Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко

Тулкина, Анна Николаевна

Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Тулкина, Анна Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко»

Автореферат диссертации на тему "Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

4852560

ТУЛКИНА Анна Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ НАНООБЪЕКТ, НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ СЛ. ТИМОШЕНКО

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела.

1 СЕН 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

4852560

Работа выполнена на кафедре теории упругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доцент ПАВИЛАЙНЕН Вольдемар Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ФИЛИППОВ Сергей Борисович (Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат физико-математических наук, доцент ПОМЫТКИН Сергей Павлович (Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров)

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится "М " кит^сЖ! 2011 г. в часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторский и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " /Л " 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

КустоваЕ.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время является актуальной задача определения механических характеристик нанообъектов, представляющих собой микроразмерные стержни. При экспериментальных исследованиях наблюдается несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро - и макроуровнях (работы Кривцова A.M., Морозова Н.Ф., Быкова Д.Л., Коновалова Д.Н. и др.) В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта.

Имеет место принципиальное отличие условий экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование.

Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными устройствами (в частности, с кантилевером АСМ). Ее решению посвящен ряд работ, основанных на применении классической теории колебаний стержней Бернулли - Эйлера.

Цель работы состоит в разработке теоретических методов определения упругих характеристик нанообъектов на основе теории С.П. Тимошенко, сравнение результатов с результатами, полученными по теории Бернулли - Эйлера.

Научная новизна. Задача о колебаниях системы кантилевер - исследуемый нанообъект, решение которой построено на основе классической теории Бернулли -Эйлера, опубликована в статье профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов», СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 10. стр. 74-80.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории С.П. Тимошенко. Научная новизна содержащихся в диссертации результатов состоит в учете угла поворота поперечного сечения и деформаций сдвига, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В работе построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер - исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта.

Результаты, выносимые на защиту.

1) Выбор разрешающей системы уравнений свободных и вынужденных колебаний двух сопряженных консольных стержней с одинаковыми операторами в левых частях позволил получить рациональные аналитические решения.

2) Построены частотные уравнения в задаче о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер - исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний на основе теорий Бернулли - Эйлера и Тимошенко. Дан анализ спектров собственных частот системы.

3) Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для обеих теорий, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Дан анализ спектров частот системы при вынужденных колебаниях, полученных при варьировании исходных геометрических параметров элементов системы.

Теоретическая ценность работы заключается в построении уравнений свободных и вынужденных колебаний системы кантилевер - исследуемый нанообъект и получении точных решений для уравнений частот, форм свободных и вынужденных колебаний, а также для величины прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил.

Получены числовые результаты и дан их анализ. При этом варьируются геометрические параметры исследуемого нанообъекта, что по результатам расчета показывает влияние изменения указанных выше параметров исследуемого нанообъекта на количественную и качественную характеристику картины колебаний. В этом состоит практическая ценность работы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедрах теории упругости и теоретической механики математико-механического факультета СПбГУ, на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (Computer Methods in Continuum Mechanics) в Санкт-Петербургском государственном университете путей сообщения (СПбГУПС), на международной конференции по механики «V Поляховские чтения» (СПбГУ, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы. Список приведен в конце автореферата. Работа [1] опубликована в журнале из перечня ВАК. Работы [2] - [4] опубликованы в соавторстве. В работах [2] - [4] научному руководителю принадлежат общая постановка задачи и указания на идеи исследования, а их детальная реализация принадлежит диссертанту.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет - 110 страниц, включая 35 рисунков, 18 таблиц и список цитированной литературы из 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулирована цель работы.

Отмечено, что основной моделью балки, используемой в расчетах, является предложенная в XVIII веке модель балки Бернулли - Эйлера. Она довольно проста и обеспечивает достаточную точность решения простых инженерных задач, и поэтому она используется наиболее часто. Однако опыты показывают, что частоты, полученные в рамках теории Бернулли - Эйлера, несколько завышены.

Другая теория, уточняющая теорию Бернулли - Эйлера, за счет учета влияния в уравнениях равновесия и соотношениях упругости инерционных нагрузок при повороте элемента поперечного сечения и деформации сдвига получила название теории Тимошенко.

Задача, рассматриваемая в диссертации, представляет практический интерес. Рассмотренная в работе система стержней является механической моделью сканирующий

зонд (кантилевер) - исследуемый нанообъект, простейшая схема которой представлена на Рис.1.

Рис. 1. Механическая модель системы кантилевер - исследуемый объект.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории С.П. Тимошенко, в которой учитываются деформации сдвига, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

В настоящее время актуальной является задача экспериментального определения механических характеристик нанообъектов. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро - и макроуровнях отмечали многие исследователи (Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Иванова Е.А., Дунаевский М.С.). В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ). Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд - кантилевер. Стандартные промышленные кантилеверы имеют габаритные размеры порядка 200 х 35 х 1,5 мкм и резонансные частоты порядка 10 - 400 кГц; радиус кривизны конца иглы меняется в интервале 10 - 50 нм. Игла (пирамидка) устанавливается на свободном конце измерительной консоли. Пирамидки изготавливают из кремния или из более прочного материала - нитрида кремния (Si3N4).

При измерении частот исследуемого объекта с помощью АСМ возникает перераспределение собственных частот колебаний системы кантилевер - исследуемый нанообъект между собственными частотами каждого из них в отдельности. Как было отмечено в работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д А., академика Морозова Н.Ф., характер смещения спектра существенно зависит от расстояния между острием иглы сканирующего зонда и поверхностью нанообъекга, так как это равносильно изменению «жесткости» связи полевого взаимодействия.

