Построение функции Ляпунова для линейных систем со случайными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Т.Г.ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

хантш авдушззак маэди

построение фунщш ляпунова для линейных а[стэ,1 со случайными коэшщенташ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

автореферат

диссертация на сои ска ¡те ученой степени кандидата физяио-матаматических наук

КИЕВ - 1992

Работа выполнена на кафедре высшей математики Киевского и но ти тута народного хозяйства ш.Д.С.Коротченко.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор ВШЕВ К. Г.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических ' ' наук, профессор МРТЦШС Д.И.

- кандидат ца вино-математических наук, ст.научный сотрудник КОРЕНЕВОШ Д. Г.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный универоитет.

Защита состоится "iff" Ma. Я 1992 г. в ¡4 часов на заседании специализированного совета К.068.IB. II по присуждению ученой Степана кандидата физико-мат ef ,ы тд че ских наук г Киевской университете имени Т.Г.Шевчешсо по адресу: 262127,-г.Киев, проспект академика Еяушова, 6, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке К1У.

Автореферат разоолан "29" 1992 г. •

j-0hl$ секретарь специализированного совета

В.И.Оуцанскнй

О ЦДЛ Ш^Л'ьР^Л'ПСА РАБОТЫ

Актуальность тми. Настоящая расота посвлцона потоку ц-ункци)! яяпунова, вопроса 1 существования и построения цутодш Ляпунова и их применению для исследования устойчивости рошошш систем ллной-[ШХ Д11<^еРеНЦ110ЛЫ1их 1! розностлих УраШОШЫ. к'.огод цункцнй Ляпунова бил разработан н продлгшш А.Л.Ллпуиовш в 1692 г. Б дольного« этот метод развивали Л.А.Аизориал, ¿.А.Еоро'ашш, К.Г.Валоов, В.И.Зубов, Н.и.й;упш, Г.В.ламо;скои, 11.у.1,иричошсо, Н.Н.лрасовскаИ, .1. Г.Цалкин, В.А.Илнсс, О.К.Норетдсклп, Ь.С.Раэумихпн, й.З.Еуиянцьв, А.".Сп:.'о1:ппко, И,Г. !с гп-зь другяо.

В диссортацип исследуется устойчивость релонш! и построение ¿улкцип .Сапунова для систол ллнопних »¡¡¿(..ороадалышх и разностных урашгонни со случашши коо^пциентами, зависящими от коночно-значного случайного процесса. Такие системы получили название сиа-гоы со случайной структурой в их изучали В.М.Артомьов, П.Л.Код, Л.Е.Казаков, Н.И.прасовскпп, ¿'Л1.;.1и.яьи/тош1, С.М.Хрисэнов л другао.

Основные новь'о результаты получены для динамических систем с иолумаркоЕСкими коэффициентами. Теория по дума рко веках процессов началась, повндшому, с работы П.Лови (1954). Затем теорию полу-ларковских процессов развивали и.С.Короток, И.Н.:.оЕалонко, А.¿-.Тур- -Зин, Д.В.1^сак, В.Ь.Анлсшое и другие.

и настоящее время больиоа развитие получила теория устойчивости движения систем, параметру которых зависят от случайных процессов. Истопчивость дви:.-пчия стохастических динамических систем рассматривали Н.Н.Еоголвсов, В.В.Болотин, Ы.П.Гихшш, А.В.Скороход, Д.Г.Корбновский, Г.АН.душняр, Я.л.аац, Р.З.Хасьпдинский, Ь.4?.Харьков н др.

В наших работах проводилось исследований устойчивости решений диц^еренцпальшх л разностных уравнений с марковскими и полу-■дарковскими коэффициентами с помощью функций Ляпунова. Большоо эшшание уделено исследованию устойчивости нестацаонарнцх динаш-моких систем и установлению соотношений между (У-устойчивос-гькз решшш ш существованием функций Ляпунова. Выведены уравнения цля стохастических функций Ляпунова и прод^оаенн способы их реше-' пия. / • •

Настоящая работа выполнена в соответствии с научно-исследо-аатальской темой, проводимой на кафедра высшей математики Киев-

ского института народного хозяйства им.Д.С.Коротчонко, регистрационный Я 01.86.01246341.

