Исследования по теории суммирования кратных числовых последовательностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

введение.

глава i. двойные шслвдоватнльности и их матричные преобразования

§ I.I. Некоторые классы двойных последовательностей

§ 1.2. Матричные преобразования двойных последовательностей

§ 1.3. Критерий консервативности и регулярности матричных преобразований некоторых классов двойных последовательностей

§ 1.4. Матричные методы, порождающие сходимость

ГЛАВА 2. СТРУКТУРНЫЕ ВОПРОСЫ МАТРИЧНЫХ МЕТОДОВ УЗКОГО

СУММИРОВАНИЯ ДВОЙНЫХ ШСВДОВАШЬНОСТЕЙ

§2.1. Об ограниченной совместности методов узкого суммирования двойных последовательностей

§ 2.2. Усечение регулярных матричных преобразований некоторых классов неограниченных двойных последовательностей

§ 2.3. Принцип "подражающих последовательностей" и его применение для доказательства теорем теории суммирования.

§2.4. О полях сходимости (ар) - регулярных матричных методов суммирования двойных последовательностей

§2.5. Корегулярные и конулевые матричные методы и некоторые свойства их полей сходимости

§2.6. Равномерно с - суммируемые двойные последовательности

§2.7. По ля ограниченной с - сходимости множества матриц

§ 2.8. О включении методов суммирования.

§ 2.9. Г'раницы обобщенных пределов последовательностей . 108 жгершра.

Последовательности и ряды - это один из наиболее часто применяемых аппаратов решения задач, одно из наиболее сильных средств классического и современного анализа» При этом нередко оказывается, что ряды, с которыми приходится иметь дело при решении как различных теоретических вопросов, так и задач прикладного характера, являются расходящимися.

В самостоятельную главу анализа теория расходящихся рядов развилась сравнительно недавно* Изучению прежде всего подверглись одномерные ряды и последовательности, и, если к настоящему времени об их суммируемости имеется обширная литература, то вопросы суммирования кратных рядов и последовательностей до сих пор остаются еще мало исследованными. Вместе с тем заслуживает внимания высказывание А. Зигмунда в предисловии к его монографии "Тригонометрические роды" относительно теории вдатных рядов: "Эта область громадна и многообещающа, и в настоящее время мы, возможно, не представляем себе сферы ее проблем, хотя результаты здесь могут оказаться даже более важными для приложений, чем в случае одного переменного".

Вопросы суммирования кратных рядов представляют определенный интерес еще и потому, что переход от одномерных рядов к рядам кратным вносит в теорию суммирования значительное своеобразие, вццвигает множество новых проблем. Установлено, что в области кратных рядов многие методы суммирования утрачивают регулярность, обычные взаимосвязи между собой и другие свойства, которые характеризуют их в одномерном случае. Эти особенности достаточно полно проявляются уже при рассмотрении двойных последовательностей* По замечанию Челидзе В.Г,[34], при переносе понятий и исследований, относящихся к простым последовательностям, на двойные результаты иногда кажутся наперед ясными по аналогии с одномерный случаем» но фактическое установление даже угаданных результатов часто требует большого и кропотливого труда. Кроме того, во многих случаях упомянутая аналогия весьма ограничена. В связи с этим возникает новые понятия: ограниченной сходимости, узкой сходимости, регулярной сходимости и суммируемости и т.д.

Изучение двойных последовательностей и радов впервые было начато Црингсхеймом [57]. Он дал определения различных вадов сходимости двойных радов (сходимость по квадратам, прямоугольникам, треугольникам, кругам). Уже на этом начальном этапе развития теории кратных радов проявилось ее отличие от одномерной теории, аде существует одно определение сходимости ряда. Единственным образом определяется в одномерном случае и сходимость последовательностей. При изучении двойных последовательностей наряду с прингсхеймовской сходимостью, являющейся аналогом одномерного случая, рассматривается целый рад других определений сходимости, получающихся путем наложения различных ограничений на изменение иадексов i и к последовательности (t (см., например, [37], [39] , [42]). Наибольшего внимания, по-видимому, заслуживает рассмотрение "узкой сходимости11 двойных последовательностей.

Определение (а ). Последовательность (t iK) называется сходящейся к числу t (в смысле (а), или по Прингсхейыу), если для V&>0 3>1£>0: ltiK-tHe.

