Исследование устойчивости и оптимизация систем нелинейных стохастических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КИКвеькИЙ УШВЕРСИТЕТ ¡м. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

^ г—

э _ На правах рукопису

Колод1нс.ька Олена Бттортна

ДОСЛ1ДЖК1111II СПНКОСТК I ОИТВ1М13ЛЦШ ИГ..1ШИ1Ш1Х СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ

Спецшльнють — 01.01.02 — Диференц1алььи р1вняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацн на здобуття вченого ступени кандидата ф1зико-математичних наук

Кшв - 1996

Дисертащя е руколисом.

Робота виконана на кафедр! вищо! математики Кмвського державного економйчного ушверситету.

Науковий кер!вник: доктор фпико-математичних наук, професор ВАЛ Ed В Лш Гамыович.

ОфщШш опоненги: доктор фв и ко - мате м а гич ш tx наук, провиний науковий ствробщгик СБИЦУК Анатолш Штаййович, кандидат ф1зико-математичних наук, доцент СТАНЖИЦЬКЯЙ Олександр Миколайовчч.

Провщна оргашзашя: 1нститут юбернетики ¡м. В.М. Глушкова HAH Украши.

Захлст дисертацй вщбудеться 1996 року о годш ii на

засщанш спещал1зовано1 вчено! ради К.01.01.21 у Кшвському ун!верситет1 1меш Тараса Шейченка за адресою:

252127, Кшв-127, проспект Академша Глушкова, 6, механ1ко-математичний факультет, аудитор1я 42.

3 дисерташею можна ознайомитися в б1бл1отещ Кшвського ушверситету ¡меш Тараса Шевченка, Ки?в, вул. Володимирська, 58.

1Й "

Автореферат роз1сланий 1996 року.

Вчсний секретар

cncnia-iuoBaiioi вчено! ради КУРЧЕНКО О.О.

ЗАГАЛЫ1А ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть - роОоти. В умавах постИйгаго ускладнвння прикладник задач сучасно! математики виникав потреба вивчення систем диференц1алышх 1 р1зницевих р1внянь, коеф1ц1внти яких залекать в1.д випадкових гфоцбо1в. Так1 задач1 зустр!чаються при описуванн! багатьох процес1в у рад1отехн!ц1 та електрон1ц1, у теорН над1й-hoctL та масового обслуговування, при розгляд! питань, пов'язаних з розпод!лом pacypciB, плануванням i прогнозуванням у р1зних сферах народного господарства та у 1нших областях.

У дисертацШИй робот! доол1дкуються питания теорН ctJUkoct! розв'язк!в систем нел1н1йнюс диференц1альних 1 р1зии-цевих р!внянь з правими частинами, залекними в1д марковсышго та нап1вмарковського сктченнозиачних випадкових процес1в, а також оптим!зац11 розв'язк!в стохастичних нел1нШшх систем керування.

Ваклив! результата по тэорп марковських процео!в належать О.О.Маркову та A.M.Колмогорову. Надал! досл!дкення по теорП та додаткам марковських процес1в проводили 1.1.Г1хман, А.В.Скороход, В.Фэллер, В.С.Пугачов, В.I.Тихонов, М.А.Миронов, Р.Л.Стратонович, 6.Б.Динк1н та багато 1нших.

Нап1вмарковськ! процеси вивчали В.С.Королкж, А.Ф.Турб1н,

A.В.Св1щук, В.I.Тихонов, I.M. Коваленко, О.М.Наконачний та 1нш1.

В дисертацП розглядаються так зван! системи з випадковими

станами, тобто динам1чн1 системи, що залекать в1д ск1нчешш-значного випадкового процесу. Тоор1ю таких систем розвивали

B.М.Вонем, В.М.Артем'вв, 1.Я.Кац, М.М.Красовський, Г.М.М1льштейн, D.M.PenlH, I.e.Казаков, К.Г.Валзев, С.М.Хр1санов та 1нш1.

При досл1дженн! ст1йкост1 систем використовувався метод функц!й Ляпунова, який набув розвиток у працях В.I.Зубова, е.О.Барбашииа, К.Г.Валеева, Г.0.Ф1н1на, В.М.Матросова, 1.Г.Мал-к1на та багатьох 1шшх. Для стохастичних систем метод функц1й Ляпунова застосовували Дж.Г.Кушнер, Д.Г.Кораневський, Р.З.Хась-м1нський, Д.Я.ХусаАнов, е.Ф.Царьков та 1нш1.

