Исследование термодинамических и критических свойств сложных моделей магнетиков методами Монте-Карло тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ИБАЕВ ЖАВРАИЛ ГАДЖИЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ И КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СЛОЖНЫХ МОДЕЛЕЙ МАГНЕТИКОВ МЕТОДАМИ МОНТЕ

КАРЛО

01.04.07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МАХАЧКАЛА-2008

003455796

Работа выполнена в Институте физики Дагестанского научного центра РАН

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, д.ф.-м.н, профессор

Муртазаев Акай Курбанович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Бычков Игорь Валерьевич

доктор физико-математических наук Гаджиалиев Магомед Магомедович

Ведущая организация:

Башкирский университет

государственный

Защита состоится 23декабря 2008г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д002.095.01 при Институте физики ДагНЦ РАН по адресу: 367003, Махачкала, пр. Шамиля, 39 а

Отзывы на автореферат просьба направлять по адресу: 367003, Махачкала, ул. М. Ярагского, 94, Институт физики ДагНЦ РАН, секретарю диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики ДагНЦ РАН

Автореферат разослан 20 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук С\II~0njChs- Батдалов А.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование процессов, представляющих собой результат взаимодействия огромного коллектива частиц, находящихся в тесном контакте друг с другом (фазовые переходы (ФП) и критические явления (КЯ)), все еще является одной из фундаментальных задач физики конденсированного состояния [1—3].

На сегодняшний день нет единой последовательной микроскопической теории фазовых переходов и критических явлений. Не до конца решен вопрос о влиянии на ФП и КЯ различных возмущающих факторов (примеси, анизотропия, диполь-дипольное взаимодействие, многоспиновый обмен, учет колебаний решетки и т.д.), присущих реальным системам.

В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов в решеточных моделях реальных магнитных материалов. Объектами исследования являются классическая трехмерная антиферромагнитная модель Гейзенберга на орторомбической решетке и анизотропная модель Изинга с конкурирующими взаимодействиями ^NNN1 модель). Рассматриваемые модели трудно поддаются аналитическому исследованию, особенно в области фазовых переходов.

Поэтому на современном этапе значительно возросла роль и актуальность методов вычислительной физики: методов Монте-Карло и молекулярной динамики. Эти методы позволяют успешно исследовать фазовые переходы и критические свойства систем со сложными реалистичными гамильтонианами в широком диапазоне изменения внешних параметров [4, 5].

Методы МК обладают рядом ценных преимуществ, связанных не только с их строгой математической обоснованностью и возможностью контроля за погрешностью в рамках самого метода, но и с тем, что результаты исследования можно сопровождать «физической картиной» происходящих процессов и большим объемом детальной сопутствующей информации.

Из всего вышесказанного следует, что исследование критических свойств моделей реальных магнитных материалов является важной и актуальной задачей современной статистической теории фазовых переходов и критических явлений.

Целью работы является исследование методами Монте-Карло статических критических свойств сложных моделей реальных магнетиков, малых магнитных частиц и решеточной модели, описывающей длиннопериодические модулированные структуры.

В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:

1. Исследование критического поведения малых магнитных частиц реального слабого ферромагнетика УРе03 и влияние свободной поверхности на характер критического поведения. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности ¡3 и восприимчивости у.

2. Исследование статических критических свойств моделей реального слабоферромагнитного ортоферрита иттрия. Расчет статических критических индексов а, Д и у

ч

3. Исследование анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями. Вычисление критических параметров. Расчет фазовой диаграммы.

4. Разработка комплекса программ для исследования статических критических свойств сложных моделей реальных магнетиков на ЭВМ.

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статического критического поведения реальных магнитных материалов, систем с открытыми поверхностями и модулированных структур представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел.

Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного скейлинга при исследовании моделей реальных магнитных материалов с кроссоверными переходами.

Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Определение характера критического поведения малых магнитных частиц ортоферрита иттрия и степени влияния на критические свойства свободной поверхности. Установление независимости значения критических индексов а, у от размеров частиц. Обнаружение в малых магнитных частицах кроссоверных эффектов.

2. Расчет критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности /7 и восприимчивости у моделей УРеОг. Установление характера критического поведения

3. Изучение термодинамики и критического поведения анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями. Расчет критических параметров на основе теории конечно-размерного скейлинга.

4. Фурье анализ модулированных магнитных структур в АТШМ модели. Определение характера зависимости волнового числа от температуры и отношения обменных параметров. Расчет фазовой диаграммы.

5. Комплекс программ для исследования статических критических явлений в сложных моделях реальных магнетиков на ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала, 2001); XVIII

международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003). II Байкальской международной конференции (Иркутск, 2003) XIX международной школе семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва 2004) VI международном семинаре «Магнитные фазовые переходы» (Махачкала, 2004); международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2005); международной конференции «Функциональные металлические материалы: Сырьевая база магнитные материалы и системы» (Суздаль 2006); XX международном школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники». - (Москва, 2006) международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2007); Международном симпозиуме по магнетизму (М1БМ) (Москва 2008); Международном, междисциплинарном симпозиуме «Фазовые превращения в минералах и сплавах» (ОМА - 11) (Сочи 2008); Международном, междисциплинарном симпозиуме «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» (СШРСМ1) (Сочи 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения. Содержит 71 рисунков и 10 таблиц. Список литературы содержит 215 наименований, всего страниц 164.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту, дается краткая аннотация по главам.

Глава I посвящена описанию классического метода Монте-Карло.

В разделе 1.1 дается изложение классического метода Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю.

Раздел 1.2 посвящен описанию результатов, полученных методами Монте-Карло при исследовании кооперативных явлений в решеточных системах на основе различных модификаций классических моделей Изинга, Гейзенберга и т.д.. Проведен обзор результатов исследования этих моделей различными алгоритмами метода МК.

В разделе 1.3 рассмотрен стандартный алгоритм Метрополиса метода Монте-Карло и обсуждается проблема «критического замедления».

В разделе 1.4 дано подробное описание кластерных алгоритмов (однокластерный алгоритм Вульфа и многокластерный алгоритм Свендсена-Янга), позволяющих преодолеть проблему «критического замедления».

В разделе 1.5 рассматриваются различные виды граничных условий, применяемых при изучении систем содержащих конечное число частиц.

В разделе 1.6 подробно анализируются ошибки, возникающие при моделировании методом Монте-Карло и рассматриваются вопросы, связанные с оценкой погрешности метода.

В главе II представлены результаты исследования методом Монте-Карло критических свойств малых магнитных частиц УРеОз.

В разделе 2.1 рассматриваются специфические особенности малых магнитных частиц.

Раздел 2.2 посвящен обсуждению литературных данных по экспериментальному и теоретическому исследованию статических критических свойств ортоферрита иттрия. Показано, что эти результаты носят противоречивый характер.

В разделе 2.3 предложены микроскопические модели ортоферрита иттрия. Эти модели учитывают все кристаллографические особенности УРе03 (орторомбическую структуру, антисимметричное обменное взаимодействие Дзялошинского-Мория и одноионную анизотропию) и описываются следующим гамильтонианом:

1,1 I >,1 I

где первый член с J<0 учитывает антиферромагнитное обменное взаимодействие каждого из ионов Ре3+ со всеми ближайшими соседями; второй - взаимодействие Дзялошинского - Мория; с1- единичный вектор вдоль оси Ъ\ третий - одноионную анизотропию типа "лёгкая ось", направление которой совпадает с осью Ъ.

Для выяснения степени влияния слабых релятивистских взаимодействий на характер критического поведения нами рассматривались три модели ортоферрита штрия: 1) К7 - ОУ|/|=7,ОхЮ"3 и Шг/|./|=0. 2) У2-£)аг/|7|=2,0х10"2 и Д /И=0. 3) УЗ - Дг/]./|=2,0х 10'2 и ДД/]=7,0х10"3.

В разделе 2.4 представлены результаты исследования критических явлений в моделях малых магнитных частиц УРе03. Вычислены статические критические индексы теплоемкости а, подрешеточной намагниченности /? и восприимчивости у аппроксимацией Монте-Карло данных традиционными степенными функциями. Проведено сравнение полученных результатов с имеющимися литературными данными для макрообразцов УРе03.

Расчеты проводились для частиц кубической формы с линейными размерами ЬхЬхЬ (¿=10+26). Число спинов в частицах составляло N^=1000-17576. Доля поверхностных спинов менялась от 60 % для самой маленькой частицы до 23 % для частицы с N=17576. Выбор конкретных размеров и формы частиц был обусловлен необходимостью строгого контроля за поверхностными спинами и учета их количества.

Отметим, что для всех исследуемых моделей вычисления проводились по единой методике. На ЭВМ генерировалась Марковской цепь длиной до 100то, где то=104 МКшагов/спин неравновесный участок Марковской цепи. Усреднением вдоль марковской цепи вычислялись обменная энергия С/,

энергия анизотропии иа, подрешеточная намагниченность М. Для наблюдения за температурным ходом теплоемкости С, и восприимчивости % использовались следующие соотношения:

С=(ИК)((и2)-(и/), (2)

Х=№)«т2)-<т?), (3)

где К = ///'¡свТи - внутренняя энергия, /и-намагниченность системы.

На рис. 1 представлены зависимости теплоемкости С и восприимчивости % от температуры для модели УЗ. Аналогичные зависимости наблюдаются и для моделей У1 и У2. Эти зависимости имеют хорошо выраженные максимумы в критической области. Из рисунка видно, что критическая температура Тс смещается в сторону низких температур с уменьшением числа спинов в частицах, что является следствием ограниченности исследуемых систем.

Для аппроксимации критического поведения теплоемкости использовались выражения

С=(А/а)(\1\-а-1)+ОЩх+В+Е1, (4)

С=(А/аМа(1+0\1\х)+В+Е(, (5)

где / = (Т-Тс)/Тс - приведенная температура. Значение х полагалось равным 0,55. Заметим, что результаты обработки формулой (4) более точно описывают поведение теплоемкости. Обработка МК данных проводилось нелинейным методом наименьших квадратов. В качестве Тс использовались значения соответствующие максимумам теплоемкости.

Полученные значения критического индекса а представлены в таблице 1

(аппроксимация формулой (4)). Все значения а для У1 при Т < Тс имеют отрицательный знак, характерный для гейзенберговского поведения и практически не зависят от размера частиц. По абсолютной величине значения а близки к теоретическому значению а=-0,126(28), полученному для изотропной модели Гейзенберга с короткодействующими силами.

Поскольку в гамильтониане (1) о,о о,4 о,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8^т>^/| имеется член, описывающий

Рис. 1. Температурная зависимость одноионную анизотропию, то в теплоемкости С/кв и восприимчивости критическом поведении УРе03 должен X для малых магнитных частиц УРе03 наблюдаться кроссовер от (модель УЗ). гейзенберговского критического

поведения к изинговскому. Но значения а, полученные нами в диапазоне температур 8хЮ'3 <? <9x10'', не показывают наличие кроссовера. Возможно, это связано с тем, что поверхностные спины частиц в модели У1, даже при температурах значительно ниже Тс, свободно переориентируются, расширяя область с гейзенберговским критическим поведением и смещая температуру кроссовера ¡сг к точке Нееля.

Таблица 1.

