Единственность решения обратных задач теории объемного потенциала для уравнения Гельмгольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

и ; .. / Г:' ' , ! ,„

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

БАСКАКОВА Ольга Борисовна

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБЪЕМНОГО ПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук профессор А.И. Прилепко

МОСКВА - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .......................................4

Глава I. О единственности решения некоторых внешних обратных задач теории потенциала (к > 0) . . . ...........16

§ 1. Некоторые интегральные представления функционалов.

Вспомогательные сведения .....................................16

§ 2. О единственности решения задачи определения

плотности вещества по известному внешнему потенциалу.....23

§ 3. Внешние обратные задачи теории потенциала для

тел с общей контактной поверхностью....... . ............28

Глава И. Единственность решения обратной задачи

акустического потенциала для тела, близкого к данному,

в случае уравнения Гельмгольца (к>0)......... . . .......33

§4. Постановка задачи. Формулировка основной теоремы 33

§5. Вывод интегро-дифференциального уравнения . . . . ......37

§6. О разложении потенциала в интегро-степенной ряд ...... 48

§7. Исследование оператора Ф(£). Вспомогательные результаты . 69

§ 8. Исследование оператора ¥(£). Вспомогательные результаты . 78

§9. Решение интегро-дифференциального уравнения ........ 85

Литература..................................88

Осиовные определения и обозначения

Ип -п- мерное евклидово пространство. О, Г2 - области;

V (х, С}, р.(х)) - объемный потенциал тела; Р (х, Б, С(х))" потенциал простого слоя;

К (х, у) =

- фундаментальное решение уравнения Гельмгольца с

47Т|Х -

вещественным к > 0: AU(x) + k2U(x) = 0, n = 3

U(r) - О дЩг)

\r)

Г\\

= -ikrU(r) + 0 - , r CX3, r ^ 0 dr \rJ

- условия Зоммерфельда поведения на бесконечности.

Определение. Функция f (х) е , если производные функции /-го порядка в D непрерывны и удовлетворяют условию Гёльдера с показателем X е (0, 1).

Определение. Пусть f (х) определена и непрерывна в D. Говорят, что f (х) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем X е (0, 1) в D, если выполнено неравенство

|f (х) - f (у)| < const • |у - х|\ X, у е D. R2 - пространство функций <^(х) е , определенных на поверхности S, таких что ф0 '= ¿¡(4,- л) с введенной нормой || С, ||, равной наибольшему из чисел

{max£(x)|; тах|^(х)|; тах|^(х)|; sup X € (0, 1).

■nV"/.»:—Г , Л

х-}\

;sup:----- },

\х

ВВЕДЕНИЕ

Обратными задачами излучения волн объемными источниками называют задачи отыскания неизвестного излучающего источника по заданной о нем информации в дальней зоне. Целый ряд таких объектов описывается с помощью уравнения Гельмгольца, что приводит к постановке внешних обратных задач для данного дифференциального уравнения. Решить такие задачи - это значит определить форму излучающего тела или тел, их взаимное расположение, плотность по внешнему акустическому потенциалу. Исследование вопроса существования, единственности, устойчивости решений внешних обратных задач довольно сложны. Возникающие здесь трудности связаны с их некорректностью и нелинейностью.

Многие теоремы, относящиеся к вопросу существования решений, имеют лишь локальный характер и требуют введения ряда дополнительных условий. Например, для внешней обратной задачи вопрос существования решения даже для тела, близкого к данному, в случае акустического потенциала, до сих пор остается нерешенным. Актуальность изучения таких задач связана с их прикладным характером и состоит в необходимости разработки математических методов решения связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений.

Основополагающими в этом направлении исследования являются работы А. Н. Тихонова [50,51 ], П.С. Новикова [33], Л.Н. Сретенен-ского [Щ, И.М. Рапопорта В.К. Иванова [¿2>,16], А.И. Прилепко [ ЪЧ, ЗМЗ ]•

Данная диссертация посвящена изучению вопроса единственности решения внешних обратных задач теории акустического потенциала в

случае уравнения Гельмгольца с вещественным параметром к> О в Я3 для тела О (п = 3).

