Исследование волн в телах с нелинейными реологическими эффектами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СТЕРЖНЯ С НЕЛИНЕЙНЫМИ

РЕОЛОГИЧЕСКИМ СВОЙСТВАМИ

§ I.I О модели

§ 1.2 Продольный удар о постоянной скоростью по недеформированному стержню

§ 1.3 Автомодельная задача. Решение в окрестности фронта

ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН МЕТОДОМ

ХАРАКТЕРИСТИК

§ 2.1 Дифференциальные уравнения характеристик иусловия на характеристике

§ 2.2 Решение методом характеристик

ГЛАВА Ш. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

И ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН.

§ 3.1 Постановка задачи. Волновая схема движения

§ 3.2 Алгоритм расчета распространения волн в ок-' рестности фронта волны

§ 3.3 Алгоритм расчета распространения и отражения

§ 3.4 Анализ результатов численного решения

ГЛАВА 1У. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ ВОЛН ПРИ УДАРЕ.

§ 4.1 Постановка эксперимента

§ 4.2 Исследование динамических свойств материалов по отраженным от закрепленного конца волнам.

§ 4.3 Сравнение результатов численного исследования с экспериментальным и построение фазовых диаграмм напряжения-деформации

При расчетах на прочность во многих областях современной техники возникает необходимость принимать во внимание динамические эффекты материалов при ударных воздействиях. Прежде всего, это относится к исследованию воздействия на тела кратковременными интенсивными нагрузками и к изучению на основе этого исследования упруго-пластических и вязких свойств материалов. Эти свойства оказались существенными для описания поведения ряда новых материалов (в частности, полимеров), характеристики которых резко чувствительны к изменениям скоростей деформаций.

Исследования явления удара по тонким стержням, нитям и мембранам занимают важное место в динамике деформируемого твердого тела. Исследование распространения волн для всякой новой модели среды начинается с изучения плоских продольных волн и ложится в основу решения более сложных задач. Кроме того, продольные волны сопутствуют явлению поперечного удара в гибких связях. Развитие теории распространения волн в реологических средах было вызвано изучением динамического поведения металлов за пределами упругости и широким применением синтетических материалов. Исследования по теории волн в данной работе являются новым этапом в развитии теории неупругих волн, а именно, совершен переход от явлений, описываемых квазилинейной системой в частных производных первого порядка, к явлениям, описываемым квазилинейной системой второго порядка. Это было связано с необходимостью описания волн в полимерных нитях, что оказалось невозможным в рамках известных моделей.

С развитием техники, с ростом ее скоростных показателей, с тенденцией к легкости все более широкое применение находят гибкие связи (нити, нитевые системы, мембраны, ленты и др.), противостоящие импульсивным воздействиям. Изучение движения гибких связей приводит к интересным и важным для теории геометрически нелинейным задачам. Исследование поперечного удара по нитям связано с решением геометрически нелинейных задач, в рамках одномерной теории и простого напряженного состояния. Нить, подвергающуюся поперечному удару,можно встретить в задерживающих системах, в текстильном и швейном деле и др. Особо нужно отметить, что исследования по динамике нити могут служить теоретической основой для экспериментального определения динамических свойств материалов. Однако, задачи по динамике нитей весьма сложны в математическом отношении и эффективно могут быть решены только с использованием комбинации различных методов: аналитических, численных и экспериментальных.

Теоретические исследования задач о распространении упруго-пластических волн были начаты примерно в 40-х годах. Эти годы фактически явились периодом зарождения основ динамической теории пластичности. Основополагающие результаты в этой области принадлежат советскому ученому X.А.Рахматулину, который в работе Jeij впервые ввел понятие о волне разгрузки и решил обратным методом задачу о волне разгрузки. Позднее были опубликованы работы Т.Кармана и П.Дюве 28 , Д.Тейлора , X.А.Рахматулин,

Т.Карман и П.Дюве исследовали распространение упруго-пластических деформаций, используя координаты Лагранжа. Та же задача в

Эйлеровых координатах рассматривалась Д.Тейлором. Г.С.Шапиро разработал прямой метод определения волны разгрузки с использованием метода конечных разностей. Последующие исследования освещены в работах Х.А.Рахматулина |б1 -?о] , Г.С.Шапиро |б5 , 84-], М.Уайта и Л.Графиса j$8j , И.Крегса js?] , Е.Ли и C.Tannepa^j, Х.Рихтера jsb] и др.

