Кинетика фазовых переходов второго рода с образованием бозе-конденсата тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Сапцов Роман Борисович

КИНЕТИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ВТОРОГО РОДА С ОБРАЗОВАНИЕМ БОЗЕ-КОНДЕНСАТА

01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка 2007

003071753

Работа выполнена в Институте Теоретической Физики им Л Д Ландау РАН

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, Иорданский С В

доктор физико-математических наук, Минеев В П

доктор физико-математических наук, Марченко В И

Ведущая организация

Институт физики твердого тела РАН

Защита состоится 22 июня 2007 в _Ц^°часов на заседании диссертационного совета Д 002 207 01 при Институте теоретической физики им Л Д Ландау РАН, расположенном по адресу Ц2432, Московская обл , Ногинский р-н, г Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им Л Д Ландау РАН

Автореферат разослан «. » мая 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

Гриневич П Г

Общая характеристика работы

Актуальность работы Представления о кинетике фазовых переходов развиты достаточно подробно для фазовых переходов первого рода и связаны с существованием как самой метастабильной фазы, так и равновесного критического зародыша Соответствующая теория была развита в работах [1], [2] и подробно изложена в обзоре [3] В то же самое время, теоретические представления о кинетике фазовых переходов второго рода, где оба эти факта не имеют места, развиты мало В работе И М Лифшица [4] предложена некоторая специальная модель возникновения упорядоченной фазы после быстрой стадии фазового перехода в "ближнем" порядке при наличии только двух типов упорядочения

В последнее время возник интерес к проблеме фазового перехода при быстром изменении внешних параметров в связи с задачей о "Большом Взрыве", когда быстро расширяющаяся Вселенная должна охлаждаться и может пройти через серию фазовых превращений с изменением симметрии физических полей [5], а также в связи с попытками смоделировать космологические процессы в конденсированных средах [6]

В работах Зурека, подробно изложенных в обзоре [7], была развита теория фазового перехода второго рода при быстром изменении температуры в жидком 4Не Основным в предложенном механизме является предположение о "критическом замедлении" всех процессов в окрестности температуры перехода, и '^быстром" возникновении очагов новой фа- *

зы при достаточном последующем охлаждении

Экспериментально, однако, никаких задержек в образовании новой фазы неизвестно, а критическое замедление связано с длительностью процесса установления равновесия на макроскопических расстояниях, что является несущественным при неоднородном процессе образования

новой фазы

Интерес к проблеме фазовых переходов второго рода в последнее время также обусловлен экспериментами по конденсации бозе газа атомов щелочных металлов и конденсации газа экситонов в твердых телах [8-11] Поэтому изучение фазовых переходов на системах, в которых происходит образование бозе конденсата интересно как для описания таких экспериментов, так и в качестве иллюстрации основных особенностей, свойственных переходам второго рода

На практике почти всегда конденсация происходит при неравновесных начальных условиях, и интересно изучить влияние неравновесности на динамику фазового перехода Образование бозе конденсата в слабо-неидеальном бозе газе при неравновесных условиях рассматривалось Ю Каганом с соавторами в работах [12],[13] В этих работах изучалась ситуация, когда газ находился в сильно неравновесном начальном состоянии, в котором отсутствовал конденсат, однако полная энергия газа была ниже равновесной энергии этого газа при критической температуре, так что конденсация наступала в процессе установления термодинамического равновесия

В диссертации изучается модель, которая учитывает влияние флук-туаций на фазовые переходы второго рода при неравновесных условиях Такие пространственно локализованные флуктуации при наличии неравновесных условий могут приводить к особому механизму фазового перехода, в котором переход происходит за счет развития флуктационно образовавшихся очагов новой фазы, но, в отличии от переходов первого рода, неравновесность играет существенную роль в этом процессе Изучение предложенных механизмов, возможно, сможет помочь понять как происходят фазовые переходы второго рода при условии отсутствия термодинамического равновесия

Во второй части работы выводится уравнение релаксации параметра порядка в переохлажденном сверхпроводнике Эта задача интересна как сама по себе - впервые предлагается физически прозрачная картина релаксации, как кинетики неупругих процессов в неравновесном газе квазичастиц, так и может служить для дальнейшего построения теории, учитывающей влияние флуктуаций на кинетику фазового перехода в сверхпроводящее состояние

Целью диссертационной работы являлось

• Построение механизма перехода в сверхтекучее состояние в сла-бонеидеалыюм бозе-газе в условиях внешнего охлаждения путем развития локальных флуктуаций температуры

• Построение механизма перехода в сверхпроводящее состояние в модели БКШ для переохлажденного ферми-газа в пространственно однородном случае путем процессов аннигиляции и рассеяния возбуждений с излучением фононов

Научная новизна работы заключается в следующих результатах

• Изучено влияние процессов внешнего охлаждения на кинетику перехода бозе-газа в сверхтекучее состояние

• Для уравнения Фоккера-Планка, описывающего флуктуации температуры в бозе-газе при внешнем охлаждении, найдено инстантон-ное решение, описывающее критическую флуктуацию

• Для чистого сверхпроводника в модели БКШ в пространственно однородном случае рассмотрены неравновесные значения параметра порядка, для которых не выполняется классическое условие самосогласования Показано, что наличие неравновесного значения

параметра порядка приводит к появлению эффективной неравновесной константы взаимодействия в модели БКШ

• Определены ведущие кинетические процессы связанные с неравно-весностыо параметра порядка, приводящие к его релаксации

Практическая ценность работы Полученные результаты и методы позволяют глубже понять динамику фазовых переходов второго рода и могут послужить как для развития в дальнейшем общей теории механизмов фазовых переходов второго рода, так и для анализа экспериментальных данных

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1 Предложен новый сценарий перехода бозе газа при внешнем охлаждении в сверхтекучее состояние посредством гидродинамических флуктуаций температуры и плотности в трехмерном случае Получено выражение для вероятности таких флуктуаций и вычислено число таких флуктуаций, образующихся в единицу времени в единице объема

2 Получены уравнения, описывающие развитие критической флуктуации во времени и в предельном случае слабых флуктуаций предложена численная схема для их анализа

