Исследование тепловых задач в областях с известными и неизвестными границами гидродинамическими методами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ÜU3448435

TAXA Ахмед Шакер

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С ИЗВЕСТНЫМИ И НЕИЗВЕСТНЫМИ ГРАНИЦАМИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

01 02 05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 s ОПТ 2008

КАЗАНЬ-2008

003448435

Работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики Казанского государственного университета им В И. Ульянова-Ленина.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки Татарстана Клоков Владимир Васильевич

Официальные оппоненты доктор технических наук,

профессор, заслуженный деятель науки и техники Татарстана Зиннатуллин Назиф Хатмуллович

кандидат физико-математических наук, вне

Алимов Марс Мясумович

Ведущая организация КНЦ РАН Институт механики и

машиностроения, г Казань

Защита состоится 30 октября 2008 г. в 14 часов 30 минут в аудитории мех 2 на заседании диссертационного совета Д 212 081 11 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г Казань, ул Кремлевская, 18

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан сентября 2008

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ -мат наук, доцент

г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Аналитическое исследование тепловых (температурных) полей в областях со сложной геометрией границ или с заранее неизвестными границами по-прежнему остается актуальной проблемой В частности, в практике использования различных нагревательных устройств применяется технологический выступ полигональной формы на границах этих устройств (примером могут служить оребрение границ) Для оценки эффективности введения таких выступов необходимо исследование их влияния на характер температурных полей и тепловых потоков как внутри области, так и на ее границе Отдельный интерес представляет определение оптимальной формы изоляционного покрытия нагревающихся элементов с полигональными выступами на границе с целью уменьшения объема изоляционного материала при фиксированном коэффициенте теплопередачи Необходимо отметить, что при решении таких задач оптимизации в прямой постановке могут возникнуть проблемы с неединственностью решения

Целью работы является разработка методики расчета полей температуры и теплового потока, а также методики расчета оптимальной границы изоляционного покрытия нагревателя применительно к ряду задач с различной формой полигональных выступов на границе нагревателя

Научная новизна результатов.

- разработана методика расчета полей температур и тепловых потоков для плоской задачи с полигональной границей, с помощью которой проведен анализ влияния на характер этих полей конфигурации различных полигональных выступов на границе нагревателя,

- разработана методика расчета оптимальной формы изоляционного покрытия нагревательных элементов с полигональной границей, с помощью которой проведен анализ влияния на оптимальную форму изоляции конфигурации различных полигональных выступов на границе нагревателя,

- установлено, что известный вывод о неединственности решения задачи по определению оптимальной формы изоляции двух источников тепла сохраняется и при учете возможного движения среды около свободной границы

Научное и практическое значение работы. Работа носит теоретический характер Полученные в ней оценки размеров зон влияния полигональных выступов границы нагревателя на тепловые поля и оптимальную форму границы изоляционного покрытия могут быть использованы при анализе тепловых потоков, в частности, при прогнозировании потерь тепла в энергетических установках, а также при анализе

напряженно-деформируемого состояния среды в задачах термоупругости Полученные результаты могут иметь практическое применение и иную интерпретацию в гидродинамике струйных течений, в теории фильтрации, в теории расчета взрыва на выброс и в теории предельной размерной электрохимической обработки металлов

Достоверность результатов диссертации определяется использованием математических моделей, основанных на общих законах и уравнениях механики сплошных сред, сравнением результатов решения задач, полученных разными методами, а также сравнением их с известными в частных случаях результатами

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 4-10 июля 2004 г), на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (Казань, 2004 - 2008 г), на научной конференции Казанского научного центра РАН (Казань, 14-15 февраля 2007 г., 14 - 15 февраля 2008 г), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (г Зеленодольск, 23 ноября 2006 г) Работа выполнена в рамках решения задач по основному научному направлению исследовании Казанского государственного университета «Краевые задачи и их приложения» и АН Республики Татарстан

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе две работы в журнале, предусмотренном списком ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения Работа изложена на 161 страницах, содержит 54 рисунка и 21 таблиц. Список литературы насчитывает 61 наименование

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность темы, представлен краткий обзор литературы по теме диссертации (более подробный обзор дан отдельно по главам), формулируются цель и положения, выносимые на защиту Дается краткий анализ структуры и содержания диссертации

В первой главе рассмотрены задачи по расчету полей температуры и теплового потока в области с одиночным выступом на границе и анализа зоны влияния геометрических параметров нагревателя на невозмущенное тепловое поле Задача имеет приложение к анализу тепло-обменных устройств Решение получено с использованием гидродинамической аналогии задачи, состоящей в анализе безотрывного течения жидкости в областях с выступом на границе Тепловое поле можно описать с помощью гидродинамики фиктивного потенциального тече-

ния идеальной несжимаемой жидкости. Разработан алгоритм решения задачи по расчету полей температуры и теплового потока в области с известными границами в прямой постановке, когда заданы не математические параметры задачи, а геометрические размеры области теплового поля Анализируются гидродинамическая аналогия задач кондук-тивной теплопроводности.

Все задачи этой главы характеризуются заданным на бесконечности тепловым потоком |УГ| = 1, и при отсутствии выступа нагревателя

тепловое поле было бы однородным Под зоной влияния выступа будем понимать ту часть физической области, в которой тепловое поле отличается от однородного более, чем на 1% (по величине ЧТ или его направлению)

В § 1 рассматриваются задачи по расчету полей температуры и теплового потока в бесконечных областях со сложной конфигурацией границы при наличии одиночного выступа

В п. 1.1. рассматривается задача по расчету и анализу полей температуры и теплового потока в случае отдельного прямоугольного выступа

В п. 1.1.1 формулируется постановка задачи по расчету температурного поля (в частности, изотерм и линий постоянного градиента температур) с целью проведения анализа влияния на них конфигурации прямоугольного выступа на границе Рассматривается задача в области, когда на границах заданы постоянные значения температур Т Т = 0 при _у = 0, 0<д;<оо на изотерме АВ, Т = д при

1>у>1-<1, 0<х<1 на изотерме и на линии прямоугольной границы ЕЭСВ, дТ/дх = о при 0>_у>1-с?, х = 0 на линии симметрии АЕ (рис 1) Требуется в зависимости от геометрических параметров ££) = / и СП = с1 (рис 1) рассчитать тепловое поле, определить изотермы, линии постоянного значения градиента температуры и определить зоны влияния ширины выступа на невозмущенное поле

При решении задачи использовались методы теории функций комплексного переменного, в частности, метод конформного отображения В п. 1.1.2 дано решение сформулированной задачи методом конформных отображений областей и С помощью интеграла

Кристоффеля - Шварца находится функция конформного отображения области изменения вспомогательного переменного 1, верхней полуплоскости £>,, на области и Оцг при следующей нормировке точек ^ =1> '£ =-1, 10 =3, гс = у Здесь 6, у - пока неопределенные математические параметры рассматриваемой задачи

Функция, осуществляющая первое конформное отображение при {= Г) +; ¿2 принимает вид

1 у)и (?! +1 /2)-и + \-8 (¡1 +1 (2 -1) ¿/и

71 (Н+"г)~и л/м('1+"2)-и + 1-У + 2

Производная сЬм/Ж в данном случае равна d\vjdt = 1/я-л/ГЙл/Гч Выражение неизвестных параметров через заданные геометрические размеры является нелинейным и представляет основную трудность решения задачи в ее прямой постановке Установлена необходимая для решения задачи связь параметров 8, у с геометрическими

