Устойчивость стационарных движений диссипативных механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Московский государственный университет

им. М.В.Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 531.36

РГБ ОД

^ ■1 ^ т.

Лагутина Ирина Сергеевна

Устойчивость стационарных движений диссипативных механических систем -

(специальность 01.02.01 - теоретическая механика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000 г.

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механик математического факультета Московского государственного универсисте им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Карапетян Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Морозов - кандидат физико-математических наук C.B. Сергеев

Ведущая организация - Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН

Защита диссертации состоится «. Ж .» _ 2000 г. ]

16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д053.05.01 при Мо сковском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математическш факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математи ческого факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан « ^ » _2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.05.01 при МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор Д.В. Треще!

^236.37,6)3

Общая характеристика диссертаии

Актуальность темы. Данная диссертация посвящена исследованию шияния диссипативных и постоянных сил на вид и устойчивость стаци-1нарных движений механических систем с циклическими координатами. 1ри исследовании вопросов устойчивости стационарных движений механк-еских систем обычно не учитывается наличие диссипативных сил с полной ;иссипацией, которые разрушают циклические интегралы. Однако при обавлешш постоянных сил система по прежнему может совершать ста-ионарные движения. При этом дополнительные силы могут оказывать начительное как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на стойчивость стационарных режимов, поэтому исследования, проведенные работе, являются актуальными.

Целью работы является выяснение, какое влияние оказывают дис-ипативные силы с полной диссипацией и постоянные силы, приложенные олько по циклическим координатам, на вид и устойчивость стационарных вижений механических систем как общего вида, так и ряда конкретных 1стем (волчок Лагранжа, тело на струне), имеющих теоретическое и при-ладное значение.

Научная новизна диссертации состоит в том, что при исследовании 1стем общего вида коэффициенты диссипативной функции Релея, при по-ощи которой задаются диссипативные силы, не предполагаются постоян-ыми, а постоянные силы действуют только по циклическим координатам, роме того, влияние указанных сил на вид и устойчивость стационарных вижений волчка Лагранжа и тела на струне ранее не исследовалось.

Методы исследования. В своей работе автор опирается на резуль-1ты исследований, проводимых различными авторами в области аналити-гской механики и теории устойчивости. В работе использованы теоремы

A.M. Ляпунова, Н.Г. Четаева, Э.Дж. Рауса, Ж.-Л. Лагранжа, Е.А. Барба-шина, H.H. Красовского об устойчивости стационарных движений механических систем, а также методы Гурвица и £)-разбиения.

Теоретическая к практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении вопросов стабилизации стационарных движений механических систем.

Апробация диссертации. Результаты диссертации были доложены на VII Четаевской конференции, на международной конференции "Математика в индустрии" и на XXIII научных чтениях по космонавтике, а также на заседаниях кафедры прикладной механики к управления механико математического факультета МГУ и семинаре кафедры теоретической механики по аналитической механике и теории устойчивости под руководством академика В.В. Румянцева и профессора A.B. Карапетяна.

Публикации. По теме диссертации опубликованы три статьи и две приняты к печати. Список работ автора приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и заключения. Список литературы содержит 59 наименований. Общий объем диссертации составляет 88 страниц.

Содержание диссертации

Во введении приводится обзор работ, связанных с тематикой диссертации, и излагается общий план диссертации.

В первой главе были получены условия существования и устойчивости стационарных движений механических систем с циклическими координатами, на которые действуют диссипатиьные силы с полной диссипацией и постоянные силы, приложенные только по циклическим переменным. В ней рассматривается стационарная консервативная механическая система с п степенями свободы, на которую наложены только голономные связи.

Гакая система описывается п обобщенными координатами. Предполагайся, что среди них есть такие т < тг координат, от которых не зави-;ят ни кинетическая, ни потенциальная энергии системы. Такие коорди-тты называются циклическими. Они обозначены через вектор-столбец > = («1,..., 5,:1)т (верхний индекс Т означает транспонирование). Остальное к = п—т координат обозначены через вектор-столбец г = (п,..., Эти координаты, как известно, называются позиционными. Обобщенные :корости, т.е. производные по времени от обобщенных координат, обо-начены соответственно через векторы-столбцы £ и г. Если на рассматриваемую систему не действуют никакие силы кроме потенциальных, то 'равнения Лагранжа второго рода допускают т циклических интегралов )Т/дк = с, где Т - кинетическая энергия системы, а с - произвольные юстоянные. При этом рассматриваемая механическая система может со-ершать стационарные движения, при которых позиционные координаты [ циклические скорости являются постоянными. В диссертации предполагается, что на систему действуют дополнительно некоторые постоянные ; диссипативные силы с полной диссипацией, которые являются производ-:ыми от функции Релея. Более того, предполагается, что постоянные силы 'р действуют только по циклическим координатам, а диссипативная функ-,ия Релея пропорциональна кинетической энергии и равняется /Г. В этом лучае уравнения Лагранжа второго рода допускают тп частных интегра-ов дТ/дк — р, определяющих асимптотически устойчивое инвариантное тожество состояний рассматриваемой системы. На этом инвариантном [ножестве находятся стационарные движения системы. В диссертации сследуются условия их устойчивости и проводится сравнение этих усло-ий с условиями устойчивости стационарных движений соответствующей онсервативной системы. Исследования выполняются с использованием терем Ляпунова, Четаева, Барбашина и Красовского. Полученные резуль-

таты сформулированы в виде 9 теорем, смысл которых сводится к след] ющему:

1. стационарные движения исследуемой (г = г°, £ = ¿°) и соответств; ющей консервативной (г = г°, в = ¿°) систем формально совпадают в то случае, если р = с, а кинетическая энергия не содержит произведений п< зиционных и циклических скоростей, т.е. матрица В коэффициентов пр произведениях циклических и позиционных скоростей в выражении для кг нетической энергии обращается в нулевую тождественно по г или хотя б] при г = г°;

2. если В = 0 и "приведенный" потенциал Ур = У(г) + 1/2(С-1р,р (У(р) - потенциальная энергия, а С - матрица коэффициентов при квг дратах циклических скоростей в выражении для кинетической энергии принимает стационарное значение в точке г°, изолированной от други стационарных точек "приведенного" потенциала, и это стационарное зна чение является строгим (не является даже нестрогим) локальным миним> мом функции Ур, то соответствующее стационарное движение исследуемо системы будет асимптотически устойчивым (неустойчивым);