3 Предложенный сценарий для трехмерного бозе газа обобщен на случай двумерного, в котором нет истинного бозе конденсата, но существует БКТ переход в сверхтекучее состояние Численная схема модифицирована для двумерного случая

4 Построено квазиравновесное термодинамическое состояние сверхпроводника с неравновесным однородным в пространстве парамет-

ром порядка Такая ситуация возможна вблизи критической температуры, когда нсупругие кинетические процессы, меняющие число электронов в куперовских парах, более медленны, чем упругие процессы, приводящие к термализации газа элементарных возбуждений Показано, что неравновесное значение щели сопровождается изменением эффективной константы взаимодействия в модели БКШ

5 Вычислены плотность электронов, находящихся в куперовском конденсате, и их химический потенциал как функции неравновесного значения параметра порядка в чистом сверхпроводнике в пространственно однородном случае

6 На основе анализа кинетического уравнения, записанного для квазичастиц неравновесного сверхпроводника и модифицированного с учетом изменения химпотенциала куперовских пар, получено уравнение, описывающее однородную релаксацию параметра порядка в модели БКШ

Апробация работы. Работа докладывалась на научных семинарах в Институте Физики Твердого Тела Исследовательского Центра Юлих (Германия) и в Институте Теоретической Физики им Л Д Ландау РАН

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы, и 2 приняты в печать Их список приведен в конце реферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения, заключения, списка публикаций по теме диссертации и списка цитируемой литературы

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения

В первой главе мы показываем каким образом процессы внешнего охлаждения влияют на динамику фазового перехода второго рода, приводя к зародышевому механизму перехода, свойственному обычно для фазовых переходов первого рода При этом, однако, между ними имеется серьезное различие - в случае переходов второго рода развитие зародышей происходит исключительно за счет неравновесности (например, внешнего охлаждения), а энергетически развитие зародыша не выгодно, в то время как развитие закритического зародыша в случае переходов первого рода выгодно энергетически и никаких внешних условий не требуется

В качестве примера, иллюстрирующего систему, в которой возможен такой тип перехода, мы рассматриваем модель слабо неидеалыгого бозе газа с гамильтонианом

тт Р2 2тгН2ао V—* „ „ /у

Я° = 2таРар + —т— ^ <<аРА, + (1)

V Р

(ао - длина рассеяния частиц друг на друге, то - масса бозе-частиц) находящегося в матрице твердого тела, в котором неравновесность создается путем внешнего охлаждения, описываемого взаимодействием Нт1 с твердым телом Такая ситуация возможна, например, для газа экситонов в полупроводнике Если взаимодействие с решеткой твердого тела достаточно слабо, то можно создать неравновесную ситуацию когда решетка быстро охлаждена до температур значительно более низких, чем темпе-

ратура бозе конденсации газа, при этом газ находится в квазиравновссии с температурой больше критической За счет слабого взаимодействия с решеткой газ будет медленно охлаждаться путем испускания фононов в решетку, что может быть описано феноменологически как однородное охлаждение

Т

(2)

Tph

где 1 /Тр'д ~ nvT<Jph - характерное обратное время столкновений частиц с участием фонона (решетки) Здесь п - концентрация частиц бозе газа, vt - средняя тепловая скорость этих частиц, a aph - сечение рассеяния частиц друг на друге с испусканием фонона Слабость взаимодействия с решеткой выражается в том, что

1 /r°ph « 1/Ttr (3)

где 1 /Ttr ~ пУтйц - характерное обратное время столкновений частиц между собой Отклонение газа от идеальности задается малым газовым параметром

г] = nao3 1

Вследствие неравенства (3) эволюция бозе газа будет медленной, в частности, длина звуковой волны будет велика по сравнению с характерным расстоянием, пройденным тепловым фронтом за время т^д Это позволяет рассматривать флуктуации в системе в рамках гидродинамической теории флуктуаций, как происходящие при постоянном давлении, что накладывает связь на флуктуации температуры и плотности Мы рассматриваем флуктуации с понижением температуры, которые могут привести к образованию новой фазы Если в результате флуктуации температура в некоторой области понизилась ниже критической, то вследствие сильной сжимаемости бозе газа ниже критической температуры и из условия

постоянства давления, в этой области сильно возрастает плотность бозе частиц, что, в свою очередь, приводит к сильному увеличению обратного фононного времени в этой области В итоге мы можем описывать такие флуктуации в рамках уравнения теплопроводности, в которое добавлен член, учитывающий усилившуюся фононную эмиссию в области, где температура ниже Тс, в то время как в оставшейся области этой эмиссией можно пренебречь

где х - теплопроводность бозе-газа, Ср - его удельная теплоемкость при постоянном давлении, в расчете на одну частицу, II(Тс — Т) = 1 для

5Т = Т-Тс < 0 и и(Тс-Т) = 0 для Т-Тс > 0 и 1 /трк = (1/тр/г°)(1/У/6)

Случайные потоки q можно считать дельта-коррелированными во времени и в пространстве

Вероятность И^(Т(г), реализации некоторой пространственной конфигурации флуктуации Т(г) описывается уравнением Фоккера-Планка в вариационных производных

гДе X " температуропроводность газа

В разделе 1.2 рассматривается для иллюстрации одномерная ситуация, в которой имеется одномерное уравнение на величину х, аналогичное

У(хУТ) - пер Т)Т-и{Тс - Т) + с!1УЧ

(4)

{фгМЫъМ)) = - гаЖ*1 - Ъ)5,

уравнению для поля Т{г) (4)

(ь'(х) - макроскопическая скорость изменения величины х, моделирующая аналог фопонной эмиссии в случае поля температур) с дельта-коррелированной случайной силой (£(£)£(0) = 2/М(£ — I ) При этом скорость ь(х) представляет собой выпуклую вниз функцию с двумя нулями - устойчивым в нуле и неустойчивым при х* (х* > 0) Вероятность IV реализации флуктуации описывается уравнением Фоккера-Планка

дЖ д („8\¥ \

= (7)