Г.А.Домбровским и Г.В.Литвиновым JieJ получено общее решение уравнений, описывающих продольное движение стержней для некоторых видов аппроксимации зависимости напряжение-деформация,и изучены некоторые задачи, в частности, задача о многократном отражении. Ряд задач об отражении и преломлении упруго-пластических волн были рассмотрены в работах |22, 7()J . Одновременно проводились экспериментальные исследования для определения динамических свойств материалов, а также для подтверждения допущений и результатов теоретического анализа. Первым исследованием, где рассматривались упруго-пластические волны при сложном напряженном состоянии, была работа Х.А.Рахматулина В ней был проведен качественный анализ распространения упруго-пластической волны в условиях сложного нагружения. Рассмотрено распространение накладывающихся волн сжатия и сдвига.

На основе теории распространения упруго-пластических волн разработаны методы нахождения динамической зависимости "напряжение-деформация" и определены свойства ряда конструкционных материалов ,8,29,30,71,72J .

Несмотря на то, что упруго-пластическая модель во многих отношениях правильно отражает динамическое поведение ряда материалов, в последние десятилетия имеет место тенденция уточнения математического описания динамических свойств материалов. Явным

- б свидетельством ограниченности упруго-ррастической теории послужили опыты Б.М.Малышева |*44,4-5j и некоторые другие экспериментальные факты, в которых было обнаружено, что догрузочный импульс распространяется со скоростью упругих волн, а не со скоростью, определяемой динамической диаграммой.

В динамических задачах скорости деформации велики, и влияние их на кривую деформации может оказаться заметным. Исследование влияния скорости деформации и релаксационных свойств на продольные колебания стержня было проведено А.Ю.Йшлинским |2?J. Задача о распространении возмущений в полуограниченном стержне из материала Томпсона д£ решена М.Н.Зверевым J21j . Распространение возмущений в стержнях из материала Максвелла исследовано в работе [Wj. Для описания динамического поведения материалов за пределом текучести В.В.

Соколовским £77J была предложена модель - еоли 1Ф"в гдХи> tm< (7

Е еоли 1171- »о где X-SLcfin. (j } (Г0 - предел текучести, К - физическая постоянная. Им рассматривается полубесконечный стержень с переменным поперечным сечением. В числовом решении сделано следующее упрощение для функции, выражающей релаксационные свойства материала: tf(i<ri -ftj =!<П -/&/

В работе jye] В.В.Соколовский решает задачу распространения цилиндрических волн сдвига в бесконечном теле. В обоих случаях интегрирование уравнений осуществляется методом характеристик. Аналогичные исследования были проведены в 1951 году Л.Малверном , который первый обобщил физические зависимости следующим образом: где функция, определяемая с помощью статических характеристик для простого растяжения. Используя это соотношение, Л.Малверн решил методом характеристик задачу о распространении волн в полубесконечном брусе. В другой работе этого же автора £92J релаксационная функция ф разложена в ряд Маклорена. Из этого разложения можно получить линеаризованное физическое соотношение В.В.Соколовского. Следующей работой, содержащей определенные элементы новизны, явилось исследование Р.Рубина /Щ, который рассмотрел задачу о распространении продольных волн в предварительно напряженном до предела текучести стержне. В работе применено следующее физическое соотношение

Автор'рассмотрел граничную задачу для полубесконечного стержня. Методом преобразования Лапласа получены интегральные представления решений, исследованы асимптотические свойства решения. Е.Ли [эо] показал, что рассмотренный Р.Рубиным случай может быть обобщен на стержень без предварительного напряжения. Е.Ли записал физическую зависимость в следующем виде:

Пользуясь подстановкой

- * с *■ г Go г *= (г- (Го ; г = a он привел задачу к уравнению, исследованному Р.Рубином.

Л.В.Никитин |52J рассматривает распространение волн сдвига в круговом стержне за счет скручивающей импульсной нагрузки. Распространение волн сдвига в бесконечной пластине за счет поперечного удара вращающегося жесткого цилиндра исследовалось В.Н.Кукуджановым . Это исследование представляет собой обобщение работы А.М.КочетковаJ^eJ, который решил проблему упруго-вязко-плэстических волн в бесконечной пластине за счет удара вращающегося цилиндра. П.Пежина |93J изучил вопрос о распространении сферических и цилиндрических волн в бесконечном упруго-вязко-пластическом теле. Он рассматривает тело в рамках модели, полученной наложением модели Максвелла и вязко-пластической модели с параллельным соединением вязкости и пластичности. Физические зависимости для такой модели были предложены А.Фрейден-талем j^82j.

В обширном обзоре £[3j излагаются феноменологические представления о построении динамических зависимостей между напряжениями и деформациями, о роли функционалов, характеризующих историю деформирования, и так называемом коэффициенте динашческой чувствительности, характеризующем влияние скоростей деформаций на динамическое поведение материалов.