Цо^ью работы является вывод уравнении, определяющих функции Ляпунова для линейных дивдоронциалышх и разностных уравнений со случайннш марковскими и полумарковскиш нестационарными коэй<ицц антами, разработка способов их решений, енеод необходимых в достаточных условий существования функций Ляпунова.

Методика исслэдоваш1я. В работе используются свойства квадра тлчнщ фор?.!, операторные уравнения о монотонными опоратра'.ш, теория дифференциальных и разностных уравнений с коэффициентами, зависящими от конечнозначлнх марковски? или полумарковских процессов. Для рошошш операторных уравнении использовался метод последовательных* приближена!! , для решения интегральных уравнэний использовалось преобразование Лапласа в численные метода.

Научная новизна. В работе получена слэдувдне новые результант

- введено понятие устойчивости для нестационарных систеы доддоренциальних и разностных уравнении. Показана равносильность

<е - устойчивости существованию функции Ляпунова. Понятие 6"- устойчивости распространено на слетела оо случайными коэффициентами;

. - для стационарных систш с детерминированными ила случайными коэффициентами обоснован численный метод построения функций Ляпунова. При этом сходимость метода последовательных приближений равносильна существований щ/нжцгд Ляпунова;

- выведены уравнения для моментов второго порядка для нового класса линейных разностных или дифференциальных уравнений с нестационарными полумарковскиш коэ&^нциенташ. Найдены условия устойчивости в среднем квадратично.".!;

- найдены необходимые а достаточные условия существования ■ функций Ляпунова для линеИшх разностных или дифференциальных ура; некий со случайными марковскими или пояумаркоЕсю;ми коэффициентами .

Практическая ценность. Полученные результаты шеют теоретическую и практическую значимость и могут быть использованы при исследовании устойчивости рёиении линейных дицференцизль^х и раз постных уравнений.

Аггообаштя работы. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах в Киевском институте народного хозяйства, Киев-

а

ском долитахничосшл институте, в школе-сашшзре ".'одэлнрованиа и исследование устойчивости ilJirjuMOûKJJX процессов" d г.Киеве р 1990, 1991 гг.

Публикации. Основные разультатц диссертации опубликованы в 5 работах, список которых прпводон в конце автореферата.

Структура и объоп работы, диссертация состоит на введения, трех глав, разбитых на 10 napjrpa^oe, виеодов, литературу, приложении, таблиц н программ.

Библиография содержит 141 наименование. Общий объем диссертации lob страниц.

00,№£АШЬ' ЛШСЕРГАда

Во введении содержится краткий обзор литературы по рассиатрл-ваемшл в диссертации вопросам, приводится оСовнованио актуальности теш. ¿рвтся краткое из локона о содержания диссертации и ^орш-руются результаты.

В поpioii главе изложены известные и новые розультатп о существовании и построении уункци.; „'¡япунова в виде квадратичных ¿.ори.

В §1.1. арнвидоии некоторые вспологателыше результаты, в ¡¿ормо удобнол для использования. Приводени известные результат о квадратичных нормах а пучке квадратпчяих л-орм. Рассматриваются матрич1ше уравнешя для цушсцпи Ляпунова и итеративные способы их реиенш. При отом используется теорема.

'Теорема 1.6. Мя того, чтобц наубивавдая последовательность симметрических ыатрлц Ди ("= 1,2,...) такая, что An+t сходилась необходимо и достаточно, чтобы существовала матрица такая, что при лабам п =1,2,... выполнялось неравенство Д„ si А •

лля матриц А,S с еламентами êKi ( К* ; 5 * п ) используется скалярное произведение А р) ^J^V -iis-

До В = , С!)

приведены свойства скалярного произведения.

Определение. Jhmelluuii оператор L . прообразующий сишетричвс-. кую матрицу С в свшетрическуо матрицу/ i,£ называется монотонным, если из неравонстра С?0 ( С^О ) следует неравенство

LC>0i LCïQ ).

