Единственность и оценки устойчивости решений некорректных задач для уравнений параболического и гиперболического типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

1 пюн шз^терство нау-л, высшей школы

и технической политики российской федерации новосибирский государственный университет

на правах рукописи! удк 517.55+517.94 i

А1ЮНОВ Еахром Камалович

единственность и оценки устойчивости решений некорректных задач для уравнений параболического и гиперболического типов

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1593

г» • .............

Работа выполнена в Самаркандском государственном университете им. А. Навои

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Аниконов Ю.Е. доктор физико-математических наук профессор Цэцохо В.А. доктор физико-математических наук профессор Чередниченко В.Г.

Ведущая организация: Уральский государственный университет (г. Екатеринбург)

Защита дисоертации состоится " 29 " июнл

в 15 час. на заседании специализированного совета

Д 063.98.02 по защита дис.сертаций на соискание ученой степени доктора наук в Новосибирском госуниверситетв по адреоу: 630090, Новосибирск.ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского госуниверситета.

Автореферат разослан " 28 " мая " 199 3 года

Ученый секретарь л / у,

специализированного совета /у /, /Р д.ф.-м.Ц. Кажихов

ОНДАЯ ХАРАКТЕР:'.ЛИКА РАБОТЫ Актуальность теми исследования

Диссертационная работа посвящена исследованию коррект- ( ности по Тихонову задач для уравнений параболического типа с( данными на времениподобкых многообразия-:, а также исследова-г нив корректности по Тихонову задач для уравнений параболического и гиперболического типов с данными на дискретных мно- | жествах точек. ,

В последнее время возрос интерес к этим задачам в связи ( з тем, что они возникают при решений некоторых прикладных ( проблем.

Теореда единственности для уравнения параболического ти-; та второго порядка с данными на времешшодобких мкогообраза- , ?х были доказаны С. Мизохатой, М. Проттерок, Е. Холшгреном, 1 для уравнения с одной пространственной переменной теорема | }динственности ранее была доказана е.м. Лавдисом, ,

Вопрос устойчивости решения уравнения параболического ; ?ипа с данными на времениподобкых многообразиях долгое время | ютавался открытым. Эта проблема решена в диссертации. При , )том доказаны новые теорема единствености, которые вытека- I зт из полученной оценки устойчивости. I

По терминологии М.М, Лаврентьева, внутренним! задачами | 1азываготся задачи продолжения решений уравнений (или систем , 'равнений) с частдаш производными с множеств, лежащих внут- | га области регулярности. Классическими внутренними задача!® I гвляются задача аналитического продолжения, 1

Внутренние задачи для эллиптических уравнений были рас- ; мотрены в работах <5. Джона, 1.1.М. Лаврентьева, К. Пуччи, | .П. Шишатского й А. Абдукаримова. I

Исследование корректности по Тихонову внутренних задач , ля уравнения параболического и гиперболического типов, а | менно, доказательство единственности и получение оценок ус- | ойчивости решения задач для этих уравнений с данными па , искретшх множествах точек проведено в работах 1.1.М. Лав- ; ентьева и автора данной работы. *

К внутренним задачам для дифференциальных уравнений' л приводят задачи продолжения физических полей, прогноза по- I роди и др. Поэтоцу исследование внутренних задач для урав- I нений математической физики является одной из актуальных I задач в теории дифференциальных уравнений. I

Актуальной проблемой является также сведение задач для I уравнения параболического и гиперболического типов с дан- 1 ними на дискретных множествах точек к задаче нахождения ре- I шения обобщенного уравнения Коши-Рнмана с постоянными и пе- I ременными коэффициентами. I

Цель работы работы заключается в доказательстве теорем единственности и получении оценок устойчивости решений урав-< нений параболического типа с данными на времениподобных мноч гообразиях, а также уравнений параболического и гиперболи- < ческого типов с данными на дискретных множествах точек.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность ! Все основные результаты диссертации новые, в полной мере научно обоснованны и оформлены*в виде-строгих математичес ских доказательств.-В диссертации впервые подучена оценка устойчивости решения параболического уравнения в зависимости от максимума модулей данных- Коши и их внутренних производных в предположении, что решение задачи существует в некоторой области (X, I) и ограничено в ней вместе со своими производными. Полученная априорная оценка решения имеет гельдвровокмй тип.

