Определение параметров системы неподвижных центров, представляющих гравитационное поле планеты тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Построение системы точечных масс, 1цредставляющих гравитационное поле планета.II

§ I. Вводная часть. II

§ 2. Осесимметричная планета.

§ 3. Модель с вещественными параметрами.Г

§ 4. Построение модели без выскакивающих точек

§ 5. Модель, аппроксимирующая незональную часть потенциала планеты •

Глава 2. Уточнение параметров многоточечной модели по изменениям элементов орбит спутников •

§ I. Предварительные замечания.

§ 2. Условные уравнения.

§ 3. Условные уравнения в случае модели с вещественными параметрами.

§ 4. Условные уравнения для моделей с комплексными параметрами.

§ 5. Уточнение параметров многоточечной модели с учетом амшшзуд долгопериодических возмущений

Глава 3. Уточнение параметров пространственных точечных масс по лазерным наблвдениям спутников.

§ I. Уточнение модели с вещественными параметрами

§ 2. Уточнение модели с комплексными параметрами . •

Глава 4* Численное исследование

§ I. Исходные данные.

§ 2. Уточнение параметров осевых моделей в линейном случае.

§ 3. Уточнение в нелинейном случае.

§ 4. Апостериорная оценка точности.

Классическим представлением гравитационного потенциала тела Г является разложение в ряд по шаровым функциям. Такое представление удобно для аналитической теории. На практике ограничиваются конечным отрезком ряда где JM- гравитационный параметр тела, г - расстояние от начала координат до пробной точки, Q - направление этой точки, Я - масштабный множитель, за который принимают обычно экваториальный радиус планеты, Yn - сферическая функция Лапласа. С увеличением точности к возрастает* Возникают трудности при вычислении возмущений, вызываемых последними членами ряда: увеличивается время счета сферических функций Yn , теряется точность окончательного результата, связанная с вычислением входящих в Ул присоединенных функций Лежавдра по рекуррентным формулам. К недостаткам представления (2) относятся трудность точного описания поля планеты в ее локальных областях и плохая сходимость ряда для потенциала вблизи поверхности планеты. В настоящее время существуют модели, о шагание гравитационного поля которых основано на других принципах (см.например, обзорную статью [l] ). Наиболее перспективной представляет модель гравитирующих точечных масс* Потенциал (1) заменяется конечной суммой

I)

2) v-• (3) где rf=(x-xt)2-Ky-y-f+iz-zif,' mi, xv y.t zt масса и координаты i -той точки. Таким образом, потенциал представляется линейной суперпозицией сингулярных неортогональных функций 1 /г£ , г - 1,. / . Б работе [2] доказывается полнота этой системы, что обеспечивает возможность сколь угодно точной аппроксимации потенциала. Далее будет употребляться термин "система многоточия", под которой понимается система точечных масс. Модель (3) обладает рядом преимуществ по сравнению с классическим представлением потенциала. К ним относятся однородность представления потенциала, более простое вычисление возмущений при численном интегрировании дифференциальных уравнений движения ИСЗ. Эти два преимущества дают сокращение машинного времени и простоту программирования.

Точность (3) зависит от того, как определяется близость суммы JJ к потенциалу (1). В некоторых работах [3] используется невязка мезду потенциалом (1) и аппроксимирующим потенциалом U вида

VI,. №555/^' <4) где интегрирование ведется по объему полости D, являющейся внутренностью, заключенной макду двумя концентрическими сферами радиусов а и Ъ (0 < а < b ); F - гармоническая функция. В работе [1] предлагается ввести норму в пространстве

A A J гармонических в Т (Т=М \Т) функций следующим образом: если F представлена рядом Лапласа с общим членом как в (2), то и соответственно невязка будет ^ = ||Z7-V||2 # Интегрирование проводится по охватывающей тело Т сфере; коэффициенты oin> О подчинены условию сходимости (5)» Норма (5) более общего вида, чем (4), которая получается из (5) при оьП'(а^2п-Ь^2п)1(2п-\)т