При построении функций Ляпунова для линеиных сиотец приходится ре;ить матричные линейные урэиздия

С = в+1с (2)

где и - ыошгошш.: оператор.

Теорсш 1.9. для того, чхоби уравнеиио {'¿) при люОок имело ро ¡пенно £ >0 необходимо и достаточно, чтобы сходилась последовательность матриц ( к =0,1,2,...), где

£кн=-В+ЬСк , С, = о (к-,о^хг.) ш

Для уравнения (2) используется понятие майорантного уравнения.

В $1.2. приводеш некоторые результаты о поатроаш;;; и свойствах функция Ляпунова для системы ллде;:;шх разностных уравнешн! с поетаяшши коадлниэита/.ш

Хи+1 = АХ„ (4)

Составлен программы для численного определения запаса истончило ств системы (4). Выведена оцени: для реаенпя системы (4), ныракешшв через еднкцию Ляпунова, приведена условия существования функции Ляпунова.

Теорема 1.20. Дут того, чтооы уравиеще Лщунова

(г = £ + аса , ¿еЬАфо (5)

вмело при произвольно!) матрице $ > 0 решение С У 0 необходимо и достаточно, чтобы сходилась монотонно возрастающая последовательность матриц сп ^ =0,1,2,...), где

■ Син=в +АСА ; С, = о (6)

В ф 1.3. рассматривается нестационарная система линейных разностных сравнений

Х„+1=Д,ХП (7>

Определение. Система уравнений (7) называется С - устойчивой, если найдется постоянная ^уО такая, что при любом Х0 выполнено неравенство IIIX.|| «Састе.-.а (7) называется

_ к*о н '

равномерно и - устойчивой, если при любой ю =0,1,2,... выполнено при некотором ^>0 неравенство 'Щ^ЦХ, Т'-^З ИХ {¡*

Показано, что из С - устойчивости система (7) вытекает асимптотическая устойчивость решений и на примера показано, что

из ассимптотической устойчивости решений система (7) не вытекает

С- устойчивость. *

Теорема 1.22. Пусть квадратичная ¿орла = Хя В„ ХИ удовлетворяет условия:.!

Ш„//Ч ^КХиК Ы1ХЛг (г^о^.и...).

Для того, чтобы для системы линейных разностных уравнений (7) существовала функция Ляпунова

удовлетворяющая условиям

необходимо л достаточно, чтобы система уравнений (7) была равномерно СГ - устойчивой.

В 1.4. приведены некоторые результата о$~ устойчивости решений систеш линешшх дас.йеренциальннх уравнений

= /¡.сопи (ё)

Оь

Приведен численный алгоритм и программа для определения запаса устойчивости, приведена оценка для решения, выраженная через функцию Ляпунова.

Теорема 1.27. Для того, чтобы нулевое решение систеш (8) было асимптотически устойчиво при —необходимо и достаточно, чтобц для произвольного решения С ("£) уравнение

существовал предел С ~ /*гтх С (^) • Изучается способ йостроэ-

ния функции Ляпунова, основанный на численном решении матричного дифференциального уравнения (9).

В $ 1.5. наследуется система линейных ди^фервнциальгах уравнений с переменньш коэффициентами

-Щй^АШШ) И*о) • (10)

Определение. Нулевое рэыекае системы (10) называется С-ус- • топчибшл, если существует постоянная такая, что пп;;

любом т> *

Нулевое решение системы (10) называем равномерно устойчивым, если при любом и любого решения выполнено неравенство «»

^¡¡ХшИ'ёг </?11ХШИ* 1/9>0) .

Приведены примеры, показыващие, что <*" - устойчивость решений на равносильна устойчивости по Ляпунову. #

Теораа 1.31. Пусть квадратичная цориа Х) = X 6Л)Х при удовлетворяет условиям . '

>и.ю*г,т1 (ш

Для того, чтобы существовала пункция Ляпунова

(12)

удовлетворящая условиям

необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (10) било С - устойчивым.