Его решение можно искать в виде (Ж = еБ), что приводит к уравнению типа Гамильтона-Якоби для величины Б Решение этого уравнения методом храктеристик приводит к гамильтоновым уравнениям, описывающим эволюцию флуктуации

^ = -2 Вр + V (8)

(1р _ _<Й) _ сРу

ей йх" (12х

с гамильтонианом

Н(р, х) = -Бр2 +ру+ дУ

дх

р(£) = дБ/Эх - является вспомогательной переменной, отвечающей за случайные тепловые потоки

Показано, что вероятность флуктуация с перебросом через неустойчивый нуль х* пропорциональна е5°, где

о

а ток вероятности таких флуктуаций

3 ~ (9)

V Ро|

где итах - максимальное по модулю значение скорости на отрезке (0, х*) Полученный результат обобщается на случай, когда х является не просто числовой переменной, а полем некоторой скалярной величины (например, полем температуры, описываемым в (5))

В разделе 1.3 строится решение уравнения Фоккера-Планка (5) По схеме, предложенной в разделе 1.2, решение тоже ищется в виде \У ~ ехр(Б), что приводит к уравнению Гамильтона-Якоби в вариационных производных, для которого характеристики, в отличие от примера (8), сами являются уравнениями в частных производных дТ 2*Т2 ^ ,

дЬ пер

и(Тс-Т)^ Т)Тс, (10)

V»

и являются гамильтоновыми уравнениями, для гамильтониана

2

J I- ТХСр

и(Тс - Т) Т)Тс1 <1лг (12)

Три Л

Эти уравнения можно привести к безразмерному виду и сразу вычислить вероятность критической флуктуации, которая далее будет самоподдерживаться за счет усилившейся фононной эмиссии, с точностью до безразмерной универсальной отрицательной константы «1, которая является действием в! = т)дгО(£,т)сР{;с1т — / Нс1т для гамильтоновой системы безразмерных уравнений

^ = V2© - (-©)1/2С/(-©) + 2У2П, (13)

ОТ

П и (-в)

2 (_©)1/2

с безразмерными полями р и в, безразмерной координатой £ и безразмерным временем т

Вероятность флуктуации при этом ТУ ~ е5, где

5 = в1

ПСр(Г«, - Тс)2

1(Тоо-Тс)

3/4

-V

1/4

(15)

27£ уул-рп; тз/4 а число зародышей критической флуктуации, образующихся в единицу

времени в единице объема равно

Ш ей

~ п-

1/2

Тс

,1/8

ехр

(Тоо Тс) СрТрЬ

ПСр(Т<х - Тс)2(ф^)3 {Тоо _ Тс)3/4

2Т2

\

-3/4

Д/4

(16)

/

В разделе обсуждаются численные методы, с помощью которых может быть найдена безразмерная константа йх, в последующих главах будет продемонстрировано применение одного из этих методов для упрощенной модельной задачи в случае, когда флуктуации плотности не очень велики

В разделе 1.4 изучается возможность обобщения результатов предыдущего раздела, выведенных для случая трех пространственных измерений на двумерный случай Интерес к двумерному случаю связан с тем, что практически все эксперименты по конденсации бозе газа экситонов в полупроводниках производились для двумерных межъямных экситонов (что объясняется их большей стабильностью, по сравнению с трехмерными) [8, 9] В двумерной ситуации не существует истинного конденсата при любой ненулевой температуре (см , однако, [14]), но имеется переход

Березинского-Костерлица-Таулесса в сверхтекучее состояние при температуре Тс = 2ттпП2/ (т1п1п(1/па02)), который также сопровождается увеличением двумерной сжимаемости [15, 16] Таким образом, результаты для трехмерного газа в целом естественным образом обобщаются и на двумерный Тем не менее, задача численного решения уравнений (13),(14) в двумерном случае осложняется отсутствием стационарного решения для безразмерной температуры ©(£, т) в бесконечной пространственной области В уравнениях (13),(14) был отброшен член с вариационной дивергенцией скорости как член более низкого порядка по флуктуации Однако, этот член начинает играть роль на больших временах, когда флуктуация близка к стационарной, и приводит к ее дальнейшему развитию с переходом в область, неустойчивую относительно возрастания флуктуации Поэтому расчет можно производить для системы конечного объема с характерным пространственным размером, равным длине пути теплового фронта, который он проходит за времена, на которых становятся существенным дивергентный член Более подробная дискуссия приводится в разделе 1.5.3

В разделе 1.5 рассматривается упрощенный модельный случай, когда изменение плотности при флуктуации температуры не очень велико В этом случае время образования флуктуации становится порядка или даже меньше времени однородного охлаждения, и требуются дополнительные условия для обоснования схемы Однако, при таких условиях уравнения (13),(14) принимают более простой вид, и мы предлагаем наглядный численный метод для их решения Уравнение (13) устойчиво для решения в прямом времени, а (14) в обратном Решать одновременно оба уравнения в одном направлении времени невозможно, так как при этом одно обязательно будет неустойчивым (уравнение типа обратной теплопроводности) Суть предлагаемого метода состоит в том, чтобы

используя асимптотики и задавшись некоторыми начальными данными решать одно уравнение в прямом направлении времени, а другое в обратном, так, чтобы каждое из уравнений было устойчиво в своем направлении времени На каждой итерации производится изменение начальных параметров с целью минимизировать специально введенную величину, являющуюся мерой отклонения решения от точного В случае, рассматриваемом в разделе 1.3, такая схема трудно реализуема, тк требуется подгонка по Лг2 параметрам на каждом шаге (под N подразумевается число разбиений одной из осей в разностной схеме) Однако, в предлагаемом в этом разделе упрощенном случае, как показывается, достаточно всего трех параметров, чтобы получить требуемую точность В подразделе 1.5.2 вычисляется вид флуктуации и безразмерная константа вх для случая упрощенной модели 1.5.1 Эта константа оказывается численно равной в! = —100,73 В конце вычисляется число образующихся критических зародышей в единицу времени в единице объема в упрощенной модели 1.5.1