Это указывает на принципиальное отличие условий для экспериментов с нанообъектами от условий экспериментов с макрообъектами. При исследовании макрообъектов размеры измерительных приборов (например, тензодатчиков) существенно меньше размеров исследуемого объекта. При изучении объектов наноразмерного масштабного уровня используется микроразмерное оборудование. Поэтому большое значение приобретает задача анализа взаимодействия нанообъектов с измерительными приборами. В работе Ивановой Е.А., Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф. эта проблема обсуждается применительно к задаче экспериментального определения упругих характеристик нанообъектов с помощью АСМ и дана реализация известной в классической теории методики определения резонансных и «антирезонансных» частот. Была предложена механическая модель системы кантилевер - исследуемый объект (Рис. 1.), в которой полевое взаимодействие между кантилевором и исследуемым нанообъектом моделируется линейной пружиной с жесткостью С, это соответствует линеаризации потенциала Леннарда - Джонса в области статического равновесного состояния. Кантилевер вдали от исследуемого объекта занимает горизонтальное положение, при приближении к объекту кантилевер начинает деформироваться, но на определенном расстоянии от него снова занимает горизонтальное положение - это и есть статическое равновесие. В отсчетной конфигурации стержни считаются недеформированными, а пружина - ненапряженной.

В работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф. было отмечено, что в окрестности положения статического равновесия жесткость связи между кантилевером и исследуемым объектом достаточно большая, то есть С » С1, где С - жесткость кантилевера, С\ - жесткость связи. По этой причине определить жесткость связи С из статических экспериментов крайне трудно - разность между перемещением конца кантилевера и исследуемого объекта оказывается в пределах погрешности измерений. При жесткости связи С ~ С] или С « С1 проводить измерения сложно, так как эта область находится на неустойчивом участке зависимости сила -перемещение.

На основании приведенного обзора в настоящее время актуальными и требующими дальнейшего исследования является разработка теоретической базы для решения задач о свободных и вынужденных колебаниях системы стержней. Решение первой задачи будет ответом на вопрос определения упругих модулей исследуемого нанобъекта по частотам системы, а решение второй задачи позволит разработать условия эксперимента, при которых из спектра системы можно выделить собственные частоты нанообъекта. Эти задачи были решены на основе теории Бернулли - Эйлера в работе профессора Ивановой Е.А., профессора Индейцева Д.А., академика Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов», СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 10. стр. 74-80.

В предлагаемой диссертации на основе теории С.П. Тимошенко построены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер - исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний. Далее рассматривается задача о вынужденных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Полученные решения сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли - Эйлера.

В первой главе дан расчет частот и форм свободных и вынужденных колебаний консольного стержня на основе теорий Бернулли - Эйлера и Тимошенко. Полученное решение иллюстрируется числовыми примерами, графиками и таблицами. Дан анализ полученных результатов.

В первом параграфе рассматривается задача о свободных колебаниях балки. Рассмотрим балку длины / с защемленным левым и свободным правым концом, ось которой лежит в вертикальной плоскости симметрии хОу (Рис. 2) и направлена по оси Ох. Положительные направления изгибающего момента М и поперечной силы 2 в сечениях х и х+сЬс, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки д(х,1) и распределенного инерционного момента т(х,1) при повороте элемента показаны на Рис. 2.

т(х,0

ЕШВ

я(х,0

— I — 0 <х<1

М м+Ам

Рис. 2. Система координат, действующие нагрузки.

Уравнения равновесия малого элемента балки имеют вид

М_е+И(,,0=о, ¥ = д(хЛ

дх ох

отличающийся от уравнений С.П. Тимошенко только знаками некоторых слагаемых вследствие принятого противоположного направления оси Оу (Рис. 2). Если у = у(х,1) -уравнение изогнутой оси балки, то с/ (х,1) и т (х,1) определяется формулами

в которых р, Р, J - соответственно плотность материала стержня, площадь и момент инерции его поперечного сечения.

Приводится решение в теории Бернулли - Эйлера в кратком изложении, что необходимо для его обобщения на дальнейшие задачи и сравнения получаемых результатов.

Уравнение равновесия в перемещениях

решение которого должно удовлетворять граничным условиям

х(0) = Х,(0)=е(1)=Л/(1)=0.

Решая эту задачу, находим частотное уравнение, известное в литературе (С.П.Тимошенко; Пономарев С.Д., Бидерман В Л. и др.)

1+СО811&СО5£ = 0. (1)

Значения к из частотного уравнения можно найти численным методом, после чего определяется спектр собственных круговых частот по формуле:

где / -номера корней частотного уравнения (1) и соответствующей собственной частоты.

Частотное уравнение на основе теории Тимошенко. При учете инерционных нагрузок и деформаций сдвига уравнения равновесия элемента балки, сохраняют свой вид, а угол поворота поперечного сечения в теории С.П. Тимошенко записывается в виде суммы:

ду дх

где у - угол сдвига, а. ц/ - угол поворота, определяющий величину изгибающего момента (касательные напряжения, соответствующие углу у, момента не вызывают).

Получена система уравнений равновесия в перемещениях с искомыми функциями у(х, I) И 1/1 (х,1)

^ (2)

дх1 п и* Г) ^ 81гдх п{дх2дх) 81

решение которой должно удовлетворять граничным условиям:

х(о)=1р(о)=е(0=м(1)=о.

Кинематические граничные условия формулируются для перемещений X и углов повора У, это обеспечивает выполнение закона сохранения энергии и теоремы взаимности работ, обоснование этого приводится в работе В.И. Сливкера. Решая систему (2), получаем частотное уравнение

Л + ВсозЬ^соз^ + СзтЬ^БШ^^О. (3)

Здесь для краткости введены обозначения

Л = „ + к'а\+Гг\гг (4)

С = ~Y\Yi [fi2 ~~ Yi - 2а,, + 2i4œj, (6)

, 4 plW

к а =—-.

