Об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ
|
Борисова, Татьяна Анатольевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ульяновск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
БОРИСОВА Татьяна Анатольевна
РГ5 ОД
П Г> 1МЛ Г)
' г.и,: '
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ
01.02.01 - теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2000
Работа выполнена на кафедре механики и теории управления в Ульяновском государственном университете.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор А.С. Андреев
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор А.В. Карапетян кандидат физико-математических наук, доцент И.А. Галиуллин
Ведущая организация: Вычислительный Центр РАН
Защита диссертации состоится « 22 » декабря 2000 года в 16 час. 00 мин. на заседании диссертациошюго совета К 053.22.03 в Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6).
Автореферат разостлан « № » 2000 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат физико-математических наук,
доцент
С.В. Волков
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Одной из важных прикладных задам теоретической механики, получившей большое приложение в конструировании гироскопических систем, является задача о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия механической системы. Ее изучению посвящены работы А.И. Лурье, Б.В. Булгакова, Д.Р. Меркина, К. Магнуса и других ученых. Но систематическое исследование этой задачи проводилось только для стационарной системы. Это связано с невозможностью использования в нест ационарном случае теорем об устойчивости на основе линейного приближения и неэффективностью в этом случае основных теорем прямого метода Ляпунова. Новое развитие прямого метода Ляпунс>ва позволяет обосновать решение задачи о влиянии структуры сил л а устойчивость положения равновесия механической системы, как под действием сил, зависящих явно от времени, так и нестационарными связями. К изучению такой задачи сводятся многие исследования об устойчивости движений гироскопических систем на подвиж:ном основании, об устойчивости программных движений управляемых механических систем.
Цель работы. Развитие ряда известных результатов по исследованию задачи устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем и применение получаемых результатов к решению конкретных задач о стабилизации движений управляемых механических систем.
Научная новизна. В диссертации представлены нопые результаты задачи об устойчивости положения равновесия механической системы с нестационарными связями под действием гироскопических, потенциальных, неконсервативных и диссипативных сил, а также сил специального вида, зависящих явно от времени.
Положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:
1. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости'
положения равновесия нелинейной механической системы под действием сил, зависящих явно от времени.
2. Условия асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия механической системы с нестационарными связями.
3. Новые способы стабилизации движений гироскопических систем на подвижном основании, в том числе решения задач об устойчивости функционирования гирокомпаса и гирогоризонтком-паса, установленных на подвижном основании, совершающем нестационарные пространственные движения.
Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе могут быть использованы при изучении устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости и стабилизации движений различных механических систем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
-1У-й Международной конференции "Пространство, время, тяготение" (Санкт-Петербург, 1996 год);
-Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики" (Ульяновск, 1996 год);
IV-V ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1995, 1996 гг.).
Личный вклад автора. Постановка общей задачи сделана научным руководителем. Результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 9 работах [1-9].
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 121 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем - 98 стра-
ниц машинописного текста.
Содержание работы
Во введении дается краткий обзор имеющихся работ по данной теме, краткое изложение полученных в диссертации результатов.
В первой главе изучается задача о влиянии структуры сил, зависящих явно от времени на устойчивость положения равновесия механической системы со стационарными связями.
В параграфе 1.1 дается постановка задачи. В качестве уравнений движений используются уравнения Лагранжа второго рода:
/ \т ^Я
где ц = (<7! (72 •■• Яп) ~ обобщенные координаты, ¿¡—-г - обобщенные
т,
скорости, Т - кинетическая энергия системы, 2Т = 4(<7) есть
определенно-положительная матрица, а нелинейная обобщенная сила С} в общем случае является функцией координат д, скоростей д и времени £, {.)т— операция транспонирования,
1Ы12 = 9? + ... + «2, (а,Ь)= ЕаА.
¿=1
Допустим, что обобщенная сила
Р(*.9,9) = <Э1(«,д) + сЫ*,д), р1(г,0) = о, сьМ) = о (2)
Тогда, действие можно представить как действие
совокупности потенциальных, неконсервативных, гироскопических и диссипативных сил. А именно, аналогично автономному случаю1
Qit,q,q) = -grad П + D(£, q) + G{t,q) + R{t,q).
где П — II(t, q) - есть некоторая скалярная функция, (R, q) = 0, D(t, q) —grad F, F = F(t, q) - есть некоторая скалярная функция, (G, q) = 0.
'Ыеркин Д.P. Введение в теорию устойчивости движения.//М.:Наука.-1987. - 304 с.
Согласно (2) и этому определению, имеем 0) = 0, R(t, 0) = 0, D(t, 0) = 0, G(i, 0) = 0,
dq
так что система (1) имеет положение равновесия
<7 = <7 = 0. (3)
В параграфе 1.2 рассмотрена устойчивость положения равновесия системы на которую действуют потенциальные, гироскопические и диссипативные силы, т.е. системы описываемой уравнениями „ „„ „ „
d дТ дТ дП „ „ ..
= + D + (D'q)^° (4)
Получены следующие результаты:
Теорема 1. Допустим , что:
1) потенциальная энергия системы есть определенно-положительная
функция, т.е. выполняется II(t,q) > /i(||g||), и является невозрастаю-
дП
щей функцией по времени —— < 0;
at
2) положение равновесия (3) является изолированным,
Il Q YJ И
— > 5(e) > 0 при ||9|| = е > 0; I og II
3) диссипативные силы являются силами полной диссипацией, т.е. таковы, что
(D,q) = N(t,q,q) < Щд) < 0, Щд) = 0 g = 0.
Тогда положение равновесия системы (4) g — g = 0 равномерно асимптотически устойчиво.
Из условия 1 теоремы в общем случае следует, что потенциальная энергия n(t,g) —> Яц(д) при t -» +оо. Это берется за основу исследования задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия под действием диссипативных сил с частичной диссипацией, зависящих явно от времени. Получен результат, развивающий соответствующий результат Пожарицкого2 для автономного случая.
^Пожарицкий Г.К. Об асимптотической устойчивоости и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией.//ПММ. - 1961. Т.25. -Вып.4. - C.657-GG7.
G
Теорема 2. Допустим, что:
1) потенциальная энергия II(t, q) такова , что в любой малой окрестности точки q = О существуют точки в которых /7(£, q) < 0, при
этом n(t,q) ограничена снизу и является невозрастающей в обла-
д ТТ
сти {IJ(t,q) < 0}, т.е. II(t,q) > то = const,< 0 для каждого qe {n(t,q) <0};
2) в области {n(t,q) < 0} нет положений равновесия системы (4), таким образом, что
-q^ > ¿(s) > 0 для каждого q 6 {TI{t,q) < г < 0};
3) диссипативные силы являются силами полной диссипации
(D,q) = Ne{t,q,q)<Ni(q)<0, ВД) = 0 g = 0. Тогда положение равновесия системы (4) q = q = 0 неустойчиво.
