Исследование устойчивости систем с конечнозначными марковскими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ленингралский ордш Ленина и ор;;ш трудового красного

ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСГШАШЯ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЛАПШИ Андрей Львович

исащовАШЕ устойчивости систем с катетнознлчш.'я марковскими ]{о»фкдапад1

01.01,09 - математическая кибернетика oi.oi.II - системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физйко-кагемагических наук

Ленинград - 1990

Работа пыполнена на кафедре выстейматекатаки Киевского института народного хозяйства имени Д.С.Коротченко

• Научный руководитель - доктор физ^о-математическюс наук, профессор Валеев Ким Галямович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Чернецкий Владимир Ильич, докгор физико-математических наук, доцент Харитонов Влацимир Леонидови1

■ Ведущая организация - Киевский государственный университет

имени Т.Г.Шевченко

Защита диссер«ации состоится "13 " ¿С£Л 1990 V.

и "^" часов нп заседании специализированного сонета К - 003.57.16 по присуждении ученой степени кандидата физико-ма' ематических наук в Ленинградском ордена Ленина и ордена Трудово; Красного- Знамени государственна!! .университете по адресу: 199044, Ленинград В.О., 10-я линия, д. 33

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького по адресу: Университетская наб., д. 7/9

Автореферат разослан " _" _'__ 1990 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук

Горьковой В.Ф.

ОЩЛЯ ХЛРЛ1П№!СТШ PAEOTli

Актуальность геш. Диссертация посвящена вопросам устойчивости систем, описываемых линеГашш дифференциальны«! уравнениями с коэффициента!.™, зависящими от марковского процесса. В частности, таким о бра пом вписываются системы автоматического vnpas..жил при условии, что коа'йициенты системы являются конечнозначными марковскими процессами.

Задала исследования устойчивости положения равновесия динамической системы с коэффициентами, яалислщики от марковского процесса, иояет решаться как на основе идсР и методов Л.'.{.Ляпунова, развитых в работах Е.А.Сарбашна, Р.Ьоллыана, К.Г.Валоена, Б.И.Зубова, Г.В.Каменкова, Н.Н.Красовского, А.Н.Летопа, И.Г.Ма-лкина, В.М.Матросова, В.В.Румянцева, И.Г.Четавва и других, так н на основе метода построения моментных уравнений, получившего развитие в рпботах В.М.Артемьева, М.М.Бендорского, ¡Т.И.Гихмана, И.Е.Казакова, И.Я.Кица, В.В.1Солмановского, В.Г.Колога(:ца, Д.Г.Кореневского, Н.И.Красовского, Г Дл.Кушнера, О.А'.Лидского, Г.Н.Мильштейна, 0.А.Ияпулиной, В.С.Пугачева, В.Г.Репина, АЛ.Скорохода, Р. 3. Хае tt/л некого, С.М.Хрисанова, Метод моментных уравнений приводит к росту размерности рассматриваемых систем дифференциальных ураьнений. Б связи с этиы большое значение приобретает метод интегральных (.ЫогооСразиЛ, восходящий к трудам Л.Пуанкаре и раэвиваемй в последние годи В.И.дубовым, О.В.Лшювой, к .А.Мотропольским и другим, позволяющий понизить размерность рассматриваемых уравнений.

Цель работа. Исследовать устойчивость в среднем и среднем квпдрэтическом динамических систем с коэффициентами, зависящими ст конечиознз'пюго марковского процесса. Ш явить непосредствен-

ную снизь метода функций Ляпунова и метода моментных уравнений для подобных систсм. Провести численным анализ устойчивости иехиничоских, в частности гироскопических, систсм, принадюжа-и,их рассматриваемому классу, с использо ышем ншеота разработанных программ.

Методы исследования. Математическим апппратом работы являются методы линейной алгебры, теории дшдареициалышх уравнений и теории случайннх гроцессов. Для численного исследования били напис."!!!! и испольгонгши программы на языке ПАСКАЛЬ,

Научная новизна. Результаты диссертационной работы являются новыми и представляют как теоретический, так и практический интерес.

П работе получит следующие результаты.

1. Обобщено понятие шфинигезимшшюго оператора на случай системы случайной структуры, описываемой марковским процессом

о дискретной компонентой. '

2. Получены аналитические условия устойчивости в среднем и среднем квадратичсском стохастического гл¡алого уравнения Матье. Проведено численно-гщалитическое исследование областей устойчивости этого уравнения, выявлен параметрический резонанс.

