Исследование устойчивости движения неконсервативных механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

12,1 0 8',9,.2.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

АГАФОНОВ Сергей Алексеевич

• УДК 531.36

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ . -

(Специальность 01.02.01 - теоретическая механика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Лосква - 1992 *

Работа выполнена на кафедре пргададноК математики Московского Государственного технического унхверснтета имени Н.Э.Баумана.

Официальные оппоненты: член-корр.АН Укражиы, доктор

физико-математических наук, профессор В. Н. Котляков

доктор физико-математических наук, Профессор А,П,Шркеев

доктор ф*8ико-ыатеиатических наук, профессор В. Н.^гбановок*® •

Ведущая организация - Российский Университет дружбы народов

Защита диссертации состойся ' 2 " октября 1992г. в |6°° vac. на заседаю» Спецадлизврованного Совета А I (Д 05S.05.0I) по мехашке при Московском Государственном университете со адресу:.119899, Иэсква, Ленинские горн, Главное здание МГУ, аул. 16-10 |г.

С диссертацие! можно овнакомвться в чвталвном вале библиотек* мбханихо-математического факультета ИГУ.

Автореферат разослан ЧУР^-илг.

Ученый оехретарь Специишзврованного Совета Д 053.05.01

кандидат физихо-дагемаягчесхих Д.в.1рещев

наук

ССИЙСКАЯ

ЦАРСТВЕННАЯ I

1БЛИ0ТЕКА

ОРЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Проблема и ее актуальность. Во многих случаях устойчивость г,виже1.ля механически систем определяется структурой сил, действуг".лх на эту систем. Если на механическую систему действуют диссипативные, гироскопические и чотенпчальные силы, а ; устойчивость движения определяется теоремами Кельвина-Четаева. Однако, существуют силы, которые принято называть неконоерватив-ными позиционными силами. В конкретных механических системах они могут присутствовать естественным образом, или создаваться искусственно для придашь систем» заданных свойств. Наличие неконсервативных позиционных сил в уравнениях возмущенного движения существенно ■усложняет объект исследования и исключает возможность прямого использования теорем Кельвина-Четаева. Решент» проблей; устойчивости механических систем находящихся под действием всех перечисленных выше сил, посвящены работы Л.И. Мэтелицына,Г.Цдглера, Д.Р.Мерюяю, В.В.Болотина, В.В.Е/мянцева, В.М.Лахаданова, А.В.Ка-рапетяна, А.П.Сейраняна, Г. Вербицкого, В.И.Гончаренко, П. !,Ьл-лера и др. Во многих работах результаты об устойчивости получены при тех или иных, в ряде случаях, весьма сущест ^тшх ограничениях на величины, характеризующие эти силы. В этой свйзи актуальной становится потребность в бол э общих суждениях об устойчивости движения механических систем, находящихся под действием сил.в состав которых, помимо перечисленных, входят и неконсервативные позиционные силы.

Цель работы. Целью работы является:

1. Получение по возможности наиболее общих результатов, позволяющих судить об устойчивости механических систем, находящихся под действием диссипативных, гироскопических, потенциальных и неконсервативных позиционных сил.

2. Разработка эффективного способа построения функции Ляпуно-' ва для исследования устойчивости механических систем на которые действуют потенциальные н неконсервативные позиционные силы, и получение с ее помощью условий устойчивости равновесия.

3. Применение полученных теоретических результатов для анализа .устойчивости и обеспечения стабилизации движения конкретных механических систем, представляющих самостоятельный интерес.

Апробац..я работы. Основные результаты работы- докладывались на семинара по ар-литической механик" и теории устойчивости движения в МГУим. М.В.Ломоносова, га семинаре I. механике систем твердых тел и гироскопов Института Проблем механики РАН, иа научном семинаре кафедры прикладкой механики механико-математического фак,. льтета МГУ, на объединенном семинаре кафедр теоретической механики и прикладной математики МГТУ им. Н.Э.Баумана, на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладкой механике (1986г., г.Ташкент), а также на 1 "международной научно-технической конференции "Ак™уалььые проблемы фундаментальных наук*'; 1991г., г.ЬЬсква.МГГУ).

