Исследование транспорта электронов через сверхпроводящую наночастицу тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Смолянкина Ольга Юрьевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ ЧЕРЕЗ СВЕРХПРОВОДЯЩУЮ НАНОЧАСТИЦУ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- з ДЕК 2009

Омск-2009

003486983

Работа выполнена на кафедре общей физики ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Югай Климентий Николаевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Боярский Леонид Александрович; кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Боголюбов Никита Александрович.

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Уральский государственный

университет им. A.M. Горького».

Защита состоится 16 декабря 2009 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.179.04 при ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского» по адресу: Россия, 644077, г. Омск, ул. Нефтезаводская 11, 4-корпус ОмГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского» Автореферат разослан «\\ » ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.179.04, кандидат физико-математических наук, доцент Г.А. Вершинин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время широкий интерес исследователей в области сверхпроводимости вызывают низкоразмерные сверхпроводящие структуры. Это связано с тем, что в них были обнаружены свойства, не характерные для макроскопических образцов. Наибольший интерес представляет то, что низкоразмерные структуры обладают лучшими сверхпроводящими параметрами, чем объёмные системы [1]: большими температурами перехода в сверхпроводящее состояние [2, 3], большей по величине щели в спектре возбуждений [4-6]. Со времён открытия явления сверхпроводимости экспериментаторы стремятся достичь таких параметров сверхпроводящих структур, которые позволили бы использовать это явление не только для фундаментальных исследований свойств материалов, но и в промышленных целях, что требует высоких температур сверхпроводящего перехода. К сожалению, несмотря на успехи в области высокотемпературной сверхпроводимости, поставленная цель по-прежнему остаётся недостигнутой.

Стимул к поискам дало исследование сверхпроводящих свойств тонких плёнок. Было обнаружено, что они обладают большими критическими температурами, чем объёмные образцы из тех же материалов [7]. Новый этап в исследовании свойств низкоразмерных сверхпроводящих систем начался с созданием первых одноэлектронных устройств, состоящих из заключённого между сверхпроводящими металлическими электродами центрального островка, в качестве которого использовались сверхпроводящие металлические частицы размером порядка единиц и десятков нанометров [4]. Такие устройства позволили обнаружить преимущества сверхпроводящих наночастиц по сравнению в объёмными образцами и тонкими плёнками.

С введением в эти устройства управляющего электрода, связанного ёмкостным образом с исследуемой наночасгицей, то есть с созданием одноэлектронного транзистора, появилась возможность контролировать параметры системы и исследовать предсказанные для сверхпроводящих наночастиц эффекты чётности [5].

Помимо практической пользы исследование сверхпроводящих свойств наночастиц имеет безусловную важность для понимания природы сверхпроводимости. Во-первых, эти исследования поднимают один из важнейших вопросов о предельном размере частиц, в которых ещё может возникать сверхпроводящее состояние [8]. При постепенном переходе от одноэлектронных устройств на основе микро- и наночастиц к молекулярным устройствам [9, 10] этот вопрос становится крайне актуален. Во-вторых, эффекты, свидетельствующие о возникновении сверхпроводящего состояния, были экспериментально обнаружены в частицах, размер которых много меньше глубины проникновения магнитного поля в вещество и длины когерентности объёмного сверхпроводника [11]. Таким образом, возникает необходимость переоценки величи-

ны, имеющей в микроскопической теории Бардина-Купера-Шриффера физический смысл размера куперовской пары.

На данный момент существует множество экспериментальных исследований низкоразмерных сверхпроводящих систем, накоплен соответствующий объём данных, который позволяет выявить основные особенности сверхпроводящего состояния в нано-частицах по отношению к объёмным сверхпроводникам. Но до сих пор не существует единого представления о природе этих особенностей. Как правило, авторы теоретических работ концентрируют своё внимание исключительно на малых размерах исследуемых систем и связанных с этим эффектах, таких как дискретность электронного спектра и проявление индивидуальных свойств электронов. При этом без внимания остаётся особая роль поверхности, которая также определяет свойства наноразмерных систем [12], способствуя возникновению новых состояний в запрещённой области объёмного сверхпроводника.

Цель работы

Целью настоящей работы является установление общих закономерностей влияния поверхностных электронных состояний на сверхпроводящие и транспортные свойства наночастицы и обоснование необходимости учёта поверхностных состояний при расчёте этих свойств.

Были поставлены следующие задачи:

1. На примере модели одномерной наночастицы сравнить плотность объёмных и поверхностных электронных состояний в низкоразмерной системе.

2. Определить вклад поверхностных состояний в сверхпроводящие свойства наночастицы: параметр спаривания и энергию основного состояния.

3. Определить вклад поверхностных состояний в туннельный ток через сверхпроводящую наночастицу, используемую в качестве центрального островка в одноэлектрон-ном транзисторе.

Научная новизна результатов

Научная новизна результатов состоит в том, что автором впервые:

1. В рамках теории Бардина-Купера-Шриффера получены наиболее общие аналитические выражения, определяющие величину энергетической щели спектра элементарных возбуждений (параметр спаривания) наночастицы, энергию основного состояния наночастицы и минимальную потенциальную энергию наночастицы.

2. Показано, что увеличение параметра спаривания в низкоразмерном сверхпроводнике по сравнению с его величиной в макроскопическом сверхпроводнике можно объяснить учётом поверхностных состояний.

3. Показано, что при учёте поверхностных электронных состояний минимальная потенциальная энергия сверхпроводящей наночастицы по модулю превышает минималь-

ную потенциальную энергию, рассчитанную без учёта поверхностных состояний. Величина разницы между этими значениями определяется веществом частицы. 4. Получены аналитические выражения для объёмной и поверхностной составляющей туннельного тока через сверхпроводящую наночастицу, заключённую между сверхпроводящими и нормальными электродами.

Научная и практическая значимость работы

Введение поверхностных состояний в описание сверхпроводящих и транспортных свойств низкоразмерных сверхпроводников позволяет объяснить характер туннельного спектра исследуемых систем, а также экспериментально обнаруженные особенности сверхпроводящих свойств нзночастиц. Эти особенности крайне важны для синтеза наноразмерных сверхпроводников с новыми заданными параметрами, а также для изучения свойств наночастиц.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Экспериментально наблюдаемое увеличение щели в спектре элементарных возбуждений сверхпроводящих наночастиц можно объяснить, учитывая вклад поверхностных электронных состояний в параметр спаривания.

2. Минимальная потенциальная энергия сверхпроводящей наночастицы, рассчитанная с учётом поверхностных электронных состояний, по модулю превышает минимальную потенциальную энергию, рассчитанную без учёта поверхностного вклада.

3. Введение в сверхпроводящую наночастицу одного неспаренного электрона не только увеличивает энергию её основного состояния, но и добавляет в спектр элементарных возбуждений системы дополнительные уровни, скрывающие щель.

4. При включении сверхпроводящей наночастицы в цепь электрического тока в случае нормальных электродов в системе происходит только одноэлектронное туннелиро-вание через объёмные и поверхностные электронные состояния наночастицы. В случае сверхпроводящих электродов в системе присутствует ток как нормальных электронов, так и куперовских пар.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на X и XIII Международных симпозиумах «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 13-17 марта 2006г. и 16-20 марта 2009г.); XXI Международном симпозиуме «Современная химическая физика» и II Молодёжной конференции «Фи-зикохимия нанокластеров, наноструктур и наноматериалов» (Туапсе, 25 сентября - 6 октября 2009г.), а также на III, VI и VII Сибирских семинарах по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО (Омск, 20-21 сентября 2005г. и 16-17 сентября 2008г.; Новосибирск, 16-17 сентября 2009г.).

Публикации

Всего по теме диссертации автором опубликовано 6 научных работ, список которых приведён на стр.20.

Личный вклад соискателя

Смолянкина О.Ю. участвовала во всех этапах научно-исследовательской работы по теме диссертации: в постановке и решении задач исследования, проведении аналитических расчётов, анализе и обсуждении полученных результатов, а также в подготовке и написании научных статей.

Структура н объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Объём диссертации составляет 102 страницы машинописного текста, в том числе 12 рисунков и список цитируемой литературы из 104 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, указано состояние исследуемой проблемы на сегодняшний день, сформулированы цель и задачи научно-исследовательской работы, приведена структура диссертации и данные по апробации работы, а также сформулированы основные положения, выносимы на защиту.

Первая и вторая глава являются обзорными.

В первой главе излагается суть экспериментальных исследований, в которых были обнаружены сверхпроводящие свойства наноразмерных частиц. Приведено описание экспериментов, а также схемы устройств, используемых для исследования сверхпроводящих и транспортных свойств наночастиц: простого двухбарьерного туннельного устройства и одноэлектронного транзистора, - в которых в качестве центрального островка используются металлические наночастицы. Изложены известные экспериментальные результаты, опубликованные на данный момент, приведена их интерпретация, принятая в научном сообществе.

Во второй главе описаны основные особенности сверхпроводящих наночастиц. Рассматриваются их термодинамические свойства: теплоёмкость и спиновая восприимчивость, - которые, так же как и туннельные спектры, могут служить чувствительным индикатором наличия сверхпроводящих корреляций в наночастицах, а, кроме того, демонстрируют эффекты чётности. Обсуждаются особенности спектров сверхпроводящих наночастиц, в частности, сверхпроводящая щель, которая в случае ограниченных размеров системы превышает по величине объёмную сверхпроводящую щель, что, наряду с повышенной критической температурой сверхпроводящего перехода, является важной особенностью для практического применения сверхпроводящих нано-

частиц. Обсуждаются различные методы качественной и количественной оценки величины щели.