Доказанная наш оценка позволяет устанавливать новые теоремы единственности для решений параболических уравнений.

В последнее время возрос интерес к внутренним задачам для-дифференциальных уравнений. В работе впорвие предлагается метод доказательств тзорзм единственности, и получения оценок устойчивости решений уравнений параболического и гиперболического типов, когда данные задаются на дискретном множестве точек. Такие задачи имеют широкое .применениев метеорологии, геологии и геофизике.

Апрос)ац;-1я работ». Результаты диссертации докладывались на Всесоизк1.х и Республиканских конференциях, симпозиумах и толчч-^ьчандрах; Всесоюзная ккола-оошиар по теории нскор-

$екгных задач и' её приложениям'(Ростов-Великий, 1973г., • Новосибирск, 1877г., Бишкек, 1979г., Ноорус ЭССР, 1981г., Новосибирск, 1982г., Самарканд, 1983г., Саратов, 1985г., Красноярск, 1986г., Алма-Ата, 1989г., Новосибирск, 1992г.), Бсесоюзная конференция по неклассическим задачам уравнений математической физики (Новосибирск, 1981/.), советско-итальянский симпозиум по обратным задачам (Самарканд, 1990г.), Международная конференция по некорректно поставленным задачам в естественных науках (Москва, август 1991г.), 1У республиканская конференция математиков Белоруссии (Минск,1975г.) республиканская конференция математиков Узбекистана (Ургенч, 1974г., Самарканд, 1977г.). Областная научно-теоретическая конференция молодых ученых и специалистов (Самарканд, 1976г) республиканская конференция молодых ученых и специалистов "Актуальные проблемы в области общественных, естественных и технических наук" (Ташкент, 1978г.).

Результаты диссертационной работы обсуждались на следующих семинарах: семинар по методам решения некорректных задач Института прикладной математики РАН им.' М.В. Келдыша (профессор В.Л, Арсенин), семинар кафедры высшей математики Московского инженерно-физического Института (профессор А.И. Прилепко), семинар по теории некорректных задач (член-корреспондент РАН В.К. Иванов, механико-математический фа- ■ культет УрГУ), Объединенный семинар Института математики СО РАН (член-корреспсндент РАН В.Г, Романов), расширенный семинар "Большие задачи математической физики" ВЦ СО РАН и кафедры вычислительной математики НГУ (член-корр. РАН А.Н. Коновалов), расширенный семинар кафедры теории функций НГУ (академик РАН М.М. Лаврентьев), на расширенном заседании кафедры высшей математики факультета прикладной математики СемГУ, ;

Публикации. Основпые результаты диссертации опубликова-1 да в 18 работах, I

Структура диссертации. Диссертационная работа на 176 I страницах, состоит из предисловия, введения, четырех глав, I содержащих 12 параграфов, библиографии из 156 наименований I отечественных и иностранных источников.

краткое содершше работы •.....

В предисловии и во введении изложено состоянир исследуемой проблемы, дана краткая характеристика работ , примыкающих к теме диссертации, приведен краткий обзор основных результатов диссертации.

Первая глава диссертации посвящена вопросам единственности и устойчивости решения задачи Коши для уравнения параболического типа с данными на времениподобной поверхности. В § I гл. I рассматривается следующая задача.

Пусть функция гс ( ж , -Ь ) определена и непре рывно дифференцируема в прямоутольнике

(}= {(х,-к): а.,

удовлетворяет уравнению

и условиям

где - бесконечно дифференцируемая функция. Требуется

по этим данным восстановить функцию и.{х:,-Ь) внутри области П . Доказана

Теорема 1.1. Если и 7

то справедлива следующая оценка

, «-Ь^г а'' 2 И С,

где £ - положительное достаточно малое число М, Сь , £>, Ц - положительные числа, С\ -положитель-

ное число,зависящее только от ~Ь . Из оценки устойчивости .вытекает единственность решения.

