Исследование вопросов единственности и устойчивости обратных задач для уравнения Гельмгольца в дискретной постановке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБЛфД

с/и

2 ¿да

На правах рукописи

Сабитова Гульнара Сагындыковиа

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСОВ ЕДИНСТВЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ "^РАВНЕНИЯ ГБЛЬМГОЛЬЦА В ДИСКРЕТНОЙ ПОСТАНОВКЕ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание -гчёной степени кандидата фнзико-матеыатическнх наук

Новосибирск - 1и5

Глбота выполнена в Новосибирской государственном университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

профессор Бухгейм А. Л.

доктор физико-математических наук,

профессор Яхно В. Г.

кандидат физико-математических наук,

доцент Кардаков В. Б.

Вычислительный центр СО РАН

Защита состоите" *"16 " МЯ Я 1995г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 063.98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, 90, ул. Гчрогова, 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан ЧН_М ЭШР&ЛЯ 1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета

/

Шелухлн В. В.

1.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для многих стационарных волновых процессов достаточно адекватной математической моделью являются задачи для уравнения Гельмгольда. Например, задача об определении свойств и местоположения локализованного источника звукового сигнала о океане, задача об определении показателя преломления в горизонтально стратифицированном океане по звуковому полю точечного источника, находящееся в дальней зоне. Важный для теории и приложений класс задач - это обратные задачи для уравнения Гельмгольда в дискретной постановке. В одних обратлых задачах требуется восстановить правую часть уравнения Гельмгольда по амплитудно-фазовой информации о его решении, заданной в конечном числе точек, в других - коэффициет уравнения. В таких обратных задачах по звуковому пошо, заданному в какой-нибудь области волновода, заполненного слолсто-неоднородпой средой, необходимо найти поле во всём волноводе и полупить информацию как об источнике звука, так и о физических характеристиках среды.

Актуальность исследования обратных задач для уравнения Гельм-гольца в дискретной постановке обусловлена необходимостью разработки теоретических и алгоритмических подходов к изучению акустических полей в океане, которые несут информацию о само!., источнике звуга, о подводном звуковом канале, о зонах повышенной сейсмической активности дна, например, при локализации очагов землетрясения, о зонах повышенного теплообмена с атмосферой.

Цель работы. Целыо данной работы является исследование вопросов единственности и устойчивости ряда обратных задач для уравнения Гельмгольца в дискретной постановке.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Получены оценки устойчивости метода Прони, применяемого для решения нелинейной системы уравнений "чециального вида в случаях комплексных, вещественных и чисто мнимых параметров системы.

2. Исследованы вопросы устойчивости восстановления показа' чля преломления в -лоисто-неоднородной среде по заданному полю точечного источника.

3. Исследованы обратные задачи разрешения дискретных сигналов и получены достаточные условия единственности и устойчивости решение таких задач для разли шых типов криволинейных антенн.

Все результаты являются новыми.

Методика исследования. Оценки устойчивости метода Прони получаются с использованием оценок для нормы обратной матрицы Вандермонда, полученными В. Гаутши и частично полученными в диссертации.

Исследование вопросов устойчивости восстанови' шя показателя преломления в слоисто-неоднородной среде по заданному полю точечного источника, проводится с помощью идей и методов, разработанных Л. М. Брсховских, Ю. П. Лысановым и метода операторов преобразования для рсшепн- обратной спектральной задачи, порученного Б, М. Левитаном.

Исследование обратных задач разрешения сигналов для непрерывных и дискретных антенн проводится с привлечением интерполирующих операторов, построенных с помощью полиномов Чебышева. Достаточные условии единственности и устойчивости решения в случае цилиндрической и сферической антенн получаются в терминах функций Бесселя первого рода.