Следуя Тиману М.Ф. ([29]), последовательность (1назовем 6 - сходящейся к t , если для \/б>0 \/£Ы6Л>0-' V4 K*JsL , ((,К)б G\ выполняется неравенство с,Л А ltiK-tl<e.

Здесь и в дальнейшем под 0 и понимаются соответственно области и 4Лд2(к) , ще ^(К) и Cj2(K) - некоторые неубывающие неограниченные функции

Последовательность (tiK) назовем с - сходящейся к t , если Ve?0 ЗА6>0 : Vi,k*jnI£; (i,K)e (j ;

It- -t |<6.

IK 1

Первые обращения к "узкой" сходимости мы находим у Ifypa [50]. Ее дальнейшему изучению» параллельно с принтсхеймовской сходимостью, посвящены работа Челидзе В.Г., Тимана М.Ф., 0гиеведкого И.И. и др. (см.[5], [63]). Использование узкого предельного перехода оказывается эффективным в изучении различных вопросов теории функций двух переменных, в частности, при решении задачи о восстановлении интегр!фуемой в смысле Лебега функции многих переменных по ее ряду Фурье ([13] ). Важное применение понятие узкой сходимости получило в работах Челидзе при исследовании вопросов сохранения сходимости и регулярности на некоторых классах двойных последовательностей, характеризующихся определенными мажорантами роста

32], [34] ,[1] ), изучении конкретных методов суммирования последовательностей, открывая возможности более глубокого исследования вопросов их взаимосвязи ([32] , [33] ,[34] ).

Работа состоит из введения, двух глав и списка использованной литературы. Первая глава "Двойные последовательности и их матричные преобразования" разделена на 4 параграфа.

В первом параграфе вводятся определения из теории двойных последовательностей. Отметим, что ни одно из рассматриваемых нами определений сходимости двойной последовательности не гарантирует ее ограниченности^ Это вносит своеобразие в изучение преобразований двойных последовательностей и приводит к необходимости рассмотрения вопросов на отдельных классах последовательностей, Нами выделяются следующие классы двойных последовательностей: т0 - класс ограниченных двойных последовательностей;

CJj

С Св, Сс - классы последовательностей, сходящихся соответственно в смысле (а), (в), (с); а, в, с - классы ограниченных а в с - сходящихся последовательностей. (Определения этих классов см. стр. 23).

Пусть ( Smn) - произвольная двойная числовая последовательность» С помощью матрицы А • (<Х|ШГ)) ей можно поставить в соответствие последовательность too. предполагая, что рады в правой части равенства сходятся при любых i и к.

Преобразование, осуществляемое матрицей А « (СЦктп ) по формуле (А), назовем матричным преобразованием, причем преобразование и его матрицу всюду будем обозначать одной и той же буквой.

Пусть d - один из введенных выше классов. Если преобразование А определено для каждой последовательности (Smn) е d , то говорят о матричном преобразовании класса d .

Условия существования таких преобразований выясняются в

§ 1.2. Так, если d = С, то

ТЕОРЕМА I. Для существования преобразования А на классе С необходимо и достаточно, чтобы: существовали функции М(п,1,к) и такие, что CL =0 для всех m>M(n1i1K) ео 1КШП

И fl>N(m,i,K) 5 21 |Ct.KrT1n \<оо для всех i , к. . 1КШП m,n=i

Цусть заданы любые два класса и |2> двойных последовательностей. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять матрица А, чтобы преобразование A V(Smn) ed переводило в (t^K) • Исследованию этих вопросов посвящены последующие параграфы I главы. Основное внимание при этом уделено преобразованиям сходящихся и ограниченно сходящихся последовательностей.

Метод, переводящий каждую последовательность ( smn) 6 в последовательность (tiK) (о(, е { а, в, с, С }), или класс d в класс р , называют (о£,|3 ) - консервативным.

Если кроме этого метод А сохраняет значение предела последовательности, то он называется (d,jb ) - регулярным. с^р ) - консервативные и - регулярные методы будем также называть соответственно К^ и R^ - методами (нижний индекс обозначает, к какому классу принадлежит исходная последовательность, верхний - преобразованная).

