Исследование устойчивости сильной ударной волны при сверхзвуковом обтекании бесконечного плоского клина тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Пашинин Юрий Юрьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИЛЬНОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ БЕСКОНЕЧНОГО ПЛОСКОГО

КЛИНА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003 1Б1705

Новосибирск, 2007

003161705

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ Ткачев

Дмитрий Леонидович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ Селезнев

Вадим Александрович

- доктор физико-математических наук, профессор

- кандидат физико-математических наук, доцент

- Новосибирский государственный педагогический университет

- доктор физико-математических наук, профессор

Мамонтов

Евгений Владимирович

Ведущая организация-

Защита состоится " /3 "ноября 2007 г в {¿2 часов

на заседании диссертационного совета Д 212 174 02 в Новосибирском государственном университете по адресу 630090, г Новосибирск, ул Пирогова, 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета

Автореферат разослан " ¿^"октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-

математических наук

Н И Макаренко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной аэродинамике существует класс важных задач, связанных с изучением стационарных сверхзвуковых течений газа около конических тел, а так же тел, контуры которых содержат угловые точки Такие задачи решаются численно в основном методом установления и локально часто сводимы к задаче стационарного обтекания бесконечного плоского клина сверхзвуковым потоком газа Однако задача обтекания кйина допускает, вообще говоря, два различного типа решений Первый тип - это течение с сильной ударной волной - случай, когда скорость потока газа за фронтом ударной волны становиться меньше скорости звука + < со> здесь м0,«о - компоненты вектора скорости потока за фронтом ударной волны, со - скорость звука) Второй тип - течение со слабой ударной волной В этом случае скорость потока за фронтом остается сверхзвуковой (ид + > со) Кроме того, в набегающем потоке > Соо, где сто - скорость звука Вопрос о реализации того или иного типа течения до сих пор оставался открытым, поэтому, вообще говоря использование метода установления при численном моделировании нельзя было считать достаточно обоснованным Один из возможных путей решения данного вопроса заключается в исследовании устойчивости по отношению к малым возмущениям этих стационарных режимов течения газа, то есть в изучении асимптотики решения линейной смешанной задачи на малые возмущения начальных данных (см задачу (1)-(4) ниже) при t оо.

В случае, когда малые возмущения зависят (кроме времени I) только от одной переменной, в ряде работ было строго показано, что режим течения газа со слабой ударной волной устойчив по отношению к малым возмущениям, а режим течения ваза с сильной ударной волной неустойчив

В общем случае доказано, что основное решение, соответствующее сверхзвуковому обтеканию клина со слабой ударной волной, при условии, что течение газа после ударной волны сверхзвуковое, а также

Мг{9) > 1

при

О < о < ©,

устойчиво по отношению к малым возмущениям Здесь

М1(д) =---

Со

В то же время установлено, что линейная смешанная задача (см задачу (1)-(4) ниже) корректна при

«о + "о < 4

для случая малых углов клина а (см рис 1) Однако устойчивость таких режимов обтекания до сих пор не была доказана

Надо также отметить, что в ряде работ устанавливается факт отсутствия стационарного режима с сильной ударной волной для заостренных тел конечной толщины с помощью рассуждений, проведенных на качественном уровне Все эти результаты позволили сформулировать широко используемую на сегодняшний день гипотезу о неустойчивости сильной ударной волны в задаче о стационарном сверхзвуковом обтекании бесконечного плоского клина Однако, вплоть до настоящего времени эта гипотеза не получила аналитического обоснования

Настоящая работа посвящена исследованию в общем случае устойчивости режима течения газа с сильной ударной волной и является важным шагом на пути к проверке существующей гипотезы об устойчивости слабой ударной волны и -неустойчивости сильной ударной волны При этом проводятся дополнительные исследования, посвященные установлению корректности в общем случае задачи (1)-(4)

Основные дели работы.