При определении параметров -^^'^л-'^бс^л возможны два подхода: 1) нахождение параметров на основе имеющейся информации о коэффициентах ряда Лапласа, 2) непосредственное определение из наблюдений ЙСЗ, либо гравиметрических измерений. Отметим, что при первом подходе найденные шраметры системы многоточия не могут описывать гравитационное поле точнее исходного рада Лапласа. Встает задача уточнения полученных параметров, которые выступают уже в роли априорной информации, по каким-либо наблюдениям*

Теория движения искусственных спутников любой планеты нуждается в точном представлении потенциала этой планеты. Во времена Ньютона было установлено, что потенциал тела со сферическим распределением плотности материи совпадает с потенциалом точки, расположенной в центре масс и по зшчению совпадающей с массой тела. Это предетавление потенциала планеты применялось на практике. Для точности наблюдений, проводишихся в те времена, этого было достаточно. Ведь небесных: тел ближе Луны не было. Примерно через триста лет в работе Б.П.Аксенова, Е.А.Гребеникова, В.Г.Демина [4] была предложена модель потенциала планеты, состоящая из двух точечных масс. Такая модель описывает значительно точнее движение спутников планеты. Впервые вопрос о представлении потенциала системой большего числа точечных масс появился в работе М.С.Яров-Ярового [ 5 ] • Далее, примерно одновременно он рассматривался у М.А. Алексидзе [б] и Д.Вейтмана [7] • Такое представление кажется естественным и, возможно, вопрос о нем возникал уже у классиков. Но практическая реализация построения потенциала системы точечных масс стала возможной только с появлением мэщяых вычислительных средств, поскольку представление потенциала по неортогональной системе функций требует значительно большего числа вычислений, чем по ортогональной* К настоящему времени вышло уже большое число работ (например, [8] * [9] , [10] . ), посвященных многоточечным моделям. Б силу сложности задачи решения нелинейных уравнений некоторые авторы [II] , [12] заранее задают положения точек и варьируют только зш-чения т^ . При этом координаты точечных масс задаются либо произвольно, либо с учетом внутренней структуры планеты (местоположения гравитационных аномалий, маскояы). Возможны комбинированные модели потенциала, состоящие из точечных масс и отрезка ряда Лапласа (2), как предложено в [13], [14] , [15] . Наконец отметим, что в работе [16] дается достаточно подробный обзор литературы по представлению потенциала планеты системой точечных: масс.

Настоящая работа посвящена методике построения системы точечных масс, аппроксимирующих гравитационный потенциал планеты. Краткое содержание. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.

В первой главе рассматриваете я построение системы точечных масс, представляющих гравитационное поле планеты, на основе уже известного отрезка ряда Лапласа (2). Вводится классификация многоточечных моделей в зависимости от нормальной части потенциала. Решаются задачи построения системы многоточия, расположенной на оси вращения планеты с вещественными координатами, либо координатами, не выходящими за границу радиуса планеты. Кроме того, доказывается существование возможности аппроксимации зональных коэффициентов точечными массами с вещественными и ограниченными координатами. Выведены уравнения для получения значений точечных масс, представляющих незональную часть потенциала. Предложено построение модели, обладающей свойством разделения возмущений: в центре масс системы помещена точка, вызывающая основное притяжение; на оси вращения располагаются точечные массы, отвечающие зональной части классического представления потенциала; вне оси внутри планеты помещается другая часть точек, отвечающих за возмущения незональной части потенциала.

Во второй главе излагается алгоритм уточнения значений осевых точечных масс по вековым изменениям долготы восходящего узла и углового расстояния перицентра орбит спутников. За условные уравнения взяты уравнения Лагранжа, двукратно осред-ненные по аргументу перицентра и средней долготе. Двукратный интеграл сводится к интегралу от эллиптического интеграла. Исследуется величина модуля эллиптического интеграла. Приводятся условные уравнения для нахождения поправок к уточняемым параметрам в вещественном и комплексном случаях. При малом числе наблюдений предлагается проводить условную минимизацию суммы квадратов невязок с сохранением суммы масс и фиксацией центра масс с из темы точек. Выводятся соответствующие условные уравнения. Выясняется однозначность потенциала с комплексными параметрами. Предлагается способ уточнения параметров многоточечной модели с учетом амплитуд долгопериодических возмущений элементов орбит спутников.

