Исследование течений вязкой жидкости в каналах сложной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1 Дискретизация уравнений Навье - Стокса.

Некоторые сведения из теории разностных схем.

§1.1 Проблема конечно-разностной аппроксимации уравнений Навье - Стокса

Система определяющих уравнений.

Неявная конечно-разностная аппроксимация уравнений движения.

Сходимость итерационных методов решения системы уравнений (1.1.3).

Обратимость матрицы Ъ.

Дискретизация конвективной части. 1.2 Новый способ дискретизации уравнений Навье - Стокса, основанный на алгебраическом разложении решения.

Способ построения решения на основе алгебраического разложения скоростей.

Способ построения решения на основе разложения давления.

Результаты и выводы.

ГЛАВА 2 Компьютерная реализация алгоритмов вычисления течений несжимаемой жидкости.

§2.1 Сеточные генераторы.

Простейший эллиптический сеточный генератор.

Трехмерный сеточный генератор.

§2.2 Конечно-разностный алгоритм на разнесенной сетке.

Аппроксимация конвективной и диффузионной частей.

Сходимость алгоритма.

Достоверность результатов вычислений.

§2.3 Реализация алгоритмов, основанных на алгебраическом расщеплении расчетных величин.

Пример расчетов на существенно неортогональной сетке.

SIMPLE процедура для решения системы (1.2.5).

Результаты и выводы.

Глава 3 Численное исследование течений в трубах сложной формы.

§3.1 Представление результатов расчетов.

Преобразование координат из расчетного пространства в физическое.

Визуализация траектории движения жидкой частицы.

§3.2 Течение вязкой несжимаемой жидкости в трубе завязанной узлом.

§3.3 Численная модель течения крови в сосуде с аневризмой.

Реология крови.

Пространственные течения в сосудах сложной формы.

Постановка задачи и краевые условия.

Оценка влияния неньютоновости среды на результаты расчетов, рассматриваемых течений крови.

Течение ньютоновской жидкости в трубе с несимметричным вздутием.

§3.4 Кинкинг сонной артерии.

Результаты и выводы.

В настоящее время в связи с развитием численных методов и электронно-вычислительных машин появилась возможность моделировать сложные процессы, в частности, исследовать пространственные течения крови в кровеносной системе человека. Основой для изучения гемодинамики в крупных сосудах человека с развитым течением являются уравнения Навье - Стокса [1], либо уравнения движения неньютоновских жидкостей в других фрагментах сосудистой системы [2]. В крупных кровеносных сосудах малого круга кровообращения человека часто возникают различные патологии, обусловленные значительной динамической нагрузкой на стенки кровеносных сосудов, так как числа Рейнольдса здесь достаточно велики. Одной из таких патологий является аневризма. Аневризмой называется раздутие стенки кровеносного сосуда, появляющееся в первую очередь на искривленных и разветвляющихся участках сосудов вследствие ослабления упругих свойств стенки. В результате в пазухе вздутия формируются слабоинтенсивные вторичные вихревые структуры, в которых образуются тромбы. Математическая модель этого процесса описана в работе [3]. Вымывание тромба из аневризмы, может привести к закупорке кровеносных сосудов. Исследованию вопроса формирования аневризмы и структуры течений в ней посвящено значительное число работ [4,5,6,7,8,9]. Большая часть этих работ была посвящена обсуждению экспериментальных результатов [5,6,7,8]. Наиболее яркими работами, посвященными численному моделированию движения крови в аневризме, являются [4,9]. В работе [4] рассматриваются причины появления аневризмы и даются распределения напряжения сдвига по исследуемым областям. В работе [9] проводится исследование структуры течения в сформировавшейся аневризме и вымывание тромбов в кровеносную систему из вздутия. Однако, ни в одной из работ, посвященных проблематике движения крови, через кровеносный сосуд с аневризмой не проводилось детального исследования структуры вихрей в зависимости от положения вздутия, степени искривления сосуда и величины числа Рейнольдса. Одна из главных причин связана с тем, что во всех этих работах использовались сложные модели кровеносного сосуда, которые учитывали упругость стенок, нестационарный характер течения крови и другие качества биологической системы. Это потребовало значительных ресурсов ЭВМ, и как следствие, продолжительных расчетов. Сложность модели и продолжительность расчетов не дает возможности провести параметрический анализ. Поэтому, проблема формирования вихрей в зарождающейся аневризме недостаточно изучена.

