Исследование влияния дополнительных физических факторов на существование и устойчивость равномерных вращений твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ОСПШИ ГК'ОЩ^Ш ЮШЗДШИ И

На тijxjóoT рукописи

. . Рчгручзвко Вдздазр С5рг?огяч

{хзсщрз^кг вяжа датожттЕШш ЯЖЧЕСШ ътФаз to ойгшсздяЁ'й угтсзшкяъ- ,

Р/УЗиГ-Шр: В?А!ЗКЯ Т5ЕРДого ТЕЛА" 01.02.Dt - Твср9тачасги!Я. aasrrasa

дассортзпка па cozczmvxa ученей стспога кандидата Сясяко-ггзтс^ппгтэсрях кзуя

Донецк 1S94.

Робота вшолнепа в Институте прикладной штематики в механики ¿11 Украшш.

Научной руководитель: член-корреспондент АН Украины, доктор ЗизЕко-матвиатячасашх наук,

. профессор Д.Я.Савченко

Офщиальнне оппоненты:

Доктор фазнко-ыатэыатических наук,

профессор _ А.А.Илюхин

Кандидат (¡фзико-матеааязчэских наук,

доцент В.И.Коваль

Ведущая организация: Институт математики АН Украины.

Задата состоится 1994 г. в ^ час, на

заседании споциализированного совета Д.06.01.01 по присуждению ученой степени кандидата фийко-ыатаматических наук при Институте прикладной математики и механики АН Украины по адресу: 340114, г.Донвцк-114, ул.Р.Лтсембургу 74.

С диссертацией моаю ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики и механики АН Украины.

Автореферат разослан * Ш* 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

А.И.Марковский

(ЕЗДЯ XAP/KTERJCTIKA РАБОТЫ

Актуальность работа. При исследовании движений реальных объектов современной техники широко используется модель абсолютно твердого тела либо систеш связанных твердых, тел (ССТТ).

Используя модель ССТТ, »окно решать задачи исследования динамических свойств стержневых конструкций.

Одним из ваанвйших свойств изучаемых объектов является свойство устойчивости их■ стационарных двиганий, ибо, как правило, именно им соответствуют 'Движения- реальные устройств. Этим и определяется актуальность .. нахождения условий устойчивости стационарных движений как одного твердого тела, так и ССТТ..

Существенный вклад в исследование устойчивости стационарных дви&ений твердого тела, находящегося в различных силовых .'полях, внесли Кузьшш П.А., Рубановский В.Н., Румянцев В.В., Четаев Н.Г., Ковалев A.M., Савченко А.Я. и другие. ,.

Имеются немалые достикешя ьтвчественной и зарубежной науки, посвящэшшэ изучении движения объектов, моделируешх ССТТ. С решением отях задач связаны измена .ведущих учвннх. таких как И. Виттвн-бург, Г.В. Горр, А.Ю.. Ишшшский, Д.М. Климов, В.Н. Кащляков, Д.Ы. Маркин, А.И. Лурье, В.В, Румянцев, А.Я. Савченко, В.А»:Сторогенко, И.Е. Теиченко, П.В. Харламов, Н.Г. Четаев и других.

Цель работы. Исследовать влияние дабаланса тяги и диссшатквних сил. ■ действующих на тело со сторпУ среды, на существование его равномерных .вращений и их устойчивость; провести детальный • анализ областей выполнения необходимых условий устойчивости /•-равномерных' вращений система, двух гироскопеd Лаграняа, обязанных упругим сферическим акйзотрот&м шарйиром,

t-этода ■ есслйдоВзшш. . 'При-исследованиях, проводимых в диссертационной работе, использовались ; методы аналитической механики и теории устойчивости движения.-Уравнений движения одного твердого тела записаны в форме уравнений Эйлера - Пуассона, в уравнения движения системы двух связаны*, твердо. тал' в -'форме уравнений Лаграижа второго рода. Условия устойчивости исследуемых стационарных движений найдены с'помощью первого метода Ляпунова. При. -работе над этими условиями использовался, язык аналитических преобразований для ПЭВМ КЕОТСЕ, а при построении областей устойчивости-' система. автомятиэяпии инженерных расчетов МАТШ.

Научная вов^ва работа состоит в опедудам.

