huebener, N. Schopohl, and G.E. Volovik, Springer, Berlin, 2002, pp. 21-48.

1118. R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, G. Eska, A.P. Finne, R.P. Haley, M. Krusius, J.J. Ruohio, L. Skrbek, and G.E. Volovik. Shear Flow and Kelvin-Helmholtz Instability in Superfluids - Phys. Rev. Lett., 2002, v. 89, N 15, pp. 155301-(l-4).

1119. R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, G. Eska, A.P. Finne, R.P. Haley, M. Krusius, L. Skrbek and G.E. Volovik. AB interface in rotating superfluid 3He: the first example of a superfluid shear-flow instability — Physica B, 2003, v. 329-332 part 1, pp. 57-61.

1120. M. Krusius, A.P. Finne, R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov and G.E. Volovik. Vortex line connections across the AB interface in superfluid 3He — Physica B, 2003, v. 329-333 part 1, pp. 91-92.

П21. R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, A.P. Firme, M. Krusius and J.J. Ruohio. Magnetically stabilized AB interface in rotating superfluid 3He — Physica B, 2003, v. 329-333 part 1, pp. 93-95.

П22. V.B. Eltsov, R. Blaauwgeers, A.P. Finne, M. Krusius, JJ. Ruohio and G.E. Volovik. Instability of AB interfaces of different shapes in rotating 3He — Physica B, 2003, v. 329-333 part 1, pp. 96-97.

П23. L. Skrbek, R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, A.P. Finne, N.B. Kopnin and M. Krusius. Vortex flow in rotating superfluid 3He-B — Physica B, 2003, v. 329-333 part 1, pp. 106-107.

П24. R. Hânninen, R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, A.P. Finne, M. Krusius, E.V. Thuneberg, and G.E. Volovik. Structure of surface vortex sheet between two rotating 3He superfluids — Phys. Rev. Lett., 2003, v. 90, N 22, pp. 22530 l-(l-4).

П25. R. Blaauwgeers, S. Boldarev, V.B. Eltsov, A.P. Finne, and M. Krusius. Superfluid He in rotation: Single-vortex resolution and requirements on rotation - J. Low Temp. Phys., 2003, v. 132, pp. 263-279.

П26. A.P. Finne, T. Araki, R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, N.B. Kopnin, M. Krusius, L. Skrbek, M. Tsubota, and G.E. Volovik. An intrinsic velocity-independent criterion for superfluid turbulence — Nature, 2003, v. 424, pp. 1022-1025.

10 Благодарности я горячо благодарен Матти Крусиусу, руководителю экспериментальной группы РОТА. Данные исследования были бы невозможны без опоры на огромный опыт изучения топологических дефектов в сверхтекучем 3Не, накопленный под руководством Матти Крусиуса. я признателен Матти за вовлечение меня в эту деятельность, плодотворную работу бок о бок и за возможность самостоятельно выбирать направления исследований.

Мне посчастливилось работать в замечательных научных организациях — Институте физических проблем им. П.Л. Капицы в Москве и Лаборатории низких температур в Эспоо. Я глубоко признателен директору ИФП

А.Ф. Андрееву и директору ЛНТ М. Пааланену за предоставленную возможность проводить исследования, не думая о проблемах финансирования, и возможность подготовить данную диссертацию.

Я глубоко благодарен А.Я. Паршину, научному руководителю моей кандидатской диссертации, за обучение меня проведению качественных экспериментальных исследований, а также за неослабевающий интерес к моей судьбе и деятельную поддержку.

Я искренне признателен моим коллегам и соавторам. Я получил неоценимую помощь от теоретиков Г.Е. Воловика, Н.Б. Копнина и Э. Тунеберга. Особое спасибо Г.Е. Воловику за многочисленные обсуждения экспериментальных результатов в режиме «реального времени», энтузиазм, оригинальные идеи и за пропаганду исследований 3Не как ключа ко многим загадкам Вселенной. Я благодарен толковым и трудолюбивым аспирантам ЛНТ: В. Рууту, Я. Руохио, Р. Шанену, Р. Блаугерсу и А. Финне, за весь тот труд, что они вложили в нашу совместную работу. Я с удовольствием работал вместе с С.Т. Болдаревым, В.В. Дмитриевым, Т. Кибблом, Ю. Копу, Ю.Г. Махлиным, Б. Пласэ, Л. Скрбеком, Р. Хейли, Р. Хянниненом, М. Цуботой, Г. Эской. Я многому научился у своих коллег.

С большой благодарностью я вспоминаю беседы и дискуссии с А. Бабкиным, К. Баренги, Ю. Буньковым, Дж. Вайненом, Т. Вачаспати, А. Головым, Т. Кита, В. Минеевым, Дж. Пикеттом, Е. Подоляком, А. Себедашем, Э. Сониным, С. Сосиным, Г. Твалашвили, И. Тодощенко, Ш. Фишером, И. Фоминым, Г. Холлом, В. Цепелином, В. Шопе, 3. Яну. Беседы на научные темы были весьма полезны для меня, а на ненаучные — служили источником хорошего настроения.

Я благодарен всем без исключения сотрудникам ИФП и ЛНТ за доброжелательность, помощь в повседневной работе и поддержку, которую я постоянно ощущал.

1. D. Vollhardt and Р. Wolfle, The Superfluid Phases ofHelium-3, (Taylor & Francis, London, 1990).

2. G.E. Volovik, The Universe in a Helium Droplet, (Clarendon Press, Oxford, 2003).

3. D.S. Greywall, Phys. Rev. В 33, 7520 (1986); Y.H. Tang, Inseob Hahn, H.M. Bozler, and C.M. Gould, Phys. Rev. Lett. 67, 1775 (1991).