Третья глава посвящена уточнению параметров пространственных точечных масс» За измерительную информацию взяты лазерные наблюдения наклонной дальности спутника и скорости ее изменения. Приводятся условные уравнения, элементы соответствующей матрицы Якоби вычисляются посредством решения системы дифференциальных: уравнений в вариациях. При этом учитываются возмущения, вызываемые только точечными массами. По аналогии со второй главой выводятся условные уравнения в случае минимизации суммы квадратов невязок при ограничениях. Для потенциала с комплексными параметрами находятся условия, обеспечивающие его однозначность.

В четвертой главе приводятся численные результаты проведенных уточнений по алгоритмам главы 2. В качестве уточняемых моделей рассматриваются системы многоточий, представляющих зональную часть геопотенциала и вычисленных по алгоритмам главы I. Для сравнения в §1 рассмотрены вещественные и комплексные модели. У вещественных моделей точки располагаются тремя способами: у поверхности планеты, вблизи центра масс и квазиравномерно. Уточнение параметров для этих моделей проводится при фиксированных положениях: точек. Кроме таблиц этих моделей приведены также результаты минимизаций, осуществленных по координатам точечных масс* В последнем случае применялся также симплексный метод Нелдера - Мида.

В заключении резюмируются результаты проведенных исследований. Предлагаются дальнейшие пути исследований.

В приложении представлены программы на языке Фортран (реализации алгоритмов глав I, 2), некоторые результаты вычислений, вековые изменения элементов и ш для 15 спутниeobv зональные коэффициенты реального доля Земли, соответствующие Стандартной Земле II.

Ссылка на формулу 4 из главы 2 кодируется как (2.4). Числа в квадратных скобках означают ссылки на список литературы.

На защиту автором выносятся следующие результаты:

Т. Построение и исследование моделей многоточия по постоянным Стокса. Анализ вещественности и ограниченности координат точечных масс. Исследование однозначности потенциала в комплексно! случае.

2. Уточнение многоточечных моделей по вековым изменениям элементов орбит спутников. Комплекс программ на языке Фортран для этого алгоритма.

3. Построение алгоритма уточнения параметров точечных масс непосредственно по спутниковым наблюдениям (наклонной дальности и лучевой скорости).

4. Исследование конкретных примеров.

Заключительные замечания. Я хочу поблагодарить и выразить признательность В.А.Антонову и К.В.Холшевяикову, с которыми обсуздал различные аспекты этой задачи и замечания которых мне были очень полезны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты работы:

1. В общей постановке задачи построения системы Ж точечных масс с вещественными параметрами возможна аппроксимация в наихудшем случае только JV +1 моментов 1к (зональных коэффициентов) . Такой же вывод справедлив и при построении моделей с точками, имеющими ограниченные координаты.

2. Доказана возможность аппроксимации JV+/ моментов точечными массами с вещественными и ограниченными координатами при выполнении условия < 10 для кеплеровых моделей. С другой стороны, при аппроксимации N+2 моментов, приведены примеры наборов моментов, когда невозможно построить модель точек с вещественными координатами или модель с ограниченными координатами. Указанное выскакивание и мнимость точек не являются абсолютно неизбежными. В конкретных примерах дело шжет обходиться без этих недостатков при аппроксимации N+2 и более моментов.

3. Выведены уравнения для определения параметров системы многоточия, представляющей незональную часть потенциала планеты.

4. Построены алгоритмы оцределения параметров точечных масс на основе известного разложения потенциала и соответствующие программы не языке Фортран.

5. Приведен алгоритм уточнения параметров , расположенных на оси вращения планеты точечных масс по вековым изменениям элементов (долготы восходящего узла и аргумента перицентра) орбит спутников. Исследованы особенности алгоритма. При уточнении комплексных параметров в некоторых случаях величина модуля эллиптических интегралов, к которым сводится интегрирование, шдет стать больше единицы. Для этих ситуаций указано соответствующее изменение алгоритма. При плохой обусловленности матрицы нормальных уравнений предложен способ уменьшения размерности вектора уточняемых шраметров.

