Исследование устойчивости и закритического деформирования упругих цилиндрических оболочек при действии внешнего давления в высоких приближениях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Матвеев Евгений Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ЗАКРИТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ В ВЫСОКИХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ

Специальность 01.02.04 -Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Москва-2011

005004659

Работа выполнена на кафедре «Прикладная и вычислительная математика» имени Э.И. Григолкжа Московского государственного технического университета «МАМИ»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Лопаницын Евгений Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кузнецов Евгений Борисович

Защита состоится «21» декабря 2011 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), по адресу: 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (национального исследовательского университета).

Отзыв на автореферат, заверенный печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Колосов Геннадий Иванович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт автоматизации и проектирования РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.125.05, кандидат физико-математических наук

Федотенков Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Расчёт на устойчивость тонкостенной конструкции при наличии в ней сжимающих напряжений является обязательной частью любого расчёта на прочность. Задачи о потери устойчивости тонкостенных конструкций возникают в различных отраслях науки и техники, таких как строительная механика, теория пластин и оболочек, судостроение, нефтегазовая и химическая промышленность, транспортная и аэрокосмическая техника. Поэтому проблема устойчивости тонкостенных конструкций, с давних пор представляет особый интерес как для инженеров, так и для учёных-механиков.

Объектом настоящего исследования является одна из наиболее часто встречающихся задач об устойчивости тонкой упругой цилиндрической оболочки, находящейся под действием стационарного внешнего давления. Эта задача, вследствие большого числа посвящённых ей экспериментальных и теоретических исследований, относится к числу классических. Тем не менее, известные в настоящее время методы решения этой задачи не позволяют надёжно прогнозировать момент потери устойчивости цилиндрической оболочки.

В связи с этим, тема диссертации, посвященная исследованию процесса нелинейного деформирования оболочки, её потери устойчивости и закритическо-го поведения и решению фундаментальной проблемы рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам, является актуальной.

Целью работы является разработка и научное обоснование детерминированного подхода к решению проблемы рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам потери устойчивости тонких цилиндрических оболочек, нагруженных внешним сжимающим давлением, и апробация методов непрерывного и дискретного продолжения на рассматриваемых задачах, которые ранее им не решались. К этим задачам относятся:

- получение точного аналитического решения задачи об осесимметрич-ном деформировании цилиндрических оболочек, позволяющего контролировать точность численного решения на начальном этапе нагружения перед потерей устойчивости;

- построение полных траекторий решений вместе с их закритическими ветвями для опёртых и заделанных цилиндрических оболочек, нагруженных всесторонним или только боковым давлением, методом Релея-Ритца с последующим применением методов продолжения решения;

- расчёт методом Релея-Ритца и методами продолжения решения значений критических давлений для рассматриваемых оболочек с начальными неправильностями в виде форм изогнутой поверхности их идеально цилиндрического аналога, соответствующие равновесным закритиче-ским состояниям.

Научная новизна. Все существенные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Было получено точное аналитическое решение в элементарных функциях

осесимметричных краевых задач для уравнений Маргерра, описывающих нелинейное деформирование тонкой упругой цилиндрической оболочки перед потерей устойчивости.

Найдено, что замена защемления краёв оболочки на опирание приводит к уменьшению верхней критической нагрузки до 12%, а не на 50%, как это считается в классической литературе. При этом снятие торцевой сжимающей нагрузки на короткую оболочку приводит к уменьшению её верхней критической нагрузки в зависимости от вида граничных условий на величину до 16%, а её нижней критической нагрузки - до 30%, а не к увеличению, что также противоречит общепринятым представлениям.

Показано, что при использовании в качестве малых начальных прогибов цилиндрической оболочки форм изогнутой поверхности её идеально цилиндрического аналога, соответствующих равновесным закритическим состояниям при максимальном отклонении до 30% толщины оболочки, появляется возможность получить диапазон её критических нагрузок, который охватывает практически все экспериментальные значения. Этим подтверждена гипотеза о том, что одной из основных причиной получения заниженных по сравнению с расчетом экспериментальных значений критического давления цилиндрических оболочек является наличие у них малых технологических неправильностей формы.

Достоверность результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предлагаемых подходов, исследованием погрешности вычислений и аппроксимации перемещений оболочек и основана на анализе результатов расчетов с механической точки зрения и их сравнении с решениями и экспериментальными данными других авторов.

Научная и практическая ценность работы. Показана возможность теоретического подтверждения экспериментальных значений внешнего критического давления тонкостенных цилиндрических оболочек с помощью их малых начальных неправильностей. Найден способ задания этих неправильностей в виде форм изогнутой поверхности идеально цилиндрических оболочек, соответствующих их равновесным закритическим состояниям. Указана возможность повышения несущей способности цилиндрических оболочек посредством варьирования видом их нагружения. Полученное точное аналитическое решения задачи об осесимметричном деформировании цилиндрических оболочек потерей устойчивости может быть использовано при тестировании расчётных программных комплексов. Разработанный комплекс программ может быть применён для расчёта элементов реальных конструкций в проектной практике. Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений большого порядка, который был апробирован на рассмотренных задачах и был усовершенствован процедурой исправления вектора невязок, может быть встроен в качестве расчётного модуля в известные конечно-элементные комплексы.

Апробация работы. Часть результатов работы получена и использовалась в рамках исследований по гранту РФФИ №10-08-00258а.

Результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях научного

семинара им. Э.И.Григолюка в НИИ Механики МГУ (2006-2010), на «Ломоносовских чтениях» (МГУ, 2007-2010), на конференции-конкурсе молодых ученых (Москва, НИИ Механики МГУ, 2010) и на Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2010 и 2011).

Структура и объём "работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Объём работы составляет 125 страниц печатного текста, включая 38 иллюстраций и 16 таблиц. Список литературы содержит 123 наименования. По теме диссертации опубликовано 10 работ, 3 из них -в изданиях из списка ВАК.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся литературный обзор и излагается состояние проблемы, обосновывается её актуальность и формулируются цели и задачи исследования.

История исследований процесса устойчивости цилиндрической оболочки, нагруженной внешним всесторонним или боковым давлением, насчитывает более чем полуторавековую историю. Она началась с экспериментального исследования Фёйербейрна 1858 года и теоретических работ Грасгофа и Бресса 1859 года. Подробное описание развития теории и практики расчётов цилиндрических оболочек от исследований Брайана, Кармана, Kappa, Стюарта, Саусвелла, Кука, Мизеса и Бубнова конца XIX века - начала XX века до работ Вейнгарте-на, Тилеманна, Эслингер, Алфутова, Шнеля, Мяченкова, Бадрухина и Галкина 60-х - 70-х годов XX века можно найти в книгах Григолюка и Кабанова и Вольмира. В 1970-е годы интерес к этой проблеме практически угас.

В качестве одной из причины этого можно указать на отсутствие в то время математического аппарата решения систем нелинейных уравнений высокого порядка с особенностями в виде точек бифуркации. Поэтому нелинейные решения в основном были получены методами Бубнова, Бубнова-Папковича и Релея-Ритца в низших приближениях, с учётом двух-четырёх слагаемых в аппроксимирующих перемещения оболочки зависимостях. Это не позволило учесть в расчётах особенности поведения реальной цилиндрической оболочки и, в частности, ввести в расчёт реально возможные отклонения формы цилиндрической оболочки от идеальной. В результате не удалось привести теоретические значения верхней критической нагрузки в соответствие с экспериментальными данными.

В настоящее время с развитием методов приближённых вычислений интерес к проблеме рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам тонкостенных изотропных оболочек стал возрождаться. Это можно видеть по исследованиям Григолюка и Лопаницына, Якушева, Колосова, Ротгера, Швайцергофа и Вилсака, Пикуля, Буякова, Гайворонско-го и Тащиловой, Лопаницына и Фролова и др.

В первой главе дана постановка краевой задачи для цилиндрической оболочки, нагруженной гидростатическим давлением (см. рис.1), и построено её решение.

2 |1 1 ! Г1 11111 _(Л.

-- 0 - --т £ Л(х,в,г) -—

1 " ос

-- [ О)

— Ь(г,е) —

1 1 1 ! I 1 1 М 1 ь

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка.

Для описания процесса деформирования цилиндрической оболочки под действием внешнего давления используются соотношения теории пологих оболочек, основанные на квадратичном законе описания её деформаций

00

К"«

И*,, И*, ус,„ УС,, И',«

+ + + »

Я Я Я я

и,в V л™,е)г

Кг„ =

Каа — '

я

(1)

98 Я Я 2 Я1 Я1 ' "" Я1

где и - продольные перемещения точек срединной поверхности оболочки, о -их окружные перемещения, ус - прогиб оболочки, ус - её начальный прогиб.

Составляющие напряжённо-деформированного состояния оболочки считаются непрерывными функциями координат х и в точек её срединной поверхности, которые доставляют минимум полной энергии деформации оболочки Э = П - А, где Я - её потенциальная энергия деформации, а А - работа приложенной к ней внешней нагрузки

£ 2л

<4 + 2™пеео + ]-~е1в + <4

+ £>

+ ^'каквв + 2(1-у)/с20 + /с,

Яс1хс1в, (2)

2;г 1 2я

А = яЯ\\ \vdxd6 + - дЯ21 [м(0,9) - и{Ь, в)]йв.