Практическая и теоретическая ценность. В теоретическом отношении представленные в работе результаты развивают теорию обратных задач для уравнения Гельмгольца в дискретной постановке. Практическая ценность обусловлена применением полученных результатов для нахождения численных решений ряда задач геофизики, акустики океана.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории обратных задач в Институте математики Киргизской Академии наук пси руководством акад. Т. И. Иманалиева; на семинаре лаборатории по численным методам решения обратных задач в Институте математики СО РАН под руководством проф. А. Л. Вухгснма; на семинаре кафедры математических методов геофизики п Новосибирском государственном университете под руковог"твом проф. А. Л. Бухгейма; на семинаре отдела условно-корректных задач в Институте математики СО РАН под руководством акад. М. М.

Лаврентьева; на семинаре кафедры естественнонаучных дисциплин п Новосибирском зысшем общевойсковом командном училище под руководством проф. Е. И. Аверкова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовали в работах [1-4].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 32 наименования. Материал диссертации изложен на 85 страницах.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение. Во введении обосновывается актуальность темы, новизна, излагается краткая история вопроса и формулируются основные результаты диссертации.

Глава 1. В пеА вой главе рассматривается метод Прони для нахождения 2// параметрсз I = 1, /V, входящих в определение функции

"М = £ А1 •е6г. г € [0, со) "!)

по известным значениям фут -ции «(г) в равноудаленных точках

и(кЯ)=ик, А= 0,2#- 1, Де(0,оо)

Согласно данному методу по функции «(г) выбираются дискретны.. данных щ и вводятся величины г/ как г; = / = 1, N. Тогда система уравнений для нахождения {Л/,.,} принимает вид

Щ = к — — 1,

Определив через 2; ещё N величин {ар} ,р = 0,^-1 формулой

= П(*-ч), «» = 1, (2)

р-0 1-1

можно получить систему для нахождения {а,} :

N-1 _

£ щ+рар = -щ+ы, к = 0, N — 1

о

или в матричном виде :

их = ^ (3)

гд и - ганкелева матрица, X и Г - векторы.

Легко убедиться в справедливости формулы V — У^АУ^, где V/; — (г*-1) у ),к — 1, N - матрица Вандермонда; А — (¿¿сз[Ль..., Л«] -диагональная матрица, У^ - сопряжённая к Ун матрица.

В работе всюду, где не оговорено противное, под нормами вектора и матрицы понимаются следующие :

= = * = (*«.....«!/);

т^ЕМ. в = (V)

В §1 приведены необходимые ледения из теории матрицы Ваидермоида, доказали предварительные леммы, а также получены оценки нормы Ц^Ц обратной матрицы Валдермонда через оценки норм интерполирующих многочленов Лаграюка 1„(х),1> — 1,..., N.

В §2 получены оценки устойчивости метода Пропп в общем случае комшк .сных параметров {Л;,^}, I = 1,//, входящих в систему (1).

В §3 рассматривается случай вещественных параметров {Л|, £;} в системе Прони. Здесь также приводятся оценки устойчивост .

В §4 выделен чисто мнимый случай системы Прони, что вызвано необходимостью его дальнейшего применения при решении обратной спектральной задачи.

Результаты данного параграфа относятся к случаю, когда система Прони имеет вид :

= г 6 [0,оо), (4)

Ы1

Требуется получить оценки устойчивости восстановления {Л/, С/}. / = 1, А', по известному набору 2И дискретных данных щ, к = 0,2^-1 в случае, когда (¡, I = - Естественные числа.

Вводится векторы :

- , - (4й....,4?). } - 1,2

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение :

Теорема 1. Пусть имеем представление (4) для и^'(г), ] — 1,2; {№#>} , 1 — 1,14 - набор чисел, удовлетворяющий условиям : (¡^ -вещественны, ¡¿М - > /3 > 0, (,и> 6 (-§, §); |л,0)| > Мо > 0, р ^

