Исследование задач управления и идентификации с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГ Б UM

' АП& IS

Haul

1нститут мбсрнетики ÍMeni В. М. Глушкова

1 7 АПР «S3

1 Национальна академия наук УкраТни

На правах рукопису

ДЕР16ВА Олена МиколаТвна

/

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ЗАДАЧ КЕРУВАННЯ ТА 1ДЕНТИФ1КАЦ1Т 3 РОЗПОД1ЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Q¿Cf. Cl

01.03.01—теоретична основа шформатики та «¡бернетики (математкчна юбернетика)

Автореферат дисертаци на здобуття паукового ступеня кандидата ф!зико-математичних наук

Кшв 1 £93

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана в 1нстнтуп тбернетики ¡м. В. М. Глуш-кова HAH Украшн.

Науковий KepißiniK: доктор ф1зико-математичних наук,

професор

КНОПОВ Павло Соломонович,

Офщшш опоненти: доктор ф13ико-математичннх наук,

професор

М1ШУРА 1СЫя Степашвна,

кандидат ф!зико-математичних наук, доцент

МАЙДАНЮК Руслан Ярославович

Прошдна оргашзацш: Доиецькин Державина ушверситет.

/г> /-. — /0

Захист в|'дбудеться « » ■ е ■ 199-^ р. о ~~ ". ■

: . . - .. у ¿у.-!// го

год. на зас1данш спещал13овано1 вчено1 ради'-'- * -

при IncTinyii шбернетики iiieni В. М. Глушкова HAH Укра!-ни за адресою:

252022 Кн1в 22, проспект Академ¡ка Глушхова, 40.

3 дисертащею можна ознайомнтися у науково-техшчному apxißi шституту.

Автореферат роз!слашш «-——» ■ — 19^ р.

/, )

\чеши"1 секретар //

спаиалЬоиаиоГ пчепоГ ради < СПНЯВСЬКИЙ В. Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АктуалыПсть роботи. Науково-техн1чний прогрес вимагае все б1льшого застосування матеыатичних метод!з у р!зних галузях науки. гехн!ки, економ1ки. Це сприяе швидкому розвитку теорН керу-вання та 1денткф1кац1Г оск!льки саме вона е теоретичной основою матема"-ччнгго моделювання. Численн! публ1кац11 з Ще! тематики додатково св!дчать про И велике теоретичне та практична значения. Ряд ф"ндаментальних результата з питань керування та 1дентиф!к.щ11 випадкових систем отримано в роботах 1.1 Пхмапа, А.В.Скорохода С19773. М.В.Крилова С19793. С.Б.ДинкШа С19773. I. А. 1браг1мова та Р. 3. ХасьмШського С19793, Ю.А.Розанова С1981. 19903; О.М.Ширяева С1976. 19893 та 1н. Але б!льш!сть з них описуе виладок, коли система залежить лише в}д одного параметра.

Якщо ж система описуеться випадксвою функШею. що залегить в!д к!лькох зм1них, число нерозв'язаких задач р!зко зросгае, причому розв'язання цих задач нав!ть у вктадку двох лпрагетр!в часто мае Bto'tini принципового характеру. I це Цлком виправдано. бо основним методом дос. 1джен » задач керування та 1дентиф1каци с мартингальн! методи теорИ випадкових гтроцеЫв. як1. на жаль, далеко не завжди можна перенести на шпадков! функцП, як! зал"-жать в!д бчгатьох параметр!в.

У той же час саме с..стеми з розпод!яеними параметрами опи-сують пронеси в таких р!зноман1тгих областях, як астрономы, метеорология. г1дгюлог1я, t. касамперед. в економ!ц1. Этте, розви-ток математичних метод!в розв'язання задач керусання та [ден'тиф! кацП для систем з розпод1ленимн параметрами е досить актуально», проблемою.

