Исследование термодинамических свойств неоднородных систем и систем Бозе частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

»г Б од

АКАДЕМИЯ НАЛГ РЕСПУБШШ УЗБЕКИСТАН 1 I А'^ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

РАСЯЮВА ЮТАВ ИНУСОБНА

УДК 517.0 г 531 »19

ИССЛЕДОВАНИЕ ШЖШШШСШа СВОЙСТВ НЕОДНОРДКЖ СИСТЕИ И СИСТЕМ БОЗЕ ЧАСТИЦ

01.01.03 - штмшическая физика, 01.04.CS - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-штематаческих наук

Ташкент - 1594

: Работа выполнена в Институте ядерной физик» АН РУз. ОвИЦШЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: Лрктпо фиэ. -юг.тук, -

проф.5каров С.Р.-<ТашГУ, Таикент). Доктор фю.нйгг.наук, проф.А-К.Щрикарпат-сяий -<ИШВШ ЕАН Уйраины, Львов). Джгор (&18.-мат.наук Ярмухамедов Р.-(И® АН РЗЧэЛ&аяент),

е

Ведущее научное учреждение : Институт теоретической физики

иы.Н.Н.Богош5ова АН Украины

Защита состоится " " "Д/^- ' 199^ годь в У часов ■ на заседании специализированного совета Л 015.15.21 по защите диссертаций на соискание ученой степени докторе физико-математических наук в.Институте ядерной физики АН РУз. по адресу :7£Е132, г.Тадаент, Ыирзо Улугбекский район, пос'.Улугбек.

С диссертацией иохно ознакомиться в библиотеке ИЯФ АН РУз.

Автореферат разослан " ^ " ^ 199^.

Ученый секретер. специализированного совета ' (

доктор физико-кетештичесюа гаук

Е .У, Исштов

К расчету электростатических полей приводят разнообразные задачи как в области радиофизики, радиоэлектроники, так и из области биологии, медицины, экологии в связи с разработкой технологий очистки воды, среды и построением различных технических устройств для этой цели. Для решения ряда этих проблем большое значение имеет математическое описание процесса обратного осмоса.

С физической точки зрения обратный осмос представляет собой процесс протекания электролитов через мембрану под давлением. Поэтому естественно его описывать согласованной системой уравнений диффузии и электродинамики, учитыва структуру мембраны посредством задания граничных условий на ее поверхности.

Математической основой метода, позволяющего строго учитывать детальную структуру мембраны является теория краеьоа задач в областях с мелкозернистой границей, разработанная Марченко В.А. и Хрусловым Е.А.

Этот метод справедлив когда потенциал определяют на некотором расстоянии от мембраны, а для процесса обратного осмоса важно знать потенциал как вблизи, так и внутри мембраны. Заряды, индуцированные на поверхности препятствий, вносят допольнательные еклоды в потенциал эти вклады существенно влияют на поведение

з

системы заряженных частиц вблизи препятствий.

Впервые новый метод, позволявдий строго учитывать детальную структуру мембраны и заряг:>в, индуцированных на поверхности препятствий, предложен Петриной Д.Я и его сотрудниками в 1980 г. Ими сформулирована задача описания обратного осмоса как краевая задача в областях с мелкозернистой структурой для согласованной системы уравнений диффузии, гидродинамики и электростатики и намечены пути решения этой задачи.

При решении классической задачи электростатики, восходящей к Ж.Максвеллу по определи» поверхностных зарядов и возмущенного поля системы заряженных частиц и динамической мембраны возникают расходимости из-за кулоновского характера взаимодействия поверхностных зарядов для устранения которых Петриной Д.Я. предложена вычитательная процедура аналогичная известной вычитательной процедуре БоголюОова-Парасхка из квантовой теории поля. С помощью этой вычитательной процедуры им показана также конечность и периодичность с периодом решетки потенциала создаваемого индуцированными поверхностными зарядами. При нарушении свойства периодичности, когда эоднородности распределены случайным образом, рассмотрение задачи существенно усложняется. Реальные системы характеризуются хаотичностью неод-нородностей и бесконечностью их количества. Однако теория опреде- ' дения потенциалов , методы их усреднения при Н -» » отсутствовали. Поэтому, несомненно, актуальной стало исследование систем заряженных частиц и неоднородНостей распределенных случайным образом.

Изучению систем заряженных частиц и динамической мембраны,

когда неоднородности распределены случайно в окрестностях соответствующих узлов плоской решетки посвящены работы автора.

В статистической физике одним из наиболее последовательных и плодотворных является метод аппроксимирующих гамильтонианов. В рамках этого метода доказаны термодинамически эквивалентность модельных и аппроксимируют^, гамильтонианов для ряда нелинейных задач. Суть метода состоит в замене некоторых операторных выражений функциями определяемыми из нелинейных уравнений, возникающих из условий самосогласования. При этом задача считалась решенной, если удавалось доказать существование решения этого нелинейного уравнения.

Интересная аппроксимация реальной ситуации, задаваемой гамильтонианом описывающий взаимодействие квантованного электромагнитного поля с системой атомов, помещенных в резонатор Л,была получена Дикке 1954 г. Модель Дикке стала широко использоватся для описания н^.готорых явлений в квантовой радиофизике в частности, для описания явления "сверх-излучения". Интерес к модели Дикке возрос после того как в 1973 г. Хепп и МО показали, что термодинамическая задача, соответствующая гамильтониану Дикке имеэт точное решение. Общий класс моделей, включающий как частный случай модель Дикке, был исследован математически строго в работах Боголюбова H.H. /мл./.