Здесь £> = £/г3Д 12(1-V2)] - цилиндрическая жёсткость стенки оболочки, а В = Ек/(1 - V2) - её жесткость на растяжение-сжатие.

Такая постановка задачи соответствует широко известным уравнениям рав-

6

новесия Маргерра, одна из форм записи которых имеет вид

В качестве условий закрепления оболочки рассмотрены классические варианты граничных условий, наиболее близкие к тем, которые часто встречаются в экспериментальных работах. Это - условия Б4 с возможностью сближения опорных контуров в осевом направлении и нагружением оболочки всесторонним давлением

и(О,0) = С/о, и(1,0) = -С/о или Ма{0,в) = Кхх{1.,в) = -\-ЧЯ,

(3)

и = м>=и>,хх = 0 при х = 0 и х = Ь,

условия СЗ с нагружением оболочки давлением только по боковой поверхности

]\Га=и = м> = м>,х = 0 при х=0 и х=1 (4)

и условия 83 с таким же способом нагружения

Л^ = и = V) = ц>,а = 0 при х = 0 и х = Ь, (5)

где А(и - удельные нормальные усилия.

На этапе осесимметричного деформирования рассматриваемой цилиндрической оболочки, её состояния описываются уравнениями равновесия в виде

ЛГ= = О, Пу^-^--N^ = 4,

и в зависимости от вида закрепления торцов (3-5) позволяют записать общее решение в виде

и>' = С,сИа(£- 0,5)соза;(^ - 0,5) + С2 бЬ а{4 - 0,5)зт^ - 0,5) + ц>члст

или

= С, СОБ^ - 0,5) + С2 4 БШц{4 - 0,5) + 4 = х/Ь,

где их коэффициенты зависят не только от вида граничных условий, но и от способа нагружения оболочки

2 л/2 л/2

I 1

N'0=-qM2/12, <=0, <=-{

Траектории полученных решений представлена на рис.2. Для некоторых точек ветвей показаны формы деформированной поверхности.

Всестороннее сжатие. свободное cv

ropiKHI В ПрШОЛЫШМ ннпрдЫСИИП.

Всестороннее сжаго горной в продольно* напрей?

Рис.2. Траектория решений для заделанной и опёртой оболочек.

В случае всестороннего сжатия оболочки наблюдается её осесимметричная потеря устойчивости, выражающаяся в появлении на траектории решения асимптот с фиксированными значениями безразмерной внешней нагрузки. Эти асимптоты делят траекторию решений на изолированные ветви, охватывая всё множество значений приложенной нагрузки.

Для решения задачи о неосесимметричном деформировании цилиндрической оболочки применяется метод Релея-Ритца. Для этого перемещения точек срединной поверхности оболочки и её малые начальные прогибы представляются двойными функциональными суммами

к, к. к,

И = ££/,Ч'(£) + 2^Х. (£)СО8И,0, U = XVW^Sin п<в>

(6)

w = £ (£)+X (£) cos n,6),w = £ w; (f)+£ ^X (£) ■008 п<в -i=i f=i ' <=> '=i

где слагаемые с верхним индексом <«» обозначают осесимметричные составляющие решения, а с верхним индексом «а» - неосесимметричные, и, - номера неосесимметричных гармоник, U',U°, V°, W* и W° - искомые обобщённые

перемещения, W¡ и W° - задаваемые коэффициенты представления малого начального прогиба оболочки, «;(£), и°т (£), (£), w,J(£) и <, (£) - базисные функции. В качестве этих функций использованы тригонометрические синусы и косинусы, и балочные функции

i<; = A; sin в; cos

w¡ = е; sin о; 4+f; cos a>;z+g;^'04' + н;е-ш!4, (/ = \JTS),

u° = a; sin v°£, + B° cos , и," = c; sin + Д" cos/г^,

w; = E° sin co°l; + F; cos co°£ + G.'e^™ + Haiea'i, (/ = l^J,

где А', В',..., H" - постоянные, которые вместе с параметрами v*, со*,..., а>° определяются из граничных условий, если это возможно, или из их упрощённого аналога.

При реализации процедуры Релея-Ритца перемещения (6) точек срединной поверхности оболочки в виде деформаций и кривизн (1) сначала подставляются в потенциальную энергию П деформации оболочки и работу А внешней нагрузки (2), а затем для них записывается вариационное уравнение Лагранжа ЗЭ = 0 с варьированием обобщёнными перемещениями U', U°, V", W* и W°. В результате получается система нелинейных алгебраических уравнений, которая в матричной форме имеет вид

f(x,<7) = 0 (7)

где вектор f составлен из частных производных полной потенциальной энергии Э деформации оболочки по её обобщённым перемещениям U¡ ,U¡ ,V°, W* и W°, а вектор неизвестных x составлен из этих перемещений

X = (иIW'........í/¿f W'Kt иГ V" W"........и°Ка VI .

Система нелинейных алгебраических уравнений (7), порядок которой с этого места считается равным п, имеет особенности решения в виде предельных точек и точек бифуркации. Поэтому её решение строится методом непрерывного продолжения по параметру 1, близкому к длине траектории нагружения. Его основу составляет численное решение эквивалентной исходной системе задачи Коши

^ = <р(х,<7), $ = х(0) = 0, <?(0) = 0, (8)

ал ал

где вектор продолжения решения <р = (<р\ ... <р„)Т ищется как линейная комбинация собственных векторов задачи на собственные значения

ÍDí/Dx df/dq)

z = o>z, (9)

k3f7dq s

в которой I = 01/- матрица Якоби системы уравнений (7) - симметричная матрица и-го порядка

fv\ f } ■ J I'n 8f if л J\'p

м ** fnlnJ ' dq~

а параметр е выбирается из условия её наилучшей обусловленности расширенной и дополненной матрицы задачи на собственные значения.

Собственные векторы этой задачи, имеющие нулевую (и+1)-ю составляющую, являются бифуркационными, с их помощью можно продолжить решение из точки бифуркации по любой выбранной ветви. Остальные собственные векторы отвечают за формирование вектора продолжения (<рт у/)1 по основной ветви траектории решений. Этот метод устраняет трудности прохождения предельных точек и простых точек бифуркации.

Для компенсации погрешности в определении вектора (хт q)т, накапливающейся в процессе численного решения системы уравнений продолжения (8), используется метод дискретного продолжения по тому же параметру Я. Он основан на методе Ньютона-Рафсона, алгоритм которого реализован для расширенного пространства переменных. Каждая его итерация организуется посредством решения системы линейных алгебраических уравнений вида

'Df/Dx di/dq ГДх^

Kdf ¡dq s j U; ■ u

Решение системы уравнений (10) тоже основано на решении задачи на собственные значения (9). С помощью её собственных векторов оно организовано на ветвях траектории решений по соответствующему алгоритму, который для ускорения сходимости итераций усовершенствован процедурой исправления вектора невязок (Дхт Дд)ттак, чтобы он лежал в плоскости перпендикулярной вектору продолжения (<рт у/)1.

Во второй главе приведены результаты расчётов, описывающих нелинейное деформирование идеальной цилиндрической оболочки, её потери устойчивости и закритического поведения. Объектом данного исследования является оболочка с параметром тонкостенности ft = 18, удлинением Я = 1, и коэффициент Пуассона v = 0.3. Она может быть представлена оболочками с L = R и R/h = 98. Экспериментальные данные для таких оболочек указывают на возможный диапазон критических нагрузок от 0.109 до 0.178.

Значения параметров ц и Я были выбраны с учётом того, чтобы с одной стороны была обеспечена достаточно быстрая сходимость применяемых функциональных рядов (6), а с другой - чтобы их увеличение уже не приводило бы к качественному изменению процесса деформирования оболочки.

Для таких оболочек для трёх рассматриваемых способов закрепления и на-гружения (3-5) были рассчитаны траектории решений и были найдены формы

прогиба. Характер деформирования оболочек во всех трёх случаях сходен. Типичная картина деформирования оболочек в двух проекциях на показана на рис.3 и 4 на примере нагружения оболочки только боковым давлением при граничных условиях S3. Здесь ie* - осесимметричная составляющая прогиба оболочки в центре её пролёта, а w*- неосесимметричная составляющую прогиба там же при 0 = 0. Во всех случаях траектории нагружения имеют практически линейный начальный участок осесимметричного деформирования оболочки, точки бифуркации В1.7, В18,..., B2 I4>--., бифуркационные ветви, которые выходят из них, и предельные точки Н17, Н, 8,..., Н2 и,-- на бифуркационных ветвях. Индексами у обозначения предельных точек и точек бифуркации отмечено количество полуволн в продольном направлении и волн в окружном направлении оболочки. При увеличении внешнего давления потеря устойчивости оболочки происходит в первой точке бифуркации. В данном случае это - точка Bi g. При снятии давления упругая оболочка в предельных точках выщёлкивает и приобретает осесимметричную форму.

Рис.3. Первая проекция траектории решений для опёртой оболочки при на-гружении боковым давлением.

гружении боковым давлением.