В одномерном случае воцрос о консервативности и регулярности матричных преобразований исчерпывающим образом решается теоремами Кожима-Шура и Теплица (см. [Ю]). При изучении преобразований двойных последовательностей эти условия существенно зависят от класса рассматриваемых последовательностей. В работах Цура [50 ] и Робисона [58] , занимавшихся изучением матричных преобразований ограниченно сходящихся последовательностей, были установлены следующие теоремы.

ТЕОРЕМА. А. (Цур,[50]). Для того, чтобы t. = ZI Cl

IK rn,n j tKwin гпп стремилаь к конечному пределу цри i,K всякий раз, коцца ограниченная числовая последовательность (Smr?) сходится, необходимо и достаточно, чтобы оо *)

1.ZI laiKmn|<~ t/t,K; g iaiKmnUM Vi.K>q;

2. йгл (X. = d ддя любых фиксированных m,n; i,K-*«> iKmn mri

3. Um 2Z CI ■ = ;

CO

4. ряд ZL|aiKrMn -c^mn I сходился цри любом П и

5. рад 2 I a. - I сходился цри любом m и hsi iKmn mn 1 йт 211аитп-о(тп1 = 0. t,K-*ao n=1

При этих условиях рад 2L абсолютно сходится и, т,п=ч тп если (Smn) сходится к S , то lim tiK = s(d-£.dlmn) + Zl Smnd itK-»oo tK mn/ m,n=i mn mn

CO

Условие ZI | CtiKwn |<co^t,K теоремы А в работе [бо] отсутствует, однако, его выполнимость предполагается и существенно используется автором при доказательстве теоремы.

ТШРЕМА. В (Робисона, [58] ). Для того, чтобы для всякой ограниченной последовательности (S ), сходящейся к S, пресо образованная последовательность tiK = #iKmnSmn также сходилась к S, необходимо и достаточно, чтобы оо йоо т 21 а.= 1; з

4. fcm la. 1 = 0 \/ лsk-?OO iKmn 1 ' " »

5. Cim III а. 1 = 0 Vm. llfWIIrt I v,K-*co n=1 IK МП

Приведенная нами формулировка теоремы В взята из [12] и несколько отличается от данной Робисоном ([58] , т. II). Так, отмеченное им условие turn (X. ~ 0 является излишним и цк tKmn следует из 4 и 5. Условие 211 01 |<М » очеввдно, не m,n iKmn" является необходимым и заменено нами условием 2. Заметим, что необходимость именно этого условия по существу и доказывается Робисоном).

Для отдельных классов неограниченных последовательностей аналогичные результаты получены Челвдзе В.Г. [32] ,[34], Тима-ном М.Ф.[29] . В этом направлении следует также отметить работы [il], в которых условия преобразования одних классов двойных последовательностей в другие рассматриваются с позиций функционального анализа.

§ 3 первой главы продолжает эти исследования. В нем установлены критерии консервативности и регулярности матричных преобразований произвольных сходящихся двойных последовательностей в сходящиеся, ограниченно сходящиеся, узко сходящиеся, а также ограниченно сходящихся двойных последовательностей в ограниченно в, с - сходящиеся. Отметим, что все критерии, как новые, так и отмеченные ранее в обзорном порядке, в статьях [ll]-[l23 » сопровождаются достаточно полными доказательствами. Существенно при этом, что все они получены конструктивными методами, наглядно демонстрирующими как технические трудности работы с двойными последовательностями и их четырехмерными матричными преобразованиями, так и возможности построения соответствующих примеров и контрпримеров, и используются наш в дальнейших исследованиях.

ТЮРЕЖ Для того, чтобы преобразование, заданное матрицей А в (Ct{Krnr7), было (С, С) - консервативным, необходимо и достаточно, чтобы

I. km аЫтп = о(тп ;

I, К-> со цк-^оо m,n-1 ш. 1<~ V i, к ;

1У. Существовали функции натуральных аргументов

M(rrfl и M*(m,i,K), и >l(n,i,K) такие, что М М(т) для t,K и Jv|*(n,i,K)4 jsl(n) для 1, к > Jvl (if) и aiKm =0для п>М*( m,t,K) и т> Jvi* n,t,K). со

