Исследование свойств ряда Лапласа для гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры

Шайдулин, Вахит Шамильевич

Исследование свойств ряда Лапласа для гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Шайдулин, Вахит Шамильевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.03.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по астрономии на тему «Исследование свойств ряда Лапласа для гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры»

Автореферат диссертации на тему "Исследование свойств ряда Лапласа для гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

' И -

-аиЦ-

Шайдулин Вахит Шамильевич

Исследование свойств ряда Лапласа для гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры

01.03.01 — астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 5 НОЯ 2012

Санкт-Петербург — 2012

1 <\л

005055071

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор,

Холшевников Константин Владиславович

Гаязов Искандар Сафаевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт прикладной астрономии РАН, заведующий лабораторией

Тимошкова Елена Ивановна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН

старший научный сотрудник Уральский федеральный университет

Защита состоится "4" декабря 2012 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.232.15 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 28., ауд. 2143 (Математико-механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разосла

«^и Ю

т разослан

Учёный секретарь диссертационного

2012 г.

ктор Владимирович

Диссертация посвящена исследованию некоторых свойств ряда Лапласа, представляющего гравитационный потенциал тел нерегулярной структуры. Под телами нерегулярной структуры понимаются тела ограниченного размера с кусочно-гладкой поверхностью и с плотностью, имеющей разрывы на конечном множестве кусочно-гладких поверхностей. Примерами таких тел являются планеты земной группы, карликовые планеты, спутники, астероиды. Многие современные задачи в небесной механике, геодезии, геофизике требуют подробной модели гравитационного потенциала небесных тел, и в особенности Земли. Практически единственный, на сегодняшний момент, инструмент, позволяющий создать такую модель, — это разложение гравитационного потенциала в ряд Лапласа. Значение коэффициентов ряда (гармонических коэффициентов, параметров Стокса) для Земли оценивается по результатам различного рода измерений. До космической эры использовались измерения модуля силы тяжести маятниковыми приборами, уклонений отвеса, вызванных несферичностью Земли, возмущений орбиты Луны. В 60-е годы прошлого века на первое место вышли наблюдения ИСЗ, возмущения в движении которых зависят от параметров Стокса, особенно низких порядков. В настоящее врем используются все указанные методы и, кроме того, альтиметрические измерения со специальных спутников, измерения класса спутник - спутник и другие. Что касается других небесных тел, то тут пока используется лишь метод оценивания параметров их гравитационного поля по возмущениям их естественных спутников, искусственных спутников и пролетных космических аппаратов. Во всех случаях мы получаем отрезок ряда Лапласа конечной длины — тем большей, чем богаче совокупность наблюдательных данных. Набор гармонических коэффициентов в совокупности с гравитационным параметром и характерным размером тела являет собой численную модель гравитационного потенциала. Для многих тел Солнечной системы были построены такие модели. Среди них Земля, Луна, Марс, Венера, Фобос, По, Эрос. Если исключить Землю, то можно заметить, что разработанные численные модели гравитационного потенциала небесных тел Солнечной системы опираются на короткий отрезок ряда Лапласа. К сожалению, этого недостаточно для выделения общих свойств, таких как скорость убывания

общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала интересующих нас тел нерегулярной структуры (этот факт вытекает из результатов третьей главы).

Единственным, на сегодняшний момент, хорошо исследованным объектом является Земля, и для нее построено множество подробных моделей. Как указанно в [3], знания о гравитационном потенциале Земли и о форме Земли, которая гравитационным потенциалом преимущественно определяется, накапливались постепенно. Ньютон знал, что Земля представляет собой сжатый сфероид, то есть помимо нулевой гармоники уже была известна и вторая J2. К концу XIX века была определена и четвертая зональная гармоника J4 и все коэффициенты сферической функции второго порядка, что позволяло аппроксимировать Землю трехосным эллипсоидом. К концу первой половины XX века от эллипсоидальной аппроксимации отказались. Все параметры Стокса (а не только зональные) были определены вплоть до четвертого порядка включительно [6].

Во второй половине XX века с началом космической эры человечества появилось множество моделей гравитационного потенциала Земли, расширяющих и уточняющих наши знания о нем. Первенство принадлежит модели Стандартной Земли 1966 года [25], предоставившей полный набор гармонических коэффициентов до 15 степени и порядка включительно. Она была разработана в Смитсонианской Астрофизической Обсерватории. Свое развитие модель Стандартной Земли получила в 1969 [16], 1973 [15], когда удалось продолжить ряд Лапласа до 22 и 24 степени включительно. Параллельно другие научные группы также создали и развили собственные модели геопотенциала. В 1968 году в университете штата Огайо появилась первая из серии модель OSU68 [27], содержавшая гармоники до 14 степени включительно. В дальнейшем вышли OSU73 [28] (максимальная степень — 20), OSU81 [29] (максимальная степень — 180), OSU86 [30] (максимальная степень — 360), OSU89 [31] (максимальная степень — 360), OSU91 [32] (максимальная степень — 360). Центр космических полетов им. Годдарда разработал ряд своих моделей GEMI и GEM2 [20] (12 и 16 — максимальные степени), GEM3 и GEM4 [21] (12 и 16 — максимальные степени), GEM5 и GEM6 [22] (12 и 16 — максимальные степени), GEM7 и GEM8 [34] (16 и

25 — максимальные степени), GEM9 и GEM10 [24] (30 и 30 — максимальные степени), GEM10A и GEM10B [23] (30 и 36 — максимальные степени).