параметрами с/, / в виде равенств

¿ = /2//1+/2,/ = с//2//3,

где

V л/д-<? ds _ г -Js-8 ds

J./ГТ7./7ТТ fTZZ'12' i

W

J Vl-i Vs + l ф-у' j Vl-5 V-5-1 л/s-y' ds

л/l-J V-5-1 x/s-7 Алгоритм для расчета координаты jc, у точек линии изотермы в области z получен с использованием формулы, представленной выше для функции z(f), где входящие в выражения переменные /2 выражены через р, у/ согласно равенствам

/] = chmp cos лу/, 12 = sin щ sm кц/. Для определения линии постоянного значения градиента температуры в области z используется формула, представленная выше для функции z{i), где входящие в выражения переменные t{, t2 найдены с помощью следующего выражения для степени модуля сопряженной скорости v

4 jh-г)2 W

(.h-8)2+t г2

В п. 1.13 представлены результаты решения задачи и дан их анализ Некоторые расчеты представлены на рис 1 По этим результатам можно оценить зону влияния ширины выступа на невозмущенное тепловое поле Результаты расчетов показывают, что с увеличением ши-

рины выступа размер зоны его влияния на тепловое поле увеличивается, выходя затем на постоянное значение (относительно точки С)

У

г

в

х

Рис 1 Линии постоянного градиента температур и изотермы (пунктир) при 1 = 0,371

В п. 1.2 изучено влияние угла наклона грани выступа границы области на характер теплового поля В этом случае задача содержит на один параметр меньше, чем в предыдущей задаче, что облегчает ее исследование В гидродинамической интерпретации задача соответствует безотрывному обтеканию набегающим потоком выступа, грань которого длиной (1 наклонена под углом ал (рис 2)

В п. 1.2,1 дано решение этой задачи методом, аналогичным п 1 1 Приведены основные уравнения.

Представлена связь параметра 3 с геометрическими параметрами ¿на

Из решения полученного нелинейного уравнения при заданном значении (1 определяется параметр 5. Выражение для степени модуля сопряженной скорости в рассматриваемом случае имеет вид

Получены выражения для определения V

4

((/,-г)2+/22)2а/((/1+1)2+'22)'

,2«

V

<7

У

с

в

X

о? ь о-

Об

ог<

0,4

0¿ 0.2 од

О ¥■-,-rJ---

А0 ОД 04 0«

X

о,в

1

12 14 В

Рис 2 Линии постоянного градиента температур и изотермы (пунктир) при а ~ 0,2я

В п. 1.2.2 проведены расчеты, построены изотермы и линий постоянного значения градиента температуры Результаты некоторых расчетов представлены на рис 2 Из них, в частности, следует, что с уменьшением величины угла наклона выступа СС при фиксированной величине <1 увеличивается зона его влияния

В п. 1.3 рассматривается более общая задача по расчету температурного поля и теплового потока, когда область имеет симметричный четырехгранный выступ с углом наклона при вершине Высота выступа РЕ равна А, длина грани выступа ЕБ равна / и угол ее наклона равен ал, расход в задаче гидродинамической аналогии равен ч (рис 3) Ниже представлено решение задачи по влиянию /, А и ал на характер определяемого теплового поля. Выражения функций I, (Ьм/Л, имеют в вид

Получена нелинейная связь параметров 8, у с геометрическими параметрами /, А и ал виде равенств

d Jt+\4t-\

,v=q^rr{t-s)^5l(t+\f.

/3 +/2 sinwa ¡2

Vl-i ф-у'

¿-5

-.У-1

Л

л/1-Л

Эти выражения предоставляет собой систему нелинейных уравнений для нахождения параметров 8, у, которая была решена численно При определении начального приближения использовался метод номограмм

В п. 1.3.1 проведены расчеты, построены изотермы и линий постоянного значения градиента температуры (рис 3).

Рис

о 0 5 о "5 1 и* и 1,-5

3 Линии постоянного градиента температур и изотермы (пунктир) при А = 0 4, / = 0 19, а = 30'

Рис 4 Сопоставление зависимости величины зоны влияния Слева - от ширины выступа при фиксированных значениях высоты Л=(Ц а=3(5, справа - от высоты выступа при фиксированных значениях ширины / = о 05, а = 30"

В п. 1.3.2 определены зоны влияния ширины и высоты симметричного четырехгранного выступа на тепловое поле (рис 4) Размер зоны влияния характеризует расстояние Н от точки С до точки границы СВ, в которой | = 0 99

Согласно расчетам, при фиксированных значениях высоты с увеличением ширины выступа расстояние Н (Св) изменяется немонотонно,

это результат взаимного влияния ширины выступа и заостренной его части. При фиксированных значениях ширины с увеличением высоты выступа зона расстояния Н увеличивается

В п. 1.4 выступ, находящийся на границе, имеет форму четырехгранного многогранника с внутренним углом при вершине.

В этом случае анализ характера изотерм, рассчитанных по разработанному методу, показал, что кривые имеют две точки перегиба Линии постоянного значения градиента температуры также имеют более сложное очертание В частности, в окрестности угловых точек, где наблюдается повышенное и пониженное значение указанного градиента, у этих линий возможно несколько точек перегиба

В п. 1.5 детально изучен вариант возможного пренебрежения шириной выступа по сравнению с его длиной

Выражение для определения координат точек изотермы х, у в области z можно представить в виде

(Л +f¡/chnx)2 +(f2/smxx)2 = 1 ,у = 1/я- Arccos[fx +/3/сйягх],

где

. ,п<р лш iná . ,2Л<р л ш 2xd s j^d 2^d

fx =cn—- cos—— cos -,f2 =sh —- sin—— cos -, /з = tg — cos —.

q q 2 q q 2 2 2

В результате решения некоторого квадратного уравнения удается найти явное уравнение линии постоянного значения градиента температуры

х = \¡k Arcch где

¿\ =а cos2ny - cos2 к у+a sinny - sitíjiy, Ьг =2а cosny cosxd - 2 cosny,

Ъ^-а cos2nd - a sin2rey+sm2ny -1 Помимо полей температуры и тепловых потоков в области, проанализированы распределения температуры и тепловых потоков на границах АВ, СВ, DC.

Во второй главе представлены решения тепловых задач со свободной границей, на которой выполняются условия постоянства величины температуры и градиента теплового потока Эти решения могут быть использованы для определения оптимальной формы теплоизоляции различных нагревательных элементов Под оптимальной понимается такая форма, которая реализует минимум расхода изоляционного материала при фиксированном коэффициенте теплоотдачи [Ентов В М., Костерин А В., Скворцов Э В ].

В §2 рассматриваются двумерные задачи для нахождения оптимальной границы изоляционного покрытия при заданной форме симметричного или несимметричного нагревателя разных конфигурации и анализа влияния геометрических параметров нагревателя на характер свободной границы Решение задачи со свободной границей получено методом теории функций комплексного переменного с использованием функции Жуковского

В п. 2.1 рассматривается задача для нахождения оптимальной границы изоляционного покрытия прямоугольного симметричного нагревателя и анализа влияния геометрических параметров нагревателя на характер свободной границы.

В п. 2.1.1 дается постановка задачи по определению оптимальной границы изоляционного покрытия прямоугольного симметричного нагревателя (рис 5) На линии ЕОСВ (границе нагревателя) температура постоянна и известна Т= я На линии симметрии АБ в направлении оси х тепловой поток отсутствует дТ/дх = О, а на свободной границе АВ г = о, дт/дп = 1, где про- ТТ изводная берется в направле- Г нии нормали При гидродинамической интерпретации фактически изучается безотрывное е | |п: обтекание набегающим пото-

Г

ч

/м

ком выступа высотой <1 и шириной / со свободной границей Г" '

Рис 5 Область изменения о 2

В п. 2.1.2 дано решение задачи гидродинамическим методом с использованием функции Жуковского Этот метод состоит в установлении связи между областью изменения и областью изменения Эх ,

где х обозначает функцию Жуковского X = ЪсЫ>1сЬ = \а\\ е1в) = !пV —/ в = Х\ +1 Хъ гДе =

Дифференциал <к представим в виде

(к = е~х сЬ*>/& &

Область изменения является, согласно граничным условиям, полуполосой Согласно теории интеграла Кристоффеля - Шварца производная ¿^¡(к имеет

¿ы>1<ь - с.ДТТТП.