Для уравнения Гельмгольца (к2 > 0) внешние обратные задачи теории акустического потенциала рассматривались вариационным методом в работах Алексеева Г. В., Чеботарева А. Ю [4, <5" ]. Ниже рассмотрены математические постановки задач, следуя работам Прилепко А. И. для уравнения А и (х) - %2 и (х)= 0 [35, 40 г 4 У/¿2].

Материал разбит на девять параграфов, размещенных в двух главах. Причем основные результаты сосредоточены в §§2, 3 главы I и §4 главы II.

Первый параграф гдавы I содержит формулировки и доказательства лемм, используемых при решении задач §§2, 3 главы I. В этом разделе установлены некоторые интегральные соотношения функционалов, являющихся базовыми при решении обратных задач, например, об

определении плотности заданного из евклидова пространства Л3 тела

по его внешнему потенциалу (§2 глава I) для уравнения Гельмгольца (действительное к> 0), а также — об определении формы и взаимном расположении тел с контактной поверхностью и заданной плотностью по внешнему акустическому потенциалу (§ 3 глава I).

Пусть £>0, С1а (а = 1, 2) — конечные области из евклидова пространства Я3; д£1а = Б(1, Э£)0 = 50 из класса С(1Д), -Л 6 (0,1), а

Через . |л (у), §в(у) (а = 1,2) обозначаем функции плотностей областей □а и границ 5"а соответственно, предполагая, что ца (у) е еС1(р0), Са(у)бС(/)0); ца(у)*0 почти всюду в О0; 5а(у)*0 почти всюду на 5а.

Потенциалы объемных масс и простого слоя обозначим в виде Уа = У(х, аа, ца) = / [1а(у)-К(х, у)(1У>

а. •

где К(х,у) =- (к> 0) — фундаментальное решение уравнения

4тс |д:-у|

Гельмгольца в /?3 А С/(х) + Л:2 С/(х) = 0, а и(х) - любое его решение. Через 7.л(х) обозначим функцию (а = 1, 2):

гл(х) = $К(х) + чра(х)> Р2 + у2^о, р, уед.

Для формулировки основных лемм, играющих вспомогательную роль, введем обозначения множеств:

и функционал

где р, у е/?; р2+ у2^ о.

В этих обозначениях имеет место

Лемма 1.3. Пусть 17(х) любое регулярное решение уравнения Гельмгольца в произвольных областях £)0, И, таких, что (а = 1,2):

Тогда Хх (х) = 1г (х) при любом х е £>0\5 тогда и только тогда, когда

1) М*) =

2) У(£/, ОДОо-, Ц = О2\О0, ц2, 52, у.

В частности, если положить 7 = 0» Р = 1, то получается полезное следствие 1.3 данной леммы, применяемое в §2 и 3 главы I.

Следствие 1.3. Пусть и (у) - любое решение уравнения Гельм-

голыда в произвольной области 2), такой, что Тогда

Ух{х) = У2(х)Ух б&0\В тогда и только тогда, когда

1) ^(г) = |12(*)У^еО0> О^ПО^в;

2) / \11(у)-и(у)с1у- / \х2(у)-и йДйо я2\а0

Теперь введем функционал вида

"о

Для него имеет место

Лемма 1.2. Пусть '17(у) — любое решение уравнения Гельмголыда при убБ - произвольная область с ЭХ) е С(1,Ч такая что

йасП. Тогда (х) = 2г (х) при любом х е!)4(^1102) тогда и только тогда, когда (£/) = 72 (£/) при любом у еБ. Следствие 1.2. (у = 0)

Пусть и (у) — любое решение уравнения Гельмгольца при

уеЭ — произвольная область с границей дИеС^1'^, такая что

£>0 э Б э £> =э аа. Тогда У1 (х) = У2 (х) Vл: 6 111 тогда и только тогда, когда

о, ■ о2

Аналогичные результаты в случае уравнения Лапласа А (/(*)=(),

а также уравнения А(/(х) - к2 и(х) = 0 были получены соответственно в работах П. С. Новиков [33], Л.Н. Сретенского [42,49] и А. И. Прилепко

[з?, п ].