В 1984 году Д.Я.Петриной и Е.Д.Белоколосом предложен новый подход к методу аппроксимирующих гамильтонианов. Ими при исследовании гамильтониана Фрелиха, описывающего ' взаимодействие электр нов со счетным множеством фононных мод показана плодотворность привлечения метода обратной задачи рассеяния для

развития метода аппроксимирующего гамильтониана. Им удалось доказать, что модельный гамильтониан типа Фрелиха термодинамически эквивалентен аппроксимирующему гамильтониану, а условия самосогласования совпадают с уравнениями задачи Пейерса-Фрелиха и в о Диомед .ом случае могут быть решены точно с помощью открытых в методе обратной задачи рассеяния конечнозонных потенциалов.

Исследование на основе метода Петрины-Белоколоса модели Дикке проведенное в данной диссертации не только позволяет существенно упростить определение самосогласованного уравнения и структуру аппроксимирующего гамильтониана. Оно, такте, позволяет определить точно решение самосогласованного уравнения и таким образом выразить аппроксимирующий гамильтониан модели Дикке через однозонные потенциалы.

С момента открытия метода подстановки Бете ( анзац Бете), относящегося к точно решаемым моделям, интерес к изучению с помощью этого анзаца различных физических явлений не ослабевал.

Наиболее классическим примером плодотворности применения этого метода является теория системы Бозе частиц, взаимодействующих посредством отталкивающего дельта потенциала. Бурное развитие теории обратной сгоачи рассеяния во второй половине семидесятых годов внесло существенный вклад в развитие этого метода и теории Бозе систем.

Со временем этот метод и геор я Бозе систед стали некими пробными камнями, через которые контролипуются приближенные теории, описывающие более сложные физические явления .

В последние годы в научных центрах России, Европы, Америки снова возрос интерес к этому методу и теории Бозе систем в

изучении стационарных и нестациог^рных квантовых корреляционных функций систем.

Г->дстановка Бете, внесшую несомненный вклад в понимание' структуры возбуждений в системах с большим числом степеней свободы, можно было бы применить и к изучен,® физики одномерных проводников. Поэтому, для получения информации о структуре термодинамических потенциалов и матриц плотностей Бозе систем стало ак-. туальным исследовать их с помощью модели Дикке и цепочки Боголюбова.

Как известно, с начало семидесятых появились десятки работ по' решению цепочки кинетических уравнений Боголюбова. Доказывались существование и единственность решения этой цепочки. Были попытки обобщение на ее основе солитонное решение на многосолитонный случай. Еще в 1947 году H.H.Боголюбовым была предложена структура решения цепочки, а позднее Либом, Линижером и Янгом построена теория Бозе ч: ггиц взаимодействующих О - потенциалом, основанной на анзац Бете аналогичной структуры. Но до сих пор не была установлена их связь и не решена цепочка Боголюбова в явном виде.

В диссертации показано, что теорию Бозе систем взаимодействующих отталкивающим дельта потенциалом - О можно построить на основании цепочки квантовых кинетических уравнений Боголюбова в рамках квантовой статистической физики, предложенной H.H.Боголюбовым .

Таким образом объект диссертации - системы стртютичес— кой физики с бесконечным числом степеней свободы. Оказываемся, что все обычно вычисляемые термодинамические пределы

являются точными характеристиками этой бесконечной системы. Результаты о существование термодинамического предела для потенциалов и функций распределен!7:"1 для неоднородных и бозе систем является предметом данной диссертации.

Целью ^аботы является

- определение среднего электростатического потенциала систеш заряженных частиц и динамической йенбрани, состоящей из невзаимодействующих шаров случайно распределенных одинаковым законом в окрестностях соответствующих узлов плоской кристаллической решетки.

- определение среднего самосогласованного потенциала этой системы;

- определения предельной функции распределения неодно-родаостей по которой усредняется средний самосогласованный потенциал;

- доказательство существования и единственности решения обобщенного уравнения Пуассона-Боль цмана для среднего самосогласованного потенциала в случае системы заряженных частиц и мембраны с невзаимодействующими, свободно распределенными в окрестностях узлов несднородностями;

- определения аппроксимирующего гамильтониана модели Дикке через однозонный потенциал!, определение его термодинамические свойства;

- определение решения цепочки квантовых кинетических уравнений Боголюбова описывающего систему частиц, взаимодействующих О-лотенциалом через анзац Бете; определение

его термодинамических свойств;

- решение задачу Кош для линеаризированного уравнения Власова, которое позволяет определить возмущения равновесных решений цепочки кинетических уравнений Боголюбова. Научная новизна

В диссертации впервые определен среда../ электростатический потенциал системы заряженных частиц и мембраны состоящей из невзаимодействующих неоднородностей, распределенных в окрестностях соответствующих узлов плоской кристаллической решетки.

Впервые для этой системы определен средний самосогласованный потенциал, доказано существование и еж-нстветость решения обобщенного уравнения Пуассона-Болышана для реализаций самосогласованного потенциала и плотности поверхностных зарядов..

Впервые доказана устойчивость этого решения и единичность предельной функции распределения.

Впервые доказано существование и единственность решения обобщенного уравнения Пуассона-Боль ш.'-ла для среднего самосогласованного потенциала.

Впервые определен аппроксимирующий гамильтониан моде® Дикке через однозонный потенциал.

Впервые определен решение цепочк квантовых кинетических уравнений Боголюбова через анзац Бете. •

Впервые методом теории полугрупп доказана существование и единственность решения линеаризированного кинетического уравнения Власова.

Научная и практическая ценность работы "элученные в диссертации результата позволяют утверждать,

что при "достаточно" малых "плотностях" частиц -Ц- » • плот-

Л 4 ltd3 1£Г

костях неоднородностей —==д- и , система уравк^ний

для самосогласованного потенциала ч плотности поверхностных зарядов системы заряженных частиц и невзаимодействующих неоднородностей распределенных•в окрестностях узлов одинаковым ' законом, имеет единственное решение в шаре пространства в.

Предельная функция распределения неоднородностей при К + <*> является единичной.

Следовательно, в рассматриваемой системе, при определенных условиях налагаемых на плотности зарядов и неоднородностей, от замены мембраны со случайными неоднородностчми мембраной с периодически располс генными неоднородностями значени; самосогласованного потенциала не меняется.