• Изучение асимптотики при £ —>■ оо решения линейной смешанной задачи на малые возмущения начальных данных

• Установление необходимых и достаточных условий устойчивости и неустойчивости сильной ударной волны в задаче обтекания клина на линейном уровне

• Изучение линейной смешанной задачи на малые возмущения начальных данных на предмет корректности ее постановки в общем случае произвольных допустимых углов клина

Научная новизна и практическая ценность. Работа посвящена изучению вопроса о устойчивости сильной ударной волны в задаче обтекания бесконечного плоского клина сверхзвуковым потоком газа. Рассматривается линеаризованная задача на малые возмущения начальных данных исходной газодинамической задачи Она сводится к смешанной задаче для волнового уравнения в октанте > 0 в случае, когда краевое условие на грани х — О задается линейным дифференциальным оператором второго порядка с постоянными коэффициентами, краевое условие на грани у = О задается линейным дифференциальным оператором первого порядка с постоянными коэффициентами и при £ = 0 определены данные Коши Для обобщенной постановки, в случае когда выполнены условия Лопатинского после преобразования Лапласа по4и Фурье по х,у формулируются краевые задачи для отыскания следов решения на гранях х = 0 и у = 0 Краевая задача для функции и(0, у, Ь) сводится к задаче сопряжения Римана и решается с использованием условий на гладкость искомого решения Найдено представление решения и обобщенной задачи в двойственных переменных, при условии, что и е Н2,$0(Щ_) (пространство определено

в главе 1) Доказана теорема существования и единственности такого решения Найдено представление функции и(х, 0, £) в явном виде, определена асимптотика ее поведения при 4 со Отдельно рассмотрены случай финитных и не финитных начальных данных Установлены условия устойчивости и неустойчивости по отношению к малым возмущениям начальных данных решения исходной газодинамической задачи на линейном уровне

Практическая значимость работы определяется возможностью непосредственного применения ее результатов при численном решении широкого круга газодинамических задач с использованием метода установления

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Международных конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003 г, Новосибирск 2004 г, Кемерово 2005 г, Красноярск 2006 г), ХЬ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002 г), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики"

Публикации. Основные результаты опубликованы в 9 работах, список которых помещен в конце автореферата В работах [1]-[8] А М Вло-хину принадлежит постановка задачи Д Л Ткачевым доказана теорема устойчивости сильной ударной волны в случае финитных начальных данных для малых углов клина Ю.Ю. Пашинину принадлежит основной результат о устойчивости сильной ударной волны в случае финитных начальных данных и неустойчивости в случае нефинитных начальных данных для произвольных допустимых углов клина. В работе [9] Д Л Ткачеву принадлежит постановка задачи Основной результат, разрешающий задачу о трихотомии спектра полинома степени п относительно единичной окружности принадлежит Ю Ю Пашинину Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, содержащих 6 параграфов, заключения и списка литературы из 34 наименований Объем работы - 86 машинописных страниц

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сделан обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам, представлено краткое содержание диссертации по главам, приведен перечень положений выносимых на защиту

В первой главе приводится формулировка линеаризованной задачи на малые возмущения начальных данных исходной газодинамической проблемы в области t, х > 0, у > х tga требуется найти решение системы уравнений акустики

AUt + BUX + CffUy = 0, (1)

удовлетворяющее граничным условиям на ударной волне (х = 0) и на поверхности клина (у = х tga)-

Ui + duz — 0, из + Ui — 0, -иг = —Pyi Ft + Fy tga = /ли3, x = 0, (2)

ß

U2 = ut tga, у = x tga (3)

и начальным данным при t = 0

17(0,®,») = U0(x,y), F(0,y) = F0(y) (4)

Здесь U{t,x,y) = (ui,u2,u3,ui)'j - вектор-столбец искомых функций (например, щ - малое возмущение давления и т д), х = F(t, у) - малое смещение фронта разрыва, причем

F(i,0)=F0(0) = 0 (5)

Матрицы А, В, Ca и постоянные d, А, ¿t описаны в работе

Далее, предполагая решение U достаточно гладким задача (1)-(4) сводится к основной смешанной задаче для волнового уравнения в октанте, исследованию которой посвящена основная часть работы в области t, х, у > 0 требуется найти решение волнового уравнения

{Я2 Я2 Я2 Я2 Я2 1

+ 2атэ~х + <а - + 2ßMTy - ^ + ^wr = (6)

удовлетворяющее граничным условиям при х = 0, t,y > 0 Г д2 д2 д2 д2 д2 1

и при у — 0, х > О а так же начальным данным

ди

и = и0{х,у), = их(х,у) (9)

при t = О, х,у > О Здесь и(х,у,Ь) - третья компонента вектора II неизвестных задачи (1)-(4), постоянные , £>2,Г>з, £>,1, Д->, £>6 описаны в работе

Далее приводится формулировка обобщенной задачи соответствующей (6)-(9) и вводится следующее