У досертац1йШй робот! досл1джуються питашя теорП керу-вання, пов'язан1 з оптим1зац1ею розв'язк!в стохвстич"ях систем керування. Проблемами оптим1зац!1 стохастичних систем займались Ю.М.Андреев, M.AokI, К.Ю.Острем, В.М.Артем'вв, 1.6.Казаков, Д.Т.Гладков, Дж.Г.Кушнер, Ю.П.Петров, М.М.Красовський, Ф.Л.Чер-

ноусько, В.Б.Колмановський, К.Г.Валвев та 1нш1.

1з сказаного випливае актуальн!сть досл1джувано1 теми.

Мэта роботи - досл1даешш стШкост! та оптим1зац1я розв'яз-к1в систем нел1н1йних диференц1альних та р1зницових р1внянь з марковськими та нап1вмарковськими кооф1ц1внтами.

Методи досл!дження. У робот1 використовуються метода момент-пих р!внянь, теорП функц!й Ляпунова, теорП марковських 1 нап!в-марковських процес!в, теорП оптимального керування, теорИ Пмов1р;юстей, чисельн1 метода.

Наукова новизна роботи полягав у настушюму:

- виведен! р1вняння для частинних розпод!л1в 1мов1рностей випадкових розв'язкХв систем !юл1н1йшк рХзницевих рХвнянь, залеж-них в!д нап1вмарковського скЮТеннозначного ланцюга, а такой залезших в1д марковського та нап!вмарковського ланцюг!в одночасю;

- на основ1 сн1вв1д1Юшонь для розпод1л!в 1мов1рностей одержан1 М0МвНТН1 р!вняння для рОЗВ'ЯЗК1В систем Н9Л1Н1ЙНИХ. ДИСКрвТНИХ р!внянь з марковськими та нaпJвмapкoвcькими коефЩ1внтами, за допомогою яких досл1джувться ст1йк1сть у середньому квадратичному нульового розв'язку розглянутих систем;

- знайден! достатн1 умови Хснування щ1лыюстей 1мов1рностей випадкових розв'язкХв системи нел!н1йних р1зницевих р!внянь з марковськими 1 нап1вмарковськими параметрами;

- запропонований новий вив1д необхХдних умов оптималыгост1 розв'язк1в нел1н1йних дискретних. систем керування з нап1вмар-ковськими коеф1ц1внтами.

Теоретична 1 практична ц!нн!сть роботи. 0триман1 результата мають теорэтичнэ значения та можуть бути використан! при розв'я-за1ш1 практичних задач теорП стохастичних динамХчиа систем, теорП над1йност1 та масового обслуговування, задач досл1джоння систем керування при наявност1 випадкових зОурень.

. Апро0ац1я роботи. Матер1али дасертацИ обговорювались на на-уковйх сем!нарах у Ки1вському державному економ1чному ун1версите-т1,у Ки1йсысому ун!верситет1 1м.Т.Шевченка,на конферешЦях "Моде-лювання 1 досл!дження стШгаст! систем" у м.Киев! у 1994-1996 рр.

Цубл1кац11. 0сновн1 рэзультати дисертацП опубл1кован1 у роботах 11-83.

Структура дисортацЦ. Диссертац1йна робота складасться з встуиу, трьох роздШв, одинадцяти параграф!в, висновк!в, горел!-

- Б -

ку використано! л1тератури ia 132 назв, додатк1в, як1 м1стять прогреми та результата розв'язання приклад1в, представлен!. у виг-ляд! таблиць. Обсяг роботи 167 стор!нок машинописного тексту.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У вступ1 м1ститься оСгрунтування актуальное!! теми дисерта-ц!йно1 роботи, даеться коротка викладв!шя II зм1сту та структури.

У першоцу розд!л1 дисертацИ досл1джуеться ст1йк1сть роз-в'язкХв н9л1нШшх р1зшщевих р1внянь та систем диферешЦальних р1внянь з марковсышми коеф1ц!внтами.

У §1.1 представлений короткий огляд в1домих результат^ з теорИ випадкових марковських ск1нченнозначних процвс1в у зручн1й для подальшого використа1шя фэрм1.

У §1.2 розглядаються нвл1н1йн1 р1зницев! р1Бняння вигляду

VI = (1>

дэ Сп,пе20нШ,1,2,...}, - випадковий марковський ланцюг 1з ск1н-ченим фазовим простором 0={81,в2>...,9^), а ф:20*ЖхСЬк та

ф(п,- ,ек) - вим!рна функц1я при Оудь-якому пе20, к=Г7ч -

Тут 1 дал1 вважаоться, що (П.Р.Р) - йшв1рн!сний прост1р. Марковський ланцюг Пе20> визначаеться завданням

розпод1лу Рк(0)=РС?о=ек}, к=ГГя, початкового значения та умов-ними 1мов1рностями переходу Пкв(п)=Р{?п+1=9к1СП=6В), як1 мають властивост!