В конце XX и начале XXI столетий было разработано множество моделей геопотенциала с использованием данных измерений специальных искусственных спутников Земли CHAMP и GRACE. Укажем наиболее популярные: EGM96 [19], GL04C [14], GGM02 [33]. Среди них выделяется модель EGM2008 [26], содержащая полный набор гармонических коэффициентов до степени и порядка 2159. Необходимость построения столь детальных численных моделей продиктована в основном задачами геодезии, гравиметрии и геофизики. В нашем же случае это позволило проверить справедливость теоретических оценок скорости убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала. Первые оценки, известные еще Лапласу, гарантировали ограниченность сферических гармоник [5]. Оценки, указывающие их убывание, впервые (насколько нам известно) получены М.С.Яров-Яровым [12]. Для случая малых степеней получены оценки М.С.Петровской [8]. В определенном смысле точные оценки получены В.А.Антоновым и К.В.Холшевниковым [2]. Проведенное в настоящей диссертации исследование числепной модели геопотенциала подтвердило справедливость этих оценок на примере Земли, и, даже больше, позволило выделить класс тел, для которых теоретическая оценка существенно улучшается.

Дополнительную информацию по гравитационному потенциалу, его представлению рядом Лапласа и оценкам общего члена ряда Лапласа можно найти в следующих источниках: [9, 4, 17, 18, 13, 7, И, 1, 10].

большей степени и т.д. К сегодняшнему дню накопилось уже большое количество информации, что позволяет пытаться выделить качественно новые знания о Земле и подобных ей небесных телах. Данная диссертация представляет одну из таких попыток.

Цель и задачи работы. Основной целью диссертации является выявление характерных свойств ряда Лапласа гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры в теории и проверка на реальном объекте, Земле. Необходимо решить следующие задачи:

• В теории удобно применять равномерную (чебышевскую) норму, и оценка скорости убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала в нашем случае [2] выражена с использованием равномерной нормы. Однако численные расчеты с моделями гравитационного потенциала ярко продемонстрировали неудобство равномерной нормы в практическом применении. Наиболее подходящим при численных расчетах со сферическими функциями оказалось использование среднеквадратической (евклидовой) нормы. Потребовалось установить связь среднеквадратической и равномерной норм в случае сферических функций, чтобы осуществить перенос теоретических оценок на среднеквадратические нормы сферических функций. Это позволяет установить связь между теорией и практикой. Частично данная задача решена в первой главе.

• В процессе исследований оказалось, что первоначальная оценка, приведенная в [2], для геопотенциала не достигается, то есть нормы сферических функций убывают быстрее, чем ожидалось. Необходимо было объяснить природу этого явления. В ходе теоретических изысканий установлено, что существует широкий класс тел, для которых оценку возможно улучшить. Такие тела описываются во второй главе.

• Используя совокупность гармонических коэффициентов в модели, возможно получить набор среднеквадратических норм сферических

функций. Для сравнения с теорией требуется по имеющемуся набору норм определить оценку для скорости убывания этих норм. Для решения данной задачи используется модифицированный метод наименьших квадратов, который подробно описан в третьей главе.

Таким образом, решив поставленные задачи, мы достигаем основной цели диссертации: установления скорости убывания общего члена ряда Лапласа для важного класса тел нерегулярной структуры и возможности применения этого результата к Земле.

Научная новизна работы.

• Представлены асимптотики отношения равномерной и среднеквадра-тической норм присоединенных функций Лежандра в двух крайних частных случаях.

• Обнаружен класс тел нерегулярной структуры с ускоренным убыванием общего члена ряда Лапласа для гравитационного потенциала.

• Разработан алгоритм определения параметров оценки общего члена ряда Лапласа по конечному набору гармонических коэффициентов.

Научная и практическая ценность. Множество промежуточных результатов диссертации обладает собственной научной и практической ценностью. В первой главе приведены неравенства, связывающие средпеквад-ратическую и равномерную нормы элементарных сферических функций. А в двух частных предельных случаях обнаружены асимптотики их отношения, значительно уточняющие связь норм. Во второй главе введен и исследован класс тел нерегулярной структуры, для которого обнаружено, что скорость убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала выше ожидаемой. В третьей главе сформирована методика, которая позволяет исследовать модели гравитационного потенциала реальных тел. В диссертации она применяется к Земле, однако в дальнейшем вполне возможно провести исследования и других объектов, когда будут построены подробные модели их гравитационного потенциала.

Апробация работы. Результаты, полученные в ходе данного исследования, докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, Института прикладной астрономии РАН, Главной (Пулковской) астрономической обсерватории РАН, а также на научных конференциях: с 36-й по 41-ю международных студенческих научных конференциях «Физика космоса» (г. Екатеринбург, 2007-2012 гг.); на международной научной конференции «JENAM-2011» (г. Санкт-Петербург, 4-8 июля 2011 г.); на международной научной конференции «Планетарная геодезия и эфемериды» (г. Москва, 14-16 ноября 2011 г.).

Структура диссертации. Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации — 149 е., включая 24 рисунка и 3 таблицы.

Первая глава «Ряд Лапласа и сферические функции» содержит в себе определение гравитационного потенциала тела и его разложения в ряд Лапласа. Обсуждается вопрос связи среднеквадратической и равномерной норм сферических функций. Для элементарных сферических функций Ynk{e, Л) = P*(cos0) cosfcA среднеквадратическая норма известна:

В случае множителя sin к\ в элементарной сферической гармонике все выкладки аналогичны. Сравнимого по простоте выражения для равномерной нормы (Y¿) не существует. Ограничимся поиском асимптотического представления {Y*) при п -> оо. Удалось разобрать два частных случая. В первом предполагается к <п. Тогда

(Yn) ~ ~ЗкПк,

а для отношения, связывающего среднеквадратическую и равномерную норму, справедливо _

(*?) - TI Kir^llcosfcAll'

Здесь Ik = max \Jk(x)\, где J к — функция Бесселя к-ого порядка.

Во втором случае предполагается п — к -С п. Тогда

'2„У»+*>/2

||УЛ| || созА:Л|| * Значения 7ь 6ь зависят только от порядка к, но не от степени п.

Установлено асимптотическое поведение 7^, 5¡¡.