Получены уравнения движения твердого тела с наподвижной точкой, на которое действуют дебаланс тяги и дяссипативная сала.

Найдены и проанализированы условия существования равномерных вращения изучаемой системы.

Исследована устойчивость равномерных вращений гироскопа Лагранжа с помощью первого метода Ляпунова.

Проведен детальный анализ полученных условий для сплюснутого, вытянутого в сильно вытянутого гироскопов в случае отсутствия экваториального демпффованйя,

Йсслвдовбна устойчивость стационарных движений гироскопа ЛаграШЕа в с^чае полной диссипации.

Построены уравнения дшшения система двух гироскопов Лагранжа, соединенных упругим офаричэскЕМ анизотропным шарниром.

Выведении . необходимые условия устойчивости равномерных вращэний изучаемой системы двух гироскопов.

Аналитически исследованы полученные условия в случав сильно вытянутых гироскопов. .

Построены области выполнения необходимых условий устойчивости равномерных вращений сильно вытянутых гироскопов в плоскости параметров к, «.характеризующих жесткости шарнира.

Практическая данность. Полученные в настоящей работе результаты имеют теоретическое значение, а также могут быть использованы ^при исследовании устойчивости некоторых рабочих рэкимов устройств, иоделируемых как одним твердим телом, так и системой двух связанных твердых тел, находящихся в решмах различного силового воздействия.

Авробащга работа. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах отделов прикладной механики, технической механики Института прикладной математики и механики АН Украины.

Структура и объем работа. Диссертация состоят' из 3 глот (включая введение), заключения и спискалитературы (10? наименования). Объем работы 131 стршпш мгнготепигного тя'-.ста. Количество ртсунков 50.-

- 5 -

СО/этаже mxsmtm

В первой, вводной, главе обоснована актуальность темы, дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, кратко излопзно содержание работы и сформулированы основные результаты, шноспшнэ автором на защиту.

Во второй главе изучены необходимые условия устойчивости равномерных вращений первого основного объекта исследования -твердого тела в сопротивляющейся среде, к которому, кроме обычного опрокидывающего или восстанавливающего момента, диссипативних сил,

приложена сила F, вызванная дебалансом тяги.

В пункте 2.1 приведены уравнения движения такой системы:

К А e t V V % + Р h 7, - F Ъ - а ц > ,

At u>t = { А, - A,) ut wt + P h jt - k Uj ,

A, * a P - a , ^'

i - 4V- ЧТ. <1 2 3) .

где P = Pf - сила тяжести, 7 ( jt, уг, jt). - вдшпгпшй вектор, направленный противоположно силе тяжести, 7t, 7,, 7в - проекции вектора 7 на подвижные оси Ох, Оу, Ой, жестко связанные с

твердым телом, F ( 0 , F , 0) - сила, приложенная к точке N

тела с координатами ( а. О, b) , М ( - эеш , - h¿t , - гыа) -

момент диссипативной силы относительно точкл О , х, х -положительные коэфициенты, характеризупцие диссипация; ш4 ,

wt - проекции угловой скорости тела 5 на подвижные_ оси,

С (О, О, h) - центр масс тела, At, ht - моменты инерции твердого тела.

Уравнения (1) . допускают-решения

« -Вы «'-(в')1 0 В (А8и + Рае') А

Ч " ' =—Г-

А А ш .

(2)

( 1 = 1,2,3 ), где А = ( А 0 и + Р )*■+■ ( к' ж' ш )*,

= К)1 + К)1 + (ш;)" , Р' = Р Й / А4 , В = ? Ь / А, ,

А = а ? / ка , ъ » к / ( А,/^") , ае'= е / ( Ав /{Г"),

в « в1|511 ( Р ), р' = | р | , § = 1 - А, / А,, о/ = и. /¡Р

( 1 = 1,2,3). В новых переменных дифференцирование ведется по

<ЗЛ = <Ц /р . В дальнейшем штрихи опускаем.

Решения (2) соответствуют равномерным вращениям твердого тела с

угловой скоростью и, определяемой из уравнения

( А1 + + 2АРйаш* + ( - В2^ - Ага? -

- 2А*РаГ*0и - А1Р* =0. (3)

Показано, что изучаемая, система имеет либо два, либо четыре равномерных вращения.