Рассмотрена задача об устойчивости вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг точки, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания. Получены достаточные условия для асимптотической устойчивости и неустойчивости вращений. Исследована задача о стабилизации оси симметрии твердого тела под действием моментов /дисси-пативных сил с частичной диссипацией.
В §1.3. исследована задача об устойчивости под действием гироскопических и диссипативных сил. Получены следу ющие результаты:
Теорема 3. Положение равновесия системы, .на которую действуют одни гироскопические силы, устойчиво относи тельно скоростей.
Теорема 4. Пусть на систему действуют только гироскопические и линейные диссипативные силы с полной диссипацией, В — —Яд, где матрица 5 положительно-определенная, размерностью п х п. Тогда положение равновесия = д = 0 системы аси.мптотиче-
ски устойчиво относительно совокупности скоростей <7 и устойчиво относительно координат д.
Также в этом разделе исследованы задача о влиянии на устойчивость положения равновесия линейных гироскопических и линейных диссипативных сил с частичной диссипацией и задача о гашении вращающихся движений твердого тела вокруг неподвижной точки.
В параграфе 1.4 рассмотрено влияние на устойчивость положения равновесия неконсервативных сил. Получен ряд теорем о неустойчивости положения равновесия и рассмотрен пример.
Во второй главе рассматривается задача об устойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с нестационарными связями, а также об устойчивости функционирования гироскопической системы на подвижном основании. Назначением гироскопической системы является определение положения, курса, скорости и других параметров объекта на котором она установлена. При этом возникает задача о выявлении общих свойств гироскопических систем, исследование условий их устойчивости и стабилизации движений.
В первом параграфе рассматривается задача об устойчивости положения равновесия механической системы с нестационарными связями. Рассмотривается механическая система, описываемая п обобщенными координатами 91,172,...,дп. Кинетическая энергия такой системы имеет следующий вид
Т = Т2 + Тх + Т0,
где
Т2 = ^дтА(1,д)д, Тх = Вт(^д)д, Т0 = Т0{Ь,д),
А={ац}, В = (Ь, Ьа ... Ьп?. Уравнения движения системы в форме Лагранжа представляются в следующем виде
А дТг дТ2_ дТ0 дВ дВ дВт _ т
Система (5) имеет положение равновесия д = д — 0, если действующие силы таковы, что
СЗМ.О) =
дв дт0
9=0
Эти соотношения считая выполненными, положим
(дТо _дВ\ \дд дЬ)
= Qol(t> ог) + Qo2(í, д)
,=0
Тогда, аналогично случаю стационарных связей, уравнения движения (5) под действием совокупности внешних сил и инерционных сил, вызванных нестационарностью голономных связей можно представить в виде
Получены следующие результаты. Теорема 5. Допустим, что на систему (6) действуют потенциальные, гироскопические и диссипативные силы, причем
1) потенциальная энергия системы есть определенно-положительная
функция, Пи,д) > /г(!|<7||) > 0 , а ее частная производная по времени дЛ п
Ж ЗЛ
2) действие диссипативных сил таково, что 2(0,я) — ^-^д < 0. Тогда положение равновесия д — д = 0 устойчиво.
Теорема 6. Допустим , что:
1) потенциальная энергия системы такова, что при малых ||д|| потенциальная энергия определенно-положительна, т.е. выполняется
> МЦдЦ), и является невозрастающей функцией по времени
Vй „ "аГ - ;
2) положение равновесия (3) является изолированным,
<"\ Т-Г
>8{г)> 0 * при ||д|| = е > 0;
дд
3) диссипативные силы таковы, что 1 ВА
- = ^(«.9,5) < ВД) < 0, ^(д) = О <? = 0.
Тогда положение равновесия системы <7 = </ = 0 равномерно асимптотически устойчиво.
Теорема 7. Допустим, что:
1) функция П (Ь, <7) такова , что она является невозрастающей по времени, — < 0;
2) в малой окрестности точки <7 = 0 существуют точки в которых потенциальная энергия отрицательна, П(Ь,д) < 0, при этом
д П
—— > 5(е) > 0 в области П(1, щ) < е < 0. ОЧ
3) диссипативные силы таковы, что
1 ВА
(D,q) - -f-^q = NS,4,q),<Ni(Q) < 0, Щд) = 0 д = 0. Тогда положение равновесия системы q — q = 0 неустойчиво.
Теорема 8. Допустим, что действие связей таково, что
Тогда положение системы, на которую действуют одни гироскопические силы, устойчиво относительно скоростей.
Теорема 9. Предположим, что действуют гироскопические и линейные диссипативные силы, при этом
qT (—~ S") Я < -7o||9||2, 70 = const > 0.
Тогда положение равновесия q = q — 0 системы асимптотически устойчиво относительно совокупности скоростей q и устойчиво относительно координат q.
Теорема 10. Допустим, что действие сил приводится к действию неконсервативных и линейных диссипативных сил, таких, что:
1) положение равновесия д = <7 = 0 является изолированным Щг.О) = О, ||К(<,9)|| > ¿(е) > 0 при ||д|| = £ > 0;
2) диссипация не убывает по времени, д > 0. Тогда положение равновесия <7 = 7 = 0 неустойчиво.
Теорема 11. Допустим, что:
1) неконсервативные силы таковы, что К(£,0) = 0 и для малых
||К(*,д)||>г(е)>0при||д||=£>0;
2) потенциальные силы таковы, что потенциальная энергия П(д,1) имеет максимум, определенный наинизшими членами разложения ее в ряд по степеням <7, и это свойство невырождается при £ —> +оо;
3) на систему действуют диссипативные силы с неубывающей по вре-
- ТдБ ^ п мени диссипациеи д —д > и.
Тогда положение равновесия д = д = 0 неустойчиво.
Пусть действие внешних инерциальных сил приводится к действию линейных гироскопических и диссипативных сил, а действие потенциальных и неконсервативных сил представляются в специальном виде
дд
где С(Ь, д) -—есть невырожденная определенно-положительная матрица п х п, причем матрицы = Ст(Ь,д) и А(Ь,д) перестановочные,
т.е. АС = С А, П = П0(г,(7).
