Исследование устойчивости и стабилизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с последействием расщеплением на подсистемы меньшего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Галунова, Ксения Валерьевна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ
1992 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.09 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Исследование устойчивости и стабилизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с последействием расщеплением на подсистемы меньшего порядка»
 
Автореферат диссертации на тему "Исследование устойчивости и стабилизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с последействием расщеплением на подсистемы меньшего порядка"

САШТ-ШШУРГШ!:'« 1 ВД.^РС ЗКЖЬЛ; ЖСЕРСЖГ

На правах руготня УДК 517.2

ГАЛУН СЕЛ. Ксечпл Валерьевна

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОК.ЧЖСС'ГИ И GïWJXWJi СИСТЕМ ОШОЮВЕЕШХ ¿(ОДВсОДДОЬШХ УРАШЖ К j РАВНЕНИЙ С ПаЩ^ЙСыЗИЮ ЯШЗШВВЕК Е\ ПСЩСКС-.ТЕМЫ ЕВШЕГО ПСйЩчА

OI.OI.C9 - лт'змаг.'ичаскал кпборкетжа

/шторой pao? днсс8|*еция иа соискание учвяод стовочи

г'.аплидгл'а фнзжо-г^атег&'птскйх наук

CaitK-;-ncv«ptfypr - 1992

Работа вышж на ла ка'^дро «ятсиатяг1 йокультата

прикла^нсм î/3Tf »csiir-'-iip^occcB упь&вжгих СааЭТ"Иете.р<5ургского roi^.tapoTBSKHoro уигвсрсрдста.

Иауъ:ш2 рукозсдитель: Канцядат фй31а:о-;лате1/лткческ"Х наук

¿.К. Кмрьансь,

Орсхкальяьм пгшс.;енхп: Доктор ^изжсм/д^ьтпчошк науя

b.Ji. л?*)И'лягогь

Кандидат фиозжочагетт^есн-'ч паук

L.H. iyj^Kiío. Бедти<ал орпгагшцил; íuicniT'fr ¡-"А" ааш СО ЛШ.

з__ч&дгп lía згсрпа«1а". вшдоглг. згрованзо-о ooaoaa

X-06S.57.I6 по прясу~;дсн1Цо ученой cïôr<etn; кандидата rasîs'.o--»rem'íbneoiaaí яоук s Санкт-fie -ej«)? ox-ckcs* хчюула^жекаом у: гисрплтбьо {ï$SS>0£, С.Петербург, Ci, Пог-ергсф, Вийгкото'Ц'ая п. хтдь г. 2, фэл-судьтет ПЫУ СПбГУ). Ззаимга бу^ет проходить во адресу: Са^ст-Уо-тгрбург, 12.0., ГО лкши, дом 35, ауд,

С диссегтосйб" 'мсшю озиакошггься в йкблаотеке кг. á.á. Гордого C-:ii!KT-ïîeTe;p>jy,t>rc;coro государе«зсшгог-\ ушшереьгеяй, Уь íbepcííxtí'icnai; шг^ре-аая V/í?.

Автореферат

разослан ; " ^ » ^cáJ/jl 1Э&£Г.

ЗгчзиыД секретарь

спсжг тированного совета В.Ф. Гс эьковс 1

СЩАЯ ЖРАЮЕРКС'БКА. РАБОТЫ ■

1. детальность теш.

Проблема исследовании устойчивости и стабилизации решений является одной из актуальных задач теории управляемого движения. Вопрос об устойчивости peusaitit окл зпзреке глубоко гзучен A.M. Ляпуновым и исследовался впоследствии в работах шопа авторов, среда которых Н.Н, Красозск:ы, Л.С. Понтрятта, В. Б. КодманозскжЗ, 3,1. Не св, А. Халанай, Ля. Xeibi* З.И. ЩСоа, С. Н. Шаманов, B.C. Раоушоспн, Г. -Като, Я,Б. Азболеа и др. Лля широкого класса систем яодучеш достаточные условия устойчивости и, соствоТс'ГЕОШю, стабилнзкрусмостя, тогда как необходимые п достаточные условия- полутени лила, дом небольшого количества уравнений» Следовательно» на яастоящй иошят данную проблему нельзя считать закрытой. В свота вышесказанного достаточно важной язшются проблема езоденпя слсгшых систем к более простым с точки зрения нсслодоваякя устойчивости. В этом направлении разработаны таете методы как метод усреднения, метод замораживания» кетсд сведения, яо область применимости каждого из них достаточно узка п спи но могут охватить всех возникающих задач» Поэтст.у разработка жязь'х катодов в этом направлении представляется не обхода/ой. •

2. Цель работы.