3. если В(г°) = 0, (%р/Зг)о = 0, р = с = ВтС_1р) и все соб ственные значения матрицы (д7Ур/дт2)о положительны, то соответствую щее стационарное движение асимптотически устойчиво, а если среди соб ственных значений матрицы {д2Ур/дг2)о есть отрицательные, то соответ ствующее стационарное движение неустойчиво;

4. стационарные движения исследуемой и соответствующей консерва тивной систем близки при условии, что р = с, система гироскопическ? несвязна и коэффициент диссипации / - малая величина;

5. в этом случае стационарное движение будет асимптотически устой чивым, если приведенный потенциал соответствующей консервативной си стемы имеет строгий минимум на соответствующем стационарном дви

ясении, и неустойчивым, если этот потенциал не имеет даже нестрогого минимума, причем наличие или отсутствие минимума определяется уже по зторой вариации приведенного потенциала.

В качестве примера рассматривается физический маятник, подвешен-шй на горизонтальной оси, которая может поворачиваться вокруг вертикали, и на который действуют указанные выше силы. Кроме того, на »том конкретном примере показывается, что в случае, когда диссипатив-ше силы непропорциональны кинетической энергии, хотя и имеют ту же :труктуру, аналогичные выводы не имеют места: влияние диссипативных г постоянных сил может приводить к дестабилизации устойчивых при от-утствии этих сил движений системы.

В второй главе диссертации рассматривается задача о движении тя-келого осесимметричного твердого тела. Такая задача называется зада-[ей о движении волчка Лагранжа. Известно, что волчок Лагранжа мо-кет совершать два типа стационарных движений: равномерные вращения юкруг вертикально расположенной оси динамической симметрии и регу-ярные прецессии. В этой главе исследуется вопрос о том, какое влияние 'Казывают постоянные и диссипативный моменты на вид и устойчивость тационарных движений волчка Лагранжа.

В параграфе 2.2 исследование проводится в углах Крылова, причем редполагается, что на тело действуют постоянный момент, приложенный о циклической координате, т.е. по оси симметрии тела, и диссипативный юмент. В этом параграфе функция Релея, соответствующая диссипатив-ому моменту, не пропорциональна кинетической энергии, хотя и имеет у же структуру. Условия устойчивости вертикальных вращений этой си-темы находятся при помощи метода Гурвица, после чего проводится полый анализ этих условий.

Однако, углы Крылова не удобны для исследования прецессионных дви-

жений волчка Лагранжа, поскольку в этих углах стационарные по Уитт< керу движения исчерпываются вертикальными вращениями и не охвать вают регулярные прецессии. Поэтому в параграфах 2.3 и 2.4 исследовани проводятся в переменных Эйлера-Пуассона. В этой постановке предполг гается, что на тело действуют два постоянных момента, один из которы приложен по оси симметрии волчка, а второй - по вертикальной оси, диссипативный момент. Последний имеет ту же структуру, что и кинете ческий момент, хотя и не пропорционален ему. В этих углах проводите исследование как вертикальных вращений (параграф 2.3), так и регуляр ных прецессий (параграф 2.4), при этом используется метод £>-разбиенш Анализ условий устойчивости показывает, что данные моменты могут ока зывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее влияние на устой чивость волчка в зависимости от его формы. Полученные результаты отс бражены на графиках областей устойчивости и бифуркационных кривых

В третьей главе диссертации рассматривается задача о движении та желого твердого динамически симметричного тела, подвешенного к н€ подвижной точке при помощи жесткой невесомой струны, причем точк крепления струны к телу лежит на оси симметрии последнего. В этой глав изучается вопрос о том, какое влияние на устойчивость вертикальных врв щений тела на струне оказывают дополнительные моменты: постоянны*" крутильный, диссипативный.

В параграфе 3.2 предполагается, что на систему действует внешни; постоянный момент, приложенный по вертикальной оси, и диссипатив ный момент, имеющий ту же структуру, что и кинетический момент теле Стационарными движениями такой системы, в частности, являются вер тикальные равномерные вращения тела вокруг оси динамической симме трии, причем центр масс тела может находиться как выше, так и ниж точки крепления тела к струне. Уравнения, описывающие систему, выпи

аны в переменных Эйлера-Пуассона. При помощи метода £)-разбиения этом параграфе проводится полное исследование условий устойчивости ертикальных вращений такой системы.

В параграфе 3.3 данная система исследуется в предположении, что вме-го постоянного момента на систему действует крутильный момент, ве-ичина которого пропорциональна желаемой угловой скорости системы, роме того предполагается, что тело прикреплено к неподвижной течке ри помощи стержня, а не струны. При этом существуют еше два реше-ня. при которых стержень расположен вертикально вверх, а центр тяже-ги тела находится выше или ниже точки крепления тела к стержню. Е эде исследований показывается, что оба эти решения неустойчивы. Кроме эго, показывается, что если диссипация мала, то угловая скорость си-гемы близка к желаемой угловой скорости, а при отсутствии диссипации достигает ее. Показывается также, что условия устойчивости системы з 1учае, когда стержень расположен вертикально вниз, в первой л второй остановке совпадают по своей форме.

Кроме того, проводится сравнение полученных результатов с условней устойчивости вертикальных вращений тела на струне при отсутствии эполнительных моментов и показывается, что в зависимости от формы зла эти моменты могут оказывать как стабилизирующее, так к дестаби-иирующее влияние.

В заключении приведены основные резуьтаты, выносимые на защиту.

Основные результаты диссертации

данной диссертации рассмотрено несколько взаимосвязанных задач, от-эсяшихся к проблеме исследования влияния диссипативных и постоян-ах (либо крутильных) моментов на вид и устойчивость установившихся зижений механических систем с циклическими координатами, в частно-

сти симметричного твердого тела с неподвижной точкой или со струнные (стержневым) подвесом.

1. Были получены условия существования и устойчивости стационарных движений механических систем с циклическими координатами, на которые действуют диссипативные силы с полной диссипацией и. постоянные силы, приложенные только по циклическим переменным. Было показано что в случае, когда функция Релея пропорциональна кинетической энергии, условия устойчивости стационарных движений изучаемой системы совпадают или близки (по форме) к условиям устойчивости соответствующей консервативной системы.