Определение 1 Будем говорить, что функция -ш^,х,у) € ¿-¿(Д3) принадлежит гильбертову пространству Н2<ео(Щ.), если вирр и; 6 и сужение ю|дз удовлетворяет условию €

Здесь В,+ = {.г € й | х > 0}, € Д, в0 > 0

Это определение описывает класс функций в котором ищется решение Во второй главе используя гладкость искомого решения и условия, возникающие вследствие особенности в угловой точке формулируются краевые задачи для следов решения и(х, 0, Ь) требуется найти аналитическую функцию в области, лежащей выше кривой у

-1-1---02--Г МХв Л1

£ = &.(АХ) =- 1-а-' Л1 е (10)

удовлетворяющую условию

3 (Лг), г?» (А1), в) %«(-А1),в)((И-)92)»1г*(-А1) -

( (И)

-+

на ней, и и(0, у, £) требуется найти аналитическую функцию в области, лежащей выше кривой X'

Ц = ??»*(/х) =-

[-а-арг...... ' + М (12)

1+Р2

удовлетворяющую условию

У(у** (м), з)д(£* (/4 »7*« (м), а)

у [у**(-/0, О), ч». (-/О, а) ,,Л „ / ,л * (13)

М € й

на ней Здесь = ¿¿-„^^„^[«(ж, 0, £)] - преобразование Фурье-

Лапласа функции и(ж,0,У(т?, я) = ¿¿-^^-^[«(О^,*;)], функции Р, £*, 77* описаны в работе. Далее, каждая из задач (10)—(11) и (12)-(13) сводится к краевой задаче Римана

л В третьей главе решается наиболее простая задача для функции V(.У> '3) Ее решение дается формулой

- б) + '-*>8))' (14)

г е С, 1т г > 0

При этом используя условия на гладкость решения находятся значения функций и(0,0,4), «ж (0,0, £), иу (0,0,1)

Затем использую связь между граничными функциями возникающую вследствие угловой точки на границе находится функция ¿'(^ в)

и обобщенное решение задачи (6)-(9) в двойственных переменных

+

»(е. ч. (о> з) (р (е. («ч. (о), л* (о,«)+^ (е. и. (о). -ч. (О.«))

(£* (51?* (О), Ч* (О, а)р(£, г?, з)

г(1 + Р&Ч,а)

При этом возникают интегральные условия, которые можно интерпретировать как некоторые ограничения на гладкость начальных данных задачи (6)-(9)

В четвертой главе исследуется асимптотическое поведение полученного решения при t оо Для этого отдельно рассматриваются случаи финитных и нефинитных начальных данных В случае финитных начальных данных получено представление функций и(х, 0, £) и и(0, у, Ь) в явном виде Это представление позволяет определить асимптотику решения и сформулировать один из двух наиболее важных результатов работы

Теорема 1 Пусть выполнены условия Лопагпинского задачи (б)-(9) на границах х — 0,у — 0 и начальные данные ио(х,у),и1(х,у) финитны Тогда имеют место следующие асимптотические представления

= с0(и0,иих)~ + (17)

и(0,у,г) = С1(и0,Щ,у)~¿-Э-оо, (18)

где со(щ,и1,х), С1(щ,и1,у) - непрерывные ограниченные функционалы, зависящие от функций иъ(х,у),их(х,у) и переменных х, у, символ "о "обозначает о-малое

При этом решение и(х, у, £) задачи (6)~(9) асимптотически устойчиво по Ляпунову

В случае нефинитных начальных данных приводится лишь часть функции и(х, 0,1), позволяющая обосновать второй наиболее важный результат работы

Теорема 2 Пусть выполнены условия Лопатинского задачи (6)-(9) па границах х — 0,у — 0 и начальные данные щ{х,у), и\(х^у) не финитны, причем но(0,0) ф 0 Тогда решение и € Я2,3о(Л+) задачи (6)-(9) неустойчиво по Ляпунову и справедлива оценка

и(х,у,Ь)>с(х,ио(0,0))Ш, *>Т0 (19)

Здесь с(х, «о(0,0)) - ограниченный функционал от переменной х и значения у) в угле клина То > 0 - вещественное число (Т0 не зависит от х, «0(0,0),)

Тем самым в четвертой главе формулируются условия устойчивости и неустойчивости сильной ударной волны в задаче обтекания бесконечного плоского клина, позволяющие четко определить спектр задач, в

которых применение метода установления для расчета решения будет обоснованным

В пятой главе доказывается теорема существования и единственности решения задачи (6)-(9) в классе #2,®о(Й+)

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы

1 Получено представление решения линейной смешанной задачи (6)-(9) в двойственных переменных

2 Получены представления граничных функций и(х, 0, Ь),и{0,у, £)

3 Определены условия устойчивости и неустойчивости сильной ударной волны в задаче обтекания клина на линейном уровне.