По теме диссертации опубликованы работы £1-15] .

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введен'"!, четырех глав и списка литературы. Изложена на Г70 страницах машинописно, о текста! включая 8 рисунков. Список литературы содержит 125 наименов шй.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор результатов предшествующих работ, формулируется цель исследования. Кратко излагаются основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе исследуется устойчивость неконсервативных механических систем с пр. лзвольной структурой действующих сал.

В § 1.1 рассматривается система следующего вида

х+вх+'^ькх+Рх-х^х; о)

Здесь В) • , - матрицы, ха-

рактеризующие диссипа.ч^ные, гироскопические, потенциальные л неконсерватнвные позиционные силы согтветственно; Х(КХ)~ совокупность членов не ниже второго порядка относительно X • X .

Исследуется устойчивость равновесия

Х = = О (2)

Известно, что ее и потенциальная энергия X Кх в равновесии (2) имеет максимум и нечетно, то положение равновесия неустойчиво. Ясли же /2- четно, то равновесие может быть как устойчивым, так т» неустойчкшм. В этом случае оказывается справедлива следующая теорема. г//

Теорема _1. Если потенциальная энерг.л X * X имеет в равновесии (?) максимум, то при четном /I пс гожение равновесия системы (г) неусто'" гаво три достаточно больших значениях коэффициентов диссипации (

Вывод теорема I остается справедливым л при частичной диссипации, т.е. достаточно, чтооы хотя ->ы одно значение было достаточно больштл.

Замечание. Требование максимума потенциальной энергии можно ослабить. Рассмотрим ¿"^(Кс+Рс], где .и . м_.рицы, полученные из матриц К и р зачеркиванием с -й строки и I -го столбца. Если ХГКх<0> то все .

Для утвержд-щш теорем 2Г -достаточно, чтобы существовал <АёЬ . Тогда равновесие (?) неустойчиво при достаточно

Пусть в системе (1) ( пР'О ), а

диссипация полная. /^"г1 П7/^ I ' О

Теорьма 2. Если матрица Г+\ (То+ КЬг0~(^1\, Ст0СгоЬ+ + В> (-¡{(¡Го положительно определены, то при д статочяо большом

^ равновесие (2) систеш (1) асимптотически устойчиво. . ^ Теорема 2 еппаведлива и при отсутстг ш потенциальных сил (Д =0). Показано, что для систем с двумя степенями свобсдн при О положительная определенность^7"/^ + рТ(^-а' является .необходимым условием асимптотической. устойчивости равновесия.

Из теоремы 2 следует вывод о том, что в системах общего вида (1) стабилизирующим (до асимптотической устойчивости) фактором являются гироскопические силы. ..

Замечание. Если множителем при X стоит симметрическая положительно определенная матрица А , то в теореме 2 вместо положительной определенности ^ъ + К0-о~0-оК,

(^0(то&+&(т0^ • требуется выполнения аналогичных условий для матриц +

Пусть теперь в системе (1) Д = О ^, (¡ёЬРф() _ В>-@В>0. Теорема 3. Если матрица СрВ^Р+РВо ¿г положительно определена, то при достаточно сс-ьшом £ равновесие (2J системы (I) асимптотически устойчиво.

Из этой теоремы следует, что в системе (%) при отсутствии потенциальных спи. ( /(= О ) стабилизируют™ (до асимптотической устойчивости) фактором^явлшттся и диссипативные силы.

Если Р+Р$ является положительно опрс .еленной

матрицей, то равновесие (2] системы ( К~0 ) может быть 'неустойчивым. ■ г т _

Теорема 4. Если матрица ^гР+р^-лОл-'Оотрицателько определена, то равновесие (2] системы (я) при отсутствии потенциальных сил неустойчиво. I Л.г> ■

Пусть в системе (1) Р~ТРо (/>0 ) и ¿/еГгфО. Теорема 5. Равновесие (2) системы (1) при . аполнении неравенства неустойчиво независимо от диссипатив-ных, гироскопических и потенциальных сил.( ^ -наименьшее собственное значение р^ р0 ; г/с , ^ -наибольшие с^бствение значения матриц (^Р^Р^Щ^Р^ КЩРЖ~КР>).