Согласно граничным условиям задачи обтекания имеем на линиях:

АЕ-\х>й, у>,=0, v£=«*v^=l, 0=0, ££. v^ >0, >(\ vc =0, Vp=oq, 0=я/2, ED.\E=<n,vD=oa, 0=0; СВ vc=V,vB=\AB v=l, ta[v]=0,

где в - угол наклона вектора скорости к оси абсцисс.

В соответствии с этими граничными условиями определяется область изменения функции % Она представляет собой бесконечную полосу с разрезом BMA, где точка М характеризуется максимальным значением угла наклона касательной искомой линии, то есть является точкой перегиба Положение ее заранее неизвестно.

Область х является пятиугольником с углами

ад =яг/2, aD =0, ас =0, ав = я/2, ам = 2л.

После интегрирования производной d%/dt получим I

Х = с\-

(s - ¡л) ds

^ ^^Т (5-у)

Для нахождения параметров с, /и в зависимости от б, у рассмотрим три перехода, в плоскости I вблизи точки С с отрезка СВ на отрезок СБ по полуокружности малого радиуса, также переход в плоскости X вблизи точки С с отрезка СВ на отрезок СБ и вблизи точки И с отрезка ОА на отрезок СБ по полуокружности малого радиуса В результате получим два выражения коэффициента, при сравнении которых найдем связь параметра /л с параметрами 8, у

После интегрирования левой и правой части выражения дифференциала сЬ, нахождения производной dw¡dt и функции % на участках границ получим

/=— f ехр

1Г *

о

'С

/In

/+2

+g In-

л

'D

| Ф yA = d— f ехр -я/2

\ ( (

/ In

dv

А

л/ьл/^Ъ*'

, , Vl-^+Vl-sina , Jl-y+y/l-sma f In-^==—L +g ln*^ --------

■Jl-ö-Vl-sin a j

da,

где / =

8-р У-(Л -= Ф^У {у-8)

{8-у)4^8 (у-8

Из решения системы нелинейных уравнений при заданных значениях й, I определяются параметры 5, у .

В итоге параметрические уравнения искомой границы приобретают следующий вид при 1 > ^ £ -1:

Ы [УА\ Л *

2с

ат

• С 15 < 15 2 И > Ц « > 1 1 | 4 I I 7 ■ • « II »

Рис 6 Искомые границы АВ слева - при / = 02, справа - при с1 = 0 4

На рис 6 представлены некоторые варианты расчетов. Зона влияния различных размеров нагревателя на характер границы оптимального изоляционного покрытия определяется условием - менее 5% отклонения ординаты точек этой границы от линии у = - I, при этом из решения системы нелинейных уравнений находится гя, а затем хя (хк,ук -координаты границы области влияния). Из этих результатов, следует, что с увеличением высоты нагревателя при фиксированной его ширине или ширины нагревателя при фиксированной его длине зона его влияния увеличивается

В п. 2.2 исследуется случай двухгранной границы выступа нагревателя и его влияние на границу оптимального изоляционного покрытия Граничные условия для расчета теплового поля и нахождения его границы совпадают с условиями, указанными в предыдущем разделе, с той лишь разницей, что в данном разделе конфигурация выступа нагревателя другая (он является двухгранным с границами БСВ) Полагаем, что искомая граница может иметь точку перегиба, вследствие влияния угла наклона нагревателя на искомую границу Область изменения функции х с учетом граничных условий представляет собой

бесконечную полосу с разрезом по мнимой оси BMA, где М образ точки перегиба границы AB. Функция конформного отображения верхней полуплоскости изменения вспомогательного переменного t на области Dfy, Dx была найдена с помощью интеграла Кристоффеля - Шварца

t

dw ~dt

1

1

(s-fj) ds

Яу1Г-ГТл/РГ' (5 + 1) (х-^)'

Из выражений производной сЬп/Л и функции х на участках границ получим

L = -

'+2

1-у +

+ 2

\а

у - + 4v*+2 j

dv

+ 2

XN

. jt/2 ((l\ZZ + yj\ -sin0) (v2 - Vl-sinö I

У л = -i sin ал--f . , — . ———.

J (Vw-Vl-sinö) (-v/2+Vl-sinö)

dr

0 +2 | cos /A'J [УА) * ^ lsm

-*/2 f

2a

\a

d9,

arc/g-

(l-r2)^'

где * =

Для различных размеров выступа нагревателя построены линии искомых границ Выполненные варианты расчетов позволяют сделать вывод, что зона влияния нагревателя на характер линии АВ при фиксировании угла наклона выступа увеличивается с увеличением его высоты, ширины или длины боковой грани и уменьшается с увеличением его угла наклона.

В п. 23 исследуется задача по определению границы оптимального изоляционного покрытия в пренебрежении шириной нагревателя Задача отвечает условиям предыдущих задач в § 2 с той лишь разницей, что толщина выступа нагревателя равна нулю После нахождения производной (Ы>/Ж и функции х на участке БС получим следующее выражение длины выступа с! через вспомогательный параметр у

J

чт _й_

ч/2-Vv2 +2) [yjl-y + Vv2 +2

dv

* V^M^Vi+V^TTj {jTy- Vv2 +2) л/v2 +2

Аналогично находим производную (Ь\>/сИ и функцию % на участке АД подставляем их в выражении дифференциала (к и получаем следующую формулу для расчета ординаты точки А

уаГ ;,_ ,_!; ^ </в

Параметрические уравнения искомой линии АВ имеют вид

Т

%

[Уы] {УА) л

0,2'П:}

о

агс tg-

г- агс^-

т А

Для различных размеров выступа нагревателя построены линии искомых границ Результаты расчетов показывают, что с увеличением высоты выступа зона его влияния на тепловое поле увеличивается

В п. 2.4 дано решение несимметричной задачи в случае границы нагревателя с наличием бесконечного прямоугольного уступа (рис 7) Задача в этом случае содержит один математический параметр, который находится из решения нелинейного уравнения, включающего размер уступа Ь, следующего вида

2 0 +^1-Г-т2 ^ -у-г

£/Г

Параметрические уравнения искомой границы иметь в данном случае вид

ДГдг

Уы

_ 1 2 (УГ7-л/2) ¿г

л о ТГ^ >¡2^* ^ (1-г2)'

где

л/2-2

2 + г-у

2лДГУ + (л/^7%/Г+1У2)

,/7^7 л/7+Т

-,/2(0 =

2(1-у)-4

72 УГ7-2 72 7*-7 7Г+7'

2(\-у)(у-2-1)

/з(0 =

л/2

Выполнен расчет несимметричной искомой линии Численный анализ показывает, чем больше высота выступа, тем ближе подходит искомая граница к точке Б границы несимметричного нагревателя При этом расстояние на бесконечности одинаково и равно 1 Результат расчета при большой высоте уступа нагревателя совпадает с расчетом предельной грани-

А

4

Рис 7 Область изменения о 2

т

■ 1

¡с

о

©

/

г.