2. На примере физического маятника было показано, что для функции Релея общего вида изложенные выше результаты неверны.

3. Были найдены все стационарные режимы движения динамически симметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой под действием постоянных и диссипативного моментов, и исследована их устойчивость. Было показано, что исследуемые в диссертации дополнительные силы могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на устойчивость стационарных движений тела в зависимости от его формы. Полученные результаты представлены в виде бифуркационных кривых и графиков областей устойчивости в плоскости параметров задачи.

4. Были получены и проанализированы условия устойчивости вертикальных вращений тела на стержне или струне под действием диссипативного и постоянного или крутильного моментов. Проведено сравнение полученных результатов с результатами исследования устойчивости стационарных режимов указанных механических систем в случае отсутствия диссипативного и постояного моментов. Анализ этих результатов показал, что дополнительные силы могут оказывать совершенно противоположное

влияние на устойчивость стационарных режимов в зависимости от формы тела.

Таким образом, правильным подбором формы тела и величины угловой скорости вращения системы можно стабилизировать неустойчивое вращение, и, наоборот, неудачным выбором - дестабилизировать устойчивую.

Список работ автора по теме диссертации

1. Карапетян A.B., Лагутина И.С. О влиянии диссипативного и посто-тнного моментов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа // Изв. РАН. МТТ. 1998. N 5. С. 29-33.

2. Карапетян A.B., Лагутина И.С. О влиянии диссипативных и посто-шных сил на вид и устойчивость стационарных движений механических гистем с циклическими координатами // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 4. С. ¡39-547.

3. Карапетян A.B., Лагутина И.С. Об устойчивости равномерных вра-цений волчка, подвешенного на струне, с учетом диссипативного и посто-шного моментов // Изв. РАН. МТТ. 2000 (принята к печати)

4. Лагутина И.С. О влиянии диссипативного и постоянного моментов ia устойчивость стационарных движений тела на стержне // Задачи ис-ледопания устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1999. С. 41-147.

5. Лагутина И.С. О влиянии диссипативных и постоянных сил на вид и 'стойчивость стационарных движений волчка Лагранжа // Вестник МГУ. >р. 1. Математика, механика. 2000 (принята к печати)

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 50 экз. Заказ № 3

Введение

1. О влиянии диссипативных и постоянных сил на вид и устойчивость стационарных движений механических систем с циклическими координатами

1.1. Две классические задачи.

1.2. Постановка задачи

1.3. Устойчивость механических систем в сопротивляющейся среде (случай В = 0).

1.4. Устойчивость механических систем в сопротивляющейся среде (случаи В ф 0).

1.5. Пример.

1.0. Выводы по главе 1 .

2. Устойчивость стационарных движений волчка Ла-гранжа с учетом диссипативных и постоянных моментов

2.1. Введение .

2.2. Волчок Лагранжа в углах Крылова.

2.3. Перманентные вращения волчка Лагранжа в переменных Эйлера-Пуассона. 4

2.4. Регулярные прецессии волчка Лагранжа.

2.5. Стационарные движения волчка Лагранжа в случае, когда диссипативный момент пропорционален кинетическому

2.0. Выводы по главе 2.

3. Об устойчивости равномерных вращений симметричного твердого тела, подвешенного на струне, с учетом диссипативного и постоянного моментов

3.1. Введение

3.2. Устойчивость вертикальных вращений тела на струне под действием постоянного и диссипативного моментов

3.3. Устойчивость вертикальных вращении тела на стержне при наличии крутильного и диссипативного моментов

3.4. Сравнение условий устойчивости, полученных в параграфах 2 и 3 этой главы с условиями устойчивости тела на струне без воздействия дополнительных моментов

Данная диссертация посвящена исследованию влияния диссипативных и постоянных сил на вид и устойчивость установившихся движений механических систем с циклическими координатами.

В своей работе автор опирается на результаты классических исследований Ж.-Л. Лагранжа, А. Пуанкаре, Э.Дж. Рауса, A.M. Ляпунова, Н.Г. Четаева, которые нашли свое развитие в работах А.К). Пшлпнского. Е.А. Барбашина, H.H. Красовского. Г.К. Пожарицкого, Л. Сальвадорп, В.В. Румянцева, В.А. Сары-чева. A.B. Карапетяна. В.М. Морозова, С.А. Мир ера, И. Тереки и др.

В общем случае рассмотрена стационарная консервативная механическая система с п степенями свободы, на которую наложены только голономные связи. Такая система описывается /? обобщенными координатами. Предполагается, что среди них есть такие /?? < п координат, от которых не зависят ни кинетическая. ни потенциальная энергии системы. Такие координаты называются циклическими. Обозначим их через вектор-столбец s = (б,. . . sm) [ (верхний индекс Т означает транспонирование). Остальные к — п — т координат обозначим через вектор-столбец г = (fx,. . . ,rjfe)T. Эти координаты, как известно, называются позиционными. Обобщенные скорости, т.е. производные по времени от обобщенных координат, обозначим соответственно через векторы-столбцы ¿иг.

Для систем с циклическими координатами широко распространены две классические постановки задачи об установившихся режимах движения.

Первая постановка: предполагается, что на рассматриваемую систему действуют только потенциальные силы, которые определяют ее потенциальную энергию V'(r). Эта постановка задачи восходит к Раусу. Уравнения Лагранжа второго рода для этой постановки задачи допускают т циклических интегралов dT/ds = с, где Т - кинетическая энергия системы, а с произвольные постоянные. При этом рассматриваемая механическая система может совершать стационарные движения, при которых позиционные координаты и циклические скорости являются постоянными. Согласно теореме Рауса это стационарное движение будет устойчивым (по отношению к г. г и s), если приведенный потенциал Vc = V'(r) + 1/2(C1 (г)с, с) принимает в точке строго минимальное значение. Здесь F(r) ■• потенциальная энергия системы, а С-1 (г) - матрица, обратная матрице коэффициентов при квадратах циклических скоростей в выражении для кинетической энергии. Кроме Рауса исследованиями устойчивости таких стационарных движений подробно занимались также A.M. Ляпунов, Г.К. Пожарипкий, Л. Сальвадорп. В.В. Румянцев и др. [2. -3. 11-13. 19. 21, 26, 27, 36, 52, 56-58].