4. R.P. Feynman, in Progress in Low Temperature Physics, Vol. I, edited by C.J. Gorter, (North-Holland, Amsterdam, 1955), p. 17.

5. M.M. Salomaa and G.E. Volovik, Rev. Mod. Phys. 59, 533 (1987).

6. N.D. Mermin and T.-L. Ho, Phys. Rev. Lett. 36, 832 (1976).

7. J.M. Karimaki and E.V. Thuneberg, Phys. Rev. В 60, 15290 (1999).

8. U. Parts, J.M. Karimaki, J.H. Koivuniemi, M. Krusius, V.M. Ruutu, E.V. Thuneberg, and G.E. Volovik, Phys. Rev. Lett 75, 3320 (1995).

9. Л.Д. Ландау и И.М. Лифшиц, Доклады АН СССР 100, 669 (1955).

10. V.M.H. Ruutu, U. Parts, J.H. Koivuniemi, N.B. Kopnin, and M. Krusius, J. Low. Temp. Phys. 107, 93 (1997).

11. C.B. Иорданский, ЖЭТФ 49, 225 (1965).

12. R.J. Donnelly, Quantized Vortices in Helium II, (Cambridge University Press, Cambridge UK, 1991), p. 90.

13. T.D.C. Bevan, A.J. Manninen, J.B. Cook, H. Alles, J.R. Hook, and H.E. Hall, J. Low Temp. Phys. 109, 423 (1997).

14. P.J. Hakonen, O.T. Ikkala, S.T. Islander, Т.К. Markkula, P.M. Roubeau, K.M. Saloheimo, D.I. Garibashvili, J.S. Tsakadze, Cryogenics 23, 243 (1983).

15. P.J. Hakonen, M. Krusius, M.M. Salomaa, R.H. Salmelin, J.T. Simola, A.D. Gongadze, G.E. Vachnadze, and G.A. Kharadze, J. Low Temp. Phys. 76, 225 (1989).

16. Yu.M. Bunkov, in Progress in Low Temperature Physics, Vol. XIV, edited by W.P. Halperin, (Elsevier, Amsterdam, 1995), p. 69.

17. V.V. Dmitriev, I.V. Kosarev, M. Krusius, D.V. Ponarin, V.M.H. Ruutu, and G.E. Volovik, Phys. Rev. Lett. 78, 86 (1997).

18. Y. Kondo, J.H. Koivuniemi, J.J. Ruohio, V.M. Ruutu, and M. Krusius, Czech. J. Phys. 46, Suppl. S5, 2843 (1996).

19. T.W. Kibble, J. Phys. A 9, 1387 (1976).

20. W.H. Zurek, Nature 317, 505 (1985).

21. I.S. Aranson, N.B. Kopnin, and V.M. Vinokur, Phys. Rev. Lett. 83, 2600 (1999).

22. T. Vachaspati and A. Vilenkin, Phys. Rev. D 30, 2036 (1984).

23. C. Bauerle, Yu.M. Bunkov, S.N. Fisher, H. Godfrin, and G.R. Pickett, Nature 382, 332 (1996).

24. Yu.M. Bunkov and O.D. Timofeevskaya, Phys. Rev. Lett. 80,4927 (1998).

25. P.J. Hakonen, O.T. Ikkala, S.T. Islander, O.V. Lounasmaa, T.K. Markkula, P. Roubeau, K.M. Saloheimo, G.E. Volovik, E.L. Andronikashvili, D.I. Garibashvili, and J.S. Tsakadze, Phys. Rev. Lett. 48, 1838 (1982).

26. J.R. Kirtley, C.C. Tsuei, M. Rupp, J.Z. Sun, L.S. Yu-Jahnes, A. Gupta, M.B. Ketchen, K.A. Moler, and M. Bhushan, Phys. Rev. Lett. 76, 1336 (1996).

27. H.K. Seppala and G.E. Volovik, J. Low Temp. Phys. 51, 279 (1983).

28. U. Parts, E.V. Thuneberg, G.E. Volovik, J.H. Koivuniemi, V.M.H. Ruutu, M. Heinila, J.M. Karimaki, and M. Krusius, Phys. Rev. Lett. 72, 3839 (1994).

29. G. Dvali, H. Liu, and T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 80, 2281 (1998).

30. M. Krusius, E.V. Thuneberg, and U. Parts, Physica B 197, 376 (1994).

31. JI.Д. Ландау и И.М. Лифшиц, Гидродинамика, изд. 4-е, (Москва, Наука, 1988), с. 345.

32. Г.Е. Воловик, Письма в ЖЭТФ 75, 491 (2002).

33. W.F.Vinen and J.J. Niemela, J. Low Temp. Phys. 128, 167 (2002).

34. J.T. Tough, in Progress in Low Temperature Physics, vol. VIII, ed. D.F.Brewer, (North-Holland, Amsterdam, 1982), pp. 133-220.

35. J. Maurer and P. Tabeling, Europhys. Lett. 43, 29 (1998).

36. S.R. Stalp, L. Skrbek, and R.J. Donnelly, Phys. Rev. Lett. 82, 4831 (1999).

37. S.N. Fisher, A.J. Hale, A.M. Guenault, and G.R. Pickett, Phys. Rev. Lett. 86, 244 (2001).

38. Г.Е. Воловик, Письма в ЖЭТФ 78, 1021 (2003).

39. N.B. Kopnin, arXiv:cond-mat/0309708.

40. C.F. Barenghi, R.J. Donnelly, and W.F. Vinen, Phys. Fluids 28, 498 (1985).

41. Г.Е. Воловик, Письма в ЖЭТФ 76, 296 (2002).42. http://www.nobel.se/physics/laureates/2003/public.html