Целью настоящей работа являлось построение метода, яозло-. ляющего свести исследование устойчивости система дтасуеревдиаль--ша уравнений шеоаого порядка к исследованию нескольких систем более низкого порядка и нахождение с ддаощьн такого метода ста-билизирумего управлет: г. Рассматривался вопрос о етабкллоацтг

•сксаои ^фЬс:р£1л;кальлгх уравнений обшноаенаого," запаадщзаздо-го :< яеНкохтасо галса. Сгайхлпжтрчэтев управлений кается сро-дп управлений, гъ зависящих от одаой кля нескольких- -степеней крсЕЗЕсдаон Лазо^те; пе\омоиасй.

. 3. Научная ноькзка.

Доказаны .теороцы об асимптотической устяшвости систшш дк^фзреш.;пгип,я:-1Х урашенй, оператор которой представал в виде произведения даЗс?ерэвдЕалышх операторов болев низкого по-р.<ацса. Получен вод коэффациентоп линейных дафщеренцкадышх . операторов оЗшювешого н запаздывающего типа, • представших з виде кроязвокенкя операторов первого порядка. .Получены достаточные усяоэгл стабилизируемое?!! лане&шх систем обыкновен-» ного к гапаздхшаюдаго типа управлением, не один или

несколько козУшидпсштов исходной скстеш, такого ввда,- что оператор загнутом систош представил в виде произведения аскштотичоскп: усясЯчжвшс ДЕф^ерснцкалькых операторов первого порядка. $

4. Апробах;;>: работы»

Результаты, излагаемые в данной работа., докладашлпсь ¡¡а исн^ерекций "Современные кетоды качественной теораа дгадереп-цшльяпх уравнении Глсбалъднй анализ. Г.и-югозшчкыз отображения" (Р">ронел:, 1550 у.}, на научных 1ш:олах-сем;шарах "^одели-розак^е 'и исследование устойчиаости физических процессов" (Уи-ев, 1900,1021 гг»), па 1& Всасоазной школе по теории операторов в пространствах <Й.Новгород, 1$91г.), вй Герценоссккх чтеадях {Д., 1988, ГШ гг. ).

5. Публикации

Штернами работы взлскеш з шести статьях я чатирох тезисах, указанных в конце автореферата.

6. Структура, к объем диссертации.

Работа состоит из вводеаия а даух глав, которое рагОлта на девять параграфов. Объем работа - Со страниц. Описо:: .тсте-ратуры содертат 45 нззвакгй.

ОБЗОР ССЩ2Р5Ш-111Д яяшпш.

Во введении к диссертации дрзводктся Краткий лгтаратур<щ£ обгер. .

Первая глава сосзяцена проблеме исследования устойчив оста систем - да^ренцяшЕЫШХ уравнений обнкновзвного, зопаздкЕа-ющого и нейтрального типа. Ёагзшегг рассматриваемую .систему г вида

л =6-0

Здесь ¿С - линейный да^вревдиалкшЗ оператор. лудзз« гозс-ркть, что оператор .устойчив {асикякготичзскй устойчив) , если система ОС. ~ О. устойчива (асилптоткчсски устокчкЕа).

3 §. I дохаэкваится-достаточные условия аскштохкчоско;! устойчивости д;к>|>ерзгщЕалького оператора ¿02-, дредставимого з воде суперпозиции операторов более низкого порядку ограничения накладываются па ошратору разложения. Приведете колу-да- ■ нио таореш.

. Пусть оператор представим в взд-з суперполкдгж двух операторов более нкзяог.) порядка:

е^ ОС- — О С ОС»}

2/Р^СС}

Ом•

о <3

удовлетворяй? условиям существования и единственности решений II сбозьачим" решение это£ система через ^ (•£.), .