Во всех вышеуказанных работах применялись конечно-элементные методы, которые позволяют хорошо моделировать различные физические процессы в геометрически сложных областях. Однако, при использовании таких методов с низким порядком аппроксимации существует большая чем у конечно-разностных методов опасность получения нефизических распределений в областях со значительными градиентами расчетных величин [10]. В таких областях следует сгущать сетку, либо значительно усложнять алгоритм, повышая порядок аппроксимации. Это приводит к значительному увеличению времени счета, что, несомненно, затрудняет моделирование. Конечно-разностные методы позволяют более точно интегрировать системы дифференциальных уравнений [11]. Для применения конечно-разностных методов в областях сложной формы наиболее удобна неразнесенная сетка. Однако, при расчетах на такой сетке также существует опасность получения нефизичных решений, связанных с тем что разностный оператор, отвечающий системе уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости имеет ненулевое ядро. Для разрешения этой проблемы обычно используют регуляризацию [12,13], либо различные стабилизирующие процедуры, например, метод искусственной сжимаемости [14,15]. Широко известно, что использование тех или иных регуляризирующих процедур часто приводит к фиктивным решениям. А использование метода искусственной сжимаемости приводит к значительному количеству итераций [16], что делает проблематичным его использования для моделирования нестационарных течений жидкости.

В патологических ситуациях сонная артерия человека делает петлю, называемую кинкингом. В таких участках кровеносной системы наблюдается эффект увеличения сопротивления, в сравнении прямолинейным участкам такой же длинны. Следствием этого может служить недостаточно снабжение мозга кислородом. В силу того, что данная патология встречается редко, оценок сопротивления таких участков не сделано. Во всех учебниках по хирургии указано, что такие участки кровеносных сосудов необходимо удалять. Однако, на практике удаление кинкинга не всегда приводит к значительным улучшениям. Поэтому оценка относительного сопротивления кровеносного сосуда делающего петлю актуальна для практики.

Целью данной работы является исследование течений вязкой несжимаемой жидкости в ранней аневризме с жесткими (ригидными) стенками на искривленных участках и кинкинга сонной артерии. Для достижения поставленой цели были решены следующие задачи:

1. Разработан способ аппроксимации полных уравнений Навье - Стокса несжимаемой жидкости, позволяющий строить разностный оператор с нулевым ядром без ввода регуляризирующих операторов.

2. На основе данного подхода к интегрированию уравнений, описывающих движения жидкости было создано программное обеспечение, позволяющее моделировать течения в областях сложной формы.

3. Исследовано влияние положения несимметричного вздутия и степени кривизны искривленной трубки с жесткими стенками на структуру течения при различных числах Рейнольдса.

4. Рассчитано относительное сопротивление кинкинга сонной артерии при различных значениях чисел Рейнольдса и кривизны закрутки петли.

Методы исследования

Решение поставленных задач осуществлялось с использованием численных методов (в том числе метода конечных разностей), методов моделирования на ЭВМ и методов алгебры.

На основе анализа существующих конечно-разностных схем решения уравнений Навье - Стокса был разработан новый способ аппроксимации, позволяющий строить систему разностных уравнений с нулевым ядром на неразнесенной сетке.

С использованием методов алгебры было доказано, что для решения полученной системы разностных уравнений возможно применить широко известную SIMPLE процедуру. Для расчета траекторий движения жидких частиц по насчитанному полю скоростей был применен метод Рунге-Кутта, интерполяционный многочлен Лагранжа и кубический сглаживающий сплайн.