Теорема 12. Предположим, что:
1) функция П — Щ{Ь,д) > /г(!1<?1!) - определенно-положительная;
2) <7 = д = 0 есть невырожденное изолированное положение равновесия,
дП0 дд
3)дт[АС-1СС~1А + АС~\Б - Г) + (Г + 5)С"1Л]<7 > 7о||<7||2, Ы > 0);
Тогда положение равновесия д — д = 0 равномерно асимптотически устойчиво.
> 5{е) > 0, если ||<7|| = £ > 0.
> 6(e) > 0 для всех q 6 {Я0(£,<7) = -е < 0};
Теорема 13. Предположим, что:
1) функция Я = Яо(£,д) такова, что Я = Яи(£, 0) — 0; в любой достаточно малой окрестности точки q = 0 потенциальная энергия принимает отрицательные значения;
2) в области Яо(£, <?) < 0 нет положений равновесия и это свойство является невырожденным, т.е.
ДЭЯо
II
3) ^[ЛС-^С-М + - Г) + [(Г + 5)С-М]д < —у0||дЦ2, (7о > 0);
Тогда положение равновесия <7 = <7 = 0 неустойчиво.
Далее в параграфе решаются следующие задачи: об устойчивости вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг точки, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания; об устойчивости гирокомпаса с маятником.
В §2.2 рассматривается гироскопическая система, стесненная голономными стационарными в движении относительно основания связями, содержащая г симметричных гироскопов. Ее положение относительно основания задается п обобщенными координатами <7i, <72, ■ ■ ■ i9n и г углами собственных вращений гироскопов Vi > • - •, fr- Основание гироскопической системы совершает заданное движение относительно инерциального пространства. Дополнительные голономные, нестационарные связи обеспечивают постоянные скорости собственных вращений гироскопов фо = const.3
Кинетическую энергию такой системы в абсолютном движении Та можно представить в виде
Та = т2 + Ti + То, Т2 = \qTA{q)q, Тх = 5Т(£,<7, фа)д, Т0 = T0{t,g, фо)
3Матросов В.М. К задаче устойчивости гироскопических систем на подвижном основании. //Тр. Каэанск. авиац. ин-та. - Вып.71. - 1962.- С.12-35.
В матричной форме уравнения движения имеют вид
ат дт2 дБ
Пусть уравнения (7) допускают расчетное движение
Допустим, что равнодействующая обобщенных сил есть совокупность сил собственно гироскопической системы б?с(£,<2, <7) и специальных сил коррекции
дБ дТ01
_дЬ дд
<1=0
, <эс(г,а,о) = о,
и соответственно система (7) имеет положение равновесия 9 = 9 = 0, отвечающее заданной ориентации гироскопической систе мы в пространстве.
Пусть имеет место следующее представление действия всей совокупности сил
<?с(«,9,д) + <2к + я) - д) = + 9, ч)\
Теорема 14 Предположим, что:
1) функция /7о(£, д) определенно-положительна и такова, что при малых ||д|| = е > 0 выполнено
Ш Ы
< о,
ОПа
дд
2) диссипативные силы таковы, что
> 6(Е) > 0;
~9ТЯ(*,д)д < Щй) < 0, М(д) = 0 9 = О. Тогда положение равновесия системы д = д — 0 равномерно асимптотически устойчиво и, следовательно, устойчиво при постоянно действующих возмущениях.
Пусть
П Л л. дТ° дВ 9П» I П ii Л
Qc + Qb + -Щ - ж = -Р-щ- + QAt, я, в),
где р — p(t,q) есть скалярный коэффициент, удовлетворяющий соотношениям
О < ро < p(t,q) < pi,
Эр II
< Р2 = const.
Теорема 15. Предположим, что
1) функция Ло(£, д) определенно-положительна и такова, что для мап и ^ \\дПо лых ||д|| = £ > 0 выполняется неравенство
dq
> 6(e) > О
2) диссипативные силы таковы, что имеет место соотношение
(q)T 2tf(t,g) +
1 dp(t,q)
Жд) И>7о||д||2,7о> 0.
p(t,q) dt
Тогда расчетное движение q = q = 0 равномерно асимптотически устойчиво и устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Пусть
лти ли
(8)
где P(í) есть положительно-определенная, ограниченная матрица, Теорема 16. Предположим что,
1) действие инерциальных сил, потенциальных сил собственно гироскопической системы и сил коррекции представимы в виде (8);
2) функция По[Ь,д) определенно-положительна и такова, что для ма-
дП0
dq
> 6(e) > 0,
лых |[д|| = е > 0 выполняется неравенство
3) диссипативные силы таковы, что имеет место соотношение
+ НТР-^А + АР^РР^АЦ > 7о||д||2 > 0, (70 > 0). Тогда расчетное движение д = д — 0 равномерно асимптотически устойчиво, и, следовательно, устойчиво при постоянно действующих возмущениях.
В нелинейной постановке исследована задача об устойчивости нулевого положения маятника Шулера в предположении, что действуют силы вязкого трения, образующие диссипативный момент. Вновь исследована задача о функционировании гирокомпаса при более общих предположениях, а именно, с учетом масс кожухов и внешнего кольца в нелинейной постановке.
В параграфе 2.4 исследуется задача об устойчивом функционировании гирогоризонткомпаса на подвижном основании.
Заключение.
Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:
1. Определены достаточные условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия нелинейной механической системы в зависимости от структуры сил, зависящих явно от времени.
2. Исследована задача об устойчивости и асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы нестационарными связями. Это положение равновесия может существовать при определенном соотношении между действующими силами и инерци-альными силами, вызванных нестационарностью связями. Показано, что как и в случае стационарной механической системы, рассматриваемая задача может быть сведена к задаче об устойчивости под действием потенциальных, гироскопических, диссипативно-ускоряющих и неконсервативных сил, зависящих от времени. Соответственно в зависимости от взаимодействия этих сил найдены условия устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия.
3. Исследованы условия устойчивости положения равновесия и вращательных движений простых механических систем: вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг точки, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания; нестационарные вращательные движения твердого тела вокруг неподвижного центра масс; гирокомпаса с, маятником
без учета масс кожуха и внешнего кольца.
4. Исследована задача об устойчивом функционировании гироскопических систем на подвижном основании. Гироскопические системы представлены в виде системы, стесненной голономными стационарными связями, содержащей г симметричных гироскопов. Определен общий метод построения упргвляющих сил, обеспечивающих устойчивое функционирование рассматриваемых систем. В качестве примера решена задача об.устойчивости маятника Шулера и устойчивости функционирования гирокомпаса с учетом масс кожуха и внешнего кольца.