Утверждение, теоре.и 2 носит асимптотически!! характер. В о вязи с этим представляет интерес нахождение оценки снизу для параметр! -П. . Приведем полученный результат. Равновесие (2) системы (1

( Я Оь » ^еЬС^Фо, 4>0 ) асимптс уески устойчиво при . Здесь , соответствен

наибольшие положительные корни уравнений

В (з) вр едены обозначения; , . Д , , , /<г -соответственно наименьшие собственные эна^эняя матриц (¿Т/С. К

. Кв+вХ?*

ус\крсгс;РК) < Сгав+2Р<гов-жФ--/< • ^ .

I , С1 --соответственно наибольшие собственные значения

¿и . кртРК . •

т

по модулю собственное

значение ^ ° &

Если потенциальные силы отсутствуют ( к= о ), то

В § рассматривается механическая система на которую действуют только потенциальные и неконсерватиише позиционные силы. В нормальных координатах линейные уравнения возмущенного движения имеют ¿зид

х + Кк+Рх=0 (4) ...... в ,

IПредположим, что среди Л^ нет равных: » с ^ и

расположены в порядке убг^ания с ростом индекса С ¡Д^/^.^^О.

^¡Рассмотрим функции

^ 2 У=кТ(Е+С)Ь + хТ1)х . (5) в (5) С-С

- матрацы подлежащие определению, причем на главной диагонали (2 стоят нули. О при

. Условие симметричности 2)~Т) приводит к матричному уравнению для определения С

(К-Р)С-ф+Р)=2Р. (е)

Показано, что решете уравнения (б) при (

//рЦ =/71С1Х1) удовлетворяет оценке

С учетом оценки (7) получено условие положительной определенности функции (б) при Л[>0 ( )1 которое и является

условием устойчивости системы (4)

матричное уравнение (б) шее г целое семейство решений, а гроце-дууа нахождения решения позволяет найти одно из решен;;! этого семейства. Показано,что условие положительной определенности функпш (5) не зависит от элементов, стоящих на главной диагонали матрицы £ , 1.0ЭТ0Ц/ все они положены равными нулю.

Рассмотрен также случай, когда одно из Д , ( /2 )

отрицательно или равно нулю: Д^А^^Д^^О, О .

Условием устойчивости системы (4) в этом случае являются неравенства

* .« ■ ■ Л г«

Если а НтЦ,

то неравенства (э) выполняются всегда при достаточно малой ЦрЦ . Этому результату можно дать следующую формулировку: для стабилизации неустойчивой потенциаль :ой системы в случае, когда матрица К ш«еет одно нулевое собственное значение, а остальные положительны и личны, достаточно присоединить неконсервативные позиционные^. силы г\ с достаточно малой, нормой Р , т.е.

В 5 1.3 исследуется устойчивость равновесия систем под действием диссипативных, гироскопических, потенциальных в неконсервативных позиционных сил. В отличие от случая, который был рас-смоарен в § 1.1, все указанные силы имею*, специальную структуру в том смысле, что матрицы, характеризующие эти силы, связаны между собой '

х+(а+§)х + 2$х - (ад-Л^х + а £х~Х(*>х) (<о)

-положительно определенная матрица.

Такая специальная структура сил реализуется, в частности, в задаче об устойчивости установившихся дттжений вращающегося вала на который действуют силы внешнего и внутреннего трения (параметры С1 . & характеризуют соответственно внешнее и внутреннее трение). Д,,л сисема (ю) доказаны теоремы.

Теовема,!. Бели матрица <£ - £■)

положительно пределена, то равновесие Х-0 , X -О системы (ю) асимптотически устойчиво.

Следствии. Если

, то при" равнове-

сие систеш (к>) асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Если , то при \<СО равновесие системы

(Ю) неустойчиво.

В 5 Г.4 рассмотрено .влияние неконсервативных позиционных сил на собственные частоты линейной потенциальной систеш.