4 Доказана корректность постановки линейной смешанной задачи (1)"(4)

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математический наук, профессору Дмитрию Леонидовичу Ткачеву за постоянное внимание и плодотворное руководство работой.

Список работ по теме диссертации

[1] А М Влохин, Д JI Ткачев, Ю Ю Пашинин Неустойчивость сильной ударной волны в задаче обтекания бесконечного плоского клина / / Тезисы докладов IV Всероссийская научная конференция "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики", Томск, 5-7 октября, 2004 г с Збб

[2] Ю Ю Пашинин Неустойчивость режима течения с сильной ударной волной в задаче обтекания бесконечного плоского клина // Тезисы докладов V Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых, Новосибирск, 1-3 ноября, 2004 г с 54-55

[3] Д JI Ткачев, Ю Ю Пашинин Единственность решения задачи об обтекании клина Сильная ударная волна // Вестник НГУ, серия "Математика, механика, информатика", том Ш, 2003 г, выпуск 4, с 33-50

[4] А М Blokhm, D L Tkachev, Yu Yu Pashtmn Stability of shock waves m the problem of flowing around an infinite planar wedge the case of strong shock // Abstracts of the International Conference "Eleventh International Confcrencc on Hypcrbolic Problems Theoiy Numerics Applications" Lion, France, July 17-21, 2006 pp 63-65

[5] Ю Ю. Пашинин, Д JI Ткачев Об устойчивости течения с сильной ударной волной в задаче обтекания бесконечного плоского клина // Тезисы докладов VI Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых, Кемерово, 29-31 октября, 2005 г с 46-47

[6] А М Blokhm, D L Tkachev, Yu Yu Pashtmn Stability condition for strong shock waves m the problem of flow around an infinite plane wedge // Elseview, Nonlinear Analysis- Hybrid Systems, In Press, Available online 6 March 2007

[7] A M Blokhm, D L Tkachev, Yu Yu Pashtmn Stability of shock waves m the problem of flowing around an infinite planar wedge the case of a strong shock / / Proceedings of the 13th International Conference on

Methods of Aerophysical Research (ICMAR 2007), February 5-10, 2007 Akademgorodok, Novosibirsk Russia, pp 27-32

[8] A M Blokhm, D L Tkachev, Yu Yu Pashmm Stability of shock waves in the problem of flowing around an infinite planar wedge the case of strong shock // Proceedings of the International Conference "Eleventh International Conference on Hyperbolic Problems Theory Numerics. Applications" Lion, France, July 17-21, 2006. pp 89-107

[9] Д JI Ткачев, Ю Ю Пашинин Условие Лопатинского в задаче обтекания бесконечного плоского клина Задача о трихотомии спектра полинома степени п относительно единичной окружности // Тезисы докладов VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых, Красноярск, 1-3 ноября, 2006 г с 70-71

Подписано в печать 04 10 2007г Уч -изд л 0,75 Офсетная печать Формат 60x84 1/16 Заказ №440 Тираж 100 экз

Лицензия ЛР №021285 от 6 мая 1998г

Редакционно-издательский центр НГУ, 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

Известно (см., например. [1]), что при стационарном сверхзвуковом обтекании бесконечного клина (рис. 1) возможны два решения этой газодинамической задачи: решение со слабой ударной волной (течение газа после ударной волны, вообще говоря, сверхзвуковое, то есть Wq + ^q > Cq), и решение с сильной ударной волной (течение газа после ударной волны дозвуковое, то есть Uq + vо < Cq). Здесь uq, vo - компоненты вектора скорости газа, cq - скорость звука. Кроме того, в набегающем потоке Uoo > с00, где сж - скорость звука. Однозначный ответ на вопрос о том, какое из двух решений реализуется на самом деле, не получен и до настоящего времени, несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме. Один из возможных путей решения данного вопроса обсуждается в [1] и заключается в исследовании устойчивости по отношению к малым возмущениям этих стационарных режимов течения газа, то есть в изучении асимптотики решения линейной смешанной задачи (см. задачу (1.1)—(1.4) в главе 1) при t оо.