Те орала 1.32. Если коэффициенты системы (10) ограничены при ,ю гэ 6* - устойчивости нулевого радения вытекает его асимптотическая устойчивость.

Приведены оценки для ранения системы (10), выраженные через функции Ляпунова. Рассмотрена система уравнений

= (ЛМ«Щ . (14)

Предполагается, что система уравнений (14) асимптотически устойчива при - 0 . Показано, что при выполнения неравенства *

; СА + АС = -Е

нулевое решение системы (II)-остается асимптотически устс чивым. Получен частотный признак существования функции Ляпунова.

Во второй главе разрабатывается метод ссункций Ляпунова для линейных дифференциальных я разностных уравнений с коэффициента-

ш, завдсщиш от марковского конечнозначного случайного процесса.

В § 2.1. для системы грех зависимых сдучаШшх величии используются понятия условных и частных математических ожидании. Для системы разностных уравнении

Кг^к'7Л] ' h*'*'1»-0 ' (15)

где Jk - марковская цепь, принимающая состояния Qj (s*ij...,n)

с вероятностями ^Р (К) s р [ Тк = 0i } ( , удовлетворяющими система

л

= Т5ЛШ/>Ш fî-i,...,«) (16)

вводятся основные стохастические функции Ляпунова по формулам

■О

V. M)= H<w('sJTs,XJ)/^=^Xjt=X> fjiij-.n), (i7)

J S s H

Показано, что эти уункщш удовлетворяют системе уравнений

■у:¿00 =WJ(u/y) < (I8)

где обозначено ц 9JtX), ftie,X)aFt ■

В частном случае для системы лннеиных разностных уравнений

амсв.) (19)

задается квадратичная полодителыхо определенная функция

W(7KX) = xlb[tjxk (Ы-U,..)

и ищется функция Ляпунова в вида квадратичной формы При этом приходам к системе матричных уравнений

-* я

i- =6j i/ijfg-îr.Cj/lj а.• (20)

Показано, что система разностных уравнений для матриц вторых частных моментов случайного решения системы (19) имеет вид

х>и (kmj = ¿тт;Д £> (*>/s u.i...,») (21)

Георема 2.2. Для того, чтобы нулевое решение системы (19)

в

било асимптотически устойчиво в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы при любых матрицах. («м '""<» ) схо-

дились последовательности матриц С j(W ( К=0,-1,-2...), определенные матричными разностными уравнениями

о*.....«) •

Теорема 2.3. Лда того, чтобы нулевое решение свсхеш (19) было асимптотически устойчиво в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы система уравнений (20) при некоторых значениях /^>0 ( j = I,..., и ) имела решение С;>0 ( ^ = 1,..,п), а таете чтобы при любых значениях 8]>0 ( 3 = 1.....п) шала всегда решение С|>0 ( 3 =

Теорша 2.5. Если спектральный радиус матрицы

V = II ц%//; ; ^=тг„. //л//' ......1

меньше единицы, то нулевое решение системы (19) асимптотически устойчиво в среднем квадратичном.

Определение. Нулевое решение слоте!,ш разностных уравнении

^г^^К^ ....... (22)

называется <2Г- зсто1гчивш, если при любом X* оходагая ряд

м СА V»

с<ях/> = пг:</*«/> •

Теорема 2.6. Пусть матрицы В; = ш ( 5 =1,...,П) удовлетворяют условиям

ШИ'^ъМъМ/ХП' } цДОзХ&Х , /«>0

Для того, чтоби существовали стохастические цуннции Ляпунова

необходимо и достаточно, чтобц нулевое ренеше сиотеш (22) было С - устойчиво.

В заключение приведен статистический способ построения функций Ляпунова, реализовашой на ПЗШ.

В $2.2. рассматривается слстеш дифференциальных уравнений

. -шм = Ра^шлт-, о,

. (2а)

где - марковский конечнозначнып процесс, принимающий значе-

ния 9„ о вероятностями ^ = 7Ш = Вк / ■

Предполагается, что удовлетворяют системе уравно-

шй 1в "

......>•

вводятся основные стохастические функции Ляпунова

которые при опрадолешшх условиях удовлетворяют система уравнений

Для линеИноИ систе;.ш дц^церонцаалышх уравнении

-Л^лыт , гк........