Данные КИ а для частиц с разным числом спинов N

Модель N Т<ТС

0,008* (<0,93 0,06*1*0,93

п 10 -0,20(2) -0,11(2)

14 -0,18 -0,11

18 -0,12 -0,11

22 -0,13 -0,12

26 -0,14 -0,12

У2 10 0,09(2) 0,12(2)

14 0,03 0,10

18 0,09 0,10

22 0,03 0,10

26 0,03 0,10

УЗ 10 0,08(2) 0,10(2)

14 0,09 0,08

18 0,03 0,09

22 0,05 0,11

26 0,08 0,12

Небольшое отличие значений а, полученных нами, от тех которые предсказывает теория и лабораторные эксперименты, по-видимому, также связаны с наличием значительной доли слабо закрепленных поверхностных спинов. Для моделей 17 и УЗ, на всем исследованном интервале температур, значения а имеют положительный знак, характерный для модели Изинга. Такое поведение формирует взаимодействие Дзялошинского-Мория, щ приводящее к скосу магнитных моментов

подрешеток и появлению

слабоферромагнитного момента

направленного вдоль оси 1. Но, т.к. обменное взаимодействие упорядочивает спины в плоскости перпендикулярной оси легкого намагничивания, то для модели У2 можно ожидать поведение

соответствующее ХУ модели или модели Изинга.

1,00-

0,37

0,14

t При обработке данных в Рис. 2 Двойная логарифмическая высокотемпературной фазе Т>ТС без учета зависимость подрешеточной на- скейлинговского предположения Ы=а, в магниченности от температуры рассмотренных нами температурных (модель ¥2). интервалах для всех частиц значения

Ы^О.П (3) характерные для изинговского

критического поведения.

Для аппроксимации критического поведения подрешеточной намагниченности использовалось выражение:

т=В\^(1+ат№> (6)

где р - критический индекс намагниченности, В и ат - критическая температура и температура коррекции к скейлингу. Значения Д найденные на основе выражения (6), достаточно сильно меняются в зависимости от интервала приведенных температур и числа спинов в частице. Эти особенности мы связываем с характерными для МК экспериментов эффектами ближнего порядка выше Тс.

На зависимостях т от I, представленном в двойном логарифмическом масштабе, для моделей VI и У2, наблюдались характерные для кроссовера изломы при температурах 3,8-КУ2 и 4,0-Ю'2 соответственно. На рис. 2 показана характерная картина для модели У2 с двумя значениями /? при /< 1СГ и при для частицы с N=2744.

Эти данные свидетельствуют о наличии кроссоверов от гейзенберговского критического поведения с ¡3=0,36 к изинговскому с /3=0,32, как для У1, так и для модели У2. А для модели УЗ такой излом не наблюдается и на всей температурной области имеет значение /3=0,32, характерное изинговскому критическому поведению.

Для аппроксимации критического поведения восприимчивости использовалась простая степенная зависимость % от V.

/=Л'Г> (7)

где у, Г - критический индекс и критическая амплитуда восприимчивости. Критические индексы у я у' определялись независимо справа и слева от точки фазового перехода Тс. В качестве Тс использовались значения соответствующие максимумам температурной зависимости восприимчивости Х- Для критических индексов утл. у', также как и для а, нет зависимости от числа спинов N в частице. Но значения у и у' сильно зависят от и увеличиваются с ростом /,„„„ как и критический индекс Д Отметим, что по абсолютным значениям у а у' нельзя ничего сказать о критическом поведении восприимчивости как об изинговском (у=1,24), гейзенберговском (у=1,39) или ХУ(у=1,34).

В главе III приводятся результаты исследований критических свойств моделей реального ортоферрита иттрия.

В разделе 3.1 рассмотрены основные положения теории конечно-размерного скейлинга (КРС). Идеи, заложенные в теории КРС, позволяют экстраполировать МК результаты, полученные для систем с конечными размерами к термодинамическому пределу. Согласно этой теории в системе с размерами ЬхЬхЬ при Т=ТС и достаточно больших значениях I термодинамические параметры аппроксимируюся следующими выражениями:

т-и^, (8)

Х~1?\ (9)

Эти соотношения позволяют определить значения критических индексов Д у. Для этого в двойном логарифмическом масштабе строились зависимости т и X от линейных размеров системы Ь. Обычно на практике для аппроксимации теплоемкости используется следующее выражение:

Стт(1)=Стах(Ь=Х)-а1а\ (10)

где а - некоторый коэффициент.

Раздел 3.2 посвящен обсуждению результатов исследования моделей УРе03 с периодическими граничными условиями (ПГУ), аппроксимацией МК данных соотношениями (8-10).

Расчеты проводились для образцов кубической формы с числом спинов Ызф= 512+27000. На рис. 3 представлены зависимости

теплоемкости С/кв и восприимчивости X от температуры для модели У2. Аналогичные зависимости

наблюдаются и для остальных моделей. Как видно из рисунка, температуры, на которые приходятся максимальные значения теплоемкости Стах0^), Для систем с разным числом Рис. 3. Температурные зависимости спинов в пределах погрешности теплоемкости и восприимчивости совпадают и не зависят от числа (модель У2). спинов в системе. С увеличением N

наблюдается лишь рост абсолютных значений Стах(Щ. Аналогичные особенности проявляет и восприимчивость. Все это свидетельствует о достаточно хорошем снятии граничных эффектов выбранным способом использования ПГУ. Для определения Тс нами использовался так называемый метод кумулянтов Биндера. Определенные этим методом значения критических температур Тс=1,440(2), Тс=1,573(2) и Тс=1,573(2) для моделей У1, У2 и УЗ соответственно, использовались в дальнейшем при обработке МК данных.

На основе выражений (8)-(10) для рассматриваемых нами моделей получены значения:

для 71 сх/у=0,162(2) у/у=1,874(4) р/у=0,473(4)

для 72 а/у=-0,073 у/у= 1,972 р/у=0,443

для 73 а/у=0,151 у/у= 1,932 р/у=0,451 Из этих данных при у=0.63 следуют следующие наборы индексов:

для 71 <х=0,10(2) у=1,21(4) р=0,30(2)

для 72 а=-0,04 у=1,24 Р=0,32

для 73 а=0,09 у=1,22 р=0,30

Значения критических индексов, полученных для модели У1 и УЗ, соответствуют модели Изинга и в пределах погрешности совпадают с теоретическими значениями (а=0,108, у=1,24, Р=0,326). Изинговский характер критического поведения этих моделей согласуется с ожидаемым из гамильтониана характером, так как для обоих моделей в гамильтонианах учитывается одноионная анизотропия, которая в Тс формирует

к „ТАЛ

соответствующее поведение. Данные для У2 не согласуются ни с одной из известных моделей. В таких сложных моделях с кроссоверными переходами это может быть в двух случаях: 1. либо индексы вычислены в кроссоверной области, не достигнув асимптотической критической области; 2. либо для этой модели характер критического поведения отличается от ожидаемого и необходим перерасчет критических параметров.

Первый случай, по-видимому, можно исключить, так как две другие модели, изученные в тех же режимах не содержат никаких противоречий. Зато перерасчет данных с учетом у=0,67 (ЛУ-модель) и \=0,1\ (модель Гейзенберга) дают следующие наборы индексов:

а=-0,04(2), у=1,32(4), (3=0,32(2), приу=0,67и

а=-0,05(2), у=1,39(4), р=0,35(2), приу=0,71

Очевидно, что значения индексов из второго набора хотя и близки к теоретически предсказанным для модели Гейзенберга, но не совпадают с ними. Зато значения а, Р, у, полученные при у=0,67, хорошо согласуются с результатами для ЛУ-модели и в пределах погрешности совпадают с ними.

Поведение характерное для ЛТ-класса универсальности в ¥Ре03 обнаружено и в лабораторных экспериментах. Полученные значения критических индексов для модели У2 и экспериментальные данные свидетельствуют о том, что флуктуации магнитных моментов УРе03 в основном происходят в плоскости XV. Учет в модели УЗ одноионной анизотропии, наряду с взаимодействием Дзялошинского-Мория формирует изинговский характер критического поведения, так как направления слабоферромагнитного момента и одноосной анизотропии совпадают. В экспериментах это не наблюдается, поскольку выход на асимптотический критический режим в лабораторных исследованиях чрезвычайно затруднен из-за целого ряда серьезных трудностей, с которыми сталкиваются такого рода эксперименты.

В главе IV приводятся результаты исследования анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями ^NNN1).

В разделе 4.1. проведен обзор основных теоретических и экспериментальных работ по изучению систем, в которых наблюдаются модулированные длиннопериодические структуры. Показано, что существующие в литературе значения критических показателей не согласуются друг с другом и описывают в основном область температур вблизи точки Лифшица.

Раздел 4.2. посвящен рассмотрению особенностей АЫЫЫ1 модели и краткому обзору существующих литературных данных по исследованию этой модели. Гамильтониан модели можно представить следующим образом:

где J>0 - параметр ферромагнитного взаимодействия ближайших соседей, J,<0 - антиферромагнитного взаимодействия соседей следующих за ближайшими по направлению оси Z.

В разделе 4.3. проведено обсуждение результатов исследования модели ANNNI. Расчеты проводились для систем кубической формы с периодическими граничными условиями и размерами LxLxL; L-8^64, \Ji/J\=0,/^l,0. На рис. 4 представлены характерные температурные

зависимости теплоемкости модели n^f ANNNI при \J/J\=0,1 и \J,/J\=0,7. Как 56 видно из этих рисунков, для первого 4,9 значения отношения обменных -4,2 параметров температурные зависимости з,5 теплоемкости имеют ярко выраженные •2,8 максимумы, которые в пределах 2<1 погрешности приходятся на одну и ту ;1'4 же температуру. Такое же поведение 0,7 наблюдается и при \J[/J\=0,2. Для з,б 4,о 4,4 4,8 остальных значений параметра \JS/J\ *,ВД имеется конечная область температур,

Рис. 4. Температурные зависимо- где наблюдается некоторый нетипичный сти теплоемкости при различных характер этих зависимостей. Эта значениях \ Jt/J\ область начинается с резкого скачка

теплоемкости и завершается небольшим размытым максимумом, между которыми имеются несколько небольших пиков. Количество пиков и их величина сильно зависит от размеров исследуемой системы. Так для самой маленькой системы наблюдается всего один размытый пик, а для системы с L=64 таких пиков несколько. Аналогичное поведение характерно и для температурных зависимостей восприимчивости.

Такой характер температурной зависимости теплоемкости и восприимчивости объясняется тем, что в исследуемой модели возможны несколько фазовых переходов. Первый из этих максимумов принадлежит фазовому переходу из однородного состояния в модулированную фазу. Последний пик это фазовый переход модулированная фаза - парамагнетик. Все промежуточные максимумы и пики

С/0,7 0,6 0,5 0,4 03 од 0,1 0,0 -од

—■—L=12

-*— L=16

—*—L=20

—▼—'L=24

—♦~L=28

S —L=32

ДМ ДЯ 3» ДЮ 4« 4/в

2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 к^АА ответственны за переходы между

Рис. 5. Температурные зависимости различными модулированными кумулянтов Биндера при \JiZJ] =0,2. фазами.

Для анализа природы фазовых

переходов и более точного определения Тс использован метод кумулянтов Биндера. Применение кумулянтов Биндера позволило хорошо тестировать и тип фазового перехода в системе.

Так в случае фазового перехода второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов имеют точку пересечения как в случаях, показанных на рис. 5 для \J\ZJ\ =0,2 в то время как при фазовом переходе первого рода кривые кумулянтов имеют специфический вид без характерной точки пресечения. Такой характер поведения кумулянтов может быть обусловлен тем, что все фазовые переходы в исследуемой модели при возникновении в ней модулированных структур являются переходами первого рода.

В исследуемой модели фазовые переходы второго рода наблюдаются при \JiZJ]=0,1 и \JiZJ]=0,2. Для этих отношений с помощью теории КРС вычислены критические параметры (таблица 2). По данным этой таблицы все критические индексы как по величине, так и по знаку подтверждают изинговский характер критического поведения рассматриваемой модели. Для вычисления температур фазовых переходов первого рода использовались кумулянты Биндера по энергии. Значения температур, полученные при этом, использовались нами для построения фазовой диаграммы.

Таблица 2.