В случае, когда малые возмущения зависят (кроме времени t) только от одной переменной, в ряде работ (см., например, [2, 3]) было строго показано, что режим течения газа со слабой ударной волной устойчив по отношению к малым возмущениям, а режим течения газа с сильной ударной волной неустойчив.

В общем случае в [4] показано, что основное решение, соответствующее

Сильная ударная волна йо

Слабая ударная волна О х

Рис. 1. сверхзвуковому обтеканию клина со слабой ударной волной, при условии, что течение газа после ударной волны сверхзвуковое, а также о < 0 < в, устойчиво по отношению к малым возмущениям. Здесь м Uq cos 0 + vq sin в со

В то же время в [5] установлено, что линейная смешанная задача (см. задачу (1.1)—(1.4) в §1 ) корректна при для случая малых углов клина а (см. рис. 1). Однако устойчивость таких режимов обтекания в [5] не была доказана.

Mi(0) > 1 при

2 , 2^2 uq + vq< с0

Надо также отмстить, что в ряде работ (см., например, [6, 7]) устанавливается факт отсутствия стационарного режима с сильной ударной волной для заостренных тел конечной толщины с помощью рассуждений, проведенных на качественном уровне. Правдоподобные соображения приводятся и в [8, 9].

Настоящая работа посвящена исследованию в общем случае устойчивости режима течения газа с сильной ударной волной. При этом проводятся дополнительные исследования, посвященные установлению корректности в общем случае задачи (1.1)—(1.4).

В первой главе приводится математическая формулировка линеаризованной задачи на малые возмущения начальных данных исходной газодинамической задачи. Проблема сводится к смешанной задаче для волнового уравнения в октанте. Формулируется соответствующая обобщенная задача, описывается класс функций, в котором ищется решение.

Во второй главе после преобразования Лапласа по t и Фурье по х,у формулируются краевые задачи для следов решения и(х, 0, t),u{0, у, t). Отдельно рассмотрены условия на газодинамические параметры исходной задачи, возникающие при постановке краевых задач для следов. Подходящие области значений параметров точно описаны.

В третьей главе решается краевая задача для функции u(0,y,t). Условия на гладкость решения позволяют определить значения в угле u(0,0,t), ux(0,0,t), Uy(0,0,t). Найдены представления граничных функций и(х, 0, t), it(0, у, t) и решения и(х, у, t) в двойственных переменных.

В четвертой главе находится представление функции и(х, 0, t) в явном виде, что позволяет определить асимптотику ее поведения при t —> оо. Это позволяет рассматривая отдельно случай финитных и не финитных начальных данных сформулировать и обосновать основные результаты работы об устойчивости и неустойчивости сильной ударной волны в задаче обтекания клина на линейном уровне.

В пятой главе представлен еще один важный результат работы - доказана теорема существования и единственности решения линеаризованной задачи на малые возмущения начальных данных исходной газодинамической задачи в классе функций и 6 H2,Sq{R+) (см. определение 1.1).

в заключение сформулируем основные результаты работы

1. Получено представление решения линейной смешанной задачи (1.15)-

(1.18) в двойственных неремеиных. 2. Получены представления граничных функций u{x,O,t),u{O,y,t). 3. Определены условия устойчивости и неустойчивости сильной ударной

волны в задаче обтекания клина на линейном уровне. 4. Доказана корректность постановки линейной смешанной задачи (1.1)-

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководите лю доктору физико-математический наук Дмитрию Леонидовичу Ткачеву за

постоянное внимание и плодотворное руководство работой.

1. Courant R., Friedrichs K.D. Supersonic flow and shock waves. New York, 1.terscience Publishers, 1948.

2. Блохин A.M., Роменский E.H. Устойчивость предельного стационарного решения при обтекании кругового конуса // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук., N 13, вып. 3. 1978. - С. 87-97.

3. Русанов В.В., Шаракшанэ А.А. Исследование линеаризованной нестационарной модели обтекания бесконечного клина. Москва, 1980. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; N 13).

4. Блохин A.M. Корректность линейной смешанной задачи о сверхзвуковом обтекании клина // Сиб. мат. журн., Т. 29, N 5. 1988. -С. 48-58.

5. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новосибирск, Наука, 1986. 239 с.

6. Рылов А.И. О возможных режимах обтекания заострённых тел конечной толщины при произвольных сверхзвуковых скоростях набегающего потока // ПММ., Т. 55, вып. 1. 1991. - С. 95-99.

7. Никольский А.А. О плоских вихревых течениях газа // Теоретические исследования по механике жидкости и газа: Тр. ЦАГИ., Вып. 2122. -1981. С. 74-85.

8. Булах Б.М. Нелинейные конические течения газа. Москва, Наука, 1970.- 344 с.

9. Рождественский Б.Л. Уточнение теории обтекания клина сверхзвуковым потоком нсвязкого газа /'/ Мат. моделирование., Т. 1, N 8.- 1989. С. 99-102.

10. Osher S. Initial-boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners. II // Transactions of A.M.S. 1974. - Vol. 198 - P. 155-175.

11. Комеч А.И. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с кусочно гладкой границей. // Мат. сб. 1973. - Т. 92(134), № 1(9). - С. 89-134.

12. Мсрзон А.Е. Общая краевая задача для уравнения Гсльмгольца в плоском угле // Успехи мат. наук. 1977. - Т. XXXII, вып. 2(194). -С. 219-220.

13. Sakamoto R. Hyperbolic boundary-valued problems Cambridge, 1982. -207 p.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Москва: Наука, 1977. - 623 с.

15. Мусхслишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Москва, Наука, 1968. 511 с.

16. Артюшин А.Н. Частное сообщение.

17. Blokhin A.M., Tkachev D.L., Baldan L.O. Study of the stability in the problem on flowing around a wedge. The case of strong wave // Journal ofmathematical analysis and applications, Elsevier, San Diego. 2006. - vol. 319, N 1, P. 248-277.

18. Блохин A.M., Биркин А.Д. Исследование устойчивости стациона-рных режимов сверхзвукового обтекания бесконечного клина // Прикладная математика и теоретическая физика. 1995. - Т. 36, № 2. - С. 181-195.

19. Добрушкин В.А. Краевые задачи динамической теории упругости для клиновых областей. Минск: Наука и техника, 1988. - 416 с.

20. Carleman Т. Sur la theorie des equations integrales et ses appl. Verhandl des internat. // Mathem. Kongr. I, Zurich. 1932. - P. 138-151.

21. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Физматгиз, 1951. 606 с.

22. Чернецкий В.А. О конформной эквивалентности краевой задачи Карлемаиа краевой задаче Римана на разомкнутом контуре // Докл. АН СССР., Т. 190, N 1. 1970. - С. 54-56.

23. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и системы интегральных уравнений со сдвигом. Москва, Наука, 1977. 448 с.

24. Чочисв Т.З. Об одной граничной задаче теории функций // Сообщ. АН Грузинской ССР., Т. XXVII, N 3. 1961. - С. 263-269.

25. Сидоров Ю.В., Фсдорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. Москва, Наука, 1982. 488 с.

26. Blokhin A.M., Tkachev D.L. Mixed problems for the wave equation in coordinate domains. New York, Nova Science Publishers Inc., 1998. 133 p.

27. Tkachev D.L. Mixed problem for the wave equation in a quadrant j j Sib. J. Diff. Eq., Vol. 1, N 3. 1998. - P. 269-283.

28. Ткачев Д.Jl., Пашинин Ю.Ю. Единственность решения задачи об обтекании клина. Сильная ударная волна // Вестник НГУ, T.III, Вып. 4. 2003. - С. 33-50.

29. Титчмарш Е. Введение в теорию интеграла Фурье. Москва, Ленинград, ОГИЗ, 1948. 479 с.

30. Чинилов А.К). О решении волнового уравнения с косой производной на границе // Дифференциальные уравнения., Т. 25, N 9. 1989. - С. 16351637.

31. Ikawa М. Mixed problem for the wave equation with an oblique derivative boundary condition // Osaka J. Math., Vol 7, N 2. 1970. - P. 495-527.

32. Зайдсль P.M. Развитие возмущений в плоских ударных волнах // ПМТФ.; N 4. 1967. - С. 30-39.

33. Eskin G.I. The wave equation in a wedge with general boundary conditions // Comm. Partial Differential Equations, Vol 1, N 2. 1992. - P. 99-160.

34. Годунов С.К. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1979. - 392 с.