При этих условиях рад d абсолютно сходится и, если

Smn^ сходится к S , то

ТЕОРЕМА 7. Для (Я,с() - регулярности метода А, о(е € { а, в, с }, необходимо и достаточно, чтобы:

I 00 ш . 2L I a iKmn | 4 М \/ yi. Ctm ZI й{ктп = 1; d Ып,к т,п=1 1Ктп Р

X,. ШП ZZ I1=0 для любого фиксированного П;

Р -03

XI/. ШТ1 2Z|Ct. |=0 для любого фиксированного т. (c6i,K п=1 lKrrln

Практическое приложение вопросы консервативности и регулярности матричных преобразований двойных последовательностей находят в изучении интерполяционных методов улучшения сходимости. Рабочим аппаратом в обоих вопросах является преобразование заданной последовательности в новую, и это дает возможность использовать для построения интерполяционных правил преобразований двойных последовательностей уже известные в теории суммирования результаты [44] , [9 ] , [35 "] .

В § 1.4 получены условия порождения сходимости и ограниченной сходимости матричными преобразованиями двойных последовательностей (т.е. преобразований класса ГП0 в С и ОС). Введение для консервативных матричных методов понятия характеристики метода, являющегося аналогом соответствующего понятия одномерной теории, и связь консервативных преобразований с преобразованиями, порождающими сходимость, позволили перенести в теорию суммирования двойных последовательностей известную в одномерном случае теорему Шура (см. [Ю] ,[в]), утверждающую, что никакой корегулярнвй матричный метод не может суммировать всех ограниченных последовательностей.

Вторая глава "Структурные воцросы матричных методов узкого суммирования двойных последовательностей" состоит из 9 параграфов. В теории суммирования простых последовательностей изучению этих вопросов посвящены статьи Мазура и Орлича [48"], [49], Брудно [2], Огиевецкого [20], [21], Давццова Н.А.[3"], Даревского [4], и других авторов, результаты которых достаточно полно освещены в обзоре Кангро Г.Ф. [8] и монографии Целлера и Бэкмана [бз] . Таким образом, в одномерной теории интерес к структурным вопросам полей сходимости достаточно велик. Не лишены интереса эти вопросы и в теории суммирования двойных последовательностей. Однако, в двумерной теории они не получили развития. Как следует из обзора [63] , единственной работой в этом направлении является статья [42] . Связано это, очевидно, прежде всего с тем, что даже в одномерной теории отмеченные вопросы решались различными авторами, различивши, зачастую довольно сложными и громоздкими методами (см. например, [49 , [2], [20^] ). Кроме того, даже эти испытанные методы доказательства оказываются неприменимыми при переходе к кратным последовательностям. Приводимые нами результаты удалось доказать благодаря использованию идей Питерсена, сфорцу-лированных им в теории одномерного суммирования в виде принципа "подражающих последовательностей" (см. [5l] , а также [56], [54]).

В неявной форме с принципом "подражающих последовательностей" мы встречаемся в работах Агнью [41 ] и Брудно [2} однако, он не получил у них дальнейшего развития и применения.

По словам Брудно сущность операции "подражания",или "переползания" последовательностей состоит в том, что с ее помощью из произвольного счетного набора последовательностей xj, Xg» получается последовательность, которая вначале совпадает с последовательностью xj, затем, оставаясь заключенной между xj и Х£» постепенно переходит в последовательность х£» на произвольно длинном отрезке совпадает с этой последовательностью, после чего, оставаясь заключенной между х^ и х3, произвольно медленно переходит в х„ и т.д. Существенно при этом, что поо следовательность х можно построить так, чтобы для наперед заданной матрицы А последовательность Ах вела себя ровно таким же образом относительно последовательностей Axj, Ах^ . .

Заслуга Питерсена состоит в том, что он не только сформулировал принцип "подражающих последовательностей", но и раскрыл его широкие возможности как единого метода доказательства многочисленных теорем теории суммирования (см. [43],[5l], [бЗ] ). Эти отдельные результаты были в дальнейшем систематизированы в его статье [бб] и монографии .

Прежде чем сформулировать основные результаты второй главы, введем некоторые определения.

1&ли последовательность () , соответствующая последовательности (Smn) при преобразовании А:

I »

Чк Smn' сходится к числу S , то говорят, что метод А суммирует последовательность ( S mn) к S .