Вводяться визначення для частинних розпод!л1в 1мов1рностей розв'язку хп р1вняння (1):

рк(п,Б) = Р{хп«В,5п=е1с) , к=Г7с[, пе20, (3)

де В - дов1льна борел1вська мнокина на прям!й к.

Теорема 1.1. Частинн1 розпод1ли рк(п,В) розв'язку хп

р!вняння (1) задовольняють сп1вв1дношенню я

рк(п+1 ,В) = | Рв(п.^в(В))Пкв(п). к=М, г*г0, (4)

да ф-гв(В) - прообраз множили • В при в1дображенн1 фп>в(- )=Ф(п, ■ ,9в):к-»к.

Вводяться частинн1 моменти 1-го порядку абсолютно1 величини вшадкового розв'язку хд р1вняння (1)

+00

m¿l)(n) = J |х|V(n,dx). (Б)

-со

Теорема 1.3. Для частинних момент 1в випадкового розв'язку р1вня1шя (1) справедлив! сп1вв1дношення

q +»

m¿l)(n+l) =Дпкв(п)^ 9niS(y)PB(n,dy) , k=l7q. (б)

Вважавться, . що xn=0, в розв'язком р1вншшя (1).

Вводиться визначення ст1йкост! у сервдньому г-го порядку нульово-го розв'язку р1вняння (1) (якщо v £>о з б>о таке, що для Оудь-якого розв'язку х„ з початковим значениям х„ таким, що

(71 n (11 и

|mv '(0)|<0, виконуеться нер1вн1сть |mv чп)|<е v neZQ).

Досл1дження CTiflicocTl у середньому розв'язк!в зведено до розгляду аналог 1чно! задач1 для детермШованих р1внянь.

Теорема 1.6. Для того щоО розв'язок хп=0 р1вняння (1) Оув ст1йкнм (асимптотично ст1йким) у середньому 1-го порядку неоОхАд-но 1 достатньо, щоО нульовий розв'язок детерм1новвно1 системи (б) вЛдносно Оув ст1йким (асимптотично

стШшм) у звичайному смисл! (у смисл1 Ляпунова).

Як приклад розглянуто нел!н1йио р1внпння вигляду (1), що за-лэжить в1д марковського ланцюга з двома станами та зроОлен! вис-новки про ст!йк1сть його розв'язк1в у середньому квадратичному.

У §1.3 розглядаеться система нел1н1Аних диферешЦальних р1внянь, записана у векторному вигляд1

. (Т)

дэ Х(t)- випадковий ш-вим1рний вектор, функц1я Ф: CQ;+co)xtRn4<Q-»íRra; S(t)Eí(t,(ü), t^O, шеП, - випадковий марковський процес 1з ск1н-чешшм фчаовим простором QsíGj^g,... ,0q). з заданный початковим розподХлом pk(0)«=Pt£(Q)=ek) та 1нтенсивностями переходу \B(t), що визначаються таким чином

P{£<t+h)=ekie(t)=eB)=nkn(t)h+o(h), ккв, h-0,

_ (8)

PíC(t*h)-eBic<t).eBM+neB<t)hM)<h), k,e-i,q.

1нт8нсивност1 переходу звдовольняють умови

q _

\e(t)X), t»,to«e, HeB(t)—Jh^t)«. k,s=l,q, (9)

к^з

причому UkB(t), k,a=i7q, - вим1рн1 за Лебегом функц11.

Введено визначення частишого розпод1лу 1мов1рюстей роз-в'язку X(t) системи (7)

pk(t,B)=P{X(t)«B,E(t)=elc), k=T7q. t>0, (10)

де В - дов!льна борел!вська мнокина в кга.

Теорема 1.6 Нехай для частинного розпод1лу pk(t,,B), k=l7q, розв'язку системы (7) 1снув границя

lim -5-fJS---pj.(t,B), (11)

П-.0 h k

де B-4>k(t,B)ha { X|X=Y-tfk(tpY)h,Y*B ). <yt,X)=«(t,X,ek).

Год1 частшш1 розпод1ли pk(t,B), k=l7q, зодобольняють систему р1внянь

fljUt.B) ч _

- = -p^(t.B) +B^pe(t,B)flkB(t). k=l.q. (12)

3 системи р!внянь (12) мокна отринати сп!вв1диошення для щ1льноствй 1мов1рностей fk(t,X) випадкового розв'язку системи (7):

öfk(t,X) ™ д( rk(t,X)®, ,(t,X) ) ч

-Э1-= -1---+ Т nto(t)fB(t.I).

j-i j в-i

(де 3=Г7т, - компонента вактор-функцИ 2>k(t,Х)), як!

являють собою частйший випадок р1внянь А.М.Колмогорова.