система уравнений (25) сводится к система

Матрицы моментов второго порядка удовлетворяют сопряженной системе матричных уравнений

.......... ■

Теорема 2.8. Ллл того, чтобы нулевое реиешэ систеш (26)

(Зало асимптотически устойчиво н среднем квадратичной необходимо

в достаточно, чтобы систеш уравнении (2?) имела асимптотически

устойчивое решение при —»-оо .

Теорема 2.9. Дли того, чтобы нулевое решение систеш (26)

било асимптотически устойчиво в среднем квадратичном необходимо

и достаточно, чтобы при некоторых матрицах й >0 ( К=1,...,п)

к

сиотема матричных уравнении

кК + + = - зк /*.«,...,„) (28)

имела решешш С«> 0 ( К=1,,,,п) 1

Теораыа 2.1I. Если спектральный радиус матрицы

У = IIIТиоскц.^Х , «^¡е^иА'н1 М

меньше единицы, то нулевое решение системы(25) устойчиво в сред-

) (25) > (26)

(27)

нем квадратичном. л

Теорема 2.14. Пусть функции удовлетворяют системе неравенств

Для того, чтобы для системы ура! ¡шш

МШ - А и.?(ШШ, ¥} 53

¿-Ь $ (29)

со случайными ограниченными коэудициентами существовали основные стохастические функции Ляпунова

идхь дш/идх;(Ь>о)

необходимо и достаточно, чтобы долевое решение системы (29) было равномерно С - устойчивым, т.о. при любом 1удовлетворяло неравенство

В третьей главе рассматриваются линейные ди^йеранциальные и разностные уравнения, зависящие от подумарковскоТо конечнознач-ного случайного процесса.

Пусть - полумарковскии процесс, пришшакщип значения

6к (К=1,..,П) с вероятностями ДШ ■= Р{"3"Ю= 9Н] (К=1,...,п). Пусть Ч-.Ш- интенсивности перехода из состояния й А А,

г К* м гг V к *

Матрица переходных вероятностен определена уравнением

' орШ = t /сра-двме!* '

^ *о (30)

Пусть ЗгШвмеет скачки в моменты Ьв-Ос^К'Ь< •■■ в система линейных дифференциальных уравнении

Ш.> = -А(*,-тНПШ ,

' -г Ж

где ЗиЛ- полумарковсжи процесс, определяется тел, что

Пусть /^Уд)- плотность вероятности случайного процесса

(ХШ 7(H) > опродолпемол по формуле

/[U,?) ^¿fjlViCT-ej (32)

Существует опаратс■> L(i) такой, что спрапедл!во равенство

ЯтЧ-,х> LMFctjX),

Пусть система дифференциальных уравнений

-ШУ.^ШХШ .....и; (эа)

тлеет фундаментальную патрицу решений J/s (~l) , £ . Вводом

стохастические операторы Rid) , определенные равенством

RsCt)<pOL) в ср(М5'Ы) ddtf'\i) (s.i.....и; .

Можно легко доказать, что оператор b(t) удовлетворяет шгаегральнсилу уравнению

L Ш*цг(М({) i/tj Н-с1№й(х)<к J R(ihURsH)\r ш

Теорема 3.1. Решение уравнения (34) монет быть представлено б вида -t

и*) ' ' (35)

где оператор 1/Ш удовлетворяет интегральному уравнению

a m(и tja(i-riRH-c)им¿z. ой)

Аналогично рассматривается дискретный полумарковский про- . цесс, определяемый матрицей янтенсивностел

aa)--ZOiMi(i-K); ,

К»1

где ~ „

Матрица переходах вероятностей Q°(K) определена уравнением Ofo(K) s ЦГ(И) fj^cff(K-j) &ф (37)

Рассматривается система линейных разностных уравнений

где матрица А (к/Заменяется в момент скачка Kj ...)

A(K,TkJ-/^ IK-Kjj , e es .