Отличие процессов деформирования оболочек трёх рассмотренных случаев их закрепления и нагружения состоит в значениях верхнего и нижнего критических давлений, при котором они теряют устойчивость или выщёлкивают при снятии давления. Было получено, что замена защемления краёв оболочек на опирание приводит к уменьшению верхнего и нижнего критических давлений. Однако оно составляет не 50%, как это считается в классической литературе по устойчивости оболочек, а 5 ч- 12% для верхнего критического давления и 6 + 15% для нижнего. Такое незначительное влияние способа закрепления оболочек объясняется локальным характером краевого эффекта у рассмотренных оболочек из-за их тонкостенности. Удаление торцевой сжимающей нагрузки, т.е. нагружение оболочек только боковым давлением, приводит к более значительному уменьшению их критического давления. Так верхнее критическое давление при снятии осевого сжимающего давления уменьшается на величину до 16%, а нижнее критическое давление - на величину до 30%. Это явление также противоречит общепринятым представлениям, в соответствии с которыми дополнительное нагружение оболочки осевыми сжимающими усилиями должно приводить к уменьшению критического давления. Однако оно имеет

достаточно простое объяснение. При нагружении рассмотренных, достаточно коротких оболочек осевыми усилиями они до потери устойчивости деформируются наружу, приобретая слабо выраженную бочкообразную форму, в них появляются растягивающие окружные деформации. Если же оболочки нагружать боковым давлением, то они в докритической стадии начинают осесиммет-рично деформироваться внутрь, в них появляются сжимающие окружные деформации. Поэтому, если оболочки нагружать одновременно и осевыми усилиями, и боковым давлением, то эти два процесса начинают противодействовать друг другу, повышая тем самым несущую способность оболочек.

В третьей главе приводятся результаты расчётов оболочек, имеющих малые начальные неправильности формы. Эти неправильности задавались в виде прогибов, соответствующих состояниям равновесия оболочек на бифуркационных ветвях их траекторий решений. Амплитуда наибольшего относительного отклонения от идеальной формы не превышала 30% от толщины оболочки.

Как показали расчёты, потеря устойчивости оболочек с начальными неправильностями может происходить либо прощёлкиванием, либо в виде эйлеровой потери устойчивости. Прощёлкивание характерно для оболочек с начальными неправильностями, пропорциональными прогибам их идеальных аналогов из точек на бифуркационной ветви, которая выходит из точки бифуркации с наименьшим значением верхнего критического давления. Вид траектории нагру-жения оболочек с граничными условиями (3) для такого вида потери устойчивости показан на рис.5 (кривая 1), где наименьшее значение верхнего критиче-0ского давления идеальных оболочек

соответствует их потере устойчиво-4ста с 9-ю волнами по окружности. В

случае, когда начальные неправильности брались из других точек других бифуркационных ветвей, то при ма-0лых отклонениях = < 1

происходила эйлерова потери устойчивости. Это связано с тем, что деформации оболочек по той форме, которой соответствовали начальные неправильности, не успевали раз виться для потери устойчивости 0 1 2 прощёлкиванием. Эйлерова потеря

Рис.5. Траектории решений оболочек устойчивости по форме, подобной с начальными неправильностями. Ф°Рме потеРи Устойчивости идеальной оболочки в точке бифуркации с

наименьшим значением верхнего критического давления, происходила раньше. Эта ситуация показана на рис.5 (кривая 2), где у оболочки с формой начальной неправильности, пропорциональной прогибу идеальной оболочки из предельной точки Н1.7, на траектории нагружения появлялась точка бифуркации, соответствующая потере устойчивости с 9-ю волнами по окружности. При увеличе-

нии величины максимального отклонения м>ши явление эйлеровой потери устойчивости исчезало, и оболочки начинали терять устойчивость прощёлкива-нием, как показано на рис.5 (кривая 1), с образованием того количества волн по окружности, которое было присуще форме начальной неправильности. При дальнейшем увеличении отклонения наблюдалось сближение (см. рис.5, кривая 3) и последующее слияние предельных точек траектории нагружения оболочек, и явление прощёлкивания исчезало.

При таком видоизменении траекторий нагружения цилиндрических оболочек их критическая нагрузка оказывается кусочно-гладкой функцией от величины наибольшего отклонения формы оболочек от цилиндрической. Графики зависимости верхней критической нагрузки от амплитуды начальной неправильности оболочки показаны на рис.6 на примере оболочки с граничными условиями (5). Каждая кривая на рис.6 соответствует своему виду начальной неправильности. Кривые, отмеченные 1.7, 1.8, 1.9, ..., построены для оболочек с начальными неправильностями, в качестве которых взяты нормированные прогибы идеально цилиндрических оболочек из предельных закритических точек их траекторий нагружения. Кривые, отмеченные 1.7Н, 1.8Н, 1.9„,..., соответствуют оболочкам с аналогичными начальными неправильностями, но без осе-симметричных составляющих, а кривые 1.7«, 1.8» и 1.9« - оболочкам с начальными неправильностями из тех же предельных точек, но без первой осесиммет-ричной составляющей прогиба.

На основе описанных исследований на рис.7 построен сводный график для всех рассмотренных граничных условий и способов нагружения оболочек с начальными неправильностями, показывающий области возможных значений их критического давления. Можно видеть, что при начальных неправильностях с амплитудой относительного отклонения в пределах от -0.3 до 0.3 оболочки мо-гут иметь разброс значений безразмерного критического давления от 0.116 (промежуточная форма 1.7» - 1.8. при 0) до 0.264 (форма 1.12 при й£„> 0), что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту.

С целью решения фундаментальной проблемы рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам потери устойчивости тонких пологих цилиндрических оболочек под действием внешнего давления была решена серия задач об их геометрически нелинейном деформировании, потери устойчивости и закритическом поведении. Для этого в рамках модели тонкостенных пологих оболочек в виде уравнений Маргерра выполнено систематическое исследование процесса потери устойчивости тонких упругих цилиндрических оболочек с малыми начальными неправильностями, которое показало следующее.

1. Замена защемления краёв оболочки на опирание приводит к уменьшению верхней критической нагрузки на 6-И2%, а не на 50%, как это считается в классической литературе.

Рис.6. Влияние вида и величины начальной неправильности на критическую нагрузку опёртой оболочки при действии бокового давления.

-0.301 /УУ^Х12 Л> тш. 2.10 УУУУУУ^

А ¡111 в

чш ж шж.Ш шШШ. |р ш 111 1111 шИ ¡¡¡ь 111111 тж

Ш шш ¿¿У УУУЯуууууууу, яя УУШУУУУ^ 1.8, 'чумш, 0.11818« ¡§р ¡¡¡¡¡р щШШ у/уШШ Шж Шж,

\ 0.116 | 18. ¿¿-¿Ус

1.7, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 -о'.з 1 I 1 о.'з

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 ¡¡^ 0.8

Рис.7. Объединённое поле возможных значений критической нагрузки цилиндрической оболочки при/и= 18, Я = 1 и у = 0.3.

2. Удаление торцевой сжимающей нагрузки на оболочку приводит к уменьшению её верхней критической нагрузки в зависимости от вида граничных условий на величину до 16%, а её нижней критической нагрузки - до 30%. Этот факт также противоречит общепринятым представлениям, в соответствии с которыми дополнительное нагружение оболочки осевыми сжимающими усилиями должно приводить к уменьшению критического давления.

3. Использование в качестве малых начальных прогибов цилиндрической оболочки форм изогнутой поверхности её идеально цилиндрического аналога, соответствующих равновесным закритическим состояниям при максимальном отклонении до 30% толщины оболочки позволяет получить диапазон её критических нагрузок, который охватывает практически все экспериментальные значения.

4. Гипотеза о том, что одной из основных причиной получения заниженных по сравнению с расчетом экспериментальных значений критического давления являются малые технологические неправильности формы, может считаться обоснованной.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Устойчивость цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами под действием внешнего давления//Изв. РАН, Механика твердого тела, 2011, №2, С.16-25.

2. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Влияние способов закрепления и нагружения цилиндрических оболочек на их устойчивость и закритическое поведе-ние//Проблемы машиностроения и надежности машин, 2011, №3, С.117-126.

3. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. О возможности теоретического подтверждения экспериментальных значений внешнего критического давления тонкостенных цилиндрических оболочек//Прикладная математика и механика, 2011, т.75, вып.5, С.830-842.

Публикации в других изданиях

1. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Точное решение осесимметричной задачи о конечных прогибах цилиндрических оболочек при всестороннем сжатие/Ломоносовские чтения. Тезисы докладов. Секция механики. М.: МГУ, 2007, С.107-108.

2. Матвеев Е.А., Фролов А.Б. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние круговых цилиндрических оболочек конечного прогиба перед потерей устойчивости//Изв. МГТУ «МАМИ». 2008. С.152-158.

3. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Устойчивость защемлённой цилиндрической оболочки с начальными неправильностями под действием бокового давле-ния//Ломоносовские чтения. Тезисы докладов. Секция механики. М.: МГУ, 2009, С.108-109.

4. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Исследование зависимости верхних и нижних критических нагрузок цилиндрических оболочек от способов ее закрепления и нагружения равномерным внешним давлением/Материалы XVI ме-ждунар. симпозиума «Динам, и технол. проблемы механики конструкций и сплошных сред». Ярополец, 15-19 февраля 2010 г. М., 2010, т.1. С.121-122.

5. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Анализ исследований потери устойчивости тонких изотропных цилиндрических оболочек под действием внешнего давления с 1858 года по настоящее время//Ломоносовские чтения. Тезисы докладов. Секция механики. М.: МГУ, 2010, С.132.

6. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Нелинейное деформирование и потеря устойчивости цилиндрической оболочки с начальными неправильностями под действием внешнего давления (тезисы)//Материалы XVII междунар. симпозиума «Динам, и технол. проблемы механики конструкций и сплошных сред». Ярополец, 14-18 февраля 2011 г. М„ 2011, С.130-131.

7. Матвеев Е.А. Устойчивость и закритическое деформирование цилиндрических оболочек под действием внешнего давления//Труды конференции-конкурса молодых ученых. Октябрь 2010 г. М.: МГУ, 2011. В печати.

Подписано в печать: 17.11.2011 Объем: 0,99 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ №544 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Страстной бульвар, 6/1 (495) 978-43-34; www.reglet.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ.

1.1. Уравнения равновесия оболочки и её граничные условия.

1.2. Осесимметричное напряжённо-деформированное состояние круговых цилиндрических оболочек конечного прогиба перед потерей устойчивости.

1.3. Решение краевой задачи деформирования оболочки методом Ре-лея—Ритца.

1.4. Решение системы нелинейных алгебраических уравнений равновесия оболочки методами продолжения.

1.5. Оценка погрешности определения деформированного состояния оболочки.

2. РАСЧЕТ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ОБОЛОЧКИ.

2.1. Оболочка с граничными условиями Э4 (опирание) при действии всестороннего сжатия.-.

2.2. Оболочка с граничными условиями СЗ (защемление) при действии только бокового давления.

2.3. Оболочка с граничными условиями 83 (опирание) при действии только бокового давления.

2.4. О влиянии способов закрепления и нагружения оболочки на её критическую нагрузку.

3. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С

МАЛЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ.

• 3.1. Оболочка с граничными условиями 84 (опирание) при действии всестороннего сжатия.

3.2. Оболочка с граничными условиями СЗ (защемление) при действии только бокового давления.

3.3. Оболочка с граничными условиями 83 (опирание) при действии только бокового давления.

3.4. Диапазон возможных значений верхней критической нагрузки цилиндрической оболочки.

Знание полной картины поведения тонкостенной оболочки, в которую помимо устойчивых состояний равновесия включены и её неустойчивые состояния, позволяет по-иному взглянуть на процесс её деформирования и понять те его явления, которые с позиций идеализированных математических моделей оболочки остаются необъяснёнными. Примером этому служит проблема рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам для тонкостенных конструкций, в частности, для цилиндрических оболочек (см. рис.В.1), как наиболее подробно изученных наряду со сферическими куполами в этом плане объектов.

Ь^

Рис.В.1. Тонкая цилиндрическая оболочка.

История исследований процесса устойчивости цилиндрической оболочки, нагруженной внешним всесторонним или боковым давлением, насчитывает более чем полуторавековую историю. По всей видимости, первой опубликованной работой было экспериментальное исследование Фёйербейрна 1858 года [83]. В нём автор впервые обратил внимание на явление потери устойчивости цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением. Уже через год в свет выходят работы Грасгофа [87] и Бресса [68], в которых авторы, независимо друг от друга, приводят зависимость для определения наименьшего критического давления для труб, но без учёта коэффициента Пуассона. Последний недостаток был исправлен вышедшей в 1888 году работой Брайана [70], которому удалось получить исправленную формулу в виде

Здесь Е — модуль упругости материала трубы, к - толщина её стенки, V — коэффициент Пуассона материала трубы, Я — радиус её кривизны. В последствии эта зависимость получила название формулы Грасгофа-Бресса.

Спустя почти полвека после первой экспериментальной работы, в 1911 году, Лоренцу удалось получить, судя по всему, первое аналитическое решение [93] для цилиндрической оболочки со свободно опёртыми торцами, нагружен ой равномерным поперечным давлением.

Следующим шагом в изучении процесса потери устойчивости была серия работ Саусвэлла [111](1913-15), Мизеса [94,95](1914, 29), Бубнова [8](1916), Папковича [55](1929), Токугавы [117](1929), Зандена и Тольке [105](1932), Флюгге [84](1932), Винденбурга и Триллинга [123](1934) и многих других. По результатам этих работ в практику расчётов на устойчивость свободно опёртых цилиндрических оболочек вошла формула для определения наименьшего критического давления - верхнего критического давления, получившая название формулы Саусвэлла-Папковича. Эту формулу обычно записывают в виде * 7Г2д/2 дкр = дв = зМз(мМз~тг)' где безразмерное внешнее давление с]* и параметр тонкостенности ¡л оболочки определяются соотношениями а количество волн по окружности оболочки для вычисленной критической нагрузки определяется выражением

-71), , Я где удлинение оболочки даётся отношением Я = R.

Естественно, наряду с теоретическими изысканиями выполнялись экспериментальные исследования. Здесь, кроме работы Фёйербейрна [83] 1 S 5 8 года, следует упомянуть работы Кармана [72](1905), Кармана и Kappa C^-^Xl^Oô), Стюарта [111](1906), Саусвэлла [111](1913-15), Кука [75,76](1914, 25), :Винден-бурга [120](1930), Сондерса и Винденбурга [106](1931), Редшоу [^^](1933), Винденбурга и Триллинга [123](1934), Винденбурга [121, 122](1^34, 37), Штурма [113](1941), Эбнера [80](1952), Кливера [74](1956), Нагаева [5 3](1958), Тилеманна [114](1962), Вейнгартена [118](1962), Экстрёма [81](1963), СЭвенсена [82](1964), Вейнгартена и Сейде [119](1965) и ряда других исследователей.

Практически во всех этих исследованиях рассматривалась тонказа: цилиндрическая оболочка, заделанная или опёртая по торцам, нагруженная либо всесторонним давлением, либо только боковым давлением. Сопоставлениие этих экспериментальных данных с расчётом критического давления по фсх^рзмуле Са-усвэлла-Папковича показало их достаточную для инженерной практкоЕси согласованность в смысле средневзвешенных экспериментальных значении:. Об этом свидетельствует рис.В.2, взятый из книги Э.И.Григолюка и В.В.Кабаиова [16]. По оси абсцисс представлены значения параметра тонкостенности, отнесённые к числу тс, а по оси ординат - значения критической нагрузки, отнесённые, к значению верхнего критического давления. На этом рисунке критическому значению внешнего давления, для опертой оболочки, рассчитываемому не о формуле Саусвэлла-Папковича, отвечает значение q*Kp/q*B равное 1. Оно длияс всех значений параметра тонкостенности (л показано прямой, отмеченной хд;ифрой 2. Точками на рис.В.2 показаны экспериментальные данные для заделанных или опёртых на торцах оболочек, полученные разными авторами. Сравнис^ая экспериментальные значения критической нагрузки и её значения, получазЕОщиеся по формуле Саусвэлла-Папковича, можно видеть, что разброс экспериментальных данных достигает 40%. Формула Саусвэлла-Папковича качественно не объясняет причин такого разброса, поскольку была получена для идеализированного объекта - цилиндрической оболочки идеальной формы с идеализированными физико-механическими свойствами. Кроме этого, формула Саусвэлла-Папковича была получена для случая свободного опирания торцов оболочки, а эксперименты проводились как для опёртых, так и для заделанных торцами оболочек. Поэтому вполне понятным становится стремление исследователей уточнить формулу для определения критического давления оболочек, приблизив её к условиям экспериментов.

-------------—-----А------------

1.6 1.2 0.8 0.4

0 8 16 24 32 40 у 60 80 100^

Рис.В.2. Сравнение теоретических и экспериментальных данных по критическому значению внешнего давления для тонкой цилиндрической оболочки.

В качестве исследований в этом направлении, рассматривающих в частности влияние отличных от свободного опирания граничных условий на величину критической нагрузки, следует отметить работы Салерно и Левина [104](1950), Нэша [96](1953) и [97](1954), Бейларда [66](1954), Саченкова [59](1958), Исан-баевой [29](1958), Юматова [64](1959), Зингера [109](1960), Алфутова [1](\964) и [2-4](1965), Шнеля [107](1965), Соубела [110](1964), Тилеманна и Эслингср [115](1964) и Мяченкова [52](1970) и др. Одним из основных результатов, проведённых упомянутыми авторами, исследований стало установление того факта, что наименьшее критическое давление для заделанной торцами цилиндрической оболочки, при рассмотрении её линейной математической модели, оказывается в 1.5 раза выше, чем для случая свободного опирания. Соответствующая этому решению прямая обозначена на рис.В.2 цифрой 1. В результате сложилась парадоксальная ситуация, когда уточнение расчёта привело к ещё большему рассогласованию теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам.