Вводяться частинн! момента першого та другого порядк!ь розв'язку X(t) системи р1внянь (7)

Hk(t) = J Xpk(t,dX), iyt) = J XX*pk(t,dX). (13)

Km R™

Ввакаеться, що система (7) мае нульовий розв'язок X(t,)=ü. Даеться визначення ст1йкост! у середньому квадратичному розв'язку X(t)=0 системи (v е>0 э ö>0: v X(t) з початковом умовою XQ такою, що E|X0|2<ö, виконувться E|X(t)|2<e, де Е-математичне спод!вання).

J

Показуеться, що ст1йк1сть у середньому квадратичному р1вно-сильна аналог 1'ш1й ст1Лкост1 за чвстшшими моментами.

В л!н!йному 1 автономному випадках системи (7) деяк1 отри-ман1 результата сп1впадають з в1домими ран1ше (Г.М.М1лыптейн, 1.Я.Кац, М.М.Красовський).

У §1.4 наведено дек1лька прикпад1в моде.шовання та досл1дкен-ня практично! ст1йкост1 розв'язк1в л1нШшх р1зницевих р!внянь, залекних в1д марковського ланцюга, за !х реал1зац!ями. При цьому використовуються чисельно-анал1тичн1 метода, складен1 програми, текст та результата яких м1стяться у додатках.

У другому розд1л! дослХджуеться ст1йк!сть розв'язк1в систем нел1н!йних дискретних р1внянь з нап1вмарковськими кавф1ц1внтами. Розглянута також система нел1н!йних р1зницевих р!внянь з правими частиками, звлежними в!д марковського та нап!вмарковського ск1я-ченнозначних ланцюг1в одночасно.

У §2.1 викладвн1 загальн1 допом1яш1 в!домост1 про нап1вмар-ковськ1 ск1нчешюзначн1 процеси.

У §2.2 розглядавться система нел1н!йних дискретних р1внянь

де - випадковий нап!вмарковський ландюг 1з ск!нченним фазовим простором 0=1е1,е2,...,в з заданими матрицями 1нтенсивностей

0(п)=|я^(п)Ц (1,3=Пс[) та початковим розпод1лом |0,

Хп=(х1 ,х2.....Хд)* - випадковий й-вим1рний вектор, а

и Г(Х,Ок) - вим!рна функц1я в1д при ф1дсованих

п«2р, К~Т7ч» (значок * означав транспонування).

Ввакавмо, що випадковий вектор Х0=Х0(ш), соеП, не заложить в!д напХвморковського ланцюга |п та його розпод1л задано.

Чароз Х^(п;Х) позначаеться розв'язок системи

0 початковою умовою Х0«Х.

Вводиться визначешш для частинних умошгих розпод!л1в

Р(п,В,3|Х,в) в )?{хп«В,|Х0-Х,С0-0о}, ^,в=ТТч. (16)

та умовних розпод!л1в

Р(п,В|Х) = Р^В|Х0=Х|-, п^20. (17)

випадкового розв'язку Хп системи (14).

Теорема 2.3. Частинн! умовн! розпод1ли Р(п,В,к|Х,з) розв'яз-к1в Хп системи (14) задовольняють сп1вв1дношенням

Р(п+1,В,к|Х,з) = р|х(в)(п+1;Х)*в)скв<|>в<г1+1) +

п ц

+ Е Е р(»-и1'в'к1х<в)(1;хьз)ч^(1), (18)

1*13=1

до

0кв- символ Кронэкара, Ч1,о(ш)-Р{ц+^0(,1пк+гпк»т|6п^во} -

1итенсшшост1 пэра ходу лшщюга £п 1з стану 8В у стан 0 ^,

4 п-1

Гв(ш)=р{п1(+Гпк=ти =0в) ^^(т), фв(п)-1-Угв(к)

К 0=1 К=0

т,п«г0).

Вводяться умовн1 моменти другого порядку вшадкового розв'язку системи (14)

М(П+1|Х,3)=Е(Хп+1Х;+1|Х0=Х,?0=9в)=[22*р{хпИе(12|Х0=Х,10=Ов), (19)

г

дэ Е(-|-)-- умовне математичнв спод1вання.

Теорема 2.5. Умовн! моменти другого порядку розв'язку системи р1внянь (14) задовольняють сп1вв!дношенням

М(п+1 |Х,з) = фв(п+1)Х(в)(п+1;Х) Х(в)*(ш-1;Х) + п 5

+ £ £ М(п-1+1|Х(в)(1;Х),;)^в(1), 3=М. (20)

1=13=1

Формули (20) дозволяють доол1джувати ст1йк!сть випадкових розв'язк!в системи р1внянь (14).