Во втором параграфе главы I исследуется вопрос единственности решения задачи определения плотности вещества по известному внешнему акустическому потенциалу, создаваемому этим телом.

Предполагаем, что решение уравнения Гельмгольца в Я3

А11(х) + к2 (х) = О

существует и удовлетворяет условиям Зоммерфельда [! ]:

и (х) = О (—= х*0.

4*1/ д\х\ 11*17

Тогда имеет место следующая задача.

Задача. Пусть тело О - односвязная область из /?3, причем

ЭйеС(1Д) X е (0, 1); В - область из Д3, такая что дВеС^х);

(011й)с£. Тело О обладает плотностью почти всюду в В,

\х{(х) еС1 (В), и создает известный внешний объемный потенциал

У1(х)еС\ такой что при И-*00, удовлетворяет условиям

Зоммерфельда,

^(х)^ Ш-К(х,у)4у, где = -

а1 4п к ~У\

При плотности ¡12(х) е С1 (В), ц2(х:)*0 почти всюду в В; тело □

создает известный внешний потенциал У2(х)еС1, такой что У2(х) удовлетворяет условиям Зоммерфельда,

У2(х) = /112(у)-К(х,у)с1у. а

Причем У^х) = У2(х)У х е В\й. Как в этом случае связаны между собой функции (х) и \12(х) тела О?

Тогда выполняется следующая теорема.

Теорема (единственности) 2.1. Если для функций |1а (х) е С1{0) (а = 1,2), таких что д[ха/дх1 = 0, где х1 - фиксированная декартова координата; О - конечная односвязная область из Яъ, сЮ = 5бС(1,А) Ае(0, 1); К1(х) = К2(х)\/хей3\й, а к2 — не собственное значение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Тогда = |12(*) для х е О.

Замечание 1. Через вектор q = q (0,..., qlt 0,..., 0) обозначается вектор постоянный, направленный по оси х1 — декартовой системы координат.

Замечание 2. В случае, если Q - множество, состоящее из конечного числа ограниченных областей, теорема 2.1 не имеет место.

Аналогичная задача для случая уравнения AU(х) - %2 U(x)= 0 (х > 0) была поставлена в работах [37, 39, 40].

В § 3 главы I исследуется внешняя обратная задача теории акустического потенциала для тел с общей контактной поверхностью, обладающих переменными плотностями; исследуется проблема взаимного расположения тел.

Пусть Qa (а = 1,2) конечные односвязные области из й3 с

кусочно-гладкими границами dÛa = Sa; пусть S - гладкий кусок из

С«л\ Ле(0, 1) границы. Причем функция плотности областей '\ij(pc)*0 почти всюду в D0, где £>0 = {*: И<Rq, /^const>0};

D0^Dz3D; D<zR3; (Q1UQ2)c=D; Qo=Q1flQ2#0

Предполагаем, что часть границ и dQ2 является общей.

Обозначим через S такую часть общей границы односвязных областей ût, Q2, что поверхностная мера mes и кроме того mes (ôQx U Q2)\S = 0, причем Q0 = ^П Q2 * 0 и (Ql U Q2) - односвязные области.

Определение. Пусть 5еС(1Д), Ле(0, 1) и S часть S, причем S -замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую односвязную

область или S — плоскость. Назовем S общей контактной поверхностью для областей Qa (а = 1,2) с границами Sa = dQa, если часть каждой границы Sa расположена на S. Причем области расположены

по одну сторону от поверхности S> а общеконтактная часть S удовлетворяет перечисленным выше условиям.

Условие. Пусть К — концентрические сферы, такие что

п = 0, 1, 2,...; к>0 - вещественный параметр из уравнения Гель-мгольца.

Обозначим через Кп - множество, получаемое из К при любом, но фиксированном п. Пусть Кп<=О0; ЗеКп.

Теорема 3.1. Пусть существует п, такой что Кп - концентрическая сфера из К, получающаяся при фиксированном п. Пусть С!а (а = 1,2) области, обладающие общеконтактной границей 5, причем а2 с сКп. Пусть \ха(х) бС1(О0), такие что

1) (х) > О, хеОДОо^'О;

2) ц2(х) - плотность и2;

3) ц^х) = 112(дс),' УхеС^Пй^

Тогда существует точка х0 е/?3\(011) 02), такая что У(х0, С^, * *К(х0, 02, |12).