.3 1/2

псДГоо - Тс)2 г— 3

- г^ -'-

СЙ Тр/г^р

ехр

'-

2Т20

(17)

В подразделе 1.5.3 в рамках той же упрощенной модели рассматривается двумерная ситуация С учетом сказанного в разделе 1.4, находится решение безразмерных уравнений (13),(14) в ограниченном объеме Показано, что при выборе размера образца большим длины теплового фронта, на которую он успел уйти за время, при котором начинают играть роль члены более высоких порядков по флуктуации, получаемый численно ответ практически не зависит от этого размера Численное значение двумерной безразмерной константы оказалось равно —13,6

В итоге мы видим, что фазовый переход при наличии внешнего охлаждения в слабонеидеалыюм бозе газе начинается путем образования зародышевых очагов повой фазы еще того момента, когда средняя температура достигнет критической Вероятность образование таких зародышей растет по мере приближения к критической температуре

Во второй главе изучается релаксация параметра порядка в модели БКШ Фазовые переходы в сверхпроводниках не могут происходить по сценарию, предложенному выше для бозе газа Флуктуации электронного газа в сверхпроводнике не могут происходить при постоянном давлении, что связано с наличием заряда у электронов Все изменения плотности приводят к появлению электрических полей, что, в свою очередь, приводит к экранизации на расстояниях порядка атомных размеров Поэтому для описания перехода в ферми-системе требуется иная модель Однако, прежде чем изучать влияние флуктуаций на фазовый переход в сверхпроводящее состояние в неравновесной ферми-системе, надо сначала получить уравнения, описывающие макроскопическое поведение параметра порядка, проанализировав микроскопические процессы, происходящие при такой релаксации Эта часть задачи и была проделана в этой главе Задача интересна и сама по себе - ранее уравнения релаксации параметра порядка в сверхпроводниках выводились лишь в грязном пределе с помощью Келдышевской диаграммной техники, в то время, как у пас производится вывод в чистом случае физически прозрачным методом, в котором рассматривается кинетика квазичастиц неравновесного ферми-газа

В качестве модели был выбран однородный ферми газ с притяжением в модели БКШ, переходящий в сверхпроводящее состояние при некоторой критической температуре Тс Мы будем считать, что изначально температура его Т ниже критической, но близка к ней (находится в

области применимости теории Гинзбурга-Ландау), а параметр порядка

Д = ^ " константа взаимодействия сверхпроводника, а

V - его объем) имеет значение, отличное от своего равновесного значения Аед при этой температуре, являясь при этом пространственно однородным Такая ситуация может возникнуть, например, при быстром переохлаждении ферми-газа в сверхпроводнике или в системе тяжелых фер-мионов в ловушке, при изменении внешних параметров Если скорость неупругих процессов, приводящих к релаксации параметра порядка, достаточно мала, то газ элементарных возбуждений может термализовать-ся быстро по сравнению с изменением параметра порядка, так что релаксация происходит при квазиравновесных параметрах газа возбуждений В нашем случае предполагается, что основные процессы, ответственные за релаксацию - это электрон-фононные столкновения, которые меняют число электронов в куперовском конденсате При этом газ возбуждений быстро термализуется за счет упругих электрон-электронных соударений

В разделе 2.2 мы строим квазиравновесную термодинамику сверхпроводника с неравновесным параметром порядка на временах меньших характерного времени изменения параметра порядка В этом случае нарушается условие минимальности средней энергии сверхпроводника по величине параметра порядка

ЩЧ = 0 (18)

а|Д|2 v '

которое имеет место в равновесном случае, что приводит к тому, что при неравновесном Д не выполняется условие самосогласования

А Г с13р 1 - пр,т - прЛ _ 2 ] (2тг^)3 ер

Медленность релаксации означает, что построение термодинамически

квазиравновесного состояния следует производить при постоянном числе электронов в куперовских парах Математически это учитывается введением члена с Лаграижевым множителем в гамильтониан

SX

Heff = Hues - 1-hN, = HBCS - у J2 «¿Tй-рДй-р'А',Т (20)

р,р

(Ns - число электронов в парах, fis - их химпотенциал) что эквивалентно замене константы связи А —» A+iA в исходном гамильтониане II¡¡cs При этом условие самосогласования теперь будет выполняться, но с новой константой связи

|Д| _ 1

Х + 6Х V

У^а_рдаР|Т V р /

При температуре близкой к критической можно выразить ¿А через неравновесную величину |Д|

¿X |Д[2 - \Аед\2 трг 7С(3) ( ,

А2 Тс2 2тг2Й3 8тг2 1 1

Из-за наличия ненулевого (лагранжев множитель) химпотенциала /л3 куперовских пар у волновой функции электронов будет меняться фаза -появится дополнительный множитель ехр(2гц^Ь/К) Перейдя к независящей от времени волновой функции, получим сдвиг химпотенциала электронов Для квазичастиц с так сдвинутым химпотенциалом ц —> ¡-I — ц3 можно осуществить стандартное преобразование Боголюбова и получить спектр ер = -^/|Д|2 + где = р2/2тп — /х, а коэффициенты Боголюбова = (1 + £р/ер)/2, Ур = (1 — £р/бр)/2 Из выражения для полного числа электронов следует, что число электронов в куперовских парах имеет вид

Используя это выражение, а также (21) и тот факт, что N3 ~ |Д|2 и ~ Л2 — А2^ можно получить, что

Таким образом, в такой квазистационарной ситуации число электронов в куперовских парах и их химпотенциал выражаются через неравновесное значение параметра порядка

В разделе 2.3 используются кинетические уравнения для квазичастиц неравновесного сверхпроводника в форме предложенной в работе [17], с той модификацией, что при изменении числа электронов в куперовских парах на величину выделяется энергия <5Рассматриваются процессы с испусканием и поглощением фонона импульса q при аннигиляции пары квазичастиц с импульсами р и q — р При такой аннигиляции меняется заряд квазичастиц на величину = Щ — V2 — 4- Ур_д, который переходит куперовскому конденсату Модифицировав с учетом этого кинетическое уравнение, описывающее изменение числа частиц в куперовском конденсате в результате актов аннигиляции и рассеяния квазицаетиц с испусканием фонона, получаем закон изменения числа частиц в куперовском конденсате со временем