Приведены различные асимптотики и оценки многочленов Лежанд-ра, их производных и интегралов в некоторых частных случаях, которые используются во второй главе.

Во второй главе «Ряд Лапласа модельных тел» ищется показатель

а в оценке общего члена ряда Лапласа [2]

«) < £

на примере модельных тел.

Для однородного цилиндра, как и в примере с полушаром из [2], оказалось а = 5/2. Важно отметить, что множество общих точек цилиндра с объемлющей сферой одномерно, в отличие от полушара, где это множество двумерно. Рассмотрение составного тела, представляющего собой шар с одним или несколькими цилиндрами на его поверхности и моделирующего планету с одной или несколькими столовыми горами, показало, что а = 5/2. Таким образом, скорость убывания общего члена ряда Лапласа определяется цилиндрической неоднородностью формы тела. Аналогичный результат был достигнут для шара с утопленным цилиндром. В этом случае значение а определялось неоднородностью массы тела.

Для однородного шарового сектора, моделирующего конические горы, исследования показали, что а = 3. Аналогично цилиндру для составных тел а определялось шаровым сектором и равнялось 3. Таким образом, нам удалось построить несколько примеров тел, скорость убывания которых выше ожидаемой.

Развивая результаты, полученные для шарового сектора, мы ввели класс тел, представляющих собой шар с коническими горами, распределение массы внутри которых произвольно. Исследования показали, что и в таком весьма общем случае а = 3.

Третья глава «Ряд Лапласа для геопотенциала» посвящена исследованию ряда Лапласа гравитационного потенциала Земли. Численные данные взяты из модели геопотенциала ЕСМ2008. С помощью модифицированного метода МНК определена скорость убывания общего члена ряда Лапласа. Результаты расчетов показывают, что Землю можно отнести к классу тел нерегулярной структуры с ускоренной сходимостью ряда Лапласа гравитационного потенциала.

В приложение вынесены вспомогательные математические предложения и методы, используемые в данной работе, но напрямую не относящиеся к теме диссертации.

Результаты, выносимые на защиту.

• Обнаружен широкий класс тел нерегулярной структуры, для которых скорость убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала выше, чем для всей совокупности рассматриваемых тел нерегулярной структуры.

• Разработан метод определения параметров оценки общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала по данным численных моделей.

• На основании расчетов по данным модели ЕСМ2008 установлено, что Земля скорее всего принадлежит к классу тел с ускоренным убыванием общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала.

Публикации по результатам работы. Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях в рецензируемых журналах.

• Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Соотношение между нормами функции и ее градиента в классах сферических и шаровых функций в конечномерном пространстве// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 2, 2008, с. 93-96.

• Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра Р* (случай к га)// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 2, 2009, с. 86-93.

• Холшсвников К.В., Шайдулин В.Ш. Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра (случай п — к <С п)// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 3, 2009, с. 97-109.

• Шайдулин В.Ш. Ряд Лапласа для потенциала шарового сектора// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 2, 2010, с. 156-163.

• Антонов В.А., Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Об оценке производной многочлена Лежандра// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 4, 2010, с. 3-9.

• Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Оценка скорости убывания общего члена ряда Лапласа для геопотенциала// Астрономический Вестник, том 45, № 1, 2011, с. 55—61.

В совместных статьях вклад соавторов равнозначен. Во всех указанных работах автор участвовал в постановке задачи.

Тезисы докладов по результатам работы опубликованы в трудах конференций:

• Шайдулин В.Ш. Сравнение гармонических коэффициентов некоторых современных моделей гравитационного потенциала Земли// Труды 36-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 29 января — 2 февраля 2007 г, с.243.

• Шайдулин В.Ш. Исследование некоторых свойств ряда Лапласа для гравитационного потенциала Земли// Труды 37-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 28 января — 1 февраля 2008 г, с.271.

• Шайдг)лин В.Ш., Холшевников К.В. Соотношения между нормами сферических функций в представлении геопотенциала// Труды 38-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 2 — 6 февраля 2009 г, с.335.

• Шайдулин В.Ш. Оценка скорости убывания общего члена ряда Лапласа для геопотенциала// Труды 39-й Международной студенческой

научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 1 — 5 февраля 2010 г, с.231.

Холгиевииков К.В., Шайдулин В.Ш. О точности оценок Холшевникова-Антонова общего члена ряда Лапласа// Труды 40-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 31 января — 4 февраля 2011 г, с.229-240.

Шайдулин В.Ш. Оценка некоторых характеристик модели геопотенциала EGM2008// Труды 41-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 30 января — 3 февраля 2012 г, с.257.

Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Точные оценки общего члена ряда Лапласа для гравитационного потенциала// Труды 41-й Международной студенческой научной конференции. «Физика космоса», Екатеринбург, 30 января — 3 февраля 2012 г, с. 186-199.

Kholshevnikov К. V., Shaidulin V.Sh. On the exactness of Kholshevnikov - Antonov estimates of the general term of the Laplace series for celestial bodies// European Week of Astronomy and Space Science «JENAM-2011», Saint-Petersburg, Russia, 4-8 July 2011, p.22.

Литература

[1] Антонов В. А., Никифоров И. И., Холшевников К. В. Элементы теории гравитационного потенциала и некоторые случаи его явного вы-ражешшя,- СПб.: Изд. СПбГУ, 2008,- С. 208.

[2] Антонов В. А., ТЪмошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. — М.: Наука, 1988.— С. 270.

[3] Грушинский Н. П. Теория фигуры Земли. — М.: Наука, 1976. — С. 512.

[4] Джеффрис Г. Земля, ее происхождение, история и строение. — М.: ИЛ, 1960. - С. 486.

[5] Дубошин Г. Н. Теория притяжения. — М.: ФМ, 1961, — С. 288.

[6] Жонголович И. Д. Потенциал земного притяжения // Бюлл. ИТА.— 1957. - Т. 6, № 8.