При этом суммируемость последовательности (S тл) , или сходимость ( , понимается в одном из введенных смыслов а), (в), (с). В общем случае говорят, что последовательность

Smn ) d - суммируема методом А, или - суммируема.

Два метода А и В называются at - совместными на классе ^ , если они не могут d - суммировать одну и ту же последовательность из класса V к различным пределам. о(

Если матрица В d - суммирует каждую А - суммируемую последовательность из класса ^ , то говорят, что В оС - сильнее А на классе и пишут ft^ — •

В частности, если ГГ10 , то говорят об ограниченной d - совместности методов А и В, или об их ограниченном d -включении. (Обозначается Ар — )•

Если A* £ J)^ и, 1фоме того, существует ограниченная

О{

В - суммируемая последовательность, не суммируемая в смысле d методом А, то метод В строго d - сильнее А и обозначается г0 - йо •

Введение узкого предельного перехода позволяет использовать ряд принципиальных идей и методов одномерного суммирования для изучения аналогичных вопросов в теории суммирования двойных последовательностей.

В § 2.1 для (а, с) - регулярных матричных преобразований двойных последовательностей доказан аналог известй^ в одномерном случае теоремы Мазура-Орлича (см.[48] ,[49^ ; см. также

Ю] , стр. 367 ). . Dd

ТШРЕМА 15. Если А и В - [\п - методы суммирования двой

Р П di ных последовательностей, d € \ D, С } , и Jt^ S , то

А и В ограниченно оС - совместны. Попутно нами доказаны некоторые свойства рассматриваемых матриц, например, возможность их усечения.

Определение. Матрицу А в (CtiKrTul) назовем усеченной, если существуют неубывающие последовательности и j3(t,K) такие, что CtiKmh = 0 при vp>jO(i,K), где p = min(m,n), p = max(m,n).

ЛЕММА. 3. Если А = (&iKmn ) - регулярная матрица, то существует усеченная матрица А'= (&{к'тг1) такая, что для всякой ограниченной последовательности ( 3 тп) й/ СО СО т (zz a. s -zi a./ s ) = о.

1,к->со tKmn mn iKmw umn'

Эта лемма сохраняет свое значение и для некоторого класса неограниченных последовательностей ( Smn |jJmn,|Jmrltco) (Лемма 8).

При этом возникает естественный вопрос: распространяется ли это утверждение на все множество неограниченных двойных последовательностей. Ответ на него оказался отрицательным: построена регулярная матрица А, для которой не существует усеченной регулярной матрицы В, удовлетворяющей условию ASB (Теорема 16).

Установленные в § 2.2 леммы 8 и 9 позволяют сформулировать принцип "подражающих последовательностей" в следующей форме:

ТЕОРЕМА 18. Цусть А = (GliKmn ) - R^-матрица. Тогда существуют положительные последовательности ( Mm'n), t «э , и (яр, EjlO, ZlX-^oo .такие, что последовательность (Smn) « 0 (pm'n ) Ас - суммируется к 0 тогда и только то ода, когда каждая последовательность вида (5mnsmn) 0 ~ матрицей А, где gmn = для а ограничена и

Как уже отмечалось, этот принцип позволяет упростить доказательства многих теорем теории суммирования, что особенно важно при изучении кратных последовательностей, и эффективно используется при доказательстве большинства теорем этого и следующего параграфов.

Используя понятие поля с - сходимости метода А,т.е. множества последовательностей, с - суммируемых матрицей А, из теорем, установленных в § 2.4, получаем, что в поле сходимости нетривиального (т.е. с - суммирующего хотя бы I ограниченную расходящуюся последовательность) R^ - метода имеется континуальное множество расходящихся двойных последовательностей, как ограниченных, так и неограниченных, удовлетворяющих

УСЛОВИЮ йт | $МИ | = оо .

Теми же методами в § 2.8 получены теоремы, относящиеся к построению матриц, являющихся "промежуточными" по отношению к двум данным RJ- матрицам:

ТЮРЕМА 36. Пусть А = (й{ктп ) и В = (6{ккип ) - RQC - матрицы, причем в^ . Тогда существует континуальное множество матриц С^ , несравнимых между собой3^ и таких, что с * № •

В теории суммирования цростых последовательностей аналогичные результаты так же, как и предыдущие, впервые были установлены Брудно [2] и Огиевецким [20] , [2l] довольно громоздкими методами.