Пусть смотб.чп разностных уравнений

XKtl = /4s<wXk is г i, ...,„}

виоет решение (К=0,1,^...). г

Пусть F(k,X) - вектор частных вероятностей 7$ i KjX J ( S = 1,...,п) случайного процесса (XO<),. Существует оператор Ь(К) такой, что

F( $+kj , х; = ь is) Fi^, t) г ми,...) (39)

Вводятся стохастические операторы RjW такие, что

RslK)f(X)-f(^(К) X)dd ..........;

Уравнение для оператора L(S) швёт вид

L (S) = yrfij У? <s> + ^L(s-j) a(j)R(j) (40)

ГДЭ

Теорема 3.2. Решение уравнения (40) монет быть представлено в виде s

Lis) = (41)

где оператор является реданн ем операторного уравнения

= Q(S)R(S)i%lQUz)RMU(S.tJ (S.t.iA.-) {42) . t.l В у 3.2. на основе системы уравнений (35),(36) выведены

интегральные уравнения ^

АЛ) ;

где D. Ч) - матрицы частных моментов второго порядка.

Теорема 3.3. Для асишотоической устойчивости решении систе-mi (31) в среднем квадратичная необходимо, чтобы выполнялись соотношения

% м «L w-« ■ iz %ш\щти (44)

Теорема 3.G. Есла ТШ - полумарковский процесс с конечным временам пребывания в кавдш состоянии Q; , то асимптотическая устойчивость в среднем квадратичном решена:! системы (31) тввно-

сильна условиям 0 при Ь—» + , где (Ь) -

решение системы (43).

Теорема 3.8. Если нулевое решение системы (31) £ -устойчиво, т.е. если сходится несобственный интеграл >/< НХИ)Цг> ¿1 , то существуют основные стохастические функции Ляпунова.

V Ш = ХСД- 1< X (Л 8 ЫШ{) I т , х о=х ></£

5 » а««.-,^ И5)

и матрицы С5 > 0 удовлетворяют сястше лянеших ураЕнеш.'Я

Ни г бь ........... • (45)

Теорема 3.9. Пусть-у [-¿,1 - подумарковскин процесс с конечным временем пребывания в каждом состоянии $$ . Исли при 8к> С (К=1,..,п) система уравнении (46) имеет решение Ск> О (К=1,..,п), то нулевое решение системы (31) (о- устойчиво.

Теорема 3.10. Пусть Т(-б) - подумарковскиП процесс с коночным временем пребывания л каздом состояния.

да того, чтобы решение системы (31) было б' - устбйчнвнм необходимо н достаточно, чтобы сходились последовательности мат-

Г (И

ряд Си

Г<Я1) V * (})

Си - Н+Х я Ш№**С, №)(Ц}СЛ (¡,0.,,2,

* к £ » | о ' г^ А с* с-

или последовательность матриц

(яи 2 ? № «у

В §3.3. развивается метод Ляпунова для исследования устойчивости решений системы линейных разностных уравнений с полумарковскими коэффициентами (38).

Для матриц вторых моментов получена система матрич-

ных суммарных уравнений f 1

ЩМ =2? у и/^^ЦЙ (Л1,.,«; (47)

Теорема З.П. Для того, чтобы нулевое решение системы (38) было асимптотически устойчиво в среднем квадратична.! необходимо, чтобы ВЫПОЛНЯЛ!'зь соотношения

Лгн- Щ($)1!//.Ш11г-0 . ¿¡Г^ Ч (SJ III/(VÜ* _ о (48)

Определенно. Нулевое решение спстш (38) называется <е -устойчивым, если для любого решения Хк сходится ряд ¿*<|/Хк||'> •

Теорема 3.13. Для того, чтобы кулевое решение системы (38) било <о -устоичиешл необходимо i. достаточно, чтобы сходились матричные.ряды Т»=2£)<ю (s =1,-,«).