Аппроксимирующий гамильтониан, при определенных условиях те модинамически эквивалентный модельному гамильтониану Дикке, определяется через однозонный потенциал являющимся решение: нелинейного уравнения Шредингера.

Решение цепочки квг :товых кинетических уравнений описывающей систему Бозе частиц, взаимодействующих О потенциалом определяется через Бете псстановки (анзаца).

Разработанная автором методы решения задач глав 2,4 являют: совершенно новыми и имеют сами собой математическую ценность.

Результаты, полученные в диссертации, могут бьп использованы при исследовании различных аспектов квантовой Teopi поля, статистической механики., физики твердого тела, радиофизша экологии, биологии и других, отраслей науки..

На защиту выносятся следующие основные результата:

1. Определен средний электростатический потенциал системы заряженных частиц и динамической мембраны при конечных диаметрах препятствий и их общем объеме. Выводятся система интетральньх» ' уравнений для средних плотностей индуцированных зарядов и доказывай гея существование решения этих уравнений, если параметр С. характеризующий геометрическую структуру и материал мембраны, достаточно мал. Показано, что при этом средний электростатический потенциал равен сумме потенциала системы зарядов в однородной ' среде, потенциалов тех зарядов, которые индуцировались бы на I каадом препятствии в отсутствие всех остальных тел в мембране и потенциала, учитывающего взаимное влияние препятствий друг на друга, имеющего порядок О(С).

2. Для этой системы определен средний электростатический потенциал, когда плотности поверхностных зарядов являются суммируемыми 0(х)«Ь1.

3. Доказано существование и единственность решения системы уравнений для самосогласованного потенциала и плотности поверхностных зарядов, описывающее систему заряженных частиц и динамической мембраны, состоящей из шаров случайно распределенных одинаковым законом в окрестностях соответствующих узлов плоской кристаллической решетки.

4. Доказано существование и единственность решения системы уравнений для среднего самосогласованного потенциала и средней плотности поверхностных зарядов, описывающей вышеуказанную систему заряженных частиц и динамическую мембрану из случайных шаров.

5. Установлена предельная функция распределения для определения среднего самосогласованного потенциала и средней плотности поверхностных зарядов. Установлено, что она является единичной.

6. Показано, что определение среднего самосогласованного потенциала с ;стемы заряженных частиц и динамической мембраны со случайными шарами может быть сведено к определению самосогласованного потенциала системы заряженных частиц и динамической мембраны, состоящей иэ шаров, расположенных в узлах плоской кристаллическое решетки.

7. Построен аппроксимирующий гамильтониан для модели Дикке.

8. Показана термодинамическая эквивалентность модельного и аппроксимирующего гамильтониана модели Дикке при термодинамическом пределе.

9. Показано, аппроксимирующий гамильтониан определяется через однозонный потенциал.

10. Для системы Боэе частиц, взаимодействующих О - потенциалом определено решение цепочки квантовых кинетических уравнений Боголюбова посредство подстановки Ьете

11. Показано, что это решение также может быть получено на основе операторного метода, предложенного Фаддеевыы - Скляниноы --Такером.

12. Определено решение цепочки квантовых кинетических уравнений Боголюбова посредсПмы Еете поделан; .«и при термодинамическом пределе.

13. Доказано существование и единственность решения линеаризированного уравнения Власова, что позволяет определить

возмущения равновесных решений кинетических уравнений Боголюбова.

Апробация работа. Результата изложенные в диссертации докладывались на семинарах Института ядерной физики АН РУз., Института математики АН РУз., ТайГУ, Физико-технического институте АН РУ5, Института теоретической физики АН Украины, Института матештаки АН Украины, Физико-технического институт? и Инсплута ттеттшси АН Таджикистана, на Международном симпозиума по избранный проблемам статистической механики (Дубна,1531>, на Всесоюзной конференции по математической физике (Тернополь,1589>.

публикации. По результатам диссертации опубликованы 16 работ.

Объем и структура работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 175 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дается краткий обзор современного состояния проблем, затронутых в диссертации, обсуждается их актуальность, формулируются задачи исследования и приводится краткое описание основного содержания диссертации.

В первой главе определен средний электростатический потенциал системы заряженных частиц и динамической мембраны при конечных диаметрах препятствий и их общем объеме.

С этой целью рассматривается среду к , заполняющую все пространство к3 и обладающую диэлектрической постоянной е^ В эту среду внесены непересекающиеся, ограниченные гладкими поверхностями Ляпунова S^ неоднородности Рк- пары диаметром d с диэлектрической постоянной Sg. Они помещены в окрестностях

гк- -г- + >эф < < Гь+ тг - ВЭФ

узлов - плоской кристаллической решетки, элементарные

ячейки которой - квадраты со стороной а > й. здесь Н^ - эффективный радиус. Пусть эти шары распре „едены с плотностями КО. удовлетворяющими условиям .

КРЛ*) = !

А

Здесь С* - случайное отклонение центра К - шара от Ь - узла, Р^ - преобразования отражения осей .ь,,^, соответственно (Р^)^ 1^38 (Р^в-х^; А^А-са-гКэф ^жса-гВдф). Совокупность этих шаров образуют мембрану М. Начало координат выбрано в одном из узлов решетки, так что оси лежат в плоскости 3^=0 мембраны.

Пусть вне Н размещены заряды с плотностью р(ж), сосредоточенные на компакте Ь « к .

В §1 первой' главы определяется средний потенциал электростатического поля создаваемого этими индуцированными поверхностными нарядами как вне, так и на поверхности мембраны, состоящей кз неоднородаостей со случайными координатами. Для этого рассматривается уравнение

д<Ф(ж,51...,е?..)>= - 4- <р(г.с1.(1.1)

х« Ск3/Н>П£|гз|<Ь>

с условиями

/

«Р+(Х.Е1,.<Ф.(Х,е.!.>.€.?•)>.