Во втором случае предполагается, что на рассматриваемую систему действуют дополнительные управляющие силы, которые обеспечивают постоянство обобщенных циклических скоростей на всех движениях, то есть всегда выполняется условие s — w. При этом система допускает относительные равновесия, для которых при фиксированных циклических скоростях позиционные координаты сохраняют постоянные значения. Эта постановка задачи восходит к Пуанкаре. Согласно теореме Лагранжа относительное равновесие будет устойчивым (по отношению к г и г), если измененный потенциал V^ = V(r) — l/2(C(r)u;,w) принимает в точке г^ строго минимальное значение (нижний индекс и? означает, что все вычисления происходят при фиксированном s = ш). Исследования устойчивости таких равновесий можно также найти в работах У. Томсоиа, П. Тли га. Н.Г. Т1етаева и В.В. Румянцева и др. [11, 20, 28, 40, 41. 47, 50, 51, 54, 55, 59].

Отметим, что при определенном соотношении произвольных постоянных с и cj, существует полное соответствие описанных выше стационарных движений и относительных равновесий, а также некоторое соответствие условий их устойчивости. Этот вопрос подробно исследуется в работах А. Пуанкаре. В.В. Румянцева. A.B. Карапетяна, С.Я. Степанова. М. Паскаль [20. 40, 47, 51, 54, 55].

Вопросы существования стационарных движений механических систем и условия их устойчивости в общем виде рассматриваются в 1 главе диссертации. В ней предполагается, что кроме потенциальных сил, как это было в классической задаче, на систему действуют некоторые постоянные и диссипативные силы с: полной диссипацией, которые являются производными от функции Релея. Основоположником такой постановки задачи является Г.К. Пожарицкий [35]. В его работах предполагалось, что постоянные силы действуют по всем координатам, а диссипатив-ная функция Релея является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Рассматрпвались также (например, в работе И. Тереки [48]) и некоторые частные случаи непостоянных коэффициентов. В отличие от этих работ в 1 главе диссертации предполагается, что постоянные силы действуют только по циклическим координатам, а диссргаативная ф.ункция Релея пропорциональна кинетической энергии. Исследования выполняются с использованием теорем Ляпунова, Четаева, Барбашина и Красовского. Показано, что при некоторых дополнительных ограничениях условия устойчивости такой системы по своей форме совпадают или близки к условиям устойчивости соответствующей консервативной системы.

В то же время на примере физического маятника показано, что в общем случае аналогичные выводы не имеют места: влияние диссипативных и постоянных сил может приводить к дестабилизации устойчивых движений системы. С учетом этого обстоятельства во 2 и 3 главах диссертации обсз^ждаются стационарные движения конкретных механических систем с использованием иных методов исследования.

В второй главе диссертации рассмотрена задача о движении тяжелого осесимметричного твердого тела. Такая задача называется задачей о движении волчка Лагранжа. Вопросами существования и устойчивости стационарных движений волчка Лагранжа занимались многие авторы, как классики, такие как Ж.-Л. Лагранж и Н.Г. Четаев [22, 50], так и современники. Известно, что волчок Лагранжа может совершать два типа стационарных движений: равномерные вращения вокруг вертикально расположенной осп динамической симметрии и регулярные прецессии. В диссертации исследуется вопрос о том. какое влияние оказывают постоянные и днссипативный моменты на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа.

В первой части главы исследование проводится в углах Крылова, причем предполагается, что на тело действуют постоянный момент, приложенный по циклической координате, т.е. по оси симметрии тела, и диссипативный момент. В отличие от 1 главы, функция Релея, соответствующая диссипативному моменту, не пропорциональна кинетической энергии, хотя и имеет ту же структуру. В этих координатах полностью проанализированы условия устойчивости вертикальных вращений. Однако, углы Крылова не удобны для исследования прецессионных движений волчка Лагранжа, поскольку в этих углах стационарные по Уиттекеру движения исчерпываются вертикальными вращениями и не охватывают регулярные прецесси. Поэтому в дальнейшем исследования проводятся в переменных Эйлера-Пуассона, причем на тело действуют два постояннх момента, один из которых приложен по оси симметрии волчка, а второй по вертикальной оси, и диссипативный момент. Последний имеет ту же структуру, что и кинетический момент, хотя и не пропорционален ему.

В главе 2 найдены все стационарные режимы исследуемой системы п проведен полный анализ условий их устойчивости. Показано, что данные моменты могут оказывать как дестабилизирующее, так и стабилизирующее влияние на устойчивость волчка в зависимости от его формы и сопротивления среды. Полученные результаты отображены на графиках областей устойчивости и бифуркационных кривых.

Рассмотренная в 3 главе диссертации задача о движении твердого тела, подвешенного на струне или стержне, имеет большое прикладное значение. Поэтому ее исследованию посвящены работы многих авторов. Начало этим исследованиям положили эксперименты с быстровращаюгцимися телами, проводившиеся под руководством М.А. Лаврентьева. Их результаты легли в основу практического метода стабилизации быстро вращающихся тел. Однако, в теоретическом плане задача является очень громоздкой п в связи с этим большая часть аналитических исследовании проводилась при различных дополнительных предположениях.

Общий анализ уравнении движении твердого тела, подвешенного на струне, содержится в работах В.В. Румянцева [-39, 42]. Им, в частности, было показано, что эти уравнения допускают два интеграла: интеграл энергии и интеграл площадей. Кроме того, он показал, что если тело симметрично и точка крепления тела к стержню лежит на оси симметрии, то существует еще один интеграл.

Стационарные движения тела на стержне (см. например, работы В.Н.Рубановского [-37-39]) представляют собой суперпозицию равномерных вращений стержня вокруг вертикальной оси. равномерного вращения тела относительно оси стержня и равномерного собственного вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс и точку крепления тела к стержню. Если тело не совершает собственного вращения, то стационарные движения являются перманентными вращениями, которые существуют при любом соотношении параметров системы. При наличии собственного вращения стационарные движения являются регулярными прецессиями, которые существуют только для о се симметричных тел, подвешенных к стержню в точке, лежащей на оси симметрии.

Большой вклад в изучение задачи о вращении твердого тела на струне внесла группа ученых под руководством А.Ю. Ишлинского: C.B. Малашенко, В.А. Стороженко, М.Е. Тем-ченко, П.Г. Шишкин и Е.П. Морозова [6-10, 33]. Ими, в частности, для самой общей постановки задачи были исследованы перманентные вращения, для которых главная центральная ось инерции тела вертикальна и обращается вокруг неподвижной вертикальной оси.