/

в

Б

х

цы ЭХО [Каримов А X, Клоков В.В , Филатов Е И ]

В третьей главе рассмотрены задачи по определению границы оптимального изоляционного покрытия двух источников тепла, а также модельной задачи по определению границы кондуктивного теплового поля вокруг двух источников тепла при допущении движения среды около границы

В § 3 рассматривается задача по определению конфигураций границы оптимального изоляционного покрытия двух источников тепла

В п. 3.1 дана постановка задачи в области АВСОА со свободной границей АВ В точке С расположен источник тепла постоянной мощности я (рис 8) Участок границы области АВ неизвестен Значения температуры и ее нормальной производной считаются известными постоянными Т = 0, дТ/дп = 1. Участки границы ВС, СО (СО= Ь) и Б А (БА= с!) являются линиями симметрии теплового поля при наличии двух симметрично расположенных источников тепла одинаковой мощности Эти линии можно трактовать как линии тепловой изоляции

Требуется в зависимости от геометрического размера Ь (или (1) при заданной величине q найти вид границы АВ и провести анализ ее характера

В п. 3.2 получено решение сформулированной задачи с помощью функции Жуковского В соответствии с граничными условиями

ВС vy > О, у^ = 0, в = к ¡2 ,Сй уу <0, ух = 0, в = - я /2, £>Л у^ > 0, \у = 0, в = 0; АВ V = 1, 1п V = 0,

поэтому определяется область изменения функции % Найдена функцию конформного отображения верхней полуплоскости изменения вспомогательного переменного I на области , с помощью интеграла Кристоффеля - Шварца

¿Лу _ I д _ 1г

Л л -¡1 +1 -¡Г-1' -¡7-1 -¡7+1 (л-у)

Отображение изменений вспомогательного переменного I верхней полуплоскости Д, на область с соответствием точек

1А=-1,^=0, согласно теории интеграла Кристоффеля — Шварца, осуществляем с помощью функции х • Учитывая обход по полуокружности малого радиуса в плоскости I около точки С, получим связь между параметрами у, ц и с Первая связь между математическими параметрами имеет вид

М = -1/2

Второе соотношение между параметрами установлено с учетом заданного расстояния Ь между источниками тепла в форме равенства

где

^1 =

-1-1

Из решения нелинейного уравнения при заданном значении Ь определяется параметр у

Анализ решения показал, что при 1/л- < I < 0 434 решение является двузначным

Параметрические уравнения искомой линии АВ представлены в следующем виде, где 1 >/дг > -1

Хд-

Уы

0

, + </ л-

-1

сое

БШ

Используемый метод позволяет находить координаты точки перегиба и точки экстремума свободной границы На рис 8 приведены примеры расчеты границ

Рис 8 Искомые границы АВ при изменении расстояния Ь

В п. 3.4 найдено решение той же задачи методом краевых задач теории аналитических функций с использованием формул Синьорини и Сохоцкого Метод состоит в восстановлении функции ЫсЬ/ск в верхней полуплоскости по известным, согласно граничным условиям, либо вещественной, либо мнимой части этой функции на участках вещественной оси

ВС Шп—=0; СО Ыг^-=-2лг,АО.Ып—=^-,АВ:

л а. Л 2

=1,

Л

Я *

В результате функция 1п <к/Л в верхней полуплоскости <>0 приставляется в виде

. Л

1п— =-

<Л I я

-3 .

'г -2 ж (¡т -}

1 1п (У*л/1-г2 V*

Для определения предельного значения сингулярных интегралов на границе используем формулу Сохоцкого После интегрирования сЬ на соответствующих участках границы получены следующие формулы для вычисления расстояний Ь и <1, а также параметрические уравнения для расчета координат точек границы АВ

Л Г г I—\

I= ^ехр

-00

1

71 -{ О

Л, (1= ^ехр

ш

71 -1

Ум

0] Ч ] СОБ + {^31 -1

<>--¿п

Я7

Л.

где

J 1 J V ¿г

1 л-А/Г^1'

Таблица Сравнение результатов

метод использования функции Жуковского

-8 82 537 5 082 1666 1316 1069 101 10067 1 000001

1 0 05 02 0 353 04 0434 0 406 0 399 0 321

л 0634 0 591 0 468 0 391 0 236 0 104 0 087 0 001

*тах 0 638 0 675 0 746 0768 0 766 0 731 0 721 0636

метод использования формулы Синьорини

-8 82 537 5 082 1666 1 316 1069 1 01 1 0067 1 000001

ь 0 05 02 0 353 04 0 434 0 408 04 0 321

й 0 634 0 591 0 468 0 392 0 237 0 105 0 087 0 001

-*шах 0636 0 673 0 743 0 766 0 771 0 728 0717 0 631

Проведенное в таблице сравнение результатов решения задачи различными методами иллюстрирует вполне приемлемую точность использованных методов В то же время метод краевых задач для аналитических функции, позволяет решить задачи с более сложными граничными условиями на искомой границе, в частности, задачи следующего параграфа

В § 4 рассматриваются задачи по определению границы кондуктив-ного теплового поля при допущении движения среды около границы с учетом зависимости величины теплового потока на границе от скорости движения среды вблизи искомой границы Задача носит модельный характер Предполагается, что в одной и той же области с неизвестной границей имеют место два процесса, каждый из которых описывается уравнением Лапласа, кондуктивный перенос и потенциальное течение несжимаемой жидкости Эти процессы взаимодействуют между собой только посредством свободной границы - считается, что тепловой поток и модуль скорости течения в каждой точке границы связаны локальным соотношением

В § 4.1 получено решение задачи методом краевых задач для аналитических функции, когда зависимость величины градиента теплового потока на границе от модуля скорости течения V с заданной циркуляцией следует линейному закону (дТ/дп = 1 -^ у) Согласно принятой схемы течения, линией тока является граница АВБ, а линией симмет-

рией потенциального течения от точечного вихря интенсивности Г -граница BCD Неизвестный участок течения АВ определяется в результате совместного решения гидродинамической и тепловой задачи (рис 9)

Рис 9 Процессы в области £) г слева-тепловой, справа-гидродинамической

Производная аЬ/гй представляется как отношение производных с/н'/& и (к, которые можно интерпретировать как сопряженные скорости у(/) и течений фиктивных плоскопараллельных потенциальных потоков идеальной несжимаемой в областях и

Вещественная часть функции /л7<аЬ/д& на участке АВ принимает вид

1 ЙГ

In

dz / = In

dt АВ ^

¡.2 к \Jt-S -Jl-r

dr

В результате найдены параметрические уравнения свободной границы АВ

1Ц

xN Ун

где

4 =

1

аТ

Л

-1

cos sin

У ^J

J 2--J3

711

dt■

n Viw1 ic-lPs yfPl

1-е

r « 1 /£-13-

, J, =г(2 arcsin/— arcsm---л),

2 2 S-t 4

«-J

Л

I

-i л/ь^г-г)

i

dx

На рис 10 приведены примеры расчетов Результат показывает, что при фиксировании Г с увеличением расстояния между источниками тепла искомая граница имеет тенденцию к растяжению вдоль оси х и сжатию вдоль оси у В то же время установлено, что для малых Ь решение неединственное, аналогично задаче § 3

Рис 10 Искомые границы при а Г= 0 5 слева-для различных значений длины Ь; справа - для Ь = О 3

В п. 4.2 рассмотрена та же задача в случае, когда зависимость величины градиенты теплового потока на границе от модули скорости течения обратно пропорциональна дТ/дп = а/у

В результате решения задачи по методике п. 4 1 находятся параметрические уравнения искомой границы

{у1} =

[соя

БШ

•>\--•'г

Л,

где

1 ' 3 тт. . 'г

и, =1(2 штат г— агсБт---), -

1 2 8-1 4 1 [

1п[^з(г)] ^Г | 'Г 1П[У3(Г)] ¿т

У3(г) = я(с(+Ь) ^/(г+1)(г-5)^, Щ0 = я(с 1+Ь) $¡«+1X1-8)^, На рис 11 приведены примеры расчетов

Рис 11 Искомые границы АВ при 0 25 и слева - Ь = 1 для различных значений величины с, справа - с = 0 для различных значений ветачины Ь

В заключении кратко подведены итоги выполненной работы

Основные результаты.