Т 1 с а/у Р/У V а Р У

0,1 4,264 0,2432 0,5366 1,9478 0,1533 0,3383 1,2280

0,2 3,978 0,2515 0,4207 1,9934 0,1585 0,2652 1,2568

В разделе 4.4. рассмотрены результаты Фурье анализа модулированных структур и приведена фазовая диаграмма.

Показано что с ростом линейных размеров системы увеличивается число наблюдаемых модулированных структур. Поэтому Фурье анализ проведен для модулированных структур, в системе с наибольшими линейными размерами ¿=64.

Волновые числа рассчитаны по максимумам Фурье амплитуд. Полученные значения в зависимости от температуры представлены на рис. 6. Наблюдается монотонное ступенчатое уменьшение q с увеличением температуры. Подобное поведение наблюдалось ранее в экспериментальных и теоретических исследованиях модулированных структур. Отметим также, что в области модулированных фаз при |.///|<0,5 волновое число Рис. 6. Зависимость волнового модулированной фазы увеличивается с числа модулированных структур повышением температуры от 3/64 до 9/64. от температуры Рост волнового числа модулированных

структур от 0 до 1/4 наблюдается и при увеличении абсолютного значения параметра \Ji\- Для =0,5 волновое число остается практически постоянной и равной 5/32 на довольно широком температурном интервале. Такое поведение волнового числа объясняется стремлением системы при охлаждении к своему основному состоянию.

Обобщая все результаты по исследованию анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями нами, была построена фазовая диаграмма

в координатах (У//, квТ/(рис. 7). Для расчета температур перехода между основными состояниями применен метод кумулянтов Биндера. Температуры перехода между модулированными

структурами рассчитаны по результатам Фурье анализа. При этом за температуру перехода принималась температура, при которой происходит скачкообразное изменение волнового числа модулированных структур. Как видно из полученной фазовой диаграммы, линии, разделяющие основные фазы модели имеют тенденцию к пересечению в точке с координатами \JiZJ] =0,275 и квТ/\.Г\=3,7. По видимому, это и есть мультикритическая точка типа Лифшица, в которой одновременно сосуществуют три фазы: парамагнитная, ферромагнитная и модулированная.

Основные результаты работы.

1. На основе экспериментальных и теоретических данных сформулированы микроскопические модели реального ортоферрита иттрия.

2. Исследованы статические критические свойства моделей малых магнитных частиц УРеО}. Показано увеличение критической температуры малых частиц УРе03 с ростом размеров частиц. Рассчитаны статические критические индексы теплоемкости, намагниченности и восприимчивости. Обнаружены кроссоверы от гейзенберговского к ХУ и изинговскому характерному критическому поведению. Особенности критического поведения в значительной мере определяется наличием большой доли поверхностных спинов.

3. Исследованы статические критические явления в моделях реального многоподрешеточного антиферромагнетика УРе03. Рассчитаны критические индексы теплоемкости, подрешеточной намагниченности и восприимчивости.

4. На основе анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями изучены модулированные магнитные структуры. Проведен

Рис.7. Фазовая диаграмма модели

ANNNI

Фурье анализ этих структур. Определена зависимость волнового числа от температуры и отношения обменных параметров. Рассчитаны критические индексы. Построена фазовая диаграмма.

5. Показано, что для выявления всех особенностей критического поведения моделей сложных магнитных систем необходим комплексный анализ МК данных, как на основе традиционных степенных функций, так и на основе теории КРС.

6. Разработан комплекс программ для ЭВМ, позволяющий с использованием методов МК исследовать статические критические явления в сложных решеточных системах.

Цитированная литература.

1. Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и е-разложение /Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина.-М.: Мир-1975-256 с.

2. Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов // УФН - 1977 - Т.121, вып.1-С. 5596.

3. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов-М.: Наука-1982-380 с.

4. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Алиев Х.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло//УФН-1999-Т.169 № 7-С. 773-795.

5. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena//Physica A-1994-V. 205-Р.41Ч54.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Исследование критических свойств ортоферрита иттрия методами Монте-Карло //ФНТ. - 2005-Т. 31 №2-С.185-190.

2. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Исследование ортоферрита иттрия методами Монте Карло//Вестник ДНЦ-2006 - № 23-С. 15-20.

3. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Критические свойства малых магнитных частиц YFe03/M>HT-2006-T. 32 №10-С.1227-1232.

4. Муртазаев А.К. Ибаев Ж.Г. Исследование моделей ортоферритов методами Монте-Карло//Материалы 2 Всероссийской конференции по физической электронике, Махачкала:2001-С.186-188.

5. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Исследование критических свойств модели YFe03 методами Монте-Карло//Сборник трудов XVIII международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва:2002-С. 110-112.

6. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Статические критические свойства модели YFe03//C6opHHK трудов международной конференции «Фазовые

переходы критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала:2002-С.58-60.

7. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Магнитные критические свойства моделей ортоферрита иттрия//Сборник трудов всероссийской школы-семинара молодых ученных, посвященный памяти Х.И. Амирханова, Махачкала:2003-С.146-148.

8. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г., Исследование статических критических свойств ортоферрита иттрия методами Монте-Карло//Сборник трудов XIX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва:2004-С.766—768.

9. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г., Рашидханов A.M. Исследование статических критических свойств малых магнитных частиц ортоферрита иттрия методами Монте-Карло//Сборник трудов VI международного семинара «Магнитные фазовые переходы», Махачкала:2004-С.45-47.

10. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Магнитные и критические свойства анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями//Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала:2005-С.25-26.

11. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Применение методов Монте-Карло к исследованию моделей ортоферрита иттрия//Сборник трудов II Байкальской международной конференции Иркутск, 2003 - С. 87-89.

12. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Исследование анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями методами Монте-Карло//Сборник трудов XX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва:2006-С.622-623.

13. Муртазаев А,.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Магнитные и критические свойства анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями//Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала:2005-С. 25-26.

14. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Фазовые переходы в модели ANNNI//C6opHHK трудов XX международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала:2007-С.48-51.

15. Муртазаев А.К., Абуев Я.К., Ибаев Ж.Г. Исследование модулированных структур в модели ANNNI//C6opHHK трудов XX международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала:2007-С.101-103.

16. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Магнитные критические свойства анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями// Информационно аналитический бюллетень Горный, Москва Издательство МГУ:2007, отдельный выпуск №1-0.352-359.

17. Murtazaev A.K., Ibaev J.G. The investigation of 3D ANNNI model by the Monte-Carlo methods.// Book of abstracts Moscow international symposium on magnetism, Moscow: 2008 - P. 528-529.

18. Муртазаев A.K., Ибаев Ж.Г. Исследование модулированных структур в магнетиках// Сборник трудов 11 Международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов», Сочи: 2008 - С. 169-172.

19. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Критические свойства модели ANNNI// Сборник трудов 11 Международного симпозиума «Упорядочение в минералах и сплавах», Сочи: 2008 - С. 211-214.

ч

Подписано в печать 07.11.2008 г. Тираж 100 экз. Бесплатно. Отпечатано в Институте физики Дагестанского НЦ РАН. 367003, г. Махачкала, ул. М, Ярагского, 94.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

§1.1. Классический метод Монте-Карло

§ 1.2. Применение методов Монте-Карло к исследованию различных решеточных систем.

§ 1.3. Стандартный алгоритм метода Монте-Карло

§ 1.4. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло

§ 1.5. Граничные условия

§ 1.6. Анализ ошибок в методе Монте-Карло

ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАЛЫХ МАГНИТНЫХ ЧАСТИЦ YFe

§2.1. Специфика малых систем.

§ 2.2. Статические критические свойства редкоземельных ортоферритов. Данные лабораторных экспериментов

§2.3. Микроскопические модели ортоферрита иттрия.

§2.4. Статические критические свойства малых магнитных частиц YFe03. Результаты численного эксперимента

ГЛАВА III. СТАТИЧЕСКИЕ КРИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ РЕАЛЬНОГО СЛАБОГО

ФЕРРОМАГНЕТИКА YFe

§ 3.1. Основные положения теории конечно - размерного скейлинга.

§ 3.2. Статические критические свойства моделей ортоферрита иттрия. Результаты численного эксперимента.

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ АНИЗОТРОПНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА С КОНКУРИРУЮЩИМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

§ 4.1. Исследование модулированных структур в магнетиках

§4.2. Модель.

§ 4.3. Результаты исследования и их обсуждение.

§ 4.4. Фурье-анализ и фазовая диаграмма.

Исследование процессов, представляющих собой результат взаимодействия огромного числа частиц, находящихся в тесном контакте друг с другом (фазовые переходы (ФП) и критические явления (КЯ)), все еще является одной из фундаментальных задач физики конденсированного I состояния. Природа таких коллективных явлений в конденсированных системах по настоящее время до конца не выяснена. Существующие теории фазовых переходов и различные аналитические методы, такие как методы ренормализационной группы и ^-разложения [1—4], высоко- и низкотемпературные разложения [5], а также применение гипотезы подобия (скейлинг) [6], позволили осознать некоторые особенности поведения термодинамических систем непосредственно в критической области, выявить многие общие принципы фазовых переходов, построить уравнения состояния, рассчитать значения критических индексов для многих решеточных систем и установить связь между ними.

На основе этих теорий была выдвинута так называемая гипотеза универсальности [7], согласно которой критические индексы не зависят от величины спина и деталей микроскопического гамильтониана, но сильно зависят от размерности d рассматриваемой системы и числа степенной свободы параметра порядка п.

Следствием этой гипотезы являлось то, что в пределах одного класса универсальности для всех систем, претерпевающих фазовый переход второго рода, критические индексы являются одинаковыми. Таким образом, в один и тот же класс универсальности попадают столь непохожие на первый взгляд системы, как жидкости, магнетики, сверхпроводники, сегнетоэлектрики и другие. Отметим также, что из этого правила имеются и исключения, среди которых можно упомянуть восьми-вершинную и сферическую модели [8].

Большую роль в разработке общей микроскопической теории фазовых переходов сыграли точные аналитические решения, полученные для весьма ограниченного числа решеточных моделей. В 1925 году Изинг нашел решение для случая одномерной цепочки (в цепочке фазовый переход происходит при Т= 0) [9]. В 1944 году Онзагер получил аналитическое решение для двумерной модели Изинга в нулевом внешнем поле [10] и доказал существование фазового перехода. В 1952 году Берлин и Кац сформулировали и строго рассчитали так называемую сферическую модель [11]. Далее, наиболее интересным результатом было получение Либом [8] строгого решения для шестивершинной модели (модели типа льда). Имеют точное решение и некоторые другие модели, в том числе и экзотические [8]. За последние годы получено решение некоторых низкоразмерных систем, для чего был разработан ряд интересных методов и подходов [12].

Но, несмотря на значительные успехи теории, создание последовательной теории фазовых переходов второго рода и родственных им переходов с учетом отличий, характерных для различных превращений, остается одной из фундаментальных проблем физики конденсированного состояния [13, 14].

В настоящее время при описании критических явлений в решеточных системах наиболее часто используют различные модификации классических моделей Изинга, Гейзенберга, XY-модель, модель Поттса с учетом различных усложняющих факторов. На их основе с помощью вышеупомянутых аналитических методов получена обширная информация о поведении различных термодинамических величин в широком диапазоне температур и других физических параметров. Исследования выполнены на решетках различного типа и пространственной размерности, а также при варьировании большого количества различных параметров. В последние годы для исследования критической области, вычисления значений критических индексов (КИ) и критических амплитуд (КА) успешно пользуются методами вычислительной физики (ВФ), точность которых не только не уступает, но и зачастую превосходит лучшие результаты других методов [15-22].