5 Ki! S

Теорема 3.14. Пусть выполнены условия

Ü/4S(K;!!«.C , U'/mUC ¡KztAJ,...) (49)

и полумаркоасюш процесс Tk имеет коночное время пребывания е каждой состоянии. Для того, чтобы нулевое решение системы (38) было асимптотически устойчиво в среднем квадратичном необходимо и достаточно, чтобы при любых матрицах D^M» > 0 сходились матричные ряда

СяЗ

W$=|lWs<KJ ( S ............(50)

Теорема 3.15. Для того, чтобы сходились ряда (50) необходимо и достаточно, чтобы матричные уравнэшш

имели неотрицательное решение VV^ 0 (¿ = ij. -,n) ■

Ks G- устойчивости решении системы (58) вытокает асимптотическая устойчивость в среднем квадратичном.

Теорема 3.17. йзлл для системы (38) существуют основные стохастические функции Ляпунова

vs 00= Х*С?Х= ¿<x"ß(TK)XJXfX,T=es> «-1......

та матрицы Cj (5=1,.., h) удовлетворяют системе уравнений

СО рг» РО

= Z % Щ^р С/Ш (к -

Теорема 3.18. Пусть вшрлнещ условия (48),(49) и полумар-ковскяЯ процесс . хк шевт конечное время пребывания в каждом состояли!:. для того, чтобы нулевое решение системы (38) было .(о-- устойчивым необходимо к достаточно, чтобы при некоторых матрица* Нк>0 (К=1,. .П) система уравнении

п

С,. = и., +z£

к tT, S.I к * к.

змзда положительное решиве С; > С (K-i,.. ,fi).

Георома 3.20. ¿ля того.тгобн нужное рспечио спс?оглн (.78) било аскмпготическя ycroii'tiiBO п сродном квадратичном достаточно, чтобы спзктралышИ 'кт-г/с матрицы

V = IIvj? ; v Л/1///Я//' .....

S , 1 «

был меньше единицы.

В диссертация приведены теорог.поеккв и числэтшо пригори. В приложениях приведены программы на язике &W 8ASTC и таблицы для примеров, которг.о рзи;атлсь численно.

3 rarntynx л:тоссртацил кратко перечислены по'лучошшз поено научгшо результаты.

CcrrociruG паучиго ропультагк, пклп-генккз в дасссртасяю, опубликованы в елвлукаге раЗотах.

1. Ха!;тхом A.M. Построение функции Ляпунова для систем* разностшх уравнен::.! со /мучаЯшт коэффициентам;!. -К.: 1991. - 12 с./Леп. d Укр'ИППГГр24.C4.9I. - 5 551 - УК ЭГ/.

2. ^а;":тха'.; А.'.'. Числоньи:"; метод ясслвдоЕанлп устойчивости и определение запаса устойчивости рЗшсиаЯ лвне:':них разностных или длЭДьрзнциалышх уравненп":. -Кпси: 1990. - 1П с./Деп.п Укр.

книги 25.то.ос. - пео - ук оо/.

Залсов К.Г., "alirxc;: А-."'» Построение функций. Ляпунова для системы лппс.ишх разностных урашени;'. с нестационарными марковскими или полумаркопсютли случайгама коо>$$1яв1с*какв. - К. : 1991. - II с./Деп.в УкрКПЛТИ 00.C8.9I - й IES - УК 91/.

-1. Ватсев К.Г., Хачтхам АЛ. Суг.ествоваюге функцкл Ляпунов ва дшг систсш лияб2них дай^ранциальише уравнений с лврэкешм- . ми KOorlintncHTatai. - Каев: Т99Г. - II о./Доп.в УкрНЯЗГП! 03.08, 91. - :5 П24-УК 91/.

5. Валеев К.Г., Займам АЛ'.. Построошгс н свойства '¿у^к- • цик Ляпунова доя слотом« неяяноЗшх разностных уравнен::;5 со случайной Прагой частью. - Киев: 1990. - 21 с./Леп.з УкзШйШ 25.ГО.90. - J' 1758 ~ УК 90/.

Зпк. 77,тип. ЮО.Уч.тнп. К У „------

им. Т.Шегаченко.Киеп.Б.Шевченко, 14.