Теорема I, Пусть оператор ".теет вад 32 -

-^Т^'асшякингадскк ус?о-£чш» решякя Ш уравнения (V) при любюс зачашшх дшшх ограничены достаточно шлой константой. Дяя того, чтс&! .оператор о^СС <5шх асжллтотачосг.и устойчив достаточно выполнено« одного из .условий: 1/^(1, ССУ-локаадо-лкшщвза по' ОС с достаточно иалей ко-нстантоК дкдаца в окрзстдсста нуля.

однородная я<?- X порядка М, .

еорз;.та 2. Пусть опзратбр. ^ имеет вад ^Ьс= СС.--Д^ СС стк-тепея-де аргумента сосредоточенное:ОС, = к асимптотически устойчив. Для того, чтобы одоратор ¿С бит. аюаштотЕчесгиг устоачкз достаточно вшкчшеяия одного из условий: 1/^(1,дааеш по > ЗЦ, и дая решай (•*) внпо)а1яэтся яерадшотао / ^.

' однороден по ирг/:.'ептаг.: СС . > г

ограничен'достаточно малой коастантой.

Тесьма 3. Еилг оператор равномерно асимптот-*ескп ..устойчив к 1| 0 ари дв&сх начальных д&ккьа, то оператор

¿с ОС. равномерно асиакготячески устойч:з.

Теорема 4,. 2ели операторы ^ г ^ днгшнк по фазовой лерешзяаой, то для того» чтобы оператор > ЬС бкл асиш-

е

Допустим, что система

•готически у^толчга иаебхадао и достаточно, чтобы яг-

операторов Q к iP б л асгаятотпчеспк устойчив.

Следствие,Если оператор, ¿.ОС продстас-ш з зкдо суперпозиция И. .пмиелиих по разопо2 пзролкшгс*.: операторов, то для иого, чтоб* он di*л до&лиотачеш: устойчив необходимо п достаточно, чТч-J« бал птаттоет^гск?. устопчкв кавдый из операторов разложения.

Б § 2 раеснатхекхстсл »«¡рос о том, т;сгда лкиейныЦ дто(;е-р. яциалышй. оператор ои-тлозенпого типа

».г. О

представим в г }.} про^збненя?: асакц*о*юябскз устойчпвнх одораторе j первого корягча. Получеки yc,-:coiis на кооу&дазята опер-.тора, представ-\;ого уке-чишыя образом. Стрсчтся общее ps-шенке уравнения «£fJC.~ 0 , когда ö^vi} удовлетворит полечен-.шм условиям.

' 3 5 3 анологичккв вопроси рассмотрены для линейного jpsj-ф^ренцчаэшюгч, оператора запаздьогшяэдго сш>

* - ь^н Sz^c^ct-

С-О '¡ = 0 ^ vj

ci

Б § 4 рассматривав rch йоярос ос устойчивости днвеДкого стационарного оператора алпаэдшзащего мига. .Иолучепы неоило-' джиге к достаточнее условия асимптотическое ус :0ira?D0CTa уряв-Яуйря первого порадка с -одкшл запаздмданном

¿(1Ь UocÄ+ jf>ccC-0 •

где коф&икшити oL u Jb - «очшшекие. Слот г^к-гетзай доказывается путем применения к харакгерксткчо спому кбозвздккио-

иг рассьат.квавког© уръхшпгр 'гаорс^.ъ Поитряпаах. Отсада непосредственно зытеяазт критерий аог^-лтотическо.* устойчивости оне-

Пааучея критерии того, что характеристические квазиполном отой система представил в виде гроиззеданкя трехчленов вгпа, У5Язашюго выио. 3 ятрм служа опять воарос об устойчивости систсш сводятся к рассмотренному ранее вопросу об устойчивости каздого яз сс-шаглтелей,

В § 5 рассиат рузастсн вопрос об устойчивости линейного стационарного оператора нейтрального тит. Получены критерии аскстотячвско* устойчивости иойтрал^лого оператора первого пор>уу<а с одним отклгоньокек ардуданта к разностного оператора, с спзглердаымз сткдогега^и: аргушнта. Из них вытекает ""'слоэкя асиштотичесой усгалагсостй яеитрглького оператора, который представим в г:где су^арвозщни па£?;алыиг' операторов первого порядка ияа разностного оператора к ди^ерекциальвого опепято-.ра о» а с.клопепш! аргуус-утя.