Известно, что поведение собствен! и частот при изменении жесткости линейной потенциальной системы подчиняется теореме Рэлея. Присутствие позиционных сил приводит к тому, что указанная теорема, вообще говоря, не тлеет места. Для систе! : вида

*+Кх+(Рх = о (и)

£>с -скаляргый параметр, А^СЗ^Я^/^.,, получены гарантированные оценки для верхней и нижней ИЬ границ квадратов собственных частот системы (II)

я^ш^юЩгК-^гфт:-1

л' ¿л кч Д'

Из выражений (1° / с учетом обозначений (13^ следит,

н М<\ Для , где , £ -наи-

меньшие положительные корни некоторого алгебраического уравнения четвертой степени относительно ^ , Иными словами, действие неконсервативных позиционных сил на потенциальную систему приводит к тон,. что нижняя собствег тая частота увеличивается, г верхняя - уменьшается.

Во второй главе исследуется устойчивость равновесия двойного и т{. /йного маятников с лгнейно-упругнми шарнирами, на которые действует следящая сила.

В 1952г. Г.Циглер нр примере двойного мая-тли на который действует следящая сила получил неожиданный результат: критическая сила потер., устойчивости системы с малым вязким трением в упругих шарнирах оказалась ниже, ч~м значение критической силы системы, трение в которой с самого нччаля предполагалось о?.-ут-ствуюцим, Отметим, что значение критической с ялы при счсутствии грения доводилось исходя из уравнений первого приближен.л.

Используя способ предложенный в § удалое ь построить функцию Ляпунова для анализа устойчивости трехзвенного маятника. Для двухзвенного варианта выполнен анализ устойчивости и характер ее потери при переходе следящей нагрузки через критическое значение в полной, нелинейной постановке.

}!а маятник действует постоянная по величине и направленная вдоль оси последнего звена следящая пила ^ (рис. I). Стержни предполагаются невесомыш, гравитационное поле отсутствует'.

В § 2.1 анализируется устойчивость в первом приближении равновесия тройного маятника. Уравнения возмущенного дви-.жения в первом приб„./жении приводятся к виду

4х+/С;+Гх=0 (Л)

о "3 г { о о "я 1

И г г 1 г. О 1 г

\ 1 1 г С

к=

Ьгг я ¥

С

Ч

1

точка означает производит« по /С

Таким образом, на систему действуют потенциальные и неконсервативные позиционные силы. Анализ устойчивости равновесия про: дит-ся построени л футпщии Ляпунова способом, предложенным в § 1.2, с той ляль разницей, что в выражении (б) матрица заменяется : 1 Д .Из условия определек.юй положительности функции (б] получаем, что равновесие ^ = устойчиво д£

В § 2.2 в нелинейной постановке исследуется устойчивость равновесия двойного маятника, находящегося под действием следящей силы Р (рис. I, звено 0203 отсутствует). Уравнь.шя созму-щенного движения приводятся к виду

авненис имеет пр" Р ^ две пары чжс-± £Ц (Дня новесия, система (15) приводится к нор-

Здесь ху , - совокупность членов не нихе третьего порядка малости.

Характеристическое уравнение имеет пр-то мнимых корней £¿(0/ , ± с ( " — " ' г анализа устойчивости равновесия, мальной фор...е до членов третьего порядка

Л-/-

Предполагается,что ЩФЗ^ . Черта означает знак комплиссноп» сопряжения, а многоточие совокупность членов не нихе пятого порядка. Коэффициенты , р , С , с[ являются дейс.-витель • ными величинами. Определитель ¿1 / — с £ равен нулю при

—0,6100. Резон асу соответствует значение

Основной результат заключатся в следующем: равновесие устойчиво пр.. 0<- р<% для большинства (в смысле ::еры Лебега) начальных условий, кроме, быть может, двух значений Р—Рл и

Р-Рг , Г Г

п § 2.3 рассматривается движение двойного тятник^ с ^учетом в шарнирах О и 0( ди^гаативных сил ~ Ьт^ , •

В этом случае при Р*^- $- ( ) равноь^сие

асимптотически устойчиво,а при /?>.