к; 1,р,к = 1^77; а и^ таковы, что < М2, к = 0,2Л/ -Т; у « 1,2. Пусть также

шах «1?' — иГ' < е < £о. где £0 = 1/Л • П, П =" N1 ■ 1

N (Щ2 I ехрг^ + ЯЬу^), N =2п

' Ь2/ ' [ |е*у2(^+Л/1пр7£159 + Мп^),ЛГ«2п + 1

Тогда где

ш = 4С2 - -7»+ ,

(ЛГ9/2 Л,'13/2 \

-74+—3-76Л^ +У,

Но Н )

2?.ехр (УУ + ^Ь^), N = 24

ТУ = 2п +1

Доказательство теоремы осуществляется в три этапа. На первом этапе получатся оценка нормы обратной матрицы , ] — 1,2 в

уравнении (Ь/. При это! используется оценк 11"->мы ЦУ^-1!! обратной

7 =

матрицы Вандермонда, полученная в §1. На втором этапе получается оценка непрерывной зависимости коэффициентов двух многочленов (2) от к = 0,2Л^ — 1; j = 1,2. Путём обращения экспоненты в представлении г^ = ехр I = 1, Л'; ] — 1,2 получается оценка

из первой части утверждения теоремы.

Последний этап - получение оценки для коэффициентов /¡р уравнений вида (4) путём обращения матриц Вандермонда, составленных из различных чисел I — 1, ^ = 1,2.

Глава 2. Во второй главе исследуется следующая задача : пусть есть горизонтально стратифицированный океан с показателем преломления п(г) = Со/с(г) (со-скоростьна произвольном горизонте) (0 < г < Я), непрерывным вместе со своей первой производной. Звуковое поле Р = Р(г, г) точе-.ного источника, расположенного в точке г = 0, г = го, и имеющего особенность вида Р = 1/Я, Я = [г3 + (г — го)2]1/2 при Я О, описывается уравнением Гельмгтчьца:

с граничными условиями

дР

Р{г, 0) - 0, ~(г, Н) + НР(г, Н) = 0, (б)

где к(г) = ко • п(г), ко - частота источника, 6(г) - дельтагфункция, а 5(г) равна нулю всюду, кроме г = 0 и обладает свойством

2ж • /¿(г)/(г)гЖ- = /(0),

о

где /(г) - любая непрерывная в нуле функция.

Требуется получить оценки устойчивости определения показателя преломления п(г), зависящего только от глубины х по звуковому полю, зарегистрированному в серии точек.

Известно, что для решения задачи (5)-(6) справедливо представление в виде суммы нормальных волн :

где Я^(Ог) - функция Ханкеля первого рода нулевого порядка; = " собственная функция, а С* - собственное значение краевой задачи вида

0+ (*'-«(»))* «О, 2 € [О, Я]. (8)

Г4Ф

где

= -«'(*)), (Ю)

Л? = Ь?п2Ы-<?, / = 1727 (И)

число п(г0) считается известным, Л - вещественное число.

Путём замены функции Ханкеля на больших по сравнению с длиной волны расстояниях от источника её асимптотическим представлением и заданием шля Р(г,г) в конечном числе точек г = г<>, г е [г0,оо), г0 - достаточно большое число, в предположении, что точка гц выбрана так, что Ф;(.г0) ^ 0, 1 — 1,77 и что функции Ф|(г) нормированы условием Ф;(го) — 1» получается нелинейная система вида (4), в которой параметры Л; = ^—, I — 1, /V. Используя метод Прони, по из-

11*11113(0, ГТ)

вестной функции и (г) = х'(г>го) можно получить оценки устойчивости соответствующих ей 0,Аг, I = 1,//, а тем самый оценить величины

(а«)2 - (аР>)2| и ¡И1*!!^,, - И4!!^, i - ОТ Если теперь в качестве исходной информации использовать близость собственных чисел 1/р' = (а?>) двух краевых задач (8)-(9) я нормировочных множителей с*Р = , I = 1,] = 1,2, задающих вместе спектральную функцию, то задача сводится к получению о-чнок устойчивости обратной спектральной задачи об отыскании коэффициента q дифференциалы/ого уравнения (8) при граничных условиях (9) и заданной спектральной функции. Такая редукция проводится в §1.