В статье |*85j дан единый подход к построению математических моделей, описывающих разрывные процессы. В padoTe^J описываются основные результаты последних теоретических и экспериментальных исследований в нелинейной вязко-упругоети, связанные с изучением процесса распространения волн. Дано унифицированное представление одномерных волн в нелинейных материалах с затухающей памятью, подчиняющееся функциональному соотношению rt

С - история деформаций. Детальный разбор ряда вопросов по динамике реологических сред можно найти в статьях и монографиях 25,34,37,71J .

В последние годы разрабатываются методы исследования распространения волн при общих определяющих соотношениях. В работах J43,8l] даны методы решения динамических задач линейной вязко-упругости.

Одним из проявлений временного фактора является запаздывание текучести. Это явление свойственно малоуглеродистым сталям, в которых при динамическом нагружении сверх предела текучести металл еще некоторое время остается упругим. Описанию явления, а также вопросу распространения волн в этих средах посвящены работы |40,60,79J .

В связи с исследованием упруго-пластических волн начались интенсивные исследования динамического поведения материалов. Значительно развилась техника эксперимента. Ударное нагружение образцов осуществляется на копрах с падающим грузом, на маятниковых и ротационных копрах, пневмо-газовыми и пороховыми пушками. Измерение механических параметров ведется механическими, фотографическими, оптическими и электрическими методами. Методы и результаты экспериментальных исследований широко освещены в литературе |l7,19,35,44,59J . В последнее время широкое распространение получил составной стержень Гопкинса. Однако при ско

Ъ -Т ростях деформаций порядка 10 сек х применение его в силу ряда факторов усложняется. Если экспериментэльноыу исследованию динамических свойств материалов на основе теории упруго-пластических волн посвящено большое число работ, то об исследованиях волновыми методами вязко-упругих свойств почти ничего неизвестно. Исследование вязко-упругих свойств материалов при высоких скоростях носит пока оценочный характер Jl3,76J .

В связи с тем, что подробное изложение этих и других вопросов с соответствующим анализом приводится в монографиях и обзорных статьях JlO,II,12,15,16,23,24,53,57,58,73,75 J , мы на них не будем останавливаться, а приведем лишь результаты некоторых важных исследований, опубликованных за последние годы и имеющих непосредственное отношение к теме диссертации.

Основы теории поперечного удара по гибким связям были заложены X.А.Рахматулиным. В работах |б8,69J он впервые поставил и решил задачу о поперечном ударе острым клином (точечный удар) по гибким нитям при упругих и упруго-пластических деформациях и этим положил начало теории поперечного удара по гибким деформируемым связям при больших отклонениях формы от первоначально-прямолинейной. Общая теория продольно-поперечного удара по гибким связям отлична от обычно принятой "линейной"постзновки с учетом значительного отклонения формы нити от первоначально прямолинейной, нелинейностью зависимости напряжения от деформации, а также спецификой граничных условий в области соприкосновения нити с ударяемым телом. Решение, найденное Х.А.Рахматули-ном в цитированной выше работе, показывает, что часть нити имеет прямолинейную форму и по ней распространяется волна Римана. Автор вводит схему движения с одним изломом и выводит условие на изломах, т.е. в точках перехода поперечного движения в продольное и определяет деформацию и все характерные параметры нити.

За последние годы большое внимание привлекали полные уравнения, которые описывают движение деформируемой нити при больших прогибах . Частично этот интерес обусловлен техническими приложениями физических явлений, описываемых этими уравнениями. Например, в работе 29 рассмотрена задача о поперечном ударе, имеющая точные решения типа простых волн, и показано, что эти уравнения обеспечивают фундаментальную теоретическую основу для проведения экспериментальных исследований поведения материалов при больших динамических деформациях и высоких скоростях деформирования.

В работе|20J рассмотрена задача о поперечном ударе по гибкой нити столь тупым клином, что его щеки оказывают влияние на характер движения нити. Особенность предложенной схемы решения поставленной задачи заключается в том, что вводятся сосредоточенные силы в точках излома; предполагается, что в области поперечных движений нить прилегает к щеке клина.

Автор работы вводит другую волновую схему движения при решении задачи об ударе тупым клином по гибкой нити, а именно, предполагается, что в области поперечных движений нить не прилегает к щеке клина, а отскакивает от него. Обнаруженное им явление изучено как теоретически, так и экспериментально.