неустойчиво. При

л п 16

Г—[о в-имеет место критический случай пари чисто мнимых корне.". Показано, что при переходе через критическое значение нагрузки ро воз ¡гикает ась.<птсти7ескх устойчивое периодическое движение маятника, т.е. имеет место бифуркация Андронова--Хопфа. ^то означает,что граница области устойчивости Р~Ро является "безопасной".

В третьей главе исследуется устойчивость установившихся движений неуравновешенного ротора, вращающегося в упругих подшипниках, с вертикальной осью. При учете сил внутреннего трения анализируется устойчивость периодическою движения ротора.

В 5 З.Т рассматривается вращение неуравновешенного ротора двигателем, создающим моментРеакции подшипников

приводятся к равнодействующей, которая зависит от радиального перемещения ОР оси ротора и направлен по прямой ОР ( О -точка пересечения плоскости движения центра масс С ротора с осью че-дсформированных подшипников). Учитывается внешняя сила сопротивления р^-ЛУ, действующая на ротор и пропорциональная скорости центра масс С (рис. 2). Уравнения движения ротора массы в подвижной системе координат Ох.у (ось ОоС параллельна отрезку РС ) имеют вид

Г

Едесь X , Ц , ?г: , 1/у -координаты и проекции скорости центра масс ротора, -момент инерции ротора, -угловая скорость вращения, /7(У(аг+-е)г^- уг) -потенциальная энергия с..л упругости центрирупцих подшипников (П(о)-0 ), Л -коэффициент силы сопротивления. *

Установившееся движение ЗС=Х* » •

находится из система уравнений (..') , приравниванием прэ вых частей нулю. В уравнениях возмущенного движения присутствуют диссипативные. гироскопические, потенциальные и неконсерватмвнни позиционные силы. Получены необходимые н достаточные условия асимптотической устойчивости установившегося движения.

В § 3.2 рассмотрен случай вращения ротора с постоянной угловой скоростью . Уравнения возмущенного движения приводятся к виду

// ^ /Ус

Здесь (с=ат , ^=7П , Лхи (производные

от /Г вычисляются на установившемся движении), У(л^/-совокупность членов нениже третьего порядка относительно ^ , & в разложении

Система уравнений (18) имеет вид системы (10) , исследованно? в § 1.3. При ('^^Д'^-^+^^ег^характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, а-остальные с отрицательными действительными частями. Проведено исследование устойчивости 1 становившегося движения в этом критическом случае. Найдены условия при которых- это движение неустойчиво, а тякже условия асимптоти- ■ ческой устойчивости.

Приведены результат* исследования в нелинейной пос шэвке. устойчивости стационарного движения ротора в случае, когда двигатель выключен и силы сопротивления отсутствуют. В этом случае при стационарном движении центр масс ротора С вращается вокруг . точки О с постоянной скорость: и лежит на отроьке ОР . Устойчивость стационарного движения в пе^-юм приближении достигается за счет гироскопической стабилизации. Рассмотрены также случаи резонансов третьего и четвертого порядков. На резонансных кривых выделены значения параметров при которых стационарное движете . устойчиво.

В § 3.3 рассматривается движение уравновешенного ротора, закрепленного на гибком невесо: эм валу " вращающегося с постоянной угловой скоростью. Учитывается действие на ротор оил как внешнего так и внутреннего трения. Сила внешнего трения пропорциональна скорости центра масс относительно неподвижной системы координат. Сила внутреннего трения пропорциональна скорости относительно систеш координат Ох. у , вращающейся вместе с ротором.

Уравнения возмущенного движения имеют вид (ю) и, согласно теореме I § 1.3, установившееся движение асимптотически устойчиг во при выполнении неравенства ( , о -ко-

эффициенты внешнего и внутреннего трения соответственно). Показано, что при переходе через критическую угловую скорость враще-

ния тютора ¿нз^ДС, возникает устой^вое периодическое движение ротора. Аналогичный результат получен и для неуравновешенного ротора с достаточно малы-- эксцентриситетом.