В 70-90-х роках з явилася ц.1ла низ^а роб!т СР. Ка1рол!. Дж.Б.УолшП975. 19773, А.Т.Вочг, М. ЗакаГ С1976, ±9773, Е. Мерзбах С13803, Г. Калл1анпур та Н. Етемад? С1975. 19773. 1.1 Пхман (1975. 1976. 1980. 19823, А. А. Гуцин С19823. Ю. С. М1шура C1SS0, 1985 1989. 19903 та 1н. 3. в яких розвинуто мартингальи! метода теорп

вип' дкових пол!в. Отриман! результата дають можлив!сть продовжити досл1дження задач керування, 1дентиф1кац11, ф!льтрацП для випадкових процес!в з розпод!леними параметрами.

Мета робота. Розвитск математичних метод!в досл!дження систем з розпод!леними параметрами та 1х застосування до конкретних задач оптим12а1Ш, 1денгиф1кац11 та ф!льтрац11.

Наукова новизна, теоретична 1 практична £.агом1с.сь робота.

В робот! одержано ряд властивостей випадкових пол!в 1то. дифуз^них пол!в, заданих на плотин!, та м1р, що !ч'в!дпов!дають. За допомогою цих результат!в досл!джено конкретн! задач! керування, 1дентиф1кац1Г та фшьтрацИ випадкових пол!в.

Одержан! результати е новими. Вони можуть,бути використан! при розв'язанн! р!зних задач в застосуванях теорИ !мов!рностей та математично! статистики.

Основн! науков! результата роботи.

1.' Одержано аналог узагальненоГ теореми Прсанова для випадкових пол!в, що залежать в!д двох параметр!в.

2. Вивчено повед!к у випадксзих пол!в дифуз!йного типу в умовау абсолютно неперервно! зам!ни м!ри.

3. Розглянуто задачу керування випадковими полями дифуз!й-ного типу. Доведено Юнування оптимального керування та запропо-новано метод побудови е-оптимального керування.

4. Досл1джено оц!нку максимально! в1рог!дност! л!н!йного параметра зносу дифуз1йного поля.

3. Отримано стрхастич р1вняння оптимально! нел1н1йно! ф!льтрацН випадкових пол!в.

Методика досл!дження. Основним методом досл!джень с мартингальн! методи теорП випадкових пол!в.

Реал!зац!я робота. Роботу виконано зг!дно з планом науково-досл1дних poölT Гнституту к!бернетики 1м. В. М. Глушкрва HAH Укра1ни.

Апробац!я робота. Результати робота допоЫдались на Всеукра!нськ!й конференцН молодих науковц!в См. Ки1в_. 1994р.), М!жнародн!й математичнШ конферешШ пам'ят! Ганса Гана См.Чер-н!вц1, 1994 р.), наукових сем!нарах в!дд!лу ьлтематичних метод!в досл!дження операЩй 1нституту к!бернетики 1м. В. М. Глушкова HAH УкраКни.

Пу0л1кацП. За темой дисер.тац!1 надруковано 8 роб!т.

Обсяг робота. Дисертац!я складаеться з вступу, чотирьох глав, шести параграфа, перел!ку використано! л!тератури С54 назви). Обсяг робота 112 стор!нок машинописного тексту.

3MICT РОБОТИ

У вступ! проводиться огляд poölT, присвячених задачам 1дентиф!ка1Ш, ф!льтрац!1 та керування випадковими процесами та полями та коротко викладено зм!ст дисертацП.

Перша глава "Узагальнена теорема Прсанова . та п застосування" складаеться з чотирьох параграфа. В н!й розгляда-ються властивост! мартпнгал!в та супермартингал!в, заданих на площин!, та деяк!- властивост! "дифуз!йних пол1в.

Перший параграф дано! глави носить допом!жкий характер. Тут наводяться визначення мартингалу та сильного мартингалу на плотин! та твердження про деяк! IX властивост!, будуються стохас-тичн! !нтеграли по сильних мартингалах та наводяться Ix основн! властивост!. даються означения пол!в 1то та дифуз!йних пол!в 1 доводиться теорема про можливЮть подання поля 1то у вигляд! поля дифуз!йного типу.