^сЩ = трр\А\ (—/х5) 1 V Ы 4тгЙ3 Т тф 1 >

Используя связь (23),(24), мы получаем релаксационное уравнение

д|Л|2_ 7г|Л||Л|2-1Ле/ ш

Ы 4 трН Тс { }

гДе трН время энергетической релаксации за счет электрон-фононных

столкновений [18]

Т3 тгг/

у2 , _1ТЛ 7((3)щ

dy = - (27)

Tph h {cpFf sh(y) hw2D

где ыо - Дебаевская частота в данном металле, г] - безразмерная константа электрон-фононного взаимодействия, являющаяся величиной порядка единицы Уравнению (26) можно придать стандартный релаксационный вид

1 __ 1 тг(|Де(?| + |А|) Tr Tph 87с

При этом выполняется введенное в самом начале предположение о том, что характерное время релаксации тг велико по сравнению с характерным временем столкновений частиц между собой тее = тг |Д| Tph |Д|

Х„ Те Гее ^ Т. * ' <*>

что верно ввиду малости |Д| по сравнению с Тс Таким образом, сделанное предположение о медленности процесса релаксации по сравнению с процессами термализации газа квазичастиц оказывается оправданным В Заключении сформулированы основные результаты работы

1 Рассмотрен механизм перехода бозе-газа в сверхтекучее состояние посредством тепловых флуктуаций Показано, что при наличии внешнего охлаждения критические флуктуации (инстантоны) образуются уже при температурах выше критической Вычислены вероятности таких флуктуаций для трехмерного и двумерного случаев

2 Рассмотрена релаксация параметра порядка "чистого" сверхпроводника в однородном случае, связанная с электрон-фононным взаимодействием Процесс релаксации связан с простой физической картиной изменения числа электронов в куперовских парах из-за столкновений

возбуждений с поглощением и излучением фононов Показано, что вблизи критической температуры время релаксации модуля параметра порядка много больше, чем время между соударениями возбуждений

Список публикаций

1 Е А Бренер, С В Иорданский, Р Б Сапцов, Образование конденсата и возникновение вихрей в бозе-газе при охлаждении, Письма в ЖЭТФ, том 79, стр 515 (2004)

2 Е A Brener, S V Iordanskiy, R В Saptsov, Condensation and vortex formation m a Bose gas upon coohng, Phys Rev E 73, 016127 (2006)

3 С В Иорданский, P Б Сапцов, О релаксации параметра порядка в модели БКШ, Письма в ЖЭТФ, т 83, вып 8, с 414 (2006)

4 Р Б Сапцов, Об образовании бозе-копденсата в бозе-газе при охлаждении, принята к печати в ЖЭТФ, т 132, вып 1 (2007)

5 Е А Бренер, С В Иорданский, Р Б Сапцов, О релаксации параметра порядка в модели БКШ, принята к печати в ЖЭТФ (2007)

Литература

[1] Becker R , Doering W // Annalen der Physik — 1935 — no 24 — P 719

[2] Зельдович Я // ЖЭТФ - 1942 - T 112 - С 525

[3] Langer J // Ann of Physics - 1962 - Vol 54 - P 258

[4] Лифшиц И // ЖЭТФ - 1962 - T 42 - С 1354

[5] Зельдович Я, Кобзарев И, Окунь Л // ЖЭТФ - 1974 - Т 67 -С 3

[6] Kibble Т /I J Phys А - 1976 - Vol 9 - Р 1387

[7] Zurek WH Phys Rep - 1996 - Vol 276 - P 177

[8] Butov L , Film A // Phys Rev В - 1998 - Vol 58 - P 1980

[9] Larionov L , et al // JETP Letters - 2002 - Vol 75 - P 570

[10] Anderson M, et al // Science - 1995 - Vol 269 - P 198

[11] Bradley С, et al // Phys Rev Lett - 1995 - Vol 75 - P 1687

[12] Kagan Y, Svistunov В , Shlyapmkov G // Sov Phys JETP - 1992 -Vol 75 - P 387

[13] Kagan Y, Svistunov В //Sov Phys JETP - 1998 - Vol 78 -P 187

[14] Ketterle W, van Druten N // Phys Rev A.- 1996 - Vol 54 -P 656

[15] Fisher L , Hohenberg P // Phys Rev В - 1988 - Vol 37 - P 4936

21

[16] Popov V Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics — Dordrecht Reidel, 1983

[17] Nonequilibnum Supercondutivity / A Aronov, Y M Galperm, V Gure-vich, V Kozub - North-Holland, 1986 - (ed by D N Langenberg, A I Larkin)

[18] Kopmn N Theory of Nonequilibnum Superconductivity — Oxford Clarendron Press, 2001

Введение

Глава 1. Образование бозе-конденсата в бозе-газе при охлаждении

1.1. Слабонеидеальный бозе-газ при внешнем охлаждении.

1.2. Одномерная иллюстрация.

1.3. Флуктуации поля температур

1.4. Двумерный бозе-газ при внешнем охлаждении.

Глава 2. Слабые флуктуации плотности в бозе-газе: численная модель.

2.1. Слабые флуктуации плотности.

2.2. Вероятность оптимальной флуктуации

2.3. Двумерная модель.

Глава 3. Неустойчивость однородного состояния слабонеидеального бозе-газа при внешнем охлаждении

3.1. Трехмерный слабонеидеальный бозе-газ с источниками и стоками энергии и массы.

3.2. Двумерный слабонеидеальный бозе-газ с источниками и стоками энергии.

3.3. Влияние сверхтекучести

Представления о кинетике фазовых переходов развиты достаточно подробно для фазовых переходов первого рода и связаны с существованием как самой ме-тастабильной фазы, так и равновесного критического зародыша. Соответствующая теория была развита в работах [1], [2] и подробно изложена в обзоре [3]. В то же самое время, теоретические представления о кинетике фазовых переходов второго рода, где оба эти факта не имеют места, развиты мало. В работе И.М. Лифшица [4] предложена некоторая специальная модель возникновения упорядоченной фазы после быстрой стадии фазового перехода в "ближнем" порядке при наличии только двух типов упорядочения.