36 второй глава рассматривается вопрос о построении ста-Ошшзируюдего усразлэккя хяя систем ликойних дг$фереадиэлышх

характеристический квазйполилом которого представши! в ьпдв лшпэдоданкя просте&да: тргхчлепоы гцца "2,+ а^Ч- ^ ¿а<",й . Такле рассматривается сксгека разгэрностя И,

сс= Л ^ Ш + В се (г- О

уроззяензк обшшонеалого, жг&ихнлютго ti яеЛтряль:;ого тгеоь. Стабилизируют^ управление w»xwi з хяи-се таких управлений, что оператор за»шгутой систем" предотагг.гм в BiviB суггоряозгг/ги асимптотически у стойчкз »х операторов парного поряска.

В § I рассг-атр.^ается скс^а чиЩерод/.:эльк .¿х.

увавнечим ебишо^еялого wina. Дс: иае получены с:едуотц.з результаты :

Teop^j/a ri. Для тог.), чтеби для ли.чеиггго 061 моьс гнето . да^ароядгальногп оператора

!• ""VS —Ov) / I ч Ci * С-о

существовало стаб тщзпруйкее управдо;ше вида il-* Г>\ Ы < к

ü-^COn0-» ^«¡CttaW

i j.i. i -л- { ) достаточно, чч.оби cytiecrsos^ja фуикщг ¿"(¿)i (?<Г $ ^ постоял ал H 7or::e, что

a '

3 случае, :;огда - k- i для суыоотвоваяиа_ü'iiidvyr»?:!^-iKaSi-o упр*лз.теш:я vpcöycwor-o зада достаточно, чтобы ксуА'У-дкьнт CL^ '^а строго положителей.

Тзг-хе рассматривается вопрос о существ' -занля ста^ятигиру-sraro уцравлзния, не ззэглящегс о*'1 i степеней ярояаводией:.

с-О л-2 ^k.H t^/tfi

доказано, .то для существования етас&лизируяадаго ув^.'мкж

такого вида достаточно, чтебц фу.едецгл <tk ,,. CL

/ 1 ' ;

rticni "oj:oiiiiïs.»aHQ ощвдедс-.чь и -л'гнуйно зависимы с оаргдел?"-H1ÏK ВЯДО?.: связи.

TmcKô стъоатся отабяяясидет'.ииве -управление такого веда, замкнутой сгстеш исяадае? в зг "ал.-гуо окрестасс-гь нулч за &V13ÏUIWI иреия.

В § « 1йсс:лзтр,^ает1.д сякуш¡а. лшгкных даЯ&ереяисальиа уу^тыс'Л гааазлаьаовгго типа. Дяя всо получены сдадвшсе ре-гудьгагч:

Теорба 6. Для того, чтобу дик линейного ;^фвреидигльйо-го pnejïîTopa аапазг.-ыхалиого тзва

сучг-стйолало ожкйш «рулите управление :-тлда

»ocras'çvisçt, чтобы сушоствовала фуикшм £(&) : 1> <. £ ¿ ¿ 'L я постошшая H такие, что

\(\:ё^)-гл%У)к\<Н Vi

0 Г

Теорема'V. Для тс го» чтобы едя ляиеЬиого дщ^еренцкаль-«ого с перл .-opa того та вида, что и l теоромз 6, существовало стабилизирующее управлэнма тчвда

¿i £ ftWa*«.-W -V

t=0J ftE-.!!2-1

1 « O u

-OCT-.tc-HO, чтобы e;;. мяствоэала ¿уакция Cd) : 0 < £ < £&)/

10

^ £ и постоянная Н такие, что

! Лс^еО-гсЫИ <н VI

1 о

иль

о

3 § 3 рассматривается линейная стационарная система запаздывающего типа, для нее найдеш достаточные условия стаби-■ лязпруемости управлением, не зависяярм от фазовой переменной и ео производных в настояний момент врекзни и управлением , по зависящим от одной степени производной в какой-либо предав-, стоущай. шжэв?' вреданп. Стабилизирующее управление опять ищется в класса таких управлений, что оператор замкнутой сис-тс5.щ-предотавЕ:л в виде произведения д®й)9ренцкальных операторов первого порядка. Приведены.примэры построения стабилизирующего управления для медедл, описывающей работу ядерного реактора п для модели процесса сгорания в раке?-1 с вядким топливом.