Лругий параграф першо! глави присвячено вивченню деяких

властивостей супермартингал1в вигляду

1 *

1+{| Г(и.у)И^и^у). (1)

оо

де 7=(у(г),?1) -. деяке вим!рне випадкове поле. Тут .доводиться узагальнена теорема ГЧрсановс на випадок зам1ни ймов1рн1сно! м!ри з щ!льн!стю вигляду С1).

Теорема 1.7. Нехай (С(2)'.?2) - випадкове поле вигляду (1). мс'1,1) = 1. та

1 1

Е*-^ ^ ^ 7{и,у, dudv < а ^ «• 1 оо

Тод! н^ ймов!рниноыу простор! (О.у.Р), (1,

випадкове поле V» = (ЙС г) , г^), ггп,

Й{г) - - | |<*(и,8) 7(и,у) dudv С2)

оо

е в!неровським (в!дносно системи о-алгебр та м!ри Р) -

Отримана в робот! узагальнена теорема Прсанова для випад-кових пол!в дае змогу одержати в третьому та четвертому параграфах дано! глави деяк! властивост! дифуз!йних пол!в та м!р, то Гм в1дпов!да1)ть, як1 застосовуються для розв'язання задач керування .та ф!льтрац1! та ^асть також самост!йний 1нтерес.

Насамперед це питания повед!нки випадкових пол!в в умовах абсолютно неперервно! зам1ни м!ри. Доведено, що у випадку зам!ни 1:1рн з иилыпстг С1) поле диФузШюго типу залишаеться полем того ж типу I в новому ймов1рн1сному простор!. Наведено умови. за яких поле, то ыа~ м!ру, абсолютно неперервну в!дносно м!ри

длфуз!йкого поля, також е полем дифуз!йного типу, ыожливо. в Шшому ймов!рн!сному простор!.

В1домо, що . Лра. яка в!дпов!дае випадковому полю вигляду

I ■

€ (1:, в) = | <5ийу + (Ъ, Б ) С3)

о о

при

11

Р( I ви£1у < га ] = С4)

о о

абсолютно неперервна в!дносно вШеровсько!, але явнкй вигляд пох!дно! йд^/адиСС) =С( г) вдаеться встановитп лише за додэткоекк умов на Ф. За умови

Чгкг^. м{ Д(2,.г.С)/э!| } = О

внпадкове поле С (=, V?), хеп, причому единим розв'язком

р!вняння

I »

=1+ | |с(и.зЖи,у)*- аи.ско. С5)

0 0

У друПй глав! дисертацП "Задач! керування дифузШними -полями" досл!дхуеться задача керування дифузШними процесаыи э розпод!ленимн параметрами:

г • I •

еСг.з) - Со + / |а(х.у,1;,и)<1х<1у + | ]"ь(х.у,£)Н(ах,сЗуК ■ С«) • оо оо

де функШонал керування и=и(г) набувае значения в метричному компакт! и та не залежить в!д майбутнього.

У першому параграф! наведено постановку задач! та доведено !снування оптимального керування при функШонал! вартост!, зада-

е

ному у вигляд!

F(u) = М J [ f (t/s,.5u(t,s).u(t(s,cu(t,s)) dtds, С 7)

0 0

де f(z,x„u) - неперервна нев!д'емна функЩя; (z,x,u)eDxCDxU; 5u(z) - розв'язок р!вняння Сб), який в1дпов!дае. керуванню ~ u=u't,£u(z>) .

При досл!дженн! задач! Юнуваннг оптимального керування застосовано метод перетворення м!р, запропонований I. В. Прсано-вим I використаний ран!ше при розв'язанн! аналоПчних задач для ви^адкових nponeclB. Наведемо умови Юнування оптимального керування випадковим полег вигляду СО. " '

Для будь-якого peR, (z,x,u)eDxCxU, визначимо функЩю Гам!льтона

H^z.x.u.p) = pa(z,x,u) + f(z,x,u).