Наиболее полно исследованы перманентные вращения осе-симметричного тела, точка подвеса которого лежит на оси симметрии. Впервые условия существования перманентных вращений для этого случая были получены А.Ю. Ишлинским в 1957 году. Аналогичные исследования проводились Г.О. Бугаенко и Г.Г. Ве-лигодским [4], а позднее О.Ю. Агаревой, Г.Т. Нозадзе, В.Н. Ру-бановским [1, 34, 37-39]. Полный анализ перманентных вращений осесимметричного тела с точкой подвеса на оси симметрии был проделан в работах В.А. С'арычева, С.А. Мир ера, A.B. Исакова и С.А. Одинцовой [31, 32, 43-45]. Ими исследовались также и регулярные прецессии, которые первым исследовал В.Н. С'кимель [46], а вслед за ним В.В. Гуредкий и Т.А. Добринская [5].

В этой главе диссертации изучается вопрос о том, какое влияние на вертикальные вращения тела на струне оказывают дополнительные моменты: постоянный, крутильный, дис-сипативный. Предполагается, что на систему действует внешний постоянный момент, приложенный по вертикальной оси, и дис-сипативный момент, имеющий ту лее структуру, что и кинетичес-кий момент системы. Были полностью исследованы условия устойчивости вертикальных вращений такой системы. Данная система также исследуется в предположении, что вместо постоянного момента на систему действует крутильный момент, величина которого пропорциональна желаемоп угловой скорости системы. Показывается, что условия устойчивости системы в первой и второй постановке совпадают по своей форме. Также было проведено сравнение полученных результатов с условиями устойчивости вертикальных вращений указанных механических систем при отсутствии дополнительных моментов и показано, что в зависимости от формы тела эти моменты могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в статьях автора [14, 15. 16, 23, 24] и доложены на VII Четаевскон конференции в 1987 году, на международной конференции "Математика в индустрии" в 1998 году и на XXIII научных чтениях по космонавтике в 1999 году, а также на семинаре кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ под руководством академика А.Ю. Ишлинского и семинаре кафедры теоретической механики по аналитической механике и теории устойчивости под руководством академика В.В. Румянцева и профессора A.B. Карапетяна.

Выводы. Итак, равномерные вращения волчка, подвешенного на струне, вокруг вертикально расположенной оси симметрии при вертикальном расположении струны в случае, когда центр масс волчка находится ниже точки крепления струны к телу (решение (3.5)) всегда устойчивы, если угловая скорость достаточно мала (и/2 < л2). Кроме того, эти вращения устойчивы при условии, что ,11 Дз — •/;( Д > 0, если угловая скорость достаточно велика (а,»2 > IX.'*2). Во всех остальных случаях (и>2 Е (и^;и>*2) для ./¡Дз — ДА > 0 пли > для -АДз — /3А < 0) эти вращения неустойчивы.

Равномерные вращения волчка в случае, когда центр масс волчка находится выше точки крепления струны к телу (решение (3.6)) УСТОЙЧИВЫ при УСЛОВИИ. ЧТО ./]Д] — -/з Т) [ > 0 или ./| Дз — •/;{ Г)| = 0 и Ь > а, если угловая скорость достаточно велика > и**2), а также при условии, что (ДА — -Л А) < -Дта(у/а+ \Д)2 или -Д,///*/(- ^)2 < (./, Д. - ./.,/),) < 0 и а < Ъ. если угловая скорость ограничена как снизу, так и сверху ,2 ,2 ^ ,**2\

На рис. 6, 7 и 8 видно, что при Дз — ./:! I), > 0 область устойчивости велика, а при -7| Д; — ДА < 0 мала. Будем говорить, что при .Л А — -Л А > 0 рассмотренные дпссипатнвный и постоянный моменты обладают восстанавливающим свойством, а при -Л Дз — -/¡Д < 0 - опрокидывающим. Любопытно, что даже в случае восстанавливающего свойства этих моментов, существует интервал угловых скоростей (и>*;и>*2), для которых вертикальные вращения волчка с наинизшим положением центра, масс неустойчивы, а в случае опрокидывающего свойства этих моментов, существует интервал угловых скоростей для которых вращения волчка с наивысшим (по отношению к точке крепления струны к телу) положением центра масс устойчивы.

3.3. Устойчивость вертикальных вращений тела на стержне при наличии крутильного и диссипативного моментов

Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении тяжелого твердого динамически симметричного тела, подвешенного к неподвижной точке с помощью жесткого невесомого стержня (а не струны). Предположим, что на тело помимо сил тяжести тду депствуют моменты М] = Р{л07 — (и ■ 7)7) и М2 =

Ю = сНа£'(Д, Д, Дз). Величина и,!0 характеризует желательную угловую скорость вращения тела вокруг вертикали, то есть М

- крутнльнып момент, подаваемый на ось вращения для достижения желательной угловой скорости, а М2 - диссипативный момент. Здесь - положительный параметр, а остальные обозначения - такие же как в предыдущем разделе. Если £ = 0, то рассматриваемая задача исследована в работах А.Ю. Ишлинского и его учеников [4]-[8].

Уравнения движения тела, отнесенные к его главным центральным осям инерции имеют вид (ср. с [-37] и с системой

3.1) - (3.4)): тЬ(ё + ихе + и>хе) — тЬи х (е + и х е) + + пмк х + т,аи х (к х и>) = — тд*у + Л'е

Ли + и х (Ли>) = Л'ак х е + Р(~о7 — ^ • 7)7) — (3.25)

7 + о>х7 = 0 (3.26) е2 = 1 (3.27)

Система уравнений (3.24)-(3.27) аналогична системе уравнений (3.1)-(3.4), описывающей движение тела на струне под действием диссипативного и постоянного моментов, за исключение уравнения (3.25), выражающего теорему об изменении кинетического момента тела.