В третьей главе показано, что при наличии поверхностного возмущения в нано-частице возникают дополнительные электронные состояния, вклад от которых необходимо учитывать при расчёте транспортных и сверхпроводящих свойств наночастиц. В главе впервые исследовано влияния поверхностных электронных состояний на сверхпроводящие свойства свободной наночастицы. При уменьшении размеров образца возрастает доля его поверхностных атомов, а, следовательно, возрастает плотность поверхностных электронных состояний[13-16], которые могут участвовать в сверхпроводящем спаривании. Известно, что эти состояния дают вклад в магнитные свойства наночастиц [12], вклад в сверхпроводящие свойства ранее исследован не был [11].

Рассмотрим поверхностных состояний типа Шоккли [17] в одномерной модели свободной наночастицы с использованием метода кристаллических орбиталей в приближении Хюккеля сильной связи. Полный гамильтониан системы:

Н = Н0 + У, (1)

где Я - возмущённый гамильтониан свободной наночастицы, Н0 - невозмущённый гамильтониан бесконечной периодической цепочки атомов в приближении сильной связи без учёта перекрытия соседних атомных орбиталей, V — оператор слабого возмущения, обусловленного поверхностью, матричный элемент оператора возмущения:

К™ = + ия8те5пе , (2)

где индексами 5 и е обозначены первый и последний атомы цепочки, индексы тип соответствуют узлам цепочки. Таким образом, возмущение локализовано у крайних атомов наночастицы, что является следствием применения приближения Хюккеля.

В формализме возмущённой температурной функции Грина

г»гп 1 - (£) СЗ)

где г\ - пренебрежимо малая положительная постоянная, Е — энергия системы, Я -полный гамильтониан (1) системы с возмущением, получена плотность электронных состояний наночастицы:

П(Е) = П0(Е) + П1иг/(Е), (4)

где

п0(Я) = --1пигС£(Я) (5)

тг

— плотность состояний бесконечной атомной цепочки без возмущения, а

— плотность поверхностных электронных состояний. Здесь

= + = ® + СЮ - (?)

=-jpzihi®;c£)+• (8)

Существенно, что в (4) удалось выделить слагаемое, содержащее объёмные состояния невозмущённой бесконечной атомной цепочки, и слагаемое, содержащее поверхностные состояния, возникающие в запрещённой зоне макроскопического твёрдого тела. Благодаря этому возможно различать вклады, вносимые поверхностью в физические свойства твёрдых тел, такие как, например, протекание тока и образование сверхпроводящих парных корреляций.

Выражение (6) отвечает за наличие поверхностных электронных состояний в системе. При равенстве его нулю система имеет только объёмные состояния (случай бесконечной атомной цепочки). Пусть совокупность {Ек} образует спектр всех, как объёмных, так и поверхностных, электронных состояний возмущённого гамильтониана (1). Обнаружено, что (6) имеет ненулевое значение, когда:

• Е < min{Ек}, Е > тах{Ек) (Условие 1);

• miniFfc} < Е < шах{Ек} (Условие 2).

Условие 1 свидетельствует о том, что в запрещённой области спектра наночасти-цы возникают новые состояния, плотность которых равна

©'(Я) ©'(£)

где Es(Ee) - соответственно, энергия состояния, локализованного на первом (последнем) атоме одномерной частицы.

Результат (9) получен для случая, когда наночастица имеет разные сорта граничных атомов, для цепочки, состоящей из атомов одного сорта (9) преобразуется в

п(Е Ч (Ек)) = п0(Е) + 4S(E - E*urt), (Ю)

где Ес — Es = Esurf.

Условие 2 свидетельствует о том, что некоторые из поверхностных состояний наночастицы могут быть локализованы на граничных узлах атомной цепочки, некоторые же локализуются в объёме. Плотность электронных состояний цепочки, ограниченной атомами разных сортов, в этом случае равна

п(Е е {Ек}) « п0(Е) + —((£■ — Е1)2 + Г2)-1 + -((£- Ел? + Г2)"1, (11)

7Г 7Г

„ тгпп(Я) ..

где Г = -—, N -число атомов в цепочке.

N Re © (Е)

Если наночастица имеет граничные атомы одного сорта, плотность поверхностных состояний атомной цепочки равна

г — raei Sur/ - NRe <s(Ey

Таким образом, показано, что наличие поверхности приводит к возникновению новых, не характерных для макроскопического образца (которым в данном случае яв-

ляется бесконечная одномерная атомная цепочка), состояний, в которые могут захватываться свободные электроны. Поверхностные электронные состояния играют определяющую роль в свойствах наноразмерной системы, поскольку их плотность в такой системе существенно превышает плотность объёмных электронных состояний [13, 15].

Рассмотрим модель свободной трёхмерной наночастицы произвольной формы в рамках подхода Бардина-Купера-Шриффера (БКШ). В исследуемой модели выделим два вида электронных состояний: объёмные и поверхностные. Это предусматривает следующие сценарии образования куперовских пар (см. Рис. 1):

(1) взаимодействуют два электрона из объёма (индексы «ЬЬ» во всех последующих формулах);

(2) электроны в объёмных и поверхностных состояниях взаимодействуют друг с другом (индексы «йя»);

(3) взаимодействуют два электрона, локализованных на поверхности (индексы «и»).

В последнем случае взаимодействие происходит посредством фонона, передаваемого не по поверхности наночастицы, а через её объём, так как на поверхности фактически не существует периодической структуры, поэтому происходит рассеяние электронов либо захват их в поверхностные состояния.

Сверхпроводимость в наночастице может существовать, начиная с некоторого характерного размера, которым в теории сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау является длина когерентности { (размер куперовской пары) [18]. В зависимости от соотношения между длиной когерентности и диаметром наночастицы d возможны следующие варианты:

a. при й « ^ сверхпроводящее состояние не возникает, поскольку образование куперовских пар невозможно,

b. при увеличении размера наночастицы до й « ^ в процесс формирования сверхпроводящего состояния вступают электроны, локализованные в поверхностных состояниях, имеет место третий сценарий образования куперовских пар,

c. при й ^ £ в формировании сверхпроводимости начинают участвовать также и электроны в объёмных состояниях, имеют место все возможные сценарии образования куперовских пар

(1. в макроскопическом пределе, когда й » (, вклады от второго и третьего сценариев образования куперовских пар становятся пренебрежимо малы ввиду малой

(I)

(2)

(3)

Рис. 1. Сценарии образования куперовских пар.

доли поверхностных атомов по сравнению с объёмными, и в формировании сверхпроводимости участвуют только электроны в объёмных состояниях.

Возникает естественный вопрос о физическом смысле параметра { в случае, если система имеет размеры много меньше, чем величина ( в объёмном образце. В настоящей диссертационной работе показано, что величина щели спектра сверхпроводящей наночастицы существенно превышает величину макроскопической сверхпроводящей щели, что свидетельствует об уменьшении { при уменьшении размера системы, таким образом, её физический смысл сохраняется.

Согласно результату, полученному выше для плотности состояний, в макроскопических системах сверхпроводимость формируется преимущественно электронами в объёмных состояниях, в низкоразмерных системах — электронами в поверхностных состояниях.

Эффективный гамильтониан БКШ свободной сверхпроводящей наночастицы:

Н = Т + У = Ть+Т, + У»+Уь, + У„. <13)

где Т — оператор кинетической энергии, равный сумме кинетических энергий электронов в объёме (индекс «Ь») и электронов на поверхности (индекс «я»), V - оператор потенциальной энергии, равный сумме вкладов от всех вышеуказанных сценариев взаимодействия электронов, индексы соответствуют сценарию.

Для определения энергии основного состояния свободной сверхпроводящей наночастицы гамильтониан (13) усредним по волновой функции основного состояния, в которой разделены объёмные и поверхностные электронных состояния:

Ф = ПФ*ьФ**' (14> кьк,

где

= Ыь + ^Х„»а-<сь-„)Ф0/сь . (15)

<4 = (щг + Рк1а£„а±кг_а)Фок,, (16)

Фокь и Ф0(.з - волновые функции вакуумных состояний с импульсами кь и к$, а коэффициенты щ и г>/£ связаны соотношением и\ + = 1, где — вероятность того, что пара состояний (к, —к) занята, а - спиновый индекс..

Взаимодействие осуществляется только между электронами с энергиями, находящимися в пределах энергии Дебая ±Лсо0 от ер. Данные пределы соответствуют минимальной частоте внешней силы, способной возбудить колебания в кристаллической решётке, то есть привести к образованию фонона, участвующего в образовании купе-ровской пары. Это накладывает ограничения на энергии взаимодействующих электронов. Опуская слагаемые, не удовлетворяющие условию нормировки волновой функции (14) (Ф|Ф) = 1 и дающие нулевой вклад в полную энергию системы, получим следующее выражение для гамильтониана:

н = ^ гкьа£ь„акьа + ^ Ека^а^ -кь к:

~УЬ ( £ К^-к^-кь-^ь" + £ ак,ьаа~к'ь-аа—кь-аакь" ) ~ (17)

\кькь кькь ]

2 а+кь.а-кь-аа-к^ак!а + 2 ак'1аа-к'!-аа—к!-оак!а . \кьк5 к,к, ) где а и а.кь{к!) а - соответственно, операторы рождения и уничтожения электро-

на с импульсом кь(к^ и спином <х. В первых двух слагаемых (17), отвечающих за кинетическую энергию, подразумевается суммирование по спинам а, ек = £~к — £е = к2/2те - средняя кинетическая энергия электрона с импульсом к, отсчитанная от уровня Ферми Ер, V/, (Уц) — матричные элементы оператора взаимодействия электронов, численно равные энергиям связи электронов в куперовских парах.

Согласно полученному выражению (17), взаимодействие может происходить только между электронами одного вида: объёмными либо поверхностными, то есть имеют место только два сценария образования куперовских пар: (1) и (3) на Рис. 1.