В работе J55J изучено распространение слабых и сильных разрывов в нитях с использованием системы уравнений, раздельно характеризующей продольные и поперечные возмущения. Выявлены условия существования сильных разрывов. Установлено существование продольно-поперечных волн, которые могут быть и слабыми, и сильными. В работе J также исследуется распространение волн при ударе по гибкой нити. Обобщены решения задач об ударе по нити на случай произвольной зависимости Т(^). Показано, что типы волн и их положение в волновой схеме определяются натяжением и его первой и второй производными по деформации.

Авторы работы |ввJ несколько иными методами повторили исследование Х.А.Рахматулина [бё]» рассмотрев частный случай - нормальный удар по гибкой нити при линейной зависимости натяжения от деформации.

В работах ^б,54j исследовалась динамика пространственных форм гибких связей. Первыми были рассмотрены задачи об ударе гладким конусом по нити |*6j| и были решены автомодельные задачи. В работе ^54-J был найден класс частных решений уравнений движения нити на поверхности абсолютно гладкого конуса.

Исследованию динамических задач деформируемых твердых сред с помощью численных методов посвящено много работ ^26,33,56,73, 74,80 J .

В работе J рассматривается решение волновой задачи об определении усилий, возникающих в гибкой растяжимой нити бесконечной длины при поперечном ударе с переменной скоростью. Зависимость натяжения от деформации в общем случае предполагается нелинейной. В работе проведены расчеты двух вариантов для случая закона Гука.

В работе |*80J дано решение задачи об ударе по конечной нити с массами на концах. В статье предлагается численный метод для решения указанной задачи, отличный от метода характеристик. Задача приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое интегрируется методом Рунге-Кутта.

В работе J дается численное решение уравнений движения гибкой нити при многократных отражениях продольной волны от границ. Показывается, что для решения задачи очень эффективно могут быть применены однородные разностные схемы.

Работа J посвящена исследованию движения гибкой бесконечной нити, обладающей упруго-вязко-пластическими свойствами и подверженной поперечному нормальному удару с постоянной скоростью. При решении задачи используется численный метод характеристик, где закон деформирования принят в виде Мальверна-Соколов-ского.

Работа jVi-j посвящена изучению метода вычислительного эксперимента, как одного из основных математических средств исследования крупных научно-технических проблем, в частности, в области механики и ядерной физики.

В работе £14 J приводятся экспериментальные результаты исследований полимерных нитей. Для описания кривых деформирования капрона, винипласта была использована модель стандартного линейного тела:

0'+Td' = Ee+E1Ti где Т - время релаксации, £ - модуль длительного сопротивления, Ел- модуль мгновенной упругости. Показано, что при деформациях выше двух процентов эта модель оказалась мало пригодной для описания исследуемого процесса.

В работах ^3It3zj в основу исследований принят квазилинейный закон деформирования в виде который объединяет упруго-пластические и вязкие свойства материала. На основе этого закона деформирования разработаны два метода определения динамических характеристик, основанных на численном интегрировании уравнений движения с помощью ЭВМ и замерах натяжений в закрепленном конце образца при поперечном ударе.

Поперечный удар по нитям при различных случаях вязкого сопротивления растяжению исследован Д.Г.Агэларовым [i-^J. Изучено влияние временных факторов на движение нити и дано объяснение экспериментально наблюдаемым явлениям. В работах fl-3, 7,8] автором решены ряд задач об ударе по вязко-нелинейно-упругим стержням. В основу исследований положено определяющее уравнение состояния, обладающее одновременно нелинейной-упругими и вязкими свойствами. ф/f) (I) dt Е(Ю dt J К ) отличающееся от модели В.В.Соколовского ^7?J переменностью модуля упругости. В работе [s] дана методика определения вязко-упругих характеристик материалов, подчиняющихся закону деформирования (I).

Задача о распространении и отражении волн в неупругих нитях при зависимости (I) численным методом характеристик исследована в работе |26J .

Однако вышеприведенные исследования в этой области показали, что полученные результаты совпадают в начальном этапе нагру-жения. Вместе с тем обнаруживаются некоторые несовпадения наибольших значений кривых. Отличие кривых вызвано реологическими эффектами высших порядков, не охваченных уравнением состояния (I). В случае, когда экспериментально полученные кривые зависимости 6 - t для различных скоростей удара расходятся веерообразно, модель типа (I) не подходит .

В настоящее время большое внимание уделяется адекватным моделям. Однако при высоких скоростях деформирования некоторые явления оказываются вне поле зрения теории. В частности, размывание слабых разрывов при распространении волн не охватывается теорией, базирующейся на квазилинейном соотношении с производными напряжения и деформации первого порядка.

В работе |82j отмечено, что наиболее общее соотношение между напряжениями и деформациями должно иметь следующий вид:

2)

Соотношения вида (2), включающие производные выше второго порядка, имеют небольшую практическую ценность, поскольку использование их требует задания большего числа начальных условий, чем число условий, которое обычно можно установить на основе физических соображений.