Эта система допускает тривиальные решения е = к, 7 = к - - к. .V = ,„,,. (и = Ри° ), (3.28)

1 + с и 3 р , е = —к, 7 =-к, ш = о-'к, N = 111(1, (и> =--—-), (3.29)

1 /' -г :1)л е = -к. 7 = к ^ = и,'к. Л' = —тд, (и; = —-—), (3.30)

Р + 51)3 / > ,, е = к. 7 = —к, и = и.!к, Лг = —та. (и; =--), (3.31)

У Р + с-Дз которые отвечают вертикальным вращениям тела при условии, что стержень расположен вертикально вниз (для решении (3.28), (3.29)) или вертикально вверх (для решений (3.30), (3.31)), а центр масс тела находится ниже (для решений (3.28), (3.30)) или выше (для решений (3.29), (3.31)) точки крепления стержня к телу. Решения (3.30), (3.31) не имеют аналогов в предыдущем параграфе, т.к. стержень, в отличие от струны, может располагаться как выше, так и ниже точки крепления к неподвижному основанию. Очевидно, решение (3.29) формально получается из решения (3.28) при замене а на —а, решение (3.30) получается из решения (3.28) заменой Ь на —Ь. а решение (3.31) из решения (3.28) заменой а.Ь на —а и —Ь. Поэтому ограничимся исследованием устойчивости решения (3.28). Заметим, что если сопротивления среды мало (0 < ^ <С 1). то оно приводит лишь к незначительному изменению желательной угловой скорости.

Введем ")ь7г>7з и <?ь е-2, ез - проекции векторов и е на главные центральные оси инерции тела. В этих проекциях решение (3.28) имеет вид ег =е2 = 71=72 = ^1=ы2 = 0, е3 = 73 = 1, ш3=и, X = тд. (3.32)

Уравнения возмущенного движения. Полагая в возмущенном движении з = 1 + "'з + е3 = 1 + с, /V = тд + V и оставляя для остальных переменных их прежние обозначения, выпишем линеаризованные уравнения возмущенного движения, предварительно исключив из них переменные 2 и V с помощью уравнения (3.27) и третьего уравнения подсистемы (3.24) аналогично тому, как мы это делали во 2 параграфе данной главы. В результате, учитывая что 0 — о,-) = ¿7)3^ получим тЬё[ + п)(д — Ьл2)е] — ЪпЪиоё-2 + т(а + + т(а + 6)^2 - тд-ц = 0 3 тЬё-2 + гп(д — + 2тЬи;ё{ + т(а + Ь)~о~о2 — т(а + Ь)и<1 — тду2 — 0 (./з - + + тдае-2 - ^'Дз71 = О

2 + (-Л - + ~ тдае{ - I )■■•■■ = О

7х + - ^'72 = О 72 ~~ ^7 4" ^'77 = О

Зъу + Ру + еБзу - еБъых + Рих = О х = О з.з5] :з.зб:

Очевидно, система уравнений (З.ЗЗ)-(З.За) отделяется от системы (3.36), причем характеристическое уравнение последней А (А А + Р + гДз) = 0 имеет один нулевой и один отрицательный корень. Нулевой корень связан с наличием геометрического интеграла -}2 = 1, поэтому устойчивость решения (3.28) зависит только от корней характеристического уравнения, отвечающего системе (3.33) - (3.35). Исключая из уравнений (3.33) и (3.34) переменные и,'] и л:2 с помощью уравнения (3.35), приведем эту систему к виду тЬёЛ + ///(// — Ьи2)е 1 — 2тЪиё2 — т(а + 6)71+

3.31

3.38] //?.[(а + 6)^'2 - дУп + 2т(а + Ъ)лу2 = О тЬ&2 + т((у — 6а:2) с 2 + 2 тЬи:ё\ — т(а + 6)72 + ///[(« + 6)^2 - 7]72 - 4- 6)^., - о

171 + /V: + и, - ■/[А'271 + (•/;; - 27,>Т2

А - А)^7'2 + ???1гуае1 = О

7,72+^172 + (-Л - </|К'272 - (-Л - 2-ЛМ'1 + с (А - Д3)^7! + тдае2 = О

Сделаем замену переменных л = £1 + (а/6 + 1)7!, е2 = 52 + (а/6 4- 1)72 и умножим каждое1 уравнение системы (3.37) на 6. В результате получим т1гё\+т(д - Ьл2)51 -2тЪ2ле2+тда-)1 =0 тЬ2 Ё2 + >п{д — 6^'2)52 + 2т62и,'5|+т7<:/'}2 = 0

Jrn + f^n.j +[(./з-./| + '».</«(«/&+1)]-)! + h - 2-/1 - ¿{Di - Дз)с^'72 + //'(/ail = 0 , .

•/,02 + ^П2 + [(7з--/,>'2 + т(/а(а/6+1)]72

- (J3 - 2.7, + Д - ДA7i + /":/•/-2 - 0

Уравнения (3.39), (3.40) описывают движение линейной механической системы с четырьмя степенями свободы, находящейся под действием диссипативных, потенциальных, гироскопических и собственно-неконсервативных сил. Последних не будет только при Д = Д3. Отметим, что при совпадении коэффициентов диссипации, эти уравнения будут совпадать в записи с соответствующими им уравнениями (3.15) и (3.16) предыдущего параграфа. С тем лишь отличием, что в предыдущем параграфе ^ = p/D-j. а в этом ^ = Рл0/{Р + ¿АО

Устойчивость. Умножая вторые уравнения систем (3.39) и (3.40) на г = \/—I, складывая полученные уравнения с соответствующими первыми уравнениями этих систем и вводя новые переменные

E=(sl+ie2)eiufi, Г=(71+П2)е^ имеем ml/Ё + тдЬЕ + тдаТ = 0 (3.41)

JjГ + ; -/)• - JZuj-i)Г + [mga(a/b + 1) - isD3u]Г + mgaE = 0 (3.42)

Характеристическое уравнение системы (3.41). (3.42) имеет вид mga[{b+a)X2+g] + {bX2+g)[J]X2 + {eD1-J3Lji)X-i£D3Lj} = 0 (3.43)

Если все корни уравнения (3.43) имеют отрицательные вещественные части или. наоборот, по крайней мере один корень уравнения (-3.43) имеет положительную вещественную часть, то тем лее свойством обладают корни характеристического уравнения. отвечающего системе (3.33)-(3.35).