В четвертой г-аве теоретические результаты, полученные в гл. I, прик ;няются для решения задачи об устойчивости силового гироскопического горизонта и двухосного гиростабилизатора. С использованием тех же результатов гл. I, рассмотрена задача о стабилизации стационарного движения спутника. Исследована устойчивость и возникновение периодического движения гировертикали с радиальной коррекцией. На примере гирогоризонткомпаса исследована устойчивость относительного равновесия невозчущаемых шулеровских систем при циркуляционном движении точки подвеса по земной сфере. В нелинейной постановке проведен анализ устойчивости относительного равновесия этого маятника в области гироскопической стабилизация.

В 5 4.1 рассматривартся задяча об устойчивости силового гироскопического горизонта и двухосного гиростабилизатора. Уравнения возмущенного движения, соста. ленные для этих систем, по структуре сил идентичны и имеют вид

м

Для двухосного гиростабилизатора

"а о о <1

о в с о

о с с о

с! о о с/

А-

"о о 1 О "о о у, О

О О О 1 -П II ООО л

О О О 1 О О 0

О -1 О О [О О О .

Здесь СС , $ , С , / представляют собоЛ линейные комбинации моментов инерции платформы, кожухов и роторов гироскопов, причем <2>б/ , £>С ; ОС -коэффициенты трения в суп подвеса платформы и гироскопов; £ -кинетический момент гироскопа; ^ , Мг -коэффициенты пропорциональности сигналов, поступающих на оси платформы и кожухов гироскопов; -углы наклона Енеш-чго кольца и платформы, а , -углы повор та гироскопов вокруг осей прецессии.

^ршщ СГРгРК'б . <?/) 6+8А <тА<?

положительно определены при выполнении соответственно неравенстр

ЩсЩв-ф-с!)^ (£с/-ас)г>0

*

На основании теоремы 2 § 1.1 Х=0 , Х-0 асимптотически устойчиво при достаточно большом

Аналогичный результат получен в для гироскопического горизонта.

В § 4.2 исследуется устойчивое^ и возникновение периодического движения гировертикали с радиальной корргчщей. Уравнения движения имеют вид » • л • л • 31ео9у - + =0 .V

где о^ .углы поворота соответственно внешнего р внутреннего колец карданова подвеса; С7 -экваториальный момент инерции гироскопа, а -его кинетический момент; -коэффициент сил трения в осях подвеса колец; -величины моментов, ко-

торые подаются соответственно на оси внешнего и внутреннего колец подвеса. 0 7

Известно, что при (Л—) ДБИ_

жение о, асимптотически устойчиво, а при

/1<Гв -неустойчиво. При /2=6 характеристическое уравнение

имет па^ чисто мнимых корней и да- равных отрицательных корня. Показано, что в нелинейной постановке при /£—б? имеет место асимптотическая j JTOär зость и, следовательно, при Ж в возникает асимптотически устойчивое периодическое движение. Приближенно найдены его амплитуда и период.

Обращает на себя внимаю.. тот факт,что взаимодействие диссипа-тивных и неконсервативных позг-ионных сил, рассмотренное в §§ 2.3,3.3 и в настоящем параграфе, в каждом случае приводит к возникновению устойчивого периодического движения при переходе границы устойчивости, т.е. каждый раз имеет место бифуркация Индр:нова-Хопфа.

В § 4.3 проводится анализ устойчивости относительного равновесия гироге^изонткониаса при циркуляционном движении точки подвеса по земной сфере. Линейные уравнения возмущенного движения могут быть записаны в виде

r(=i)x2+ßxv

i^-ta+öxj (21)

Здесь^ ; R. -радиус зешого шара, ^ -ускоре-

ние сил тяготения, Л/^ -величина абсолютной скорост.: точки подвеса гиросферы, 52 -проекция абсолютной угловой скорости ги-росферы на геоцентрическую вертикаль места.