В предлагаемой работе исследуются распространение и отражение неупругих волн при законе деформирования, содержащем вторые производные параметров состояния

3) где: - деформация, (7 - напряжение, { - время,

У) " реологические функции, определяемые экспериментально.

Изучается влияние реологических эффектов высших порядков на процесс распространения и отражения волн в стержнях.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

Во введении приводится краткий обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации.

В § I первой главы вводится понятие о квазилинейной модели, содержащей вторые производные параметров состояния. В §§ 2,3 формулируется постановка автомодельной задачи и строится решение в окрестности фронта волны.

В § I второй главы уравнение о распространении продольных волн сводится к квазилинейному гиперболическому уравнению второго порядка. Приводятся уравнения характеристик и условия на них. В § 2 той же главы методом характеристик исследуется распространение волн в гибких связях при ударе.

Третья глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена численному решению задачи о распространении продольных волн в стержнях при заданных начальных и граничных условиях. Разрабатываются алгоритмы расчета распространения и отражения волн. Дан соответствующий анализ полученным численным результатам.

Четвертая глава состоит из четырех параграфов. В § I формулируется постановка эксперимента и приводятся формулы для определения скорости удара. В § £ исследуются динамические характеристики ряда материалов по отраженным ит закрепленных концов волнам. § 3 посвящен построению фазовых и предельных диаграмм напряжения - деформации.

В работе результаты исследований представлены в виде таблицы и графиков.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Решены новые задачи о распространении и отражении волн в стержнях. В основу исследований положена квазилинейная модель среды, содержащая вторые производные параметров состояния.

2. Рассмотрена задача об ударе по полубесконечному стержню. Исследована асимптотика в окрестности точки удара и методом конечных разностей построено решение в окрестности фронта волны.

3. Методом характеристик исследовано распространение волн в гибких связях при ударе. Показано, что в отличие от известных нелинейных задач об ударе характеристики не совпадают с линиями постоянного параметра.

Задача о распространении продольных волн в стержнях сводится к краевой задаче для квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка, которое решается численным методом характеристик.

5. Разработан алгоритм расчета распространения и отражения волн. Показано, что волна по мере распространения в поли-внилхлоридной нити конечной длины размывается и затухает. Кривая "напряжение-время" плавно переходит из области нарастания в так называемую область постоянного параметра.

6. Даны соотношения для прямого определения экспериментальных функций, входящих в квазилинейную модель. Получен вид реологической функции для поливнилхлоридной нити.

7. Экспериментально изучено распространение и отражений волн, регистрируемых из разноудаленных концов в различных нитях конечной длины. Дано объяснение экспериментально наблюдаемым явлениям.

8. На основе полученной осциллограммы отоженной меди установлено: а) впереди идет упругий фронт со скоростью 4000 м/сек; б) на первой осциллограмме пластическая волна менее обозначена, чем на второй; в) качественно это отвечает модели В.В.Соколовского.

9. Построена динамическая предельная диаграмма напряжения-деформации и фазовые диаграммы по показанию датчиков, установленных на разноудаленных концах. Показано, что отношение значений напряжения на динамической диаграмме к значениям напряжений на статической меняется в пределах 5-10 раз.

10. Квазилинейное второго порядка дифференциальное уравнение состояния может быть использовано для описания динамических свойств широкого класса синтетических материалов.

1. АГАЛАРОВ Д.Г. Распространение вязко-нелинейно-упругих волн в стержнях. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-матем. и техн.наук,1963, № б.

2. АГАЛАРОВ Д.Г. О распространении и отражении вязко-нелинейно-упругих волн. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-матем. и техн.наук,1964, № 5.

3. АГАЛАРОВ Д.Г. Решение задачи о распространении волн нагруже-ния при квазилинейном уравнении состояния. Тезисы Ш Всесоюзн. симпоз. по распростр. упругих и упруго-пластических волн. Ташкент, 1966.

4. АГАЛАРОВ Д.Г. Поперечный удар по гибким деформируемым связям при наличии вязкости. Труды У Всесоюзн.симпоз. Алма-Ата, 1971.

5. АГАЛАРОВ Д.Г. Исследование поперечного удара по нити, обладающей вязкостью. Сб. мех.деформ.тв.тела, Баку, Элм, 1975.

6. АГАЛАРОВ Д.Г., РАХМАТУЛИН Х.А., НУРИЕВ Б.Р. Удар конусом по нити с большими скоростями. Сборник "Распространение упругих и упруго-пластических волн" (Матер. У1 Всесоюзн. симпозиума), Фрунзе, 1978.