Полная энергия свободной сверхпроводящей наночастицы, находящейся в основном состоянии:

кь к,

(18)

-V» I ^ икь^ьЩ^кь + ^ икьУкЖУкь ) -\кькь к,кь )

-У, ( ^ ЩЩЩ^к, + 2 I.

\kfrks к5к5 )

Введём в (18) обозначения

= (19)

кь

До* = ^ V*;. (20)

к,

которые имеют смысл объёмного и поверхностного параметра спаривания, соответственно. Тогда минимальная потенциальная энергия свободной сверхпроводящей наночастицы:

Ерог + + (21)

то есть потенциальная энергия наноразмерного сверхпроводника определяется как объёмными, так и поверхностными электронными состояниями. Вклад каждого из видов состояний зависит от размера системы.

В макроскопическом пределе во взаимодействии участвуют электроны, находя-

щиеся в объёмных состояниях, спариванием поверхностных электронов можно пренебречь. Поэтому при любом значении постоянной взаимодействия ^ поверхностных электронов коллективный параметр их спаривания Д0з, определяемый выражением (21), - пренебрежимо малая величина. Тогда из (21) следует

Д2

= —¡^, (22) что соответствует выражению, получаемому в рамках модели БКШ для объёмной сверхпроводимости [18].

При переходе в (19) и (20) от суммирования по импульсам к интегрированию по энергиям екь и ек1 в пределах от 0 до ¡гш0 (в этих пределах может происходить обменное взаимодействие между электронами), получим:

&оь = . (23)

<24>

В макроскопическом пределе, когда вклад поверхностных состояний пренебрежимо мал, поверхностный коллективный параметр спаривания Д05 -> 0, а объёмный асимптотически стремится к

(25)

что соответствует коллективному параметру спаривания Д, рассчитанному в рамках теории БКШ для массивного сверхпроводника без учёта вклада поверхностных электронных состояний [19]. Таким образом, параметр йщ, в представленных в диссертационной работе расчётах определяет величину щели в спектре элементарных возбуждений макроскопического сверхпроводника. В спектре сверхпроводящей наночастицы плотности как объёмных, так и поверхностных состояний имеют ненулевое значение, поэтому имеют место оба параметра спаривания. Так как плотность поверхностных состояний п^/- (ЕР) в наночастице значительно превышает плотность объёмных электронных состояний и0(Яг) [13-16], то Д01 располагается в энергетическом пространстве выше Аоь, поэтому именно Д01 наблюдается экспериментально в спектре сверхпроводящих наночастиц.

Из экспериментов известно, что величина щели туннельного спектра макроскопического А1 равна 0.18 мэВ, в то время как для наночастицы А1 эта величина равна 0.38 мэВ [11], что подтверждает представленное в настоящей работе предположение о том, что в зависимости от доли поверхностных атомов в системе преобладает либо объёмный, либо поверхностный параметр спаривания.

Учитывая вклад поверхностных электронных состояний, найдём энергию основ-

ного состояния сверхпроводящей наночастицы ESC_N = Esc — EN, где Esc определяется выражением (18), a EN - энергия основного состояния нормальной наночастицы, электроны которой заполняют все уровни ниже энергии Ферми.

Esc-Ы = -+y)2 Ы^Уь + nsurfmvs), (26)

где п0(Ер) и nsurf (Ef) - соответственно, плотности объёмных и поверхностных электронных состояний вблизи энергии Ферми.

В макроскопическом пределе, когда вклад поверхностных состояний не учитывается, (26) асимптотически стремится к выражению

(27)

à2obno(EF)

2

известному в теории БКШ как энергия конденсации в основное состояние для массивного сверхпроводника без учёта вклада поверхности [19].

В пределе сверхпроводящей наночастицы, для которой возможно возникновение сверхпроводящего состояния благодаря спариванию только поверхностных электронов, энергия основного состояния равна

В = (28)

Согласно экспериментальным результатам [5], туннельные спектры сверхпроводящих металлических наночастиц демонстрируют эффекты чётности: при чётном числе электронов, локализованных в наночастице, в её туннельном спектре наблюдается значительная по величине щель, в случае нечётного числа электронов щель скрыта множеством туннельных пиков. Это происходит, поскольку уровни с единственным электроном не участвуют в рассеянии, описываемом гамильтонианом (13), так как, согласно принципу Паули, неспаренные электроны не рассеиваются на другие уровни и препятствуют переходу других пар на свой уровень (так называемый «эффект блокирования» [11]), поэтому в основном состоянии сверхпроводящей наночастицы в этом случае уже имеется, как минимум, одно квазичастичное возбуждение.

Эффективный гамильтониан БКШ основного состояния наночастицы с нечётным числом электронов:

Н = Т + У + Нех=Ть+Т, + Уьь+Уь,+Ц5 + Нех, (29)

где Нех - оператор энергии одного неспаренного электрона.

Усредняя (31) по волновой функции основного состояния

Ф = ПФ*»Ф*'Ф*"' (30)

кьк, где

Ф*е,=<,Ф0*„ (31)

- волновая функция неспаренного квазичастичного состояния, а Ф0кех - волновая функция вакуумного состояния кех, получаем полную энергию сверхпроводящей наночастицы

Е5С = 2 ^ £кУк„ + 2 2 + «%„ -

"ь к> (32)

которая отличается от (18) только на величину кинетической энергии неспаренно-го электрона.

Так как состояния спаренных поверхностных и объёмных электронов и одного неспаренного электрона независимы, наличие последнего не даёт вклада в коллективные параметры (19) и (20). Тем не менее, введение дополнительного неспаренного электрона существенно влияет на спектр системы описанным выше образом: в наноча-стице с чётным числом электронов первое возбуждённое состояние возникает при разрушении куперовской пары и отличается от основного состояния системы на величину энергии, равную 2Д0^, возбуждённые состояния системы с нечётным числом электронов соответствуют множеству состояний неспаренного электрона и незначительно отличаются от основного состояния, в котором уже присутствует одно квазичастичное возбуждение. Таким образом, в спектре наиоразмерного сверхпроводника с чётным числом электронов имеется щель, равная энергии, необходимой для разрыва связи между электронами в куперовской паре. В спектре низкоразмерного сверхпроводника с нечётным числом электронов в том промежутке энергий, который является запрещённым для «чётной» системы, можно обнаружить множество энергетических уровней, то есть наблюдать щель в спектре такой системы невозможно.

В четвёртой главе рассчитывается ток через сверхпроводящую наночастицу (см. Рис 2) с учётом поверхностных состояний. Исследуемая система представляет собой два электрода с заключённым между ними центральным островком, в качестве которого используется трёхмерная сверхпроводящая металлическая наночастица произвольной формы. Между электродами организована разность потенциалов V, благодаря которой осуществляется ток носителей. Центральный островок контактирует с берегами через изолирующий слой. Слой изолятора формирует два узких потенциальных барьера, сквозь которые электроны могут туннелировать от одного электрода к другому через дискретные состояния квазичастичного спектра наночастицы.

Примером такой системы могут служить устройства, описанные в [4-6, 11]. Спектр электронных состояний металлических электродов является квазинепрерывным, то есть левая и правая части системы (эмиттер и коллектор) представляют собой бесконечное Ферми-море. Спектр электронных состояний наночастицы дискретен ввиду её малого размера, таким образом, под действием разности потенциалов V в системе осуществляется одноэлектронное туннелирование через дискретные состояния наночастицы.

Рис. 2. Схематичное изображение распределения уровней в системе, состоящей из наночастицы (ИР) и двух электродов (Ь и Я), соединенных с наночастицей двумя туннельными контактами (Т] и Т2). V - разность потенциалов между контактами.

Ввиду малости размеров центрального островка существенную роль в формировании сверхпроводимости играют поверхностные состояния наночастицы. Поэтому дифференцируются составляющие туннельного тока через объёмные и поверхностные каналы туннелирования. Рассмотрены два случая, соответствующие известным экспериментальным ситуациям:

1. Сверхпроводящая наночастица заключена между сверхпроводящими электродами.

2. Сверхпроводящая наночастица заключена между нормальными электродами, в которых сверхпроводимость подавляется магнитным полем с особым образом подобранной конфигурацией.

В обоих случаях для сохранения сверхпроводящего состояния наночастицы необходимо выполнение условия её зарядовой нейтральности, т.е. некомпенсированный электрический заряд наночастицы

(2„ = 0. (33)

Таким образом, при туннелировании электрона из левого электрода (Ь) на центральный островок (ЫР) происходит одновременное туннелирование электрона с островка на правый электрод (Я). Экспериментально данное условие поддерживалось тем, что измерение туннельного спектра наночастицы происходит в пределах одной ступени «кулоновской лестницы» вольтамперной характеристики, то есть при неизменном числе электронов внутри наночастицы.

Полный гамильтониан системы, изображённой на Рис. 2:

Н = Н1 + Нк + НцР + Нп + НТ2 (34)

Здесь

Яг,=]Г£ра£ар (35)

ч'-ч ьч

— гамильтонианы левого и правого электродов, соответственно.

кь ^ (37)

+ 2_, ^кгкзкЛ^&кЛ, +и к!к2к3к^

— гамильтониан сверхпроводящего островка в форме БКШ, где к2, к3, /с4) = (Нь> к*)> кь и кя - объёмные и поверхностные электронные состояния наночастицы, соответственно, а - матричный элемент взаимодействия двух электронов при их переходе из состояний (к3, —а) и (/с4, <т) в состояния (ку, а) и (к2, —о).

и = Ес^х - = 0 (38)

— кулоновская энергия Ыех некомпенсированных зарядов островка при разности потенциалов V, приложенной между электродами.

НТ1 = ^(ткьглкьар + ЧЬР<4 ¿к„) + + Т^ра+ с1к,) (39)

кьР

И

ИТ2 = 2 ((Чк„с+акь + ГчкьЛ£ьсч) + + (40)

цкь чк,

— туннельные гамильтонианы левого и правого барьеров, соответственно.