В § 2 гл. Г получена оценка устойчивости решения задачи Коши для уравнения параболического типа 2-го порядка о данными на времениподобной поверхности в случае многих пространственных переменных. Доказанная нами оценка позволяет

""Установить новый теоремы единственности для решений парабо- ■ лических уравнений*

Сфоргдулируеи указанную выше задачу. • Пусть функция \ь(э(.,Ь) . агА, ..дважды

непрерывно дифференцируема по переменным х. , -Ь в области

^ : и/^'-[(Х^):где

гг**' 0<Г<1, 0<7<1, Н>0;

и удовлетворяе'т дифференциальному неравенству:

I

(I) ,

м-¡т

а) оператор б-эллиптичен

б) ПС'(\л7ги). {2)

На пересечении области \Д/</2 с плоскостью Х/ = С заданы : данные Коши:

Теорема 1.2. Пусть функция и оператор-

' удовлетворяют условиям (I) и (2). Пусть |

при е

Тогда V 0< справедлива опенка: 2 , ___

тзг'

¿х. сЛ

ГДР

и

р/>0< < 1 , ( }х , зависят от ко-1

эффпциентов (х, Ь) и величин Т , X ,

Теорема 1.3. Пусть функции 7л.С1>(х, I ) ,

и,{г) (х, ¿) удовлетворяют условию (2) и

где съ^х^-ь) - ограниченный на вектор; -

ограниченная на WiJz функциям а, ^ (х, Ь) удовлетворяет условию

. £ а4(х,Ь)£ ^(х,Щг \

С^ » б'*» ^^

У*?, V

Если кроме того, \ън-и-1г> |, \-0 на ¿с,,. , то

•^нг^' на . 7

В главе П рассматриваются задачи с данными на дискретном множестве точек для уравнения параболического типа о постоянными коэффициентами.

В § I гл. П рассматривается следующая задача:

I-я задача. Пусть -гоС^, у» - функция удовлетворяющая в цилиндре П \ 0<,-Ь<Т*ъ*Ъ уравнению

^ - ^-х ОС +

при следующих условиях

и С*«, к=1,2,...

(С-с^пП). 1

Здесь " Л^-С^к} - бесконечное множество точек, лежащее | на отрезке £- у } 0 имеющих хотя бы одну предельную (

точку принадлежащую этому множеству. (-6) (¿=0,1) -некоторые заданные непрерывные функции. Требуется определить , 1С (X, у, Ь) внутри П .

Те о р е м а 2.1. Если 0( ¿=0,1), то

гг. (ос, у,-6) ~ О для П .

II—я задача. Пусть функция и ) определена в замкнутой области

и в этой области удовлетворяет уран 'ению

ди дЬ

Ъги

дх,?

■дг11 9x1

и условиям

и имеющая предель-

Л/~[х11(, Хгк} (к= 1,2...) - последовательность точек, лежащих в круге «2^ : ос* ную точку.

■бшь {Х1К) хгм) = (х% X*) е £>у. к—

Теорема 2.2. Если Ш = ¿,«(4) =

то в Пг.

В § 2 гл. П получена оценка устойчивости решения уравнения параболического типа с постоянными коэффициентами. Рассматривается следующая задача: Пусть гс - функ-| ция удовлетворяющая в цилиндре . I

уравнению 1

ди Эги ' дги

Ъ1 Эх.* при следующих условиях:

и СхК, О, ¿)= к--£}2;

(4)

(5)

(6)

(7)

где

М- [х-*]-- бесконечное множество точек, лежащих на

+ • J' 'J

отреэкв [— Jj- у -—J И ИМВОДИХ хотя бы одну предельную

точку, принадлежащую этому множеству, Уг^С^) (¿=0,1,2) -некоторые заданные непрерывные функции. Требуется определить функцию внутри П .

Те о р е м а 2.3. Если «г является решением задачи (4)-(7) и выполняются условия

|Л он

2) с *> о

ео

(рсеА/,

[ IV , I с/£ £ 1

2> I

а

то.ос }\гс\гсИ: Л/ О

ао

тох ] 1714(41 Л/ о

то справедлива следующая оценка:

где Cv > О , р„>0, ско>0 и (ос., у) такая функция, что . 0<а>(х,у)<А при

и ¿о£с,у)~0 при , - мера множества Ж, .^-корень

,уравнения

В гл. Ш доказаны теоремы единственности и получены оценки устойчивости решений уравнений параболического и гиперболического типов с переменными коэффициентами.

В § I гл. Ш даются постановки задач и вспомогательные факты. Рассматривается следующая егдача: Пусть ире,^,^ в области

¡удовлетворяет уравнению .....