Нетрудно показать, что частотное уравнение, полученное в теории Тимошенко, в частном случае неучета деформаций сдвига и угла поворота поперечного сечения переходит в соответствующее частотное Бернулли - Эйлера (1 ).

Во втором параграфе рассматриваются численные примеры. Исследуется влияние варьирования геометрических параметров стержня на спектры собственных частот. Полученные результаты согласуются с результатами в публикациях по теории колебаний, где отмечено, что в модели балки Тимошенко вклад от учета деформаций сдвига и инерции поворота поперечного сечения площади возрастает с ростом высота h и уменьшением длины / (Босаков C.B., Щедько Н.С.; Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н.).

Во второй главе исследуются свободные колебания сопряженной системы двух стержней. Сначала рассматривается система стержней, соединенных шарнирно, а потом в нее вводится упругое сопряжение. Получены частотные уравнения системы, уравнения для прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил для каждого элемента системы на основе теорий Бернулли - Эйлера и Тимошенко. Полученное решение иллюстрируется числовыми примерами, графиками и таблицами. Дан анализ полученных результатов.

В первом параграфе исследуется система двух шарнирно сопряженных стержней. Правый конец первого стержня xi = li шарнирно соединен с правым концом второго стержня х2 = h, противоположные концы обоих стержней жестко заделаны (Рис. 3). Положительные направления изгибающего момента Л/, и поперечной силы Q, в сечениях х, и xi+dxi, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки q, (xt,i') и распределенного инерционного момента mt (xt,t) при повороте элемента показаны на Рис. 3, где / - номер стержня (/ =1,2), со - собственная круговая частота колебаний системы.

Ул

шш шшз

mi(xi,t) mi(xi,t)

ШШ) шш

qi(xx,t) qi(xi,t)

0<Х1</, и<Х1<0 М1 М1+4М1 М2 Мг+аМг

1СЯ151 К!

21 <ь1 е^е. 02

Рис. 3. Система координат и действующие нагрузки.

Уравнения равновесия малого элемента / - го стержня (неизменные для всех рассматриваемых в дальнейшем задач) имеют вид

8M¡ ( ч . 5Q / ч (7)

ex, ñxf

отличающийся от уравнений С.П. Тимошенко только знаками некоторых слагаемых вследствие принятого противоположного направления осей Оу (Рис. 3).

Нагрузки q¡ (x¡,t) и m¡ (x¡,t) определяются формулами дг 53

в которых y¡ = v/x - уравнение изогнутой оси / - го стержня, p¡, F¡, J¡ — соответственно плотность материала стержня, площадь и момент инерции его поперечного сечения.

Решение задачи на основе теории Бернулли - Эйлера. Из уравнений равновесия (7) с учетом распределенной нагрузки q¡ (х ¡,t), после применения метода Фурье и перехода к безразмерной координате t, = x/l¡ (О < ¿ < 1), получаем уравнение колебаний

-k*X¡ = 0, где введено обозначение к* = ^^-со1!*.

3Z E¡J¡

Общие решения уравнений имеют вид

X¡(4) = A¡ cosh kg + B¡ sinh kg+С, cos kg+D¡ sin kg и должны удовлетворять граничным условиям

х,(о)=х/(о)=л/,(1)=о

и условиям кинематического и статического сопряжения на концах стержней {= 1 соответственно

*,(1)=-*2(1), а0)=а(0- (9)

После определения из граничных условий всех коэффициентов через А\, А г из условий сопряжения (9) получаем систему для составления частотного уравнения, которое после преобразования примет вид

Е J

—LJ- k¡3(l + cosh k¡ cos kt Xcosh k2 sin кг - sinh k2 cos k2)+

1'ej - (10)

+ —í5-2-¿33(1+cosh k2 cosk2\coshktsmk¡-sinh k, cos/r,)= 0. h

В частном случае одинаковых стержней (к\ = кг - к) частотное уравнение (10) распадается на два частотных уравнения

1 + cosh к cos к = 0, cosh к sin к - sinh к cos к = 0, первое из которых соответствует частотному уравнению (1) в задаче о свободных колебаниях одного стержня, один конец которого жестко заделан, а второй свободен, а второе - частотному уравнению в задаче о свободных колебаниях одного стержня, один конец которого жестко заделан, а второй шарнирно оперт (Пономарев С.Д., Бидерман B.JI. и др.).

После определения коэффициента^ через произвольный коэффициент Л] из любого условия сопряжения стержней, получены расчетные формулы для амплитудных значений прогибов стержней, изгибающих моментов и поперечных сил.

Решение задачи на основе теории Тимошенко. При учете инерционных нагрузок и деформаций сдвига уравнения равновесия элемента стержня сохраняют свой вид (7), а угол поворота поперечного сечения в теории Тимошенко записывается в виде суммы:

ду, .

ÜXj

где y¡ - угол сдвига /-го стержня, ai/// - угол поворота, определяющий величину изгибающего момента (касательные напряжения, соответствующие углу y¡, момента не вызывают). Тогда связь момента M¡ и угла поворота y/¡ представима формулой

дх,

а соотношение между поперечной силой (2, и углом сдвига у„ полученное по формуле Журавского, будет иметь вид

п СД(ду, ) а=—— я-V/ •

Здесь О, - модуль сдвига / - го стержня, и - коэффициент формы поперечного сечения, имеющий значение п = 3/2 в случае прямоугольника (Гастев В.А.). Знак «минус» в формуле необходим для соблюдения равенства знаков в левой и правой частях формулы, так как при положительных значениях поперечной силы ()1 (Рис. 3) угол сдвига в плоскости х ¡О ¡у , будет отрицательным. Такой же вид имеет аналогичная формула в работе (Пономарев С.Д., Бидерман В.Л. и др.).