ар(ар)> сч(сч) и - операторы рождения (уничтожения) электронов левого

электрода, правого электрода и наночастицы, соответственно.

Условия для возникновения одноэлектронного туннелирования через исследуемую систему:

a) величина разности потенциалов между электродами достаточная для того, чтобы при туннелировании электрона через левый барьер не происходило запирание перехода вследствие увеличения кулоновской энергии наночастицы;

b) наличие в одночастичном спектре центрального островка свободного состояния, через которое возможно туннелирование.

Несмотря на то, что особенности вольтамперной характеристики устройства зависят от параметров обоих барьеров, из-за запрета Паули определяющую роль в одно-электронном туннелировании играет левый барьер. Ток через него в представлении Гейзенберга:

¡ып = -2ё^(Ткьр^ьар - Пьра+<1кь) - • (41)

кьР к,р

Для нахождения среднего по времени туннельного тока необходимо усреднить

оператор /(Ш1 по состоянию, в котором химические потенциалы левого и правого электродов различаются на ёУ. Это состояние неравновесное, поэтому усреднение по нему нельзя производить с помощью обычной равновесной диаграммной техники, и чтобы перейти к эквивалентной задаче, в которой можно будет усреднять по равновесному состоянию, необходимо ввести калибровочное преобразование, включающее оператор эволюции [20]:

/¿ёу \ / ¿ёУ \

<2 = с* ех р t j, = ехр ^—— ^, а = а, а* = а+. (42)

Оно сдвигает энергии всех состояний внутри наночастицы и выравнивает химические

потенциалы левого электрода и островка. После преобразования туннельный ток имеет

две составляющие:

С (У. 0 = -2Ш1 £ (г^й+Л^' - ВД^е"^), (43)

кьР

'шп (V, 0 = -2Я ^ {Тк^йре-Г1 - Т^ра$с1ке ). (44)

к,р

Формально задача о вычислении туннельного тока через объёмные и поверхностные каналы туннелирования сведена к вычислению динамической восприимчивости системы или, иными словами, линейного отклика зависящих от времени операторов туннельного тока (43) и (44) на внешние переменные поля частотой ёУ/2. В рамках температурной техники Мацубары динамическая восприимчивость определятся посредством формулы Кубо [21] и равна для объёмной и поверхностной составляющей тока, соответственно

Р

Хьм№п) = У I Ткьр(Тгг^(т)ар(т) х

кьркьр -р (45)

Х (Г*ьР (0) - ЧьР ар' (°ЯЬ(0))> '

р

^(¡П„) = -ё1 У I Г^р(ГтЛ+(т)ар(т) х

к,рк,р -/? (46)

х (г^р-4+.(0)ар'(0) - Т^а;-Шк'(0)))е^Чт. Далее, используя формализм функций Грина, рассмотрим два случая:

1. Ток осуществляется через полностью сверхпроводящую систему.

2. Ток осуществляется через сверхпроводящую наночастицу, заключённую между нормальными металлическими электродами.

В первом случае обобщённые восприимчивости имеют как нормальную, так и аномальную составляющие:

ХмШп) = + 1&п,кь)Ра(.шт,у) +

«>т №

+с<г(1шт + тп,кь)Са([шт,р)}, (47)

+Са{1ь>т + 1Пп,кМшт,р)}, (48) где + ¿йп,к) и Са(шт,р) - нормальные мацубаровские функции Грина нано-

частицы и левого электрода, соответственно, а Рд(шт + Шп, к) и Еа(1о)т,р) - аномальные функции Грина. Таким образом, в рассматриваемом случае будут иметь место две составляющие туннельного тока: ток нормальных электронов и ток куперовских

пар.

Объёмная и поверхностная составляющие туннельного тока в этом случае, соответственно:

= / 1тСЦ(£+ёУ/2,кь) \тС,Ц(г,р)х

кьр -00

X (%(£) - Пр(Е) + ёУ/г)в.£ +

оо

/,00 = / 'т + ёУ/2,к,) 1ш р) х

(49)

к,р

х (пР(е) - пр(в) + ёК/2)йг +

(50)

где да (Зл) — туннельная плотность состояний левого электрода (наночастицы).

Во втором случае обобщённые восприимчивости имеют только нормальную составляющую:

дАО'Пп) = -гё/Т^^!7"^!2^^

,р| {С<гО'шт + Шп,к5)СаО'сот,р)}, (52)

то есть в этом случае имеет место только ток нормальных электронов через объёмные и поверхностные состояния наночастицы:

= / + ёУ/2,кь~) \mGaie.p) х

*СЬР -00 (53)

X (%(£) - П^Е + ъУ/г))й£ ,

СО

(г(Ю=—У|7»,„|2 ( 1тС®(е + ёУ/2,к;) 1тСа (е,р) х

Кр -4 (54)

х (пДе) - пг (е + ёУ/2))<*£ .

При уменьшении размера частицы более существенный вклад в транспорт дают поверхностные составляющие туннельного тока (50) и (54) благодаря тому, что плотность поверхностных состояний становится выше, следовательно, вероятность тунне-лирования через поверхность наночастицы больше, чем через объём. Таким образом, поверхность влияет на транспортные свойства сверхпроводящей наночастицы.

В заключении сформулированы основные результаты настоящей диссертационной работы.

Основные результаты и выводы

Основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе:

1. В рамках метода кристаллических орбиталей в приближении взаимодействия ближайших соседей на примере одномерной модели наночастицы показано, что наличие поверхности приводит к возникновению новых состояний, не свойственных объёмному образцу. Плотность поверхностных состояний в такой системе превышает плотность объёмных состояний.

2. В рамках теории Бардина-Купера-Шриффера исследовано влияние поверхности на сверхпроводящее состояние свободной наночастицы произвольной формы. Показано, что в спектре элементарных возбуждений сверхпроводящих наночастиц наблюдается щель, превышающая по величине щель в спектре объёмного сверхпроводника.

3. Определён вклад поверхностных электронных состояний в минимальную потенциальную энергию и энергию основного состояния сверхпроводящей наночастицы.

4. Показано, что введение в низкоразмерную сверхпроводящую систему одного не-спаренного электрона не только увеличивает энергию её основного состояния, но и влияет на энергетический спектр системы, добавляя в него возбуждённые уровни, скрывающие щель.

5. Используя метод туннельного гамильтониана в формализме температурных мацу-баровских функций Грина, исследован одноэлектронный транспорт через сверхпроводящую наночастицу, заключённую между нормальными и сверхпроводящими электродами. Показано, что в случае несверхпроводящих электродов через систему проходит только ток нормальных электронов. Напротив, в случае сверхпроводящих электродов в системе присутствует как ток нормальных электронов, так и ток куперовских пар.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи:

1. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Исследование поверхностных состояний наночастицы // Вестник Омского университета. - 2005. - № 3. - С. 10-12.

2. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Основное состояние сверхпроводящей наночастицы // Вестник Омского университета. - 2005. - № 3. - С. 16-18.

3. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Электронный транспорт через сверхпроводящую наночастицу с учётом поверхностных состояний // Вестник Новосибирского университета. Серия: Физика. - 2009. - Т.4. - № 1. - С. 62-67.

Тезисы докладов:

4. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Основное состояние сверхпроводящей наночастицы // Труды X Международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 13-17 марш 2006 г.). - Нижний Новгород: Изд-во ИФМ РАН. - 2006. - Т. 1. - С. 163-164.

5. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Поверхностные состояния наночастицы // Труды XIII Международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 16-20 марта 2009 г.). - Нижний Новгород: Изд-во ИФМ РАН. - 2009. - Т.2. - С. 545-546.

6. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Поверхностные состояния и их влияние на сверхпроводимость в наноразмерных системах // Труды XXI Международного симпозиума «Современная химическая физика» (Туапсе, 25 сентября -6 октября 2009 г.). -2009 г. - С. 271.

Список цитируемой литературы

1. Кресин В.З., Овчинников Ю.Н. Гигантское усиление сверхпроводящего спаривания в металлических нанокластерах // Успехи физических наук. - 2008. - Т. 178. - №5. -С.449-458.

2. Магомедов М.Н. О температуре сверхпроводящего перехода для нанокристаллов металлов // Физика твёрдого тела. - 2003. - Т.45. - №7. - С.1159-1163.

3. Kresin V.Z., Ovchinnikov Y.N. Shell structure and strengthening of superconducting pair correlation in nanoclusters // Phys. Rev. B. - 2006. - V.74. - No.2. - P.4514.

4. Ralph D.C., Black C.T., Tinkham M. Spectroscopic measurements of discrete electronic states in a single metal particles // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V.74. - No.16 - P.3241-3244

5. Ralph D.C., Black C.T., Tinkham M. Gate-voltage studies of discrete electronic states in aluminum nanoparticles // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V.78. - No.21 - P.4087-4090

6. von Delft J., Ralph D.C. Spectroscopy of discrete energy levels in ultrasmall metallic grains // cond-mat/0101019

7. Pettit R.B., Silcox J. Film structure and enhanced superconductivity in evaporated aluminum films // Phys. Rev. B. - 1976. - V.13. - No.7. - P.2865-2872.

8. Anderson P.W. Theory of dirty superconductors //J. Phys. Chem. Solids. - 1959. - V.ll. - No.l. - P.26-30.

9. Xue Y., Ratner M.A. Microscopic study of electrical transport through individual molecules with metallic contacts. I. Band lineup, voltage drop, and high-field transport // Phys. Rev. B. - 2003. - V.68. - No.l 1. - P.5406.

10. Jiang F., Zhou Y.X., Chen H., Note R., Mizuseki H., Kawazoe Y. Ab initio study of molecule transport characteristics based on nonequilibrium Green's function theory // Phys. Rev. B. - 2005. - V.72. - No.15. - P.5408.