- решение двумерной симметричной задачи определения температурного поля и теплового потока в бесконечной области с отдельным выступом полигональной конфигурации на границе, вывод уравнений для расчета изотерм и линий постоянного значения градиентов теплового потока для различных геометрических размеров выступа (ширины, высоты и угла наклона), алгоритм расчета указанных линий в прямой постановке задачи, расчет изотерм и линий постоянного значения градиентов теплового потока и их анализ,

- решение симметричной и несимметричной задач определения оптимальной границы изоляционного покрытия при заданной форме нагревателей на основе использования гидродинамической аналогии задачи и применения функции Жуковского, вывод аналитических выражений для расчета этой границы в прямой постановке задачи, анализ влияния геометрических размеров нагревателя на характер искомой границы,

- решение задачи по определению оптимальной границы тепловой изоляции для двух источников тепла, алгоритм расчета этой границы посредством сведения решения задачи со свободной границей к нахождению функции Жуковского и решению смешанной краевой границы теории аналитических функций комплексного переменного, параметрический анализ задачи,

- решение модельной задачи определения свободной границы кондук-тивного теплового поля для двух источников тепла с учетом зависимости величины теплового потока от скорости движения среды вблизи искомой границы, алгоритм расчета этой границы, параметрический анализ задачи

Выполнение темы было основано на методах, изложенных в монографиях Жуковского H Е, Лаврентьева M А , Седова JIИ, Лыкова А В , Тумашева Г Г, Нужина M Т, Ильинского H Б , Гахова Ф Д

Автор выражает признательность научному руководителю за постановку задачи и за поддержку в работе, а также сотрудникам кафедры аэрогидромеханики и управления по международным связям Казанского государственного университета за внимание

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Taxa А.Ш Задача по определению предельной границы плавления при наличии нескольких нагревателей методом гидродинамической аналогии / В В Клоков, А Ш Taxa // Экологический вестник научных центров ЧЭС -2008 -№1 -С 40-45

2. Taxa A Ш Определение предельной границы плавления с учетом движения среды / В.В Клоков, А Ш Taxa // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2008 - (принята в печать) - С 1-7.

3. Taxa А Ш Влияние выступа разных размеров на границе канала на характер теплового поля / А Ш Taxa // Казанский гос университет Казань, 2005 26с Деп в ВИНИТИ 30.03 2005, №437-В2005

4. Taxa А Ш Влияние ширины выступа на границе канала на характер теплового поля / А Ш. Taxa И Казанский гос университет. Казань, 2005 - 17с Деп. в ВИНИТИ 17 11 2005, № 1498 - В2005

5. Taxa А Ш Влияние угла выступа на границе канала на характер теплового поля / А Ш Taxa // Казанский гос университет Казань, 2005 - 16с Деп в ВИНИТИ 06 12 2005, № 1602 - В2005

6 Taxa А Ш Влияние симметричного четырехгранного выступа на границе канала на характер теплового поля / А Ш Taxa // Казанский гос университет Казань, 2006- 24с Деп в ВИНИТИ 17 04 2006, № 507 - В2006

7 Taxa А Ш Задача по определению предельной границы плавления при заданной форме нагревателей / В В Клоков, А Ш Taxa // Казанский гос университет Казань, 2006- 27с Деп в ВИНИТИ 11 01.07, № 28-В2007.

8 Taxa А Ш Определение предельной границы плавления в случае полигонального нагревателя методом гидродинамической аналогии / В.В. Клоков, А.Ш Taxa // Казанский гос университет Казань, 2007 21 с Деп в ВИНИТИ 26 09 07, № 907 - В2007

9 Taxa А Ш Влияние выступа на границе канала на характер теплового поля / А.Ш Taxa // Модели механики сплошной среды Материалы XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды Казань, 4-10 июля 2004 г. Т27 - Казань, 2004 -С. 200-202

10 Taxa А Ш Определение предельной границы плавления в случае полигонального нагревателя / В В Клоков, А Ш Taxa // Итоговой конференции Казанского научного центра РАН Тез докл Материалы научной конференции (Казань, 14 - 15 февраля 2007 г ) Т 13- Казань, 2007.-С 151

11 Taxa А Ш Определение предельной границы плавления методом гидродинамической аналогии / В В Клоков, А Ш Taxa // Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук Тез докл Материалы научной конференции Зеленодольск, 23 ноября 2006 года С 50 -53

Подписано в печать 26 09 2008г Заказ К-57/08 Уел печ л 1,4 Тираж 100 экз Бумага офсетная Печать ризографическая Отпечатано с готового оригинал-макета в Издательском центре Казанского государственного университета 420008 г Казань, ул Кремлевская, 35

Введение.

Глава I. Тепловое поле в окрестности отдельного выступа как аналог безотрывного гидродинамического поля.

§1. Задача по расчету полей температуры и теплового потока в случае отдельного выступа разных конфигураций в бесконечных областях.

1.1. Методика расчета полей температуры и теплового потока в случае отдельного прямоугольного выступа.

1.1.1. Постановка задачи расчета полей температуры и теплового потока в случае отдельного прямоугольного выступа.

1.1.2. Решение задачи.

1.1.3. Результаты расчетов, анализ и выводы.

1.2. Методика расчета полей температуры и теплового потока в случае отдельного двухгранного остроконечного выступа.

1.2.1. Разработка методики расчета.

1.2.2. Основные результаты, анализ и выводы.

1.3. Влияние четырёхгранного выступа с углом наклона при вершине на границе области на характер теплового поля.

1.3.1. Разработка методики расчета.

1.3.2. Основные результаты, анализ и выводы.

1.4. Влияние четырёхгранного выступа с внутренним углом на границе области на характер теплового поля.

1.4.1. Разработка методики расчета.

1.4.2. Основные результаты, анализ и выводы.

1.5. Влияние прямоугольного выступа на границе области на характер теплового поля при пренебрежении величиной ширины выступа.

Актуальность темы. Аналитическое исследование тепловых (температурных) полей в областях со сложной геометрией границ или с заранее неизвестными границами по-прежнему остается актуальной проблемой. В частности, в практике использования различных нагревательных устройств применяется технологический выступ полигональной формы на границах этих устройств (примером могут служить оребрение границ). Для оценки эффективности введения таких выступов необходимо исследование их влияния на характер температурных полей и тепловых потоков как внутри области, так и на ее границе. Отдельный интерес представляет определение оптимальной формы изоляционного покрытия нагревающихся элементов с полигональными выступами на границе с целью уменьшения объема изоляционного материала при фиксированном коэффициенте теплопередачи. Необходимо отметить, что при решении таких задач оптимизации в прямой постановке нередко возникают проблемы с неединственностью решения.

Теплопередача является частью общего учения о теплоте, основы которого были заложены еще М.В. Ломоносовым в середине 18 века, создавшим механическую теорию теплоты и основы закона сохранения и превращения материи и энергии. В дальнейшем развитии учения о теплоте разрабатывались его общие положения. В 19 веке основное внимание уделялось вопросам превращения тепла в работу. С развитием техники и ростом мощности отдельных агрегатов роль процессов переноса тепла в различных тепловых устройствах и машинах стала возрастать. Во второй половине 19 века ученые и инженеры стали уделять процессам теплообмена значительно больше внимания. В литературе имеется много работ тех времен по вопросам распространения и переноса тепла, некоторые из них сохранили значимость до наших дней. В эти годы, например, была опубликована работа О. Рейнольдса, в которой устанавливается единство процессов переноса тепла и количества движения, его «гидродинамическая теория теплообмена» (1874 г.).