В последнее время возник интерес к проблеме фазового перехода при быстром изменении внешних параметров в связи с задачей о "Большом Взрыве", когда быстро расширяющаяся Вселенная должна охлаждаться и может пройти через серию фазовых превращений с изменением симметрии физических полей [5], а также в связи с попытками смоделировать космологические процессы в конденсированных средах [6].

В работах Зурека, подробно изложенных в обзоре [7], была развита теория фазового перехода второго рода при быстром изменении температуры в жидком 4Не. Основным в предложенном механизме является предположение о "критическом замедлении" всех процессов в окрестности температуры перехода, и "быстром" возникновении очагов новой фазы при достаточном последующем охлаждении.

Экспериментально, однако, никаких задержек в образовании новой фазы неизвестно, а критическое замедление связано с длительностью процесса установления равновесия на макроскопических расстояниях, что является несущественным при неоднородном процессе образования новой фазы.

Интерес к проблеме фазовых переходов второго рода обусловлен также проводимыми в последнее время экспериментами по конденсации бозе газа атомов щелочных металлов в магнитных ловушках [8-10] и конденсации газа экситонов в твердых телах [11, 12]. Поэтому изучение фазовых переходов на системах, в которых происходит образование бозе конденсата, интересно как для описания таких экспериментов, так и в качестве иллюстрации основных особенностей, свойственных переходам второго рода.

На практике почти всегда конденсация происходит при неравновесных начальных условиях, и поэтому интересно изучить влияние неравновесности на динамику фазового перехода. Образование бозе конденсата в слабонеидеальном бозе газе при неравновесных условиях рассматривалось Ю. Каганом с соавторами в работах [13-15]. В этих работах изучалась ситуация, когда газ находился в сильно неравновесном начальном состоянии, в котором отсутствовал конденсат, однако полная энергия газа была ниже равновесной энергии этого газа при критической температуре, так что конденсация наступала в процессе установления термодинамического равновесия. Рассмотрение проводилось в рамках анализа кинетического уравнения для бозе-газа, где в качестве начальной функции распределения бралась упомянутая выше неравновесная функция и изучалась ее релаксация к равновесному состоянию с той же энергией, в котором должен существовать бозе-конденсат. В этих работах изучалась также и квантово-полевая эволюция бозе-газа, как эволюция его матрицы плотности, выраженной через бозевские когерентные состояния. Однако, в работах [13-15] рассматривалась только замкнутая неравновесная система, не взаимодействующая с термостатом, а равновесие в ней наступало в результате внутреннего уравновешения ее подсистем друг с другом. Кроме того, в этих работах не изучалось влияние тепловых флуктуаций и пространственных неоднородностей на динамику образования конденсата.

Важной задачей, поэтому, является изучение влияния постоянного внешнего воздействия на бозе-систему, в которой происходит образование бозе-конденсата, как например, внешнее охлаждение газа до температур ниже критической. Изучению такого влияния на примере бозе-газа экситонов, находящихся в полупроводнике и охлаждающихся путем излучения фононов в решетку посвящены первые две главы диссертации. Как оказывается, при таком внешнем воздействии существенную роль начинают играть термодинамические флуктуации в бозе-системе, что приводит к образованию неоднородных зародышей сверхтекучей фазы еще до момента, когда средняя температура системы опустится ниже критической. В известной мере ситуация напоминает механизм фазового перехода первого рода, когда новая фаза может образовываться в метастабильных зародышах, которые затем могут за счет термодинамической флуктуации вырасти до критического объема, после чего новая фаза начинает развиваться, будучи энергетически более выгодной. В нашем случае, однако, возможность образования разрастающегося зародыша новой фазы связана непосредственно с наличием внешнего охлаждения - в результате флуктуации происходит локальное увеличение плотности бозе-частиц, сопровождающееся усилением фо-нонной эмиссии в этой области. Никакого энергетического барьера между до-критической и закритической областями в нашем случае не имеется, а разделение докритической и закритической областей напрямую зависит от неравновесного внешнего воздействия. Предложенный механизм позволяет глубже понять спектр явлений, происходящих в процессе формирования бозе-конден-сата в системах, находящихся под внешним воздействием, как обычно и бывает в экспериментах. Так, охлаждение бозе-атомов в ловушках часто производится под воздействием тормозящего тепловое движение частиц лазерного поля, а охлаждение экситонов, возбужденных лазером в сильно охлажденном полупроводнике может происходить непосредственно согласно предлагаемому нами сценарию. Трехмерные экситоны, однако, достаточно нестабильны и быстро ре-комбинируют, поэтому получить экспериментально бозе-конденсацию для трехмерных экситонов пока не удалось, а основные эксперименты проводились в двумерном случае. В диссертации показывается, как результаты, полученные для трехмерного случая, можно обобщить на двумерные системы.