11. von Delft J. Superconductivity in ultrasmall metallic grains // cond-mat/0101021

12. Арбузова Т.И., Наумов C.B., Самохвалов А.А., Гижевский Б.А., Арбузов В.JI., Шальнов К.В. Роль поверхностных состояний в магнитных свойствах нанокристалли-ческого СиО // Физика твёрдого тела. - 2001. - Т.43. - №5. - С.846-850.

13. Silkin V.M., Chulkov E.V., Echenique P.M. Surface and image-potential states on MgB2 (0001) surfaces //Phys. Rev. B. - 2001. - V.64. - No.17. - P.2512

14. Servedio V.D.P., Drechsler S.-L., Mishonov T. Surface states and their possible role in the superconductivity of MgB2 // Phys. Rev. B. - 2002. - V.66. - No.14. - P.0502

15. Kucheyev S.O., Baumann T.F., Sterne P.A., Wang Y.M., van Buuren Т., Hamza A.V., Terminello L.J., VVilley T.M. Surface electronic states in three-dimensional Sn02 nanostruc-tures // Phys. Rev. B. - 2005. - V.72. - No.3. - P.5404

16. K. Nanda K., Maisels A., Kruis F.E., Fissan H., Stappert S. Higher surface energy of free nanoparticles // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V.91. - No.10. - P.6102

17. Shokley W. On the surface states associated with a periodic potential // Phys. Rev. -193 9. - V.56. - No.4 - P. 317-323

18. Шмидт B.B. Введение в физику сверхпроводников. - М.: МЦНМО, 2000. - С.73

19. Ципенюк Ю.М. Физические основы сверхпроводимости. - М.: Изд-во МФТИ, 2003. -СМ

20. Левитов Л.С., Шитов А.В. Функции Грина. - М.: Физматлит, 2003. - С.317

21. Имри Й. Введение в мезоскопическую физику. - М.: Физматлит, 2002. - С.252

Смолянкина Ольга Юрьевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАНСПОРТА ЭЛЕКТРОНОВ ЧЕРЕЗ СВЕРХПРОВОДЯЩУЮ НАНОЧАСТИЦУ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 06.11.2009 Формат 60x84/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 110 экз. Заказ №. 977

Отпечатано в «Полиграфическом центре КАН» 644050, г. Омск, пр. Мира, 11А тел. (3812) 65-23-73. Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97

Список условных сокращений.

Введение.

Глава 1 Исследование сверхпроводящих наночастиц в экспериментах Ральфа, Блэка и Тинкхама.

1.1. Описание экспериментов.

1.2. Экспериментальные результаты и их интерпретация.

Глава 2 Свойства сверхпроводящих металлических наночастиц.

2.1. Термодинамические свойства.

2.2. Параметр спаривания в сверхпроводящей наночастице.

2.3. Эффект чётности в сверхпроводящей наночастице.

Глава 3 Влияние поверхностных состояний на сверхпроводящие свойства свободной наночастицы.

3.1. Поверхностные состояния Тамма и Шоккли. Плотность поверхностных состояний наночастицы в рамках одномерной модели.

3.2. Сверхпроводящие параметры наноразмерной системы.

3.2.1. Обсуждение модели и метода исследования.

3.2.2. Свободная сверхпроводящая наночастица с чётным числом электронов. Учёт всех возможных переходов электронов при спаривании.

3.2.3. Свободная сверхпроводящая наночастица с чётным числом электронов. Пренебрежение переходами между объёмными и поверхностными состояниями при взаимодействии.

3.2.4. Свободная сверхпроводящая наночастица с нечётным числом электронов.

Глава 4 Транспорт через сверхпроводящую наночастицу с учётом поверхностных состояний.

4.1. Функции Грина в формализме Келдыша и Мацубары.

4.2. Метод туннельного гамильтониана.

4.3. Ток через молекулу.

4.4. Расчёт тока через сверхпроводящую наночастицу.

4.4.1 Расчёт тока в системе со сверхпроводящими электродами

4.4.2 Расчёт тока в системе с нормальными электродами.

Актуальность и новизна работы

Исследование наноразмерных систем в настоящее время крайне актуально, поскольку открывает широкие перспективы не только для дальнейшего внедрения в промышленность новых технологий [1, 2], но и для получения новых фундаментальных свойств материалов [36].

Возможность сверхпроводимости в наноразмерных системах широко обсуждалась ранее [7-12]. И сомнения, которые возникали перед исследователями данного вопроса, имели определённые основания: в случае наноразмерных систем невозможно наблюдать такие характерные для макроскопических образцов критерии сверхпроводимости как незатухающие токи, нулевое сопротивление, дальний порядок, эффект Мейсснера [10]. Сопротивление низкоразмерных систем не определено, поскольку движение электрона в них является баллистическим, и средняя длина свободного пробега ограничена размерами образца. Эффект Мейсснера не возникает, поскольку размеры системы меньше глубины проникновения магнитного поля в вещество.

Тем не менее, экспериментальные результаты ясно свидетельствуют о том, что в наночастицах возможна сверхпроводимость, по крайней мере, в виде слабых флугауаций [1214]. В туннельных спектрах металлических (А1 [15-17]) и диэлектрических (5г2 Яи04 [18]) наночастиц, исследуемых при низких температурах, были обнаружены щели, превышающие по величине междууровневые расстояния -их дискретных спектров. Был обнаружен эффект чётности, характерный для сверхпроводников. Кроме того, при температурах много ниже температуры перехода в сверхпроводящее состояние удельная теплоёмкость и спиновая восприимчивость наночастиц имеют особенности, которые также свидетельствуют о возникновении в наночастицах сверхпроводящих корреляций [19-22].

Вопрос о том, как размер частиц влияет на сверхпроводимость, возник ещё в середине XX века и был впервые сформулирован Андерсоном в 1959 году в его работе [23]. На тот момент Бардиным, Купером и Шриффером уже была разработана микроскопическая теория сверхпроводимости [24], объясняющая известный изотоп-эффект как результат возникновения связанного состояния электронов, взаимодействующих посредством колебаний кристаллической решётки. Сверхпроводимость является коллективным эффектом и не может существовать в отдельных молекулах и атомах. Каков же предельный размер частиц, в которых ещё возможно обнаружить сверхпроводящие корреляции?

В своём исследовании Андерсон попытался сформулировать условия, при которых в малых частицах ещё может существовать сверхпроводящее состояние, и дать строгое обоснование тому, почему при достижении некоторого критического размера в частицах становится невозможно обнаружить сверхпроводимость. Характерной особенностью наночастиц является дискретность их энергетического спектра. Согласно предположению Андерсона, сверхпроводимость в малых частицах возможна только, когда сверхпроводящая энергетическая щель А превышает по величине среднее междууровневое расстояние дискретного квазичастичного спектра системы, то есть А> й, где с1 = Ер/Ы, здесь Ер - энергия Ферми, N -число уровней спектра. Согласно его оценке, при и

Д ~ 10К число N должно быть достаточно велико: N ^ 104, - поэтому наночастицы, в которых число электронов проводимости может достигать лишь 102 ч- 103, не должны проявлять сверхпроводящих свойств, поскольку их средние междууровневые расстояния (с1 ~ 102 -г 103 К) намного превышают величину сверхпроводящей щели для данных материалов.

Эта оценка оказалась в противоречии с экспериментальными результатами [15-17], которые были получены в конце 90-х годов XX века и ясно свидетельствовали о наличии сверхпроводящих свойств у наночастиц с числом электронов намного меньше оценочных значений. Объяснение этому содержалось в тех же экспериментах: в туннельных спектрах наночастиц алюминия, измеренных группой Ральфа, Блэка и Тинкхама, была обнаружена щель, превышающая по величине не только междууровневое расстояние (как того требовало условие Андерсона), но и щель, наблюдаемую в спектрах макроскопических образцов алюминия.

Надо отметить, что первоначально Ральф, Блэк и Тинкхам считали исследуемые наночастицы «эффективно нормальными» [15, 16], ссылаясь на Андерсона. Но после некоторых модификаций экспериментальной установки, которые увеличили точность измерений и позволили обнаружить щель в туннельных спектрах частиц размером ^ 5 нм и эффект четности, был сделан вывод о том, что наночастицы являются сверхпроводящими.

Экспериментально установлено [25,26], что у материалов, обладающих большой критической температурой сверхпроводящего перехода, таких как купраты, металлические наночастицы, энергетическая щель спектра возбуждений намного превышает 10 К, что приводит к соответствующему уменьшению предельного числа электронов в образце, таким образом, предельные размеры в оценке Андерсона были пересмотрены. Говоря о предельных размерах, при которых в наночастицах возможна сверхпроводимость, необходимо помнить, что оценочным параметром в данном случае является не сам размер частицы, а среднее междууровневое расстояние и величина сверхпроводящей щели спектра возбуждений, которые варьируются в зависимости от вещества и морфологии частицы.