Система уравнений равновесия в перемещениях с искомыми функциями у^х^) и у//х,,г) дх, п ^ дх1

-p,J,ArL- = 0, (ш

и' di дх,

G.F. ( я2

ду, ду/, дх.

+ = о.

(12)

Исключая из этой системы функцию \¡/,(x¡,t), получаем разрешающее уравнение относительно функции y¡(x¡,t), а исключая y¡(x¡,t) - разрешающее уравнение относительно V¡(xi,t).

дАу,. (p¡ прЛ д*у, p¡F, д2у, _ -

дх,л [Т:+~G~)dfdxl + ljt di1 ~ ' (13)

aV, f р, , прЛ ДУ, , р,Р, аУ, _ 0 (И)

дх,4 [е, G, )д(2дх,2 E,J, di1 Операторы для функций y,(xht) и ц/,(х,, t) в левых частях одинаковые, что позволяет выбрать одинаковую общую фундаментальную систему решений coshy^, sinh cos./2í, smy2¿;, cosh¿>,£, sinhiJ,^, cos¿24, sin<J2f.

Общие решения

= A¡ cosh y^ + B, sinh y¡£ + C, eos y£ + Z), sin /í, cosh + B, sinh уЛ + С, cos y2<f + D¡ sin y2¿¡, X2(4)= A2 cosh ¿>,<f + B2 sinh + C2 eos S2£ + D2 sin (í) = A2 cosh S^ + B2 sinh S,¿; + C2 eos + D2 sin S2%. должны удовлетворять граничным условиям

х,(о)=чу(о)=л/,(1)=о

и условиям кинематического и статического сопряжения (6).

Связь между коэффициентами A:,B¡,C¡,D¡,Al,Bl,C„Dln¡vi стержней определяется из второго уравнения равновесия (12) и граничных условий, после этого из условий сопряжения получаем систему для составления частотного уравнения, которое окончательно имеет вид

Elí2 I 2 Y\ ^—^Ci+Bcosh^cos^ + Csinh^sin^)* h Vi -a„JVi + an)

* К (ri2" ai i )c°sh sin y2 - y, (r22 + a,, )sinh eos y2}+ (15)

+ El,Jy' i?2 ^ vf'J L \(A + BШ5Ь^cos^ + CsinhЛsinri)* h $ -b„\S2 +b„)

* -6u)cos'1^i sinS2 -S](<5j2 + ,)sinh¿i, cos<J2}= 0. где для краткости введены обозначения,

W -«иДГ: +ап)

C = -r1rí[r,2-rí2-2a„+2i,4a,J, (¡8)

A = S?)¿¡?-bu + k1ta2\+S2^+bn-k1ta1\,

1Л К32 +Ьп)

С = ~SlSl [í,2-ó'22- 2 b,, + lk2a2 J,

I h,1 ,, ptfco1 or, =--y>

(20) (21)

12 Г ' ' E

(22)

В частном случае одинаковых стержней (Е\ = Е2 = Е, у\ = 5ь у2 = 5г) частотное уравнение (15) распадается на два частотных уравнения, А + В cosh y¡ cos уг + С sinh sin у2 = 0,

Г г (г/ - а,, )cosh у, sin у2 - yt (у,2 + а,, )sinh у, cos у2 = 0, первое из которых соответствует частотному уравнению (3) в задаче о свободных колебаниях одного стержня, у которого один конец защемлен, а второй свободен, а второе - частотному уравнению в задаче о свободных колебаниях одного стержня, у которого один конец защемлен, а второй шарнирно оперт.

Нетрудно показать, что уравнение, полученное на основе теории Тимошенко в частном случае неучета деформаций сдвига и угла поворота поперечного сечения, переходит в уравнение, полученное на основе теории Бернулли - Эйлера.

Из кинематического условия сопряжения определена связь между коэффициентами A i и Аг и получены расчетные формулы для амплитудных значений прогибов стержней, изгибающих моментов и поперечных сил.

В параграфе 2 получены спектры собственных частот и формы свободных колебаний системы двух шарнирно сопряженных упругим элементом стержней.

Введем в ранее рассмотренную систему упругий элемент с коэффициентом податливости с, как показано на Рис.4.

ШШ1

m¡(Xi,t) m¡(xíi)

НИН шш

1-м

h(Xi(0 IУ

04Xi(l, _ ^ _

\ Я

Mi U,*dU¡ Qi Mi Mi+iMi

Рис. 4. Система координат и действующие нагрузки.

Исходные соотношения, уравнения равновесия, граничные условия остаются такими же, как в предыдущей задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе, и, следовательно, решения тоже. Условия сопряжения в данной задаче имеют вид

^(О+^ОМ, 0(1)=62(1)=ё1 (23>

где ¿ = с<2 - удлинение (сжатие) упругого элемента, () - растягивающая (сжимающая) сила в упругом элементе, с - коэффициент податливости упругого элемента.

Решение строится аналогично Главе 2, §1. В теории Бернулли - Эйлера частотное уравнение после некоторых преобразований окончательно примет вид Е 3

—^-А^ + созЬА:, соз^ХсозЬ^ бш к2 -этЬ к2 со$к2)+

+ -

ЕЛ

2 2 /. 3

i23(l + cosh¿2 cosk1){coshkl sin A, -sinh k¡ cos£,)+ (24)

+ с—Y1 к* —Y2-k2(l + coshk¡ eosXl + coshk2eosk2) = 0. h '2

В теории С.П. Тимошенко получаем частотное уравнение

£ J \уг + уг\ (- — — \

2.2 ¡ 2 v 2 —+ В cosh cos + С sinh sin )х h Vi 1 Jv 2

x f 2 (í'i2 - 1 )cosh Г1 sin гг ~ 7\ 1 + an )sinh Г, eos y2}+

+ Edl /„2 ffj L ч(Л +Дcosheos+Csinhsinxz)x (25)

'1 Г1 11A2 +bu)

x _ b¡ 1 )cosh S¡ sin<J2 - St (s2 + i, 1 )sinh S, eos S2 }+

+ с^ф-^ф- (A +В cosh y, eos+ С sinh y¡ sin y2)x h h

x {a + В cosh S¡ eos S2 + С sinh S¡ sin S2)} = 0.