В дальнейшем положение с расчётом цилиндрических оболочек на устойчивость характеризовалось с одной стороны постоянным увеличением экспериментально полученной информации о значениях их критических нагрузок, а ч с другой стороны - нескончаемыми попытками подвести под эти данные теоретическую базу. Для этого проводились расчёты но линейной теории с учётом моментного напряжённо-деформированного состояния оболочки перед потерей устойчивости для различных граничных условий. Это работы Зандена и Тольке [105](1932), Салерно и Левина [104](1950), Шоу, Боднера и Беркса [109](1952), Палия [54](1958), Рейнольдса [100](1960) и [101](1962), Браша и Альмрота [69] (1962), Ямаки [88](1969), Мяченкова [52](1970), Бадрухина и Галкина [6] (1974) и других.

После использования линейный подходов для описания деформирования оболочки перед потерей устойчивости, в момент потери ею устойчивости были предприняты попытки использования геометрически нелинейных уравнений теории оболочек. Это работы Исанбаевой [28] (1955) и [29](1958), Нэша [98] (1955), Нагаева [53](1958), Кемпнера, Пандалаи, Пателя и Крозет-Паскаля [90] (1957), Алфутова и Соколова [5](1958), Погорелова [58](1961), Диркса [77] (1965), Теребушко [61](1959), Тилеманна [114](1962), Михайлова, [50]( 1966) и других. В этих работах были получены полные траектории решения цилиндрической оболочки вместе с закритическими ветвями её деформирования при действии на неё внешнего давления. Такой подход к расчёту оболочки позволил несколько уточнить её верхнее критическое давление <3-3, которое определяет ординату точки бифуркации траектории решения, соответствующей моменту эйлеровой потере устойчивости оболочки. Кроме этого, в результате исследований в расчётную практику было введено понятие нижней критической нагрузки д*н, при которой происходит выщёлкивание оболочки в результате уменьшения значения внешнего давления после её потери устойчивости. Нижняя критическая нагрузка соответствует предельной точке на закритической части кривой деформирования. Зависимость этой нижней критической нагрузки от параметра тонкостенности оболочки показана на рис.В.2 по работе Теребуш-ко [61] кривой, обозначенной цифрой 3.

Одной из основных причин наблюдаемого расхождения результатов экспериментальных и теоретических работ по нахождению критических значений внешнего давления, по всей видимости, является отклонение рассматриваемой в расчётах оболочки от своей идеальности. Наиболее явным из них является отклонение формы. Это стало очевидным для исследователей в начале 1940-х годов, хотя первая работа по учёту начальных неправильностей относится к 1930 году - статья Б.В.Булгакова [9]. Поэтому, помимо описанных выше подходов к расчёту цилиндрической оболочки на устойчивость, нагруженной внешним давлением, для получения всего диапазона,экспериментальных значений критической нагрузки рассматривались оболочки с начальными несовершенствами формы, контурных условий и способов нагружения и т.д.

В линейной постановке влияние начальных неправильностей формы цилиндрической оболочки исследовали Штурм [113](1941), Боднер и Беркс [67] (1952), Исанбаева [28](1955), Галлетли и Барт [86](1956), Броуде [7] (1963) и другие. Рассматривались бесконечно длинные оболочки, оболочки с опёртыми и заделанными торцами. Для инженерных вычислений предпринимались попытки учитывать форму и величину начальных неправильностей в виде поправочных коэффициентов к формуле Саусвелла-Папковича для разных граничных условий. Однако такой подход не дал качественной картины причин расхождения результатов расчёта и эксперимента. Причём, в случае применения классической линейной постановки было показано, что оболочка с начальными неправильностями не теряет устойчивости, её траектория решения представляет собой кривую, асимптотически стремящуюся при бесконечном увеличении максимального прогиба оболочки к асимптоте, определяемой верхней критической нагрузкой идеальной оболочки.

С позиций геометрически нелинейной теории влияние начальных неправильностей формы оболочки изучалось Нэшем |98](1955), Доннеллом [78] (1956) и [79](1958), Вольмиром [13](1957), Исанбаевой [29](1958), Ивановым [27](1958), Кемпнером [89](1962), Саченковым и Выборновым [60](1965), Дир-ксом [77](1965), Будянским и Хатчинсоном [71](1966), Погореловым [58](1966), Тилеманном и Эслингер [116](1967) и многими другими исследователями. В большинстве работ рассматривалась постановка задачи о потери устойчивости Доннелла, а начальный прогиб принимался подобным форме выпучивания. Все результаты получены для оболочек, находящихся в условиях всестороннего или только бокового давления с граничными условиями в виде опирания или заделки. Однако во многих работах наблюдается явное противоречие. Так, например в одних работах отмечается хорошее совпадение с экспериментальными данными, а в других наблюдаются явления, не находящие подтверждение в экспериментах. Примером тому служит работа [13], в которой обнаружено, что явление прощёлкивания исчезает при величинах начального прогиба, превышающих толщину самой оболочки. В то же самое время, в работе [89] наблюдалось снижение критической нагрузки на 10% при малых амплитудах начального прогиба внутрь оболочки, тогда как при больших величинах отклонения такого же типа, и вообще, при любых прогибах наружу, критическое давление получалось даже выше, чем по формуле Саусвелла-Папковича. Ещё большее противоречие в результатах наблюдалось в работах, где в качестве граничных условий и рассматривалось защемление на торцах. Например, в [79] вообще не было обнаружено явление потери устойчивости. В этой работе траектория решения на всём своём протяжении описывает устойчивые равновесные состояния и асимптотически приближается к закритической ветви траектории решения идеальной оболочки. В то же время, в работе [29] показано значительное влияние начальных неправильностей на величину критической нагрузки.

Более подробное описание этих периодов развития теории и практики расчётов цилиндрических оболочек можно найти в книгах Э.И.Григолюка и В.В.Кабанова [16] и А.С.Вольмира [14], а также в обзоре Э.И.Григолюка и В.В.Кабанова [15]. Описанные в них исследования удобно представить в виде хронологического графа [45], который показан на рис.В.З. По нему можно отследить зарождение и развитие основных подходов к исследованию явления потери устойчивости цилиндрических оболочек, а также взаимосвязь и взаимное влияние выполненных исследований.

Таким* образом^ можно увидеть [42], что попытки учесть в расчётах особенности поведения реальной цилиндрической оболочки успехом не увенчались. В частности, введение в расчёт разумных, с точки зрения исследователей, отклонений, формы цилиндрической оболочки от идеальной позволило снизить верхнюю критическую нагрузку только на проценты, а не на десятки процентов, как это хотелось бы, глядя на результаты экспериментальных .работ.

В качестве-ещё одной причины, по которой не удалось теоретически обосновать разброс экспериментальных данных по определению критических нагрузок для цилиндрической оболочки, можно указать отсутствие в то время математического аппарата решения систем нелинейных уравнений высокого порядка с особенностями, обусловленных присутствием на траектории решений оболочки точек бифуркации. Из-за этой причины решения упомянутых выше исследователей в основном были получены методами Бубнова, Бубнова-Папковича и Релея-Ритца в низших приближениях, с учётом двух-четырёх слагаемых в аппроксимирующих перемещения оболочки зависимостях.

1970-

1960-

1950

1940

1930

1920-

1910-

Мяченков,

Шнель [ Алфутов^Х Тилеманн и Эслингер^ Соубел'' Зингер-Юматов-Исанбаева"

СаченковШоу, Боднер Бейлард-^9 и Беркс-4 Нэш ' т

Салерно и Левин

Бадрухин иГалкин

Мяченков^

Ямаки'

Браш и Альмрот-^1 Рейнольдс4> Палий-"?

Линеиное ешение, 'ачальные Р т V унеправильности/ „ V у Веингартен и Сеиде

У, Эвеисен з^-Экстрём да-ТилеманнчВейнгарген

6—Нагаев

А—Кливер л^

Броуде-о Галлетли и и?1рт4

Исанбаева-О

Боднер-у и Беркс

Тилеманн и Эслингер Погорелов X Будянский ( \ и Хатчинсон у/Гихайлов |иркс

Тилеманн - —

Погорелов Ш^Диркс 'Твп^птп Ч^Саченков

Л иВыборнов

Теребушко Нагаев

Кемпнцр -Алфутов иЛ--Исаибаева

Исанбаева Й^->Вольмир Доннелл Нэш

-Эбпер Нэ1пК=&

11атель и I

Крозет-Паскаль А

Нелинейное решение

Линейное решение, моментное н.д.с. перед .потерей устойчивости

Штурм-о-¿-Штурм

Винденбург и Триллинг < ^Винденбург и^Тольке Т^с0—Винденбург и Триллинг

--^оо ТГ^Редшоу т' х 8^-Сондерс и Винденбург Винденбург елинеиное решение, начальные .неправильности^

Флюгге' „Папкович-"°Р Токугава

Бубнов, Саусвелл-^

Мизес

Саусвелл'

Линейное решений' о-Кук

Кук

Саусвелл Стюарт

1890

1860-

1858

Брайан

Бресс Грасгофф

Карман и Карр Сарман

-Фейербейрн

Рис.В.З. Хронология исследований потери устойчивости цилиндрических оболочек под действием внешнего давления.