Учение о теплоте окончательно оформилось в самостоятельную научную дисциплину лишь в начале 20 века. В настоящее время теплопередача вместе с технической термодинамикой составляют теоретические основы теплотехники.

В развитие теплопередачи наряду с зарубежными исследователями большой вклад внесли русские ученые. Их труды до сих пор сохранили свое значение. Изучение вопросов теплообмена в нашей стране с 20-х годов возглавил академик М.В. Кирпичев, придавший ему новое инженерно -физическое направление. Были разработаны оригинальные пути исследования сущности рабочих процессов и работы тепловых устройств в целом, что позволяло научно обоснованно решать многие инженерные задачи. Одновременно с этим была разработана общая методология исследований, обработки и обобщения опытных данных. Все имевшиеся данные по теплообмену были пересмотрены, уточнены и приведены в определенную систему. Большое развитие в нашей стране получила теория подобия, являющаяся по существу теорией эксперимента. На ее основе была разработана теория теплового моделирования технических устройств.

Исследования показывают, что теплопередача является сложным процессом. При изучении этот процесс расчленяют на простые явления. Различают три элементарных способа переноса тепла: теплопроводность, конвекцию и тепловое излучение.

Теплопроводностью называется перенос тепла (или внутренней энергии) при непосредственном соприкосновении тел (или частей одного тела) с различной температурой.

Явление конвекции наблюдается в движущихся жидкостях или газах. Перенос тепла при этом происходит просто за счет перемещения вещества в пространстве.

Тепловым излучением называется явление переноса тепла в виде электромагнитных волн с двойным взаимным превращением - тепловой энергии в лучистую и обратно лучистой в тепловую.

В действительности элементарные виды теплообмена не обособлены и в чистом виде встречаются редко. В большинстве случаев один вид теплообмена сопровождается другим. Например, обмен теплом между твердой поверхностью и жидкостью (или газом) происходит путем теплопроводности и конвекции одновременно и называется конвективным теплообменом или теплоотдачей. В паровых котлах в процессе переноса тепла от топочных газов к внешней поверхности кипятильных труб одновременно участвуют все три вида теплообмена — теплопроводность, конвекция и тепловое излучение. От внешней поверхности кипятильных труб одновременно участвуют все три вида теплообмена - теплопроводность, конвекция и тепловое излучение. От внешней поверхности кипятильных труб к внутренней через слой сажи, металлическую стенку и слой накипи тепло переносится путем теплопроводности. Наконец, от внутренней поверхности труб к воде тепло переносится путем теплопроводности и конвекции. Следовательно, на отдельных этапах прохождения тепла элементарные виды теплообмена могут находиться в самом различном сочетании. В практических расчетах такие сложные процессы иногда целесообразно рассматривать как одно целое. Так, например, перенос тепла от горячей жидкости к холодной через разделяющую их стенку называют процессом теплопередачи.

Решение задачи стационарной теплопроводности посвящено много работ, систематизированных в монографиях: Шнейдара П., Лыкова А.В., Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. и др.

При изучении различных термодинамических процессов оказались полезными методы, разработанные в гидродинамике. Этот подход использован при физическом и математическом моделировании как тепловых, так и гидродинамических полей.

Идея использования гидродинамической аналогии при решении плоскопараллельных стационарных задач теплопроводности была предложена Кельвином и Кирхгофом. Расчет тепловых полей, также как и гидродинамических, в областях с известными границами может быть осуществлен с использованием теории аналитических функций комплексного переменного [36]. Эта теория успешно применена также при решении краевых задач в областях с частично известными границами (задачи построения крылового профиля, контура гидротехнического сооружения [54], нахождения границы воронки после взрыва на выброс [16]).

Разработка и совершенствование современных технологических процессов, более детальное и углубленное изучение различных природных явлений требует создания для этого в качестве инструмента математических моделей. Эти модели, основанные на общих законах механики сплошной среды, должны быть доступными для исследования современными аналитическими методами. Важной частью исследований проблем механики сплошной среды является изучение тепловых полей в областях с известными или заранее неизвестными границами. Анализ термодинамических полей в областях с известной конфигурацией границ является полезным для уточнения характеристик этих полей. Разработка методов решения, проблем анализа свойств полей в областях, границы которых полностью неизвестны заранее, являются необходимы, например, для конструирования современного технологического оборудования и изучения экстремальных тепловых и гидродинамических ситуаций. В теории математической физики указанные направления характеризуются классами прямых и обратных (или обратных смешанных) краевых задач. Прямые краевые задачи для функций, удовлетворяющих дифференциальных уравнениям в частных производных, характерны решением этих уравнений в-областях, границы которых известны (задачи Дирихле, Неймана). В обратных и обратных смешанных краевых задачах неизвестны отдельные участки области отыскания решения. На этих границах задаются дополнительные условия, накладываемые на решения, i i ii обусловленные моделями изучаемого явления. Одни из этих условий, как например, соотношение, следующее из первых интегралов уравнения движения, типа интегралов Бернулли, являются общепринятыми, другие, что характерно для обратных краевых задач аэрогидродинамики, задаются например, из ряда конструкторских требований.

При создании математических моделей для анализа тепловых полей используются следствия из начал термодинамики обратимых процессов сложных сред, допущения о характере и свойствах этих сред и изменения этих свойств с течением времени. Идентичность дифференциальных уравнений, описывающие температурные поля и поля течений жидкости послужила основой для применения подходов гидродинамической аналогии.

При исследовании плоскопараллельных температурных полей в средах с постоянными коэффициентами теплопроводности эффективным явилось описание этих полей методами теории функций комплексного переменного.

В этих случаях функция температуры является гармонической. При решении задач по расчету температур широко используются численные методы при конечно - разностном анализе дифференциального уравнения Лапласа. Однако для использования этого метода возникают ограничения по характеру границы, особенно если она содержит угловые точки. Области, покрываемые сеткой для приближенных численных расчетов, должны иметь конечные размеры. Увеличение числа ячеек все еще ограничено возможностями современной вычислительной техники, хотя они и возрастают. Поэтому, по-прежнему, актуальными являются аналитические методы решения прямых краевых задач для гармонических функций в бесконечных областях с полигональными границами при наличии угловых точек. При этом эффективными явились методы конформных отображений областей на канонические области, где указанные угловые точки отсутствуют. При реализации известного метода конформных отображений с помощью теории интеграла Кристоффеля-Шварца вся трудность практических расчетов переносится на способ определения параметров, входящих в функцию конформного отображения. Последний способ решения эквивалентен отысканию корней системы нелинейных уравнений весьма общего класса. Отыскание решений этих уравнений оказалось возможным только после разработки современных алгоритмов, реализуемых в пакетах прикладных программ.

Цель работы

- разработка методики расчета полей температуры и теплового потока применительно к ряду задач с различной формой полигональных выступов на границе нагревателей;

- разработка методики расчета оптимальной границы изоляционного покрытия нагревающейся границы теплового поля с полигональными очертаниями нагревателя, исследование этой границы для конкретных форм полигональной границы;

- определение оптимального изоляционного покрытия двух симметрично-расположенных источников тепла, анализ влияния на форму границы возможного движения среды в окрестности свободной границы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 161 страницах, содержит 54 рисунка и 21 таблиц. Список литературы насчитывает 65 наименование.

Результаты работы можно использовать также в теории струйных течений [6] и теории размерной электрохимической обработки металлов [17].

Рассмотренная задача в силу очевидных аналогий может трактоваться также, как задача по нахождению оптимальной (обеспечивающей минимум веса при фиксированном суммарном потоке тепла) формы тепловой изоляции источника в виде длинной тонкой полосы.