При циркуляционном движении точки подвеса северная и восточная составляющие о-чосительной скорости точки подвес.' равны %,-VCOSCüb ,ТГе-1Г$пЬ)Ь ( V, Ц) -постоянные). Тогда

и также являются периодическими функциями времени. Построены области неустойчивости, отвечающие дву... основным и комбинационному резонансам. Области неустойчивости являются широкими. Например, ща комбинационно1 о резонансай^Ц+Ш^-Яй

• (Qdb ' область неустойчивости дается нера

венством о

2\) (22)

В (22) ( , , Ь угловая скорость вращения Земли, Ч>в-Ч(о) ),£=■,уг=

Исключив переменные сс, , ЭС^ , систему уравнений (21) можно привести- к виду ■ ' *

Уравнения (23) можно рассматривать кпк уравнения возмущенного движения механической сьотеми под действием гироскопических, потенциальных и неконсервативных позиционных сил. Последние прис; ствуют только в случае переменного £2 . Стационарные механические системы с указанной структурой действующих сил, как правило, неустойчивы (механическая система с дв^мя степенями свобода всегда неустойчива). Аз.лив показал, что в случае периодических коэффициентов неустойчивость системы (23) возможна только при параметрическом резонансе, в вне областей неустойчивости нулевое решение устойчиво при достаточно малом £ ,

При Ь^=С0П${: (движение точ"и подвеса по парители о постояв-ной скоростью ~У=СОИ$Г ) неравенство

гг>1 (г*)

является условием устойчивости относительного равновесия в первом приближ'чии (условие гироскопической стабилизации).

В § 4.4 проведен анализ устойчивости в.нелинейной постановке относительного равновесия в области (24) . В силу полной аналогии гирогорг онткомпаса и маятника Щулера, анализ устойчивости проводился для последнего. Сформулируем полученные результаты. В области (24) относительное равновесие маятника Шулера устойчиво для ргех О, кроме, быть может, значений параметров "С , принадлежащих некоторой кривой » и неустойчиво

для значений X. , ¡Л принадлежащих кривой, отвечающей резонансу

. и на кривой, отвечающей резонансу при

О,1 <р<0,3$03>.. Частоты линейной системы ^ , удовлетворяют кривая Ъ(г,н)~0 была построена чиоленн . ^

В § 4.5. решае/ся задача о стабилизации стационарного движения спутника. к>следний представляет собой систему двух твердых тел (внешнее и внутреннее). Внешнее имеет сферическую полость, центр которой совпадает с центром тсс тела, а внутреннее находится в этой полости. О а тела обладают осям? динамической симметрии, которые в невозмуценнсм движении совпадают. Рассматривается движение центра масс спутника по круговой орбите с Ь)0-СоЛ^т Положение спутника относительно орбитальной система координат определяется углами Эйлера В1 , ( -внешнее, с-2 --•"нутреннЕ ). Относительное движение тел происходит под действием силы, обладающей потенциалом 2

Спутник может совершать стационарное движение (цилиндрическая прецессия), которому соответствуют значения координат

е£=Гг = о , (гг/

В возмущенном движении с помощью дглгателей к спутнику прикладываются моменты

со$ч* Ш&с Рс+со^'1 + Срс Ч ,¿-Ьг

Здесь рС , , Хс -проекции абсолютной угловой скорости на главные центр.-яьные оси инерции; /У¿>0 -постоянные; -поо

гоянные циклических интегралов (координаты циклические).

Уравнения возмущенного движения можно привести к виду

"о о о'

о о О ■Л

0 - J.i О О о

° л О О

К системе (26) применим доказанную^ § ТЛ^еорему _2. Воло-^ -жите.-»ную определенность матрицы ^ Р+РГА ¿г+^А К

можно достичь выбором. Тогда, согласно этой теореме, стационарное движенир (25) при достаточно большом Д апмптоти— чески устойчиво по отношению к &С , , , .

Основные результаты их научная нолизна,

1. Доказан ряд теорем об устойчивости механических систем, находящихся под действием диссипативных, гироскопических, потенциальных и неконсервагивных позиционных сил.

2. Предложен способ построения функции Ляпунова для анализа устойчивости потенциа"мгах механических систем, на когорте действуют неконсервативные позищкь.-ше сшпг, и с помощью которой получены для ряда случаев условия устойчивости равновесия для систем с /Ь степенями свободы.