При изучении кинетики неравновесного состояния под влиянием тепловых флуктуаций не учитывалась конечность времени жизни бозе-частиц (так, например, экситоны в твердом теле со временем распадаются в следствие аннигиляции составляющих их электронов и дырок) и в системе отсутствовали источники частиц и энергии. Конечность времени жизни бозе-частиц не играет ключевой роли в процессе формирования критических зародышей новой фазы, описанных в первых двух главах, если это время (как и предполагалось при выводе) достаточно велико. Его учет только несколько перенормирует входящие в ответ параметры и потому, чтобы не загромождать вычисления и сделать физическую картину явления более прозрачной время жизни бозе-честиц полагалось в этих главах бесконечным. В то же время, при наличии источников и стоков энергии и массы, неустойчивость, связанная повышением сжимаемости бозе-газа при приближении к критической температуре может проявляться при образовании неравновесного стационарного состояния в слабонеидеальном бозе-газе. Исследованию такого влияния посвящена третья глава диссертации. Актуальность производимого в ней исследования проявляется еще и в связи с тем, что в последнее время также вообще возрос интерес к бозе-системам в которых имеются как стоки, так и источники энергии и массы. Причиной этому полужили работы Тимофеева, Гобунова и Ларионова [16-19], в которых докладывались результаты экспериментов по бозе-конденсации бозе-газа непрямых экситонов в двумерных гетероструктурах. В этих экспериментах двумерный образец GaAs/AlGaAs подвергался облучению лазерным полем, которое возбуждало непрямые экситоны, являющиеся бозе-частицами. Частицы имели конечное время жизни, и температуру в несколько раз превышающую температуру самой гетероструктуры. В результате устанавливался баланс между потоками энергии (нагрев экситонного газа лазерным полем и теплоотдача в решетку гетероструктуры) и массы (возбуждение лазерным полем и естественная аннигиляция экситонов) и возникало стационарное, но неравновесное состояние бозе-газа. Экспериментально наблюдалось не непосредственно распределение температуры и плотности бозе-газа, а люминисцентное излучение, возникающее в результате аннигиляции экситонов. Неожиданным результатом работ [16-19] явилось то, что пространственное рапределение интенсивности люминисцент-ного излучения оказалось сильно неоднородным, представляя собой периодические максимумы и минимумы интенсивности. В настоящее время пока нет общепризнанного теоретического объяснения данного явления. Так, в работе [20] указывалось, что пространственно неоднородный характер люменисценции в подобных системах может быть связан с образованием вихревой структуры в сверхтекучем бозе-газе. Такого же взгляда, по-видимому, придерживаются и сами авторы экспериментов [16-19], однако остается не выясненным вопрос о причинах возникновения вихрей в системе. Другого мнения придерживаются авторы работ [21, 22], которые считают, что наблюдаемые структуры возникают в результате обменного притяжения между экситонами, возникающего в результате взаимодействия электрона одного из экситонов с дыркой другого и наоборот, а максимумы и минимумы люменисценции соответствуют максимумам и минимумам плотности экситонного газа. С этим взаимодействием конкурирует диполь-дипольное отталкивание экситонов - и механизм подобного рода может иметь место только для достаточно тонких гетероструктур и при достаточно больших плотностях экситонного газа. При этом механизм, предложенный в [21, 22] никак не учитывает бозе-природу экситонного газа и связан исключительно с видом взаимодействия частиц. В третьей главе диссертации рассматривается механизм неустойчивости однородного состояния слабонеиде-ального бозе-газа и возможности формирования в нем структур неоднородной плотности, в котором бозе-природа газа и его близость к критической температуре, напротив, играют ключевую роль. При этом показывается, что в бозесистемах, которые могут быть описаны в рамках модели слабонеидеального газа, в условиях, сходных с описанными в [16-19], состояние с пространственно однородной плотностью и температурой неустойчиво в некоторой области Фурье-пространства. Важную роль при этом играет увеличение сжимаемости слабонеидеального бозе-газа вблизи сверху и ниже критической температуры. При этом при температурах ниже критической неустойчивость развивается в модах, соответствующих второму звуку.

Структура диссертации такова: в первой главе изучается влияние внешнего охлаждения на кинетику перехода бозе-газа в сверхтекучее состояние. В первой части главы предлагается для изучения модель слабовзаимодействующих бозе-частиц, с температурой несколько выше критической, помещенных в матрицу твердого тела, охлажденного до более низких температур. Для описания флук-туаций температуры вводится уравнение теплопроводности бозе-газа, снабженное дополнительным членом, учитывающим усиление охлаждения в области, где происходит сильное увеличение плотности (которое, как показывается -связано с изменением температуры). Кроме того, в это уравнение добавлены члены, описывающие случайные тепловые потоки, что приводит к описанию флуктуации в рамках гидродинамической теории флуктуаций. Выписывается уравнение Фоккера-Планка для вероятности реализации критической конфигурации поля температуры в такой системе.

Во второй части главы рассматривается для иллюстрации модельный случай, когда система описывается единственной скалярной величиной, а не полем (как в случае поля температур), для иллюстрации основных особенностей систем с внешним охлаждением. Показано, как полученные результаты обобщаются на случай векторной и полевой переменных.

В третьей части главы строится решение уравнения Фоккера-Планка в вариационных производных из первой части главы с точностью до безразмерной константы. Обсуждаются численные методы вычисления этой константы.

В четвертой части главы показывается, как предыдущие результаты, полученные для случая трех пространственных переменных, обобщаются на двумерный случай.

Во второй главе приводится более упрощенная модель, в которой одна из предложенный численных схем вычисления безразмерной константы становится просто реализуемой. Производятся вычисления констант в трехмерном и двумерном случаях. Подробности вычислений вынесены в Приложение А.

В третьей главе изучается устойчивость слабонеидеального бозе газа при внешней подкачке массы и энергии и конечном времени жизни составляющих его частиц, показывается, что неустойчивость имеет место в широкой области Фурье-пространства для изменений плотности и температуры.

В первом разделе главы описывается поведение бозе-газа в рамках гидродинамических уравнений в трехмерном случае, в непосредственной близости от критической температуры. Показывается, что неустойчивость однородного решения имеет место в полосе векторов Фурье-пребразования при выполнении ряда естественных для системы критериев.

Во втором разделе главы рассматривается аналогичная модель для слабонеидеального бозе-газа в двух измерениях. Основные эксперименты, в которых наблюдались неоднородные структуры производились над двумерным бозе-газом непрямых экситонов, что связано с их большей стабильностью. Для двумерного бозе-газа используется модель, аналогичная предложенной в четвертом разделе первой главы. При этом показано, что неустойчивость будет иметь место при \к\ < |&о| как и в первом разделе главы, но при этом ко определяется не отношением длины рассеяния частиц к среднему межатомному расстоянию, которое являлось малым параметром в первом разделе этой главы, а двойным логарифмом обратной величины этого отношения, который, как и в четвертом разделе первой главы, предполагается малым параметром для двумерной системы.