6. Изложена схема уточнения параметров осевых точечных масс с учетом амплитуд долгопериодических колебаний элементов орбит спутников.

7. Построен алгоритм уточнения многоточечной модели непосредственно по спутниковым наблюдениям - наклонной дальности и скорости ее изменения.

8. Найдены достаточные условия, обеспечивающие однозначность потенциала с комплексными шраметрами при его пространственном продолжении.

9. По алгоритму уточнения, использующему вековые изменения элементов, получены некоторые конкретные системы многоточий, представляющих зональную часть геопотенциала. Наименьшие коэффициенты корреляции получились при уточнении шраметров комплексной модели. Проведены апостериорные оценки точности полученных моделей по измерениям близ экваториальных спутников.

По данной теме нам представляются возможными следующие направления исследования:

1. Попытаться просчитать аналитически примеры, отличные от однородного эллипсоида вращения по алгоритмам главы I в методических целях (работоспособность метода).

2. Разработка алгоритмов в смысле их экономичности, что может стать актуальным при построении большого числа согласованных моделей.

3. Выбор по наблюдениям спутников координат точечных масс так, чтобы число обусловленности матрицы нормальных уравнений было минимальным,

4. Построение условных уравнений и уточнение параметров осевых эйлеровых моделей.

5. Построение системы точечных масс с использованием большего числа наблюдений спутников по алгоритму главы 3.

6. Дальнейшее уточнение параметров системы многоточия с учетом влияния движения полюсов на координаты станций слежения.

7. Детальное сравнение классических методов и методов, основанных на точечном представлении потенциала.

1. Марченко А.Н. О некоторых теоретических аспектах представления геопотенциала потенциалом системы точечных масс, -Известия высших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка; 1982, № 3, с.51-57.

2. Бальмино Дж. Представление потенциала Земли с помощью совокупности точечных масс, находящихся внутри Земли. В кн.: ' Использование искусственных спутников для геодезии. М.: Мир, 1975, с.Г78-183.

3. Аксенов Е.П., Гребешков Е.А., Демин В.Г. Общее решение задачи о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли. В сб.: Искусственные спутники Земли. М., 1961, вып.8, с.64-71.

4. Яров-Яровой М.С. О силовой функции притяжения планеты и ее спутника.- В кн.: Проблемы движения искусственных небесных тел. Доклады на конференции по общим и прикладным вопросам теоретической астрономии. М.: Наука, 1963, с.259-277.

5. Balmino G. La representation du potentiel terrestre par masses ponctuelles. Bull, geodesique, 197% N 111, p, 85-108

6. Фомин B.H. 0 представлении гравитационного поля простейших тел притяжением точечных масс, В сб.: Астрономия и геодезия, Томск: изд-во ТГУ, 1980, вып.8, с,Ю2-П0.

7. Levle S#L,Jr. Simple mass distribution for the Lunar potential. -Moon, 1971, N 3, P. 315-325*

8. Sjogren W.L. et al. Mars gravity field based on shortarc technique. J.Geophys, Ees, 1975» 80, N 20, p. 2899 -2908.

9. Гордеева Ю.Ф. Учет влияния концентрированных масс в полуаналитическом методе расчета движения ИСЗ. Препринт ИПМ АН СССР, 1973, № 26, 68 с.

10. Лидов М.Л., Гордеева Ю.Ф. Влияние масконов как мешающих параметров при прогнозировании движения ИСЛ, Препринт ИПМ АН СССР, 1973, №71, 44 с.

11. Каплан М.Г., Кункив Б.Г. Модель потенциала Луны с учетом влияния масконов. В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии. М.: Мир, 1975, с.370^-382,

12. Мещеряков Г.А., Марченко А.Н. О многоточечных моделях геопотенциала. В кн.: Изучение Земли как шенеты методами астрономии, геодезии и геофизики. Труды I Орловской конференции. Киев: Наукова думка, 1982, с.121-131.

13. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике./Под ред.Г.Н.Дубошина. М.: Наука, 1976.- 864 с.

14. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли.-М.: Наука, 1977. 360 с.