е1—т---%-7-:--• хс£5к

и

«р(Х,£1,...,{?..)> О, |Х| -» 10,

Решения уравнения (1.1) ггм условиях (1.2) с симметричности плотности функции распределения т«=ет вид

(1.2)

учетом

1 ri 1 „ < PÎF.ÇÎ....£?..)>

• «piX.Ç1,...«..)> о f--ÛF ♦

i1ce1 £ |z - 71

(1.3)

когда имеет место интегральное уравнение < • (Z,e1.>..'.{?••» + р1. f2 Г J -—^-Z COBU-y,IL, -.) .

(1.4)

,-«1 t» >a л Sl" ^ Г < »«У'*1'""'*''» ar

.....3 ^ 2x ¡x - y/*

яа x - внешняя нормаль к Sa в x e SQ, a= 1,2,... . Таким образом, задача о нахождении электростатического сводится к решения интегральных уравнений (..3), (1.4). Система уравнений рассматривается в банаховой пространстве (в состоящем из последовательностей

непрерывных функций XqÎx.çI..*,£?..) аргументов, сосредоточен-

11 N N

ных на поверхностях х « Sa, £ « Л « А ,... соответствен-

но и удовлетворяющих условию

/ п $ х(х.е:*...е?.01(е1)ве1«зс-о.

б ил л1

В . ш введена норма по формуле

ЙХВ = ват вир |хсс.€1...-.е?..)|.

а

«••I • • • •

. Так как то при С<1 . где

С в ЭйеЩ . 1 - |Х|

(Здесь Сд и |\|<1 некоторые постоянные), а иогет быть представлена в виде

где 1|о(| < Цо11 . а (2,•••£?••) имеет порядок О (С) и

представляется в виде ряда по степеням С I сходящегося в круге |С1<1 по норме пространства в (О).

Соответственно, среднее значение потенциала

электростатического поля можно представить в случае, когда . 2 находится вне мембраны как

« «р^и.Е1..+ <ф,(х,£1,...&..» +

где

« и 1 . < р(у.е1.-...

- я^Х-^--ву-

- потенциал систеш зарядов в однородной среде;

1 feT Sj£ (1.6)

- cj..Aia потенциалов тез зарядов, которые шдуцироЕалГъ бц на кагдок* препятетик! при отсугсткй! ссех остальных тел в мембране;

- « V Г—5—-^

1 fer s». I*-"7'

л Ci.?)

- средний потенциал, учитызаигзий взажжое влияние друг га друга.

Эта потенциалы определены и из поверхности избрана.

Из оценок видно," что средние <7(r,çî...£?..)>,

<Ф1 (x,£Î...£?..)>, <ç(s,5,1...£,?.)>, где rcS, ограничены, если

мембрана II сосредоточена в ограниченной области G, т.е.

Здесь ^в^объем всех в тел, a rs-ипашавьное расстояние точки 2 от тел Э^К

с*

Сравнивая выражения (1.6)-(1.7), видам, что функция «?(х)> представляется сходящимся, при |Ç|<1, рядом и имеет пордюк 0(Ç). Поэтому при малых С слагаемым <р(г) в (1.5) шаио пренебречь.

Во втором параграфе этой главы метод усреднения обобщается для определения среднего 'потенциала электростатачсjicoro поля., создаваемого системой заряженных частиц и индуцированными • поверхностными зарядани с плотность а о € Ь V визнпкагнц-ш на поверхностях случайных шаров.

Вторая глава посвящена доказательству существования и единственности решения систеш уравнений для самосогласованного потенциала и плотности поверхностных зарядеи, отсы-

ваиь,ее систему эарязсонных частиц и динамической мембраны, состоящей из шаров случайно распределенных одинаковым законом в окрестностях соответствующих узнов плоской кристаллической ревет-ки. Доказано существование и единственность решения системы уравнений для среднего самосогласованного потенциала и средней плотности позерхностных зарядов, описывающей вышеуказанную систему заряженных частиц и динамическую мембрану из случайных шаров. Установлена предельная функция распределения для определения среднего самосогласованного потенциала и средней плотности поверхностных зарядов.

С этой целью рассматривается среда, заполняющую все трехмерное пространство к? обладающую диэлектрической постоянной е1 и коэффициентами диффузии и , для частиц с зарядами е+ и е-. В эту среду помещены неоднородности - шары радиуса К с диэлектрической постоянной е2 и коэффициентами диффузии и ^ .

Пусть эта шры распределены в окрестностях

Нг + ^ф/ ** < гй+ "§- " Яэф.

узлов плоской кристаллической решетки, элементарные

ячейки которой - квадраты сс стороной а , по закону распределения с плотностью £(£к). Здесь Б^ - эффективный радиус. Пусть плотности функции распределений 1(15с) удов.* ггворяпг условиям:

Л*

Здесь ^ - случайное отклонение цен!ра и - шара от к - узла, Р1 - преобразования отражения осей ^, х^, Хд, сог-тзетственно

(Р^)2 = 1 и 3! (Р13>1 я - Лй а Л « (а - -

Совокупность этих сэров образует мембрану П.

Начало координат выбранов одном из узлов реке-пси,'тач оси х, легат а плоскости 33=0 мембраны.

Через 5?..) и обозначены функции

распределения плотностей частиц с зарядами е+ и о" , через

ТТ^ (г. .) самоеоглгсозаннкй потенциал, через

е^ (2, ...), э"Т12 (г,...) потенциал взаишдейстг-дя точечных зарядоз ©+ и е" с зарядами, населенными ими на поверхности мембраны.

Предположено, что зарягенньа частицы могут находиться только в слое |гд| < Ь < и и что они удерживаются в кем шесним ползи

+ ' "И" 1 И"""'

о~и(г,£7которое раггмо в вне слоя и равно иулз) внутри

слоя:

0*11(3, -

» . »ь,

I 0 , |2д| < ь.