В §2 исследуется обратная спектральная задача. Положим Я = п. Пусть имеются два оператора Штурма-Лиувилля Ь^}^ — и з)(А, спектр;1лыше характеристики которых ^, ^

, в некотором смысле близки. Требуется оценить ве-

личину (¡дМ — если априори предполагается, что дМ 6 М =

е ^(О.тг)/^1)^. < М), д'2' £ М. Получена оценка устойчивости восстановления оператора Штурма-Лиувилля по его спектральной функции распределения. Кроме того изучены свойства спектральных характеристик оператора в том случае, когда коэффициент д(х) ограничен.

Лемма 1. Пусть д е М и {1-п}, {<*л}| п - 0,..., оо — собственные числа и нормировочные множители задачи (8)-(9). Тогда существуют положительны~ постоянные >0, С\ > 0, Сз > 0, зависящие только от М, Л ргакие, что для п > N1 верны оценки

\фГп- (п +1/2)| <

С1

)»+ 1/2*

ап-

2(п +1/2)*

п*

В §3 получена оценка устойчивости восстановления показателя преломления г»(г). Основным результатом является следующее утверждение :

Теорема 2. Пусть

1) известно представление (7) для поля Р^{гуг) при г = и г €

и) {/1Р'),СР} - набор чисел, удовлетворяющий условиям теоремы 1, кроме того ^ 0, / = 1, Л/,

Ш) Р[Л таковы, что |рР| < М, к = 0,2М - 1; ; = 1,2и шах — Р^Ч <е <£в, где ео из теоремы 1:

Ни) д^ и дМ принадлежат М. и {ип}, {а„}, п — 0,...,оо- собственные числа и нормировочные множители задачи (8)-(9).

Если для I < N. N > N1 (здесь N1 > 0 из леммы 1) существуют чь. .а

о(1)+с/2)

. С) = ш • е ■ тах ккл

с2

с2

< ео.

/'о

С1

■е+ —-и ; + ' 2цо 2ро

Г

N -ы -е < е0,

где С; = 1 / пмп \[<Р / кклг V4'

7 = 1,2; ш, - из шеорежы /, такие

1 N14;»

что

" «{2)| <

то справедлива оценка

где Н.1 — 2и ■ тах |с,(1) + с/2,( / • |»(1) + , Я» = С/Ц,

ез — тах + Сзе^, константы С, С^, С2, С3 зависят

только от М,к.

Доказательство теоремы осущесттяется с помощью оценок, полученных в теореме 1, с использованием представления (10) и оценки нормы - полученной в §2.

Глава 3. В главе 3 д- сертации исследуются обратные задачи разрешения сигналов для различного типа антенн. Задачи разрешения "непрерывного" сигнала м е Я3, = 1, находящегося в дальней зоне, сводятся, как известно, к решению следующего интегрального уравнения первого рода

(Л«)(*) = I е-,'1<^>ц(и)|Ь, геГсД3. (12)

Н-1

Множество Г задает форму используемой антенны, которая может быть как непрерывной, так и дискретной. Величина и(и>) есть "часть сигнала", приходящая в направлении и, к = 2тг/Л - частота, А-длина волны, «¿о-евклидон элемент поверхности единичной сферы в Я3. В случае, когда сигнал и (и) имеет дискретный характер:

п

« = Е - щ),

3-1

где 5 - функция Дирака на сфере |ш| = 1, интегральное уравнение (12) примет ид:

{Ли) (2) = £ = ф), (13)

3—1

где

в общем случае комплексный вектор из пространства Сп. При переходе от (12) к (13) задача становится существенно нелинейной, ибо теперь тр-буется по функции V найти числа и^ и з = 1,2,...,п. Задача осложняется ещё и тем, что на практике вместо функции известна её конечномерная проекция Р^и:

PNv =

«1

\ «W

Ч; = »(*>). j = 1.....N,

где Zj - узлы используемой дискретной алтейной решетки Гц = P/v/1. При этом сразу возникает следующий принципиальный вопрос: как должны быть связаны числа Nun для того, чтобы гарантировать единственность решения уравнения

Pf/Au = PNv, и € С".