5. Рассмотрена задача об устойчивом функционировании гирого-ризонткомпаса, установленного на подвижном основании, совершающем произвольные движения по поверхности Земли. В качестве уравнения гирогоризонткомпаса взяты полные уравнения. Найден явный вид управляющего момента, при котором гирорама выполняет функцию гирогоризонткомпаса. Определены стабилизирующие моменты, обеспечивающие заданную ориентацию гирогоризонткомпаса.
По теме диссертации опубликованы следующие
работы:
1. Борисова Т.А. О влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия нестационарной механической системы. -Москва, - 1995,- 21 е.- Деп. в ВИНИТИ 10.11.95, №2988-В 95.
2. Борисова Т.А. Об устойчивости гироскопических систем. //Тезисы докладов студентов и аспирантов: IV ежегодная научно-практическая конференция. 21 апреля, 1995 - Ульяновск. - 1995.- С. 9-10.
3. Борисова Т.А. Об устойчивости невозмущаемых гироскопических систем. //Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем ". - Киев: Ки-
евский государствнный университет, 15-19 мая 1995 Г.-С.26.
4. Андреев A.C., Борисова Т.А. Об исследовании устойчивости гироскопических систем на подвижном основании. //Механика и процессы управления: Сборник науч.тр. УлГТУ. - Ульяновск. -1996.- С.83-89.
5. Борисова Т.А. Исследование устойчивости уравновешенного гироскопа в .кардановом подвесе, под действием малого возмущенного момента. //Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета: Тезисы докладов ежегодной научно-практической конференции. Апрель, 1996 г. - Ульяновск. - 1996. С. 19.
6. Борисова Т.А. О влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия нестационарной механической системы. //Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. - Ульяновск: УлГУ, 1996. Вып.1. 4.1. - С.52-58.
7. Борисова Т.А. Об устойчивости положения равновесия механической системы с нестационарными связями. //Тезисы докладов Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". - Донецк, Украина,2-6 сентября 1996 г.
8. Борисова Т.А., Юрьева О.Д. О влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия неавтономной механической системы. //Тезисы докладов IV Международной конференции "Пространство, время, тяготение": Программа и тезисы — 16-21 сентября 1996 г., Санкт-Петербург, Россия
9. Борисова Т.А. Об устойчивости функционирования гиро-горизонткомпаса на подвижном основании. //Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. - Ульяловск: УлГУ, 2000. Т.8. Вып.1. - С.39-45.
Борисова Татьяна Анатольевна (Российская Федерация) Об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы
Диссертация посвящена исследованию задачи устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем и гироскопических систем на подвижном основании, применению получаемых результатов к решению конкретных задач о стабилизации движения управляемых механических систем.
Borisova Tatyana A. (Russian Federation) On the equlibrium stability of non-stationary mechanical system
The thesis is devoted to investigation of the equlibrium stability problem for nonautonomous mechanical systems and gyroscopes with moving gimbles, application of the results obtained to the certain problems on the controlable mechanical systems stabilization.
Э.х/.гс&е /Ъ^-э -3с?с. ¥¿6'
г -пес/г^/г^-у ¿v з. Тс OfO/z /->v 0V
Введение.
Глава 1. Об устойчивости положения равновесия механической системы под Действием сил, зависящих от времени.
§1.1. Постановка задачи.
§1.2. Об устойчивости положения равновесия системы под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил.
§1.3. Задача об устойчивости под действием гироскопических и диссипативных сил.
§1.4. О влиянии неконсервативных сил на устойчивость положения равновесия механической системы.
Глава 2. Об устойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с нестационарными связями.
§2.1. Об устойчивости положения равновесия системы с нестационарными связями.'.
§2.2. О стабилизации установившегося движения механической системы на подвижном основании.
§2.3. Об устойчивости функционирования гирокомпаса.
§2.4. Об устойчивости функционирования гирого-ризонткомпаса на подвижном основании.
Задача об устойчивости положения равновесия механической системы является классической задачей в теории устойчивости. Теорема об устойчивости положения равновесия под действием потенциальных сил была сформулирована Лагранжем (Ь.1^га1^е[117]) еще в 1788 году, а ее доказательство было дано Дирихле (С.Ье]еипе-БшсЫе [118]). Дальнейшее исследование связано с именами Томсона и Тета [121], которые сформулировали известные четыре теоремы о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия. Их строгое доказательство было дано Н.Г. Четаевым [107,108]. В последующие годы данная задача многосторонне исследовалась в трудах многих ученых.
Задача об устойчивости положения равновесия механической системы со стационарными связями под действием сил, не зависящих явно от времени, в настоящее время достаточно подробно изучена. Показано, что она в общем случае может быть рассмотрена как задача об устойчивости под действием потенциальных, неконсервативных, гироскопических и диссипативно-ускоряющих сил (см. [62,69]). Основной метод исследования заключается в составлении уравнений линейного приближения и в определении их устойчивости на основе корней характеристического уравнения или построения функции Ляпунова. Многочисленные результаты в этой области подробно представлены в известных монографиях [63,69,70]. В последующем существенные результаты получены в работах [1-3,28,29,4244, 52,59,80,99,100]. Их структура и сравнительный анализ освещен в этих работах достаточно подробно.
К задаче об устойчивости положения равновесия тесно примыкает задача об устойчивости стационарных движений механических систем, в основе исследования которой — метод Четаева связки интегралов и теоремы типа теорем Рауса-Ляпу нова [8,49,58,81,91,109, 119 и др.]. Однако ее исследование даже в случае потенциальных сил осложняется появлением в уравнениях Рауса дополнительных слагаемых гироскопического характера. Подробный анализ результатов в этой области проведен в обзорах [50,84,91].
Основной областью применения разработанных методов исследования устойчивости под действием структуры сил являются задачи об устойчивом функционировании гироскопических систем [41,43,46,47,53,57,95,96]. При этом, эти методы используются как для анализа устойчивости по прецессионным уравнениям [46,53,69], так и по полным уравнениям движения [41,45,55,56,97,98]. При исследовании устойчивости на основании полных уравнений успешно применяется прямой метод Ляпунова с использованием функции Ляпунова в виде полной энергии [41,78,89] или связки интегралов [81,97-99], а так же построением специальных функций Ляпунова.
Результаты общих исследований о влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия стационарной механической системы с успехом используются в решении многих задач о стабилизации установившегося движения управляемой механической системы [54,57,60,78,79,86,88,92].
Подробнее остановимся на результатах исследования задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия нелинейной механической системы как наиболее примыкающей к теме работы.