Понятие равномерной с - суммируемости и теоремы 29 и 30, доказательству которых посвящен § 2.6, помогают расширить наши знания о полях с - сходимости (ар) - регулярных матричных преобразований. Применение этих свойств с - суммируемых двойных последовательностей в § 2.7 позволило не только перенести на двумерный случай результаты, известные в теории суммирования простых последовательностей, но и, используя идеи Питерсена[54], ар) - регулярные методы Cjh Cg называются несравнимыми, если не существует ограниченной расходящейся последовательности, с с являющейся Cj-и С^ - суммируемой. получить их короткие доказательства. Среди теорем этого параграфа отметим следующую.

ТЮРЕМА. 33. Пусть {ft- счетное множество (ар) - регулярных матриц, каждая из которых с - суммирует ограниченную последовательность (sj^) (fi= 2, 3, . . .)» не являющуюся с - суммируемой матрицами А г (1 * Г * h) . Если А ограниченно с - сильнее каждой матрицы А^ I, 2, . . .), то существует ограниченная Ас - суммируемая последовательность, не суммируемая по области 0 ни одной из матриц множества {}.

В последнем параграфе диссертации (§ 2.9) показано еще одно приложение принципа "подражающих последовательностей" (в частности, операции сплетения последовательностей) для установления свойств модуля матрицы.

В работе принята двойная нумерация параграфов, где первое число указывает главу, второе - номер параграфа, и сплошная нумерация определений, формул, лемм и теорем.

Знаки А и Т обозначают соответственно начало и конец доказательства теоремы. Латинскими буквами, расположенными в алфавитном порядке, отмечены известные теоремы из теории одномерного суммирования, а также теоремы о кратных последовательностях и их преобразованиях, установленные другими авторами, на которые мы будем ссылаться, не цриводя их доказательства. Буквы Я и R являются общепринятыми обозначениями множеств натуральных и действительных чисел. Числа в квадратных скобках представляют собой ссылки на список литературы, помещенный в конце диссертации.

Изложенные в диссертационной работе результаты докладывались на Всесоюзной конференции "Методы алгебры и анализа" в г. Тарту (1983, [24l )* на семинарах по теории суммирования расходящихся рядов при кафедре математического анализа Киевского государственного педагогического института им. A.M. Горького, на семинарах по функциональному анализу и теории рядов Тартуского государственного университета и Днепропетровского сельскохозяйственного института, на отчетных научных конференциях кафедр Киевского государственного педагогического института им. A.M. Горького и Сумского государственного педагогического института им. А.С. Макаренко за 1981, 1982 годы, а также на научных конференциях аспирантов и молодых ученых Киевского государственного педагогического института имени A.M. Горького в 1981 и 1982 годах.

Основное содержание работы опубликовано в статьях [23] -[28].

1. Бендукидзе А.Д. Некоторые вопросы суммирования двойных рядов. Дисс. канд. физ. мат. наук. Тбилиси: Тб. ГУ, 1954, 83 с.

2. Брудно А.Л. Суммирование ограниченных последовательностей матрицами. Матем. сб., 1945, 16, с. 191-247.

3. Даввдов Н.А. О включении и равносильности методов Теплица суммирования рядов. Укр. мат. журн., 1967, т. 20, № 4, с.

4. Даревский В.М. О внутренне совершенных методах суммирования. Изв. АН СССР, 1946, 10, с. 97-104.

5. Жижиашвили Л.В. О некоторых воцросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов. Успехи матем. наук, 1973, 28, в. (170), с. 65-119.

6. Зкгщщ А. Тригонометрические ряды. М.: "Мир", 1965 , 324с.

7. Жак И.Е., Тиман М.Ф. О суммировании двойных рядов. Мат. сб., 1954, 3 (77), № I, с. 21-56.

8. Кангро Г.Ф. Теория суммируемости последовательностей и рядов. В сб.: "Математический анализ", т. 12. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М: 1974, с. 5-70. '

9. Кругликова Л.Г. Интерполяционные методы улучшения сходимости рядов и последовательностей. Дис. . канд. физ. мат. наук, Шнек: ИМ АН БССР, 1970, с.

10. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М.: Изд-во иностр. лит., I960, 471 с.

11. Кулль И. Умножение суммируемых двойных рядов, Уч. зап. Тарт. гос. ун-та, 1958, в. 62, с. 3-55.

12. Кулль И. Линейные преобразования некоторых классов двойных последовательностей. Изв. АН ЭССР, 1961, т. X, № I, 13- 115 • I

13. Куприянов И. А. О сходимости и суммировании тригонометрических интерполяционных полиномов для функций двух переменных. ДАН СССР, 1954, т. 47, № б, с. 953-955.

14. Ламп Ю. Преобразования обобщенных последовательностей, -Уч. зап. Тарт. ун-та, 1968, 220, с. 67-84.

15. Ламп Ю. О (о полях преобразований обобщенных последовательностей. - Уч. зап. Тарт. ун-та, 1968, 220, с. 85-102.

16. Мельник И.В. Обращение бесконечных матриц и неэффективность матричных методов суммирования. Укр. мат ем. журн., 1976, 28, № I, с. 36-42.

17. Мельник В.И. П1дсумування обмежених посл1довностей регу-лярними матрицями. Друга наукова конф. молодих матема-тик1в Укра1ни. Ки1в, 1966, с. 438-441.

18. Михалин Г.А. Об одной теореме типа Мазура-Орлича. Укр. мат. журн., 1974, т. 26, № 4, с. 460-468.

19. Нагайник А.Ф. Абсолютно консервативные матричные преобразования и теоремы типа Радо-Агнью. В сб.: "Приложенные методы матем. анализа", К.: КГПИ, 1978, с. 95-103.

20. Огиевецкий И. И. К теории суммирования ограниченных последовательностей матрицами Теплица. Изв. вузов, 1959, 9, № 2, с. 183-187.

21. Огиевецкий И.И. К теории суммирования ограниченных последовательностей регулярными матрицами. Успехи матем. наук, 1963, 18, в. 5 (ИЗ), с. 221-223.

22. Огиевецкий И.И. Суммирование двойных рядов методами Чеза-ро и Абеля в ограниченном смысле. Усп. матем. наук, 1959, т. 13, в. 6 (84), с. II9-I25.

23. Рабец Ё.В. Об ограниченной регулярности и совместности методов узкого суммирования двойных последовательностей. В сб.: "Прибл. методы математического анализа", К.: КГПИ,1981, с. I06-II5.

24. Рабец Е.В. О равномерно ( d ) суммируемых двойных последовательностях. - Тезисы конф. "Методы алгебры и анализа", Тарту: ТГУ, 1983, с. 51-52.

25. Рабец Е.В. О преобразовании классов двойных последовательностей. Укр. мат. журн., 1983, № 5, с. 580-586.

26. Рабец Е.В. Консервативные матричные преобразования двойных последовательностей и некоторые их свойства. Рук. деп. Укр. НИИНТИ, 1983, 37 с.

27. Рабец Е.В. 0 равномерно (ct) суммируемых двойных последовательностях. В кн.: "Теоремы Тауберова типа и диф. ур-ния с малым параметром". К.: КГПИ, 1983, с. 98-105.

28. Рабец Е.В. Некоторые структурные воцросы полей сходимостиаД ) регулярных матричных методов сумм!фования двойных последовательностей. - Теория функций, функц, анализ и их прил. (Респ. межвед. тем. научн. сб.), Харьков: ХГУ, В. 41, 1984, с. I07-II5.

29. Тиман М.Ф. 0 регулярных преобразованиях кратных последовательностей. Уч. зал. Казанского ун-та, 1964, 124, № 6, с. 299-307.

30. Тиман М.Ф. Об Абелевой суммируемости двойных рядов. -ДАН СССР, 1948, т. 60, № 7, с. II29-II32.

31. Тиман М.Ф. О С (c^ji) суммируемости двойных рядов. - ДАН СССР, 195I, т. 74, № 5, с. 647-649.

32. Челидзе В.Г. Некоторые методы суммирования двойных рядови двойных интегралов. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1977, 400 с.