Основные положения выносимые на защиту

1. Предложен способ конечно-разностной аппроксимации уравнений Навье -Стокса, описывающих вязкую несжимаемую жидкость, реализованный на неразнесенной сетке и позволяющий получить разностный оператор системы с нулевым ядром. Способ основан на алгебраическом разложении скоростей на две части, и при аппроксимации уравнения неразрывности для каждой из скоростей применяются разности, направленные в противоположные стороны, а градиент давления аппроксимируется центрально-разностным оператором, разложенным на сумму двух операторов, шаблоны которых направлены в разные стороны.

2. При расположении вздутия на вогнутой части сосуда, наблюдается эффект снижения сопротивления. А в одном из положений вздутия близком к выпуклой части искривленного сосуда достигается максимум сопротивления, который связан с возникновением в таком положении интенсивной одно-вихревой структуры.

3. Кровеносный сосуд с несимметричной аневризмой подвергается максимальной нагрузке при расположении вздутия на выпуклой части сосуда вследствие наличия эффекта локального повышения давления и увеличенния нагрузки, вызванной повышенным сопротивлением.

Достоверность

Достоверность полученных результатов работы, обеспечивается строгостью используемых математических постановок задач, непротиворечивостью результатов и выводов, их соответствием современным представлениям в гемодинамике. Результаты расчетов являются достоверными, поскольку использованная разностная схема имела обратимый разностный оператор, и следовательно являлась абсолютно устойчивой. Кроме того, полученные по предложенной разностной схеме результаты сравнивались с экспериментом, расчетами других авторов и расчетами на основе других способов аппроксимации.

Научная новизна

1. Предложен новый способ аппроксимации уравнений Навье - Стокса на неразнесенных сетках, позволяющий строить матрицу системы с нулевым ядром без ввода регуляризирующих операторов и стабилизирующих процедур. Это делает построенную разностную схему абсолютно устойчивой.

2. Установлена структура течения вязкой несжимаемой жидкости в трубках с несимметричным вздутием в зависимости от местоположения вздутия.

3. Установлено, что при стационарном течении ньютоновской жидкости через искривленную трубку с несимметричным, ранним вздутием наблюдается эффект обмена массы с остальным потоком.

4. Найдено, что максимальное давление на стенку возникает при расположении вздутия на внешней стороне искривленной трубки.

5. Обнаружен эффект снижения сопротивления искривленного участка сосуда с несимметричным вздутием при его расположении на вогнутой стороне.

6. Рассчитано относительное сопротивление кинкинга сонной артерии.

Практическая значимость диссертационной работы определяется возможностью применения нового способа аппроксимации уравнений Навье -Стокса на неразнесенной сетке в переменных скорость-давление, позволяющего строить совместную систему разностных уравнений с нулевым ядром, и соответственно абсолютно устойчивую неявную разностную схему. Тем самым отпадает необходимость подбора способа регуляризации или стабилизирующих процедур, а так же позволяет решать возникающую систему линейных уравнений используя безитерационные методы. Раскрытые эффекты течения жидкости через трубки с несимметричным вздутием позволят глубже понять причины возникновения аневризмы в крупных кровеносных сосудах человека.

Созданы пакеты программ:

1. Для построения трехмерной разностной сетки на основе эллиптического сеточного генератора.

2. Для расчета и визуализации течений вязкой несжимаемой жидкости на сетках, полученных в сеточном генераторе. Построенная диалоговая система позволяет проводить параметрический анализ и визуализацию в различных сечениях трехмерной области решения по полям скорости, по распределениям давления и проводить визуализацию траекторий движения жидких частиц.

3. Создана программа для пространственной визуализации расчетных областей.

Данные пакеты обеспечивают высокую точность расчетов и наглядность представления результатов.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на четырех конференциях, в том числе на оной международной: посвященной 80-летию академика H.H. Яненко, Новосибирск 2001 г и трех Всероссийских: «Механика летательных аппаратов» Томск 1999 г., "Вычислительные технологии-2000" Новосибирск 2000 г, конференция молодых ученых, посвященная 10 летию ИВТ СО РАН Новосибирск 2000 г.