3. Исследована проблема построения интегрального многообразия системы моментных уравнений для гироскопической системы с марколскиш коэффициентами. Определена область значений параметров, при которых возможно построение интегрального многообразия методом последовательных приближений.

4. Доказана непосредственная связь метода моментных уравнений и метода стохастических функций Ляпунова. Выведены уравнения для стохастических функций Ляпунова с использованием обобщенного инфинитезимапьного оператора.

Апробация работа. Результпти диссертационной работ» докладывались на конференции молодни ученнх Института математики АН УССР /г. Киев, ишь Х'ДЗб г./, на нпучно-тохничосксй конференции "Применение вычислительно? тешикп и »/птематиччеиих методов п няучшос и экономических исследованиях" /г. Киоо, 1988/, на научных конференциях ^¡ш.^льтста Ш-1!У ЛГУ "Управление динам. !сски;.'и системами" п 1'эВО и 1900 гг., а также на семинарах гжфелр' тосией математики Киевского института народного хозяйства.

Публинации. Основные результаты диссертационно!! работы опубликовали в статьях [I - 3 ^ .

Структура и обт.еу работы. Диссертационная работа состоит из введения, ^пух глап и списка литературы, содержащего 120 нгшмнюваниЯ. Общий объем работы 140 страниц мапшописного текста. В приложении приведены тексты используемых программ и результаты численного исследопания п пило таблиц и грл-.Ччсоп.

сод-гаоик рмюш

Во ппедении обосновывается актуальность и практическая значимость теги диссертации, дай ой:;ор р^Сот, пришкаицих к токе /нсссртацш, 'Го рту лиру стоя цель рг-.5оты, излагается содержание работн по параграфам, приводятся основные результаты, вынесенные ня оолиту.

Первач глава диссертации состоит из четырех параграфов.

П Г I вводится оонятио системы случайной структуры, описываемой случайная процессом У(01 , рассматриваемым как объединение непрерывной и дискретной компоненты:

ЧМ » { хЦ), -5/*,и)} ; У: г>£1 2 'в /I/

где непрерывная компонента У- пришлет значения в полном се-парабельнои метрическом пространстве 27 /в настоящей работ ' 2 г А* /, а ыогскество & можно рассматривать как .

В настоящей работе множество конечное. Если

дискретный процесс 5/Ьс непрерывннм временем марковский, то назовем /I/ марковским процессов случайной структуры. По определению частная плотность вероятности для процесса У '

задается соотношением

= Г<Н) • {({,* 1т/ф & ) У 2/

где рл

Такия образом, частная плотность распределения - это условная плотность распределения, нормированная так, что интеграл по пространству 2Г равен

В 5 2 приводятся необходимые в дальнейшем понятия н определения из теории случайных процессов, в частности, для диффузионных марковских процессов определяется векторная функция ..., называемая коэффициентом локального сноса,

и матричная функция й ' - матрица локальшх ковариаций:

& № - I с ^ Ч с/г) /3/

л—,0 их-ги* £

ацИ г) - ¡т1 J (К ¿г) /4/

" а-»«» I х-ше.

В § 3 излагается теоретический аппарат описания марковских

процессов с помоцью теории полугрупп. Использованы результаты, содержащиеся в работах А.Д.Вентцеля, И.И.Гитана, Е.Е.Шнкина, Г.Дж.Кушера, Дя.Лаыперги, А.В.Скорохода, У.Флеиинга и Р.В1-шела, Р.З.Хасьшиского. Введено понятие инфинитезимального оператора диффузионного марковского процесса согласно терминологии Е.Е.Дынкина. В пункте 4 данного параграфа проведено обобщение

понятия ин1;.инитеаииального оператора на случай иаркспсксго процесса с дискретной компоненте!'; и виллленп непосредственная связь между уравнения!.™ для часших плотиостоП вероятности /обобщенное уравнение Фоякерц-11ланка-Кол>.:огорова/ и урапнения-ми для Функций от марковского процесса случайной структура.