7. АГАЛАРОВ Д.Г. Экспериментальное исследование поведения гибких связей при ударе. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1978, № 3.

8. АГАЛАРОВ Д.Г., РАХМАТУЛИН Х.А. Об исследовании вязко-упругих свойств материалов методом поперечного удара. Изв.АН СССР,1. МТТ, 1978, № 6.

9. АГАЛАРОВ Д.Г., МАМЕДОВ Ш.А. Об одной теории распространения волн в вязко-нелинейно-упругих стержнях. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и мэтем.нэук, 1984, № 2.

10. AMEНЗАДЕ Ю.А. Теория упругости. Москва, Высшая школа, 1976.

11. БЕКТУРСУНОВ У., ТАКАБАЕВ М.К. К теории удара по гибким связям. Всесоюзн.конф. по мех. сплошных сред. Аннотации докладов, Ташкент, 1979.

12. БЛЕНД Д. Теория линейной вязко-упругоети. Изд. ИЛ, 1965.

13. ВАСИН Р.А., ЛЕНСКИЙ B.C., ЛЕНСКИЙ Э.В. Динамические зависимости между напряжениями и деформациями. Сб. "Проблемы динамики упруго-пластических сред. М., Мир, 1975.

14. ВИКТОРОВ В.В., ДОБРОВОЛЬСКИЙ И.П., ШАПИРО Г.С. Исследование динамических свойств некоторых полимерных материалов при нагружении и разгрузке. Механика полимеров, 1967, № I.

15. ГОПКИНС Г. Динамические неупругие деформации металлов. ИЛ, 1964.

16. ДАВИДЕНКОВ Н.Н. Динамические испытания металлов. М., 1936.

17. ДЕЙВИС К.М. Волны напряжений в твердых телах. ИЛ, 1961.

18. ДОМЕРОВСКИЙ Г.А., ЛИТВИНОВ Г.В. Метод приближенного интегрирования уравнений одномерного и неустановившегося движения сплошной среды. Матер. Всесоюзн. симпоз. по распространению упруго-пластических волн в сплошных средах. Баку, 1966.

19. ДОМБРОВСКИЙ Г.А., ЛИТВИНОВ Г.В., МАЛЫШЕВ Б.М. Продольный растягивающий удар по натянутой проволоке. Инж.журн., МТТ, 1968, № 2.

20. ЗВЕРЕВ И.Н. Некоторые задачи о распространении волн при ударе. Диссертация, МГУ, НИИмех., 1949.

21. ЗВЕРЕВ И.Н. Распространение возмущений в вязко-упругом и вязко-пластическом стержне. ПММ, 1950, т.14, № 3.

22. ЗВОЛИНСКИЙ Н.В., РЫКОВ Г.В. Отражение пластической волны от преграды. ПММ, 1963, т.27, te I.

23. ЗВОЛИНСКИЙ Н.В., МАЛЫШЕВ Б.М., ШАПИРО Г.С. Динамика пластических сред. Труды П Всесоюзн.съезда по механике, вып.З, 1966.

24. ИЛЬЮШИН А.А. Пластичность. М., 1948.

25. ИОНОВ В.Н., ОГИБАЛОВ П.М. Напряжения в телах при импульсивном нагружении. М., Высшая школа, 1975.

26. ИСМАИЛОВ В.И. Исследование распространения и отражения волн в неупругих нитях с приложением к определению динамических свойств материалов. Канд.дисс., АГУ, 1982.

27. ИШЛИНСКИЙ А.Ю. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации. ПММ, 1940, т.4, № I.

28. КАРМАН Т., ДЮВЕ П. Распространение пластических деформаций в телах. Сб.переводов иностр.лит-ры. Механика, 195I, 2.

29. КЕРИМОВ К.А. Методика определения ударной диаграммы растяжений. Изв^АН Азерб.ССР, сер.физ-матем. и техн.наук, I960, № 3.

30. КЕРИМОВ К.А. Докл.АН СССР, 5965, т.164, № I.

31. КЕРИМОВ К.А., АГАЛАРОВ Д.Г. Исследование динамических свойств и законов деформирования полимерных материалов. Тезисы Всесоюзн. симпозиума по распростр.упругих и упруго-пластич. волн. Кишинев, 1968.

32. КЕРИМОВ К.А., МАРДУХАЕВ И.Р. Исследование механических свойств полимерных материалов с учетом влияния скорости деформации и релаксации. Сб. механика деформируемых тел. Баку, 1970.