Вклад автора

При получении результатов данной работы, автором сделан определяющий вклад, заключающийся в создании нового способа аппроксимации уравнений Навье - Стокса и реализации комплекса программ для численного решения указанных уравнений в сложных областях. Автору принадлежит идеи исследования невыраженных, несимметричных вздутий в искривленных трубках. Идея исследования разворота вздутия вокруг оси искривленной трубки и структуры давления жидкости в трубке принадлежит Бубенчикову A.M. Эффект обмена массой несимметричным вздутия с основным потоком, используя траектории жидких частиц, был обнаружен автором совместно с Альбрандтом Е.В. и Бубенчиковым A.M.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение

Совокупность результатов изложенных в работе позволила расширить диапазон численного анализа в динамике вязкой жидкости и решить проблему аппроксимации уравнений Навье - Стокса несжимаемой жидкости на неразнесенной сетке, посредством конструирования обратимого оператора разностной схемы без использования регуляризаторов. Это позволяет строить абсолютно устойчивые неявные аппроксимации указанных уравнений. Метод, развиваемый в настоящей работе, может найти широкое применение при решении задач гидромеханики, в сложных областях, покрытых неразнесенной сеткой, для которых затруднен поиск надежной регуляризации. Основные результаты работы

1. Разработан новый способ аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, позволяющий строить разностный оператор системы с нулевым ядром без использования регуляризаторов и стабилизирующих процедур.

2. Разработан пакет программ для конструирования сетки, покрывающей исследуемую область, и выполнены численные исследования течений ньютоновской и неньютоновской жидкостей, на полученных сетках. Создан пакет программ для визуализации пространственных течений в трехмерных областях. Проведено сравнение результатов расчета по полученному алгоритму с экспериментом и другими численными расчетами. Показана эффективность и надежность предлагаемой численной процедуры на примерах численного анализа течений ньютоновской и неньютоновской жидкостей с использованием различных способов аппроксимации конвективных членов, градиента давления и уравнения неразрывности.

3. Расчетами показано, что модель ньютоновской среды является вполне приемлемой при описании течения крови через рассмотренные крупные кровеносные сосуды.

4. Проведены исследования течения ньютоновской и неньютоновской жидкостей в искривленных трубках с несимметричным вздутием. Результаты

88 расчетов показали, что максимальное давление на такую трубку формируется в месте смыкания вздутия с не раздутой частью трубки. Причем максимальное давление во вздутии и сопротивление изучаемого сегмента падает при развороте вздутия от выпуклой стороны трубки к ее вогнутой части. Вихревые структуры, формирующиеся во вздутии, обмениваются массой с остальным потоком, что снижает вероятность образования тромба.

6. Петля, образуемая кровеносным сосудом, оказывает значительное относительное сопротивление движению крови при малых числах Рейнольдса и малой кривизне изгиба.

1. К.Каро, Т.Педли, Р.Шротер, У.Сид Механика кровообращения. Москва. «Мир» 1981 607с.

2. Einav S., Berman H.J., Fuhro R.L., DiGiovanni P.R., Fine S., Fridman J.D. Measurement of Velocity Profiles of Red Blood Cells in the Microcirculation by Lather Doppler Anemometry (LDA)//J. Of Bioreology. 1975. Vol. 12. P.207-210.

3. Baldwin Susan, Basmadjian Diran A mathematical model of thrombin production in blood coagulation. Part 1. The sparsely covered member case. // Ann. Biomed. Eng. 1994-22 No 4 p. 357-370.

4. Low M., Perktold K., Raunig R. Hemodynamics in rigid and distensible saccular aneurysm: A numerical study of pulsate flow characteristics. Biorheology 1993, 30, p.287-298.

5. Stehbens W.E. Flow Disturbances in Glass Models of Aneurysms at Low Reynolds Numbers// Q.J.Exp.Physiology.1974. Vol. 59. P.167-174.

6. Ferguson G.G. Physical Factors in the Initiation, Growth and Rupture of Human Intracranial Saccular Aneurysms.// J. Neursurg.1972/ Vol. 37. P666-676.

7. Steiger H.J. Patophysiology of Development and Rupture of Cerebral aneurysms// ActaNeurochir. 1990. Vol. 48. P. 11-23.

8. Kayembe K.N.T. Sasahara M., and Nazama F. Cerebral Aneurysms and Variations of the Circle of Willis// Stroke. 1984. Vol. 15. P.846-850.