В пункте 2.2 выписаны дифференциальные уравнения возмущенного даикения, проведена их лшаарйзация. Обычным образом получено характеристическое уравнение» соотватствушэа уравнениям первого приближения:

Л, ( ае * А ) | + гхшк Р1 + кг ( Е*ра + 4- и' - 2ушТ р ) +

+ 2Я ( а/ - ) + и*®1 + + Р2^ +.- Р&о^(7^+1) | =0 (4)

Условия неположительности действительных частей корней характеристического уравнения и являются необходимыми условиями устойчивости изучаемого решения по Ляпунову.

Пункт . 2.3 посвящен случаю отсутствия экваториального демпфирования ( £ с о ). Используя критерий Покровского, в плоскости параметров ОЪх , где х = ае*Р*А~4 , Ь = ВеР'* , построены области а С^, для которых изучаемая система

допускает соответственно четыре либо два равномерных вращения. Для исследования устойчивости равномерных вращений введена в

_ г -

рассмотрегае полуияоскость пзррдатроз Озд ( а>0 • ). В полуплоскости сем построена крявяя L , уравнение которой

i( и, ж ) = AV + гАРОш* + { TV - ßV -äW -

- 2A"Paf'&j - ÄlP* = 0

определяет зэвйсшость воличязм угловой скоростй и от значения осевого дэмпффорзгш. Получены неравенства:

ft( ге , ш ) > 0 , f,{ г , у ) > 0 , IJ а , м ) > 0 , (5)

Где Г ( а , и ) (i=f .2.3) вшисйкн в явном виде.

Неравенства (5) определяв? в полуплоскости Ош область выполнения Необходим! условий устойчивости G з случая отсутствия экватзряадыгаго дажт|ирог.р.1гля.

Далее рассмотрен "«аиболвя интересней с .точки ■ зрения прилояояия случай сильно китязтутого гироскопа ( At>>As ). D полуплоскости Озсш построены области устойчивости равномерных вращений совместно с кривой L. Тем точкам кривой L , ¿»эторао лояат в области устойчивости, соответствуют устойчивые равномерные вращения, остальным - неустейчгжге. Доказало, что при Ъ < 1 существует такое значение ао , что для каждого я < *о существуют два стационарных двиеевия« одно пз которых устойчиво, а для важдого ж ? го , существует четыре стационарных движения, из которых устойчиво два. При Ь > 5 существует два стационарных вращения, причем существует такое значение ж,, чтодля каждого а ^.af оба эти вращения устойчивы, а для каждого ж < к устойчиво только одно.

Далее рассмотрен случай вытянутого гироскогга ( Ав < Af iura ö=1 , ßz(О,1) ). Установлено^ что для b < ! существуют такие значения зе, что при а? < ж существуют два устойчивых стаиионарннг движения. при г $ j < жо существуют ■ два стационарных движения, одно из которых устойчиво, а при х существуют четыре

стационарных движения, из которых устойчиво два. Если b > 1 , то существуют такие значения Ь* , <т4 , что для 1 < b < Ь* при . ж<яг .и ж>* • существуют два устойчивых равномерных •вршшии,' а при as « ж существуют-два равномерных вращения,

из которых устойчиво одно. Лля • b > b* V ае существуют два

устойчивых равномерных вращения.

Дальнейшие исследования диикого раздела посажены сплюснутому гироскопу Лаграава ( 0 - - 1, р g ( О, 1 ) ) . Шжазано, что

существуют такие значений ао , а, , что при b < < 1

для а» < за существуют даа устоЁчивых стационарных движения, е для е ? в0 существую? четырэ стацианьриих двияения, из которых при к c e; ycrafi'UîEo три, a при гг > ас, устойчиво два. При

iihli < Ь < 1 для œ < 2£о существует дза устойчивых стационарных

■ г ■

дшашния, в дг.я ï ) £0 существует четыре стеционарни*: движения, кз которых устойчиво два. При b > 1 суи-зствувт два устойчшж стацаокаршх движения.

Б пункте 2.4 ксслодована устойчивость равнсаэршгх вращений в случае полной диссипация ( ж t О ). . Анализ вдаяния втагоривлшого д.з!щфкров8ГШ1 сроведен для случ&зз 0=1, р=1 и G--1, M .