В частном случае только шарнирного соединения, без упругого элемента (с = 0) частотные уравнения, полученные в этой задаче, переходят в уравнения, полученные в предыдущем параграфе.

В частном случае неучета деформаций сдвига и угла поворота поперечного сечения частотное уравнение (25), полученные на основе теории Тимошенко, переходит в уравнение (24), полученное по теории Бернулли — Эйлера.

В §3 рассмотрены примеры расчета спектров собственных частот и форм свободных колебаний системы стержней, дан анализ влияния коэффициента податливости на спектры собственных частот. Показано в таблицах и на графиках, что чем жестче связь между кантилевером и исследуемым объектом, тем ниже собственная частота колебаний системы.

Глава 3 посвящена исследованию вынужденных колебаний сопряженной системы двух стержней. На основе теорий Бернулли - Эйлера и Тимошенко получены уравнения для прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил для каждого элемента системы. Найдены условия динамического гашения колебаний. Решения иллюстрируется числовыми примерами, графиками и таблицами. Дан анализ полученных результатов.

В §1 рассматривается задача о вынужденных колебаниях системы двух шарнирно сопряженных стержней. Правый конец первого стержня x¡ = l¡ шарнирно соединен с правым концом второго стержня х2 = h, левые концы обоих стержней жестко заделаны. Левый, жестко защемленный, конец первого стержня совершает вертикальные колебания в плоскости х\0\у\ по закону .yi(0,/) = Aoúnojt, где у\ = y¡(x,t) — уравнение колебаний

изогнутой оси первого стержня, Ао и со - заданные амплитуда и частота вынужденных колебаний.

Положительные направления изгибающего момента M¡ и поперечной силы О, в сечениях x¡ и x¡+dx¡, а также распределенной на оси инерционной поперечной нагрузки q¡(xi,t) и распределенного инерционного момента m¡ (x¡,t) при повороте элемента показаны на Рис. 2.

В теории Бернулли - Эйлера поставленная задача должна удовлетворять граничным условиям

А',(0)=4 Л7(0) = Л/,(1) = 0, Х2(0)=.Г2'(0)=Л/2(1)=0, а в теории Тимошенко

*,(<>) = Ч',(0) = Л/,(1)=0, Х2(0) = Т2(0)=М2(1)=0. Условия кинематического и статического сопряжения на правых концах стержней сохраняют вид (9) и дают систему для определения оставшихся неизвестных коэффициентов A i и Ai.

Получены расчетные формулы для прогибов стержней, изгибающих моментов и поперечных сил в теориях Бернулли - Эйлера и Тимошенко.

В §2 рассмотрены вынужденные колебания системы двух шарнирно сопряженных упругим элементом стержней. Введем в ранее рассмотренную систему упругий элемент с коэффициентом податливости с, как показано на Рис. 4.

Уравнения равновесия (7), граничные условия и условия сопряжения (23) остаются такими же, как и в предыдущей задаче.

Нетрудно показать, что полученные расчетные формулы в §1-§2 в частном случае неучета деформаций сдвига и угла поворота поперечного сечения переходят в расчетные формулы в теории Бернулли - Эйлера.

В §3 исследуется эффект динамического демпфирования колебаний. Если вынуждающую частоту колебаний системы ы сделать равной частоте собственных колебаний исследуемого объекта при закрепленном правом конце кантилевера, тогда колебания правого конца первого стержня будут полностью устранены, а второй стержень будет колебаться (Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., и др.).

Чтобы найта соответствующие частоты необходимо решить уравнение

*,(1) = 0. - (26)

Решение задачи на основе теории Бернулли - Эйлера дает

^(l+cosh k¡ cos i, + sinh k] sin i, Xcosh i, sin i, - sinh kx cos )+(l + cosh ki cos k¡ )sinh cos k¡ j *

* jcosh k2 sin k2 - sinh k2 cos k2 + k2(\ + cosh k2 cos&2)j = 0.

Решение этого уравнения дает частоты, при которых амплитуда колебаний правого конца первого стержня обращается в нуль. Структура уравнения такова, что оно распадается на два, первое из которых после преобразований имеет вид

cosh кх sinh k¡ + cosh k¡ sin k¡ + sinh k, eos kx + eos k¡ sin k, = 0, (27)

и зависит только от параметров первого стержня, а второе уравнение выглядит так

coshк2 sink2 -sinhi2 cosкг + + coshк2 cosi2) = 0, ^^

зависит только от параметров второго стержня и представляет наибольший интерес, так как второй стержень является моделью исследуемого нанообъекта. Уравнения (27) и (28) в точности до обозначений совпадают с уравнениями, полученными в работе Ивановой Е.А., Индейцева Д.А., Морозова Н.Ф., «К вопросу об определении параметров жесткости нанообьектов» При этом уравнение (28) в точности совпадает с уравнением, определяющим собственные частоты стержня, имеющего упругое опирание.