33. КЕРИМОВ К.А., МАМЕДОВ Г.А. Распространение упруго-вязко-пластических волн в нити при поперечном ударе. Сб. Распространение упругих и упруго-пластических волн. (Матер. У Всесоюзн.симпоз.). Алма-Ата, 1973.

34. КОКОШВИЛИ С.М. Методы динамических испытаний жестких полимерных материалов. Рига "Знатне", 1978.

35. КОЛЬСКИЙ Г. Волны напряжений в твердых телах, ffilv 1955.

36. КОЧЕТКОВ A.M. О распространении упруго-вязко-плэстических волн в пластинке. ПММ, 1950, т.14, № 2.

37. КУКУДЕАНОВ В.Н. Одномерные задачи распространения волн напряжений в стержнях. Сообщения по прикладной механике. Вып.7, АН GCCP, ВЦ, 1977.

38. КУКУДКАНОВ В.Н. Поперечный удар по пластинке вращающимся цилиндром. Труды МФТИ, 1958, № 2.

39. КЭМБЕЛ Дж. Эксперименты при высоких скоростях деформаций. Механика, Сб.перев., 1966, № 5.

40. ЛЕНСКИЙ B.C., ФОМИНА Л.Н. Распространение одномерных волн в материалах с запаздывающей текучестью. Изв.АН СССР, МТТ,1959, № 3.

41. ЛЕНСКИЙ Э.В. Удар клином по упругой нити. Изв.АН СССР, МТТ, 1968, № 2.

42. ЛИ Ш. О конечных динамических прогибах упругих стержней. Прикладная механика, 1971, Изд-во"Мир", № 4.

43. МАКСУДОВ Ф.Г., ИЛЬЯСОВ М.Х. Об одном методе решения динамических задач линейной вязкоупругости с регулярными наследственными ядрами. ДАН СССР, 1981, т.260, № 6.

44. МАЛЫШЕВ Б.М. Распространение догрузочных импульсов по натянутой проволоке. Изв.АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение,1960, № 2.

45. МАЛЫШЕВ Б.М. Экспериментальное исследование распространения упруго-пластических волн. ПМТФ, 1961, № 2.

46. МАМЕДОВ Ш.А. К теории неупругих волн в стержнях. Матер. Ш республ.конф. молодых ученых по мэтем. и мех., Баку, изд-во "Элм", 1981.

47. МАМЕДОВ Ш.А., ИСМАИЛОВ В.И., ПАНАХОВ Ф.С. Экспериментальное исследование динамических законов деформирования полимерных нитей. ВИНИТИ, деп. от 2,7.1982. № 3781-82.

48. МАМЕДОВ Ш.А. Экспериментальное исследование поведения гибких связей при поперечном ударе. Тезисы докл. 2-ой научнопрактической конф.мол.ученых по пробл.социэльно-экономич. развития г.Баку в XI пятилетке и в перспективе. Баку, 1983.

49. МАМЕДОВ Ш.А. О распространении вязко-нелинейно-упругих волн в стержнях. Матер. Республ.конф.мол.ученых по матем. и мех., посвящ. 60-летию образов.СССР, Баку, Изд-во "Элм", 1983.

50. МАМЕДОВ Ш.А., БАГИРОВ А.А. К методу динамического испытания материалов. Матер. 1У республ.конф.мол.ученых по матем. и мех., посвященной 60-летию образования СССР, Баку, Изд-во "Элм", 1983.

51. МАМЕДОВ Ш.А. Динамическая теория поливнилхлоридной нити. Матер. У республ.конф.мол.ученых по матем. и мех., посвященной 25-летию образования ИММ АН Азерб.ССР, Баку, Изд-во "Элм", 1984.

52. НИКИТИН Л.В. Упруго-вязко-пластические волны сдвига в круглом стержне. Тр.МФТИ, 1958, № 2.

53. НИКИТИН Л.В., ТОКБЕРГЕНОВ Д.Б. Сжимающий и растягивающий удары по конечному стержню. В сб. "Механика горных сред", Наука, Алма-Ата, 1975.

54. НУРИЕВ Б.Р. Косой удар конусом по упругой и упруго-пластической нити. Деп.ВИНИТИ от I4.If.I975, № 2968-75.

55. ПАВЛЕНКО А.Л. О распространении разрывов в гибкой нити. Изв.АН СССР, ОТН, Мех. и мат., 1959, № 4.

56. ПАВЛЕНКО А.Л., ПАВЛОВ Б.М., РОСЛЯКОВ Г.С. Распространение нелинейных возмущений в гибких пластинах и нитях. Матер. Всесоюзн.симпоз. по распространению упруго-пластическихволн в сплошных средах. Баку, 1966.