(14)

Ответ на этот вопрос дается в §1 I лавы 3, в котором приводятся достаточные условия единственности и устойчивости.

Пусть задан линейный оператор А : С" -v X, где Л - некоторое нормированное пространство, причём известно, что

1М1<«*.-1И«И *«ес\ (15)

Плоский аналог уравнения (12) в полярных координатах имеет вид:

г

(Ли) (Л) = I а{\,а)и(а)(кх, Ле (—тг,?.),

—т

где функция а(А,а) определяется геометрией антенны, а также видом сигнала (плоская волна, сферическая и т л.). Например, в случае плоских волн для . рямопинейной антенны

а(А,а) = с >(»А а),

и

и для цилиндрической антенны

а(А,а) = exp{ikr • соз(Л — о)} = о(Л — а),

где г - радиус антенны, а - угод на источник, X - угол на приёмник, расположенный на окружности радиуса г, к - частот-. Для вектора и положим :

||u|| «mjucltijl, (Л)|| ^^т^КЛ«) (А)|

Здесь предполагается, что

«(а) — £ ujS(a - Qjj, где ¿-функция Дирака.

Считая, что функция а(А,») анал. тична по А в круге |А| < 3р, введём следующие обозначения :

М - sup |(Л«> (А)|, ||и|| = 1; С = sup |(Аи) (А)|, ||ы|| = 1 |А|<3/> ЦК,

В §2 главы 3 показывается, что для цилиндрической антенны условие (15) выполняется при N — С - г», где число С не зависит от п.

Пусть Jm(z) = — ~ •} е,гсо" созntdt - функция Бесселя первого рода, о

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 3. Пусть п источников удовлетворяют условиям

|«/-о„| >/? = -> О, jjtp, п

а волновое число к и радиус г выбраны так, что

\Jm{kr)\ > е-v», m = 0,1,2,...

Тогда при равномерном располо-:сеиии приёмников А, = ±jh, j = О, ±1,..., /Л = ip, N — 21 + 1 (или N — 21, если j ф 0) в угловом секторе (—<р, <р)

1М1<.*||Л«||

при

- '

Если обозначить через N(n) - минимальное N, при котором ||и|| < Сп ■ ||Ли||, то

Доказательство теоремы опирается на оценку нормы обратной маг трицы Вандермонда, полученной в §1 главы I.

Достаточное условие единственности для сферической алтеи ы получено в §3. В сферическом случал, когда формула (12) имеет вид

как и в цилиндрическом случае получена оценка (15).

Автор выражает искреннюю благодарность профессору АЛ.Бухгейму за постоянное внимание и поддержку в работе.

ПУБ ЧИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бухгейм А. Л., Зеркаль С. М., Конев В. Т., Сабитова Г. С. Об одном классе обратных задач в дискретной постановке. В сб.: Обратные задачи математической физики, из-. ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1985, с. 57-65.

2. Сабитова Г. С. Оценки устойчивости метода Прош. : Препринт N 6, Новосибирск, 1994, 17с. - Б надзаг.: ИМ СО РА'1.

3. габитова Г. С. Оценки устойчивости восстановления показателя преломления в слоисто-неоднородной среде.: Препринт N 8, Новосибирск, 1994, 16с. - В надзаг.: ИМ СО РАН.

4. Бухгейм А. Л., Коиев В. Т., Сабитова Г. С. Единственность и устойчивость обратных задач разрешения сигналов в дискретной постановке.: Препринт N 5, Новосибирск, 1995, 22с. - В надзаг.: ИМ

(л«)И= /

М-1

СО РАН.