9. Niimi H., Kawano Y., and Sugiyama I. Structure of Blood Flow Through a Curved Vessel with Aneurysm.// J. Of Biomechanics. 1984. Vol. 17. P. 695-701.

10. Полежаев В.И., Простомолотов А.К, Федосеев А.И. Метод конечных элементов в задачах гидромеханики и тепломассообмена. Технологические приложения. //Численные методы и приложения. Труды международной конференции, София, 1989 с.375-384.

11. Jan Jin Attractiors and error estimates for diskretization of incompressible Navier-Stokes equations. SIAM JNumer. Anal. 1996 Vol. 33 №4 p.1451-1472

12. Yl.Rhie C.M., Chow W.L. Numerical Study of the Turbulent Flow Past an Airfoil with Trailing Edge Separation. AIAAA Journal, 1983. Vol. 21, No.ll. pp.1525-1532.

13. Shen Jie On new pseudocompressibility method for the incompressible Navier-Stokes equations. Appl. Numer. Math. 1996. Vol 21 №1. p.71-90.

14. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М. Мир, 1981.

15. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Физматгиз 1959.

16. ЛР. Шрагер, А.Н. Козлобородов, В. А. Якутенок Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск. Издательство Томского университета 1999 г. 231с.

17. Грынь В. И. О семействах точных решений стационарных уравнений Эйлера и Навье-Стокса Ред. Ж. вычисл. мат. и мат. физ. РАН. М., 1998. - 94. -Библиогр.: Библиогр.: 8 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 11.03.98, N 712-В98

18. Бытев В. О. Инвариантные решения уравнений Навье Стокса. ПМТФ, 1972, №6. с. 56-65.2\.Патанкар С. Уравнения методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. Москва. Энергоатомиздат. 1984.-152с.

19. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: «Мир» 1975.-387 с. 25 .Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: «Мир» 1973. 249 с.

20. Couturier Stephane, Sadat Hamou Resolution des equations de Navier-Stokes dans la formulation en variables primitives par approximation diffuse // C. r. Acad. sci. Ser. 2. Fasc. b. 1998. - 326, 2. - С. 117-119.

21. Rachowicz Waldemar h-adaptive finite element method for Navier Stokes equations // Mech. teor. i stosow. - 1997. - 35, 2. - C. 421-446.

22. Codina R, Vazquez M., Zienkiewicz O. C. A general algorithm for compressible and incompressible flows. Pt III. The semi-implicit form // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1998. - 27, Spec. Issue. - C. 13-32.

23. Nishida Hidetoshi A new non-staggered finite difference method for solving the incompressible Navier-Stokes equations // Proc. 7th Int. Symp. Comput. Fluid Dyn., Beijing, Sept. 15-19, 1997. Beijing, 1997. - C. 280-285.

24. Галкин В.А., Русских В.В. Сходимость приближенных методов для уравнений несжимаемой жидкости. Математическое моделирование, 1994. Том 6. №3. с.101-113

25. Минайлос А. Н. Точность численных решений уравнений Навье Стокса // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. - 1998. - 38, 7. - С. 1220-1232.

26. Burie J. В., Marion M. Multilevel methods in space and time for the Navier-Stokes equations // SIAM J. Numer. Anal. 1997. - 34, 4. C. 1574-1599.

27. Calgaro C., Debussche A., Laminie J. On a multilevel approach for the two dimensional Navier-Stokes equations with finite elements // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1998. - 27, Spec. Issue. - C. 241-258.

28. ЪА.Хейгеман JI., ЯнгД. Прикладные итерационные методы. Москва «Мир» 1986 г. 448 с.

29. Белов И.А., Кудрявцев Н.А. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. Л.: энергоатомиздат, Ленинградское отделение. 1987. 224с.

30. Самарский А.А. Теория разностных схем. Москва. «Наука». 1989г. 616 с.

31. Белов И.А., Шеленшкевич В.А., Шуб Л.И. Моделирование гидродинамических процессов в технологии изготовления полупроводниковых приборов и микросхем. Л.: «Политехника» 1991.

32. Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и методырасчета отрывных теченийнесжимаемой жидкости. Л.: Судостроение, 1989.-289 с.

33. Себеси Т., Брэдшоу 77. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы. М.: Мир, 1987, 592 с.

34. Perktold К., Peter R., and Resch М. Pulsatile Non-Newtonian Blood Flow Simulation Throgh a Bifurcation with an Anevrism// J. Of Biorheolohy.9189.Vol.26.P. 1011-1030.41 .СокольниковИ. Тензорный анализ. Москва. «Наука». 1971. 376 с.

35. Demuren А. О., Ibraheem S. О. Multigrid method for the Euler and Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1998. - 36, 1. - C. 31-37.

36. Jenssen Carl В., Weinerfelt Per A. Parallel implicit time-accurate Navier-Stokes computations using coarse grid correction // AIAA Journal. 1998. - 36, 6. - C. 946951.

37. Захаров В.П., Шуркина Э.П. Об одном численном алгоритме интегрирования системы уравнений Навье-Стокса. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. Модели физ. Процессов. 1994. №4 с.45-52

38. А5.Абдрашин В.Н., Лапко С.Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса. I. Дифференциальные уравнения. 1992 т.28 №7 с.1154-1167

39. Абдрашин В.Н., Лапко СЛ. Об одно классе итерационных методов решения Уравнений Навье-Стокса Дифференциальные уравнения. 1993 т.29 №9 с. 1561-1574

40. Лапко СЛ., Рашид А.Н. Разностные схемы для многомерного уравнения конвективной диффузии. Дифференциальные уравнения. 1994 т.30 №1 с. 175177.

41. Абдрашин В.Н., Лапко В.Н. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса.II. Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. №12 с.2094-2105

42. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Нестационарное течение жидкости в канале произвольной геометрии, http://www.ict.nsc.ru/ws/ct-2000/

43. Mallinson Davis. False diffusion in numerical fluid mechanics. Univ., of new south woks, School of mechanics and industry. Engineering report. 1972. FMT 1.

44. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Численное исследование вихревых структур в прямоугольной каверне. Сборник статей «Вычислительная гидродинамика». Томск. 1999г. с.8-14.

45. Leonard В.P.A. Stable and accurate connective modeling procedure based on quadratic upstream interpolation. Computational methods in applied mechanics and engineering. 1979. Vol. 19, №1 P59-98.

46. Есаулов A.O., Старченко А.В. К выбору схемы для численного решения уравнений переноса. Сборник статей «Вычислительная гидродинамика». Томск. 1999г. с.8-14.

47. Noll В. Evaluation of a bounded high-resolution scheme for combustor flow computations. AIAA Journal. 1992. Vol.30, № 1. P.64-69

48. Tremback Craig J.,Powell James, Cotton William R., Pielke Roger A. Nhe foward-in-time upstream advection scheme: extention to high orders. Monthly weather review. 1987. Vol.115, February. P.540-555.

49. Фирсов Д.К. Расчет течения несжимаемой жидкости на неортогональной неразнесенной сетке. Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН. Т. II. с. 156-160.

50. Толстых А.И. Об итерационных схемах с нецентрированными компактными аппроксимациями. ДАН, Математика, 1992. Том 326. № 3. с. 425-430.

51. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К. Структура пространственного течения вязкой несжимаемой жидкости в параллелепипеде. Сборник статей «Вычислительная гидродинамика». Томск. 1999г. с. 15-20.

52. Матрюшов С.Н. Построение дву и трехмерных сеток для задач газодинамики на основе уравнения Пуассона. Известия высших учебных заведений. Математика. 1997. Т. 419. №4 с.108-110.

53. Thomson J.F., Thames F.C., and Mastin C.W Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinates system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies. J. Comput. Phys. 1974. Vol. 15. p.299-312.

54. Thomson J.F., Thames F.C., and Mastin C.W. TOMCAT-A code for numerical generation of boundary-fitted curvilinear coordinates systems on fields containing any number of arbitrary two-dimensional bodies. J. Comput. Phys. 1977. Vol.24, p.274-302.