57. РАБОТНОВ Ю.Н. Модель упруго-пластической среды с запаздыванием текучести. ПМТФ, 1968.

58. РАБОТНОВ Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Москва, Наука, 1978.

59. РАЙНХАРТ Дж., ПИРСОН Дж. Поведение металлов при импульсивных нагрузках. ИЛ, 1961.

60. РАХМАНОВ П.А. О распространении упруго-пластических волн сдвига с запаздывающей текучестью. Сб. Механика деформируемых твердых тел. вып.З, Баку, 1977.

61. РАХМАТУЛИН Х.А. О распространении волны разгрузки. ПММ, 1945, т.9, fe I.

62. РАХМАТУЛИН Х.А. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения. ПММ, 1945, т.9, № 6.

63. РАХМАТУЛИН Х.А. О распространении волны нагрузки вдоль стержня переменного предела упругости (задача о накоплении остаточных деформаций). ПММ, 1946, т.10, № 3.

64. РАХМАТУЛИН Х.А. О распространении цилиндрических волн при пластических деформациях скручивающий удар. ПММ, 1948, т.42, № I.

65. РАХМАТУЛИН Х.А., ШАПИРО Г.С. О распространении плоских упруго-пластических волн. ПММ, 1948, т.12, № 4.

66. РАХМАТУЛИН Х.А. Исследование законов распространения плоских упруго-пластических волн в среде с переменным пределом упругости. ПММ, 1950, т.14, № I.

67. РАХМАТУЛИН Х.А. О распространении косых волн в упругой среде при нелинейной зависимости напряжения от деформации. Ученые записки МГУ, 1951, вып.152, № 3.

68. РАХМАТУЛИН Х.А. Поперечный удар по гибкой нити с переменной скоростью. Ученые записки МГУ, 1951, й.4.

69. РАХМАТУЛИН Х.А. Поперечный удар по гибкой нити телом заданной формы. ПММ, 1952, т.16, вып.I.

70. РАХМАТУЛИН Х.А. О распространении упруго-пластических волн при сложном нагружении. ПММ, 1958, т.22, № 6.

71. РАХМАТУЛИН Х.А., ДЕМЬЯНОВ Ю.А. Прочность при кратковременных интенсивных нагрузках. Физмэтгиз, 1961.

72. РАХМАТУЛИН Х.А., КЕРИМОВ К.А. Методика исследования законов динамического сопротивления материалов. Матер.всесоюзн. симпозиума по распространению упруго-пластических волн в сплошных средах. Баку, 1966.

73. РАХМАТУЛИН Х.А., ОСОКИН А.Е. О поперечном ударе по вязко-упругой гибкой нити. Вестник МГУ, мэтем. и мех., 1977, № 4.

74. САМАРСКИЙ А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1979, № 5.

75. СЕДОВ Л.И. Механика сплошной среды. Москва, Наука, 1979.

76. СВИФТ Р.П., ФАЙФ И.М. Исследование теории упруго-вязко-пластичновши на примере цилиндрических радиальных волн напряжений. Прикладная механика, Мир, 1970, № 4.

77. СОКОЛОВСКИЙ В.В. Распространение упруго-вязко-пластических волн в стержнях. ПММ, 1948, т.12, № 3.

78. СОКОЛОВСКИЙ В.В. Распространение цилиндрических волн сдвига в упруго-вязко-пластической среде. ДАН СССР, ОТН, 1948,т.60, № 8.

79. СУВОРОВА Ю.В. Распространение упруго-пластических волн в стержнях с учетом запаздывания текучести. МТТ, 1970, № 2.

80. ТЕЙМУРОВ Ф.Д. О решении задачи поперечного удара по гибкой связи на ЭЦВМ. Матер, всесоюзн. симпозиума по распространению упруго-пластических волн в сплошных средах. Баку, 1966.

81. ФИЛИППОВ И.Г. Динамические задачи линейной теории вязко-упругости. Всесоюзная конф. по механике сплошных сред. Аннотации докладов, Ташкент, 1979.

82. ФРЕЙДЕНТАЛЬ А., ГЕЙРИНГЕР X. Математические теории неупругой сплошной среды. Физматгиз, 1962.

83. ШАПИРО Г.С. Продольные колебания стержней. ПММ, 1946, т.10, III 5-6.

84. ШАПИРО Г.С. О распространении волн в вязко-упруго-пластических средах. Матер.Всесоюзн.симпозиума по распространению упруго-пластических волн в сплошных средах. Баку, 1966.

85. ЭНГЕЛЬБРЕХТ Ю.К. Теория одномерных волн в нелинейных дисси-пативных средах. Механика полимеров, 1976, № I.86. СоЕе £-3- а/гг/