Несмотря на то, что увеличение щели спектра элементарных возбуждений наноразмерных сверхпроводников по сравнению с объёмными образцами является экспериментально установленным фактом, в настоящее время число работ, в которых исследуется данный параметр, крайне мало [13,27-31]. Эти работы не дают представления о причинах увеличения щели, хотя их авторы высказывают предположение о том, что оно может быть связано с увеличением междууровневого расстояния квазичастичного спектра исследуемых систем. В работах [13,27,29] рассматривается соотношение между величиной Д щели спектра элементарных возбуждений объёмного сверхпроводника, междууровневым расстоянием квазичастичного спектра наночастицы и параметром спаривания Матвеева-Ларкина Дм/,- Последние два параметра определяют особенности сверхпроводящих свойств наночастиц. Параметр Матвеева-Ларкина [28] есть разность между энергией основного состояния системы с нечётным числом электронов и энергией основного состояния системы с чётным числом электронов. Энергия основного состояния чётной системы определяется как среднее значением между энергиями двух чётных систем, полученных из нечётной добавлением и удалением одного электрона. В работе [31] в рамках теории Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) производится сравнение канонического и большого канонического подхода для расчёта параметра спаривания, показано, что качественно и количественно результаты, получаемые в рамках обоих подходов, совпадают, что позволяет использовать в расчётах любой из них. Иная интерпретация экспериментальных результатов представлена в работе [30], где авторы предлагают ввести два параметра спаривания: одночастичный и коллективный. Первый из них отвечает за одночастичные свойства сверхпроводящей системы: эффект чётности, одноэлектронное туннелирование. Второй определяет коллективные свойства, например, энергию основного состояния. Оба параметра уменьшаются при увеличении размеров системы, но с разной скоростью (величина коллективного параметра спаривания падает медленнее), и в макроскопическом пределе стремятся к известной величине А объёмного сверхпроводника.

В настоящей диссертационной работе предлагается новая интерпретация увеличения параметра порядка в наноразмерных сверхпроводниках, основанная на учёте вклада поверхностных электронных состояний в сверхпроводящие свойства системы.

Для определённости рассматривается металлическая немагнитная сверхпроводящая наночастица, состоящая из атомов одного сорта. Аналогичные исследования с учётом вклада поверхностных электронных состояний молено провести и для наночастиц металлических сверхпроводящих сплавов, и для наночастиц высокотемпературных сверхпроводящих (ВТСП) керамик. В последнем случае микроскопическая теория БКШ уже не подходит для расчётов [32,33], кроме того, здесь необходимо учитывать анизотропию свойств сверхпроводника, сильные электронные корреляции [34, 35], возникающие в сверхпроводящих керамиках, а также ограничения, накладываемые на размер таких систем, он должен быть достаточно большим для возникновения сверхпроводимости. Если металлические сверхпроводящие наночастицы могут иметь размеры порядка нескольких нанометров

12], то синтез ВТСП керамик таких размеров невозможен.

К настоящему моменту в ходе экспериментальных исследований низкоразмерных сверхпроводящих систем накоплен соответствующий объём данных, который позволяет выявить основные особенности сверхпроводящего состояния в наночастицах. Несмотря на широкий интерес к изучению свойств низкоразмерных систем [36-42], единого представления о природе этих особенностей до сих пор не существует. Часто авторы теоретических работ обращают внимание только на малый размер исследуемых систем и такие связанные с ним эффекты как дискретность электронного спектра и проявление индивидуальных свойств электронов [43-46]. При этом без внимания остаётся особая роль поверхности, которой невозможно пренебречь при исследовании низкоразмерных систем [47-51].

Известно, что при подавлении сверхпроводимости в макроскопических образцах при повышении температуры или помещении системы во внешнее магнитное поле, сверхпроводимость в первую очередь исчезает в объёме образца, сохраняясь при этом в приповерхностном слое. Это свидетельствует об особой роли поверхности в формировании сверхпроводящего состояния [52]. Поскольку доля поверхностных атомов в низкоразмерных структурах велика и плотность поверхностных электронных состояний таких систем на порядок превышает плотность объёмных состояний [53-58], логично предположить, что физические свойства этих систем определяются, в первую очередь, поверхностными электронными состояниями.

Цель и задачи исследования

Целью исследования в настоящей диссертационной работе является установление общих закономерностей влияния поверхностных электронных состояний на сверхпроводящие и транспортные свойства наночастицы и обоснование необходимости учёта поверхностных состояний при расчёте этих свойств. Были поставлены следующие задачи:

1. На примере модели одномерной наночастицы сравнить плотность объёмных и поверхностных электронных состояний в низкоразмерной системе.

2. Определить вклад поверхностных состояний в сверхпроводящие свойства наночастицы: параметр спаривания и энергию основного состояния.

3. Определить вклад поверхностных состояний в туннельный ток через сверхпроводящую наночастицу, используемую в качестве центрального островка в одноэлектронном транзисторе.

Научная новизна результатов

В настоящей диссертационной работе автором впервые:

1. В рамках теории БКШ получены наиболее общие аналитические выражения, определяющие величину энергетической щели спектра элементарных возбуждений (параметра спаривания) наночастицы, энергию основного состояния наночастицы и минимальную потенциальную энергию наночастицы.

2. Показано, что увеличение параметра спаривания в низкоразмерном сверхпроводнике по сравнению с его величиной в макроскопическом сверхпроводнике можно объяснить учётом поверхностных состояний.

3. Показано, что при учёте поверхностных электронных состояний минимальная потенциальная энергия сверхпроводящей наночастицы по модулю превышает минимальную потенциальную энергию, рассчитанную без учёта поверхностных состояний. Величина разницы между этими значениями определяется веществом частицы.

4. Получены аналитические выражения для объёмной и поверхностной составляющей туннельного тока через сверхпроводящую наночастицу, заключённую между сверхпроводящими и нормальными электродами.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на X и XIII Международных симпозиумах «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород 13-17 марта 2006г. и 16-20 марта 2009г.); III, VI и VII Сибирских семинарах по сверхпроводимости и смежным проблемам ОКНО (Омск 20-21 сентября 2005г. и 16-17 сентября 2008г., Новосибирск 16-17 сентября 2009г.); XXI Международном симпозиуме «Современная химическая физика» и II Молодёжной конференции «Физикохимия нанокластеров, наноструктур и наноматериалов» (26 сентября - 4 октября 2009г., Туапсе).

Всего по теме диссертации опубликовано 6 работ [59-64], среди них одна статья в журнале «Вестник НГУ» [61], две статьи в журнале «Вестник ОмГУ» [59,60] и три публикации в сборниках тезисов конференций, в которых принимала участие Смолянкина О.Ю. [6264].

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Экспериментально наблюдаемое увеличение щели в спектре элементарных возбуждений сверхпроводящих наночастиц можно объяснить, учитывая вклад поверхностных электронных состояний в параметр спаривания.

2. Минимальная потенциальная энергия сверхпроводящей наночастицы, рассчитанная с учётом поверхностных электронных состояний, по модулю превышает минимальную потенциальную энергию, рассчитанную без учёта поверхностного вклада.

3. Введение в сверхпроводящую наночастицу одного неспаренного электрона не только увеличивает энергию её основного состояния, но и добавляет в спектр элементарных возбуждений системы дополнительные уровни, скрывающие щель.

4. При включении сверхпроводящей наночастицы в цепь электрического тока в случае нормальных электродов в системе происходит только одноэлектронное туннелирование через объёмные и поверхностные электронные состояния наночастицы. В случае сверхпроводящих электродов в системе присутствует ток как нормальных электронов, так и куперовских пар.

Структура диссертации

Первая и вторая глава являются обзорными.

В первой главе излагается суть экспериментальных исследований, в которых были получены туннельные спектры сверхпроводящих наночастиц. В п. 1.1 приводится описание экспериментов, а также самих исследуемых объектов: двухбарьерного туннельного устройства и одноэлектронного транзистора, в которых в качестве центрального островка использовалась наночастица А1. В п. 1.2 излагаются основные экспериментальные результаты и их интерпретация.

Вторая глава посвящена описанию свойств сверхпроводящих наночастиц. В п. 2.1 описываются их термодинамические свойства: теплоёмкость и спиновая восприимчивость, - которые, так же как и туннельные спектры, могут служить чувствительным индикатором наличия сверхпроводящих корреляций в наночастицах. В п. 2.2 обсуждаются особенности спектра сверхпроводящей наночастицы. Характерной его особенностью является сверхпроводящая щель, которая определяется посредством параметра спаривания. В параграфе обсуждаются различные методы качественной и количественной оценки этого параметра и выдвигается предположение, что наиболее точным является введение двух параметров: один из них должен отвечать за коллективные свойства, другой - за одночастичные, такие как, например, одноэлектронный туннельный ток. Характерный для спектра сверхпроводящей наночастицы эффект чётности вынесен в отдельный п. 2.3, поскольку представляет особый интерес.

В третьей и четвёртой главах приводится решение поставленных выше задач, а также основные результаты.

Третья глава содержит исследование влияния поверхностных состояний на сверхпроводящие свойства свободной наночастицы. В п. 3.1 исследуется плотность поверхностных состояний типа Шоккли в одномерной модели свободной наночастицы. В п. 3.2 исследуются основные сверхпроводящие параметры трёхмерной наночастицы произвольной формы: щель спектра элементарных возбуждений, энергия основного состояния и минимальная потенциальная энергия -с учётом влияния поверхностных состояний. В п. 3.2.1 обсуждаются модель и метод исследования, в пп. 3.2.2 и 3.2.3 исследуются возможные варианты спаривания электронов в случае, если наночастица содержит чётное число электронов. В п. 3.2.4 рассматривается случай нечётной системы.

Четвёртая глава содержит исследование тока через сверхпроводящую наночастицу с учётом поверхностных состояний методом функций Грина. В п. 4.1 описаны два основных формализма, используемых в разных случаях при описании неравновесной системы, примером которой является наночастица, соединённая с двумя электродами туннельными барьерами, через которые происходит одноэлектронное туннелирование. В п. 4.2 описан метод туннельного гамильтониана, который применяется при исследовании тока через высокоомный контакт электрод-наночастица. Поскольку наночастица имеет дискретный спектр с большими междууровневыми промежутками, некоторые исследователи сравнивают её с молекулой, также имеющей дискретный спектр собственных электронных состояний. Току через молекулы посвящён п. 4.3 этой главы. В п. 4.4 приводится расчёт тока через сверхпроводящую наночастицу в формализме туннельного гамильтониана методом линейного отклика. По аналогии с известными экспериментами, в п. 4.4.1 исследуется транспорт в системе со сверхпроводящими электродами, а в п. 4.4.2 -в системе с нормальными электродами.