Исдользуя критерий Гурвкцэ, для характеристического уравнения (4) получены иеоаходоые у словит, устойчивости изучаемого даиаеная:

1\(&.к,ы)>0 , Pt(ae,i,ij)>0 > О , Р4(а;,ав,и)>0 , (6)

где и) (1=1,2,3,4) выпксаш в явнс-м ввдэ. В полуплоскости

(ш построена область G вкяолканая условий (6) . Показано, что кривая L, а;фадэляоывя сэотшэоккй« (3), состоит из двух Евтвей, лешщих соответственно в кведрактог. ш>0 и ы<0. Приведены различные варианты взаиаюрасаолодения кривой I, определяющей угловш скорости: равкоиар1Шх ерсдзни!, к оольсти G. Там сош определены существование и устойчивость разномерных вращений: тем точкам кривой L , которые лежат в области устойчивости, соответствуют устойчивые равномерные вращения, остальным -неустойчивые.

Кроме того, проведан графоаналитический анализ существования и устойчивости равномерных врадеакГ! в Плоскости параметров Оаш. &пя случая 0=1, Р=1 доказ&но, что существует- такое

значение ࣠é что если ( b, i ) е Q, и я? > то существуют два стационарных вращения, одно из которых устойчиво; при а* < существуют четыре стационарных вращения, из которых устойчиво три. Если ( Ь, х ) е 0г то при любом экваториальном

демпфгровании возможно только два стационарных вращения, из ' которых устойчиво одно. Для случай В=-1, .установлено, что:существует такоэ значение , что если ( Ь, х ) € Qt и ае* « то существуют четыре стационарных вращения твердого тела, два из которых устойчивы; при зз* > существуют два стационарных вращения, из которых

устойчиво одно. Если ( Ь, х ) с Ц, то для любых значений а* существуют два равномерных вращения, бдао из которых, устойчиво .

В Третьей глазе исследованы необходимые условда? устойчивости равномерных вращений -систем* - двух'. Пфоскошв; Лагрё^я, связанных упругим сферическим епизотропйъм ааряиром, один кз которых имеет неподйикную точку.

В пункта 3. Г получены уравнения движения второго основного объекта исследования, - Находящейся в полз сила тдасти системы двух гироскойов Лаграйа S4 в 5г , оси схиизтриз которых \ и ийеиг общи точку аг . Точка ocrt L, - неподвиша.

Вактор Ев направлен по оси Ь4 , еа - по осп Ъх таким образом, что координаты центров мзео тел S4 н Sg - ct и с2 - положительны соотвэтстзенно в системах коердгазт О»®,®,®, и 9*®»"®«®» . ^эбтко связашшх а талаш St и Sa. В качество: обобщенных координат выбраны два набора углов Крылова Bi , £ , (pt (1=1,2).

Уравнения двтагонкя изучаемой механической систеш* определяются лагранжианом.

I. - Т - П •■= Т - - Ц, - П„ ,

где Т = 1/2 * I 0* + ф* созгв4 ) + Вг( в] -t ф' сов Q, ) + + - Ф, вИй, )*_♦ Аг( w ф, а1п9г )г 3 t

+ ИгСгЭ1{ 'вА 1 COSe^OHQj + В^ЗШв^Оа (ф4 - ф2)1 +

+ фд соне^оаэ^оа! ф, - фг) + а,Ф, sin^cose^ini Ф, - ф,) -

ёвфг Sln6t cose2 aln( ф4 - фг ) }

П, = ( Ш(04 + 81^8 ) е СОВв, СОЭф4 + соа9а <£шф, ,

ц, 1/2 к" с ( о4 - еа )* + < Ф, ^ Фа 1

V 1/2 »"(«р,- ф,)1 + ас (в4- еж) + ф,)Нф,-В'^щв' ; в определяете« равенством ОйОя * в ^ ,

А1, В. - осевой и экваториальный моменты инерции тела 81 относительно точки 01 ; с^ - массе тела (1=»1,2> , <Н1 |

к* = —§- I характеризует упругий "8осстанавливещкав

<Ьф I фьО

момент, стрешвдяЁся сохранитьтллккееряость осей \ и Ц, ж* характеризует упругий ммодт, препятствуйте "кручении ■ тела относительно тела параметр & определяет взаимозависимость прогибов в направление взятененяя угла ф и "кручения", характеризуемого утлой

Указано рвывнве, которому соответствуют равномерные вращения системы тел как одного твердого тала вокруг вертикали.