[7] Жонголович И. Д. Обзор результатов определения параметров гравитационного поля Земли из наблюдений ИС // Наблюдения ИСЗ. — 1962,- № 1.

[8] Петровская Al. С. Оценки коэффициентов разложения геопотенциала по сферическим функциям // Бюлл. ИТА. — 1971. — Т. 12, № 8.

[9] Пицетти П. Основы механической теории фигур планет. — М.: ГТТИ, 1933.-С. 171.

[10] Холшевников К. В., Никифоров И. И. Свойства гравитационного потенциала в примерах п задачах. — СПб.: Изд. СПбГУ, 2008. — С. 72.

[11] Холшевников К. В., Питьев Н. П., Титов В. Б. Притяжение небесных тел. - СПб.: Изд. СПбГУ, 2005,- С. 108.

[12] Яров-Яровой М. С. О силовой функции притяжения планеты и ее спутника. — Сб. «Проблемы движения искусственных небесных тел». М.: АН,- 1963.

[13] Cook А. Н. The contribution of observations of satellites to the determination of the earth's gravitational potential // Space Sci. Revs. — 1963. — Vol. 2, no. 3.

[14] Forste C. et al. The geoforschungszentrum potsdam/groupe de recherche de geodesie spatiale. satellite-only and combined gravity field models: Eigen-gl04sl and eigen-gl04c // Journal of Geodesy. — 2008. — Vol. 82, no. 6.

[15] Gaposchkin E. M. Smithonian standard earth (iii).— Smithonian Astro-physical Observatory, Cambridge/Mass., Special Report No. 353,— 1973.

[16] Gaposchkin E. M., Lambeck K. 1969 smithonian standard earth (ii).— Smithonian Astrophysical Observatory, Cambridge/Mass., Special Report No. 315. - 1970.

[17] Kaula W. M. Statistical and harmonic analysis of gravity // Journ. Geoph. Res. - 1959. - Vol. 64, no. 12.

[18] Kaula W. M. A geoid and world geodetic system based on a combination of gravimetric, astrogeodetic, and satellite data // Journ. Geoph. Res.— 1961. - Vol. 66, no. 6.

[19] Lemoine F. G. et al. The development of the joint nasa gsfc and nima geopotential model egm96 // NASA Goddard Space Flight Center. — 1998.

[20] Lerch F. J. et al. Gravitational field models for the earth (gem 1 and 2). — Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, Report X55372146. — 1972.

[21] Lerch F. J. et al. Gravitational field models gem3 and 4. — Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, Report X59272476. - 1972.

[22] Lerch F. J. et al. Goddard earth models (5 and 6). — Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, Report X92174145. — 1974.

[23] Lerch F. J. et al. Gravity model improvement using geos3 altimetry (gemlOa and 10b).— 1978 Spring Annual Meeting of the American Geophysical Union, Miami. — 1978.

[24] Lerch F. J. et al. Gravity model improvement using gcos3 (gem9 and 10) // Journal of Geophysical Research. — 1979. — Vol. 84, no. B8. — Pp. 38973916.

[25] Lundquist C. A., Veis G. Geodetic parameters for a 1966 smithonian institution standard earth. — Smithonian Astrophysical Observatory, Cambridge/Mass., Special Report No. 200.— 1966.

[26] Pavlis N. K., Holmes S. A., Kenyon S. C., Factor J. K. An earth gravitational model to degree 2160: Egm2008 // EGU General Assembly 2008. -Vienna, Austria: April 13-18, 2008.

[27] Rapp R. H. Gravitational potential of the earth determined from a combination of satellite, observed, and model anomalies // Journal of Geophysical Research. — 1968. — Vol. 73, no. 20. — Pp. 6555-6562.

[28] Rapp R. H. Numerical results from the combination of gravimetric and satellite data using the principles of least squares collocation. — The Ohio State University, Department of Geodetic Science, Report No. 200, Columbus/Ohio. - 1973.

[29] Rapp R. H. The earth's gravity field to degree and order 180 using seasat altimeter data, terrestrial gravity data, and other data. — The Ohio State University, Department of Geodetic Science, Report No. 322, Columbus/Ohio. - 1981.

[30] Rapp R. H., Cruz J. Y. Spherical harmonic expansion of the earth's gravitational potential to degree 360 using 30' mean anomalies. — The Ohio State University, Department of Geodetic Science, Report No. 376, Columbus/Ohio. - 1986b.

[31] Rapp R. H., Pavlis N. K. The development and analysis of geopotential coefficient models to spherical harmonic degree 360 // Journal of Geophysical Research. - 1990. - Vol. 95, no. B13. - Pp. 21885-21911.

[32] Rapp R. H., Wang Y. M., Pavlis N. K. The ohio state 1991 geopoten-tial and sea surface topography harmonic coefficient models. — The Ohio State University, Department of Geodetic Science, Report No. 410, Columbus/Ohio. - 1991.

[33] Tapley B. et al. Ggm02 - an improved earth gravity field model from grace // Journal of Geodesy. — 2005. — Vol. 79, no. 8.

[34] Wagner C. A. et al. Improvement in the geopotential derived from satellite and surface data.— Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, Report X9217620. - 1976.

Подписано в печать 22.10.12 Формат 60x84'/16 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 12/10 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шайдулин, Вахит Шамильевич

Введение

1 Ряд Лапласа и сферические функции

1.1 Представление гравитационного потенциала протяженного тела рядом Лапласа.

1.2 Связь между различными нормами сферических функций; асимптотика присоединенных функций Лежандра.

1.2.1 Нормы присоединенных функций Лежандра.

1.2.2 Случай к = 0(па) при а < 2/3.

1.2.3 Случай п- к = 0(п(Т) при сг < 1/2.

1.3 Асимптотика и оценки многочленов Лежандра, их производных и интегралов.

1.3.1 Оценка и(0).

1.3.2 Точность константы А.

1.3.3 Сводка оценок и асимптотических формул.