15. Аразов Г.Т. О задаче трех неподвижных центров. Письма в Астрон.журн., 1975, r.I, № 6, с.42-45.

16. Козлов И.С. Задача четырех неподвижных центров и ее приложения к теории движения небесных тел. Астрон.журн., 1974, т.51, вып.X, с.191-198.

17. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. --М.: Наука, 1975. 800 с.

18. Антонов В.А. Представление гравитационного поля планеты потенциалом системы точечных масс. Тр.Астрон.обсерватории Ленингр.ун-та, 1978, т.34, с.145-155.

19. Уральская B.C., Журавлев С.Г. Движение искусственных спутников в гравитационном поле Земли,- В кн.: Исследование космического пространства /Йтоги науки и техники. М., 1980,т.15, с.5-43.

20. Фомин В.Н. Представление геопотенциала точечными массами. -Кавд.дис. 1., 1980. - 102 с.

21. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорретных задач. М.: Наука, 1979. - 288 с.

22. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. - 536 с.

23. Полещиков С.М. О построении вещественной системы точечных масс , представляющих гравитационное поле планеты. Вестник Ленингр.ун-та, 1984 , № I, с. 95-90

24. Kbolshevnikov K.V. On Convergence of an Asymmetrical Body Potential Expansion in Spherical Harmonics. Gelest. Mech.,1977» v. 16, N 1, p. 45 60.

25. Полещиков C.M. Об одной модификации точечной модели,представляющей геопотенциал . Ленинград, 1983. - 5 с. - Рукопись представлена Ленингр.ун-том. Деп. в ШНИТЙ , 22ноября 1983, £ 6200-83.

26. Уиттекер Э.Т., Вате он Д. Н. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963.--516 с.

27. Форсайт Дж., Малькольм M., Моулер К, Малинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

28. Каула У. Спутниковая геодезия. М.: Мир, 1970. - 172 с.

29. Козаи И. Определение зональных гармонических коэффициентов. В кн.: Стандартная Земля. Геодезические параметры Земли на 1966 г. М.: Мир, 1969, с.101-102.

30. Полещиков С.М. Алгоритм уточнения параметров системы точечных масс, представляющей гравитационное поле осесимметрич-ной планеты. Ленинград, 1983. - 28 с. - Рукопись представлена Ленингр. ун-том . Деп. в ВИНИТИ 22 иояе-ря 1983, В 6201-S3.

31. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: изд-во МГУ, Ю71.-508С.

32. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. « М.: Наука, 1971. 444 с.

33. Градштейн И.О., Ршсик И.М. Таблицы интегралов, сумм , ряцов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

34. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. - 304 с.

35. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. - 416 с.

36. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их приложения. -М.: Наука, 1968. 548 с.

37. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н.Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л.: Физматгиз, 1961. - 736 с.

38. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 564 с.

39. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. - 248 с.

40. Кинг-Хили Д. Теория орбит искусственных спутников в атмосфере. М.: Мир, 1966. - 192 с.

41. Гордеева Ю.Ф. Влияние концентрированных масс на эволюцию орбиты спутника. Препринт ИПМ АН СССР, 1970, № 21, 38 с.

42. Урмаев М.С. Орбитальные методы космической геодезии. М.: Недра, 1981. - 256 с.

43. Эскобал П. Методы определения орбит. М.: Мир, I970.-472 с. 49* Kozai Y. Revised Values for Coefficients of Zonal Spherical

44. Harmonics in the Geopotential. Ins Dynamics of Satellites

45. Berlin -Heidelberg-Hew York» Springer, 1970, p. 104 108.

46. Козаи И. Зональные гармонические коэффициенты. В кн.:

47. Стандартная Земля. Геодезические параметры Земли на 1966 г. М.: Мир, 1969, с.147-160.

48. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М.: Наука, 1978. - 351 с.

49. Казенав А., Форестье Ф., Ноэль Ф., Пеплу Дж.Л. Улучшение зональных гармоник цри использовании наблюдений спутников с низким наклонением орбиты. В кн.: Использование искусственных спутников для геодезии. М.: Мир, 1975, с.212--218.