Теорема 3.2. Пусть Оа (а = 1,2), а также — односвязные

области из Я3. Пусть |11(х)>0 в ца (х) е С*(ро) (а = 1,2);

(х) * 0 почти всюду в Ц^С^ПС^; ОДО^О;

ДеС^Ч Ае(0, 1) — общеконтактная поверхность. Пусть (х) = (х), Ух е О0. Тогда существует точка х0, такая что

х0 е/?3\(011) 02) и внешние потенциалы в ней У1(х^> ^(^о) не совпадают.

Следствие 3.1. Пусть Оа, (а = 1,2). удовлетворяют условиям теоремы 3.2; 5 - общеконтактная поверхность областей Пусть (х) е (а = 1,2) - плотности областей С1а, такие что

(х) < 0 Л/хеО2\О0; ^(х) = |!2(х) ухей0.

Тогда внешние объемные потенциалы Ка(х) (а = 1, 2) тел не совпадают в некоторой точке х0, такой что

х0еЯ3\(О11а2).

Все результаты главы II, состоящей из §4—9, посвящены исследованию единственности решения обратной задачи акустического потенциала для тела, близкого к данному, в следующей постановке.

Задача 2. Пусть задано тело □ (односвязная область из Л3), создающее известный внешний потенциал V. Ищем тело создающее известный внешний потенциал У^ близкий к V в смысле некоторой функциональной метрики. Причем V, У1 удовлетворяют условиям поведения на бесконечности Зоммерфельда.

В §4—9 главы II доказана теорема единственности решения этой задачи для тела О с постоянной плотностью, при условии существования такого решения.

Представленные здесь результаты получены на основе работ Л. Лихтенштейна и А. И. Прилепко ¡фЗ'Нд, следуя схеме в теории фигур равновесия вращающейся жидкости, посредством приведения изложенных рассуждений к интегральному уравнению Н-го рода. Так, для тела, близкого к шару, решение интегрального уравнения, описывающего границу тела, дано Л. Н. Сретенским на основе

метода А.М. Ляпунова" [¿В ]- В работах В.К. Иванова решение такой задачи для случая звездного относительно внутренней точки тела дано для уравнения Лапласа [1-8], а в работах А. И. Прилепко в случае для

уравнений Аи~хги = 0 [ЗН-В6] для конечных односвязных областей. В работах В. К. Иванова и А. И. Прилепко рассмотрение соответственно звездных и связных областей вызывает необходимость пользоваться нормальной производной потенциала, что дает уравнение второго рода и увеличивает степень сингулярности подынтегрального выражения.

В изложенной в § 4 теореме рассмотрен случай конечных

односвязного тела для уравнения Гельмгольца Д и (х) + к2 и (х) - 0 (вещественное к> 0). Решение проведено методом последовательных приближений. Оценки граничных значений потенциала и его производных, а также теория дифференцируемых отображений, развитая Л. Лихтенштейном и А. И. Прилепко, использованы при доказательстве теоремы единственности. В работах Г. В. Алексеева рассмотрена подобная задача в вариационной постановке [4,5].

В §4 главы II представлена постановка задачи для тела, близкого к данному, и формулировка основной теоремы.

Обозначим через х, у — точки пространства Л3, тогда г =

ху

= ¡у -х1 — расстояние между точками х и у; йх, <1у - элементы объема области в Л3; (1х<з, с1уа — элементы площади двумерной поверхности.

Определение. Пусть /(*) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области И. Для функции, удовлетворяющей условию Гельдера с показателем 0 < А < 1 в 3, выполнено неравенство

|/(*)-/(y)|^const x, yeD.

Введем обозначение |/L=sup ^^ /(У)1- (0<A<1).

Определение. Говорят, что функция /(х)-еС^Ч если производные

функции /(x) I -го порядка в D непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера с показателем Я. Далее считаем, что к — любое, но фиксированное число из интервала (0, 1).