2 Ряд Лапласа модельных тел

2.1 Цилиндр.

2.1.1 Геометрия масс.

2.1.2 Ряд Лапласа для цилиндра.

2.2 Шар с цилиндрическими горами.

2.2.1 Геометрия масс шара с одной цилиндрической горой

2.2.2 Ряд Лапласа тела Т.

2.2.3 Шар с симметричными парами цилиндрических гор

2.3 Сферический сектор.

2.3.1 Геометрия масс.

2.3.2 Ряд Лапласа сферического сектора в системе отсчета О

2.3.3 Ряд Лапласа сферического сектора в системе отсчета

2.4 Шар с коническими горами.

2.4.1 Геометрия масс шара с одной конической горой

2.4.2 Ряд Лапласа тела Т.

2.4.3 Шар с симметричными парами конических гор

2.4.4 Влияние неоднородностей, расположенных вблизи объемлющей сферы, на коэффициенты Стокса

2.5 Коническое тело.

2.5.1 Геометрия конического тела.

2.5.2 Ряд Лапласа конического тела.

2.5.3 Шар с семейством конических гор.

Ряд Лапласа для геопотенциала

3.1 Модель геопотенциала ЕСМ

3.2 Редукция к объемлющей сфере.

3.3 Определение а для модельных тел.

3.4 Свойства целевой функции.

3.5 Определение о для геопотенциала.

Введение диссертация по астрономии, на тему "Исследование свойств ряда Лапласа для гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры"

Диссертация посвящена исследованию некоторых свойств ряда Лапласа, представляющего гравитационный потенциал тел нерегулярной структуры. Под телами нерегулярной структуры понимаются тела ограниченного размера с кусочно-гладкой поверхностью и с плотностью, имеющей разрывы на конечном множестве кусочно-гладких поверхностей. Примерами таких тел являются планеты земной группы, карликовые планеты, спутники, астероиды. Многие современные задачи в небесной механике, геодезии, геофизике требуют подробной модели гравитационного потенциала небесных тел, и в особенности Земли. Практически единственный, на сегодняшний момент, инструмент, позволяющий создать такую модель, — это разложение гравитационного потенциала в ряд Лапласа. Значение коэффициентов ряда (гармонических коэффициентов, параметров Стокса) для Земли оценивается по результатам различного рода измерений. До космической эры использовались измерения модуля силы тяжести маятниковыми приборами, уклонений отвеса, вызванных несферичностыо Земли, возмущений орбиты Луны. В 60-е годы прошлого века на первое место вышли наблюдения ИСЗ, возмущения в движении которых зависят от параметров Стокса, особенно низких порядков. В настоящее время используются все указанные методы и, кроме того, альтиметрические измерения со специальных спутников, измерения класса спутник - спутник и другие. Что касается других небесных тел, то тут пока используется лишь метод оценивания параметров их гравитационного поля по возмущениям их естественных спутников, искусственных спутников и пролетных космических аппаратов. Во всех случаях мы получаем отрезок ряда Лапласа конечной длины — тем большей, чем богаче совокупность наблюдательных данных. Набор гармонических коэффициентов в совокупности с гравитационным параметром и характерным размером тела являет собой численную модель гравитационного потенциала. Для многих тел Солнечной системы были построены такие модели. Среди них Земля, Луна, Марс, Венера, Фобос, Ио, Эрос. Если исключить Землю, то можно заметить, что разработанные численные модели гравитационного потенциала небесных тел Солнечной системы опираются на короткий отрезок ряда Лапласа. К сожалению, этого недостаточно для выделения общих свойств, таких как скорость убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала интересующих нас тел нерегулярной структуры (этот факт вытекает из результатов третьей главы).

Единственным, на сегодняшний момент, хорошо исследованным объектом является Земля, и для нее построено множество подробных моделей. Как указанно в [12], знания о гравитационном потенциале Земли и о форме Земли, которая гравитационным потенциалом преимущественно определяется, накапливались постепенно. Ньютон знал, что Земля представляет собой сжатый сфероид, то есть помимо нулевой гармоники уже была известна и вторая 3<1- К концу XIX века была определена и четвертая зональная гармоника 3\ и все коэффициенты сферической функции второго порядка, что позволяло аппроксимировать Землю трехосным эллипсоидом. К концу первой половины XX века от эллипсоидальной аппроксимации отказались. Все параметры Стокса (а не только зональные) были определены вплоть до четвертого порядка включительно [16].

Во второй половине XX века с началом космической эры человечества появилось множество моделей гравитационного потенциала Земли, расширяющих и уточняющих наши знания о нем. Первенство принадлежит модели Стандартной Земли 1966 года [53], предоставившей полный набор гармонических коэффициентов до 15 степени и порядка включительно. Она была разработана в Смитсонианской Астрофизической Обсерватории. Свое развитие модель Стандартной Земли получила в 1969 [42], 1973 [41], когда удалось продолжить ряд Лапласа до 22 и 24 степени включительно. Параллельно другие научные группы также создали и развили собственные модели геопотенциала. В 1968 году в университете штата Огайо появилась первая из серии модель OSU68 [57], содержавшая гармоники до 14 степени включительно. В дальнейшем вышли OSU73 [58] (максимальная степень — 20), OSU81 [59] (максимальная степень — 180), OSU86 [60] (максимальная степень — 360), OSU89 [61] (максимальная степень — 360), OSU91 [62] (максимальная степень — 360). Центр космических полетов им. Годдарда разработал ряд своих моделей GEMI и GEM2 [47] (12 и 16 — максимальные степени), GEM3 и GEM4 [48] (12 и 16 — максимальные степени), GEM5 и GEM6 [49] (12 и 16 - максимальные степени), GEM7 и GEM8 [65] (16 и 25 — максимальные степени), GEM9 и GEM 10 [51] (30 и 30 — максимальные степени), GEM10A и GEM10B [50] (30 и 36 — максимальные степени).