Теорема 2.1. Нехай для кожного (z,x,u)eDxCxu функЩя н1 (z,х,и,р) досягае м]н!мума, тобто !снуе u0eü, що h(z,x,p) = min h'(z,x,u,p) = H'fz.x^o.p) Тодх 1снуе оптимальне керування.

У другому параграф! друго! глави вводиться поняття класу кусково-сталгх керувань дифуз!йним полем, доводиться ряд до-пом!жних тверджень, в тому числ! 1 принцип Беллмана для випадко-вих лол!в, що залежать в!д двох параметр!в.

Природним продовженням проблеми Юнування оптимального керування в побудоь. для будь-якого с>0 с-оптимального керування. В даному параграф! запропоновано стратег!» побудови кусково-сталих керувань дифуз!йним полем для функцЮналу вартост! !нтег-пального типу. Кр!м того, доводиться 1снування та наводиться спос!б побудови для будь-якого с>0 с-оптимального керування ьипадково! v поля дифузШного типу.

У трет!й глав! "Задач! 1дентиф*".ац11 для випадкових процес!в з розпод!ленпми параметрами" розглядаеться одпе з важливих питань статистики випадкових пол!в - !дентиф!кац!я характеристик випадкового поля, шо е розв'язком стохастичного р!вняння г!пербол!чного типу. За допомогою результа'Пв першо'1-гл?зи досл!джуються властивост! оШнки максимальнот ^1рог1дност1 л!н!йного параметра зносу дифуз!йного поля. За спостереженнями ПОЛЯ ССг), 260т=[0,Т]Х[0,Т1,

S(t,s) = 0 JJ a (u, v, £) dudv + J J b(u,v,£) W(du,dv)

С,

оц1нюеться нев!домий параметр о.

Основное проблемою при використанн! тако! оц!нки е силы:! обмеження на коефШ^нти поля, при яких можна за з1до;..ими формулами обчислити зм1щення та середчьоквадратичну похибку. В дан!й робот! послаблено умови, за яких можна обчислити зазндчен! параметри.

Теорема ->'. 1. Нсхай виконано умови 1снування оц1нкч

cc.iM£j1DHoI в!рог!дност! та наступи! умови: т т

J J( (b*(u, v,5)a(u,v(C))2dudv - геперервний на С с, в) ;

о о

тт.

sup MQ I Г((b*(u, v, £)a (u, v, ^))6dudv <

-CO < ft < <0 y J J 0 0

T T

J J"((b*(u,v,£)a(u,v,£)) 2dudv

sup Ma

-«<0 <ca a

-i

< oo

Тод! зм!щення Ьг(е) та середньоквадратична похибка вт(в)

вйзначаються формулами -

TT •

Ьт(в) = — Ыд f f((b*(u,v,e)a(u,v,C))2dudv , 0.9 J J

Вт(в) = Ие J |((b*{u,v,e)a(u<v,C))2dudv 0 0

J j ((b*(u, v.eiatu.v.ej^dudv

K0

da

Отримак! в робот1 властивост! дифузШних пол!в дають мохли-в!сть одеркати стохастичн! р!внянкя нел!н!йноХ стаЩонарно! ф1льтрац.н випадкових пол!в, як1 виводять'оя в четверт!й глав! дано'; роботл. Тут вважаеться, що компонента, то спостер!гаеться. е полем тто з _коеф!ц1ентом b{z,x). який . не залехить в!д майбутнього, а компонента, яка оШпюеться, подаеться у вигляд!

h(z) = h(0.0) + J Jh<u,vjdudv + X(<:),

(10)

де x=(x(z) , zeD - си льний мартингал, а ' h-(H(z> zed -деяке випадкове поле.

Основн! положения дисертацЯ опубликован! в таких працях:

1. Лсриева Е.Н. Обобщенная теорема Гирсанова для двупараметри-

ческих мартингалов //Методы управления и принятия решений в условиях риска и неопределенности.- Ки1в: 1нститут к!бернетики lu. В.М. Глушкова HAH Укра1ни. 1993.- С.43-50.