Такгда рассматривается другой способ исследования устойчивости и стабилизируемостн линейного стационарного уравнения с соизийрпшш! заказ дцватшг". Этот способ близок к методу

-разбиений: здесь рассматривается двтеенне корней характеристического квазиполинома, па комплексной плоскости при изменений параметра ^ (общего делителя соизмеримых запаздываний ) и находятся прокзлеуткк, на которых все корни будут яметь отрицательные вещественные части. Построен алгоритм исследования устойчивости и нахождения стабилизирующего управления, пригодный для численной реализаций.

II '

В § 4 рассматривается вопрос о возможности построения для j leiiHovi стационарной системы нейтрального типа стабилизирующего управления, ив зависящего от фазовой переменной з настоящий момент времени. Стабилизирующее управление ищется в классе таких управлений, что оператор замкнутой системы представим в виде произведения разностного оператора с соизмеримым отклонениями аргумента и дифференциального оператора баз отклонений аргумента.

. Публикации.

1.А.И. Кирьянен, К.В, Галунова. Колебания решений дифференциальных уравнений с несколькими запаздываншши. Деп. в ВИНИТИ 25 февр. 1987 г., & I322-BS7.

2. К.В. Галунова, кЛ. Кирьяиен. О дискретной и релейной ста-билизируеыости систем с последействием. Деп.- в БЕ.1Ш 4 июля 1989 г. , И 4433-389.-■

3. К.В. Галунова, А.И. Кврьянен. Об устойчивости уравнения Хейоз с комплексными ко^рвднентаад//-Диф. уравн. с частн. произв. Д., IS69, с. 65-72.

4. К.В. Галунова. К вопросу о стабилизкруемости систем с по-следекствкоы// Вестн. Ж7. Сер. I, IS30, в.'З, с. 13-16..

5. К.В. 1лунова. Дискретное стабилизирующее управление в лилейных стационарных .системах, Деп. в ЗШШ. 16 нояо. 1990 г., II 5809-БЭО, .

6. К.2. Галунова. Об одном'методе исследования-устойчивости Н Кат. анализ, Л., 1990 т., с. 59-68.

7. К.З. Галунова. Об одном методе исследования устойчивости,

Tea. докладов школн-сеишара "Моделирование и исследование •ойчявости физических процессов", Киел, 1999 г., с. 14. К.В. Годунова. Построение стабплизируюдего управления в '.темах дирререодиальних уравнении обыкновенного л заш&дыпа-!ГО типа// Тоз. докладов 16 Всесоюзной школв по теории спо-■оров в функционалъншс пространствах. Н.Новгород,1991,с. 45. З.Г. Галкила, К.В. Галупоаа, Построение кусочно-непрорывно-програ.\г/лого управления для линейной системы с загаздивани-'/. Тоз. докладов щоаш-семняара "Моделирование и исоледова-| устойчивости фязпчсскях процессов", Ккев, 1991, с. 19-20.

В .Г. Гашиша, К.В. Галунова. Построение кусочно-нэпрершэ-гспрогракмного управления для линейной систем» с запаздава-¡м// Мат. анализ. СПб, 11)91 г., с. ьС~97.

13 _____

писайо к печати 2 г. Формат'бОхМ Vie. печать офсетная

-иза.п. 1,1. Усп.псч.п.Г.О. Заказ ¡ОЬ Окра« ГО0 экь. Бесплатно : Отпечатано ¡¡а ротапринте ОТ61ТГЛП им.С.М.Кигоэа 191028, !>Штербупг, уя.Моховая, 26