В третьем разделе третьей главы производится учет сверхтекучести, считая, что параметры нагрева подобраны так, что однородная стационарная температура То находится достаточно ниже критической Тс (оставаясь все еще близкой к критической). В этом случае показано, что описываемая неустойчивоть проявляется в спектре второго звука. При этом неустойчивость имеет место при \к\ < \ко\, где к0 - имеет тот же вид (с учетом выбранного предела для вязкости и времени жизни частиц), что и без учета сверхтекучести. Различие состоит лишь в том, что теперь Л не является чисто действительной вблизи ко, а содержит соответствующую второму звуку колебательную часть. Таким образом, наличие сверхтекучести не меняет ни главного вывода о наличии неустойчивости вблизи однородного состояния для к меньших некоторого ко, ни само выражение для ко.

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Заключение

В работе были получены следующие результаты:

1. Предложен новый сценарий перехода бозе газа при внешнем охлаждении в сверхтекучее состояние посредством гидродинамических флуктуаций температуры и плотности в трехмерном случае. Получено выражение для вероятности таких флуктуаций и вычислено число таких флуктуаций, образующихся в единицу времени в единице объема.

2. Получены уравнения, описывающие развитие критической флуктуации во времени и в предельном случае слабых флуктуаций предложена численная схема для их анализа.

3. Предложенный сценарий для трехмерного бозе газа обобщен на случай двумерного, в котором нет истинного бозе конденсата, но существует БКТ переход в сверхтекучее состояние. Численная схема модифицирована для двумерного случая.

4. Показана неустойчивость однородного состояния слабонеидеального бозе-газа вблизи критической температуры с источниками массы и энергии и наличии внешнего охлаждения по отношению к формированию структур с неоднородной в пространстве плотностью.

1. Becker R., Doering W. // Annalen der Physik- 1935.- no. 24,- P. 719.

2. Зельдович Я. /J ЖЭТФ. 1942. - T. 112. - C. 525.

3. Langer J. // Ann. of Physics. 1962. - Vol. 54. - P. 258.

4. Лифшиц И. // ЖЭТФ,- 1962,- T. 42,- C. 1354.

5. Зельдович Я., Кобзарев И., Окунь Л. // ЖЭТФ. 1974. - Т. 67. - С. 3.

6. Kibble Т. // J.Phys. А. 1976. - Vol. 9. - Р. 1387.

7. Zurek W. // Phys. Rep. 1996. - Vol. 276. - P. 177.

8. Anderson M., et. al // Science. 1995. - Vol. 269.- P. 198.

9. Bradley C., et. al // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75.-P. 1687.

10. Davis K., et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75. - P. 3969.

11. Larionov L., et. al. // JETP Letters. 2002. - Vol. 75. - P. 570.

12. Butov L., Filin A. 11 Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 58,- P. 1980.

13. Kagan Y., Svistunov В., Shlyapnikov G. // Sov. Phys. JETP.- 1992.-Vol. 75. P. 387.

14. Kagan Y., Svistunov B. // Sov. Phys. JETP. 1998. - Vol. 78. - P. 187.

15. Kagan Y. Bose Einstein Condensation. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998.- (ed. by A. Grifin, D.W. Snoke, and S. Stringari).

16. Gorbunov A., Timofeev V. // JETP Lett. 2006. - Vol. 83. - P. 146.

17. Gorbunov A., Timofeev V. // JETP Lett. 2006. - Vol. 84. - P. 329.72

18. Gorbunov A., Timofeev V. // J. Appl. Phys. 2007. - Vol. 101. - P. 081708.

19. Горбунов А., Ларионов А., Тимофеев В. // Письма в ЖЭТФ.— 2006.— Т. 86. С. 48-53.

20. Keeling J., Levitov L., Littlewood P. // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 92. -P. 176402.

21. Сугаков В., Чернюк A. // Письма в ЖЭТФ. 2007. - Т. 85. - С. 699-704.

22. Chernyuk A., Sugakov V. J J Phys. Rev. В. 2006. - Vol. 74. - P. 085303.

23. Henry H., Levine H. // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 68. - P. 031914.

24. Marder M. // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 3442.

25. Chernykh A., Stepanov M. // Phys. Rev. E. — 2001.— Vol. 64.- P. 026306.

26. Ландау ЛЛифшиц E. Статистическая физика. — Москва: Физматлит, 1995.-Т. 5.

27. Лифшиц Е., Питаевский Л. Статистическая физика. — Москва: Физматлит, 2002. Т. 9.

28. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика. — Москва: Физматлит, 2001.

29. Martin РSiggia Е., Rose Н. // Phys. Rev. А1973. Vol. 8. - P. 423.

30. Kamenev A. // cond-mat/. 2005. - Vol. 0412296. - Pp. 1-71.

31. Freire J., Arovas D., Levine H. // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79. - P. 5054.

32. Лифшиц E., Питаевский Л. Статистическая физика,— Москва: Наука, 1979. Т. 10.

33. Iordanskiy S., Kashuba A. // JETP Letters. 2001. - Vol. 73. - P. 542.

34. Ketterle W., van Druten N. // Phys. Rev. A. — 1996. — Vol. 54.- P. 656.

35. Sonin E. // Sov. Phys. JETP. 1969. - Vol. 29. - P. 520.

36. Popov V. Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics. — Dordrecht: Reidel, 1983.

37. Berezinskii V. // Sov. Phys. JETP. 1971. - Vol. 32,- P. 493.

38. Berezinskii V. // Sov. Phys. JETP. 1972. - Vol. 34. - P. 610.

39. Kosterlitz J., Thouless D. // J. Phys. C. 1973. - Vol. 6. - P. 1181.

40. Kosterlitz J. 11 J. Phys. C. 1974. - Vol. 7. - P. 1046.

41. Fisher L., Hohenberg P. // Phys. Rev. B. 1988. - Vol. 37.- P. 4936.

42. Ландау JI., Лифшиц E. Гидродинамика. — Москва: Наука, 1986. — Т. 6.

43. Халатников И. Введение в теорию сверхтекучести. — Москва: Физматлит, 1965.

44. О7Нага К., Wolfe J. // Phys. Rev. В. 2000. - Vol. 62. - P. 12909.