10

и следующим условиям

( а >о), о)

"•ж

U(X,LJ, 0)^0, (10)

где [Хх ]- множество дискретных точек, лежащих на

отрезке Г- Л~1-4Л я имеющих хотя бы одну предельную точ-

Ц Ч

ку. На коэффициенты накладываются следухише условия:

1) cl% - агг < О,

2) aty [¿}jzi,2) и (к=1,2,3) обладают первыми производными и удовлетворяют условна Гальдера с показателем JJ , О -¿JJ < 1 ;

3) Ol-ij и 4>k ограничены сверху некоторой положительной константой М .

Требуется по этим данным определять функцию в П

В § 2 гл. Ш доказана теорема единственности решения уравнения параболического типа общего вида в неограниченной области.

Теорема 3.1. Еслй fu (i-)-O ( ¿=0,1,2), то U (х, у, I) == 0 Для (x,y,-i)& П.

В § 3 гл. Ш получена оценка устойчивости решения уравнения параболического тчпа общего вида в неограниченной области, т.е. оценка устойчивости решения задачи (8),(9),(10).

Теорема 3.2. (устойчивость). Если

max [frtfcfiiL max. \ \ж\г

3> I 2>i

т......

Я> о ^ # о

/У о

то справедлива следующая оценка:

сг1 (г*. Л-)'3 4Хр

где с

И- - число определяемое соотношением

$ , $1 , С3, Си, - положительные константы; у(г} -

некоторая непрерывная функция, при /2

у при ./£/ - / , /1п (/К/- мера множества /V .

В § 4 гл. Ш рассматривается вопрос единственности и устойчивости решения уравнения гиперболического типа с переменными коэффициентами, когда данные задаются на дискретном множестве точек. Задача формулируется в следующем виде:

Пусть функция 1х. (х,, ос2,в области П^ : Х-г г 1:>0\ удовлетворяет уравнению

и условиям

и (х1к,0,£) = уа„4) 1

и, = (х0 хг, 0) = и + (х,, О) - О,

где

* (Х1,~хг) + (*ч,хл) - + ¿3 Хг)

* ^ i

и (.4=^2.,...) - бесконечное множество дискретных то-1

чек, лежащих на отрезке > -у-]]11 имеющих хотя бы одну!

предельную точку, принадлежащую А/ . На коэффициенты накладываются следующие условия:

1) - ¿V <хгг<°>

2) ( =1,2) и ^(к=1,2,3) обладают первыми про- ' взводными и удовлетворяют условиям Гельдера с показателем II,

3) ¿.¿у ( =1,2) и (к=1,2,3) ограничены сверху некоторой положительной константой М .

Задача заключается в восстановлении функции поданным (-Ь) (¿=0,1,2) внутри области П ± . Доказаны следующие теоремы

Теорема 3,3. Если ^^(-Ь)-О (¿'=0,1,2),(к=1,.. . ), то ,-к)=0 в области /7^ .

Теорема 3.4. Если

оо ор

тах: ¡¡и^с/б^, "азе ]\vufd-b 2> о ^ о

О оо

max е, тю ¡jvul'& *

/V 0 " 0

_то справедлива следующая оценка IU Ц Сv

■гд е

с гхр Cr _ __у,г) ]

и

г» .....

где s , Sa , Сч , Cs и С6 положительные константы, Функция, которая 0<jf(*)<-i прии

при 1^1 =1, £ - малое число, ß^/lf) определены выше.

В главах П и Ш настоящей работы рассматривался воггроо единственности и устойчивости решения уравнений параболичес-, кого и гиперболического типов, когда решение задается на да-, скретшх множествах точек и удовлетворяет некоторому начальному условию. В главе U доказаны теоремы единственности и , получены оценки устойчивости вышеприведенных задач, когда отсутствуют начальные условия.

В § I гл. 1У рассматривается вопрос единственности внутренней задачи для уравнения теплопроводности без начальных условий, А именно, рассматривается следующая задача: Пусть функция ■и. (Ty,jc2} b) определена в замкнутой области

и в этой области дважды непрерывно дифференцируема по xi , Х.г и непрерывно дифференцируема по переменной . Пусть она внутри области удовлетворяет уравнению 'ди дгъ

~ Ъх? dxl

и условиям

(II)

, = Л«

где /У (к=1,2,...) - последователь-

ность точек, лежащая в круге : + я: £ имеющая

предельную точку

(х«> = (<, <

Задача заключается в восстановлении функции и(хг,хг,1i > поданным , и /гм ) . Доказана теорема,,

характеризующая единственность решения задачи (II) и (12).