Условия отрицательности вещественных частей корней уравнения (3.43) определяют область .устойчивости решения (3.28). На границе области устойчивости это уравнение имеет чисто мнимый корень Л = /О. При этом (3.43) переходит в тда[д - (Ъ + а)П2} + (д - ЪП2)Щ,1& - + ге{д - ЬП2)(01П - Б3и) = 0 1 ;

Из мнимой части соотношения (3.44) следует, что

Таким образом, граница области устойчивости определяется соотношениями д - Ь~2ПЦП[) (тда - 2 - /); :/).; /Я : /иди '."' II)'■ = 0, (3.45) тд'2а/Ь = О

Эти уравнения полностью совпадают с уравнениями (3.21), описывающими границу области устойчивости тела на струне в случае действия постоянного и диссипативного моментов, и подробно исследованные в предыдущем параграфе для случаев а > О .Ь > 0 п а < О, Ь > 0.

Аналогичные вычисления можно проделать и для решений (3.30) и (3.31), заменив аЛ> на а,— Ь и на —а,—6 соответственно. Однако из второго условия (3.45) следует, что прямая Ь = 0 является границей области устойчивости. Т.к. при а > 0,6 > 0 решение было устойчивым, то при смене знака величины Ь мы попадаем в область неустойчивости.

Сравнение результатов, полученных в параграфах 2 и 3 этой главы. Итак, область устойчивости равномерных вращения волчка, подвешенного на стержне, вокруг вертикально расположенной оси симметрии при вертикальном расположении стержня в случае, когда стержень направлен вертикально вниз, имеет тот же вил. что и в случае вращения этого волчка пот действием постоянного и диесипативного моментов. Однако, если в параграфе 2 угловая скорость вращения л = ±Р/Д3 существенно завпспла от величины Р постоянного момента, то в параграфе 3 ^ - + £Аз) зависит в основном от величины характеризующей желательную угловую скорость вращения. Более того, если коэффициент диссипации г мал, величины со и практически совпадают. Таким образом, рассмотренная в параграфе 2 модельная задача об устойчивости равномерных вращении тела на струне дает результаты совпадающие по форме с результатами исследования влияния диссипативных моментов на устойчивость равномерных вращений тела со струнным приводом.

3.4. Сравнение условий устойчивости, полученных в параграфах 2 и 3 этой главы с условиями устойчивости тела на струне без воздействия дополнительных моментов

Вертикальные вращения тела на струне в случае, когда на него не действует- никаких сил. кроме сил тяжести, а центр масс занимает наинизшее положение, всегда устойчивы. Это очевидно с физической точки зрения и было доказано с математической многими учеными (см. например [10]). В данной главе показано, что в случае действия на систему постоянного (либо крутильного) п дпссипативного моментов эта устойчивость может нарушаться. Причем в случае, когда ЗхИ^ —J:\Di < 0, т.е. тело сплюснуто вдоль осп симметрии, дестабилизирующее влияние очень велико.

Случаи вертикальных вращений, когда, центр масс тела находится выше точки крепления струны к телу, тоже подробно изучен: в этом случае вращения могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Поскольку эта задача зависит от большого числа параметров, то полного сравнения результатов исследования этой задачи с результатами, полученными в данной диссир-тации пока провести не удалось. Можно лишь отметить, что, по-прежнему при ./] В.- — ./3В1 > 0 постоянный (либо крутильный) моменты оказывают на систему стабилизирующее воздействие, а при /[Дз — -Л А < 0 - дестабилизирующее.

Заключение

В данной диссертации рассмотрено несколько взаимосвязанных задач, относящихся к проблеме исследования влияния дис-сипативных и постоянных (либо крутильных) моментов на вид и устойчивость установившихся движений механических систем с циклическими координатами, в частности симметричного твердого тела с неподвижной точкой или со струнным (стержневым) подвесом.

В 1 главе были получены условия существования и устойчивости стационарных движений механических систем с циклическими координатами, на которые действуют диссппативные силы с полной диссипацией и постоянные силы, приложенные только по циклическим переменным. Было показано, что в случае, когда функция Релея пропорциональна кинетической энергии, условия устойчивости стационарных движений изучаемой системы совпадают или близки (по форме) к условиям устойчивости соответствующей консервативной системы. На конкретном примере было показано, что для функции Релея общего вида эти результаты вообще говоря неверны.

В 2 главе исследовалось движение динамически симметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой под действием постоянных и диссипативного моментов. Были найдены все стационарные режимы системы и исследована их устойчивость.

В 3 главе исследовались вертикальные вращения тела на стержне под действием диссипативного и постоянного или крутильного моментов. Были получены и проанализированы условия устойчивости таких вращений, а также проведено сравнение полученных результатов с результатами исследования устойчивости стационарных режимов указанных механических систем в случае отсутствия диссипативного и постояного моментов.

1. Агарева О.Ю. О перманентных вращениях осесимметрич-ного твердого тела, подвешенного на струне.// Вестн. Моск. университета, сер. 1. Математика, 1987, X б, с. 45-51.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 19G7. 223с.

3. Барбашин Е.А. Красовскин H.H. Об устойчивости движения в целом. // ДАН СССР, 1952, т. 86, N 3, с. 453-456.

4. Бугаенко P.O., Велигодский P.P. Формы динамического равновесия одной механической систмы. //Уч. зап. Черкасского пед. института. Сер. фпз.-мат. наук, 1963. т. 17, с. 21-37.

5. Гурецкнй В.В., Добринская Т.А. О регулярных прецессионных движениях осесимметричного твердого тела на шар-нпрно стержневом подвесе. // Изв. АН СССР, M i l . 1987, N 5. с. 19-27.

6. Ишлпнский А.Ю. Пример бифуркации, не приводящей к появлению неустойчивах форм стационарного движения. // ДАН СССР, 1957, N 1, с. 47-49.

7. Пшлинскгш А.Ю. Стороженко В.А. Темченко М.Е. О стационарных движениях вращающегося на струне осесимметрич-ного твердого тела //В кн. "Динамика и устойчивость управляемых систем". Киев, Институт математики АН УССР. 1977, с. 3-20.

8. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. О движениях осеспмметричного твердого тела, подвешенного на струне // Изв. АН СССР. M I T. 1979. X С. с. 3-16.

9. Ишлинскин А.Ю., Стороженко В.А., Темченко И.Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи // М. Наука. 1991. 335 с.

10. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС. 1998. 165 с.

11. Карапетян A.B. Об обращении теоремы Рауса// Вестник Моск. ун-та. сер. Мат. мех. 1973. N 5. с. 65-69.