2. Дерева О. М. Про абсолюту пепсрершпсть Mip, що в1дп0в1дають полям днфузшного типу, задании на ллощиш // Теория ймов1р!юстей та математична статистика.— 1994. — Вип. 50. — С. 70—75.

3. Дернена Е. Н. О стохастических уравнениях оптимальной нелинейной фильтрации II Кибернетика и системный анализ. — 1994. — № 5. —

С. 101—109.

4. Кнопоп П. С., Деркпа О. М. Узагальнена теорема Прсанова та ГГ ста-тистичш застосування//Теор1я нмовфностей та математична статистика. — 1994. — Вип. 51. — С. 67—78.

5. Дериеза Е. Н. Об абсолютно непрерывной замене меры в стохастических дифференциальных уравнениях//Кибернетика и системный анализ,— 1994.— Лоб.— С. 181—185.

6. Дерева О. М. Задач1 керування та ¡дентифшашТ дифузиших npoueciB з розлод1ленимн параметрами//ЛИжмародна математична конференция, прнснячена пам'ят1 Ганса Гана: Тези доп. — Чершвцп Рута, 1994. —С. 39.

7. Дер1ева О. М. Про властивост1 Mip, яю вщповщають двопараметрич-ннм полям дифузи'шого типу /'/' Flpaui ВсеукраТнсько! конференцц мо-лоднх вчених (математика) 20.07.94.— ¡Опв: КиГв. vh-t, 1994.— С. 253—260. Б1бл. 11 назв. — Укр, — Дел. в ДТНБ Украши, № 1302-УК.

8. Кнопов П. С., Дернева Е. Н. О задаче управления случайными полями диффузионного типа//Кибернетика и системный анализ.— 1995.—

ЛЪ 1. — С. 62—77.

Дериева Е. Н.

Исследование задач управления и идентификации с распределенными параметрами. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01.— теоретические основы информатики и кибернетики (математическая кибернетика). Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова НАН Украины. Киев, 1995.

В работе исследованы некоторые свойства случайных полей, заданных на плоскости н соответствующих им мер. Получен аналог обобщенной теоремы Гирсанова. Исследована задача управления диффузионными случайными полями, доказано существование оптимального управления и предложен метод построения е-оптималыюго управления. Изучена оценка максимального правдоподобия линейного параметра сноса диффузионного поля. Получены стохастические уравнения оптимальной нелинейной фильтрации случайных полей.

Elena N. Derieva

l/ivestiffaiiou of Control and Identification Problems with Distributed Paraameters. Manuscript. Thesis for a degree of Candidat of Science (Ph. D) in Physics and Mathematics in speciality 01.05.01 — Informatics and Cybernetics Theoretical Basis (Mathematical Cybernetics). V. M. Glu-slikov Institute of Cybernetics of Nath. Acad, of Sc. of Ukraine. Kiev, 1995.

Srme properties for stochastic fields on the plane and corresponding measures corresponding arc investigated. Generalized Girsanov theorem for fields is obtained. Control problem for diffusion stochastic fields is

investigated. Optimnl control existence is proved and g-controi -construction method is proposed. Maximum likelihood estimate of diffusion field drift linear parameter is analyzed. Stochastic equations for random fields optimal nonlinear filtering are obtained.

Ключо1п слова: мартингал, дифузшне поле, Mipa, яка вшювщае ви-падковому полю, оптимальне керування, оцшка максимально! в1ропд-

HOCTi.

ГКдп. до друку 29.03.95. Формат 60X84/16. Пашр друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. 0,70. Ум. фарбо-вщб. 0,82. Обл.-вид. арк. 0,62. Тираж 100. Зам. 343.

Редакцшно-видавничнй в1дд!л з пол1граф;чною дЬьннцею 1нституту ыбернетики ÍMeni В. М. Глушкова HAH Укра1ни 252022 Кшв 22, проспект Академика Глушкова, 40