В конце XX и начале XXI столетий было разработано множество моделей геопотенциала с использованием данных измерений специальных искусственных спутников Земли CHAMP и GRACE. Укажем наиболее популярные: EGM96 [46], GL04C [40], GGM02 [63]. Среди них выделяется модель EGM2008 [56], содержащая полный набор гармонических коэффициентов до степени и порядка 2159. Необходимость построения столь детальных численных моделей продиктована в основном задачами геодезии, гравиметрии и геофизики. В нашем же случае это позволило проверить справедливость теоретических оценок скорости убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала. Первые оценки, известные еще Лапласу, гарантировали ограниченность сферических гармоник [15]. Оценки, указывающие их убывание, впервые (насколько нам известно) получены М.С.Яров-Яровым [37]. Для случая малых степеней получены оценки М.С.Петровской [21]. В определенном смысле точные оценки получены В.А.Антоновым и К.В.Холшевниковым [4]. Проведенное в настоящей диссертации исследование численной модели геопотенциала подтвердило справедливость этих оценок на примере Земли, и, даже больше, позволило выделить класс тел, для которых теоретическая оценка существенно улучшается.

Дополнительную информацию по гравитационному потенциалу, его представлению рядом Лапласа и оценкам общего члена ряда Лапласа можно найти в следующих источниках: [22, 14, 44, 45, 38, 17, 34, 3, 33].

Актуальность темы. Множество средств и усилий было приложено и прилагается до сих пор в попытках узнать как можно подробнее внутреннюю структуру, рельеф поверхности и гравитационный потенциал Земли. Наша планета — единственный объект, который на сегодняшний момент возможно детально исследовать, среди широкого класса небесных тел нерегулярной структуры. Пока исследователи стараются увеличить количественные показатели: выделить структурные элементы внутри и на поверхности Земли меньшего размера, выделить гармоники геопотепциала большей степени и т.д. К сегодняшнему дню накопилось уже большое количество информации, что позволяет пытаться выделить качественно новые знания о Земле и подобных ей небесных телах. Данная диссертация представляет одну из таких попыток.

• В теории удобно применять равномерную (чебышевскую) норму, и оценка скорости убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала в нашем случае [4] выражена с использованием равномерной нормы. Однако численные расчеты с моделями гравитационного потенциала ярко продемонстрировали неудобство равномерной нормы в практическом применении. Наиболее подходящим при численных расчетах со сферическими функциями оказалось использование среднеквадратической (евклидовой) нормы. Потребовалось установить связь среднеквадратической и равномерной норм в случае сферических функций, чтобы осуществить перенос теоретических оценок на среднеквадратические нормы сферических функций. Это позволяет установить связь между теорией и практикой. Частично данная задача решена в первой главе.

• В процессе исследований оказалось, что первоначальная оценка, приведенная в [4], для геопотенциала не достигается, то есть нормы сферических функций убывают быстрее, чем ожидалось. Необходимо было объяснить природу этого явления. В ходе теоретических изысканий установлено, что существует широкий класс тел, для которых оценку возможно улучшить. Такие тела описываются во второй главе.

• Используя совокупность гармонических коэффициентов в модели, возможно получить набор среднеквадратических норм сферических функций. Для сравнения с теорией требуется по имеющемуся набору норм определить оценку для скорости убывания этих норм. Для решения данной задачи используется модифицированный метод наименьших квадратов, который подробно описан в третьей главе.

Научная новизна работы.

• Представлены асимптотики отношения равномерной и среднеквадра-тической норм присоединенных функций Лежандра в двух крайних частных случаях. и

Результаты, выносимые на защиту.

Апробация работы. Результаты, полученные в ходе данного исследования, докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, Института прикладной астрономии РАН, Главной (Пулковской) астрономической обсерватории РАН, а также на научных конференциях: с 36-й по 41-ю международных студенческих научных конференциях «Физика космоса» (г. Екатеринбург, 2007-2012 гг.); на международной научной конференции «ЛЕКАМ-2011» (г. Санкт-Петербург, 4-8 июля 2011 г.); на международной научной конференции «Планетарная геодезия и эфемериды» (г. Москва, 14-16 ноября 2011 г.).

• Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра (случай к Сп)// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 2, 2009, с. 86-93.

• Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Асимптотика равномерной нормы присоединенных функций Лежандра (случай п — к <С п)// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 3, 2009, с. 97-109.

• Шайдулин В.Ш. Ряд Лапласа для потенциала шарового сектора// Вестник СПбГУ, сер. 1, вып. 2, 2010, с. 156-163.

• Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Оценка скорости убывания общего члена ряда Лапласа для геопотенциала// Астрономический Вестник, том 45, № 1, 2011, с. 55-61.

Тезисы докладов по результатам работы опубликованы в трудах конференций:

Шайдулин В.Ш., Холшевников К. В. Соотношения между нормами сферических функций в представлении геопотенциала// Труды 38-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 2 — 6 февраля 2009 г, с.335.

Шайдулин В.Ш. Оценка скорости убывания общего члена ряда Лапласа для геопотенциала// Труды 39-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 1 — 5 февраля 2010 г, с.231.

Холшевников К. В., Шайдулин В.Ш. О точности оценок Холшевникова-Антонова общего члена ряда Лапласа// Труды 40-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 31 января — 4 февраля 2011 г, с.229-240.

Холшевников К.В., Шайдулин В.Ш. Точные оценки общего члена ряда Лапласа для гравитационного потенциала// Труды 41-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 30 января — 3 февраля 2012 г, с.186-199.

2011», Saint-Petersburg, Russia, 4-8 July 2011, p.22.

Первая глава «Ряд Лапласа и сферические функции» содержит в себе определение гравитационного потенциала тела и его разложения в ряд Лапласа. Обсуждается вопрос связи среднеквадратической и равномерной норм сферических функций. Обнаружены асимптотики отношений двух норм в двух частных крайних случаях. Приведены различные асимптотики и оценки многочленов Лежандра, их производных и интегралов в некоторых частных случаях.