потенциал | и2 4?» <® будем считается извеси

В первом параграфе для того, чтобы показать рав^лсшэ среднего самосогласованного потенциала МП^(х,5?.>5 этоп системы и самосогласованного потенциала И1 (2) ииггеш заряженных' частиц я неоднородностей, расположенных в узлах плоской кристаллической реа-этка :

ы с*, е?- >1 - VI,,

исходили из обобщенного уравньния Пуассона-Больцдак..

хэ

Л и^хд?..= О,

с граничными условиями

х 6{к3/ Ю п {|Хз|<Ь); Х - Н,

= е2"

(2.1)

(2.2)

о и2сх,у,е?.-..е?.•> о (г,у,£?■...€?.■)

б £

где Я+(жД?...является решением уравнения диффузии Боголюбова (Боголюбова-Стрель цова).

И±(х,е?..= -Ц- ех_ (- ра^хД^.-Д-,..) +

+ е±Г2(х,5?...,е?..) + И(х,4,?..х^Е3/

Чтобы показать

ХеИ.

это необходимо оценить

сред-:

самосогласованный потенциал

Для этого можно решить задачу (2.1),(2.2) с последующим усреднением решения и., (хД?...) . Можно решить и усредненную заранее задачу (2.1), (2.2) найти ЫП^ОЛ?...,£?..)].

Так как кроме условий (2.2) использован также условия

о и

периодичности самосогласованного потенциала <1^ (хД,... Д,.. )>

С КГ

V плотности поверхностных зпадоа в среднем <о(хД,...Д,..)>:

(2.3)

(2.4)

О

то в §1 применена комбинированная схема, т.е.заранее усреднено уравнение (2.1) и его решение свели к решению системы уравнений:

О М —' Г ...........

* |х-у-ак| . у 3

.( 4га, [Су>&• )> +<«"»_ (У.

К ТГ с\

(2.5)

» <а(у,е?...,^..)> ЯЕ

- ся решениями интегральных уравнений:

л м

когда плотности поверхностных зарядов <а(у,5,.)> являшт-

<о(*,€?....6?..» г^ ) --?---------

е1+Ег £ гщх-у-йч

.смй-г-к.в,)^ + ]Г |

Б

е1~е2 V" Г со3(х-у-ак.г^) 21С|з-у-ок|г

7

(2.6)

где - поверхность шаров, •

7(1)^(1/1^1 < < ,|Хд| » Ь. 1231 > ).

Далее рассматривая систему уравнений (2.5),(2.6) в Банаховом пространстве в с нормой, определенной как

|| р й » азах 5?..)|>

показано существование и единственность решения системы уравнений для (х, 5?. ) и с(х,£?..) при условиях

(2.3),(2.4) и при определенна, условиях, накладываемых на шют-

ности зарядов и неоднородностей. Полученный результат сформулирован в виде теоремы:

Теорема 2.1. При "достаточно" малых "плотностях" частиц

11 А т»?^ I I

—г. —. плотностях неоднородностей —==W- и ' . ■ v~ ° СГ е1+ ^

система уравнений (2.5),(2.6) имеет единственное решение в шаре II Р - Р°1 < я пространства в.

В §2 с помощью Uj^d.i?..) и а(х,4?..). определив дисперсию чле; в суммы е уравнениях (2.5), (2.6), и с помощью у. равенства Иенсена, показана устойчивость последовательности iFd.i?...,^))[£.<)', где

г fx.t?.-. ,4?- - »1 о н

Через F(r,)s {?...,£?..) обозначено выражение:

F ix. ... . )=ф(х, t?.. - 5.? ■ Н® (x.t?.

где

со

о « , aiy+t.t?.:..^/-.)

cpi(x,£Vo.=«..>=r-es»,

о к Г s е

-—--g-

к g 2?t|x-y-акг

•coeU-y-cß.n^äSy .

со

® (X, ? ?... .. ^ (X, С?... .);

у. |х-у-сй|

I

ер*.;?...*?..)- Г I .

Ш 7 2а|х-у-чЛ|

Показано, что система уравнений для <1^(з,и О 1Т

<ст (г, £,...£;..)> исследуемого процесса совпадает с систеюй уравнений для и^ (х) и а (ж), когда неоднородности расположены* в уз -лах плоской кристаллической решетки, т.е., что предельная функция распределения неоднородностей является единичной. Доказано, что

Теорема 2.8. При выполнении условий -еоремы 2.1 последовательность является устойчивой :

£1

ил у~,«р1г(гве?..адг?)-иг(^(2,5?...,е!1)1) сошл

Щ Л (2.7)

и плотность функции распределения сумм (2.7) сходится к

сэ

плотности С(^(ф1г(х,с?...,еНг..) —

единичного затона.

Теорема 2,3. При выполнении условий теоремы 2.1 последовательность шляется устойчивой

н

ил (ffljjcr. с?. • •. . -. ен> i > - const

jK| -(2.8)

•и плотность функции распределения суш (2.8) сходится к

а

плотности б( —

единичного закона.

Аналогично, применив неравенство Ненсена можно убедиться, что

последовательность i(<p + ©) (и,6°,...,^}^

является устойчивой: U

Пл - UtCp+CViz.i?....^)!) - const

т (2.9)

и плотность функции распределения суым (2.9) сходятся к

ео

плотности 3(^(<fHO)k(x,t?....eg,..) - Ш(<*»С)к(х,

единичного закона. Следовательно:

£7(у)

У

1 о М [ = 1 г— , а(у)сов(2-у-чй1,н_) „

[а(х,Е°.....Г...) J I > J-в—— asy

^s 2t Ix-y-our 7

g 4яв1 Iz-y-^l dy ( , ru1(r)l

[Vs 1''' " - If

| y- Je\ (y)+o"0_ (y»coa fx-s-dk.ij | e j 2« |х-у-ск|г

ate)

snJftx.C0, ...,£*,..}> « (X),

Mlots.S0.....^,..>1 = o(s>.