Так диффузионному маргопскоиу процессу стопятся » соответствие два сопряженных оператора. Обрати:!! оператор определяется следующим образом: п

о /G/

■* Г g£i%y) Щ

и при достаточно обе;;« условиях /Лемма 1.3.2/ функция ^l^,*) ст марковского процесса удовлетворяет уравнению

£ V(r, Tdtrj) - £ i/^, lib)) -

S*i Vi(r,jir) /б/

Оператор, нязываоша! прямым, в случае достаточной гладкости

, определяется no формуле

-№ f где

- i-^trl-i m

Плотность переходной вероятности марковского прокчсса при определенна услови.т/ /Теорема 1.3.3/ удовлетворяет уравнению

- Zp/Jt f о /е/

назииаемому вторил /прямил/ уравнением Колмогоропа, либо уравнением '^оккера-Планка-Колмогорова,

Сопряженность операторов /5/ и /7/, де^ствукщдх на фикцию от процесса и на плотность вероятности, следует из соотношения

J V(*)ju(ctX) /I0/

где уМ принадлежит $)- пространству обобщенных пер, определенных на (Г*-алгебре Л , а ^принадлежит ПрОч г-ранству ограничении ¡¡Ь -измеримых числовых функций V(У)

Я . Соотношение /10/ ставит в соо ветствие линейный функционал на

линейный функционал > V/* на

Построим сопряженный пространства для случал системы случайной структуры В пространстве Гг. определен оператор вида /7/ действующий на ^ , Введем векторную функцию

' {%МУ /п/

и обозначим ^

иг!

где (В - знак прямой сумш операторов, пространство 2 х® будем рассматривать как ^--кратную прямую сумму пространств

Я®,

то есть пространство

г К

тогда

74 + /13/

где ¿1Щ' Н-*М (*>№, й--П*[ ,

- единичный оператор. Введем теперь в каждом пространстве скалярную функцию

и обозначим

следующую векторную

функцию

*) -- (т*ъ..., 1 /и/

Цусть ^

< Т, / /«/*,*) ^ /16/

г

то есть любой //,*.) соответствует линейный функционал на пространвтве функций

Легко строится оператор I* ($) соответствующий обратному

оператору диффузионного уарковского процесса, сопряженный оператору, определяемому / 13/ :

ш </(<>,*) = & тх) /ы з* т,

Действие

¿.Л) не можно представить в виде:

, £ в л (<-,*) -- * Л

+ ¿Я-к ЪИ,*) тг

где п .«) , л

ЛДО Иг М = £ о* К +

о*/.*)

Уравнение /17/ является основой применения метода

функций Ляпунова в случае систем случайной структуры.

В 54. рассмотрено понятие устойчивости решений ди!|еренци-альных уравнений со случайными коэффициентами. На основе

математического аппарата, разработанного в 53 выводятся

уравнения для частных моментов первого и второго порядка

марковского процесса с дискретной компонентой. Так для

частных моментов порядка к справедливо

Т £{+,*)■ 1Ых)с1х /19/

(г), | -•*

где & 11)*) - вектор потока плотности вероятности в пространстве , степенная функция порядка £ .

' В частности, принесем систем уравнений для первых и втопи моментов случайного процесса ХН) , в случае, тгрп при каждом Г//; - ¿1 праше Части предстаадяш собоА лине!;ние ¡¡ункции от X ;

-- А тМ *- в 1+, -ъм) /20/

Для векторов первых моментов получаем:

е

= А/4 /21/

И 1

Для матриц вторых моментов:

Вторая глава соде^.ит результаты численно-аналитического исследования устойчивости некоторых механических, в частности, гироскопических систем с использование!* методов, рассмотренных в главе I. Глава состоит из четырех параграфов.

В 5- I исследуется устойчивость решения дифференциального уравнения со случайными коэффициентами, являющегося стохастическим аналогом уравнения Матье,

/22/

где ¿*0,/1*0 , а ЗГ - случайная величина, принимающая два-значения:

с вероятностями , удовлетворяющими системе

7Кр,Ю -\Jpzlf) /23/

При условии Я-V возможно аналитическое исследование устойчивости решений уравнения /22/.

Теорона 2.1.1. Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости в среднем нулевого решения системы /22/ является неравенство

¿К* < 1 + ¿Ъв + УХ* /24/

Замечание. При критическом значении параметра /Л уравнение /22/ устойчиво /неасимптотически/ в среднем.

Исследование устойчивости в среднем кведратическом

уравнения Л2/ сводится к исследованию линеииого однородного дифференциального уравнения с матрицей коэффициентов

" о о о \

-р о о

о -гр о

-¿а г. о

^ _ о -Я. -М-Я.Л .

Лемма 2.1.1. Спектр матрицы

симметричен относительно точки

Теорема 2.1.1. Б спектре матрицы рассматрива-

емой при положительных значениях параметров, собственное число с наибольшей действительной частью яатяегся действительным.