Решение задачи по определению неизвестной границы области

0.338; 4 —0.321 изменения гармонической функции по заданному постоянному значению этой функции и постоянному значению градиента функции, рассмотрено в работе [33]. В этой работе показано, что отыскание границы эквивалентно решению задачи отыскания границы области фильтрации, в которой реализуется экстремум стационарного фильтрационного расхода. В работе показано, что, если область однородный, а течение следует закону Дарси, то решение строится методом теории струй и имеет вид в( I"*4) ж X

1-а2 t2 2 а 1 -at

1 , 1 + at In где —Q, а, Я некоторые вещественные параметры задачи, z, t — комплексные переменные. Задача эквивалентна рассматриваемой задаче для соответствующей интерпретации ее как задачи теплопроводности.

Результаты расчетов, представленные в [33], свидетельствуют, во — первых, о качественном совпадении их с полученными в данной главе работы. Отмечается неоднозначность решения задачи, возможность совпадения касательных в некоторых точках различных границ, наличие или отсутствие точек перегиба границ. В отличии от метода, представленного в работе [33], использование метода Жуковского позволяет определять точки перегиба в процессе решения задачи. Они характеризуются значением параметра ju. Проведено сравнение количественных результатов с помощью расчетов координат искомой границы, выполнимых по методу функции Жуковского и указанной выше формулы. Для этого были определены указанные выше параметры для трёх примеров. Искомая граница соответствует изменению переменной t по дуге окружности единичной радиуса t = < в <

Результаты сравнения представлены в таблице 3.2. Различие в координатах не превышает сотых долей, что может быть объяснено неточностью использованных квадратурных формул. Качественные результаты расчетов совпадают с результатами работы.

Заключение

1. Разработан метод расчета полей температуры и теплового потока в бесконечных областях со сложной конфигурацией границы при наличии одиночного выступа. Отмечена гидродинамическая аналогия рассматриваемой задачи. Выполнен расчет изотерм и линии постоянного значения градиента теплового потока в зависимости от различных геометрических размеров выступа. Определена в зависимости от геометрических размеров выступа характерная линия, разделяющая области теплового поля, модули градиентов теплового потока в которых больше или меньше значения, равного единице. Установлены зоны влияния геометрических размеров симметричных выступов на невозмущенное тепловое поле. Представлены примеры расчетов, дан их анализ.

2. Разработан метод расчета симметричной и не симметричной оптимальной границы изоляционного покрытия при заданной форме источника тепла разной конфигурации при стационарной температуре. Произведен расчет искомых границ при различных величинах ширины, высоты и угла источника тепла разной конфигурации. Выполнен расчет линий искомой границы. Построены линии искомых границ. Были исследованы основные факторы, влияющие на характер оптимальной границы изоляционного покрытия. Изучен анализ влияния геометрических параметров нагревателя на характер свободной границы. Представлены примеры расчетов, дан их анализ.

3. Разработан метод расчета симметричной оптимальной границы изоляционного покрытия при наличии двух источников тепла. Выполнено решение задачи методом использования функции Жуковского. Выполнен расчет искомых границ в зависимости от расстояния между источниками тепла. Построены линии искомых границ. Проведено сравнение количественных результатов с помощью расчетов координат искомой границы, выполнимых по методу функции

146

Жуковского и методу работы [33]. Выполнено решение той же задачи методом использования формулы Синьорини, применяемый в гидромеханике. Выведены параметрические уравнения для расчета координаты точек искомой границы с использованием сингулярных интегралов типа Коши. Проведено сравнение результатов расчета с результатами решения, полученными на основе использования функции Жуковского.

4. Решены модельные задачи определения свободной границы кондуктивного теплового поля для двух источников тепла с учетом зависимости величины теплового потока от скорости движения среды вблизи искомой границы. Разработан метод расчета симметричной границы кондуктивного теплового поля при линейной зависимости величины теплового потока на границе от модуля скорости потенциального течения с заданной циркуляцией. Выполнен расчет искомых границ в зависимости от расстояния между источниками тепла. Построены линии искомых границ. Представлены примеры расчетов и дан их анализ. Установлено, что неединственность решения задачи по определению оптимальной формы изоляции двух источников тепла сохраняется и при учете возможного движения среды около свободной границы. Разработан метод расчета симметричной границы кондуктивного теплового поля при обратно пропорциональной зависимости модули вектора теплового потока и скорости. Выполнен расчет искомых границ с учетом изменения параметров на границе. Представлены примеры расчетов линии искомых границ и дан их анализ.

1. Алимов М.М. Об условиях экстремума фильтрационного расхода / М.М. Алимов// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун - та. Вып. 25. 1990.- С. 59 - 69.

2. Алимов М.М., Скворцов Э.В. Об оценках фильтрационного расхода в областях с геометрическими ограничениями / М.М. Алимов, Э.В. Скворцов.// Исследования по подземной гидромеханике. — Казань: Изд-во Казан, ун-та. Вып. 10. 1989 С. 3 - 18.

3. Алимов М.М., Скворцов Э.В. Об оценках расходных характеристик в теории фильтрации и теплопроводности / М.М. Алимов, Э.В. Скворцов.// ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 3. С. 462 468.

4. Бендерский Б.Я. Техническая термодинамика и теплопередача / Б.Я. Бендерский. Москва - Ижевск: НИЦ (Регулярная и хаотическая динамика), 2005. - 264 с.

5. Березин И.С. , Жидков. Н.П. Методы Вычислений/ И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Изд-во физико-математической лит - ры, 1962. - 583 с.

6. Биркгов Г., Сарнтонелло Э. Струй, следы и каверны. / Г. Биркгов, Э. Сарнтонелло. М.: Мир, 1964. - 466 с.

7. Булатов А.А., Зиннатуллин Н.Х., Гимранов Ф.М. Анализ процесса теплообмена при тонкопленочном течении жидкости в поле центробежных сил / А.А. Булатов, Н.Х. Зиннатуллин, Ф.М. Гимранов // ТОХТ, 1990, т.24, № б, С.735 742.

8. Гахов М.А. Краевые задачи / М.А. Гахов. М.: Наука, 1977 - 640 с.

9. Градштайн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И.С. Градштайн, И.М. Рыжик. М.: Физматгиз, 1962. -1100 с.

10. Гуревич М.И. Теория струй идеальной несжимаемой жидкости / М.И. Гуревич. М.: Наука, 1977. - 644 с.

11. Ентов В.М., Костерим А.В., Скворцов Э.В. Об оценках расхода фильтрационного потока / В.М. Ентов, А.В. Костерин, Э.В. Скворцов // Механика жидкости и газа. Известия.Академии наук СССР. - 1986.: Изд-во Наука. № 2. С. 80 - 87.

12. Ентов В.М. и др. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичной нефти / В.М. Ентов и др. Томск: Изд-во Том. ун-та., 1989.- 193 с.

13. Зозуля В.Д. Эстафетный механизм теплопередачи при тепловом взрыве порошковых медно-алюминиевых прессовок/ В.Д. Зозуля// Механика жидкости и газа журнал "Цветная металлургия" - 2005. № 5. - С. 2.

14. Ильинский Н.Б., Якимов Н.Д. Обратная задача фильтрации в земляной плотине / Н.Б. Ильинский, Н.Д. Якимов // Труды семинара по краевым задачам. Казань 1972.: Изд-во Казан, ун-та, Вып. 9. С. 103 — 111.

15. Ильинский Н.Б. Об одном методе построения выемки выброса при взрыве шнуровых зарядов / Н.Б. Ильинский // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та. Вып 16, 1979 — С. 71 - 80.

16. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования/ А.Х. Каримов, В.В.Клоков, Е.И. Филатов. Казань: Изд-во Казанского университета, 1990. - 386 с.