В пункте 3.2 построено характеристическое уравнение, соответствуйте уравнениям первого приближения:

А(Х). 1/2 XI { хА.А, + г^+А,) )А4 ♦ 2 = 0, 17)

где Ав, Ав - известные многочлены от х = к*. Необходимыми условиями устойчивости равномерных вращений будут условия, при которых корни уравнения (7) действительны Я неположительны.

В наиболее интересном с точки зрения прилояэния случае сильно вытянутых гироскопов ати условия выписаны в виде неравенств:

«>( к. г, ») > 0 (1»1,2,3,4), Ф4( к, я, а) > О (1,2). (8) '

В пункте 3.3 проанализированы условия (8). Установлено, что при М4 + М, > 0 равномерные вращения неустойчивы, а при 14 + М4 < 0 необходимые условия устойчивости определяются из неравенств:

1> (вг-в,)/[ (в^в^ао*' ]+(в1мг+вд)/(в1+в2+2Н),

с' > (Мг'М,)/1 (М^ )зе' ] +МД/ ),

ае'(1с,(В<+В1+2Ы)-В1М2-ВД)+В1-В2}1- - (9)

4эе' (В1В2-Нг) [ае' (МД-к* (М4+Ма) И(М2-М4) 1^0,

> ЫД / (М1 * М2),

I > 9 ' »

да ае = ж / ( 2& ), к. = К, N = ^а, \ = { в^а + тд )g, 2 = ВД.

* *

плоскости параметров к , зе построены области выполнения условий 9) совместно с областью, определяющей допустимые значения для араматров к , зе , которые позволяют . оценить влияние изотропности шарнира на устойчивость изучаемых- равномерных ращений.

Основные результаты дассерртацци, выносшые ка загэту:

1. Найдены условия существования равномерных вращений гироскопа Лагранжа при наличии диссипации и дебаланса . .тяги.

, 2. Установлены необходимые условия устойчивости изучаемых равномерных вращений;

3. Проведен детальный анализ полученных условий для сплюснутого, выткнутого и сильно вытянутого гироскопов в случае отсутствия экваториального демпфирования.

4. Исследована устойчивость, стационарных движений гироскопа Лагранжа в случае полной диссипации.

, 5. Построены уравнения движения системы двух гироскопов Лагранжа, соединенных упругим сферическим анизотропным шарниром. ■ .

6. Выведении необходаше условия устойчивости равномерных вращений изучаемой системы двух, гироскопов.

7. Аналитически исследовании полученные условий в случав .. сильно вытянутых гироскопов. .

8. Построены области выполнения необходимых условий устойчивости равномерных вращений сильно вытянутых гороскопов в плоскости параметров к. ас, характеризующих жесткости шарнира.

Основные публикации ' по диссертации.

1. Безрученко B.C. К вопросу о влиянии диссипации на устойчивость стационарных движений гироскопа Лагранжа с дэбалансом тяги // Ин-т прикл. математики и механики АН Украины.- Донецк. 1993.- Ис.-Рус.-Деп. в ГНТБ Украины 09.08.93 * 1684 УК 93.

2. Бозрученко B.C. Исследование равномерных вращений системы двух гироскопов Лагранжа, связанных упругим сферическим анизотропным шарниром // Ин-т прикл. математики и механики АН Украины. г-Донецк, 1993.- ЗЭс.-Рус.-Деп. в ГНТБ Украины 16.11.93 J6 2282 УК 93.

3. Безрученко B.C. Устойчивость стационарных движений гироскопа Лагранжа с полной диссипацией //Ин-т прикл. математики и механики АН Украины. - Донецк, 1993.- 12с.-Рус,-Деп.в ГНТБ Украины I6.II.93 * 2283 Ук 93.

4. Савченко А,Я. . Безрученко B.C. Исследование стационарных движений гироскопа Лагранжа при наличии диссипации и

• дебаланса тяги // Механика твердого тела, 1993, вып.25, с.144-152.