Таким образом, в рассматриваемой системе, при определенных условиях налагаема на плотности зарядов и неоднородностей, от ?<шены мембраны со случайными неоднородюстями мембгакой с периодически расположенными неодкородностями значение

о

самосогласованного потенциала не меняется.

В четвертом параграфе исследуется система заряженных частиц и мембраны состоящей из неоднородностей случайно распределенных в окрестностях соответствующих узлов плоской криствлли"^-кой решетки. При этом, не обязательно условие невзаимодействия неоднородностей. Предположим что они взаимно не соприкасаются, но могут взаимодействовать. Исследовано существование и единственность решения обобщенного уравнения Пуассона-Больш' -Не для этого случая.

В данном параграфе исследуется существование и единственность решения системы уравнений (2.5)-(2.б) непосредственно для среднего самосог. юованного потенц::.5ла v средней плотности поверхностных зарядов в банаховом пространстве <э> с норной, определяемой как:

В <р> 0 = яш: {^|<U(s,)>|,(г,

«

Элемента',я пространства в является:

р = Гр = в о р Ф '24 —-©.

где в в d + ¡в+,

(рер)(2,£) - pC2,C)©P(s,|/a, ф, ® - прямое суммирование С

и тензорное произведение, соответственно,о 0«1, е(£)п«0 при п >0. Здесь л - число переменной в скобке.

Для системы заряженных частиц и взаимно невзаимодействующих неоднородностей доказано существование и единственность решения системы уравнений (2.5)-(2.б) при достаточно малых плотностях зарядка3 Ъ^г е2

дов , 1— и плотностях неоднородностей - ,

. у- 3<Г 12

в шаре <р> - <р°>| < л .

Показано согласуемость полученных результатов с результатами полученными в предыду*"« параграфах.

ТреТ)Я глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе сформулирована задача и определены самосогласованное уравнение и аппроксимирующий гамильтониан для модели Дикке.

Рассмотрено в сосуде А € к* с конечным объемом |Л| < * модельная система, описываемая гамильтонианом :

И Ы

• н = + + +

-/[ХГ

N N

где > > 0 ; 4 - ]Г/<»3* +

о^ ± и матрицы Паулы :

»5=1? 4-1? И- '<$■& -?]•

соответствующие спину 1/2, г.е. 01я Н^«^» ее^1, (Ц-^К С,

к=1,2.....М; Х^Л (к) -вещественные чи'иа (константа

взаимодействия с к-шдой).

Эта модель описывает взаимодействия электромагнитного поля с ,

I двухуровневыми молекулами, поиещенньаи в резонатор А, имещий И

собственных частот Сш^Ц . ,

Определено самосогласованное уравнение

г? (к) ---.

Х<*>

Введен аппроксимирулдий гамильтониан

й 2

^ррСП.'П*) = X ш(й)Ь+(1с)Ь~(й)иЗс + е ^ о® - ; (^оолоо *

н «Г(к)т}*№)№ , т)№> * < 17.^1=1

Показано что аппроксимируизий гамильтониан ^ррСП.т)®) эквивалентен также, аппроксимирующему гамильтониану

Н (т],т]*) = / ш(к)(Ъ*(1г) + ч*0с>)(Ь'0с> +

Ерр Ш(]1)

ш

и(1с) 4т " ы(ЗД

* е ]

мПгЛ « м Ск\

2

* Г(К)1)*(й))(2г - |А|/ ЬЛ®- |у}(й)|2азг, т10£Ытн-}йе 2м

ш(к) А й

Сформулирована теорема:

Теорема 3.1 . Если уравнение для корреляционной йунк-ли с аппроксимирующим гамильтонианом Нарр(т},^*) имеет решение, х> оно является таким же решением уравнения для корреляционной »ункций системы с модельным гамильтонианом Н.

Во1 втором параграфе рассмотрена термодинамическая квшзалентность модельного и аппроксимируицего гамильтониана

модели Дикке.

Исследована близость плотности термодинамических потенциалов 1А(Н) и и сформулирована следующая теорема:

Теорема 3.2. Пусть операторы Нг ^ в (3.1)

удовлетворяют следующим условиям: !Г

Н*

' е шхаВх* щ в^В « с •

- ^ в бмс' • ^ ♦ - 0 . > Шд > О , Х^ £ О, к ■ 1,2.....II

и пусть, удельная свободная энергия для гамильтониана Н^ ограничена постоянной

(ХдСПр!! < Сг в С01151.

Построим операторную форму аппроксимирующего гамильтониана

уцГ, - • р} - 1А1 £ ^М * ♦ Л .

(гх)372

(В конфигурационном пространстве - т}(к) и гамильто-

У\Г\

ниан 1^(11,1)*) имеет вид

N 2

НаррСЧ.Т!*) ■ X ш№>Ь+(к)Ь-(к)Шс + е ^с^ - X §^иг*(к)т|(к) +

+ -Гф^ООХП: , • т)(к) = { т^)к=1е

/

Тогда справедливы неравенства

причем 0(|Л|"

при |Л| -»се равномерно по отношению я

температуре в интервале О 4 » 5 ^ , ^ - произвольная фиксированная температура.

6 третьем параграфе определен выражения аппроксимирующего

гамильтониана через конечнозонный потенциал, когда бозоны взаимодействуют сильно Только со спинами с определенными выделенными импульсами кяок'с*' ,п ( г , а взаимодействием .бозонов с остальными импульсами можно пренебречь г сформулирована теорема об аппроксимирующем гамильтониане модели Дикке:

Теорема .3.3. Пусть в модельном гамильтониане Дикке бозоны взаимодействуют сильно только со спинами сопределенкши ■ выделенными импульсами к^пк'ак^ , п « г , а взаимодействием бозонов с остальными импульсами можно пренебречь, т.е.

(в кочфигуряционном пространстве:

Н = ; шОс)Ь+ (к)Ь~(к)<Ос + е & + —¡72 S X в(*-Х£)Х(Ю.