Во второй главе «Ряд Лапласа модельных тел» приведены разложения в ряд Лапласа гравитационного потенциала различных модельных тел. Показано, что существуют тела с ускоренным убыванием общего члена ряда Лапласа, после чего введен класс тел нерегулярной структуры, для которых доказана ускоренная сходимость ряда Лапласа гравитационного потенциала.

Третья глава «Ряд Лапласа для геопотенциала» посвящена исследованию ряда Лапласа гравитационного потенциала Земли. По данным численной модели геопотенциала EGM2008 определена скорость убывания общего члена ряда Лапласа. Результаты расчетов показывают, что Землю можно отнести к классу тел нерегулярной структуры с ускоренной сходимостью ряда Лапласа гравитационного потенциала.

Заключение диссертации по теме "Астрометрия и небесная механика"

Заключение

Перечислим основные результаты диссертации.

Обнаружен широкий класс тел нерегулярной структуры, для которых скорость убывания общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала выше, чем для всей совокупности рассматриваемых тел нерегулярной структуры. Оценка общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала тел нерегулярной структуры, приведенная в [4], является точной и ее невозможно улучшить. Однако, при дополнительном условии на форму тела, таком что оно соприкасается с объемлющей сферой только в конечном числе конических точек, оказалось возможным ввести новую оценку, которая лучше прежней.

Разработан метод вычисления параметров оценки общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала по данным численных моделей. Метод разрабатывался и применялся для решения конкретной задачи исследования численных моделей геопотенциала. Однако он сформулирован в довольно общем виде и может быть применен в других подобных задачах.

Результаты вычислений для Земли по данным модели ЕСМ2008 показали, что она скорее всего принадлежит к классу тел с ускоренным убыванием общего члена ряда Лапласа гравитационного потенциала.

Данная диссертация и ее результаты имеют прежде всего важную теоретическую значимость, углубляя наши знания о гравитационном потенциале сложно устроенных тел. Помимо того возможно найти и практическое применение. Множество задач, требующих как можно более точного моделирования гравитационного потенциала Земли, привели к созданию почти сотни различных численных моделей геопотенциала, опирающихся на разложение его в ряд Лапласа. Появились даже модели, как ЕСМ2008, содержащие огромное количество численных параметров и задающие сферические функции до степени более 2000. При таком количестве параметров модели необходимо учитывать множество различных малых эффектов, чтобы приблизится к моделированию реального геопотенциала. В данных условиях вполне резонен вопрос контроля значений параметров. Результаты данной диссертации предлагают в качестве способа для осуществления контроля расчет параметра сг или <72.

В будущем мы намереваемся применить результаты данной диссертации к изучению и других небесных тел, помимо Земли, — прежде всего к Луне, Марсу, Венере.

Список источников диссертации и автореферата по астрономии, кандидата физико-математических наук, Шайдулин, Вахит Шамильевич, Санкт-Петербург

1. Агекян Т. А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков. Издание второе. — М.: Наука, 1972,— 172 с.

2. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. — СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. — 240 с.

3. Антонов В. А., Никифоров И. И., Холшевников К. В. Элементы теории гравитационного потенциала и некоторые случаи его явного выра-жениия. СПб.: Изд. СПбГУ, 2008. - 208 с.

4. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала, — М.: Наука, 1988.— 270 с.

5. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Изд. 3. М.: Наука, 1989. - 472 с.

6. Вейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1.— М.: Наука, 1965.- 296 с.

7. Вейтмен Г., Эрдейи А. Справочная математическая библиотека. Высшие трансцендентные функции; функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены.— М.: ФМ, 1966.— 296 с.

8. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1991. — 330 с.

9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949. — 797 с.

10. Берн Ж. Путешествия и приключения капитана Гаттераса. — М.: АСТ, Астрель, 2010. 448 с.

11. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.— М.: ИЛ, 1952.- 476 с.

12. Грушинский Н. П. Теория фигуры Земли. — М.: Наука, 1976. — 512 с.

13. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. — М.: ГИТТЛ, 1953. — 415 с.

14. Джеффрис Г. Земля, ее происхождение, история и строение. — М.: ИЛ, 1960. 486 с.

15. Дубошин Г. Н. Теория притяжения. — М.: ФМ, 1961. — 288 с.

16. Жонголович И. Д. Потенциал земного притяжения // Бюлл. ИТА. — 1957. Т. 6, № 8.

17. Жонголович И. Д. Обзор результатов определения параметров гравитационного поля Земли из наблюдений ИС // Наблюдения ИСЗ. — 1962. — № 1.

18. Жук В. В. Лекции по теории аппроксимации. — СПб.: ВВМ, 2008. 396 с.

19. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ, — М.: Наука, 1977. 744 с.

20. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. — Киев: Наукова думка, 1992. — 304 с.

21. Петровская М. С. Оценки коэффициентов разложения геопотенциала по сферическим функциям // Бюлл. ИТА. — 1971. — Т. 12, № 8.

22. Пицетти П. Основы механической теории фигур планет. — М.: ГТТИ, 1933.- 171 с.

23. Погорелое А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974.— 176 с.

24. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТЛ, 1950.-428 с.

25. Сретенский Л. Н. Теория ньютоновского потенциала. — М.: ГИТТЛ, 1946. 322 с.

26. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: ФМ, 1960. - 624 с.

27. Трещёв Д. В. Гамильтонова механика. — М.: Изд. МИ АН, 2006. — 64 с.

28. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: УРСС, 2003.— 352 с.

29. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. — М.: ИЛ, 1960.- 560 с.

30. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. СПб: Лань, 2009. - 800 с.

31. Харди Г. X., Рогозипский В. В. Ряды Фурье. — М.: ФМ, 1959.— 156 с.