33. Челцдзе В.Г. Об одной теореме о двойном степенном ряде. -ДАН СССР, 1946, т. 53, № 8, с. 695-698.

34. Челадзе В.Г. О преобразовании двойных последовательностей. Тр. Тбил. матем. ин-та, 1949, т. 17, с. 61-94.

35. Шульгина Л.Т. Об улучшении сходимости и регулярности некоторых преобразований последовательностей. Дис. . канд. физ. мат. наук. - Шнек: Ин-т матем. АН БССР, 1972,

36. Юримяэ Э.И. Методы функционального анализа в теории двойных рядов. Уч. зап. Тартуского ун-та, 1958, № 55,с. 3-7,

37. Юримяэ Э.И. О некоторых свойствах обобщенных методов суммирования: Автореф. Дисс. . каед. физ. мат. наук, -Тарту: Тарт. ГУ, 1959,

38. Юримяэ Э.И. Некоторые вопросы обобщенных матричных методов суммирования, корегулярные и конулевые методы. -Изв. АН СССР, сер. техн. и физ. мат. наук, 1959, 2,с. II5-I2I.

39. Янушаускас А.И. Двойные ряды. Новосибирск: Наука, 1980, 224 с.

40. Agnew R.P. Convergence fields of methods of summability,-Ann. of Math., 1945, 469(2), p. 93 Ю1.

41. Agnew R.P. Equivalence of methods for evaluation of sequence,- Proc. Amer. Math. Soe., 1952, v. 3, p. 550 556.

42. Erdos P., Piranian G. Convergence fields of row-finite and row-infinite Toeplitz transformations.- Proc. Amer. Math. Soc. 1950, 1 , p. 397 401.

43. Erdos P., Piranian G. The topologization of a sequence space bj Toeplitz matrices.- Michigan Math. J., 1958, v. 5, 2,p. 139 148.

44. Mazur S., Orlicz W. Sur les methodes lineaires de sommation.-C.R.Acad. Sci. Paris, 1933, 196, p. 32 34.

45. Mazur S., Orlicz W. On linear methods of summability.- Stu-dia Math., 1954, 14, p. 129 160.

46. Moor C.N. Summable series and convergence factors.- Amer. Math. Soc., Coll. Publ., 1938, v. XXII.

47. Petersen G.M. Summability methods and bounded sequences.-J. Lond. Math. Soc., 1956, v. 31, p. 324 326.

48. Petersen G.M. Summability and bounded sequences.- Proc. Cambr. Phil. Soc., 1959, v. 55, p. 257 261.53» Petersen G.M. Consistency of summation matrices for unbounded sequences.- Quart. J. Math., 1963, v. 14, 55, p. 161-169.

49. Petersen G.M. Regular matrix transformations.- London- Hew-Jork- Toronto; Mc. Grow-Hill, 1966, p. 354.55* Petersen G.M. Extreme points for regular matrices of summability.- Tohoku Math. Journ., 1966, v. 18, 3, p. 255 258.

50. Petersen G.M. Regular matrix and bounded sequences.- Jah-resber. Deutschen. Math.- ver., 1967, Bd. 69.S, p. 107-151.

51. Pringsheim A. Elementare Theorie der unendliche Doppelrei-hen.- Sitzungs berichte der Math., Akad. der Wissenschaften zu Munch. Ber. 1898 (7), p. 101 153.

52. Robison G,M. Divergent double sequences and series.- Trans. Amer. Math.Soc., 1926, 28, p. 50 73.

53. Stieglitz M. Permanensatze fur ein Zeileninfinites Matrix-verfahren Zur Limitierung von Doppelfolgen, 1966, p. 90.

54. Wilansky A., Zeller K. Summation of bounded divergent sequences, topological methods,- Trans. Amer. Math.Soc., 1955,v.78,2,p. 501 509.

55. Zeller K., Allgemeine Eigenschaften von Limitierungsverfah-ren.- Math. Zeitschrift, 1951, 53, p. 463 487.

56. Zeller K. Faktorfolgen bei Limitierungsverfahren.- Math. Zeitschrift, 1952, 56, p. 134 151.

57. Zeller K. , Beekmann W. Theorie der Limitierungsverfahren.-Berlin Heidelberg - New-Jork: Springer, 1970, XII, p. 314.