В.В. Румянцевым [85] и В.М.Матросовым [65] была показана асимптотическая устойчивость положения равновесия нелинейной механической системы по скоростям под действием гироскопических сил и сил полной диссипации. В.М. Матросовым в [66] рассмотрена механическая система, у которой некоторые коэффициенты устойчивости Пуанкаре равньх нулю, а остальные больше нуля. Под действием диссипативных сил с полной диссипацией и произвольных гироскопических сил получили, что нулевое положение равновесия системы устойчиво, а всякое возмущенное движение стремится к одному из имеющихся положений равновесия.
В работе Г.К. Пожарицкого [82] ,была исследована асимптотическая устойчивость под действием сил частичной диссипации. В этой работе указаны условия при которых введение диссипации по части координат обеспечивает асимптотическую устойчивость изолированного положения равновесия. Устойчивость неизолированного положения равновесия системы с двумя степенями свободы рассмотрена в [103].
В работах [66,67,82] по существу содержалось доказательство в общем случае теоремы об асимптотической устойчивости изолированного положения равновесия автономной механической системы под действием сил полной диссипации. Несколько более полно оно было дано Л.Сальвадори в [119], к которому и относят этот результат [93]. В [66,67] указан соответствующий результат о неустойчивости. Этот же результат на основе использования теоремы Барбашина-Красовского в нелинейной постановке дан В.Г.Койтером (см.[93]), а затем уточнен в [55,93].
Условия асимптотической устойчивости по скоростям и части координат нулевого положения равновесия автономной механической системы под действием сил полной и частичной диссипации получены в работах [77,85,87].
До настоящего времени остается мало исследованной задача об устойчивости положения равновесия в случае, когда действующие силы зависят от времени или на систему наложены нестационарные связи. Это объясняется как сложностью использования в исследованиях уравнения линейного приближения, так и сложностью построения специальных функций Ляпунова.
Вместе с тем, задача об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы является актуальной, т.к. она имеет широкое приложение в исследовании устойчивости программных движений механических систем, в исследовании устойчивости функционирования гироскопической системы, установленных на объекте, совершающем нестационарное пространственное движение.
Задача об устойчивости программных движений возникла в процессе обоснования методов решения обратных задач механики [32,33,38,39]. Основное развитие этого важного направления аналитической механики и теории устойчивости получило в трудах научной школы, возглавляемой A.C. Галиуллиным [37-39]. Среди многочисленных работ этой школы отметим исследования по обоснованию динамики систем с устойчивыми программными связями в работах [74-76], т.к. результаты данной диссертации могут в дальнейшем развиты для задачи об устойчивости систем программных движений именно в направлении, развитом в этих работах.
Задача об устойчивости гироскопических систем на подвижном основании исследовалась следующими методами. Изменяющиеся во времени параметры системы принимались в виде периодических по времени или стахостических функций [43,63,95], что позволяет использовать для определения влияния изменения параметра по времени на устойчивость установившегося режима работы гироскопа методы исследования нелинейных систем [30,40,43,83,95,105].
В работе В.М. Матросова, [68] рассматривается механическая система на подвижном основании, несущая гироскопы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью. При наличии сил коррекции гироскопическая система определяет заданную ориентацию. Условие асимптотической устойчивости заданной ориентации найдено с построением функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Подробнее остановимся на анализе работ, определяющих условия устойчивости нестационарной системы, в зависимости от структуры сил.
В.М.Матросовым в [67] показана асимптотическая устойчивость и неустойчивость изолированного положения равновесия механической системы под действием диссипативных и гироскопических сил, зависящих явно от времени, в зависимости от наличия минимума потенциальной энергии в этом положении.
Асимптотическая устойчивость по координатам аналогичной системы, но с потенциальной энергией II(t,q) = p(t)IIo(q) при условиях p(t) > 0,p(t) > 0, показана Л.Сальвадори в [120].
Условия асимптотической устойчивости и неустойчивости для механической системы с одной степенью свободы и переменными коэффициентами демфирования получены в [113].
Работы по исследованию частичной асимтотической устойчивости положения равновесия механической системы выполнены Й. Тереки, Л.Хатвани, Л.Хатвани и Й.Тереки [101,103,106]. Различные условия асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости по скоростям и сходимости движений по координате для механической системы с одной степенью свободы получены в работах [106,114]. В [114] показана асимптотическая устойчивость и неустойчивость по скоростям и части координат механической системы под действием гироскопических и диссипативных сил, зависящих от времени, когда потенциальная энергия определенно-положительна, допускает бесконечно малый высший предел по этим координатам. Условия асимптотической устойчивости по скоростям под действием диссипативных сил, в том числе неограниченных, и предельное поведение при этом достаточно малых возмущенных движений исследованы в [102,103,114-116]. Среди результатов последнего времени по исследованию положения равновесия нестационарной механической системы большой интерес представляют работы [72,73].
Новые методы исследования устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений позволили A.C. Андрееву получить различные результаты по исследованию устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем и их стабилизации [6,7,11,12,14,15].
Целью настоящей диссертации является развитие результатов работ [6-16] об исследовании задачи об устойчивости положения равновесия неавтономных механических систем и гироскопических систем на подвижном основании и применение получаемых результатов к решению ряда конкретных примеров.
В первой главе исследуется задача о влиянии структуры сил. зависящих явно от времени на устойчивость положения равновесия механической системы со стационарными связями.
В первом параграфе дается постановка задачи, приводятся основные теоремы разложения произвольной силы на ее составляющие: совокупность потенциальных, неконсервативных, гироскопических и диссипативно-ускоряющих сил. Указаны основные свойства этих составляющих. Формулируется задача об устойчивости положения равновесия, движение которой описывается уравнениями Ла-гранжа второго рода, в зависимости от вида действующих сил.
Во втором параграфе получены теоремы об устойчивости и неустойчивости положения равновесия под действием потенциальных, гироскопических и диссипативных сил на основе функции Ляпунова, имеющую знакопостоянную производную. Рассматриваются применение полученных теорем к исследованию устойчивости конкретных систем.
В третьем параграфе рассматривается задача об устойчивости нулевого положения равновесия под действием гироскопических и диссипативных сил. Получен ряд теорем. В качестве примеров рассмотрены уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижного центра масс под действием моментов диссипативных сил, пропорциональных угловой скорости и задача о гашении вращательных движений ассиметричного твердого тела.
В четвертом параграфе исследована задача о влиянии неконсервативных сил на устойчивость положения равновесия механической системы.
Результаты первой главы развивают и обобщают результаты работ [69,70,95].
Вторая глава посвещена задаче устойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с нестационарными связями.
В первом параграфе дается постановка задачи и формули-рутся основные теоремы об устойчивости нулевого положения равновесия механической системы с нестационарными связями.