Теорема 4.1. Если правые части формулы (12) удовлетворяют условиям

Л* (*) (ir) = (*Js> к~1>г> то

в области Пг,

При доказательстве теоремы единственности рассматривается два случая. Первый случай, когда /V = жйх}-тюд,-множество конечного числа аналитических кривых; второй случай, когда /V = [Xl/e) J _ Н0 являвтоя подмножеством конечного числа аналитических кривых.

В первом случае задача (16)-(17) приводится н задаче .нахождения решения уравнения параболического типа с данными на времениподобной поверхности.

Во втором случав при доказательстве теоремы единственности использованы теоремы М.М. Лаврентьева.

В § 2 гл. 1У получена оценка устойчивости решения задача (II)-(I2). Доказана

Теорема 4.2. Пусть функция гс(х/>х*> ^) ( te tr.Tj , Ту О ) является решением задачи (П)-(12)и

тех: (I4(r0xt,i)lt ¡vx „ufr^VfJfCt iel?,TJ

Тогда существуют постоянные Cz , C3>0 такие, что имеет место неравенство

lu(r^)l< 4 Ч, с- 4 ^ ъ

СI)= гсг (х/к) ¿1, i, 2,...

15 .

СО(X/, хг)~ некоторая непрерывная функция,

в круге Ху + Х2 < ^ и ¿о (Х1, х^^на окружности

Х-г ~ 1 , (/V) -определена выше.

В § 3 гл. 1У доказана единственность уравнения параболического типа с данными на дискретных множествах точек и на боховой поверхности ограниченного цилиндра. Рассматривается следующая задача.

Пусть функция и- (Х<, хг , -&) определена в цилин-

ре Пг= [(Х„ х$+хгг4 Я2 ( /?> ¿? ),

и в этой области удовлетворяет уравнению

ди. „ . . дги дги

** , а №

' *« (^).Щ * ЪЩ М ♦ 4 ) и,

и условиям

и (Хм, Х1М,4

_-их (*«.***>*> \ (°4иТ)> (14)

гсСх^ъ,^ 9 = 0, (15>

где ¿~Гх£0,Т] _ боковая поверхность цилиндра Г - окружность (Я>0), хгк]

(к=1,2,...)~ множество точек, лежащее в круге 2) -.х**хг<& На коэффициенты накладываются следующие условия:

r+ • .........-

1) а.уеС'*л («e (0,1)),

2) с У =1,2),

3) Cxítxe)= +

;ípe oye тся определить V, хг, i) внутри Пг . Доказана^ Теорема 4.3. Если fU((-b)=0 ,(¿=0,1,2), то |

; U(xi}^,é)BO в Д. I

В § 4 гл. IV получена оценка устойчивости решения зада-1 чи (13)415). i

Теорема 4.4. Пусть %l эсл, Ъ J - аналитичес- 1 кое продолжение по функции ъс в комплексную плос- '

кость. Если

¡■■U.(Xi,Xt,i)l4C't, (*. = c + ¿<f),

¡VCXi,Xt, C0+¿<?)U \гея.1&ъ '

(при больших V ) и

lf¿KÍé)l<£ ( ¿ =0,1,2) , (К=1,2..... )

то справедлива следующая оценка

где С0 , & , Сг , С13, С„>0 , CYS - константа зави- 1 сящая от £ , = Inf Zj^ , - длина интервала Ак, [Ле} означает объединение п. интерва- | лов, содержащая множество /V: Na UАк , к =1,2.....п> . ¡

y[Z) : о <%(%)<! при ¡2i< Í и при /*/=■*.'

Автор, пользуясь случаем, выражает искреннюю призна- , тельность своеглу учителю академику М.М. Лаврентьеву познакомившему автора с интересной тематикой, за постоянную под- , держку при выполнении работы в целом.