В результате в 1970-е годы интерес к этой проблеме практически угас. Интерес к проблеме рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам тонкостенных изотропных оболочек стал возрождаться только в последнее время. Это монография Якушева [65], работа Ротте-ра, Швайцергофа и Вилсака [103], серия работ Колосова [31-38], экспериментальное исследование Буякова, Гайворонского и Тащиловой [10], работа Лопа-ницына и Фролова [47] и исследования Пикуля [56,57]. Однако почти все они посвящены либо задачам устойчивости сферических куполов и цилиндрических панелей, либо рассматривают цилиндрические оболочки при осевом сжатии. Исключение составляют работы [35, 37], [47] и [57].

В [35,37] задача о потере устойчивости цилиндрической оболочки решается в линейной постановке с позиций устойчивости её малых колебаний около состояния равновесия, вызванного действием внешней нагрузки, под которой подразумеваются комбинированная нагрузка в виде осевого сжатия и бокового внешнего давления, а также нагрузка в виде всестороннего внешнего сжатия равномерным давлением. Вводятся понятия абсолютной и относительной устойчивости оболочки, а также необходимые и достаточные условия её неустойчивости. Под достаточным условием неустойчивости оболочки в случае её на-гружения только осевыми усилиями или только боковым давлением имеются в виду условия превышения величины внешней нагрузки её верхних критических значений, которые определяются по формулам Лоренца-Тимошенко и Саус-велла-Тимошенко, соответственно. Необходимое условие неустойчивости оболочки определяется превышением величины внешней нагрузки её наименьшего значения, при котором выполняется условие неустойчивости малых колебаний оболочки около своего состояния равновесия- и которое существенно меньше верхнего критического значения. В качестве последнего условия автор использует равенство двух соседних частот собственных колебаний нагруженной оболочки. Выполненные расчёты дополнены вероятностной оценкой потери устойчивости оболочки, для которой выполняется необходимое условие неустойчивости.

В [47] в качестве объекта исследования была выбрана жёстко заделанная на опорных контурах и нагруженная всесторонним равномерным давлением пологая цилиндрическая оболочка с параметром тонкостенности ¡л = 18 и удлинением X — 1. Для рассматриваемой оболочки в геометрически нелинейной постановке была проделана процедура определения прогибов из предельных точек закритических ветвей её траектории решений, которые были использованы для дальнейших расчётов в качестве начальных неправильностей. Как показали расчёты, при начальных неправильностях с максимальной величиной отклонения от идеального цилиндра в пределах от -0.3 до 0.3 толщины, которые принято считать допустимыми с точки зрения технологии проведения эксперимента, оболочка может иметь разброс в величинах безразмерной критической нагрузки от 0.151 до 0.264. Это неудовлетворительно согласуется с экспериментальными данными для цилиндрических оболочек, где нижняя граница диапазона наблюдаемых в экспериментах значений безразмерного критического давления существенно ниже — 0.109.

В [57] изложена теория устойчивости оболочек, построенная на базе гипотезы автора о высвобождении потенциальной энергии растянутых и скрученных элементов оболочки в её критической состоянии. Это сделано с помощью нелинейной теории оболочек на основе критерия устойчивости Эйлера, что позволило автору получить аналитические зависимости для критической нагрузки, которая достаточно точно описывает нижнюю границу экспериментальных критических значений внешнего давления. Приведено сопоставление построенной теории с экспериментальными данными, применительно к цилиндрическим и сферическим оболочкам, нагруженным внешним равномерным давлением.

Настоящая работа является логическим продолжением исследований 196070-х годов по изучению явления несимметричной потери устойчивости цилиндрических оболочек в условиях конечных прогибов. Её целью является, во-первых, исследование в рамках единого подхода процесса деформирования цилиндрических оболочек под действием внешнего давления при учете потери ею устойчивости и закритического поведения и в нахождении тех её форм изогнутой поверхности, которые, будучи взяты в качестве начальной неправильности оболочки, позволяют расчётным путём получить весь диапазон её экспериментально найденных критических нагрузок. Во-вторых, это - совершенствование методов непрерывного и дискретного продолжения являющихся основой применяемого единого подхода. Причём круг поиска возможностей понижения верхней критической нагрузки по сравнению с [47] здесь расширен за счёт рассмотрения дополнительных вариантов граничных условий оболочки, которые наиболее близки к условиям её закрепления на испытательном стенде, и два согласованных с граничными условиями варианта её нагружения: всестороннее равномерное поперечное давление и только боковое давление.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С целью решения фундаментальной проблемы рассогласования теоретических и экспериментальных данных по критическим нагрузкам потери устойчивости тонких пологих цилиндрических оболочек под действием внешнего давления была решена серия задач об их геометрически нелинейном деформировании, потери устойчивости и закритическом поведении. Для этого в рамках модели тонкостенных пологих оболочек в виде уравнений Маргерра выполнено систематическое исследование процесса потери устойчивости тонких упругих цилиндрических оболочек с малыми начальными неправильностями. Проведённая работа проводилась в три этапа.

1. Было получено точное аналитическое решение задачи, об осесиммет-ричном деформировании рассматриваемых оболочек.

2. Построены полные траектории решений* вместе с их закритическими ветвями для цилиндрической оболочки с тремя вариантами её закрепления в случае всестороннего нагружения и только при боковом нагруже-нии внешним давлением.

3. Для повышения устойчивости применяемого в расчётах метода дискретного продолжения по параметру предложен и апробирован алгоритм коррекции результатов его итераций в расширенном пространстве аргументов.

4. Выполнены расчёты критического давления для цилиндрической оболочки с начальными неправильностями, в качестве которых рассматривались формы изогнутой поверхности её идеально цилиндрического аналога, соответствующие равновесным закритическим состояниям.

При проведении исследования выявлено следующее.

1. Замена защемления краёв оболочки на опирание приводит к уменьшению верхней критической нагрузки на 6+12%, а не на 50%, как это считается в классической литературе. Удаление торцевой сжимающей нагрузки на оболочку приводит к уменьшению её верхней критической нагрузки в зависимости от вида граничных условий на величину до 16%, а её нижней критической нагрузки - до 30%. Этот факт также противоречит общепринятым представлениям, в соответствии с которыми дополнительное нагружение оболочки осевыми сжимающими усилиями должно приводить к уменьшению критического давления. Однако он имеет достаточно простое объяснение.

2. Использование в качестве малых начальных прогибов цилиндрической оболочки форм изогнутой поверхности её идеального цилиндрического аналога, соответствующих равновесным закритическим состояниям при максимальном отклонении до 30% толщины оболочки позволяет получить диапазон её критических нагрузок, который охватывает практически все экспериментальные значения.

3. Выполненное исследование подтверждает гипотезу о том, что одна из основных причиной получения заниженных по сравнению с расчетом экспериментальных значений критического давления — малые технологические неправильности формы, присущие любой испытываемой оболочке. Этот факт необходимо учитывать при расчёте тонкостенных конструкций. Их малые начальные несовершенства формы, не превосходящие долей толщины стенки и появляющиеся при сборке конструкции или её эксплуатации, могут приводить к значительному понижению критической нагрузки.

1. Алфутов H.A. О зависимости значения верхнего критического давления цилиндрической оболочки от граничных условий для касательных составляющих перемещений//В сб. Теория оболочек и пластин. Ереван: АН АрмССР, 1964. СЛ93-198.

2. Алфутов H.A. О влиянии граничных условий на значение верхнего критического давления цилиндрической оболочки//В сб. Расчеты на прочность. Выш 11. М.: Машиностроение, 1965. С.349-363.

3. Алфутов H.A., Соколов В.Ф. Определение нижнего критического давления упругой цилиндрической оболочки и поведение оболочки после потери устойчивости/ТВ сб. Расчеты на прочность в машиностр. (МВТУ, 89). М. 1958. С.95-110.

4. Броуде Б.М. Об устойчивости бесконечно длинной цилиндрической оболочки с начальным искривлением при внешнем давлении//Изв. АН СССР. Механ. и машиностр. 1963. №4. С.76-78.

5. Бубнов И.Г. Критическое давление для тонкостенной трубы, подкреплённой рёбрами//Ежегодник Союза морских инженеров. 1916. С.257. Избранные труды. JI.: Судпромгиз, 1956. СД28-135.

6. Булгаков Б.В. Влияние отклонений формы труб от круглой на сопротивление внешнему давлению//Тр. Гос. исслед. нефт. ин-та. 1930. Вып.7. С.1-103.

7. Буяков И.А., Гайворонский А.И., Тащилова Г.Е. Экспериментальное исследование устойчивости стальной трубки при осевом сжатии и внутреннем давлении//Космонавтика и ракетостроение, ЦНИИМаш. 2007. Вып. 1(46). С.99-101.

8. Власов В.З. Общая теория оболочек. М., Л.: Гостехиздат, 1949. 784 с

9. Власов В.З. Избранные труды. Т.1. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 528 с.

10. Вольмир A.C. О влиянии начальных неправильностей на устойчивость цилиндрических оболочек при внешнем воздействии//Докл. АН СССР. 1957. Т.113. №2. С.291-293.

11. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука. 1967, 984 с.

12. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилиндрических обо-лочек//Итоги науки. Механика твердых, деформ. тел. М".: Изд-во ВИНИТИ, 1969. 348 с.

13. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 359 с.

14. Григолюк Э.И., Мамай В.И. О методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши//Прикл. пробл. прочности и пластичности. Горький: 1979. С.3-19.

15. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Применение метода И.Г.Бубнова к решению задачи о свободных колебаниях трехслойной конической панели//В сб. Проблемы надежности ЛА. М.: Машиностроение, 1985, С.171-187

16. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Об однозначности и полноте описания осе-симметричного закритического поведения пологого сферического купо-ла//Доклады РАН. 2001. Т.378. №6. С.1-5.

17. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Устойчивость и закритическое поведение пологой сферической оболочки//Математичш методи та ф1зико-мехашчн! поля. 2003. Т.46. №1. С.75-87.

18. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Неосесимметричное закритическое поведение поведение пологих сферических куполов//Т1ММ. 2003. Т.67. Вып.6. С.921-932.

19. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек. М.: МГТУ «МАМИ», 2004. 162 с.

20. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. О некоторых формах метода продолжения по параметру в нелинейных задачах теории упругости//Журнал ПМТФ. 1980. №5. С.158-162.

21. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек//Успехи механики. 1981. Т.4. №2. С.89-122.

22. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988. 231 с.

23. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений// Украинский матем. журнал. 1953. Т.5. №2. С. 196-206.

24. Иванов B.C. Одна задача статики упругой круговой цилиндрической оболочки, имеющей начальную погибь//Прикл. матем. и мех. 1958. Т.22. №5. С.687-690.

25. Исанбаева Ф.С. Определение нижней критической нагрузки цилиндрической оболочки при всестороннем сжатии//Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ.-матем. и техн. наук. 1955. Вып.7. С.51-58.

26. Исанбаева Ф.С. К теории устойчивости защемленной цилиндрической оболочки при гидростатическом давлении//Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ.- матем. и техн. наук. 1958. Вып.12. С.149-154.

27. Кирхгофф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 402 с. = Volsungen über mathematische Physik. Mechanik. Leipzig: 1876.466 s.

28. Колосов Г.И. Влияние возмущений, вызывающих колебания сжатой в осевом направлении замкнутой круговой цилиндрической оболочки как балки, на ее устойчивость//Космонавтика и ракетостроение, ЦНИИМаш. 2004. Вып.2(35). С.122-124.

29. Колосов Г.И. Определение границы зоны абсолютной устойчивости сжатой в осевом направлении замкнутой круговой цилиндрической оболоч-ки//Космонавтика> и ракетостроение, ЩШИМаш. 2005. Вып.1 (38). С. 114118.

30. Колосов Г.И. Вероятность потери устойчивости замкнутой круговой цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжатии/ЯСосмонавтика и ракетостроение, ЦНИИМаш. 2005. Вып.2(39).,С.83-87.

31. Колосов Г.И. Устойчивость равновесных состояний сжатой в осевом направлении замкнутой круговой4 цилиндрической оболочки к малым возму-щениям//Изв. РАН. МТТ. 2006. №2. С.77-83.

32. Колосов Г.И. Влияние параметра относительной длины цилиндрической оболочки на степень устойчивости ее равновесных состояний к малым возмущениям при равномерном осевом сжатии/ЯСосмонавтика и ракетостроение, ЦНИИМаш. 2007. Вып. 1(46). С.94-98.

33. Колосов Г.И. Устойчивость замкнутой круговой цилиндрической оболочки при внешнем боковом и гидростатическом давлениях/ЯСосмонавтика и ракетостроение, ЦНИИМаш. 2007. Вып.2(47). С.61-65.

34. Колосов Г.И. Нижняя граница области относительной устойчивости защемлённой по торцам цилиндрической оболочки при равномерном осевом сжа-тии//Космонавтика и ракетостроение, ЦНИИМаш. 2008. Вып.4(53). С.67-70.

35. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Точное решение осесимметричной задачи о конечных прогибах цилиндрических оболочек при всестороннем сжа-тии//Ломоносовские чтения. Тезисы докладов. Секция механики. М.: МГУ, 2007, С.107-108.

36. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Устойчивость защемлённой цилиндрической оболочки с начальными неправильностями под действием бокового давле-ния//Ломоносовские чтения. Тезисы докладов. Секция механики. М.: МГУ, 2009, С.108-109.

37. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Устойчивость цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами- под действием внешнего давления//Изв. РАН, Механика твердого тела, 2011, №2, С. 16-25.

38. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Влияние способов закрепления и нагружения цилиндрических оболочек на их устойчивость и закритическое поведе-ние//Проблемы машиностроения и надежности машин, 2011, №3, С.117-126.

39. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. О возможности теоретического подтверждения экспериментальных значений внешнего критического давления тонкостенных цилиндрических оболочек/ЛПрикладная математика и механика, 2011, т.75, вып.5, С.832-844.

40. Матвеев Е.А. Устойчивость и закритическое деформирование цилиндрических оболочек под действием внешнего давления//Труды конференции-конкурса молодых ученых. Октябрь 2010 г. М.: МГУ, 2011. В печати.

41. Матвеев Е.А., Фролов А.Б. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние круговых цилиндрических оболочек конечного прогиба перед потерей устойчивости//Изв. МГТУ «МАМИ». 2008. С.152-158.

42. Михайлов В.В. О закритических деформациях цилиндрической оболочкиIпри внешнем давлении//Доповщ1 АН УССР. 1966. №12. С.1545-1547; Тр. VI Всес. конференции по теории оболочек и пластинок. 1966. М.: Наука. 1966. С.580-582.

43. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

44. Мяченков В.И. Устойчивость цилиндрических оболочек при действии осе-симметричного поперечного давления//Прикл. механика. 1970. Т.6. №1. С.27-33.

45. Нагаев В.А. Определение нижней критической нагрузки цилиндрической оболочки при внешнем поперечном давлении//Изв. высш. учебн. заведений. Машиностроение. 1958. №6. С.46-53.

46. Палий О.М. Устойчивость круговой цилиндрической оболочки, защемлённой на криволинейных кромках//Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1958. №1. С.126-128.

47. Папкович П.Ф. Расчетные формулы для проверки устойчивости цилиндрической оболочки прочного корпуса подлодок//Бюлл. научн.- техн. ком. УМВС РККА. 1929. Вып.2. С.113-123. = Труды по прочности корабля. Л.: Судпромгиз, 1956. С.596-607.

48. Пикуль В.В. К теории устойчивости оболочек//ДАН. 2007. Т.416. №3. С.341-343.

49. Пикуль В.В. Механика оболочек. Владивосток: Дальнаука, 20091 536 с.

50. Погорелов A.B. Закритические деформации цилиндрических оболочек под внешним давлением//Докл. АН СССР. 1961. Т.138. №6. С.1325-1327.

51. Саченков A.B. Об устойчивости цилиндрической оболочки при произвольных краевых условиях под действием равномерного поперечного- давле-ния//Изв. Казанск. фил. АН СССР. Сер. физ.- матем. и техн. наук. 1958. Вып. 12. С.127-132.

52. Саченков A.B., Выборнов В.Г. Влияние начальных неправильностей на устойчивость тонких оболочек//В' сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып.З. Казань: Казан, ун-т, 1965. С.24-34.

53. Теребушко О.И. устойчивость цилиндрической оболочки при кручении, внешнем давлении и сжатии.//В сб. Расчет пространств, конструкций. Вып.5. М.: Госстройиздат, 1959. С.431-449.

54. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки^ и оболочки. М.: Физ-матгиз, 1963. 636 с.

55. Шалашилин В.И. Оптимизация параметра продолжения решения уравнений нелинейного деформирования упругих систем//Статика и динамика гибких систем. М.: Наука, 1987. С.81-104.

56. Юматов В.П. Некоторое обобщение формул, определяющих верхние значения критического давления на боковую поверхность цилиндрической обо-лочки//Изв. высш. учебн. заведений. Машиностроение. 1959. №12. С. 10-16. ■

57. Якушев B.JI. Нелинейные деформации и устойчивость тонких оболочек. М., Наука, 2004. 276 с.

58. Bijlaard P.P. Buckling stress of thin cylindrical clamped shells subject to hydrostatic pressure//! Aeronaut. Sci. 1954. V.21. №12. P.852-853.

59. Bodner S.R., Berks W. The effect of imperfections on the stress in a circular cylindrical shell under hydrostatic pressure/ZPolytechn. Inst. Brooklyn, Aeronaut. Lab., Rept. 1952. №210.

60. Bresse M. Cours de mechanique applique. P.l. Paris, Mallet-Bachelier. Imprimeur-Libraire du Bureau des Longitudes. 1859.

61. Brush D.O., Almroth B.O., Thin shell buckling analysis. A general expression for the second variation of the strain energy//Proc. 4th US Nat. congr. Appl. Mech., Berkely, Calif. 1962. V.l. Oxford-London-New York-Paris: Pergamon Press, 1962. P.497-505.

62. Bryan G.H. Application of the energy test to the collapse of thin long pipe under external pressure//Proc. Cambridge Philos. Soc. 1888. Y.6. P.287-292.