Во втором параграфе исследуется задача о стабилизации установившегося движения механической системы на подвижном основании, дается общая постановка задачи. В качестве гироскопической системы рассматривается гироскопическая система, стесненная го-лономными стационарными в движении относительно основания связями, содержащая г симметричных гироскопов.
В третьем параграфе исследована задача функционирования гирокомпаса. Получены условия асимптотической устойчивости положения равновесия под действием моментов коррекции.
В параграфе 4 рассматривается движение гирогоризонтком-паса и исследуется его устойчивость по полным уравнениям движения.
Таким образом, в диссертации выводятся:
1. Достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы под действием сил, зависящих явно от времени.
2. Условия асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия механической системы с нестационарными голо-номными связями.
3. Новые способы стабилизации движений гироскопических систем на подвижном основании, в том числе представлены решения задач об условии устойчивости функционирования гирокомпаса и гирого-ризонткомпаса, установленных на подвижном основании, совершающем произвольные пространственные движения.
Отдельные разделы диссертации доложены на:
- 1У-й Международной конференции "Пространство, время, тяготение." (Санкт-Петербург, 1996 год);
- Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики" (г. Ульяновск, 1996 г.);
- IV-V ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета ( 1995, 1996 гг.);
Основные результаты диссертации изложены в 9 работах [17,20-27].
Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы из 121 наименований источников отечественных и зарубежных авторов.
Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:
1. Определены достаточные условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия нелинейной механической системы в зависимости от структуры сил, зависящих явно от времени.
2. Исследована задача об устойчивости и асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы нестационарными связями. Найдено, что это положение равновесия может существовать при определенном соотношении между действующими силами и инерциальными силами, вызванных нестационарностью связями. Показано, что при этом соотношении, как и в случае стационарной механической системы, рассматриваемая задача может быть сведена к задаче об устойчивости под действием потенциальных, гироскопических, диссипативно-ускоряющих и неконсервативных сил. зависящих от времени. Соответственно определены условия устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости.
3. Исследованы условия устойчивости положения равновесия и вращательных движений простых механических систем: вертикальных вращений симметричного тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг точки, закрепленной на платформе, совершающей вертикальные колебания; нестационарные вращательные движения твердого тела вокруг неподвижного центра масс; гирокомпаса с маятником без учета масс кожуха и внешнего кольца.
4. Исследована задача об устойчивом функционировании гироскопических систем на подвижном основании. Гироскопические системы представлены в виде системы, стесненной голономными стационарными связями, содержащей г симметричных гироскопов. Определен общий метод построения управляющих моментов, обеспечивающих устойчивое функционирование рассматриваемых систем. В качестве примера решена задача об устойчивости маятника Шулера и устойчивости функционирования гирокомпаса с учетом масс кожуха и внешнего кольца.
5. Рассмотрена задача об устойчивом функционировании гирого-ризонткомпаса, установленного на подвижном основании, совершающем произвольные движения по поверхности Земли. В качестве уравнения гирогоризонткомпаса взяты полные уравнения. Найден явный вид управляющего момента, при котором гирорама выполняет функцию гирогоризонткомпаса. Определены стабилизирующие моменты, обеспечивающие заданную ориентацию гирогоризонткомпаса.
Заключение.
1. Агафонов С.А. Об устойчивости неконсервативных систем. //Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. 1972. - №4. -С.87-90
2. Агафонов С.А. К вопросу устойчивости неконсервативных систем. //Изв. РАН. Механ. тверд, тела. 1986. - №1. -С.47-51.
3. Агафонов С.А. Об устойчивости движения неконсервативных механических систем. //ПММ. 1992. - Вып.2. - Т.56. -с.212-217.
4. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы. //Тр. Казанского авиац. ин-та. 1959. - Вып.48. - С.3-117.
5. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. //Итоги науки и техники. Общая механика. Т.2 - М.:ВИНИТИ - 1975. - С.53-112.
6. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости движения некоторых неавтономных механических систем под действием диссипативных сил. //Докл. АН УзССР. 1978.- N4. - С.22-25 .
7. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем. //ПММ. 1979. - Т.43. -Вып.5. - С.796-805.
8. Андреев A.C. О стабилизации стационарных движений механических систем гироскопическими и диссипативными силами. //Сб.научн.тр.Таш.ГУ. 1979. - N558. - С.6-11.
9. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости по части переменных. //Докл. АН УзССР. 1982. -N5. - С.9-12.
10. Андреев A.C. О влиянии сил трения на устойчивость положения равновесия неавтономной механической системы. // Докл. АН УзССР. 1984. - N8. - С.16-18.
11. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы. //ПММ. -1984. Т.48. Вып.2. - С.225-232.
12. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных// ПММ. 1984. - Т. 48. Вып.5. С. 707-713.
13. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы. //Устойчивость движения. Новосибирск: Наука. - 1985. - С.26-29.
14. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений. //ПММ. 1987. - Т.51. Вып.2. - С.253-260.
15. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости. //ПММ. 1991. - Т.55. Вып.4. - С.539-547.
16. Андреев A.C. Об устойчивости положения рановесия неавтономной механической системы. //ПММ.-1996.-Т.60. Вып.З. -С.388-396.
17. Андреев A.C., Борисова Т.А. Об исследовании устойчивости гироскопических систем на подвижном основании. //Механика и процессы управления: Сборник науч.тр. УлГТУ. Ульяновск. - 1996.- С.83-89.
18. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР, 1952. Т.86, N 3. С. 453-546.'
19. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. //М.: Наука. 1965. - 416 с.
20. Борисова Т.А. Об устойчивости гироскопических систем. //Тезисы докладов студентов и аспирантов: IV ежегодная научно-практическая конференция. 21 апреля, 1995 Ульяновск. -1995. - С. 9-10.
21. Борисова Т.А. Об устойчивости невозмущаемых гироскопических систем. // Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем ". Киев: Киевский гос. университет, 15-19 мая 1995 г.- С. 26.
22. Борисова Т.А. О влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия нестационарной механической системы.- Москва. 1995.- 21 с. Деп. в ВИНИТИ 10.11.95 г., №2988-В95.
23. Борисова Т.А. О влиянии структуры сил на устойчивость положения равновесия нестационарной механической системы. //Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Ульяновск: УлГУ, 1996. - 4.1. - Вып.1. - С.52-58.
24. Борисова Т.А. Об устойчивости положения равновесия механической системы с нестационарными связями. //Тезисы докладов Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Донецк, Украина, 2-6 сентября 1996.
25. Борисова Т.А. Об устойчивости функционирования ги-рогоризонткомпаса на подвижном основании. //Ученые записки УлГУ. Фундаментальные проблемы математики и механики. Ульяновск.- 2000. Т.8 - Вып.1. - С.39-45.