Вважавмо, що у систем1 р1внянь (14) Р^(0)^о, 1=Г7ч. тобто Хд=0 положения р1вноваги ц1в1 системи. Вводиться визначен-

г*

ня ст1йкост1 розв'язку Х^О системи (14) в1дносно момент1в другого порядку (Уе>0 Э0>0 таке, Щ0 ДЛЯ ВС1х рОЗВ'ЯЗК1В ^•^(Ед»^) 8 початковоп умовою |Х0|«5, виконуеться ).

Теорема 2.6. Розв'язок Хп=0 системи р!внянь (14) буде ст1й-ким в1дносно момент1в другого порядку, ягацо уе>0 зз>0 таке, що з |Х|<0 вишшвае.що розв'язки системи (20) задовольняють нер1вност1

|М(П|Х,В)|<Е УП^), (21)

У §2.3 за допомогою теореми 2.6 з використанням чисельних метод!в досл1джуеться ст1йк1сть нульового розв'язку л1н1йного р1зницевого р1вняння з нап1вмарковськими коефИЦвнтами. Результата узагальнюються на випадок системи (14) для рХзних нвл1н1йних функц1й Г1( -), 1=Щ.

Розрахунки показали, що хоч розв'язок Хд=0 для дек1лькох детерм1нованих р1внянь Хп+1=Г1(Хг) ст1йкий, а для 1нших нестШсий, але знаходиться "поблизу" меж1 ст1йкост1, то при деяких функц1ях Ч-уФ), що визначають нап1вмарковський процес, розв'язок Хп=0 стохастичноГ системи (14) стае стЛйким.

У §2.4 розглядааться система нел1нШшх дискретних р!внянь

<22)

Д0 - випадковий марковський ланцюг 1з ск1нченним

фазовим простором О={01,е2,....бд). з заданими початковим

роппод1лом р1с(5,О)=Р{5о=01с}, 1 порех1дшши 1мов1рностями

Пкв(п)=Р{£п+1=ек1Еп=ев), к,в=Т7я,; Т)п, п&г0, - нап1вмарковський ланцюг 1з ск1нченним числом стан1в К={ае1,ае2,...,зер), з заданими

матрицями Лнтенсивностей а(п)=ид;1^(п)и, 1,з=Т7р, 1- початковим

розпод1лом рк(т),0)=Р{т!0=жк); Х^™, а Р:ктхС|хК-.кт 1 Г(Х,вк,эег) -

вим1рна функц1я в1д Х<л?т при ф1ксованих пе20, к=Т7я, г=Г7р.

Ввакаемо, що випадковий вектор Х0=Х0(и), шеП, не заложить в1д марковського ланцюга £п, нап1вмарковського ланцюга т)п та його розпод1л задано; посл1довност1 лп. п-£г0• незалекн1 м1ж собою. Вводиться визначэ1шя чостилного умовного розпод1лу

р(п,в,к,г|х,а,а)пр{хпев.|п=91с,т1п=эег|х0=х,10=ев,г10=аес1), (23) (К,0=17ч, г,<1=Т7р, Х-?«кт, В - дов1льна борел1вська множила в

- и -

овкл!довому простор! Кт) та умовного розпод1лу

Р(п,В|Х) = Р{ХП*В|Х0=Х], пег0, (24)

випадкового розв'язку Хп системи (22).

Через позначено розв'язок Д9терм1новано1 системи

з початковою умовою Х0=Х.

Введен! такок наступн1 позначення

р(-4^п+1,вд|х,з)нр{хп+1ев,5п+1=ек|х0=х,|0=9в,хп+1=г-(1(хп,?п)}.

де Г.л(Хп,Еп)=Р(Хп,1п,(аЕ(1), (к,з=Т7я; (1=1Тр, Х^п^), (26)

тобто в систем1 (22) нап1вмарковський ланцюг т| приймав ф1ксоване значения зс^.

Теорема 2.7. Частшш1 умовн! розпод!ли Р(п,В,к,г|Х,8,с1) розв'язк!в Хп системи (22) задовольняють сп1вв1днош9нням

Р(п+1,В,к,г|Х,з,а) = Р(,<1)(п+1,В,к|Х,8)фй(17,п+1)СГ(1+

р п ч

X! Е I р<п-т+1 .В,К,г|У,Л,ш)Га(-т1,ш)Р(п1,ЛУ,Л,м.1Х,в,(1), (27)

до - символ Кронекора, 1[1(т],т)=р|пк+1-пк=ш|т]п =зеЛ,

п-1 к

Ф(1(Т},П)=1-^Г(1(Т1>Ш), к,а=Г7ч» г,й=ТТр, т,пег0.

ш=0

Для знаходження р ((П+1 ,В| X, а) можна скористатись р1вняннями для розподШв розв'язк1в системи (22) у випадку, якщо II прав1 частини залежать т1льки в1д Марковы,кого лаицюга.