Решение задачи на основе теории Тимошенко дает

|/2 (ft2 - аи )cosh yt sin у2 - y¡ (у2 + а,, )sinh у, cos у2 + В cosh cos у2 + С sinh y¡ sin у2 )+ + У,(у22 +аи)sinhy¡ cosу2(Л + Вcoshy¡cosy2+Csinhy, siny2)}*

f +s2j^2{s2 -¿j^coshi?, sin S2 - S¡ (<?22 + ¿>n)sinh<?, cos<?2} (29)

E2J2

A + B cosh S¡ eos S2 + С sinh S¡ sin S2

= 0.

Как и в классическом случае, уравнение (29) распадается на два уравнения, одно из которых зависит только от параметров первого стержня и не представляет интереса

(fc (ft2 - Щ i )cosh у, sin у2 - у, (у22 + а,, )sinh у, cos у2) р + В cosh ух cos у2 + С sinh у, sinr2)+ (3°)

+ у, (у21 + аи )sinh ух cos уг (Л + В cosh ух cos уг + С sinh ух s in уг) = 0, а второе только от параметров второго стержня

+ ^22^i52(<?i2 -¿n)cosh^| sinо2 -sfydj + fc,| jsinhcos£2| + +

+ c-^y2-(3 + ficoshí5'1cos¿2 + Csinh<yisin^1)= 0.

(31)

Именно уравнение (31) определяет «антирезонансные» частоты, при которых происходит динамическое гашение колебаний правого конца кантилевера. Оно в точности совпадает с уравнением, определяющим собственные частоты стержня, имеющего упругое опирание.

Нетрудно показать, что при переходе к теории Бернулли - Эйлера уравнения (30), (31) переходят в (27), (28).

В §4. даны примеры расчета. Найдены антирезонансные частоты, построены формы колебаний для этих частот, исследовано поведение форм колебаний при варьировании задаваемых частот.

Заключение содержит основные результаты, выносимые на защиту:

2) В работе построены частотные уравнения в задаче о свободных колебаниях стержневой системы кантилевер - исследуемый нанообъект и получены их точные решения, дающие спектры частот и формы свободных колебаний на основе теорий Бернулли - Эйлера и Тимошенко.

3) Дан анализ спектров частот системы при свободных и вынужденных колебаниях, полученных при варьировании исходных геометрических параметров элементов системы.

4) Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для обеих теорий, вызванных кинематическим возбуждением на защемленной опоре кантилевера. Даны точные решения для форм колебаний, изгибающих моментов и поперечных сил в элементах системы. В этой же задаче получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта.

5) Полученные решения в диссертации на основе теорий Тимошенко и Бернулли -Эйлера, сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли - Эйлера в работе проф. Ивановой Е.А., проф. Индейцева Д.А., акад. Морозова Н.Ф.

6) Все полученные решения в диссертации иллюстрируются числовыми примерами, результаты которых представлены в таблицах и на графиках.

Приложение состоит их двух параграфов, в которых рассмотрены вспомогательные задачи на основе теорий Бернулли - Эйлера и Тимошенко. В первом параграфе рассматривается задача о свободных колебаниях консольного стержня, один конец которого жестко заделан, а второй шарнирно оперт. Во втором параграфе исследована задача о свободных колебаниях консольного стержня, один конец которого жестко заделан, а второй имеет упругое опирание.

Найдены спектры собственных частот, построены формы свободных колебаний, полученные решения иллюстрируются примером расчета.

Публикации автора по теме диссертации.

Статья в журнале, рекомендованном ВАК:

1. Тулкина А.Н. Определение частот и форм колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко. // «Вестник СПбГУ (Серия 1)», СПбГУ, 2011, март, Вып. №1, с. 144-154.

Другие публикации:

2. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Расчет частот и форм свободных колебаний консольной балки на основе теории С.П. Тимошенко. // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2007-2008 гг., СПбГУ, СПбГУПС, 2008, с. 39-59.

3. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Исследование и расчет вынужденных колебании консольных стержней на основе теории С.П.Тимошенко. // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2008-2009 гг., СПбГУ, СПбГУПС,

2009, с. 17-34.

4. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Свободные и вынужденные колебания системы консольных стержней на основе теории С.П. Тимошенко. // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2009-2010 гг., СПбГУ, СПбГУПС,

2010, с. 147-170.

Подписано к печати 27.06.11. Формат 60 «84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Захаз 5195. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел,- (812) 428-40-43,428-69-19

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Тулкина, Анна Николаевна

Введение. Обзор исследований по указанной теме. Обоснование постановки задачи.

Глава 1: Развитие теории расчета спектров собственных частот и форм свободных колебаний консольного стержня.

§1. Спектры собственных частот и формы свободных колебаний консольного стержня.

§2. Примеры расчета.

Глава 2: Свободные колебания сопряженной системы двух стержней.

§1. Спектры собственных частот и формы свободных колебаний системы из двух шарнирно сопряженных стержней.

§2. Спектры собственных частот и формы свободных колебаний системы из двух шарнирно сопряженных упругим элементом 53 стержней.

§3. Пример расчета спектров собственных частот и форм свободных колебаний системы стержней.

Глава 3: Исследование вынужденных колебаний сопряженной системы двух стержней.

§1. Вынужденные колебания системы двух шарнирно сопряженных стержней.

§2. Вынужденные колебания системы из двух шарнирно сопряженных упругим элементом стержней.

§3: Эффект динамического демпфирования колебаний.

§4. Примеры расчета.

Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование свободных и вынужденных колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко"

Обзор исследований по указанной теме. Обоснование постановки задачи.

Основной моделью балки, используемой в расчетах, является предложенная в XVIII веке модель балки Бернулли — Эйлера. Она довольно проста и обеспечивает достаточную точность решения простых инженерных задач, и поэтому она используется наиболее часто [1], [2]. Однако опыты показывают, что частоты, полученные в рамках теории Бернулли — Эйлера, несколько завышены.