3. На основе доказанных общих теорем "б устойчивости и предлс -женного способа построения функции Ляпунова, решен сл'туюглй ряд прикладных задач: проведен анализ устойчивости рпновесия составного маятника с упругими элементами, находящегося под действием следящей силы; исследована устойчивость движения гироскопических систем: силовой гироскопический горизонт, двухосный гиростаби-лизатор, гирогоризонткомпас.

С по!..лцью доказанных теорем об устойчивости такйе решена задача о стабилизации стационарного движения спутника с помощью внешних моментов.

4. Исследована устойчивость установившегося и периодического движений неуравновешенного ротора на который действуют силы-сопротивления. .

Практическая значимость результатов определяется разработкой конструктивных подходов к исследованию устойчивости движения не-консерватпвных механических систем с наиболее общей структуре : действующих сил.

Совокупность научных результатов, полученных в диссертации, представляется как теоретическое обобщение в задаче устойчивости неконсервативных механических систем и его использование для эффективного решения задач устойчивости механических систем, находящихся под действием сил различной структуры.

Результат . диссертации опубликованы в работах:

1. Агафонов С.А. Об устойчивости маятника Щулера при движении точки подвеса по ортодромия. Изв.АН СССР. MIT. Г982.Л5.С.57-59.

2. Агафонов С,А. Об устойчивости маятника Шулера при движении точки подвеса по параллели с постоянной скоростью. Изв.АН СССР. MIT. 1984. 'M. С. 22-25.

J. Агафонов С.А.,Сшнько Л.Е. Об устойчивости стационарного движения плоского твердого тела под действием центральной силы. Изв.АН СССР. «ГГ. 1985.Ä2. С.25-29.

4. Агафонов С.А. К вопросу устойчивости неконсервативных систем. Изв.АН СССР. МГТ. 1986.BI, С. 47-51.

5. Агафонов С.А. Влияние неконсервативных сил на устойчивость и собственные частоты механической системы. Аннот. докладов У1-го Всес. съезда по теоретической и прикладное механике. Таакент. 1986. С.16.

6. Агафонов С.А. Об асимптотической устойчивости негонсерватнв-кнх систем. Изв.АН СССР. KIT. I988JS3.C.3-8.

7. Агафонов С.А. Об устойчивости установи! ихся движений вращающегося вала. 1Ьв.АН СССР. МГТ. 1989.Ä6.С.61-65.

8. Агафонов С. А. Бифуркация рождение цикла в задаче о движении вращающегося вала. Изв. вузов. ?&шаностроепяе. 1989.M.С. 22-25.

9. Агафонов С.А. Построение предельного цикла в задаче о движения врагиипегсся вала. Изв. вузов. Машине троение. 1989.312. С. 51-53.

10. Агафонов С.А. О неустойчивости гирогоризонткомпаса на циркуляции. "Изв.АН СССР. ШТ. I99I.Ä4.C. 13-15.

11. Агафонов С.А. Об устойчивости неконсервативных механических систем. В сб. докладов междунар. научно-техн. конференции

"Актуальные проблемы фундаментальных наук". - Москва. МГГУ им. Н.Э. Баумана. I99I.C.5-8.

12. Агафонов С. А. Об устойчивости неконсерватнвннх.механических систем. Докл.РАН. 1992. Т.322. «6. С.1040-1042.

13. Агафонов С.А. Об устойчивости движения некон^ервативных механических систем. ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 2. С. 213-217.

14. Агафонов С.А. Об устойчивости и автоколебании двойного маятника с упругими элементами, находящегося под действием следящей силы. Изв.АН СССР. ШТ. 1992. М. С.

15. Агафонов С.А. 0 стабилизации механической системы неконсервативными позищ")иными силами. В сб.: Второе Всесовзное совещание-семинар "Инженерно-физические проблемы новой . техники". Тезисы докладов. - Мэсква: Изд-во ЫПГ7 им.Н.Э.Баумана. 1992.С.П4-П5.

Подписано к печати 10.06.92г. Зак. 340. объем 1.0п.л. Тир, 100 экз. Типография МГГУ.