В заключении сформулированы основные результаты настоящей работы.

Заключение

При исследовании влияния поверхностных состояний на сверхпроводящие и транспортные свойства сверхпроводящей наночастицы в настоящей работе были получены следующие основные результаты:

1. В рамках метода кристаллических орбиталей в приближении взаимодействия ближайших соседей на примере одномерной модели наночастицы показано, что наличие поверхности приводит к возникновению новых состояний, не свойственных объёмному образцу. Плотность поверхностных состояний в такой системе превышает плотность объёмных состояний.

2. В рамках теории Бардина-Купера-Шриффера исследовано влияние поверхности на сверхпроводящее состояние свободной наночастицы произвольной формы. Показано, что в спектре элементарных возбуждений сверхпроводящих наночастиц наблюдается щель, превышающая по величине щель в спектре объёмного сверхпроводника.

3. Определён вклад поверхностных электронных состояний в минимальную потенциальную энергию и энергию основного состояния сверхпроводящей наночастицы.

4. Показано, что введение в низкоразмерную сверхпроводящую систему одного неспаренного электрона не только увеличивает энергию её основного состояния, но и влияет на энергетический спектр системы, добавляя в него возбуждённые уровни, скрывающие щель.

5. Используя метод туннельного гамильтониана в формализме температурных мацубаровских функций Грина, исследован одноэлектронный транспорт через сверхпроводящую наночастицу, заключённую между нормальными и сверхпроводящими электродами. Показано, что в случае несверхпроводящих электродов через систему проходит только ток нормальных электронов. Напротив, в случае сверхпроводящих электродов в системе присутствует ток как нормальных электронов, так и куперовских пар.

1. Loss D., di Vincenzo D.P. Quantum computation with quantum dots // Phys. Rev. A. - 1998. - V.57. - No.l. - P. 120-126.

2. Pekker D., Bezryadin A., Hopkins D.S., Goldbart P.M. Operation of a superconducting nanowire quantum interference device with mesoscopic leads // Phys. Rev. B. 2005. - У.12. - Vol.10. - P.4517.

3. Hergenrother J.M., Lu J.G., Tuominen M.T., Ralph D.C., Tinkham M. Phonon-activated behavior in the single-electron transistor with a superconducting island // Phys. Rev. B. 1995. - V.51. - No. 14. -P.9407.

4. Tarucha S., Austing D.G., Tokura Y., van der Wiel W. G., Kouwenhoven L.P. Direct Coulomb and exchange interaction in artificial atoms // Phys. Rev. Lett. 2000. - V.84. - No.ll. - P.2485.

5. Usaj G., Baranger H.U. Spin and e-e interactions in quantum dots: Leading order corrections to universality and temperature effects // Phys. Rev. B. 2002. - V.66. - No. 15. - P.5333.

6. Dubi Y. Pair correlations and the survival of superconductivity in and around a superconducting impurity // Phys. Rev. B. 2007. - V.75. -No.9. -P.4510.

7. Cohen M.H., Falicov L.M., Phillips J.C. Superconductive tunneling // Phys. Rev. Lett. 1962. - V.8. - No.8. - P.316-318.

8. Hergenrother J.M., Tuominen M.T., Tinkham M. Charge transport by Andreev reflection through a mesoscopic'superconducting island // Phys. Rev. Lett. 1994. - V.72. - No.l 1. - P. 1742.

9. Braun F., von Delft J., Ralph D.C., Tinkham M. Paramagnetic breakdown of superconductivity in ultrasmall metallic grains // Phys. Rev. Lett. 1997. - V.79. - No.5. - P. 921.

10. Андреев А.Ф. Сверхтекучесть, сверхпроводимость и магнетизм в

11. Me30CKonnKe // Y<DH. 1998. - T. 168. - №6. - C.655-664.

12. Braun F., von Delft J. Superconductivity in ultrasmall metallic grains // cond-mat/9801170.12. von Delft J., Ralph D.C.- Spectroscopy of discrete energy levels in ultrasmall metallic grains // cond-mat/0101019.

13. Braun F., von Delft J. Fixed-N Superconductivity: The crossover from the bulk to the few-electron limit // Phys. Rev. Lett. 1998. - V.81. -No.21.-P.4712.

14. Kresin V.Z., Ovchinnikov Y.N. Shell structure and strengthening of superconducting pair correlation in nanoclusters // Phys. Rev. B. -2006. V.74. - No.2. - P.4514.

15. Ralph D.C., Black C.T., Tinkham M. Spectroscopic measurements of discrete electronic states in a single metal particles // Phys. Rev. Lett. -74 16 1995 P.3241.

16. Black C.T., Ralph D.C., Tinkham M. Spectroscopy of the superconducting gap in individual nanometer-scale aluminum particles //Phys. Rev. Lett. 1996. - V.76. - No.4. - P.688.

17. Black C.T., Ralph D.C., Tinkham M. Gate-voltage studies of discrete electronic states in aluminum nanoparticles // Phys. Rev. Lett. 1997. -V.78.-No.21.-P.4087.

18. Upward M.D., Kouwenhoven L.P., Morpurgo A.F. Direct observation of the superconducting gap of Sr2Ru04 // Phys. Rev. B. 2002. - V.65. -No.22.-P-512.

19. Denton R., Muhlschlegel B. Thermodynamic properties of electron in small metal particles // Phys. Rev. B. 1973. - V.7. - No.8. - P.3589-3606.

20. Schechter M., Imiy Y., Levinson Y., von Delft J. Thermodynamic properties of a small superconducting grain // Phys. Rev. B. 2001. -V.63.-No.21.-P.4518.

21. Anderson P.W. Theory of dirty superconductors // J. Phys. Chem. Solids. 1959. - V.ll. - No.l. - P.26-30.

22. Bardeen J., Cooper L.N., Schrieffer J.R. Microscopic theory of superconductivity // Phys. Rev. 1957. - P. 162-164.

23. Pettit R.B., Silcox J. Film structure and enhanced superconductivity in evaporated aluminum films // Phys. Rev. B. 1976. - V.13. - No.7. -P.2865-2872.

24. Matveev K.A., Larkin A.I. Parity effect in ground state energies of ultrasmall superconducting grains // Phys. Rev. Lett. 1977. - V.78. -No. 19. - P.3749.

25. Braun F., von Delft J. Superconductivity in ultrasmall metallic grains // Phys. Rev. B. 1999. - V.59. - No.14. - P.9527-9544

26. Schechter M., von Delft J., Imry Y., Levinson Y. Two pairing parameters in superconducting grains // Phys. Rev. B. 2003. - V.67. -No.6. - P.4506.

27. Fernandez M.A., Egido J.L. Generalized BCS ansatz for pairing correlations in superconducting grains // Phys. Rev. B. 2003. - V.68.- No. 18. P.4505.

28. Боголюбов H.A. Природа критического состояния в керамических сверхпроводниках // Труды II международной конференции «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости». 2006. - С. 229-230.

29. Bogolyubov N.A. The distribution of transport critical current in high temperature superconductor ceramics // Physics Letters A. 2007. -V.360. -No.6.-P.722-725.

30. Боярский Л.А., ГабудаС.П., Козлова С.Г. Флуктуации и неоднородности в сильно коррелированных электронных системах// ФНТ. 2005. - Т.31. - №3-4 - С.405-411.

31. Боярский JI.A. Псевдощелевые эффекты в сильно коррелированных электронных системах // ФНТ. 2006. - Т.32. -№8-9. - С. 1078-1084.

32. Salinas D.G., Gueron S., Ralph D.C. Effects of spin-orbit interactions on tunneling via discrete energy levels in metal nanoparticles // Phys. Rev. B. 1999. - V.60. - No.8. - P.6137-6145.

33. Brouwer P.W., Oreg Y., Halperin B.I. Mesoscopic fluctuations of the ground-state spin of a small metal particle // Phys. Rev. B. 1999. -V.60. - No.20. - P.977-980.

34. Baranger H.U., Ullmo D., Glazman L.I. Interactions and interference in quantum dots: Kinks in Coulomb-blockade peak positions // Phys. Rev. B. 2000. - V.61. - No.4. - P.2425-2428.

35. Zhou H.-Q., Links J., McKenzie R.H., Gould M.D. Superconducting correlations in metallic nanoparticles: Exact solution of the BCS model by the algebraic Bethe ansatz // Phys. Rev. B. 2002. - V.65. -No.6. - P.502.

36. Weick G., Molina R.A., Weinmann D., Jalabert R.A. Lifetime of the first and second collective excitations in metallic nanoparticles //

37. Phys. Rev. В. 2005. - V.72. - No. 11. - P.5410.

38. Keizer R.S., Flokstra M.G., Aarts J., Klapwijk T.M. Critical voltage of a mesoscopic superconductor // Phys. Rev. Lett. 2006. - У.96. -No. 14. - P.7002.

39. Dunford J.L., Dhirani A.-A. Reflectionless tunneling at the interface between nanoparticles and superconductors // Phys. Rev. Lett. 2008.- V.100. No. 14. -P.7202,

40. Yong H.-C., Yang K.-H., Tian G.-S. Single-particle distribution functions in nanoscale particles at finite temperature: Some rigorous results // Phys. Rev. B. 2006. - V.74. - No.19. - P.5414.

41. Klar Т., Perner M., Grosse S., von Plessen G., Spirkl W., Feldmann J. Surface-plasmon resonances in single metallic nanoparticles // Phys. Rev. Lett. 1998. - V.80. - No.19. - P.4249.

42. Арбузова Т.И., Наумов C.B., Самохвалов A.A., Гижевский Б.А., Арбузов В.Л., Шальнов К.В. Роль поверхностных состояний в магнитных свойствах нанокристаллического СиО // ФТТ. 2001. -Т.43. - №5. - С.846-850.