Автор глубоко признателен сотрудникам отдела условно- 1

корректных задач Института математики СО РАН, где былавы- 1

полнена значительная часть работы, за ценные советы и пло- 1

дотворные обсуждения её результатов. 1

Публикации по теме диссертации )

1. Амонов Б.К. Об оценке устойчивости решения-задачи Кош 1 . для уравнения теплопроводности о данными на оси време- I ни.//Математические проблемы геофизики. -Новосибирск, - I 1972, вып. 3, -с. 37-52. I

2, Амонов Б.К., Шишатский С.П. Априорная оценка решения за-1 дачи Коши с данными на времениподобной поверхности для ! параболического уравнения второго порядка и связанные с I нею теоремы единственности.// Докл. АН СССР.-1972, г.206,! № I, -с. 11-12. • 1

3,Амонов Б.К. О единственности и устойчивости решения одной неклассической задачи Коши для уравнения теплопроводно-1 сти о нулевыми данными на концах стержня.//Математические проблемы геофизики. -Новосибирск, 1972, вып. 3, -с. 53-58.

4. Амонов Б.К. О единственности и устойчивости решения урав-1 нения теплопроводности.//Вопросы теоремы функций и функ-1 ционального анализа./Самарканд, Труды СамГУ, 1975. С.38-45.

5. Лаврентьев М.М., Амонов Б.К. Определение решения уравне-' ния диффузии по его значениям на дискретных множествах. 1 //Докл. АН СССР. 1976. Т.228, № 6. -с.1284-1285. I

6. Амонов Б.К. О единственности и устойчивости решения уравнения параболического типа с данными на дискретных множествах точек.//Дифференциальные уравнения. -1980,т.16, №6, -с. 1047-1053.

7. Амонов Б.К. К вопросу об устойчивости решения уравнения теплопроводности«//Приближенные методы решения и вопросы корректности обратных задач. -Новосибирск.-1981,-с.17-25,

8. Амонов Б.К.Об одной внутренней задаче для уравнения теплопроводности. //Неклассические проблемы математической физики. -Новосибирск, -1981, -с. 18-27.

. 9. Лаврентьев М.М., Амонов Б.К. Единственность и оценка устойчивости решения одной внутренней задачи для уравнения

i+ теплопроводности.//Докл. АН СССР.-1982, т. 262, » 3,

с. 528-530. . - I

•10. Амонов Б:К. Корректность одной'внутренней задачи для 1 уравнения теплопроводности, //Методы решения некоррект- 1 кых задач и их приложения: (Тр. Всесоюзной школы-семина- 1 ра, Нооруе, 1982). Новосибирск. -1982, -с. 165-167. 1

11. Амонов Б.К. Единственность и оценка устойчивости решения1 уравнения параболического типа без начальных условий. ' /Аеория и методы решения некорректных задач и их прило-1 жения (тез. докл. Всесоюзн. школы-семинара, Самарканд, 1 29 сент.-б окт. 1983г.). -Новосибирск;-1983, -с. 240-24Г

12. Амонов Б.К, Об одной внутренней задаче для уравнения 1 диффузии в пространстве. //Диффэрен. уравнения. -1984, 1 т. 20, JJ8 -с. 1427-1429. !

13. Амонов Б.К. Об одной внутренней задаче для уравнения параболического гйпа. Дифференциальные уравнения, -1984, 1 т. 20, «9, -с. I62I-I623. 1

14.Амонов Б.К. К вопросу об устойчивости решения уравнения 1 параболического типа с данными на множестве точек,лежа- : щем в кубе. //Вычислительные методы прикладной математи-1 тки. -Самарканд. Труды СвмГУ. 1984, -с. 72-75. 1

15. Амонов Б.К., Бубнов S.A. О единственности и устойчивости решения уравнения гиперболического типа с данными на дискретных множествах точек. //Некорректные задачи математик-ческой физики и анализа. -Новосибирск, 1984, -с.221-223.'

16. Амонов Б.К. Единственность и оценка устойчивости реше- 1 ния уравнения параболического типа с данными на множествах точек и на боковой поверхности иллиндра. //Вопросы ' корректности задач математической физики и анализа. -Новосибирск, 1986, -с. 8-15. 1

17. Амонов Б.К. Оценка устойчивости решения уравнения гипер-1 болического типа.//Вопросы математического анализа и erb приложения. -Самарканд. Труды СамГУ, 1989. '

18. Амонов Б.К. О единственности и устойчивости решения уре&-' нения параболического типа. //Некорректно поставленные ! задачи в естественных науках: Тез.докл. международной 1 конференции, Москва, 19-25 августа 1691г.