В динамических задачах расчета колебаний консольного стержня необходим, по сравнению с классической теорией Бернулли - Эйлера, учет влияния в уравнениях равновесия инерционных нагрузок при повороте элемента поперечного сечения, введенный Д.В. Стреттом (Рэлеем) [3]. В дальнейшем С.П. Тимошенко выделил из угла поворота поперечного сечения угол сдвига, который учел в уравнениях равновесия и в соотношениях упругости, и в окончательном виде оно получило в теории название уравнения Тимошенко [4].

Существует два вида представления инерционных моментов [4], [5], каждый из которых дает свои решения, свои характеристические уравнения и свои фундаментальные системы. Будем называть их решениями типа I и типа II. Решение типа I дает один частотный спектр [6]. Как было показано в работе авторов [5] в решении типа II при определенном значении частоты со, называемой «частотой отсечки» или «критической частотой», меняется как вид характеристического уравнения, так и получаемые при этом спектры частот, при переходе через эту частоту изменяется фундаментальная система решений. В работе Р. Трейлл - Нэша и А. Коллара [7] отмечалось, что второй частотный спектр появляется из-за присутствия в разрешающем уравнении системы Тимошенко производных четвертого порядка относительно пространственной и временной координат. Как было показано в работе [8] спектры собственных частот, полученных в задачах с разными инерционными моментами ([4] и [5]), для низких частот отличаются на тысячные доли процента.

Как отмечалось в работе [2] колебания балки Тимошенко, имеющей конечную длину, - это стационарный процесс и волны стоячие, то есть, нет переноса энергии. Поэтому поставленная задача исследования колебаний системы консольных стержней будет рассматриваться в дальнейшем на основе разрешающих уравнений, в которых инерционный момент берется в том виде, в котором он принимается в теории С.П. Тимошенко [4].

Исследуемая в диссертации задача колебания системы стержней, представляет практический интерес. Рассмотренная в работе система стержней является механической моделью представляющей сканирующий зонд (кантилевер) - исследуемый нанообъект, простейшая схема которой представлена на Рис. 1. [9]

Рис. 1. Механическая модель системы кантилевер — исследуемый объект.

В настоящее время актуальной является задача экспериментального определения механических характеристик нанообъектов. Несоответствие между значениями модулей упругости, полученных в результате экспериментов на микро — и макроуровнях отмечали многие исследователи [10], [11]. В макромеханике один из наиболее эффективных методов определения упругих модулей основан на измерении собственных частот исследуемого объекта. В работе [12] обсуждаются особенности, возникающие при использовании резонансного метода применительно к нанообъектам, и предлагается метод, основанный на явлении «антирезонанса» при классической постановке задачи.

Исследование свойств нанообъектов в настоящее время осуществляется с помощью зондовой микроскопии. Для этих целей широко используется атомный силовой микроскоп (АСМ) [13], [14]. Важнейшим элементом АСМ является сканирующий зонд - кантилевер. Стандартные промышленные кантилеверы имеют габаритные размеры порядка 200 х 35 х 1,5 мкм и резонансные частоты порядка 10 - 400 кГц; радиус кривизны конца иглы меняется в интервале 10-50 нм. Игла (пирамидка) устанавливается на свободном конце измерительной консоли. Пирамидки изготавливают из кремния или из более прочного материала - нитрида кремния (Si3N4) [15],

Схематичное представление АСМ было впервые предложено и запатентовано "Atomic Force Microscopy" [17], где введены следующие обозначения: 10 - основание, 14 - консоль, 12 - зонд, 18 - лазер, 22 -фотодиод, 24 - исследуемый объект.

Рис. 2. Схематическое изображение АСМ по патенту "Atomic Force Microscopy".

При увеличении на фотографиях кантилевер выглядит так [18]:

16].

Рис. 3. Фотография пирамидки кантилевера в 1000-кратном увеличении.

Рис. 4. Фотография пирамидки кантилевера в 3000-кратном увеличении.

Основной принцип работы АСМ заключается в воздействии сил со стороны поверхности исследуемого образца на острие сканирующей иглы. Сила, которая чаще всего ассоциируется с АСМ, - это межатомная сила, называемая также Ван-дер- Ваальсовой.

Сила Ван-дер-Ваальса - это сила межмолекулярного притяжения, являющаяся электростатическим взаимодействием молекулярных оболочек, возникающим при поляризации молекул и образовании диполей [19], [20].

АСМ работает в трех режимах: контактном, бесконтактном и прерывисто-контактном.

В бесконтактном режиме, также известном как режим притяжения, АСМ отслеживает притягивающие Ван-дер-Ваальсовы силы между острием сканирующей иглы и образцом. Зазор между острием и образцом обычно составляет 5—10 нм. Чаще всего бесконтактные АСМ конструируются для работы в динамическом режиме.

В контактном методе острие зонда непосредственно соприкасается с поверхностью образца в процессе сканирования. В бесконтактном методе зонд находится достаточно далеко и не касается поверхности. Метод прерывистого контакта подразумевает частичный контакт. Последние два метода работы АСМ необходимы для реализации колебательных методик.

В динамическом режиме система АСМ моделирует механические колебания измерительной консоли на частоте, близкой к резонансной (типичные значения находятся в пределах от 30 до 300 кГц) [14], с амплитудой в несколько нанометров. Величина самой резонансной частоты зависит от прикладываемой внешней силы.

При измерении частот исследуемого объекта с помощью АСМ возникает перераспределение собственных частот колебаний системы кантилевер -исследуемый нанообъект между собственными частотами каждого из них в отдельности. Как было отмечено в работе [12], характер смещения спектра существенно зависит от расстояния между острием иглы сканирующего зонда и поверхностью нанообъекта, так как это равносильно изменению «жесткости» связи полевого взаимодействия.