Данные результаты обеспечиваются не только увеличением вычислительных мощностей современных ЭВМ, но и использованием некоторых дополнительных идей и методов, таких как разработка мощных кластерных алгоритмов для исследования критической области [23—25], репличных алгоритмов для фрустрированных систем [26], гистограммных методов анализа данных [27-30], а также использованием идей, заложенных в теории конечно-размерного скейлинга (КРС) для расчета критических параметров [31-36].

Центр тяжести теоретических исследований переместился теперь к изучению более реалистичных моделей, т.е. к учету многочисленных факторов, усложняющих фазовые переходы в реальных кристаллах и не учитываемых в рамках моделей первого приближения. Такими факторами являются эффекты, связанные с наличием различных типов анизотропии, диполь-дипольных сил, учет взаимодействия соседей, следующих за ближайшими и т.д. Необходимо учитывать также колебания решетки и ряд других факторов. Учет таких факторов становится особенно важным вблизи критических температур.

Строгое исследование трехмерных микроскопических гамильтонианов сложных реальных систем методами современной теоретической физики — задача чрезвычайно сложная. В связи с этим на современном этапе значительно возрастает роль и актуальность методов вычислительной физики - различных вариантов классического [15-17, 2027, 37, 38] и квантового [39-54] методов Монте-Карло, которые позволяют успешно исследовать критические свойства сложных систем в широком диапазоне температур и других внешних параметров. При этом данные, получаемые с помощью методов вычислительной физики, с одной стороны, молено рассматривать как «экспериментальные» и сравнивать их с различными аналитическими приближениями, а с другой стороны - как «теоретические» и сравнивать их с соответствующими экспериментами.

О значении, которое придается в настоящее время методам вычислительной физики, свидетельствует разработка специализированных ЭВМ и процессоров, строго ориентированных на эти методы, и решение конкретных задач статистической механики и молекулярной физики [55].

Использование методов вычислительной физики требует создания довольно больших и сложных программ для ЭВМ, а также проведения большой предварительной методической работы. Почти все программы весьма специфичны, требуют от программиста большого опыта и внимательности и, как правило, не могут быть использованы для решения различных задач. Тем не менее, следует признать более чем оправданными те усилия, которые затрачиваются на создание и отладку подобных программ: в результате удается оценить, в какой мере обоснованы те или иные микроскопические модели, теоретические методы и эмпирические аппроксимации [56].

В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов в решеточных моделях реальных магнитных материалов. Объектами исследования являются классическая трехмерная антиферромагнитная модель Гейзенберга на орторомбической решетке и анизотропная модель Изинга с конкурирующими взаимодействиями. Рассматриваемые модели трудно поддаются аналитическому исследованию, особенно в области фазовых переходов. В рамках первой модели методами вычислительной физики проведены исследования критических свойств малых магнитных частиц и макрообразцов реального слабоферромагнитного ортоферрита иттрия (YFe03). Имеющиеся в литературе экспериментальные данные по критическим свойствам этого материала противоречивы и часто не согласуются как между собой, так и с теоретическими предсказаниями. Следовательно использование методов вычислительной физики для исследования этого материала представляется оправданным [57-59].

В рамках второй модели нами проведено исследование длиннопериодических модулированных магнитных структур. Исследование этих структур началось с открытия первой модулированной структуры в нитрите натрия в 1962 году [60]. Главной особенностью модели является наличие мультикритической точки типа Лифшица, в которой одновременно сосуществуют три фазы: однородная, модулированная и неоднородная. Критические параметры, имеющиеся в литературе для рассматриваемой модели, вычислены в основном в точке Лифшица или в непосредственной близости от нее и не совпадают друг с другом. Не имеют однозначного ответа вопросы, связанные с зависимостью волнового числа модулированной фазы от температуры и других макроскопических параметров, расположение границ сосуществования различных фаз и типе фазовых переходов между различными магнитными структурами.

Таким образом, исследование ФП и КЯ, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики решеточных систем. Заметим, что все исследуемые системы учитывают все наиболее существенные особенности кристаллов, в том числе и слабые релятивистские взаимодействия. Это позволяет сравнивать результаты исследования методами МК не только с теоретическими предсказаниями, но и с данными лабораторных экспериментов.

Целью работы является исследование методами Монте-Карло статического критического поведения сложных моделей реальных магнетиков, малых магнитных частиц и решеточной модели описывающей длиннопериодические модулированные структуры. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:

1. Исследование критического поведения малых магнитных частиц реального слабого ферромагнетика YFeO3 и влияние свободной поверхности на характер критического поведения. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности Д и восприимчивости у.

2. Исследование статических критических свойств моделей реального слабоферромагнитного ортоферрита иттрия (YFe03). Расчет статических критических индексов а, Д и у.

3. Исследование анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями. Вычисление критических параметров. Расчет фазовой диаграммы.

4.Разработка комплекса программ для исследования статических критических свойств сложных моделей реальных магнетиков на ЭВМ.

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты по исследованию статического критического поведения реальных магнитных материалов, систем с открытыми поверхностями и модулированных структур представляют интерес для дальнейшего развития теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел.

Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований YFeC>3 и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного скейлинга при исследовании моделей реальных магнитных материалов с кроссоверными переходами.

Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.

Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:

1. Определение характера критического поведения малых магнитных частиц ортоферрита иттрия и степени влияния на критические свойства свободной поверхности. Установление независимости значения критических индексов а, у от размеров частиц. Обнаружение в малых магнитных частицах кроссоверных эффектов.

2. Расчет критических индексов теплоемкости а, подрешеточной намагниченности /? и восприимчивости у моделей YFe03. Установление характера критического поведения YFe03.

3. Изучение термодинамики и критического поведения анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями. Расчет критических параметров.

4. Фурье анализ модулированных магнитных структур в ANNNI модели. Определение характера зависимости волнового числа от температуры и отношения обменных параметров. Расчет фазовой диаграммы.

5. Комплекс программ для исследования статических критических явлений в сложных моделях реальных магнетиков на ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала, 2001); XVIII международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003); II Байкальской международной конференции (Иркутск, 2003); XIX международной школе семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва 2004); VI международном семинаре «Магнитные фазовые переходы» (Махачкала, 2004); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2005); Международной конференции «Функциональные металлические материалы: Сырьевая база магнитные материалы и системы» (Суздаль 2006); XX международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники». -(Москва, 2006); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2007); Международном симпозиуме по магнетизму (MISM) (Москва 2008); Международном междисциплинарном симпозиуме «Фазовые превращения в минералах и сплавах» (ОМА - 11) (Сочи 2008); Международном междисциплинарном симпозиуме «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» (ODPO-11) (Сочи 2008).

Публикации

1. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Исследование критических свойств ортоферрита иттрия методами Монте-Карло // ФНТ. -2005. - Т. 31. №2. - С. 185-190.

2. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Исследование ортоферрита иттрия методами Монте Карло // Вестник ДНЦ. - 2006. - № 23.-С. 15-20 .

3. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Критические свойства малых магнитных частиц УТеОз Н ФНТ. - 2006. - Т. 32. №10. - С. 1227-1232.

4. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Исследование моделей ортоферритов методами Монте-Карло // Материалы 2 Всероссийской конференции по физической электронике, Махачкала: 2001. - С. 186-188.

5. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Исследование критических свойств модели YFeO3 методами Монте-Карло // Сборник трудов XVIII международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва: 2002. - С. 110-112.

6. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Статические критические свойства модели YFe03 // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала: 2002. - С. 58-60.

7. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Магнитные критические свойства моделей ортоферрита иттрия // Сборник трудов всероссийской школы-семинара молодых ученных, посвященный памяти Х.И. Амирханова, Махачкала: 2003. - С. 146-148.

8. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г., Исследование статических критических свойств ортоферрита иттрия методами Монте-Карло // Сборник трудов XIX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва: 2004. - С. 766-768.

9. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г., Рашидханов A.M. Исследование статических критических свойств малых магнитных частиц ортоферрита иттрия методами Монте-Карло // Сборник трудов VI международного семинара «Магнитные фазовые переходы», Махачкала: 2004. - С. 45-47.

10. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Магнитные и критические свойства анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала: 2005. — С. 25-26.

11. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Применение методов Монте-Карло к исследованию моделей ортоферрита иттрия // Сборник трудов II Байкальской международной конференции, Иркутск: 2003.-С. 87-89.

12. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Исследование анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями методами Монте-Карло // Сборник трудов XX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники», Москва: 2006. - С.622-623.

13. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Магнитные и критические свойства анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями // Труды международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала: 2005. - С. 25-26.

14. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Фазовые переходы в модели ANNNI // Сборник трудов XX международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала: 2007. - С. 48-51.

15. Муртазаев А.К., Абуев Я.К., Ибаев Ж.Г. Исследование модулированных структур в модели ANNNI // Сборник трудов XX международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах», Махачкала: 2007. - С. 101-103.

16. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Магнитные критические свойства анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями // Информационно аналитический бюллетень Горный, Функциональные металлические материалы, Сырьевая база, магнитные материалы и системы, Москва Издательство МГУ: 2007, отдельный выпуск №1. - С. 352-359.

17. Murtazaev A.K., Ibaev J.G. The investigation of 3D ANNNI model by the Monte-Carlo methods. // Book of abstracts Moscow international symposium on magnetism, Moscow: 2008. - P. 528-529.

18. Муртазаев A.K., Ибаев Ж.Г. Исследование модулированных структур в магнетиках // Сборник трудов 11 Международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов», Сочи: 2008. - С. 169-172.

19. Муртазаев А.К., Ибаев Ж.Г. Критические свойства модели ANNNI// Сборник трудов 11 Международного симпозиума «Упорядочение в минералах и сплавах», Сочи: 2008. - С. 211-214.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения. Содержит 71 рисунков и 10 таблиц. Список литературы содержит 215 наименований, всего страниц 164.

4.3. Результаты исследования и их обсуждение

Методом Монте-Карло на основе стандартного алгоритма Метрополиса нами исследовались системы кубической формы с периодическими граничными условиями и размерами L х L х L ; L=8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 40, 50, 64. Число спинов Иэф в моделируемых системах при этом составляло 512, 1728, 4096, 8000, 13824, 21952, 32768, 6400, о

12500 и 262144. На ЭВМ генерировались марковские цепи длиной до 10 МКшагов/спин. Для вывода системы в равновесное состояние отсекались неравновесные участки длиной до 104 МК-шагов/спин. Исследования проводились в широком диапазоне температур Т и отношения обменных параметров \ J\/J\=0,1+1,0.

Для наблюдения за температурным ходом энергии U, намагниченности гп, теплоемкости С и восприимчивости % использовались соотношения 2.3 - 2.6. На рис. 4.3 - 4.5 представлены характерные температурные зависимости теплоёмкости, восприимчивости и намагниченности исследуемой модели. Как видно из этих рисунков, для \Jj/J\=0,l и \Ji/J\=0,2 температурные зависимости теплоемкости и восприимчивости имеют ярко выраженные максимумы, которые в пределах погрешности приходятся на одну и ту же температуру. Для остальных значений параметра \J\IJ\ на этих зависимостях имеется конечная область температур, где наблюдается некоторый нетипичный характер этих зависимостей. Эта область начинается с резкого скачка теплоемкости и восприимчивости и завершается небольшим размытым максимумом, между которыми имеются несколько небольших пиков. Количество пиков и их величина сильно зависит от размеров исследуемой системы. Так, для самой маленькой системы с L= 12 наблюдается всего один размытый пик, а для системы с L=64 таких пиков несколько. Такая зависимость теплоемкости и восприимчивости от температуры объясняется тем, что в исследуемой модели возможны несколько фазовых переходов. Первый из этих максимумов принадлежит фазовому переходу однородное состояние - модулированная фаза. Последний пик - это фазовый переход «модулированная фаза - парамагнетик». Все промежуточные максимумы и пики ответственны за переходы между различными модулированными фазами.