17. Кирпичников П.А., Аверко Антонович Л.А., Аверко — Антонович Ю. О. Химия и технология синтетического каучука / П.А. Кирпичников, J1.А. Аверко — Антонович, Ю.О. Аверко — Антонович. — Ленинград.: Химия; 1970.- 528 с.

18. Клоков В.В. Курс лекций по механике сплошных сред/ В.В.Клоков. — Казань: Изд-во Казанского университета, 1991. — 102 с.

19. Клоков В.В. Аналитическое исследование стационарного электрохимического формообразования / В.В. Клоков // Современная электротехнология в машиностроении Сб. тр. Всерос. научно техн. конф. Тула, 1997.-С. 42-51.

20. Клоков В.В., Таха А.Ш. Задача по определению предельной границы плавления при наличии нескольких нагревателей методом гидродинамической аналогии / В.В. Клоков, А.Ш. Таха // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2008. - № 1. - С. 40 - 45.

21. Клоков В.В., Таха А.Ш. Определение предельной границы плавления с учетом движения среды / В.В. Клоков, А.Ш. Таха // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2008. - (принята в печать). -С. 1-7.

22. Клоков В.В., Таха А.Ш. Задача по определению предельной границы плавления при заданной форме нагревателей / В.В. Клоков, А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2006 27с. Деп. в ВИНИТИ 11.01.07, № 28-В2007.

23. Клоков В.В., Таха А.Ш. Определение предельной границы плавления в случае полигонального нагревателя методом гидродинамической аналогии /В.В. Клоков, А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2007. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 26.09.07, № 907 В2007.

24. Кодолов В.К, Трубачев А.В. Основы общей химии / В.И. Кодолов, А.В. Трубачев. Ижевск: Интеграция, 2001. — 321 с.

25. Комаров Д., Болтов А., Бончева Н. Механика пластических сред / Д. Коларов, А. Балтов, Н.Бончева. София: Наука, 1975. - 302 с.

26. Конев С.А., Гимранов Ф.М., Зиннтуллин Н.Х. Расчет процесса неизотермической абсорбции в центробежных пленочных аппаратах / С.А. Конев, Ф.М. Гимранов, Н.Х. Зиннтуллин // Тепломассообмен ММФ — 96. 1996, т.1. С. 195 -200.

27. Коппефелъс В., Шталъмн, Ц. Практика конформного отображения. / В. Коппефельс, Ц. Штальмн М.: Иностранные литературы, 1963.-406 с.

28. Костерин А.В., Скворцов Э.В. Об оценке минимального расхода при заданной площади фильтрации / А.В. Костерин, Э.В. Скворцов // Исследования по подземной гидромеханике. — Казань: Изд-во Казан, ун-та. Вып. 6. 1983.-С. 47-57.

29. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А Кибель. М.: Изд-во физико-математической лит-ры, 1963. — 583 с.

30. Кузнецов В.М., Лаврентьев М.А., Шер Е.И. О направленном метании грунта при помощи взрывчатого вещества / В.М. Кузнецов, М.А.

31. Лаврентьев, Е.И. Шер // Журн. прнкл. механики и техн. физики. № 4. I960.— С. 49-50.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1987. -688 с.

33. Лыков А.В. Тепломассообмен (справочник) / А.В. Лыков. -М.: Энергия, 1978.-480 с.

34. Мелешко Л. О. Молекулярная физика и введение в термодинамику / Л. О. Мелешко. — Минск: Изд-во Вышэйшая школа, 1977. — 384 с.

35. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи / М.А. Михеев, И.М. Михеева. М.: Энергия, 1973. - 320 с.

36. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений / В.Н. Монахов. — Новосибирск.: Наука, Сибир. Отд., 1977. 424 с.

37. Нужин М.Т., Ильинский Н.Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений / М.Т. Нужин, Н.Б. Ильинский -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1963. 139 с.

38. Полубаринова — Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова Кочина. - М.: Наука, 1977. - 644 с.

39. Померанцев А,А. Курс лекций по теории тепломассообмена / А.А. Померанцев — М.: Наука, 1965. 351 с.

40. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. М.: Наука, 1984 . - 432 с.

41. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана / Л.И. Рубинштейн Рига: Звайгзне, 1967.-456 с.

42. Котенко // Современный вулканизм и связанные с ним процессы. Институт вулканологии ДВО РАН. - 2003.

43. Седов Л.И. Механика сплошной среды/ Л.И. Седов. М.: Наука, 1967.-536 с.

44. Сидоров Ю.В., Федорюк М.Н., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.Н. Федорюк, М.И. Шабунин М.: Наука, 1976. - 407 с.

45. Таха А.Ш. Влияние выступа разных размеров на границе канала на характер теплового поля / А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2005. 26с. Деп. в ВИНИТИ 30.03.2005, № 437 В2005.

46. Таха А.Ш. Влияние ширины выступа на границе канала на характер теплового поля / А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2005.-17с. Деп. в ВИНИТИ 17.11.2005, № 1498-В2005.

47. Таха А.Ш. Влияние угла выступа на границе канала на характер теплового поля / А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2005-16с. Деп. в ВИНИТИ 06.12.2005, № 1602 -В2005.

48. Таха А.Ш. Влияние симметричного четырехгранного выступа на границе канала на характер теплового поля / А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2006. 24с. Деп. в ВИНИТИ 17.04.2006, № 507 - В2006.

49. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения / Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1965.-333 с.

50. Фрумкин В.Н., Федосеев В.И., Шишов И.Н., Шерман М.М. Совершенствование способов создания цементационных завес в вечномерзлых скальных основаниях гидротехнических сооружений / В.Н.

51. Фрумкин, В.И. Федосеев, И.Н. Шишов, М.М. Шерман // Сборник научных трудов «Гидропроекта» 1992 г., вып. 155.

52. Хасанова А.Ю. Теплообмен в потоке жидкости с известными и не известными границами / А.Ю. Хасанова Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1996.- 160 с.

53. Шнейдер П.Дж. Инженерные проблемы теплопроводности / П.Дж. Шнейдер. М.: ИЛ, 1960. - 478 с.

54. Alexiades V, Solomon A.D. Mathematical Modeling of Melting and Freezing Processes/ V. Alexiades, A.D. Solomon. Taylor & Francis, 1993. -323p.

55. Klokov V. V. Analytical Research of Steady Electrochemical Shaping/ Obrobka erozijna (electromachining) materialy konferencyjne .Bydgoszcz-Golub Bobrzyn, 1997. pp.183 - 190.

56. Klokov V.V. Computer Simulation of the ECM Shaping //Proc. 13-th Inter .Conf. on Computer Aided Production Engineering, Warsaw, Junel997.-pp. 379-383.

57. Klokov V.V. Mathematical Modeling of Limit Electrochemical Machining of Metals. /Proc. of Inter. Conf. on Advances in Production Engineering. Part II, APE 98, Watsaw, Poland, 1998,- pp. 221 - 227.

58. Klokov V.V. The inverse boundary-value problem for the steady electrochemical machining (ECM) by the tool with a site of anode polarization.// Тр. Межд. конф. Modeling, computing, design under indeterminacy condition-2000, Уфа, 2000.- C.67 76.

59. Klokov V.V. The steady electrochemical machining by the anode-polarized tool./Proc.2- th Intern. Conf. on Machining and Measurements of Sculptured Surfaces. Krakov, 20 - 22 sept.2000.- p. 419 - 428.

60. Signorini A. Sopra un problema al contorno nella teoria delle fnzioni di variable complessa. / A. Signorini // Annali di matematica. 1916-T25. S. 3.

61. Swokowski E.W. Calculus with analytic geometry / E.W. Swokowski Boston, Massachusetts.: Marquette University, 1984. - 922 p.