Пусть S - замкнутая поверхность, которая ограничивает односвязную область Q. Считаем, что S может быть разбита на конечное число кусков, каждый определяется некоторым уравнением

R = R(Z, л).

Все компоненты вектора R из класса

в некоторой области

плоскости г] и RfR^ Указанный набор условий означает, что

или область QÜ5 принадлежит классу Пусть х - точка поверхности 5, определяющаяся радиусом-

вектором jR(x)=R(£, ri). Тогда точка у из R3 определяется радиусом-вектором

R(y) = R{x)+vnx> или fy=fx+ vnx> (4.1)

где V - const, nx — вектор внешней нормали к поверхности S в точке х.

Числа (£,ri,v) можно рассматривать как криволинейные координаты точки у.

Вычисления показывают что якобиан преобразования

криволинейных координат в прямоугольные декартовы равен

D(xfy,z) =(i-Hv + Kv2)JEG-F2 D{i, л» v) v

где Е, F, G - координаты первой квадратичной формы, Я — средняя и К — полная кривизны поверхности S. Из последнего равенства следует, что при достаточно малых v, таких, что |vj^3€0, любая точка

у eR3 по формуле (4.1) может быть единственным образом определена вблизи поверхности S с помощью трех криволинейных координат (5, ту, v), где V - координаты поверхности S.

Множество непрерывно-дифференцируемых функций ((*) = = С (£> л)» определенных на S, первые производные которых из класса

С«л\ обозначим R2. На множестве R2 вводят норму функций ■{■(*)> определяя ее как наибольшее из чисел:

max | С (*) |, max|i$(*)|, max | Сч (*) |, sup—----; sup—--L—.

Известно, что такое пространство — банахово ЦВ,3&].

Определение. Объемным потенциалом тела Q, в случае уравнения Гельмгольца (&>0), назовем функцию

У(х) =-L f р (у) *-dy (п = 3),

4rt q V-

где \х (у) — плотность области Q, к - действительное число. Вне тела Q функция V(x) — решение уравнения Гельмгольца

A V(x) + к2 V(x) = О,

а внутри Q —

AV(x)+k2V(x)=-[i(x) (п = 3)

и удовлетворяет условиям Зоммерфельда поведения на бесконечности ¡х|-'<х>,

Постановка задачи имеет следующий вид.

Рассмотрим конечное тело Q, ограниченное поверхностью SeC(2' к\ односвязная область из Я3. Пусть внешний потенциал V(x)e'C\ создаваемый телом Q с \х (х) = 1, известен и удовлетворяет условию Зоммерфельда при |дс| —«». Пусть в области, внешней относительно Ql)S, определена функция Vl(x)eCl, Vl (х)=Н(х), которая на бесконечности ведет себя как акустический потенциал, то есть удовлетворяет условиям Зоммерфельда:

dV.(x)

=0(1/jx|); —p-i =-1^К1(х) + о(1/|лс|)э \х\— {3 40\.:

ох ' .

Пусть даны:

1) Q - односвязная область из R3;

dQ еС(2,Ч Л е(0, 1);

Ü - звездная область относительно начала координат oeQ; (QllöQ)cD; Q, D - односвязные конечные области из R3.

Пусть точка поверхности S определяется радиус-вектором R(x) = л). Точка у еR3 определяется R(y) = R(x) + vnx, где пх - вектор внешней нормали к поверхности S; v = const. Известно, что при малых v, таких что |v|^3e0, любая точка у е#3 может быть единственным образом определена вблизи поверхности S с помощью трех криволинейных координат (£, t|,v), где (£, tj) - криволинейные координаты точки хе 5.

Уравнение поверхности Slf ограничивающую односвязную область

Qj, зададим в виде v = i(x); xeS; С = С » л) i |v|<e0. Множество функций ((я), определенных на S, обозначим R'2; ( (jc) е С(1,х), А.е(0, 1).

На R1 введем норму, считая ее равной наибольшему из чисел:

1Г/Ч \/ / \ I 1Г/М .|СЧ(*)-|„(У)1

max |С(*)|; max ¡Сх (х)|; max |Cn (х)|; sup