63. Budiansky B., Hutchinson J. W. A survey of some buckling problems//AIAA Journal. 1966. V.4. №9. P.1505-1510.

64. Carman A.P. Resistance of tubes to collapse//Phys. Rev. 1905. V.21. №6. P.381-387.

65. Carman A.P., Carr M.L. Test on lap-welded and seamless steel tubes and brass tubes, and the building of empirical equation to fit results//Univ. Illinois, Engng Experim. Stat. Bull. 1906. №5.

66. Cleaver P.C. The strength of tubes under uniform external pressure//Aeronaut. Res. Council Current Papers. 1956. №253.

67. Cook G. The resistance of tubes to collapse//British Association Advancement Sci., Rept 83 Meeting. London: J.Murrey, 1914. P.213-224.

68. Cook G. The collapse of short thin tubes by external pressure//Philos. Mag. Ser.6. 1925. V.50. №298. P.844-848.

69. Dierks K. Zur Kreiszylinderschale unter Manteldruck//Abhandl. Braun-schw. wiss. Ges. 1965. Bd.17. S.139-153.

70. Donnell L.H. Effect of imperfections on buckling of thin cylinders under external pressure//! Appl. Mech. 1956. V.23. №4. P.569-575.

71. Donnell L.H. Effect of imperfections on buckling of thin cylinders with fixed edges under external pressure//Proc. 3rd U.S. Nat. Congr. Appl. Mech., Providence, Rhode Island. 1958. New York, 1958. P.305-311.

72. Ebner H. Theoretische und experimentale Untersuchung über das Einbeulen zylindrischer Tanks durch Unterdruck//Stahlbau. 1952. Bd.21. №9. S.153-159.

73. Ekström R.E. Buckling of cylindrical shells under combined torsion and hydrostatic pressure//Experim. Mech. 1963. V.3. №8. P. 192-197.

74. Evensen D.A. High-speed photograhic observation of the buckling of thin cylind-ers//Experim. Mech. 1964. V.4. №4. P. 110-117.

75. Fairbairn W. On the resistance of tubes to collapse//Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1858. V.148. P.389-414.

76. Flügge W. Die Stabilität der Kreiszylinderschale//Ingr.~ Arch. 1932. V.3. №5. S.463-506.

77. Fox L. Numerical solution of ordinaryand partial differential equations. Oxford, New York: Pergamon Press, 1962. 509 p.

78. Galletly G.D., Bart R. Effects of boundary conditions and initial out-of-roundness on the strength of thin-walled cylinders subjected to external hydrostatic pressure//!. Appl. Mech. 1956. V.23. №3. P.351-358.

79. Grashof F.W. Fairbairns Versuche über den Widerstand von Röhren gegen Zu-sammendrückung//VDI-Zeitschrift. 1859. Bd.3. №8-9. S.234-243.

80. Jamaki N. Influence of prebuckling deformations on the buckling of cylindrical shells//AIAA Journal. 1969. V.7. №4. P.753-755.

81. Kempner J. Some results on buckling and postbuckling of cylindrical shells//NASA, Techn. Note. 1962. №D-1510. P.173-186.

82. Kempner J., Pandalai K.A.V., Patel S.A., Crouzet-Pascal J. Postbuckling behavior of circular cylindrical shells under hydrostatic pressure//J. Aeronaut. Sei. 1957. V.24. №4. P.253-264.

83. Lance G.N. Numerical methods for high speed computers. London: Iliffe, 1960. 166 p.

84. Lopanitsyn E.A., Matveev E.A. Stability of cylindrically shells with initial imperfections under the action of external pressure//Mech. of Solids. 2011. V.46. P. 170178.

85. Lorenz R. Die nicht ashsensymmetrische Knickung dünnwandiger Hohlzylind-er//Phys. Zeitschrift. 1911. V.12. №7. S.241-260.

86. Mises R. Der kritische Außendruck Zylindrischer Rohre//VDI-Zeitschrift. 1914. Bd.58. №19. S.750-755.

87. Mises R. Der kritische Außendruck fur allseitig belastete zylindrische Rohre. Festschrift zum 70 Geburtstag von Prof.- Dr. A.Stodola. Zürich. 1929. S.418-430.

88. Nash W.A. Buckling of multiple-bay ring-reinforced cylindrical shells subject to hydrostatic pressure//J. Appl. Mech. 1953. V.20. №4. P.469-474.

89. Nash W.A. Buckling of thin cylindrical shells subject to hydrostatic pressure//.!. Aeronaut. Sei. 1954. V.21. №5. P.354-355.

90. Nash W. Effect of large deflections and initial imperfections on the buckling of cylindrical shells subjected to hydrostatic pressure//J. Aeronaut. Sei. 1955.V.22. №4. P.264-269.

91. Redshaw S.C. The elastic instability of thin curved panel subjected to an axial trust with axial and circumferential edges being simply supported//Aeronaut. Res. Council Repts and Mem. 1933. №1565.

92. Reynolds T.E. Inelastic lobar buckling of cylindrical shells under external hydrostatic pressure//David W. Taylor Mod. Basin. Rept. 1960. №1392.

93. Reynolds T.E. Elastic lobar buckling of ring-supported cylindrical sheels under external hydrostatic pressure//David W. Taylor Mod. Basin. Rept. 1962. №1614.

94. Riks E. The application of Newton's method to the problem of elastic stabili-ty//Trans. ASME. 1972. E39. №4. P. 1060-1065.

95. Salerno V.L., Levine B. Buckling of circular cylindrical shells with evely spaced, equal strength, circular ring frames. Part I, II//Polytechn. Inst. Brooklyn, Aeronaut. Lab., Rept. 1950. №167, №169.

96. Sanden K.V., Tölke F. Über Stabilitätsprobleme dünner, kreiszylindrische Scha-len//Ingr — Arch. 1932. Bd.3. №1. S.24-66.

97. Saunders H.E., Windenburg D.F. Strength of thin cylindrical shells under external pressure//Trans. ASME. 1931. V.53. №15. P.207-218

98. Schnell W. Einfluß der Randverwölbung auf die Beulwerte von Zylinderschalen unter Manteldruck//Stahlbau. 1965. Bd.34. №6. S.187-190.

99. Shaw F.C., Bodner S., Berks W. Buckling of circular cylinder under uniform pres-sure//Polytechn. Inst. Brooklyn, Aeronaut. Lab., Rept. 1952. №202.

100. Singer J. The effect of axial constraint on the instability of thin circular cylindrical shells under external pressure//Trans. ASME. 1960. V.E27. №4. P.737-739;

101. Sobell H. Effects of boundary conditions on the stability of cylinders subjected to lateral and axial pressure//AIAA Journal. 1964. V.2. №8. P. 1437-1440.

102. Southwell R. On the collapse of tubes by external pressure. Parts I, II, III//Philos. Mag., Ser.6. 1913. V.25. №149. P.687-697; V.26. №153. P.502-510; 1915. V.29. №169. P.67-76.

103. Stewart R.T. Collapsing pressure of Bessemer steel lap-welded tubes, three to ten inches in diameter//Trans. ASME. 1906. V.27. P.730-822.

104. Sturm R.G. A study of the collapsing pressure of thin-walled cylinders//Univ. Illinois, Engng Experim. Stat. Bull. 1941. №329.

105. Thielemann W.F. On the post-buckling behaviour of thin cylindrical shells//NASA, Tech. Note. 1962. №D-1510. P.203-216.

106. Thielemann W., Eßlinger M. Einfluß der Randbedingungen auf die Beullast von Kreiszylinderschalen//Stahlbau. 1964. V.33. №12. S.353-361.

107. Thielemann W., E31inger M. Beul- und Nachbeulverhalten isotropic Zylinder unter Aussendruck//Stahlbau. 1967. Bd.36. №6. S. 161-174.

108. Tokugawa T. Model experiments on the elastic stability of closed and cross-stiffened circular cylinders under uniform pressure//Proc. World Engng Congr. Tokyo, 1929. V.29. P.249-279.

109. Weingarten V.I. The effect of internal pressure and axial tension on the buckling of cylindrical shells under torsion//Proc. 4th U.S. Nat. Congr. Appl. Mech.Berkely, Calif. V.2. Oxford-London-New York-Paris: Pergamon Press, 1962. P.827-842.

110. Weingarten V.I., Seide P. Elastic stability of thin-walled cylindrical and conical shells under combined external pressure and axial compresion// AIAA Journal. 1965. V.3. №5. P.913-920.

111. Windenburg D.F. The strength of thin reinforced tubes under external pres-sure//David W. Taylor Mod. Basin. Rept. 1930. №262.

112. Windenburg D.F. Theoretical and empirical equations represented in proposed rules for the construction of uniform pressure vessels subjected to external pres-sure//David W. Taylor Mod. Basin. Rept. 1934. №387.

113. Windenburg D.F. Vessels under external pressure//Mech. Engng. 1937. V.59. №8. P.601-608; Mech. World and Engng Res. 1937. V.102. №2648. P.335-337.

114. Windenburg D.F., Trilling C. Collapse by instability of thin cylindrical shells under external pressure//Trans. ASME. 1934. V.56. №11. P.819-825; David W. Taylor Mod. Basin. Rept. 1934. №385.