При досл1дже1ш! розв'язк1в системи вигляду (22) часто робляться припущення про 1снування иЦльностей випадкового розв'язку. 0держан1 достатн! умови для справедливост1 таких припущень.

Теорема 2.9. Нехвй 1снують функц11 РВ(1(-) :кт-кт, з=Т7с[,

(1=1 ,р, так1, що для будь-яко! випадково! величиш £=£(«), що мае пЦльн!сть 1мов1рностей, випадков1 величшш Р0(1(Е) також мають щ1лыюст! 1мов1рпостей. Тод! якщо почптковэ значения Х0=Х0(ы), ю^П, мае щ1льн1сть 1мов1рностей, то для Оудь-якого п частили!

розпод1ли 1мов1рностей розв'язку Хп системи (22) (а, значить 1 сам розпод!л розв'язку) тек мають щ1лыюст1.

Вводиться умовн1 момонти другого порядку розв'язку системи (22)

И(п+1|Х.в,й) = Е[Хп+1Ж^+1 |Х0=Х,С0=ев,т)0=эей] =

= |г2*р{хп+1ей2|Х0=Х,50=ев,Г10=ае(1|, й=Т7р, П^. (28)

г

Позначимо через

11<-4><п+1|Х.в) = {27/Р{Хп+1^|Хо=Х.СО=0В,Хп+1=Рл1(Хп>Сп)} = %

= |гг*р(-а) (п+1 ^г|х,в>, в=Т7ч, (29)

г

де Р МОМ0Н,ГИ другого порядку розв'язку сис-

теми (22) у випадку, коли II прав1 частшш залапать лише в1д мар-ковського ланцюга £п, а нап1вмарковський ?]п приймав значения гг^.

Теорема 2.10. Умовн! моменти другого порядку розв'язку системи (22) задовольняють сп1вв!дношення

р п я

М(п+1 |Х,а,(1)=ф(1Сп,п+1 )М(-л)(п+1 |Х,а)+^ £ £ |м(п-т+1|У,3,ц)-

(1=1ш=1 д=1УеЖга

•Р(т,йУ,Л,ц|Х,э.сЩдСп,т), э=Т7с[, й=ТТр, Хект,п^0. (30)

Як насл!дки з формул (27) I (30) отриман1 р1вняння для час-тшших умоышх розпод1л!в I момент1в другого порядку розв'язк!в систем нел!н1Яних дискретних р1внянь з марковськими коеф1ц1бнтами.

За допомогою формул (30) досл1джуеться ст!йк1сть випадкових розв'язк1в системи р1внянь (22).. Вваказться, що Хп=0 а розв'язком Ще! системи. Вводиться визлачання ст1йкост1 розв'язку Хп=0 системи (22) в!дносно моменИв другого порядку.

Теорема 2.12. Розв'язок Хп=0 системи р!внянь (22) ст1йкий в1днооно момент1в другого порядку, якщо Уе>0 эа>0 таке.що з |X|<0 ыгаливае, що розв'язки системи (30) задовольняють нер1вност!

|М(п|Х,з,с1) |<е Упет, уз=Т7я, *с1=Т7р. (31)

Викаристопупчм чисольн! метода за допомогою тсюроми 2.12 мояша дослГцкумти ст1Як!сть розп'я^ку Хп~0 системи р1гзндиь (22)

при р!зних над1нШшх Функц!ях ^ ^ •). ,1=Пр. Шелл

анал1зу результатов чисолышх оксперимэнПв зроОлон! рисношш.

Трет!А розд1л дисертоцШю! роботи нрзапячоний питаниям оптим1зац11 I досл1джв1ШЯ за допомогою метода ФункпШ Ляпунова ст!йкост1 розв'язк1в систем нолШйних отохэстичти р1вняпь.

У §3.1 застосовувться метод функцШ Ляпунова для досл1джошш стХйкост! систем дафврчнц1алышх рХвнянь. прав! частили яких за-лежать в!д марковсько! шсл1довиост1.

Роаглядаеться система нэл1н1»них дифэренцХалыахх р1шяиь вигляду (7) з марковськими коефПШнтами.

Вважаеться, що система (7) мае нульовий розв'язок Х();)гЮ.

Задаються додптно визначен! функцИ

\и,х)=я(1;,х,ек), к=ГТч, ика,ом). (32)

Вводяться основн! стохастичн1 фуикцП Ляпунова для розв'яз-к1в системи (7)

•4 от

\it.X) = /< У»(т:,Х(т),|(т:))>С(г)=ек,Х(г)=Х ><11, к=Щ, (33) t

вважаючи, що в1дпов1дп1 1нтеграли з01гаються (знак <■> означав математичне спод1вання).