32. Холшевников К. В. Асимптотические методы небесной механики. — Л.: Изд. ЛГУ, 1985.- 208 с.

33. Холшевников К. В., Никифоров И. И. Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах. — СПб.: Изд. СПбГУ, 2008. — 72 с.

34. Холшевников К. В., Питьев Н. П., Титов В. Б. Притяжение небесных тел. СПб.: Изд. СПбГУ, 2005. - 108 с.

35. Чуйкова Н. А. О сходимости разложения внешнего потенциала по сферическим функциям на физической поверхности планеты // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. — 1980. — № 4. — С. 54-63.

36. Чуйкова Н. А. Новое доказательство сходимости ряда Лапласа на физических поверхностях планет // Вестн. Моск. ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. — 1984. Т. 25, № 1. - С. 22-28.

37. Яров-Яровой М. С. О силовой функции притяжения планеты и ее спутника. — Сб. «Проблемы движения искусственных небесных тел». М.: АН, 1963.

38. Cook А. Н. The contribution of observations of satellites to the determination of the earth's gravitational potential // Space Sei. Revs. — 1963. — Vol. 2, no. 3.

39. Farr T. G. et al. The shuttle radar topography mission // Rev. Geophys. — 2007,-Vol. 45, no. 2.- P. 33.

40. Forste C. et al. The geoforschungszentrum potsdam/groupe de recherche de geodesie spatiale. satellite-only and combined gravity field models: Eigen-gl04sl and eigen-gl04c // Journal of Geodesy. — 2008. — Vol. 82, no. 6.

41. Gaposchkin E. M. Smithonian standard earth (iii).— Smithonian Astro-physical Observatory, Cambridge/Mass., Special Report No. 353.— 1973.

42. Gaposchkin E. M., Lambeck K. 1969 smithonian standard earth (ii).— Smithonian Astrophysical Observatory, Cambridge/Mass., Special Report No. 315.- 1970.

43. Jones D. A. Statistical analysis of empirical models fitted by optimisation // Biometrika. 1983. - Vol. 70, no. 1. - Pp. 67-88.

44. Kaula W. M. Statistical and harmonic analysis of gravity // Journ. Geoph. Res. 1959. - Vol. 64, no. 12.

45. Kaula W. M. A geoid and world geodetic system based on a combination of gravimetric, astrogeodetic, and satellite data // Journ. Geoph. Res. — 1961.-Vol. 66, no. 6.

46. Lemoine F. G. et al. The development of the joint nasa gsfc and nima geopotential model egm96 // NASA Goddard Space Flight Center. — 1998.

47. Lerch F. J. et al. Gravitational field models for the earth (gem 1 and 2). — Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, Report X55372146.— 1972.

48. Lerch F. J. et al. Gravitational field models gem3 and 4. — Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, Report X59272476. 1972.

49. Lerch F. J. et al. Goddard earth models (5 and 6). — Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, Report X92174145.- 1974.

50. Lerch F. J. et al. Gravity model improvement using geos3 altimetry (gemlOa and 10b).— 1978 Spring Annual Meeting of the American Geophysical Union, Miami. — 1978.

51. Lerch F. J. et al. Gravity model improvement using geos3 (gem9 and 10) // Journal of Geophysical Research. — 1979. — Vol. 84, no. B8. — Pp. 38973916.

52. Lukacs E. Characteristic functions, second edition. — London, Griffin, 1970. P. 360.

53. Lundquist C. A., Veis G. Geodetic parameters for a 1966 smithonian institution standard earth. — Smithonian Astrophysical Observatory, Cambridge/Mass., Special Report No. 200.- 1966.

54. Magnus W., Oberhettinger F., Soni R. P. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Third Edition. — Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1966. — P. 508.

55. Oberhettinger F. Fourier Transforms of Distributions and their Inverses: A Collection of Tables. — New York, Academic Press, 1973. — P. 167.

56. Pavlis N. K., Holmes S. A., Kenyon S. C.; Factor J. K. An earth gravitational model to degree 2160: Egm2008 // EGU General Assembly 2008. — Vienna, Austria: April 13-18, 2008.

57. Rapp R. H. Gravitational potential of the earth determined from a combination of satellite, observed, and model anomalies // Journal of Geophysical Research. 1968. - Vol. 73, no. 20. - Pp. 6555-6562.

58. Rapp R. H. Numerical results from the combination of gravimetric and satellite data using the principles of least squares collocation. — The Ohio State University, Department of Geodetic Science, Report No. 200, Columbus/Ohio. 1973.

59. Rapp R. H. The earth's gravity field to degree and order 180 using seasat altimeter data, terrestrial gravity data, and other data. — The Ohio State University, Department of Geodetic Science, Report No. 322, Columbus/Ohio. 1981.

60. Rapp R. H., Cruz J. Y. Spherical harmonic expansion of the earth's gravitational potential to degree 360 using 30' mean anomalies. — The Ohio State University, Department of Geodetic Science, Report No. 376, Columbus/Ohio. 1986b.

61. Rapp R. H., Pavlis N. K. The development and analysis of geopotential coefficient models to spherical harmonic degree 360 // Journal of Geophysical Research. 1990. - Vol. 95, no. B13. - Pp. 21885-21911.

62. Rapp R. H., Wang Y. M., Pavlis N. K. The ohio state 1991 geopotential and sea surface topography harmonic coefficient models. — The Ohio State University, Department of Geodetic Science, Report No. 410, Columbus/Ohio. 1991.

63. Tapley B. et al. Ggm02 an improved earth gravity field model from grace // Journal of Geodesy. — 2005. — Vol. 79, no. 8.

64. TR8350.2. Department of defense world geodetic system 1984, its definition and relationships with local geodetic systems, third edition: Tech. rep.: NIMA, 2004.

65. Wagner C. A. et al. Improvement in the geopotential derived from satellite and surface data. — Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, Report X9217620. 1976.