ООЛ+Ос) + Ъ+Ос)Г№))сИа&£ •

Тогда вид аппроксимирующего гамильтониана модели Дикке определяется через однозонный потенциал формулой

о

м м

н =

к

9

- ■ • « + хоо/АГ ,

^овСм*) « / л и<к)0>+(к) --~ т}*Ос)>ПГ (*) +

т}(к) > + е Т"о§ - S Р<*-*£> эМР (^0с)т}0с) +

«00 &

« *200 о

+ ГСк )!}•(* ) )<вап£ - |лц* Ц10с)|2аюи^,

кв1,2.....М,

з

где О (к) и |Т| ,.1>|2 = и») 1/3 [ е^&ХИ -

-одаозоннш потенциал.

В четвертой главе показано, что теорию Возе систк взаимодействующих отталкивающим дельта - О потенциалом можно построить на основании цепочки квантовых кинетических уравнэн» Боголюбова в рамках квантовой статистической физики, предложен» К.Н.Боголюбовым .

В первом параграфе рассмотрена цепочка квантовых кинетических уравнений Боголюбова с потенциалом взаимодействия типа О -функции :

гв1*'*1.....*в!Х1'....." Ш(х1.....V-

"Рд (^»Х^ » • • • » •• • »Х^) — , • • • , • • .

+ х X У'. СвТг -а+1 >~0(Х£- Хз+ »

где Рв(1,г1,...,1в;х1*- матрица плотности, х - координата', С , 1 - скобка Пуассона, гоИ.ЬИ ЛЯ) - время. Гамильтониан Н8(х.....,Хд) имеет вид:

в ,

Н8(х1.....Хэ) а - ^г + 5

Матрицы плотности Рв(1,х,.....хв»х1.....ха) Должны удовлетворять

условие самосогласованности

= X Р8+1 .X, ,. . . ,Хе ,Ха+1 ,Хв+1 )<1хв+1;

«1

......5Х1 •••••* »Хв+1 ^ -

- I Р8+1 .....Х8+1-V

для любой 1=1,2,...,в+1; в=1,2,... , где (х1......3

= (X,,...Х1_1,Х1+1....,Х8+1) и условию нормировки

/ Р1(1,х;г)Их ■ 1,

Посредством анзац Бете получено решение квантовых кинетических уравнений Боголюбова, описывающих эту систему .Показано, что эта задача сводится к решению нелинейного уравнения Шредингера с соответствующими граничными условиями, именно:

Теорема 4.1. Для того, чтобы удовлетворить цепочки кинетических уравнений Боголюбова в областях х/у, XV*' необходи-

мо и достаточно, чтобы имели место уравнения

Ф^И«*!» = ~ 4" + Фг±С*-х^»|С*|2.

с соответствующими граничными условиями - -ЯТ *

= ас

Сформулирована теорема:

Теорема 4.2. Решение цепочки квантовых кинетических уравнений Боголюбова с потенциалом взаимодействия типа в - функции в области фазового пространства, где х^хр тух^ для любой ]&а можно определить Бете анзацем :

-"садяИ %.....V

'81 1 1 . *• • • Л-д

• ехр(1№1х1+...+квхв), ■

где

Г С1 1 ■ п /%'\+ш

г<8 / _Г-В- ш

...../

Следовательно, матрица плотности Рв(1,х1,...,ха;х1'.....x¿)

имеет через анзац Бете следующий вид:

1С| • • • • ,)Сд

Ч' * *"

Л Л.....1в «Р^Л*-^»'

т в! 1

Е %.....18 ехриос^ч..^))'.

•в"" ОЦ2*'^' .... ,кд) .

Во втором параграфе решение через анзац Бете цепочки квантовых кинетических уравнений Боголюбова получено на основании операторного метода. Оно имеет вид

Уд^.Х,.....!^!}.....Ц) = /..-ГфОЦ.....

•ф* ... .Кв)С0с1.. ..

= п/ (И^ш^ т'оц). .11*№£>10><0|н(*£>...нац)|.

• I и* (р; >. • • н* (р^ > I охо I н (р1).. .и (рв > | и* > • • -и* (1с8 > I о>-

.<01 НОСд)...на^)Iехр(1р1х1-р^))е1р(-1'(к£)2- к^П).

Здесь Н*(р), Н(р) - операторы рождения и уничтожения, соответственно, удовлетворяющие коммутационному соотношению

э

K*(k')R* (к) = e2W№"k,)R*(k)K*(k'),

где

.г^ос-к*) _ е * i-»ГШ- •

В третьем параграфе о помощью метода предложенного Янгом С.Н. и Янго»' С.П. изучены термодинамические свойства решения цепочки квантовых кинетических уравнений Боголюбова посредством анзац Бете.

Четвертый параграф посвящен решению задачи Коши для линеаризированного кинетического уравнения Власова:

в рв "в »(14!- II) д i(t,x,)

-Ж- ^--тЩ *«.*,> + X-Щ--ЭРГ" *

—<0

• Kt.ig)^

с начальным условием Kt.x,) \ t=0 = 10(х1).

Здесь i(t.ij) - функция распределения, 1=1,2; qj-координата; pj-импульс 1-той частицы; t 20 -время, ®(|Qj- qj|) - парный потенциал, ю=1 - массс частицы.

Доказано существование и единственность решения этого уравнения. Это дает возможность с помощью алгоритма, предложенного в работе 111, изучить возмущения равновесных решений цепочки кинетических уравнений Боголюбова.

В Заключении перечисляются основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1) Расулова Ы.Ю.//Теоретическая и математическая физика.М. :Нау-ка. 1980.T.43.JP1 .С. 124-132.

[21 Расулова М.Ю. //Тезисы 2-Мездународного симпозиума по избранным проблемам стат.механики.Дубна, 198'.