Для анализа природы фазовых переходов и точного определения Тс в работе использован метод кумулянтов Биндера (формулы (3.20-3.21)). Применение кумулянтов Биндера позволило протестировать и тип фазового перехода в системе [16, 57].

Так, в случае фазового перехода второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов по намагниченности имеют ярко выраженную точку пересечения, как в случае, показанном на рис. 4.6 (а), в то время как при фазовом переходе первого рода кривые кумулянтов характеризуются специфическим видом без взаимного пресечения (рис. 4.6 (б, в)).

Такой характер поведения кумулянтов может быть, как правило, обусловлен тем, что фазовые переходы при возникновении в исследуемой модели длиннопериодических модулированных структур являются переходами первого рода.

Температурные зависимости кумулянтов Биндера для систем с разными линейными размерами, показанные на рис. 4.6 позволяют утверждать, что для ANNNI модели фазовый переход второго рода наблюдается при \J[/J\<0,3. Точка пересечения этих кривых является критической точкой.

4,0 4,4 43 к T/\J\

4>4 4*kT/\J\ ul °'7: 0,60,50,40,30,20,10,0-0,1

2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 kRT/]J\

0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2

2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2

16 20 24 28 32

Рис. 4.7. Двойная логарифмическая зависимость намагниченности от линейных размеров системы: a)\Jj/J]=0,l; 6)\Jj/J\=0,2.

Г 70 Л 60 50 40

30 20

10

8 12 16 20 24 28 32 L

Рис. 4.8. Логарифмическая зависимость восприимчивости от линейных размеров системы: a)\Jj/J\=0,l; 6)\Jj/J\=0,2.

Определенные таким образом температуры для \J]/J}=0,1 и \J\/J\ =0,2. имеют значения kBTc /1J |= 4,264(2) и квТс /1J |= 3,985(2) соответственно. Эти значения хорошо согласуются с температурами Тс, определенными из максимумов теплоёмкости и восприимчивости. Для расчета критических параметров восприимчивости и намагниченности нами использовались соотношения теории конечно размерного скейлинга (3.4) - (3.5). Характерные зависимости намагниченности, восприимчивости и теплоемкости от L для модели ANNNI при \Jj/J\=0,l и |J/J\=0,2 показаны на рис 4.7 - 4.9 соответственно.

Эти данные и были использованы для расчета индексов Р, у и а. Поскольку по указанным в главе III причинам для теплоемкости закономерность типа (3.4)-(3.5) не работает, для расчета критического индекса а используют соотношения (3.19).

Другой важный вопрос, который возникает при использовании выражений (3.4)-(3.6), это выбор v. Этот вопрос является довольно интересным и требует некоторых пояснений.

После того как определены конкретные значения y/v, |3/v и a/v, от выбранного значения v зависит, чему будут равны индексы a, Р, у. Когда мы имеем дело с простыми моделями (Изинг, XY-модель или Гейзенберг), то все просто и очевидно. Для каждой модели необходимо использовать соответствующее значение - v=0,63, v=0,67, v=0,71. Ситуация меняется в сложных моделях, в которых возможны кроссоверные переходы.

При обработке данных для таких моделей обычно используются значения, соответствующие главному члену в гамильтониане, например для гамильтониана (4.1) это член, описывающий сильные изотропные обменные взаимодействия, и для него v=0,63 (модель Изинга). Поэтому для всех рассматриваемых значений | J}/J] следует использовать значение v =0,63, соответствующее модели Изинга.

Полученные на основе выражений (3.4)-(3.6) значения критических индексов представлены в таблице 4.2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование моделей сложных магнитных материалов и анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями методами численного эксперимента. С использованием стандартного алгоритма Метрополиса метода Монте-Карло, исследованы статические критические свойства малых магнитных частиц YFeOs. Для трехмерной гейзенберговской модели YFeOs рассчитаны статические критические индексы аппроксимацией МК данных соотношениями теории конечно-размерного скейлинга.

На основе анизотропной модели Изинга проведено исследование длиннопериодических модулированных структур. С помощью Фурье-анализа рассчитаны волновые числа модулированных структур и построена фазовая диаграмма. Вычислены критические параметры.

Рассматриваемые в работе модели можно применить для описания фазовых переходов и критических явлений реальных магнитных материалов экспериментальное и теоретическое изучение, которых является проблематичным. Поэтому применение методов численного эксперимента для исследования указанных моделей является вполне оправданным. Следует также отметить, что и для методов вычислительной физики упомянутые задачи являются достаточно сложными, и их решение потребовало большой предварительной методической работы и проведения значительного объема вычислений на ЭВМ. В связи с проблемами теории фазовых переходов и критических явлений исследование моделей сложных магнетиков с кросоверами представляет огромный интерес для определения характера их критического поведения, и классов универсальности.

Основные оригинальные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. На основе экспериментальных и теоретических данных сформулированы микроскопические модели реального ортоферрита иттрия.

2. Исследованы статические критические свойства моделей малых магнитных частиц YFeO^. Показано увеличение критической температуры малых частиц YFeOi с ростом размеров частиц. Получены статические критические индексы теплоемкости, намагниченности и восприимчивости. Обнаружены кроссоверы от гейзенберговского критического поведения к XY и изинговскому. Показано что характер критического поведения малых магнитных частиц в значительной мере определяется наличием большой доли поверхностных спинов.

3. Исследованы статические критические явления в моделях реального многоподрешеточного антиферромагнетика YFeC>3. Рассчитаны критические индексы теплоемкости, подрешеточной намагниченности и восприимчивости.

4. На основе анизотропной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями изучены модулированные магнитные структуры. Проведен Фурье-анализ этих структур. Определена зависимость волнового числа от температуры и отношения обменных параметров. Рассчитаны критические индексы. Построена фазовая диаграмма.

5. Показано, что для выявления всех особенностей критического поведения моделей сложных магнитных систем необходим комплексный анализ МК-данных как на основе традиционных степенных функций, так и на основе теории КРС.

6. Разработан комплекс программ для ЭВМ, позволяющий с использованием методов МК исследовать статические критические явления в сложных решеточных системах.

В заключение хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, д.ф.-м.н., профессору Муртазаеву Акаю Курбановичу за предложенную тему исследования, постоянное внимание и благожелательный интерес к работе, полезные обсуждения результатов и большую помощь, оказанную при выполнении настоящей работы. Хотелось бы также выразить благодарность члену-корреспонденту РАН Камилову Ибрагимхану Камиловичу за доброжелательное отношение к данной работе. Автор глубоко признателен всем сотрудникам лаборатории «Вычислительной физики и физики фазовых переходов», принимавшим участие в выполнении данной работы, за оказанную помощь в получении и обработке экспериментальных результатов.

1. Вильсон К., Когут Д. Ренормализационная группа и е-разложение / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. - М.: Мир, 1975.-256 с.

2. Паташинский А.З., Покровский В.А. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов // УФН. 1977. - Т. 121, вып.1. -С. 55-96.

3. Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. - 380 с.

4. Ma Ш. Современная теория критических явлений /Пер. с англ. А.Н. Ермилова, А.М. Курбатова; Под ред. Н.Н. Боголюбова (мл.), В.К. Федянина. -М.: Мир, 1980.-298 с.

5. Фишер М. Физика критического состояния / Пер.с англ. М.Ш. Гитермана. — М.: Мир, 1968.-221 с.

6. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc // Physica. — 1966. — V. 2. P. 263-268.

7. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления / Пер. с англ. А.И. Мицека, Т.С. Шубиной; Под ред. С.В. Вонсовского. -М.: Мир, 1973.-419 с.

8. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике / Пер. с англ. Е.П. Вольского, Л.И. Дайхина; Под ред. А.М. Бродского. М.: Мир, 1985. -486 с.

9. Ising Е. Beitrad zur theorie des ferromagnetismus // Z. Physik. 1925. - Bd. 31, № 3. - S. 253-258.

10. Onsager L. Crystal statistics. 1: A two- dimensional model with an order-disorder transitions // Phys. Rev. -1944. V. 65. - P. 117 - 149.

11. Berlin Т.Н., Kac M. The spherical model of a ferromagnet //Phys. Rev. 1952. -V. 86, № 6.-P.821-835.

12. Изюмов Ю.А., Скрябин Ю. H. Статистическая механика магнитоупорядочных систем. М.: Наука, 1987. - 264 с.

13. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Алиев Х.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло // Успехи физических наук. 1999. - Т. 169, № 7. - С. 773-795.

14. Гинзбург B.JI. О физике и астрофизике. М.: Наука, 1985. - 400 с.

15. Chen К., Ferrenberg А.М., Landau D.P. Static critical behavior of three-dimensional classical Heisenberg models: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. B. 1993-1. -V. 48, № 5. - P. 3249-3256.

16. Binder K., Luijten E. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models // Phys. Rep. 2001.-V. 344. -P. 179-253.

17. Landau D.P. Computer simulation studies of critical phenomena // Physica A. -1994.-V. 205.-P. 41.

18. Peczak P., Ferrenberg A.M., Landau D.P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43, №7.-P. 6087-6093.

19. Mailhot A., Plumer M.L., Caille A. Finite-size scaling of the frustrated model on a hexagonal lattice // Phys. Rev. В. 1994-П. - V. 50, № 10. - P. 6854-6858.

20. Loison D. Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians H=JT(SiSjf I/ Phys. Lett. A. 1999. - V. 257. - P. 83-87.

21. Caparica A.A., Bunker A., Landau D.P. Classical ferromagnet with double-exchange interaction: High-resolution Monte Carlo simulations // Phys. Rev. B. -2000-П. V. 62, № 14. - P. 9458-9462.

22. Antonenko S.A., Sokolov A.I. Critical exponents for a three-dimensional 0(n) -symmetric model with n>3 //Phys. Rev. E. -1995. -V. 51, № 3. -P. 1894-1898.

23. Swendsen R.H., Wang J. Sh. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations //Phys. Rev. Lett. - 1987. -V. 58, № 2. - P. 86-88.

24. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for spin systems // Phys. Lett. 1989. -V. 62,№4.-P. 361-364.

25. Swendsen R.H., Wang J. Sh., Ferrenberg A.M. New Monte-Carlo methods for improved efficiency of computer simulations in statistical mechanics: In the Monte Carlo method in condensed matter physics. Ed. K. Binder (Springer, Berlin, 1992).

26. Mitsutake A., Sugita Y., Okamoto Y., Generalized Ensemble Algorithms for molecular simulations of biopolymers // preprint cont-mat / 0012021.

27. Ferrenberg A.M., Swendsen R.H. New Monte Carlo technique for studing phase transitions // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 61. № 23. - P. 2635-2638.

28. Ferrenberg A.M., Swendsen RH. Optimized Monte Carlo data analysis // Phys. Rev. Lett. -1989. V. 63, № 12. - P. 1195-1198.

29. Bowen P.B. et al. Improved Monte Carlo distribution // Phys. Rev. B. 1989. - V. 40,№ 10.-P. 7439-7442.

30. Munger E.P., Novotny M.A. Reweiting in Monte Carlo and Monte Carlo renormalisation-group studies//Phys. Rev. B. 1991. -V. 43. - P. 5773-5783.

31. Ferdinand A.E., Fisher M.E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice//Phys. Rev. 1969. -V. 185. -P. 832-846.

32. Fisher M.E., Barber M.N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 28, № 23. - P. 1516-1519.

33. Barber M.N. Finite-size scaling. In: Phase transitions and critical phenomena, V. 8. p. 1. (Academic press, New York, 1983).

34. Privman V., Fisher M.E. Universal critical amplitudies in finite-size scaling // Phys. Rev. B. -1984. V. 30, № 1. - p. 322-327.