55. Steger J.L., Sorenson R.L. Automatic mesh-point clustering near a boundary in grid generation with elliptic partial differential equations. J. comput. phys. 1979. vol.33. p.405-510

56. Sorenson R.L. A computer program to generate two-dimensional grid about airfoil and other shapes by the use of Poisson's equation. NASA TM-81198. May 1980.

57. Yuan Chang Liou, Yih Nen Jeng. Parabolic Equation method of grid generation for enclosed regions. Numerical Heart Transfer, Part B, 1996, vol. 29 pp.289-303.

58. Х.Ушакова О.В. ЛАДА экономичный алгоритм и программа построения двумерных криволинейных оптимальных адаптивных сеток в односвязных областях геометрически сложной формы. Вопр.Атомн.Науки и техники. Сер. Мат. Модели физ. Проц.(Москва) 1994. №3. с.47-56

59. Усъков В.М. Построение сеток из невырожденных четырёхугольников с использованием критерия Делоне. Вопр.Атомн.Науки и техники. Сер. Мат. Модели физ. Проц.(Москва) 1994. №2. с. 12-16

60. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва. «Наука» 1987 г. -600с.

61. S3.Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

62. Березин КС., Жидков Н.П. Методы вычислений Т.2. 2-е. изд., перераб. -М.: ГИФМЛ, 1962.-640с.

63. Dintenfass L. Blood viscosity in healthy man, measured in rombospheroid viscometer on EDTA blood.//J.Bioreology,1979. Vol. 1 l.P.397-403.

64. Walavender W.P., Chen T.Y., and Cala D.F. An approximate Casson fluid model for tuber flow of blood.//J. Bioreology. 1975/Vol. 12. P. 111-119.

65. Keentok M., Milthorpe J.F., and (УDonovan E. On the Shearing Zone around Rotating Vanes in Plastic Liquids: Theory and experiment //J. Of Non-Newtonian fluid Mechanics. 1985. Vol.l7.P.23-25.

66. Nakamura M., and Sawada T. Numerical Study on the Laminar Pulsate Flow of Slurries//.!. Of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 1987. Vol.22.P.191-206.

67. Nakamura M., and Sawada T. Numerical Study of the Flow of a Non-Newtonian Fluid Throw an Axisymmetric Stenosis// J. Of Biomechanics Engineering. 1988. Vol .110. P.137-143.

68. Branes H.A., Townsend P., and Walters K. On Pulsate Flow of Non-Newtonian liquids. J/Rheologica Acta. 1971. Vol. 10. P517-527.91 .Powell R.E., and Eyring H. Mechanism for Relaxation Theory of Viscosity//J. Nature. 1944. Vol.154 P.424-428.

69. Quemada D., and Droz R. Blood Viscoelasticity and Thixotropy from Stress Formation and Relaxation Measurement: A Unified Model // J. Of Biorheology. 1983. Vol. 20. P. 635-651.

70. Karl Perktold, Gerhard Rappitsch. Computer simulation of local blood flow and vessel mechanics in a complaint carotid artery bifurcation model. J. Biomechanics 1995. Vol. 28, No 7, p.845-856.

71. Karl Perktold, Michael Resch and Reinfried O. Peter. Three-dimensional numerical analysis of pulsate flow and wall shear stress in the carotid artery bifurcation. J. Biomechanics. 1991 Vol.24. No 6, pp.409-420.

72. Lou Z., and Yang W.J. A Computer Simulation of the Blood Flow in the Aortic Bifurcation with Flexible Walls In Mechanics Computing in 1990's Beyond//(Edited by Adeli H., and Sierakowski R.), Vol. 1, ASCE, New York. P. 544-548.

73. Reuderink P. Analysis of the Flow in a 3D Dispensible Model of the Carotid Artery Bifurcation.// Thesis, Eindhoven Institute of Tecnology, Netherlands, 1991.

74. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К, Альбрандт Е.В. Гемодинамика крупных кровеносных сосудов с аневризмой // Вестник Томского гос. ун-та. Бюл. опер, науч. инф. 2001. № 4. Численные методы в динамике вязкой жидкости. С. 23-31.