26. Бурлакова Л.А. Об устойчивости неконсервативных систем. //Известия высших учебных заведений. Математика. 1996. -№1 (428) - С.11-19.
27. Вербицкий В.Г. Влияние структуры сил на устойчивость линейной системы. //Прикладная механика. Киев. 1982. - Т. 18. -№12. - С. 119-121.
28. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. // М.: Наука. 1984. - 320 с.
29. Воротников В.И. Об устойчивости по заданному числупеременных.//ПММ.-1986.-Т.50. Вып.З. С.353-359.
30. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач механики./^.: Наука 1986. - 224 с.
31. Галиуллин A.C. Аналитическая динамика. //М.: Высшая школа. 1989. -264 с.
32. Галиуллин A.C. Системы Гельмгольца. //М.: Изд-во РУДН. 1995. - 86 с.
33. Галиуллин A.C., Гафаров Г.Г., Малайшка Р.П., Хван A.M. Аналитическая динамика систем Гельмгольца, Биркгофа, Намбу: Монография. //М.: Редакция журнала "Успехи физических наук" -1997. -324 с.
34. Галиуллин И.А. Построение канонических уравнений движения механических систем. //Дифференц. уравнения. 1978.- 16. №4. - С.594.
35. Галиуллин И.А. История открытия и исследования регулярных прецессий твердого тела. //Исслед. по ист. физ. и мех. 1993-1994. РАН. - Ин-т ист. естествозн. и техн. - М., 1997. -С.191-218.
36. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. //М.: Наука. 1971. - 352 с.
37. Гермаидзе В.Е., Красовский H.H. Об устойчивости при постоянно дейсвующих возмущениях. //ПММ. 1957. - Т. XXI. - В. 6.
38. Гурин А.И., Демин В.Г. Устойчивость установленного на спутнике гироскопа с гибкой осью ротора в ньютоновском центральном поле сил. //Космич. исследования. 1982. - Т.20. -Вып.1.- С.9-18.
39. Доброславский C.B. О влиянии малой диссипации на устойчивость неконсервативных механических систем. //Изв. РАН. Механ. тверд, тела. 1986. - №2 - С.68-70.
40. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. // М.: Наука. 1988. - 328 с.
41. Зевин A.A. К теории неконсервативных систем. //Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ. 1972. - №4. -С.87-90.
42. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. // Л.: Изд-во ЛГУ. 1983. - 244 с.
43. Ишлинский А.Ю. К теории гирогоризонткомпаса. //ПММ.- Т.20 Вып.4 - 1956.
44. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. //Изд-во АН СССР 1963.
45. Карапетян A.B. Об устойчивости неконсервативных систем. //Вестник МГУ. Сер. матем., мех. - 1975. -№4. - С.109-113.
46. Карапетян A.B., Рубановский В.Н. Об устойчивости стационарных движений неконсервативных механических систем. //ПММ.- 1986. Т.50. - Вып.1. - С.43-49.
47. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. // Итоги науки и техники. Общая механика. Т.6. - М.: ВИНИТИ. - 1983. - С.3-128.
48. Климов Д.М. Инерциальная навигация на море. // М.: Наука. 1984. - 116 с.
49. Козлов В.В. Неустойчивость равновесия в потенциальном поле с учетом сил вязкого трения. // ПММ. 1982. - Т.45. -Вып.З. - С.570-577.
50. Кошляков В.Н. Теория гироскопических компасов. // М.: Наука. 1972. - 344 с.
51. Красовский H.H. Об одном свойстве гироскопической стабилизируемости управляемой консервативной механической системы. // Известия АН СССР Техническая кибернетика. - 1964.- N5.
52. Крементуло В.В. Исследование устойчивости гироскопас учетом сухого трения на оси внутреннего карданого кольца (кожуха). //ПММ. Т.23. - Вып.6 - 1959.
53. Крементуло В.В. Одна задача об устойчивости шарового гироскопа. // ПММ. Т.27. - Вып.6. - 1963.
54. Крементуло В.В. Стабилизация стационарных движений твердого тела при помощи вращающихся масс. // М.: Наука. 1977.- 263 с.
55. Кузьмин П.А. Стационарные движения твердого тела и их устойчивость в центральном поле сил. // Тр. Межвуз. конференции по прикладной теории устойчивости движения и аналит.механ.- Казань: Казанск.авиац.ин-т. 1964. - С.93-98.
56. Лахаданов В.М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения. // ПММ. 1974. - Т.38. - Вып.2 - С.246-253.
57. Летов A.M. Динамика полета и управления. // М.: Наука. 1969. - 359 с.
58. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.- Л.: Гостехиздат, 1950. 472 с.
59. Магнус К. Устойчивость линейной системы в зависимости от вида действующих на нее сил. //Механика: Период, сб. пер. иностр. ст. 1971. - №5. - С.23-32.
60. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. // М.: Мир.- 1974. 528 с.
61. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Изд. 2-е, испр,- М.: Наука, 1966. 530 с.
62. Матросов В.М. К вопросу устойчивости гироскопических систем с диссипацией. // Тр.Казанск.авиац.ин-та. 1959. -Вып.45. - С.63-76.
63. Матросов В.М. К вопросу устойчивости гироскопических систем. // Тр.Казанск.авиац.ин-та. 1959. - Вып.49. - С.3-24.
64. Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ. -1962. Т. 26. - Вып. 6. - С. 992-1002.
65. Матросов И.М. К задаче устойчивости гироскопических систем на подвижном основании. // Тр.Казанск.авиац.ин-та. 1962.- Вып.71. С.12-35.
66. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. // М.: Наука.- 1974. 344 с.
67. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. // М.: Наука. 1987. - 304 с.
68. Морозов В.М. Устойчивость динамики космических аппаратов. // Итоги науки. Общая механика. М.: ВИНИТИ. - 1971.- С.5-34.
69. Мухаметзянов И.А. Построение одного семейства функций Ляпунова. //U.: Изд-во РУДН, 1995. -Вестник РУДН. Сер. прикл. матем. и информатика. 1995. - №1. - С.9-12.
70. Мухаметзянов И.А. Об управлении движением свободного твердого тела. //Вестн. РУДН. Сер. Прикл. мат. и информат.- 1997. т. - С.14-19.
71. Мухарлямов Р.Г. Уравнения динамики систем с устойчивыми программными связями. //Вестник РУДН. Сер. Прикл. мат. и информат. 1997. - №1. - С.20-26.
72. Мухарлямов Р.Г. Управление программным движением многозвенного манипулятора. //Вестн. РУДН. Сер. Прикл. мат. и информат. 1998. - №1. - С.22-39.