Теорема 2.1.2. Величина характеризующая

спектр матрицы

, рассматриваемой при положительных значениях параметров, вводимая по формуле $- ЙЦ где 2с - собственные числа матрицы А'о , монотонно возрастает с ростом ^ , то есть

Теорема 2.1.3. Необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости в среднем квадратическом нулевого решения уравнения /22/ является неравенство

/ с О/

В § 2 рассмотрен случай несимметричных состояний процесса

, то есть, среднее время пребывания в состоянии не равно среднему времени пребывания в !Гг . Исследование проводилось численно. Описан итерационный алгоритм построения спектра комплексной матрицы, предлсяешшЯ К.Р.Бчлеенш.

Этот алгоритм реализован на языке ПЛС1Ш1Ь. Текст программы /около 600 строк/ приведен в приложении, там же приведены графкли и результаты численного исследования устойчивости в среднем квадратическом ревеняя уравнения /22/.

Б § 3 исследуется гироскопическая система с конечнозна-чныЛи марковскими коэффициентами вида

X 4- НАЛЪЯ) X А*(ъШХ = 0 /20/

где А> (') , А^*) » Аг (') - квадратные матрицы порядка Я , зависящее от конечнозначного марковского процесса. Если 15(4) р -значный процесс, то уже система уравнений для первых моментов имеет порядок . В связи с этим ставится вопрос о построении интегральных многообразий, на которых понижается размерность исследуемых систем. Проблема разбиения гироскопической системы с детерданлровагам.ц коо}фици1 гсами на системы обобщенных прецессионных и обобщенных нутационных колебаний при достаточно больших значениях параметра Н решена в работах Б.И.Зубова. В настоящей ^аботе найдены области значение, парметра Н , при которых возможно расцепление, и построены интегральные многообразия систем моментннх уравнений.

Рассмотрим систему /26/, пусть процесс принимает два значения и удовлетворяет системе /23/. Матрица системы уравнений для частных моментов первого порддка

о(Ш/с1{ -- А/мМ /27/

запишется в блочном виде:

уе г о \

цА %Е О Е

1-А:,'Аг, о -на'а-ае у в \ О -XI Аи ЪЕ -НАпАп^Е

где /1«^- г А* (1%). Введя блоки порядка уравнение /27/ можно записать

гс/ыш* сагл) + ш [ в*. еиО а да * &)&Ш т/

Ищем интегральное многообразие систт.1 /?.с/ о виде где матрица X - решение матричного уравнения Рпккати

Вгне,К +О.К ~Кг= О /30/

)Ьт выделения медленных переменных необходимо из множества ри-шений /30/ выделить К.[Н) такое, что Ищем

в виде степенного ряда по малокзу нарнетру ¿и ~ Г1

♦ ум*

где Кз являются решенияии системы

г м - - ^

* £ ) /31/

Введем обозначения

Теорема 2.3.3. Если вшолнлется^неравенство

+ ^Л2)то матричный ряд 2* Н ¿-Ь , где матрицы определяются из системы /31/, сходится и его суша является решением матричного уравнения Риккаги /30/.

Теорема 2.3.-1. Если вьшолнено условие теоремы 2.3.3, то у системы /29/ существует интегральное многообразие вида

на котором размерность понижается с Уп до \

- (а (+) /зг/

Далее в 5 3 рассматриваются простыв численные примеры построения интегралы« многообразий и о их помощью исследовала устойчивость в среднем медленных переменных.

Г5 раздела 5 ставится вопрос о дальнейшем понижении размерности исследуемых дифференциальных уравнений. У матрицы

и>

системы /32/ 11 собственных чисел имеют порядок 0(Н~') , а еще 71 собственных чисел порядка 0(М ') ~

гУ) • При больших значениях Н иышо первые 7}собаттп-их чисел опрсдслтот устойчивость в среднем медленных переменных /обобщенные прецессионные колебания/. Построим интегральное мно^образие размерности 71 , соответствующее ртим собственным числам.

Систему /10/ преобразрванием координат можно привести к

виду:

Н)/М -- О-К, Н) + ц в, ю I ¿ЬНУсН-- и * Я РМ /33/

где матрицы можно записать, используя блоки порядка И :

О А^Аи

Ц=(0 Е Е) • • Ж» Я М*'

у^Г/О«/ ^ Р~.Ш=Зп [ -

иг- Л7 Аи ~ИЛ'!А-?Е у л

Ищем интегральное многообразие в виде

* /34/

где К£ яглястся решение матричного уравнения Риккати

и предсгавима в виде К**¡НТ) , где - порядка 1 , И - размерности ¿>7*/?. Матрицы Ли// ищем методом последовательннх приближений:

(( 5, /V*

-- //■' г у А - & - - /35/

Введем обозначения: ИШ'-^г, ИЗгИ° & ,//В , ,

Теорема 2.3.5. Последовательность норм матриц /«Г и > > определяет::'. по формулам /35/ будет

ограничена при И^На'^о^ , где определяется формулой

рь - «хV- илУ1шг)'1 т/

в которую шесто подставлено значение являющееся корней! уравнения

ия=а &Ч {г, ъ (г^- и,х у2) /з?/

При этом выполняется :

где ,

£= /38/ Теорема 2.3.6. Метод последовательных пркблгаениЯ, задава-ешй соотношениям! /35/, при началыых условиях ¿-а-0, Мз ' А сходится, если Н>Н*=(у?) . Здесь определяется по формуле: __СХ+У-М^У _

' "\р(¡\н>)[$,$1 * £ (««а*$х

где с& принадлежит (б^иГ'С^И')) - корень уравнения /37/.

Теорема 2.3.7. Пусть выполнено условие теорем; 2.3.6. Тогда соотношение

задает интегральное многообразие система момен'пшх уравнений /33/. Тут обозначено £ = , //3 и и //-1 удовлетворяют /35/.

Теорема 2.3.8. Пусть екполнзно условие теоремы 2.3.6. Система обобщенных прецессисшшх колебаний гироскопической системы /26/, при условии, что ЗГ определяется системой /23/, устойчива /асимптотически устсЯ'шва/ если, и только если, устойчива /асимптотически устойчива/ система •

а> #{+)/№* ЦК 8,1+)

Здесь

- матрица размерности я*3п, матрица

К

введена в предыдущей теореме.

В последней раздело § 3 полученные результаты обобщены на случай, когда ^¿fj представляет собой ^-значшН марковский процесс. Приведем наиболее общИ результат. Процесс определяется соотношением

ctpw/ж-а ж) /зэ/

где Р/{)ё P/tJ'fflttJ, ft(ti) , квадратная матрица q-.^j имеет порядок ц, . пусть - оргодичоский с

единственным стационарам распределением вероятностей р,•///-* ~*pie • Тогда вектор Xi " (р,о,)Г является собственным для Q и соответствует собственному числу , осталь-1ше собственные числа матрицы лежат в левой полуплоскости, tank Q'

Построим матрицу преобразования координат То следующим обрааом: ,».

L'-

fit -р,о -р, о

pio {-рю

р,о ~Pta {-fto

\Рг> -Рч> ' ' '

Тогда преобразование подобия приводит ¿2. к виду

I

где ~ порядка и ее элементы определяются по формуле

-Ph.fi Р? /40/

Матрица £0 - невырожденная, поскольку £}-(}-{, Преобразование подобия, определяемое матрицей ~И~ аналогичным образом действует на матрицу * , где <3 - знак кронекеровского произведения матриц.

Построим квазвдиагональную матрицу порядка :

= ¿¡Щ {Й®^ } она определяет преобразование подобия, приводящее матрицу систем уравнений для моментов первого порядка к виду

тш* ¡к/

где

Представляя вектор как объединение векторов ({) раз-

мерности П и Й/// размерности П систему /41/ моаю

записать следующим образом:

иаШ

ЫШШ -- й Ы * % /42/

где матрица I/, размерности

- размерности

, V} - порядка . Система /42/ аналогична

системе /33/. Если ввести величину то несложно

получить теоремы, аналогичные теоремам 2.3.6 - 2.3.8 для случая, когда Ш) - ^-значный эргодический марковский процесс, заменив во всех соотношениях ? на .

В § 4 продемонстрирована сопряженность уравнений для матриц вторых моментов и для матриц функций Ляпунова второго порядка. Таким образом, все результата, полученные исследованием уравнений длл вторых моментов , могуг быть получены

исследованием сопряженных уравнений для матриц положительно определенных квадратичных фори.СхШ.

Основное положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Еалеев К.Г., Лапшш A.JI. Об итерационном алгоритме посгроенлл спектра произвольной комплексной ыагрш-j.- Киев, 1987,- II е.- Рукопись доп. в Укр Н1ГИЫТ, Р 24П -УК 1987.

2. Валеев К.Г., Лаппин А.Л. Об устойчивости реыонай стохастического аналога уравнения Матье.- Киев, 1987,- 17 с.-

Рукопись деп. в УкрКШГГИ, И? 2410 - УК 1987.

3. Лапшин А.Л. Устойчивость решений одного типа дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от марковского процесса// Тезисы докладов Научн.-техн. конференции "Применение вычислительной техники и мат. методов в научн. и оконец, исследованиях".- Киев, I6G8.