Використовуючи результата параграфа 1.3, одержано вираз для пох!дно1 стохастичних функц1й Ляпунова (33) вздовж розв'язк!в системи (7) 1 записана система нел1н1йних функц1оналыгах р1внянь, що визначае асимптотичну ст!йк1сть нульового розв'язку системи (7)

Э<у*Д) Шк(1;,Х) ч

-- +~~Ж-фкаД)+2 к=Щ. (34)

В—1

У §3.2 наведений вив!д стохастичних р1внянь Болтана для нел1н1йно! дискретно! системи керувпння, що заложить в!д ск1нчен-нозначного марковського лвнцюга. Використовуючи р1вняння для стохастичних ф.ункц1й Ляпунова, як1 отриман1 у параграф! 3.1, виве-ден1 нео0х1дн! умови оптимальност1 для системи нелШШшх дифо-ренц1альних р!внянь з марковськими коеф1ц!внтами.

У §3.3 на основ! фушсц!й Ляпунова одержана система р1гнянь

типу Беллмана, яка дозволяв зд!йснити синтез оптимального керу-вання для нел1и1йно1 дискретно! системи керування

де Хд- т-вим1р1Шй випадковий вектор, и - 1-вим1рний вектор керування, т)п, пе20, - нап1вмарковсышй ланцюг 1з скШченним числом стан1в ае1,эе2,...,аер.

Для системи (35) шукавться оптимальна керування вигляду

"п^ЧЛ*' (36)

м1н1м1зуюче функц1онал якост!

со

< "(т^.Хд.^) >, (37)

п=0

до Як(Х1и)нй(ае1с,Х,и), к=1,р, - додатно визначен!, неперервн1 в1дносно X, и функц11, як1 перетворюються в нуль при Х=0, и=0.

Функц1онал (37) Суде мати м1н!мум, якщо основн1 стохастичн1 функцИ системи (35) о

Ув(Х)=£ < «(7?п,Хп,ип)|Х0=Х,Т10=аев >. в=Пр. (38)

п=0

будуть мати м1н1мум. Використовуючи сп1вв1дношення для частинних розпод1л1в розв'язкХв системи вигляду (14), отримана система р1в-нянь для функц1й Ляпунова вздовк розв'язк1в системи (14) I записана система для визначання УВ(Х) для розв'язк1в системи (35):

со р

УВ(Х)=^ [фв(п)?/в(Х1(в),а1<в>)+^Я;)в(п+1)У;)(Х1(^)], (39)

п=0 3=1

де - розв'язок системи р1зницевшс рХвнянь

и^Ч<4в)^(аев,Х<в>), Х<В>=Х, ЁйТ.р.

Вводяться допом1жн1 функцИ типу Беллмана 00 р

Ув(п,Х)=£ [фв(к)»в(Х]<в),и1[о))+^Г )У;)(Х^В1))] , а=Т7р, (40)

к=п 3=1

причому Ув(0,Х)=Ув(Х), а=ьр.

Теорема 3.8. (Необх!дн1 умови оптимальност!). Якщо для сис-теми керування (36) 1снуе оптимально керуваш!я вигляду (37), М1н!м1зуюче функц1онал (38), то функцИ VB(n,X), (в=Г7р) задовольняють систему р1внянь типу Беллмана

min {vB(n+l,Fe(X^B),U^B))) - VB(n,X^B)) + (|)e(n)WB(X^B),t4B)) +

n

P

|+ZqdB(n+1,V0,Jn+l)} = 3=T^P' n<5V (41)

, J-l

Теорема 3.8 може бути використана для синтезу оптимального керування вигляду (36). .

Необх1дн1 умови оптимальност! одержан1 також для частинного випадку, коли у систем 1 (35) випадковий нроцес т) - марковсыотй.

П1ДСУ1ЯС0В1 висновки:

- за допомогою функц.Ш Ляпунова отриман1 умови ст1йкост! роз-в'язк!в систем нел1н1йних диференц!альних 1 р!зницевих р1внянь, залежних в1д марковського та нап1вмарковського випадкових ск1н-ченнозначних процес!в;

- виведен! р!вняння для частинних розпод!л1в 1мов1рностей випадкових розв'язк!в цих систем р1внянь;

- одержан! моментн1 р!вняння для розв'язк1в систем нелШйних дискретних р1внянь з марковськими та нап!вморковськими коеф!-ц1внтами, за допомогою яких досл!джувться ст!йк1сть у середаьому квадратичному нульового розв'язку розглянутих систем;

- знойден1 достатн1 умови 1снування щЛльностей 1мов!рностей випадкових розв'язк1в системи нел1н1йних р1зниц9вих р1внянь з марковськими 1 нап1вмарковськими параметрами;

- виведен1 необх1дн1 умови оптимальност! розв'язк!в нел1н1йиих дискретних систем керування з напЛвмарковськими коеф!ц!ентоми.