43. Muller М., Albe К. Lattice Monte Carlo simulations of FePtnanoparticles: Influence of size, composition, and surface segregation on order-disorder phenomena // Phys. Rev. B. 2005. - V.72. - No.9. -P.4203.

44. Winkler E., Zysler R.D., Mansilla M.Y., Fiorani D. Surface anisotropy effects in NiO nanoparticles // Phys. Rev. B. 2005. - V.72. - No. 13. -P.2409.

45. Medasani B., Park Y.H., Vasiliev I. Theoretical study of the surface energy, stress, and lattice contraction of silver nanoparticles // Phys. Rev. B. 2007. - V.75. - No.23. - P.5436.

46. Bray K.R., Parsons G.N. Surface transport kinetics in low-temperature silicon deposition determined from topography evolution // Phys. Rev. B. 2001. - V.65. - No.3. - P.5311.

47. Silkin V.M., Chulkov E.V., Echenique P.M. Surface and imagepotential states on MgB2 (0001) surfaces // Phys. Rev. B. 2001. -V.64. - No. 17. - P.2512.

48. Paulus P.M., Goossens A., Thiel R.C., van der Kraan A.M., Schmid G., de Jongh L.J. Surface and quantum-size effects in Pt and Au nanoparticles probed by 197AU Mossbauer spectroscopy // Phys. Rev. B. 2001. - V.64. - No.20. - P.5418.

49. Servedio V.D.P., Drechsler S.-L., Mishonov T. Surface states and their possible role in the superconductivity of MgB2 // Phys. Rev. B. -2002. V.66. - No. 14. - P.502.

50. Nanda K.K., Maisels A., Kruis F.E., Fissan H., Stappert S. Higher surface energy of free nanoparticles // Phys. Rev. Lett. 2003. - V.91.-No.10.-P.6102.

51. Kucheyev S.O., Baumann T.F., Sterne P.A., Wang Y.M., van Buuren Т., Hamza A.V., Terminello L.J., Willey T.M. Surface electronic states in three-dimensional Sn02 nanostructures // Phys. Rev. B. -2005. V.72. - No.3. - P.5404.

52. Смолянкина О.Ю., Югай K.H. Исследование поверхностных состояний наночастицы // Вестник Омского университета. 2005. -№3. - С. 10-12.

53. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Основное состояние сверхпроводящей наночастицы // Вестник Омского университета. 2005. -№3. - С.16-18.

54. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Электронный транспорт через сверхпроводящую наночастицу с учётом поверхностных состояний // Вестник Новосибирского университета. Серия: Физика. 2009. - Т.4. - №1. - С.62-67.

55. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Основное состояние сверхпроводящей наночастицы // Труды X международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 13-17 марта 2006 г.). Нижний Новгород: изд. ИФМ РАН. -2006. - Т.1. - С.Г63-164.

56. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Поверхностные состояния наночастицы // Труды XIII международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника» (Нижний Новгород, 16-20 марта 2009 г.). Нижний Новгород: изд. ИФМ РАН. - 2009. -Т.2. - С.545-546.

57. Смолянкина О.Ю., Югай К.Н. Поверхностные состояния и их влияние на сверхпроводимость в наноразмерных системах // Труды XXI международного симпозиума «Современная химическая физика» (Туапсе, 25 сентября 6 октября 2009 г.). -2009 г. -С.55.

58. Lu J.G., Hergenrother J.M., Tinkham M. Effect of island length on the Coulomb modulation in single-electron transistors // Phys. Rev. B. -1998. V.57. -No.8. -P.4591.

59. Beenakker C.W.J. Theory of Coulomb-blockade oscillations in the conductance of a quantum dot // Phys. Rev. B. 1991. - V.44. - No.4. -P. 1646-1656.

60. Averin D.V., Korotkov A.N., Likharev K.K. Theory of single-electron charging of quantum wells and dots // Phys. Rev. B. 1991. - V.44. -No.12. - P.6199-6211.68. von Delft J. Superconductivity in ultrasmall metallic grains // cond-mat/0101021.

61. Muhlschlegel В., Scalapino D.J., Denton R. Thermodynamic properties of small superconducting particles // Phys. Rev. B. 1972. -V.6.-No.5. - P. 1767-1777.

62. Gunther L., Deutscher G., Imry Y. Comment on Thermodynamic properties of small superconducting grains // Phys. Rev. B. 1973. -V.7. - No.7. - P.3393-3394.

63. Muhlschlegel B. Order-parameter fluctuations in small superconducting particles // Phys. Rev. B. 1974. - V.10. - No.3. -P. 1127-1128.

64. Beenakker C.W.J., van Houten H. Josephson current through a superconducting quantum point contact shorter than the coherence length // Phys. Rev. Lett. 1991. - V.66. - No.23. - P. 3056-3059.

65. Yosida K. Paramagnetic susceptibility in superconductors // Phys. Rev. 1958. - V. 110. - No.3. - P.769-770.

66. Магомедов M.H., О температуре сверхпроводящего перехода для нанокристаллов металлов // ФТТ. 2003. - Т.45. - №7. - С.1159-1163.

67. Braun F., von Delft J., Ralph D.C., Tinkham M. Paramagneticbreakdown of superconductivity in ultrasmall metallic grains // Phys. Rev. Lett. 1997. - V.79. : No.5. - P.921-924.

68. Meir Y., Wingreen N.S. Landauer formula for the current through interacting electron region // Phys. Rev. Lett. 1992. - V.68. - No. 16. -P.2512-2516.

69. Nakada H., Tanabe K. Bardeen-Cooper-Schrieffer-type theory in canonical ensembles // quant-ph/0603113.

70. Lu J.G., Hergenrother J.M., Tinkham J.M. Parity effect in superconducting islands with increasing lengths // Phys. Rev. B. -1998. V.57. - No.l. - P.120-122.

71. Petta J.R., Johnson A.C., Marcus C.M., Hanson M.P., Gossard A.C. Manipulation of a single charge in a double quantum dot // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.93. - No. 18. - P.6802.

72. Balian R., Flocard II., Veneroni M. Temperature dependence of even-odd effects in small superconducting systems // cond-mat/9802006.

73. Тамм И.Е. Собрание научных трудов. T.l. М.: Наука, 1975. С. 216.

74. Лифшиц И.М., Пекар С.И. Таммовские связанные состояния электронов на поверхности кристалла и поверхностные колебания атомов решётки // УФН. 1955. - T.LVI. - №4. - С.531-568.

75. Shockley W. On the surface states associated with a periodic potential //Phys. Rev. 1939. - V.56. - No.4. - P.317-323.

76. Montevecchi E., Indekeu J.O. Effects of confinement and surface enhancement on superconductivity // Phys. Rev. B. 2000. - V.62. -No.21. - P.359-372.

77. Koutecky J. An interpretation of the conditions for the existence of Shockley surface states // Czech. J. Phys. 1961. - V.ll. - No.8. -P.565-571.

78. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО, 2000. - 402 с.

79. Eiles Т.М., Marinis J.M., Devore М.Н. Even-odd asymmetry of a superconductor revealed by the Coulomb blockade of Andreev reflection//Phys. Rev. Lett. 1993. - V.70. - No. 12. - P. 1862-1865.

80. Tinkham M., Hergenrother J.M., Lu J.G. Temperature dependence of even-odd electron-number effects in the single-electron transistor with a superconducting island // Phys. Rev. B. 1995. - Y.51. - No. 18. -P.649-652.

81. Ципенюк Ю.М. Физические основы сверхпроводимости. М.: МФТИ, 2003. - 160 с.

82. Konig J., Gefen Y., Schon G. Level statistics of quantum dots coupled to reservoirs // Phys. Rev. Lett. 1998. - V.81. - No.20. - P.4468.

83. Каданов JI., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1964. - 255 с.

84. Jauho А.-Р., Wingreen N.S., Meir Y. Time-dependent transport in interacting and noninteracting resonant-tunneling systems // Phys. Rev. B. 1994. - V.50. - No.8. - P.5528-5544.

85. Taylor J., Guo H., Wang J. Ab initio modeling of quantum transport properties of molecular electronic devices // Phys. Rev. B. 2001. -V.63. -No.24. -P.5407.

86. Brandbyge M., Mozos J.-L., Ordejon P., Taylor J., Stokbro K. Density-functional method for nonequilibrium electron transport // Phys. Rev. B. 2002. - V.65. - No. 16. - P.5401.

87. Xue Y., Ratner M.A. Microscopic study of electrical transport through individual molecules with metallic contacts. I. Band lineup, voltage drop, and high-field transport // Phys. Rev. B. 2003. - V.68. - No.l 1. - P.5406.

88. Meir Y., Wingreen N.S. Landauer formula for the current through aninteracting electron region I I Phys. Rev. Lett. 1992. - V.68. - No. 16. -P.2512-2515.

89. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Физическая кинетика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 536 с.

90. Jiang F., Zhou Y.X., Chen H„ Note R., Mizuseki H., Kawazoe Y. Ab initio study of molecule transport characteristics based on nonequilibrium Green's function theory // Phys. Rev. B. 2005. -V.72. - No. 15. - P.5408.

91. Fitzgerald R.J., Pohlen S.L., Tinkham M. Observation of Andreev reflection in all-superconducting single-electron transistors // Phys. Rev. B. 1998. - V.57. - No.18. - P.73-76.

92. Левитов Л.С., Шитов A.B. Функции Грина. M.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 392 с.

93. Имри И. Введение в мезоскопическую физику. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 304 с.

94. Fu Y., Dudley S.C. Quantum inductance within linear response theory // Phys. Rev. Lett. 1993. - V.70. - No.l. - P.65-68.