35. Privman N. (Editor): Finite-size scaling and numerical simulation (Word scientific, Singapure, 1990).

36. Фишер M. Теория сингулярностей в критической точке // Устойчивость и фазовые переходы / Пер. с англ. С.П. Малышенко, Е.Г. Скроцкой. М.: Мир, 1973.-С.373.

37. Holm С., Janke W. Critical exponents of the classical three-dimensional Heisenberg model: A single-cluster Monte Carlo study // Phys. Rev. 1993-1. - V. 48, №2.-P. 936-950.

38. Sweeny M. Monte Carlo study of weighted percolation clusters relevant to the Potts models // Phys. Rev. 1983-1. - V. 27. - P. 4445.

39. Cullen John. J., Landau D. P. Monte Carlo studies of one-dimensional quantum Heisenberg and Models //Phys. Rev. 1983. -V. 27, № 1. -P. 297-313.

40. Okabe Y., Kikuchi M. Vectorized coding for Monte Carlo Simulation of the one-dimensional quantum spin system // Phys. Rev. B. 1986. - V. 34.- P. 7896-7900.

41. Okabe Y, Kikuchi M. Cluster-Spin Quantum Monte Carlo Study of One-Dimensional Heisenberg Model // Jour. Phys. Soc. Jap. 1987. - V. 56, № 6. - P. 1963-1973.

42. Chudnovsky V. Higher-Spin Cluster Algorithms: the Heisenberg Spin and U(l) Quantum Link Models // Nucl. Phys. B. 2000. - V. 83-84. - P. 688-690.

43. Synge Todo, Kiyoshi Kato Cluster algorithms for general-^ quantum spin systems // Cond-mat/9911047.

44. Okabe Y., Kikuchi M. Quantum Monte Carlo Simulation of the Spin 1/2 XXZ Model on the Square Lattice // Jour. Phys. Soc. Jap. 1988. - V. 57, № 12. - P. 4351-4358.

45. Nonomura Y. New Quantum Monte Carlo Approach to Ground-State Phase Transition in Quantum Spin Systems // Jour. Phys. Soc. Jap. 1998. -V. 67, № 1. -P. 5-7.

46. Wiese U. -J., Ying H. -P. Blockspin cluster algorithms for quantum spin systems // Phys. Lett. A. 1992. -V. 168. -P. 143-150.

47. Evertz H.G The Loop Algorithm // Cond-mat/9707221.

48. Kawashima N. Cluster algorithms for anisotropic quantum spin models // Cond-mat/9506075.

49. Kawashima N., Gubematis J.E. Generalization of the Fortuin-Kasteleyn Transformation and Its Application to Quantum Spin Simulation // Jour. Stat. Phys. 1995.-V. 80.-P. 169.

50. Syljuasen O.F. Loop algorithms for asymmetric Hamiltonians // Cond-mat/9907142.

51. Kawashima N., Gubernatis J.E., Evertz H.G Loop algorithms for quantum simulations of fermion models on lattices // Phys. Rev. B. 1994. - V. 50. - P. 136.

52. Ying H-P., Chen F. An updating scheme for the loop-cluster algorithm for the anisotropic Heisenberg antiferromagnet // Phys. Lett. A. 1995. - V. 208. - P. 356-360.

53. Beard В., Wiese U.-J. Simulation of Discrete Quantum System in Continuous Euclidean Time //Phys. Rev. Lett. 1996. -V. 77. № 25. -P. 5130-5133.

54. Ammon В., Evertz H.G, Kawashima N. et all. Quantum Monte Carlo loop algorithm for the t-J model // Phys. Rev. В. 1998-П. - V. 58, №8. - P. 43044319.

55. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике / Пер. с англ. В.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под. ред. Г.И. Марчука, Г.А. Михайлова. М.: Мир, 1982.-400 с.

56. Муртазаев А.К. Исследование критических явлений в моделях реальных магнетиков методами вычислительной физики: Диссертация докг. физ.-мат. наук СПбГУ СПб., 1999. - 280 с.

57. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Исследование критических свойств ортоферрита иттрия методами Монте-Карло. // ФНТ 2005. - Т. 31, №2.-С. 185-190.

58. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Исследование ортоферрита иттрия методами Монте-Карло. // Вестник ДНТД. 2006. - № 23. - С. 15-20.

59. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Ибаев Ж.Г. Критические свойства малых магнитных частиц YFe03. // ФНТ. 2006. - Т.32, № 2. - С. 1227 - 1232.

60. Ю.А. Изюмов Дифракция нейтронов на длинно-периодических модулированных структурах, Москва Энергоатомиздат, 1987. 200 с.

61. Metropolis N., Rosenbluth W., Rosenbluth N. et al. Equation of state calculations by fast computing machines // Jour. Chem. Phys. 1953. - V. 21, № 6. - P. 10871092.

62. Wood W. W., Parker F. R. Monte-Carlo equation of state of molecules interactions with the Lenard-Jones potential. I: A supercritical isoterm at about twice the critical temperature // Jour. Chem. Phys. -1957. V. 27, №3. - P. 720-733.

63. Selke W., Fisher M.E. Monte Carlo study of the spatially modulated phase in Ising model//Phys. Rev. B. 1979. V. 20. - P.257-265.

64. Fabricio Q. Potiguar and Ronald Dickman Colloids in a periodic potential: Driven lattice gas in continuous space// Phys. Rev. E. 2007. - V. 76 - P. 031103.

65. Biltmo A. and Henelius P. Phase diagram of the dilute magnet LiHoxYixF4 // Phys. Rev. B. 2007. - V. 76. - P. 054423.

66. Marques M., Ferreira L. G, Teles L. K., Scolfaro L. M. R., Furthmtiller J., and Bechstedt F. Magnetic properties of GaNMnxGal-xN digital heterostructures: First-principles and Monte Carlo calculations// Phys. Rev. B. 2006. - V. 73. — P. 224409.

67. Ming Mao, B. D. Gaulin, R. B. Rogge, and Z. Tun Tricritical behavior in a stacked triangular lattice Ising antiferromagnet CsCoBr3// Phys. Rev. B. 2002. - V. 66 -P. 184432.

68. Ye F., Zhou L., Larochelle S., Lu L., Belanger D. P., Greven M., and Lederman D. Order Parameter Criticality of the d=3 Random -Field Ising Antiferromagnet Feo.85Zno.15F2// Phys. Rev. Lett. 2002. - V. 89. - P. 157202.

69. H. Fukazawa, R. G Melko, R. Higashinaka, Y. Maeno, and M. J. Gingras Magnetic anisotropy of the spin-ice compound Dy2Ti207 // Phys. Rev. B. 2002. -V. 65.-P. 054410.

70. Fosdik L.D. Studies of Monte Carlo method applied to the Ising lattice problem // Bull. Amer. Phys. Soc. 1957. - V. 2, № 4. - P. 239.

71. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field // Phys. Rev. B. 1977. -V. 16, № 9. -P. 4164-4170.

72. Binder K. Thermodynamics of finite spin systems // Phys. Stat. Sol. B. 1971. - V. 46, №2.-P. 567-577.

73. Youjin Deng, Henk W. Blote, and M. P. Nightingale Surface and bulk transitions in three-dimensional 0(n) models// Phys. Rev. E. 2005. - V. 72. - P. 016128.

74. Landau D.P. Critical behavior of bbc Ising antiferromagnet in a magnetic field // Phys. Rev. B. 1977. -V. 16, № 9. - P. 4164^4170.

75. Hua L., Tucker J.W. Monte Carlo study of the anisotropic cubic spin-one Ising ferromagnet. // J. Magn. and Magn. Mater. 1995. - V. 140-144. - P. 1509-1510.

76. Aoyama Y., Chen W., Tanaka M. Monte Carlo studies on phase transitions of the two-dimensional S = 1 Ising model with biquadratic interaction // Jour. Phys. Soc. Jap. 1997. - V. 66, № 1. - P. 272 - 273.

77. Machta J., Newman M. E., and Chayes L. B. Replica-exchange algorithm and results for the three-dimensional random field Ising model// Phys. Rev. E. 2000. -V. 62. P. 8782.

78. Dekker C., Dikken B.J., Arts A.F.M. Monte Carlo investigation of diluted antiferromagnets in high magnetic fields // Sol. Stat. Com. 1985. - V. 54, № 10. -P. 887-889.

79. Xiaofeng Qian and Henk W. J. Blote Triangular Ising model with nearest- and next-nearest-neighbor couplings in a field // Phys. Rev. E. 2004. - V. 70. - P. 036112.

80. Thanh Ngo V., Viet Nguyen H., Diep H. Т., and Lien Nguyen V. Magnetic properties of exchange-biased three-layer films in a perpendicular magnetic field // Phys. Rev. B. 2004. - V. 69. - P. 134429.

81. G. Komiss, C. J. White, P. A. Rikvold, and M. A. Novotny Dynamic phase transition, universality, and finite-size scaling in the two-dimensional kinetic Ising model in an oscillating field//Phys. Rev. E.-2001.-V. 63.-P. 016120.

82. Bidaux R., Boccara N. Order of phase transition in a three-dimensional Ising model with three-spin interactions // Phys. Rev. B. 1986. - V. 34, № 7. - P. 4881^4884.

83. Danino M. Ising lattices with four-spin interactions // Sol. Stat. Comm. 1984. -V. 52,№ 10.-P. 885-888.

84. Minos A. Neto and J. Ricardo de Sousa Reentrant behavior in the nearest-neighbor Ising antifen-omagnet in a magnetic field // Phys. Rev. B. 2004. - V. 70. - P. 224436.

85. Kerler W., Rehberg P. Cluster mechanisms in the fully frustrated Ising model // Phys. Rev. B. 1994. - V. 49, № 14. - P. 9688 - 9696.

86. Binder K., Landau D.P. Phase diagrams and critical behavior in Ising square lattices with nearest- and next-nearest-neighbor interactions // Phys. Rev. B. -1980.-V. 21, №5.-P. 1941-1962.

87. Oitmaa J. Ferrimagnetism and the existence of compensation points in layered mixed spin (1 / 2,1) Ising models // Phys. Rev. B- 2005. V. 72. - P. 224404.

88. Mauricio Godoy, Vanessa Souza Leite, and Wagner Figueiredo Mixed-spin Ising model and compensation temperature // Phys. Rev. В 2004. -V. 69. - P. 054428.

89. Martin Hasenbusch, Francesco Parisen Toldin, Andrea Pelissetto, and Ettore Vicari Magnetic -glassy multicritical behavior of the three-dimensional ±J Ising model // Phys. Rev. B. 2007. - V. 76. - P. 184202.

90. Paulo H. Barbosa, E. P. Raposo, and M. D. Coutinho-Filho Microscopic Description of an Ising Spin Glass near the Percolation Threshold // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 91. - P. 197207.

91. Pasquale Calabrese, Victor Martin-Mayor, Andrea Pelissetto, and Ettore Vicari Three-dimensional randomly dilute Ising model: Monte Carlo results // Phys. Rev. E.-2003.-V. 68.-P. 036136.

92. Guang-Ping Zheng and Mo Li Influence of impurities on dynamic hysteresis of magnetization reversal // Phys. Rev. B. 2002. - V. 66. - P. 054406.

93. G M. Buendia, P. A. Rikvold, M. Kolesik, K. Park, and M. A. Novotny Nanostructure and velocity of field-driven solid-on-solid interfaces moving under a phonon-assisted dynamic // Phys. Rev. B. 2007. - V. 76. - P. 045422.

94. H. Amekura, Y. Fudamoto, Y. Takeda, and N. Kishimoto Curie transition of superparamagnetic nickel nanoparticles in silica glass: A phase transition in a finite size system // Phys. Rev. В. 2005. - V. 71. - P. 172404.