13' Расулова М.Ю. //О решении кинетического уравне ия Власова. ? кн.Труды 2-Международного симпозиума по избранным проблемам стат.механики. Дубна, 1981.С.3?9-383.

С41 Расулова М.Ю.,Какмов Ш. Потенциал электростатического поля в областях со случайной границей.К.Препринт ИТФ-84-18Р.1984.

[51 Расулова М.Ю.,Каммов Ш. Средний потенциал электростатического'поля системы заряженных частиц и динамической мембраны со случайными шарами. К.Препринт ИТФ-84-19Р.1984.

[61 Расулова М.Ю.,Кавмов Ш.//ДАЯ УзССР .1935. .Н>2.С.22-25.

171 Расулова М.Ю. //ДАН УкрССР.Сер."А".1983.#З.С.62-65.

[81 Расулова М.Ю. //Известия АН УзССР. 1988. JK3. С. 48-51.

191 Расулова М.Ю.//Тезисы Всесоюзной конференции по математической физике. Тернополь.1989.С.353-354.

[101 Расулова М.Ю. Предельная функция распределения неоднород-ностей в областях со случайной границей.1.Т.Препринт ИЯФ АН Уз ССР. P-12-510.1991J// Теоретическая и математическая физика.М.:Наука,1992.Т.92.*1.С.93-112.

[111 Расулова М.Ю. Предельная функция распределения неоднород-ностей в областях со случайной границей.2 Т.Препринт ИЯФ АН УзССР. Р-12-511.1991;// Теоретическая и математическая физика.М.:Наука, 1993.Т.94.#1.С.84-97.

[121 Расулова М.Ю. Предельная функция распре¡¿эленкя неоднород-ностей в областях со случайной границей.3.Т.Препринт ИЯО АН УзССР. Р-12-512.1991.

[1$i Расулова М.Ю. Решение цепочки квантовых кинетических урав-

нений Боголюбова для Бозе систем,взаимодействующих б-по-тенциалом. Т.Препринт И5Е.- АН УзССР.Р-11-540.1991.//ДАН РУзб.1994.^12.

.114] Расулова ы.Ю. .Саттаров Б.И. Задача с граничными условия« для квантовых кинетических уравнений Боголюбова. Бозе сис-■ теш.Т.Препринт ИЯФ АН УзССР.Р-11-549.1931. //Узб.физичеа журнал. 1991. . С. 23-29.

[151 Расулова Ы.Ю. Об аппроксимирующем гамильтониане модели Дик-ке.Т.Препринт ИЯФ . "I РУзб.Р-12-611.1994.

[161 Расул.-за М.Ю. Предельная функция распределения неоднородное тей в областях со случайной границей.4.О решении уравнения Пуассона-Больцман" дл>. среднего самосогласованного потенциала. Т. Препринт ИЯФ АН РУзб .Р-12-612.1994.

Investigation of theraodlaanlcal properties of Inhoaogeneous вувten and systems bose particles Raeulova JI.Yu.

System ol charged part idea and вея&гапе cons is tins, fron lnhoiujgeneities distributed la the vicinity of дева» czyetalllc lattlcb-°iiaB been considered ав eixaraple of 'nhoaogeoeous system. It Is supposed that the nbove inhojnogeneitiea do not Interact with each other.

An average electrostatic potential, self-consistent potential and limit function of distribution for averaging of self-consistent potential has been defined for such system.

Existence and uniqueness of system of nonlinear differential equations for self-consistent potential and surface charges distribution has been proved. As well as the existence of unique solution of system of equations for average* self-сопяlatent potential and average density of the surface charges baa bees proved.

The Dicke nodel Tihich describes the -"nteractlon of electromagnetic field with two-level molecules embedded Inside resonator with U proper frequences has been considered In order to investigate the thermodynamlcal properties of Bose pai lcles system.

Approximating Hamlltonlan through one-zone potential гай thenaodynanical equivalence of spec if ic free energy calculated through model and approximating Hanlltonlan have been defined.

Bose partlclee system Interacting with Delta-potential is considered. The solution of chain of Bogolubov's quantm kinetic equations through Bethe ansatz has been obtained.

Вир жинсли булмаган ва Бозе системаларининг термодинамик хусусиятларини тадки^оти.

Ы Ю.Расулова

Вир асинсли булмаган система сифати "а зардцланган зарралар ва мембрангдан иборат система царалган. Мембрана сифатида бкр хил цонун асосила кристалл тугунлари атрофида та^симланган, бир-бири билан узаро таъсирлашайдиган узга хинсли шарлар гуплами

;;аралган.

Шу системанинг : уртача электростатик потенциали, уртача уз-язидан ыупо$ицлшг£н потенциалют ва бу потенцналларни топиш учун чегэ^авий таксиыот функцияси аникланган. Бу катталикларни аниклапда уз-узидан мувофи^лашган потенциал ва юза зарядлари зичлиги учун чизикли бул. »ган тенгламалар системаси ечимининг мавасудлиги ва ягсналиги исботланган. Бу масала уртача уз-узидан мувофиклашган потенциал ва уртача юза зарядлари зичлиги учун ^аь ечилган.

Бозе системасининг термодинамик хусусиятлари Дакке модели асоскда тадкик килинган. Бу модел электромагнит майдони в£ резонаторга жойлаштирилган икки сатх,ли молекула системам таъсирлашувини кфодалайда.

Шу модель аппроксимацияланган гамильтониани бир зонал! потенциал оркали ифодаланиш мумкинлиги аникланган. Шунингде( Дикке модели учун мод&лли ва аппроксимацияланган гамильтониа1 оркали аникланган солиаггирма эрчин энергиянинг термодинами! ьквивалентлиги аникланган.

г

Узаро б - потенциали оркали таьсирлашувчи бозэ зарралар]

системасини тащщ зталган. Ву систедаяинг динаштеаси-

ни ' ифодалоечи Боголюбовнинг квант кинетик тенглаыалари заютфининг Бете анзаци оркали ечими аниилангвн. О

Р. >

о