Основ!;! положения дисертацИ опубл1кован! в таких працях:

1. Колод1нська О.В. Моделювання та досл1дкення ст!йкост1 р1внянь з марковськими та напХвмарковськими коеф!ц1ентами // Машинна обробка 1нформац11.- М1жв1домчий наук.зб1рник, заснований у 1965р.- Ки1в: Ки1в. держ. окон, ун-т, 1996.- № 58.- С.176-186.

2. Дильмурадов Н., Тошев К., Колодинская Е.В. О распреде-лэнии случайных, решений систем дискретных уравнений, зависящих от конечнозначной полумарковской цепи // Сборник науч. тр. - Карши: Карпинский гос. университет, 1994. - С. 3i-36.

3. Дильмурадов Н., Куликова Е.В. Моментные уравнения и устойчивость решений нелинейных разностных уравнений с правыми частями, зависящими от марковских последовательностей /Киев. гос. экон. ун-т.- Киев, 1993.- 9с.- Библиогр.:5 назв.- Рус.- Деп. в ГНТБ Украины 05.ОТ.93, Л 1371 - Ук 93.

4. Дильмурадов Н., Колодинская Е.В. Моментные уравнения и устойчивость решений систем нелинейных дифференциальных уравнений, зависящих от марковского процесса /Киев.гос.экон.ун-т.-Киев,

1994. - 16с. - Библиогр.: 7 назв. - Рус. - Деп. в ГНТБ Украины 22.02.94, № 379 - Ук 94.

Б. Дильмурадов Н., Колодинская Е.В. Об устойчивости систем нелинейных разностных уравнений с правыми частями, зависящийи от полумарковской последовательности /Киев.гос.экон.ун-т.-Киев,1994. -12с.-Библ.:5назв.-Рус.-Деп.в ГНТБ Украины 24.11.94, № 2188-Ук94.

6. Дильмурадов Н., Колодинская Е.В. Устойчивость системы нелинейных разностных уравнений с правыми частями, зависящими от марковских и полумарковских параметров /Киев.гос.экон.ун-т.-Киев,

1995.-14с.- Библиогр.:5назв.- Рус.- Деп. в ГНТБ Украины 27.03.95, # 643 - Ук 95.

7. Колодинская Е.В. Исследование устойчивости и оптимизация решений систем нелинейных стохастических разностных уравнений // Материалы Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем."-Киев: Киев, ун-т им. Т.Шевченко,1995.-С.57.

8. Колодинская Е.В. Устойчивость и оптимизация решений систем нелинейных разностных уравнений с полумарковскими параметрами // Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем." - Киев: Киев, ун-т им. Т.Шевченко,

1996. - С.51.

Колодинская Е.В.

Исследование устойчивости и оптимизация систем нелинейных стохастических уравнений. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Киевский университет им. Т.Шевченко, Киев, 1996.

В диссертации исследованы вопросы устойчивости решений систем нолинейных дифференциальных и разностных уравнений, правые части которых зависят от марковского и полумарковского конечно-значных процессов. О помощью функций Ляпунова получены условия устойчивости рошений систем. Выведены соотношения для распределений вероятностей рошений. Получены моментные уравнения, с помощью которых исследована устойчивость в среднем квадратичном решений. Изучены вопросы оптимизации стохастических нелинейных систем управления. Предложен новый вывод необходимых условий оптимальности решений нелинейных дискретных систем управления с полумарковскими параметрами.

Kolodinskaya E.V.

Investigation of Stability and Optimisation of Systems of Nonlinear Stochastic Equations. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph. D) in Physics and Mathematics in speciality 01.01.02 - Differential Equation. Kiev T.Shevchenko University, Kiev, 1996.

The problems of stability of solutions of systems of nonlinear differential and discrete equations,the right sides of which depend on markov's and semlmarkov's finite value processes are investigated in this thesis. The conditions of stability of solutions of the systems are received with help of Lyapunov functions. Expressions for the distributions of probabilities of solutions are obtained. The moment equations are received, with help of which the stability In average square of the solutions are researched. The problems of the optimisation of stochastic nonlinear systems of control are investigated. The new conclusion of needed conditions of optimation of solutions of the nonlinear discrete systems of control with semlmarkov's parameters Is proposed.

Ключов! слова: марковський та наШвмарковський процвси, частинний розпод1л 1мов1рностей i момента випадкового розв'язку, CTlftKicTb у середньому квадратичному, стохастичн! функцП Ляпунова, оптимальна керування.