95. Santiago A. Pighin and Sergio A. Carinas Phase diagram of an Ising model for ultrathin magnetic films: Comparing mean field and Monte Carlo predictions // Phys. Rev. B. 2007. - V. 75. - P. 224433.

96. W. Fenz, R. Folk, I. M. Mryglod, and I. P. Omelyan Phase diagrams of classical spin fluids: The influence of an external magnetic field on the liquid-gas transition // Phys. Rev. E. 2003. - V. 68. - P. 061510.

97. M. Holtschneider and W. Selke Ising model with periodic pinning of mobile defects // Phys. Rev. E. 2003. -V. 68. - P. 26120.

98. Pascal Monceau and Michel Perreau Critical behavior of the Ising model on fractal structures in dimensions between one and two: Finite-size scaling effects // Phys. Rev. B.-2001.-V. 63.-P. 184420.

99. Erik Luijten Critical properties of the three-dimensional equivalent-neighbor model and crossover scaling in finite systems // Phys. Rev. E. 1999. - V. 59 - P. 4997.

100. Daniel Griineberg and Alfred Hucht Universal finite-size scaling analysis of Ising models with long-range interactions at the upper critical dimensionality: Isotropic case // Phys. Rev. E. 2004. - V. 69 - P. 036104.

101. Fisher M., Barber M.N. Scaling theory for finite-size effects in the critical region // Phys. Rev. Lett. 1972. -V. 28. - P. 1516 - 1519.

102. Barma M., Shastiy B. S. Classical equivalents of one-dimensional quantum-mechanical systems//Phys. Rev. В.- 1978.-V. 18, №7.-P. 3351-3359.

103. Suzuki M. Relationship between ^-Dimensional Quantal Spin Systems and (d+ l)-Dimensional Ising System // Progr. Theor. Phys. 1977. - V. 56, № 5. -P. 1454-1469.

104. Муртазаев A.K. Исследование кооперативных явлений в решеточных моделях магнетиков и сегнетотоэлектриков методами численного эксперимента: Диссертация канд. физ.-мат. наук ЛГУ им. А.А. Жданова. -Л., 1987.-180 с.

105. Binder К., Rouch H., Wildpaner V. Monte Carlo calculation of the magnetization superparamagnetic particles // Phys. Chem. Sol. 1970. - V. 31. - P. 391-397.

106. S. Padovani, I. Chado, F. Scheurer, and J. P. Bucher Transition from zero-dimensional superparamagnetism to two-dimensional ferromagnetism of Co clusters on Au(l 11)// Phys. Rev. B. 1999. - V. 59. - P. 11887.

107. Nijmeijer M.J.P., Weis J.J. Monte Carlo simulation of the ferromagnetic order-disorder transition in a Heisenberg fluid // Phys. Rev. E. 1996. - V. 53, № 1. - P. 591-600.

108. G Brown, A. Janotti, M. Eisenbach, and G M. Stocks Intrinsic volume scaling of thermoinduced magnetization in antiferromagnetic nanoparticles //Phys. Rev. B. -2005.-V. 72.-P. 140405.

109. L. Berger, Y. Labaye, M. Tamine, and J. M. Coey Ferromagnetic nanoparticles with strong surface anisotropy: Spin structures and magnetization processes // Phys. Rev. B. 2008. - V. 77. - P. 104431.

110. D. Hinzke and U. Nowak Magnetization switching in a Heisenberg model for small ferromagnetic particles//Phys. Rev. B. 1998. -V. 58. - P. 265.

111. Marianela Carubelli, Orlando V. Billoni, Santiago A. Pighin, Sergio A. Carinas, Daniel A. Stariolo, and Francisco A. Tamarit Spin reorientation transition and phase diagram of ultrathin ferromagnetic films // Phys. Rev. В 2008. - V. 77. - P. 134417.

112. M. Rapini, R. A. Dias, and В. V. Costa Phase transition in ultrathin magnetic films with long-range interactions: Monte Carlo simulation of the anisotropic Heisenberg model // Phys. Rev. B. 2007. - V. 75. - P. 014425.

113. R. Wieser, E. Y. Vedmedenko, and R. Wiesendanger Entropy driven phase transition in itinerant antiferromagnetic monolayers // Phys. Rev. B. 2008. - V. 77.-P. 064410.

114. Marian Fecioru-Morariu, Syed Rizwan Ali, Cristian Papusoi, Martin Sperlich, and Gemot Guntherodt Effects of Cu Dilution in IrMn on the Exchange Bias of CoFe/IrMn Bilayers // Phys. Rev. Lett. 2007. - V. 99. - P. 097206.

115. С. Mitsumata, A. Sakuma, and К. Fukamichi Mechanism of the exchange-bias field in ferromagnetic and antiferromagnetic bilayers // Phys. Rev. B. 2003. - V. 68.-P. 014437.

116. Jian-Tao Wang, Lei Zhou, Ding-Sheng Wang, and Yoshiyuki Kawazoe Exchange interaction and magnetic phase transition in layered Fe/Au(001) superlattices // Phys. Rev. B. 2000. -V. 62 - P. 3354.

117. Shoji Yamamoto and Takahiro Fukui Thermodynamic properties of Heisenberg fenimagnetic spin chains: Ferromagnetic -antiferromagnetic crossover // Phys. Rev. B. 1998. -V. 57.-P. R14008.

118. Massimo Campostrini, Martin Hasenbusch, Andrea Pelissetto, Paolo Rossi, and Ettore Vicari Critical exponents and equation of state of the three-dimensional Heisenberg universality class // Phys. Rev. B. 2002. - V. 65 P. 144520.

119. Akay K. Murtazaev and Magomedsheykh K. Ramazanov Critical properties of the three-dimensional frustrated Heisenberg model on a layered-triangular lattice with variable interplane exchange interaction// Phys. Rev. B. 2007. - V. 76. - P. 174421.

120. Т. E. Saunders and J. T. Chalker Spin Freezing in Geometrically Frustrated Antiferromagnets with Weak Disorder // Phys. Rev. Lett. 2007. - V. 98. - P. 157201.

121. G M. Wysin Vacancy effects in an easy-plane Heisenberg model Reduction of : Tc and doubly charged vortices // Phys. Rev. B. 2005. - V. 71. - P. 094423.

122. A. W. Sandvik, E. Dagotto, and D. J. Scalapino Nonmagnetic impurities in spin-gapped and gapless Heisenberg antiferromagnets// Phys. Rev. B. 1997. -V. 56. — P. 11701.

123. S. Abiko, S. Niidera, and F. Matsubara Reentrant Spin-Glass Transition in a Dilute Magnet // Phys. Rev. Lett. 2005. - V. 94. - P. 227202. Seiji Yunoki and Sandra

124. Sorella Two spin liquid phases in the spatially anisotropic triangular Heisenberg model// Phys. Rev. B. 2006. -V. 74. - P. 014408.

125. Муртазаев А.К. Моделирование малых магнитных частиц V203 // Математическое моделирование. -1992. Т. 4, № 9. - С. 114-120.

126. Муртазаев А. К., Фаворский И. А. Моделирование малых магнитных частиц Сг20з и Fe203. // Физика низких температур. 1993. - Т. 19. - С. 160-164.

127. Муртазаев А. К., Алиев Х.К., Камилов И. К., Хизриев К.Ш. Критическое поведение малых магнитных частиц Сг203 // Физика низких температур. 1998 Т. 24, № 5. - С. 462-467.

128. Goodman J., Sokal A.D. Multigrid Monte Carlo method for lattice field theories // Phys. Rev. Lett. 1986.-V. 56, № 10.-P. 1015-1018.

129. Creutz M. Overrelaxation and Monte-Carlo simulation // Phys. Rev. D. 1987. -V. 36, №2.-P. 515-519.

130. Brown F.R., Woch T.J. Overrelaxed heat-bath and Metropolis algorithms for accelerating pure gauge Monte Carlo calculations //Phys. Rev. Lett. 1987. - V. 58, №23.-P. 2394-2396.

131. Schmidt К. E. Using renormalization-group ideas in Monte Carlo sampling // Phys. Rev. Lett. 1983. -V. 51, № 24. - P. 2175-2178.

132. Campos P.R.A., Onody R.N. Single-cluster algorithm for the site-bond-correlated Ising model // Phys. Rev. В. 1999-П. - V. 56, № 22. - P. 14529-14531.

133. Swendsen R.H., Wang J.-S. Replica Monte Carlo simulation of spin-glasses // Phys. Rev. Lett.- 1986.-V. 57,№21. -P. 2607-2609.

134. Hokushima K., Nemoto K. Exchange Monte Carlo method and application to spin glass simulations // Jour. Phys. Soc. Jap. 1996. - V. 65, № 6. - P. 1604-1608.

135. Wang J-S., Swendsen R. H. Low-temperature properties of th±J Ising spin glass in two dimensions // Phys. Rev. B. 1988. -V. 38, № 7. -P. 4840-4844.

136. Wang J-S., Swendsen R. H. Monte Carlo and high-temperature-expansion calculations of a spin-glass effective hamiltonial // Phys. Rev. B. 1988. - V. 38, №13.-P. 9086-9092.

137. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Магомедов M.A. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло, конечно-размерный скейлинг и критические индексысложных решеточных моделей. // ЖЭТФ. 2001. - Т.120, № 6. - С.1535-1543.

138. Wernsdorfer W. Classical and Quantum Magnetization Reversal Studied in Nanometer-Sized Particles and Clusters //Adv. Chem. Phys. 2001. V. 118. - P. 99-190.

139. SkomskiR.Nanomagnetics//J. Phys.: Condens. Matter-2003.-V. 15 -P. R841-R896.

140. Петров Ю.И. Физика малых частиц. М.: Наука, 1982. - 360 с.

141. Петров Ю.И. Кластеры и малые частицы. М.: Наука, 1986. - 368 с.

142. Браун У Микромагнетизм / Пер. с англ. А.Г. Гуревича. М.: Наука, 1979. -160 с.

143. Муртазаев А.К., Хизриев К.Ш., Камилов И.К., Алиев Х.К. Критическое поведение теплоемкости малых магнитных частиц Сг20з // ФТТ. 1998. — Т.40.-С. 1661-1662.

144. Cowburn R. P., Adeyeye А. О., and Welland М. Е. Configurational Anisotropy in Nanomagnets //Phys. Rev. Lett. -1998. V. 81. - P. 5415.

145. Dormann J. L., Fiorani D. Magnetic properties of fine particles North-Holland, Amsterdam 1992.

146. Гусев А. И. Эффекты нанокристаллического состояния в компактных металлах и соединениях //УФН. 1998. - Т. 168. - С. 55.

147. Николаев В.И., Шипилин А.М. О тепловом расширении наночастиц //ФТТ — 2000.-Т. 42.-С. 1109-110.

148. Николаев В.И., Шипилин А.М., Захарова И.Н. Об оценке размеров наночастиц с помощью эффекта Мессбауэра // ФТТ. 2001. - Т. 438. - С. 1455.

149. Камзин А.С., Розенбаум B.JI. Мессбауэровские исследования состояния поверхности гексональных ферритов Sr-M в области точки Кюри. Письма в ЖЭТФ. - 1998. - Т. 67, № 11. - С. 940-944.

150. Novosad V., Otani Y., Ohsawa A., Kim S.G, Fukamichi K., Koike J., Maruyama K., Kitakami O. and Shimada Y. Novel magnetostrictive memory device // J. Appl. Phys. 2000. - V. 87. - P. 6400.

151. Demokritov S. O., Hillebrands B. and Slavin N.A. Brillouin light scattering studies of confined spin waves: linear and nonlinear confinement //Phys. Rep. 2001. - V. 348.-P. 441-489.

152. Demokritov S.O. Dynamic eigen-modes in magnetic stripes and dots //J. Phys.: Condens. matter. -2003. V. 15. P. S2575-S2598.