73. Мухарлямов Р.Г., Гозо Йоро. Устойчивость численного решения динамической системы. //Вестник РУДН. Сер. прикл. мат. и информат. 1999. - №1. - С.38-43.
74. Озиранер A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных. // ПММ. -1973. -Т.37. Вып.4. - С.659-665.
75. Озиранер A.C. Об одноосной стабилизации динамически-симметричного спутника на круговой орбите. // Изв. АН СССР. Механика тв.тела. 1974. - N3. - С.11-18.
76. Озиранер A.C. Об оптимальной стабилизации движения относительно части переменных. // ПММ. 1978. - Т.42. - Вып.2.- С.271-276.
77. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости диссипативных систем. // ПММ. 1957.- Т.21. - Вып.4 - С.503-512.
78. Пожарицкий Г.К. О построении функции Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения. // ПММ. 1958. -Т.22. - Вып.2. - С.145-154.
79. Пожарицкий Г.К. Об асимптотической устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией. // ПММ. 1961. -Т.25. - Вып.4. - С.657-667.
80. Ройтенберг Я.Н. Гироскопы. // М.: Наука. 1966. -399с.
81. Рубановский В.Н. Устойчивость установившихся движений сложных механических систем. // Итоги науки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИ. - 1982. - Т.5 - С.62-134.
82. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных. // Вестник МГУ. Сер. мат.механ.,физ., астрон.,хим. 1957. - N4. - С.9-16.
83. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем. // ПММ. Т.34. - Вып.З. - С.440-456.
84. Румянцев В.В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по отношению к части переменных. // ПММ.- 1971. Т.35. - Вып.1 - С.147-152.
85. Румянцев В.В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами. // ПММ. 1972. - Т.36. - Вып.6. -С.966-976.
86. Румянцев В.В. О влиянии гироскопических сил на устойчивость стационарного движения. // ПММ. 1975. - Т.36. - Вып.З.- С.963-973.
87. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения. // Диффер. уравнения. 1983. - Т.19.- N5. С.739-776.
88. Румянцев В.В., Карапетян A.B. Устойчивость движений неголономных систем. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Общая механика. М.: ВИНИТИ. - 1976.- Т.З. - С.5-42.
89. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. // М.: Наука.- 1987. 253 с.
90. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. // М.: Мир. 1980. - 300 с.
91. Савченко А.Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. // Киев: Наукова думка. 1977. - 160 с.
92. Сайдов П.И. Теория гироскопов. // М.: Высшая школа.- 1965. 4.1 - с.
93. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Исслед. косм, пространства. М.: ВИНИТИ. - 1978. - Т.2. - 223 с.
94. Скимель В.Н. О движении гироскопа, подвешенного на струне. // Тр. Межвуз. конф. по прикладной теории устойчивости и аналитич. механ. 1962.- Казань: 1964. - С. 118-122.
95. Скимель В.Н. Об устойчивости некоторых типов гироскопов. // Тр. Казанск. авиац.ин-та. 1965. - Вып. 89. - С.33-40.
96. Скимель В.Н. О свойстве жесткости движения. // ПММ.- 1978. -Т.42. Вып.З. - С.407-414.
97. Соколова Л.Е. Об асимптотической устойчивости равновесия гироскопических систем с частичной диссипацией. // ПММ.- 1968. Т.32. - Вып.2. - С.314-318.и <
98. Тереки И. Исследование устойчивости и сходимости движений с помощью функции Ляпунова. // МТА Szam.es Аи1;от.К1^а1ю Intëzete, Кбг1ет. 26/1982. - Р.125-129.
99. Тереки Й., Хатвани Л. Об асимптотическом останавли-вании при наличии вязкого трения. // ПММ. 1982. - Т.46. - Вып.- С.20-26.
100. Тереки Й., Хатвани Л. Функция Ляпунова типа механической энергии. // ПММ. 1985. -Т.49. - Вып.6. - С.894-899.
101. Тхай В.Н. Об устойчивости механических систем под действием позиционных сил. //ПММ. 1980. - Т. 44. - №1. - С.40-48.
102. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. // М.: Наука. 1977. - 191 с.
103. Хатвани JI. О некоторых признаках устойчивости с двумя функциями Ляпунова. // ПММ. 1975. - Т.39. - Вып.1. -С.172-177.
104. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. // М.: Изд-во АН СССР. 1962.
105. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука,1990.
106. Шульгин A.M., Андреев А.С. Об асимптотической стабилизации стационарных движений некоторых механических систем. // Докл. АН УзССР. 1977. - N6. -С.20-22.
107. Юрьева О.Д. Об устойчивости линейных систем .// Ученые записки Ульяновского государственного университета " Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: Ульян гос. унив. 1996. 4.2. Вып.1. С.134-139.
108. Artstein A. Uniform asymptotic stability via the limiting equations // J. Differ. Equat. 1978. V.27. P.172-189.
109. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary differential equation// J. Differ. Equat. 1977. V.23. N.2. P.216-223.
110. Ballien R.J., Peiffer K. Attractivity of the origin for the equations x + f(t,x,x)/x/ + g(x) = 0. // J. of Mat. Anal, and Appl. -1978. V.65. - p.321-332.
111. Hatvani L. Generalization of the Barbashin-Krasovski theorems to the partial stability in nonautonomous systems. // Coll.Math. Soc.Janos Bolyal. Qualitative Theory of Differ. Equat. Szeged (Hungary). 1979. -N.Y.: Acad.Press. - 1981. - P.381-409.
112. Hatvani L. on partial asymptotic stability and instability. Ill (Energy -like Liapunov function). // Acta Sei. Math. 1985. - T.49. -F.l-4. - P.157-167.
113. Hatvani L., Terjeki J. Stability properties of the equilibrium under the influence of unbounded damping. // Acta Sci.Math. -1985. -T.48. F.l-4. - P. 187-200.
114. Lagrange J.-L. Mecanique analitique. Paris, 1788. Перевод 2-го изд. Лагранж Ж. Аналитическая механика. В 2-х томах. М., Гостехиздат, 1950.
115. Salvadori L. Sull'estensione ai sistemi dissipativi del c.riterio di stabilitä del Routh. // Ricerche Mat. 1966. - V.15. - P.162-167.
116. Salvadori L. Una generalizzatione di alcuni teoremi di Ma-trosov. // Annali Math.Pura ed Appl. 1970. - Ser.IV. - T.84. -P.83-94.
117. Thomson W. and Tait P. Treatise on Natural Phylosophy. // Part 1. Gambridge University Press. - 1879.