12. Карапетян A.B. Об устойчивости неконсервативных систем// Вестник Моск. ун-та, сер. Мат. мех., 1975, N 4, с. 109-113.

13. Карапетян A.B., Лагутина И.С. О влиянии диссипативного и постоянного моментов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа // Изв. РАН, МТТ, 1998, N 5, с. 29-33.

14. Карапетян A.B., Лагутина И.С. Эволюция стационарных движений механических систем при наличии неконсервативных возмущении // XXIII научные чтения по космонавтике. Тезисы докладов. М.: Пзд-во "Воина и мир". 1999. с. 94-95.

15. Карапетян A.B., Лагутина U.C. Нечаев А.Н. Установившиеся движения механических систем: существование и устойчивость // VII Четаевская конференция. Тезисы докладов. Казань. 1997.

16. Карапетян A.B., Рубановский В.Н. Об устойчивости стационарных движений неконсервативных систем // ПММ, 1986, т. 50. вып. 1. с. 43-49.

17. Карапетян A.B. Степанов С.Я. О соотношении условий устойчивости стационарных движений и относительных положении равновесия // Сб. научно-метод. статей по теор. мех. М.: Пзд-во MI1I1. 1990. Вып. 20. С.31-37.

18. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

19. Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1. М.-Л.: Гостехиз-дат, 1950, 596с.

20. Лагутина U.C. О влиянии диссипативного и постоянного моментов на устойчивость стационарных движении тела на стержне// -Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1999, с. 141-147.

21. Лагутина U.C. О влиянии диссипативных н постоянных сил на вид и устойчивость стационарных движений волчка Ла-гранжа// Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2000 (принята к печати)

22. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во Харьковского мат. об-ва, 1892, 2-50с.

23. Ляпунов A.M. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. Харьков: Изд-во Харьковского Мат. Об-ва. 1888. -54с.

24. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М: Мир. 1974. 526с.

25. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966, 530с.

26. Марс лен Л/1ч. Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980., 368с.

27. Мирер С.А., Одинцова С.А., Сарычев В.А. Предельные стационарные режимы твердого тела на струнном подвесе // ПММ, 1989, т. 53, вып. 1. с.38-44.

28. Мире}) С.А., Сарычев В.А. О стационарных движениях твердого тела на струнном подвесе. М. 1996.

29. Морозова Е.П. Об устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне.//ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 5. С. 621626.

30. Нозад.зе Г.Т. Об устойчивости и бифуркации положении относительного равновесия твердого тела, подвешенного на струне. // Изв. АН СССР, МТТ. 1984, N 3, с. 22-29.

31. Пожарпцкпп Г.К. Об устойчивости днееппативных систем. // ПММ. 1957. Т.21. Вып.4. С.503-512.

32. Пожарицкий Г.К. О построении функции Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения // ПММ. 1958. т.22. Вып.2. С.145-154.

33. Рубановский В.Н. Об устойчивости вертикального вращения твердого тела, подвешенного на стержне // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1985. с. 40-53.

34. Рубановский В.Н. Перманентные вращения и относительные равновесия тела, подвешенного на стержне, их ветвление иустойчивость // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1986, с. 19-34.

35. Рубановскии В.Н. Румянцев В.В. О стацнонарныхдвткениях тяжелого симметричного твердого тела, подвешенного на струне. //Изв. АН СССР, МТТД985, N 5. с. 3-7.

36. Румянцев В.В. Об устойчивости равномерных вращений механических систем // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и маш. 1962. N6. С.113-121.

37. Румянцев В.В. Об устойчивости систем с обобщенным потенциалом сил // Вестник МГУ. Мат., мех. 1977. N5. С. 9-3-100.

38. Румянцев В.В. К динамике твердого тела, подвешенного на струне // Изв. АН СССР, МТТ, 1983, N 4, с. 5-15.

39. С'арычев В.А., Мир ер С.А., Исаков A.B. Положения относительного равновесия осесимметричного твердого тела, подвешенного на стержне. // Препринт Института Прикладной математики АН СССР. 1987. N 94. 36 с.

40. С'арычев В.А., Мирер С.А. Одинцова С.А. Перманентные вращения осесимметричного тела на стержне. Классификация систем. // Препринт Института Прикладной математики АН СССР, 1987, N 140. 24 с.

41. Сарычев В.А., Мирер С.А., Одинцова С.А. Регулярные прецессии осесимметричного тела на стержне. Классификация систем. // Препринт Института Прикладной математики АН СССР. 1987. N 170. 28 с.

42. Скимель В.Н. О движении гиростата, подвешенного на струне. // Труды межвуз. конф. по прикл. теории устойчивости движения и аналитической механике, Казань, 1962, с. 118-122.

43. Степанов С.Я. О соотношении условий устойчивости при трех различных режимах циклических движений в системе //В сб.: Пробл. анал. мех., теорий уст. и упр. Т.2. Казань, 1976. С.303-308.

44. Тереки II. Об устойчивости стационарных движений механических систем в сопротивляющейся среде. // Вестник МГУ. Мат., мех. 1972. N5. С.84 86.

45. Унттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: 01 ГШ. 1937, 500с.

46. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962, 535с.

47. Hagedorn Р. Ои the stability of steady motions in free and restricted dynamical systems // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1979. ¥.46. N2. P.427-432.

48. Hagedorn P. Uber die Instabilität konservativer Systeme mit gyroskopischen Kräften, Arch. Rational Mech. Anal., 58, 1-9, 1975.

49. Pars L. A treatise on analytical dynamics. London: Heinemann, 1965.

50. Pascal M. Sur la recherche des mouvements stationnaires dans les systèmes ayant des variables cycliques // Celest. Mecli. 1975. V.12. P.337-358.

51. Poincare H. Sur l'équilibré chime mass fluide animee tTun mou-veinent de rotation // Acta math. 1885. Y.7. p.259-380.

52. Rout h E.J. A treatise on the stability of a given state of motion. London: MacMillan and Co., 1887. 108p.

53. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. London: MacMillan and Co., 1884, 343p.

54. Salvadori L. IhTosservazione su cli un criterio cli stabilita del Routh // Rend. Accad. sci. fis. e mat. Soc. naz. sci. left, ed arti. Napoli. 1953. Y.20. p.269-272.

55. Thomson W., Tait P. Treatise on natural pliylosophy. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1879.