153. Cowburn R.P., Koltsov D.K., Adeyeye A.O. and Welland M.E. Sensing magnetic fields using superparamagnetic nanomagnets // J. Appl. Phys. 2000. - V. 87. - P. 7082.

154. Иванов Б.А. Мезоскопические антиферромагнетики: статика, динамика, квантовое туннелирование //ФНТ. -2005. Т.31. - С. 841-884.

155. Frenlcel Т., Dorfinan Т. Spontanens and induced magnetization in ferromagnetic bodies // Nature. 1930. - V. 136. - P. 274-275.

156. Кондорский Е.И. Природа высокой коэрцитивной силы мелкодисперсных ферромагнетиков и теория однодоменной структуры // Изв. АН СССР, Серия: физика. 1952. - Т. 16, № 4. - С. 398-411.

157. Кондорский Е.И. Микромагнетизм и перемагничивание квазиоднодоменных частиц // Изв. АН СССР, Серия: физика. -1978- Т. 42. С. 1638- 645.

158. Калмыков Ю.П., Коффи В.Т., Титов С.В. О зависимости времени релаксации намагниченности однодоменных ферромагнитных частиц от коэффициента затухания в модели Брауна. //ФТТ. 2005. - Т. 47. - С. 260-267.

159. William Fuller Brown. Thermal Fluctuations of a Single-Domain Particle // Phys. Rev.- 1963.-V. 30.-P. 1677.

160. Гаврилянченко В.Г., Комаров В.Д., Лейдерман А.В., Фесенко Е.Г. Размерный эффект в изотермических кристаллах PbTi03 // ФТТ. 1998. - Т. 40, № 8. - С. 1546-1547.

161. Daniel Loss, David P. DiVincenzo, and Grinstein G Suppression of tunneling by interference in half-integer-spin particles // Phys. Rev. Lett. — 1992. V. 69. — P. 3232.

162. Jan von Delft and Christopher L. Henley. Destructive quantum interference in spin tunneling problems // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 69. - P. 3236.

163. Иванов Б.А., Волк А.Я., Меркулов А.Ю. О неоднородных состояниях для малых магнитных частиц с одноионной анизотропией // ФНТ. 2002. - Т. 28. -С. 36-41.

164. Pokhil Т., Song D. and Novak J. Spin vortex states and hysteretic properties of submicron size NiFe elements // J. Appl. Phys. 2000. - V. 87. - P. 6319.

165. Jurgen Schnack. Quantum theory of molecular magnetism, Lecture Notes in Physics 645 Springer-Verlay, Heidelberg 2004.

166. H. De Raedt, Miyashita S., Michielsen K., and Machida M. Dzyaloshinskii-Moriya interactions and adiabatic magnetization dynamics in molecular magnets //Phys. Rev. B. 2004. - V. 70 - P. 064401.

167. Waldmann O., Koch R., Schramm S., Miiller P., Bernt I. and Saalfrank R. W. Butterfly Hysteresis Loop at Nonzero Bias Field in Antiferromagnetic Molecular Rings: Cooling by Adiabatic Magnetization //Phys. Rev. Lett. 2002. - V 89. - P. 246401.

168. Baibich M. N., Broto J. M., Fert A., F. Nguyen Van Dau, Petroff F., Eitenne P., Creuzet G, Friederich A., and Chazelas J. Giant Magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr Magnetic Superlattices //Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 61. - P. 2472.

169. Sona Prakash and Christopher L. Henley. Ordering due to disorder in dipolar magnets on two-dimensional lattices // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 6574.

170. Guslienko K. Yu., Choi S. and Chin S. Reorientational magnetic transition in high-density arrays of single-domain dots // Appl. Phys. Lett. 2000. - V. 76. - P. 3609.

171. Rakhmanova S., Mills D. L., and Eric E. Fullerton. Low-frequency dynamic response and hysteresis in magnetic superlattices //Phys. Rev. B. -1998.-V. 57.-P. 476.

172. Белов К.П., Звездин A.K., Кадомцева A.M., Левитин Р.З. Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках. М.: Наука, 1979. - 320 с.

173. Koehler W.C., Wollan Е.О., Wilkinson W.K. Neutron diffraction study of magnetic properties of rare-earth-iron perovskites. // Phys. Rev. 1960. - V. 118, №1.-P. 58-70.

174. Дзялошинский Е.И. Термодинамическая теория слабого ферромагнетизма антиферромагнегиков. // ЖЭТФ. 1947. - Т. 32, № 6. - С. 1547-1562.

175. Туров Е.А., Найш В.Е. К теории неколлинеарного ферромагнетизма и антиферромагнетизма в ромбических кристаллах. // ФММ. 1960. - Т. 9, № 1.-С. 10-18.

176. Moriya Т. Anisotropic super exchange interaction and weak ferromagnetism. // Phys. Rev. 1960. -V. 120, №1. - P. 91-98.

177. Gorodetsky G, Shtrikman S., Tenenbaum Y., Treves D. Temperature dependence of the susceptibility tenzor of weak ferromagnet: YFeOs // Phys. Rev. 1969. - V. 181,№2.-P. 823-828.

178. Eibschutz M., Shtrikman S., Treves D. Mossbauer studies of Fe in orthofenites. // Phys. Rev.- 1967.-V. 152, № 2. -P. 562-577.

179. Камилов И.К., Алиев X.K. Статические критические явления в магнитоупорядоченных кристаллах. Махачкала: Изд-во ДНЦ РАН, 1993. -200 с.

180. Черепанов В.М., Якимов С.С., Исследование критического поведения ортоферрита иттрия УБеОз с помощью эффекта Мессбауэра // Письма в ЖЭТФ . 1974. - Т. 19, № 12. - С.764-768.

181. Judin V.M., Sherman А. В., Myl'nikova. Magnetic properties ofYFe03 // Phys. Letters. 1966. - V. 22, № 5. - P. 554-555.

182. Rosencwaig A. Domain Wall Energies in Orthofferrites // J. of Appl. Phys. -1971. - V. 42, №13. - P. 5773-5775.

183. Bozort R.M., Williams H.J., Dorothy E.W. Magnetic Properties of some Ortlioferrites and Cyanides at low Temperature // Phys. Rev. 1956. - V. 103, № 3. P. 572-578.

184. Gabriell F. Herrmann. Magnetic Resonances and susceptibility in Qrthoferrites // Phys. Rev. 1964. -V. 133, №3. P. A1334 - A1344.

185. Le Guillou J.J.C., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys. Rev. B. 1980. -V. 21, № 9.-P.3976-3998.

186. Fisher M.E. The renormalization group in the theory of critical behavior // Rev. Mod. Phys.- 1974. -V. 46, №4-P. 597-616.

187. Башкиров Ш.Ш., Либерман А.Б., Синявский В.И. Магнитная микроструктура ферритов. Казань: КГУ, 1978. - 181 с.

188. Фаворский И.А., Воронцов-Вельяминов П.Н., Камара Сейдуба, Рощиненко О.М., Громова Н.Б. Моделирование магнитных кластеров методом Монте-Карло. -Киев: ПрепринтИТФ АН УССР, ИТФ-85-93Р, 1985.-23 с.

189. Белов К.П., Кадомцева А.М. Магнитоупругие свойства редкоземельных ортоферритов. //УФН.- 1971.-Т. 103, №4-С. 578-592.

190. Binder К., Hohenberg Р.С. Surface effects on magnetic phase transitions // Phys. Rev. В.—1974.-V. 9, № 5. P. 2194-2214.

191. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике //Пер. с англ. В.Н. Задкова-М.:Наука- 1995. 144 с.

192. Le Guillon J.J.C., Zinn-Justin J. Accurate critical exponents from the s-expansion // J. Phys. Lett. 1985. -V. 46. - P. L137-L142.

193. Michael N. Barber, R.B. Pearson, Doug Toussaint Finite-size scaling in three-dimensional Ising model // Phys. Rev. В. 1985.- V. 32, № 3. - P. 1720-1730.

194. Ferrenberg A.M., Landau D.P. Critical Behavior of the three-dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study // Phys. Rev. В.-1991-П. -V. 44, №10.-P. 5081-5091.

195. Kawano S. and Achiwa N. Magnetically modulated structures reflecting an anisotropic exchange interaction in hep Er9oYio-xLax alloys // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1985. - V. 52. - P. 464-466.

196. Jouanneaux A., Leble A., Fayet J.C., Fourquet J.L. Local, 2d and 3d Orientational Orders of the Ammonium Ions in Rb^NH^i^AlF,) Mixed Crystals. // Europhys. Lett. 1987. - V. 3. - P.61-65.

197. Bak P. Commensurate phases, incommensurate phases and the devil's staircase. // Rep. Prog. Phys. 1982. - V. 45. - P. 587.

198. Habenschuss M., Stassis C., Sinha S. K., Deckman H. W., and Spedding F. H. Neutron diffraction study of the magnetic structure of erbium. // Phys. Rev. В.-1974.-V. 10.-P. 1020-1029.

199. Fischer P., Halg W., Meier G. Magnetic phase transitions of CeSb. II. Effects of applied magnetic fields // J. Phys. C. 1978. - V. 11. - P. 11731186.

200. Gurewitz E., Horowitz A., Sheked H. Magnetic spiral structure of KMnCl3—a neutron-diffraction study // Phys. Rev. B. -1979. -V. 20. P. 4544-4549.

201. Valadares E. C. Plascak J. A. Mean-field renormalisation group approach for the axial next-nearest-neighbour Ising model // J. Phys. A: Math. Gen -1987. V. 20. - P. 4967-4974.

202. Hogh Jensen M. and Per Bak Mean-field theory of the three-dimensional anisotropic Ising model as a four-dimensional mapping // Phys. Rev. B. -1983.-V. 27.-P. 6853.

203. Mo Z. and Ferer M. Three-dimensional axial next-nearest-neighbor Ising model: A series investigation // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43. - P. 10890.

204. Paul D. Beale, Phillip M. Duxbury, and Julia Yeomans Finite-size scaling of two-dimensional axial next-nearest-neighbor Ising models // Phys. Rev. B. 1985. -V. 31. - P. 7166.

205. Nelson Alves and Carlos S. O. Yokoi Monte Carlo study of a spin-1 ANNNI model with single-ion anisotropy // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2003. - V. 256. - P. 145-150.

206. Muraoka Y., Kasama T. and Idogaki T. The nature of phase transition in the ANNNI model with alternating intralayer interactions // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2004. - V. 272-276. - P. E995-E996.

207. Kaski K. and Selke W. Monte Carlo coarse graining for the three-dimensional axial next-nearest-neighbor Ising model // Phys. Rev. B. -1985.-V. 31.-P. 3128-3130.

208. Bak P., Boehm J. Ising model with solitons, phasons, and "the devil's staircase" //Phys. Rev. В. 1980.-V. 21.-P. 5297-5308.

209. Oitmaa J. A high temperature series study of the ANNNI model in two and three dimensions // J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - V. 18. - P. 365-375.

210. Hornreich R.M., Luban M., Shtrikman S. Critical Behavior at the Onset of k—>-Space Instability on the X Line // Phys. Rev. Lett. 1975. - V. 35, №1. -P. 1678-1683.

211. Elliot R.J. Phenomenological Discussion of Magnetic Ordering in the Heavy Rare-Earth Metals // Phys. Rev. 1961. - V. 124. - P.346-353.

212. Bak P., Boehm J. Devil's Stairs and the Commensurate-Commensurate Transitions in CeSb // Phys. Rev. Lett. 1979. - V. 42. - P. 122-125.

213. Rasmussen E.B., Knak-Jensen S.J. Devil's-staircase behavior of a simple spin model // Phys. Rev. B. -1981. V. 24. - P. 2744-2750.