Рис. 1), в которой полевое взаимодействие между кантилевором и исследуемым нанообъектом моделируется линейной пружиной с жесткостью С, это соответствует линеаризации потенциала Леннарда — Джонса в области статического равновесного состояния [12]. Кантилевер вдали от исследуемого объекта занимает горизонтальное положение, при приближении к объекту кантилевер начинает деформироваться, но на определенном расстоянии от него снова занимает горизонтальное положение — это и есть статическое равновесие. В отсчетной конфигурации стержни считаются недеформированными, а пружина - ненапряженной.

Потенциал Леннарда - Джонса {потенциал 6-12)— простая модель парного взаимодействия неполярных молекул, описывающая зависимость энергии взаимодействия двух частиц от расстояния между ними. Эта модель достаточно реалистично передаёт свойства реального взаимодействия сферических неполярных молекул и поэтому широко используется в расчетах и при компьютерном моделировании [21].

В работе [12] было отмечено, что в окрестности положения статического равновесия жесткость связи между кантилевером и исследуемым объектом достаточно большая, то есть С » С\, где С\ - жесткость кантилевера, С -жесткость связи. По этой причине определить жесткость связи С из статических экспериментов крайне трудно — разность между перемещением конца кантилевера и исследуемого объекта оказывается в пределах погрешности измерений. При жесткости связи С ~ С\ или С « Ci проводить измерения сложно, так как эта область находится на неустойчивом участке зависимости сила — перемещение.

В предлагаемой диссертации эта задача решается на основе теории Тимошенко, в которой учитываются деформации сдвига и угла поворота поперечного сечения, как в уравнениях равновесия, так и в соотношениях упругости.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты выполненной работы:

5) Полученные решения в диссертации на основе теорий Тимошенко и Бернулли - Эйлера, сравниваются с результатами, полученными на основе теории Бернулли - Эйлера в работе проф. Ивановой Е.А., проф. Индейцева Д.А., акад. Морозова Н.Ф. [12].

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Тулкина, Анна Николаевна, Санкт-Петербург

1. Киселев В.А., Строительная механика. Спец.курс «Динамика и устойчивость сооружений», М., Мир, 1980, 548 с.

2. Пономарев С.Д., Бидерман В.Л., Лихарев К.К., Макушин В.М., Малинин Н.Н., Феодосьев В.Н., Расчеты на прочность в машиностроении. М.; Машгиз, 1959. Том III. С. 320.

3. Стретт Дж.В. (Рэлей). Теория звука. М., Л., Гостехтеориздат, 1940, Том 1,499 с.

4. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле., М.: Гос. издательство физико-математической литературы, 1959,439 с.

5. Д. А. Индейцев, Н. Г. Кузнецов, О. В. Мотыгин, Ю. А. Мочалова. Локализация линейных волн. Издательство Санкт-Петербургского университета. 2007.

6. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Расчет частот форм свободных колебаний консольной балки на основе теории С.П. Тимошенко. Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2007-2008 гг., СПбГУ, СПбГУПС, 2008, с. 40-60.

7. Trail-Nash R.W., Collar A.R. The effects of shear flexibility and rotary inertia on the bending vibration of beam // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. Vol. 6. 1953. P. 186-222.

8. Павилайнен В.Я., Тулкина А.Н. Исследование и расчет вынужденных колебаний консольных стрежней на теории С.П. Тимошенко. Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2008-2009 гг., СПбГУ, СПбГУПС, 2009, с. 17-34.

9. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф., Об определении параметров жесткости нанообъектов. ДАН, 2006, том 410, № 6. с. 1-5.

10. Ю.Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Доклады Академии наук, 2001, Т. 381. N 3. С. 345-347.

11. П.Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов. // Доклады Академии наук, 2002, Т. 385. N4. С. 494-496.

12. Иванова Е.А., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф., К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов. СПб: Журнал технической физики, 2006, том 76, вып. 10. стр. 74-80.

13. Миронов B.JL. Основы сканирующей зондовой микроскопии. Н.Новгород, РАН, Институт физики микроструктур, 2004,110с.

14. Суслов А. А., Чижик С. А. Сканирующие зондовые микроскопы (обзор) // Материалы, Технологии, Инструменты Т.2 (1997), №3, С. 78-89.

15. Sarid, Dror, Scanning Force Microscopy. Oxford University Press, 1994, 263 p.

16. Дунаевский M.C., Grob J.J., Забродский А.Г., Laiho R., Титков A.H. // Физика и техника полупроводников, 2004, Т. 38. В. 11. С. 1294.

17. Интернет-сайт компании «НТ-МДТ» http://www.ntmdt.ru/spm-principles/view/afm.

18. Федеральный Интернет-портал «Нанотехнологии и наноматериалы» http://www.portalnano.ru/read/tezaurus/definitions/cantilever.

19. Сивухин Д.В. Курс общей физики: Электричество. М.: Наука, 1983. -687 с.

20. Ландау Л.Д. Квантовая механика: Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989.-767 с.

21. Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 312 с.

22. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М., Издательство «Ассоциации строительных ВУЗов», 2005, 736 с.

23. Гастев В.А., Краткий курс сопротивления материалов. М., Физматгиз, 1959, 424 с.

24. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. Л.: Издательство «Судостроение», 1989, 396 с.

25. Босаков C.B., Щедько Н.С., Учет энергии сдвига и инерции вращения при колебаниях элементов конструкций. Минск: Механика машин, механизмов и материалов, 2008, №3 (4), стр. 63-66.

26. В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев. Колебания и волны. Лекции. (Физический факультет МГУ) Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г.